TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin poikkileikkauksiin Tutkitaan leikkausvuota ja leikkausjännityksiä ohutseinäisissä profiileissa 1 SISÄLTÖ 1. Suoran sauvan leikkausrasitus 2. Leikkausyhtälö 3. Leikkausjännitykset suorassa sauvassa 4. Leikkausvuo 5. Leikkausvuo ohutseinäisissä profiileissa 2 1
7.1 SUORIEN SAUVOJEN LEIKKAUSJÄNNITYSJAKAUMA Leikkausvoimaresultantti V aiheutuu poikittaisesta leikkausjännitysjakaumasta kuvan mukaisesti Leikkausjännityksen parittaisuudesta johtuen myös palkin pituussuuntaisilla tasoilla on Poikittainen leikkausjännitystä leikkausjännitys Pitkittäinen leikkausjännitys 3 7.1 SUORIEN SAUVOJEN LEIKKAUSJÄNNITYSJAKAUMA Vasemman kuvan mukaisesti päällekkäiset kitkattomat palkit liukuvat toistensa suhteen kuormalla P Mikäli palkit sidotaan yhteen, muodostuu palkkiin leikkausjännityksiä pituussuunnassa ja leikkausjännitysjakauma ei ole vakio yli poikkipinnan Palkit irrallaan toisistaan Palkit kiinni toisissaan 4 2
7.1 SUORIEN SAUVOJEN LEIKKAUSJÄNNITYSJAKAUMA Kuvan mukaisesti leikkausjännitysjakauma aiheuttaa poikkipinnan käyristymisen, ts. poikkipinta ei pysy tasona (vrt. taivutusteorian perusteet) Ennen muodonmuutosta Muodonmuutos 5 7.1 SUORIEN SAUVOJEN LEIKKAUSJÄNNITYSJAKAUMA Taivutusteoriassa oletettiin poikkileikkaustason pysyvän tasona ja kohtisuorassa neutraaliakselin suhteen myös muodonmuutoksen jälkeen Edellä ollut pätee puhtaassa taivutuksessa, mutta kun sekä taivutusmomentti että leikkausvoima vaikuttavat, poikkipinta käyristyy. Hoikilla ja pitkilä sauvoilla käyristyminen on kuitenkin niin pieni, ettei sitä oteta huomioon. Poikittaisella leikkausjännitysjakaumalle ei ole johdettavissa yksinkertaista matemaattista yhtälöä 6 3
7.1 SUORIEN SAUVOJEN LEIKKAUSJÄNNITYSJAKAUMA Siten leikkausjännitys johdetaan epäsuorasti käyttäen taivutusyhtälöä ja taivutusmomentin ja leikkausvoiman yhteyttä (σ=my/i ja V = dm/dx) Vaakasuuntainen voimatasapaino: x A' A' josta F = 0; σ ' da σda τ( tdx) = 0 dm dm 1 yda = τ( tdx) => τ = yda I dx It A' A' 7 7.2 LEIKKAUKSEN PERUSYHTÄLÖ Siten saadaan leikkausyhtälö, kun Q = A yda τ = VQ Yhtälö 7-3 It τ = leikkausjännitys pisteessä, joka on etäisyydellä y neutraaliakselista. Sen oletetaan olevan vakio ja siksi käytetään keskimääräistä arvoa poikkileikkauksen paksuudella t. V = sisäinen leikkausvoima, joka saadaan leikkausmenetelmällä ja tasapainoyhtälöillä I = koko pinnan taivutusjäyhyysmomentti 8 4
7.2 LEIKKAUKSEN PERUSYHTÄLÖ τ = VQ It Yhtälö 7-3 t = poikkileikkauksen leveys tutkittavassa pisteessä Q = poikkileikkauksen staattinen momentti A yda= y A, jossa A leikkauksen ylä- tai alapuolinen pinta-alan osa kun leikkaus tehdään tutkittavassa pisteessä jossa poikkipinnan leveys on t. Etäisyys y on osapinnan A pintakeskiön etäisyys neutraaliakselilta. Materiaalin on käyttäydyttävä lineaarielastisesti ja kimmomodulin on oltava sama vedolla ja puristuksella 9 7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Suorakaidepoikkileikkaus Tutkitaan palkkia, jonka poikkileikkaus on suorakaide: leveys b ja korkeus h. Leikkausjännitysjakauma saadaan laskemalla leikkausjännitys mielivaltaisessa pisteessä etäisyydellä y neutraaliakselilta ja piirtämällä kuvaaja. Staattiselle momentille voidaan johtaa yhtälö 1 h Q = ( 2 y 2 ) b 2 4 10 5
7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Suorakaidepoikkileikkaus Sijoittamalla tulos leikkausyhtälöön saadaan 6V h 2 τ = y bh 3 4 2 ( ) Leikkausjännitysjakauma on siis parabolinen. Yhtälö 7-4 Leikkausjännitysjakauma 11 7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Suorakaidepoikkileikkaus Pisteessä y = 0 (neutraaliakseli) τ max = 1.5 V A Yhtälö 7-5 Suurin leikkausjännitys τ max on siis 50% suurempi kuin aiemmin esillä ollut keskimääräinen leikkausjännitys τ k = V/A. 12 6
7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Leveälaippainen I-palkki I- palkki koostuu kahdesta laipasta (flange) ja uumasta (web) Soveltamalla leikkausyhtälöä saadaan kuvan mukainen leikkausjännitysjakauma. Leikkausjännitysjakauma Leikkausjännitysjakauman intensiteetti 13 7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Leveälaippainen I-palkki Leikkausjännitysjakauma muuttuu siis parabolisesti poikkileikkauksen y- suunnassa Huomaa epäjatkuvuus laippojen ja uuman yhtymäkohdassa Miksi epäjatkuvuus? Jakauman mukaan uuma kantaa siis huomattavasti suuremman leikkausvoiman kuin laipat VQ τ ' = It laippa Leikkausjännityksen epäjatkuvuus uuman ja laipan liitoskohdassa: leikkauksen paksuus t muuttuu yhtäkkisesti τ ' = VQ It laippa => τ = VQ It uuma 14 7
7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Leikkausyhtälön rajoituksista Pääoletus leikkausyhtälön johtamisessa on, että leikkausjännitys on tasaisesti jakautunut leikkauksessa (jonka leveys= t), jossa leikkausjännitys määritetään. Tarkalla matemaattisella analyysilla käyttäen kimmoteoriaa on jännitysero suurimmillaan 40% Tämä pätee erityisesti leveälaippaisilla palkeilla Leikkausyhtälö ei myöskään anna tarkkaa kuvaa uuman ja laipan liitoskohdan todellisesta jännitysjakaumasta (jännityskeskittymästä) 15 7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS YHTEENVETOA Palkkien leikkausvoimat aiheuttavat epälineaarisen leikkausjännitysjakauman poikkipintaan aiheuttaen käyristymistä (leikkausjännitys-liukumayhteys) Leikkausjännityksen parittaisuudesta johtuen leikkausjännitykset vaikuttavat myös palkin pituussuunnassa Leikkausyhtälö johdetaan soveltaen vaakasuuntaista voimatasapainoa ja taivutusnormaalijännitysjakaumaa differentiaalisegmentissä 16 8
7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS YHTEENVETOA Leikkausyhtälöä voidaan käyttää suoran prismaattisen, homogeenisen ja lineaari-elastisesta materiaalista tehdyn rakenneosan analysointiin. Sisäinen resultoiva leikkausvoima vaikuttaa silloin pääakselien suunnassa. Suorakaidepoikkileikkauksessa leikkausjännitykset jakautuvat parabolisesti palkin poikittaissuunnassa. Suorakaidepoikkileikkauksessa leikkaus-jännityksen maksimiarvo on neutraaliakselilla. Leikkausyhtälöä voidaan soveltaa lähinnä pituuteen nähden pienille poikkileikkauksille 17 7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Analyysin vaiheet Sisäinen leikkausrasitus Ratkaistaan leikkausmenetelmällä ja tasapainoyhtälöillä leikkausvoima V Poikkileikkaussuureet Määritetään poikkileikkauksen pintakeskiö ja taivutusjäyhyys I Tehdään kuviteltu leikkaus profiiliin vaakasuunnassa pisteeseen, jossa leikkausjännitys lasketaan 18 9
7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Analyysin vaiheet Poikkileikkaussuureet Määritetään tämän vaakasuuntaisen leikkauksen leveys t Tämän leikkauksen ylä- tai alapuolinen pinta-ala on A. Lasketaan staattinen momentti Q joko integroimalla, Q = A y da, tai käyttäen Q = y A. Tässä y on pintakeskiön etäisyys osapinnan A, pintakeskiöstä. (VIHJE: A on poikkileikkauksen osa, joka pysyy kiinni sauvassa leikkausjännitysten avulla.) 19 7.3 PALKKIEN LEIKKAUSJÄNNITYS Analyysin vaiheet Leikkausjännitys Lasketaan leikkausyhtälöllä leikkausjännitys τ Jännitystilaa voi havainnollistaa tilavuuselementillä tutkittavassa pisteessä τ vaikuttaa samaan suuntaan kuin leikkausvoima V. Siten voidaan tilavuuselementin kolmelle muulle sivulle piirtää leikkausjännityksen suunta 20 10
ESIMERKKI 7.3 Kuvan palkki kostuu kahdesta yhteen liimatusta puupalkista. Määritä suurin leikkausjännitys liimasaumassa pisteessä D eli uuman ja laipan liitoskohdassa. Tuet B ja C ottavat vastaan vain pystykuorman. 21 ESIMERKKI 7.3 (RATKAISU) Sisäinen leikkausrasitus Statiikan tasapainoyhtälöiden avulla määritetään kuvan tukireaktiot ja piirretään leikkausvoimakuvio. Suurin leikkausvoima on tuella C 19.5 kn. 22 11
ESIMERKKI 7.3 (RATKAISU) Poikkileikkaussuureet Lasketaan pintakeskiö (ja siten neutraaliakseli) käyttäen referenssipisteenä uuman alapintaa. Siten saadaan Σ ya y = =... = 0.120 m Σ A Taivutusjäyhyys voidaan siten laskea käyttäen paralleeliakseliteoreemaa I =... = 27.0(10-6 ) m 4 23 ESIMERKKI 7.3 (RATKAISU) Poikkileikkaussuureet Laippa on liitetty uumaan liimasaumalla, jonka leveus on sama kuin uuman paksuus t = 0.03m. Siten osapinnan A pinta-ala on sama kuin laipan poikkileikkauspinta-ala ja staattinen momentti on siten Q = y A = [(0.180 m 0.015 m 0.120 m] (0.03 m)(0.150 m) Q = 0.2025(10-3 ) m 3 24 12
ESIMERKKI 7.3 (RATKAISU) Leikkausjännitys Leikkausyhtälöstä saadaan τ max = VQ It =... = 4.88 MPa Liimasauman on siis kestettävä tämän suuruinen vaakasuuntainen leikkausjännitys jotta levyt eivät liukuisi toistensa suhteen tuella C. 25 7.4 POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Usein kantavat rakenneosat koostuvat yhteen liitetyistä osista kuvien mukaisesti. Mikäli kuormitus taivuttaa rakenneosaa, kiinnityselementtejä tarvitaan estämään osien liukuminen toistensa suhteen. Kiinnityselementtien suunnittelu edellyttää palkin pituussuuntaisen leikkauskuormituksen laskentaa. 26 13
7.4 POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Leikkauskuormitusta, jonka yksikkö on voima pituusyksikköä kohti, kutsutaan leikkausvuoksi q. Leikkausvuon suuruus palkin mielivaltaisessa poikkileikkauksessa voidaan laskea vastaavalla tavalla kuin edellä esitetty leikkausjännityksen laskenta. 27 7.4 POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Leikkausvuo on siis q = VQ/I Yhtälö 7-6 q = leikkausvuo (voima/pituusyksikkö) V = sisäinen leikkausrasitus, joka määritetään statiikan keinoin I = poikkileikkauksen neliömomentti eli taivutusjäyhyys Q = poikkileikkauksen staattinen momentti A yda= y A, jossa A on leikkauksen ylä- tai alapuolinen pinta-alan osa kun leikkaus tehdään tutkittavassa pisteessä jossa poikkipinnan leveys on t. Etäisyys y on osapinnan A pintakeskiön etäisyys neutraaliakselilta. 28 14
7.4 POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Huomaa, että liitoselementit palkeissa (a) ja (b) kantavat lasketun leikkausvuon q Palkissa (c) liitoselementit kantavat leikkausvuon q/2 Palkissa (d) jokainen liitoselementti kantaa leikkausvuon q/3 29 7.4 POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO TÄRKEÄÄ Leikkausvuo on voima palkin pituusyksikköä kohti Leikkausvuon arvo saadaan leikkausyhtälöstä ja sen avulla voidaan määrittää poikkileikkauksen eri segmenttien välinen leikkausvoima, jota tarvitaan liitoselementtien mitoituksessa. 30 15
ESIMERKKI 7.4 Palkin poikkileikkaus koostuu neljästä yhteenliimatusta levystä. Palkkia kuormittaa leikkausvoima V = 850 kn. Määritä leikkausvuo pisteissä B ja C jonka liimasauman pitää kantaa. 31 ESIMERKKI 7.4 (RATKAISU) Poikkileikkaussuureet Neutraaliakseli (pintakeskiö) lasketaan käyttäen referenssipisteenä poikkileikkauksen alapintaa: y = Σ y A =... = 0.1968 m Σ y Taivutusjäyhyys on siis I =... = 87.52(10-6 ) m 4 32 16
ESIMERKKI 7.4 (RATKAISU) Poikkileikkaussuureet Liimasaumat pisteissä B ja B kytkevät ylälaipan muihin poikkipinnan osiin, joten staattinen momentti Q B = y B A B = [0.305 m 0.1968 m](0.250 m)(0.01 m) Q B = 0.270(10-3 ) m 3 Vastaavasti liimasaumat pisteissä C ja C kytkevät keskilaipan palkkiin eli staattinen momentti Q C = y C A C =... = 0.01025(10-3 ) m 3 33 ESIMERKKI 7.4 (RATKAISU) Leikkausvuo Pisteille B ja B saadaan leikkausvuot q B = VQ B /I = [850 kn(0.270(10-3 ) m 3 ]/87.52(10-6 ) m 4 q B = 2.62 MN/m Vastaavasti pisteille C ja C q C = VQ C /I = [850 kn(0.0125(10-3 ) m 3 ]/87.52(10-6 ) m 4 q C = 0.0995 MN/m 34 17
ESIMERKKI 7.4 (RATKAISU) Leikkausvuo Koska kumpikin poikkileikkauksen osa liimataan kahdella saumalla, liiman leikkauslujuuden on oltava riittävän suuri kantamaan puolet lasketusta leikkausvuon arvosta. Siten q B = 1.31 MN/m q C = 0.0498 MN/m 35 7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Leikkausvuon yhtälöä q = VQ/I voidaan soveltaa myös määrittämään leikkausvuo koko poikkipinnassa Oletetaan palkin poikkileikkauksen olevan ohutseinämäisen, eli osapintojen paksuuksien olevan pieni verrattuna poikkipinnan korkeuteen ja leveyteen. 36 18
7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Laipan paksuus on ohut joten leikkausjännitys ei juuri muutu paksuussuunnassa ja siksi se oletetaan vakioksi. Siten leikkausvuo q on q = τ t Yhtälö 7-7 Poikittainen tai paksuussuuntainen leikkausvuo q oletetaan nollaksi koska laipan ylä- ja alapinnat ovat jännityksettömät 37 7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Määritetään leveälaippaisen I-palkin leikkausvuo oikeassa ylälaipassa: q = (b/2 x) Vt d 2I Yhtälö 7-8 38 19
7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Vastaavalla tavalla johdetaan leikkausvuo uumalle Vt db q = +0.5(d 2 /4 y 2 ) I 2 [ ] Yhtälö 7-9 39 7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Leikkausvuon arvo vaihtelee poikkileikkauksessa, koska staattisen momentin Q arvo muuttuu osapinnan A funktiona q muuttuu lineaarisesti segmenteissä, jotka ovat leikkausvoiman suuntaan nähden kohtisuorassa (laipat). Vastaavasti leikkausvoiman suuntaisissa osissa (uuma) muutos on parabolinen q vaikuttaa aina osapinnan seinämien suuntaisesti 40 20
7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO Leikkausvuon q suunta I- palkin profiilissa on sellainen, että se ikään kuin virtaa sisäänpäin ylälaipassa, yhtyy uumassa alaspäin virtaavaksi vuoksi ja jakautuu alalaipassa virtaukseksi ulospäin. Kuvassa on esitetty kolmen muun profiilityypin virtaussuunta. 41 7.5 OHUTSEINÄISEN POIKKIPINNAN LEIKKAUSVUO YHTEENVETOA Mikäli poikkileikkaus koostuu ohuista segmenteistä, ainoastaan seinämän suuntaiset leikkausvuot ovat tärkeitä Leikkausvuo muuttuu lineaarisesti segmenteissä, jotka ovat kohtisuorassa leikkausvoimaa V vastaan. Leikkausvuo muuttuu parabolisesti segmenteissä, jotka ovat leikkausvoiman V suuntaisia (tai pienessä kulmassa voiman suhteen). Poikkileikkauksessa leikkausvuo virtaa siten, että sen resultantti on leikkausvoima ja se täyttää tasapainoehdot vaaka- ja pystysuunnassa. 42 21
ESIMERKKI 7.7 Ohutseinäiseen putkipalkkiin vaikuttaa leikkausvoima 10 kn. Määritä leikkausvuo poikkileikkauksessa. 43 ESIMERKKI 7.7 (RATKAISU) Syummetrian vuoksi neutraaliakseli sijaitsee keskellä poikkileikkausta. Taivutusjäyhyys on I = 1/12(6 cm)(8 cm) 3 1/12(4 cm)(6 cm) 3 = 184 cm 4 Leikkausvuo tarvitsee määrittää ainoastaan pisteissä B, C ja D. Pisteessä B pinta-ala 0 koska sen voidaan ajatella sijaitsevan kokonaan pisteessä B. Vaihtoehtoisesti A voi edustaa koko poikkipintaa, jolloin Q B = y A = 0 koska y = 0. 44 22
ESIMERKKI 7.7 (RATKAISU) Koska Q B = 0 => q B = 0 Pisteessä C pinta-ala A on kuvattu varjostettuna. Käytetään tässä keskiarvoja, koska C sijaitsee keskilinjalla. Siten Q C = y A = (3.5 cm)(5 cm)(1 cm) = 17.5 cm 3 q C = VQ C /I =... = 95.1 N/mm 45 ESIMERKKI 7.7 (RATKAISU) Vastaavasti leikkausvuo pisteessä D lasketaan käyttäen varjostettua aluetta, jolloin saadaan Q D = y A =... = 30 cm 3 q C = VQ D /I =... = 163 N/mm 46 23
ESIMERKKI 7.7 (RATKAISU) Käyttäen symmetriaa hyväksi voidaan piirtää kuvan jakauma leikkausvuolle. Huomaa, että jakauma on lineaarinen leikkausvoimaa vastaan olevissa elementeissä ja parabolinen leikkausvoiman suuntaisilla poikkipinnan osilla. 47 YHTEENVETO Poikittainen leikkausjännitys määritetään palkeille käyttäen hyväksi taivutusyhtälöä ja momentin ja leikkausvoiman yhteyttä (V = dm/dx). Tuloksena saadaan leikkausyhtälö τ = VQ/It. Poikkipintasuure Q on osapinnan A momentti neutraaliakselin suhteen (ns. staattinen momentti). Tämän osapinnan rajaama osa palkista pysyy kiinni rakenteessa sen tason (leveys t ) ylä- tai alapuolella missä leikkausjännitys τ määritetään. 48 24
YHTEENVETO Leikkausjännitysjakauma on parabolinen jos poikkipinta on suorakaiteen muotoinen. Leikkausjännityksen maksimi on silloin neutraaliakselilla. Kiinnityselimet, liimat ja hitsisaumat kytkevät usein palkin osat yhteen. Näiden liitoselinten mitoitus perustuu leikkausvuon (pituussuuntaisen voiman pituusyksikköä kohti) määrittämiseen. Palkin liitoskohdan pitää pystyä kantamaan tämä leikkausvuo q = VQ/I Mikäli poikkileikkaus koostuu ohutseinäisistä osista, on leikkausvuo laskettavissa kaavalla q = VQ/I 49 25