Koeben 1/4-lause ja Blochin lause

Koeben /4-lause ja Blochin lause Jaakko Turja Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 8

Tiivistelmä: Jaakko Turja, Koeben /4-lause ja Blochin lause (engl. Koebe /4 theorem and Bloch s theorem), matematiikan pro gradu -tutkielma, 36. s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, tammikuu 8. Tämän tutkielman kaksi päätulosta ovat Koeben /4-lause ja Blochin lause. Koeben lauseen mukaan yksikkökiekossa määritellylle analyyttiselle injektiolle f, jolle pätee f() = ja f () =, pätee myös, että sen kuvajoukko f(b(, )) sisältää ainakin -säteisen kiekon. Blochin lause puolestaan kertoo, että on olemassa aidosti 4 positiivinen vakio B siten, että suljetussa yksikkökiekossa määritellylle analyyttiselle funktiolle f, jolle f () =, on jokin kiekko S B(, ), jonka kuvajoukko f(s) sisältää vähintään B-säteisen kiekon siten, että f on injektiivinen kiekossa S. Näiden tulosten todistamisen lisäksi kerrotaan, miten näiden lauseiden oletuksista voidaan tarvittaessa jättää pois ehdot f() = ja f () =. Väitteessä näistä oletuksista luopuminen vaikuttaa kuitenkin kuvajoukon sisältämän kiekon suuruuteen. Lisäksi Blochin lauseessa on tällöin kuitenkin oletettava, että f (). Näiden tulosten lisäksi tässä tutkielmassa todistetaan Koeben lauseen todistuksessa tarvittavat Grönwallin pinta-alalause ja Bieberbachin kerroinlause, sekä näistä tuloksista seurauksena saatavat Koeben distortiolause ja Littlewoodin lause. Bieberbachin kerroinlauseen mukaan Koeben lauseen ehdot täyttävän funktion sarjaesityksen toisen kertoimen moduli on korkeintaan. Littlewoodin lause yleistää Bieberbachin kerroinlausetta, mutta ei kuitenkaan parhaalla mahdollisella tavalla, kertomalla, että ehdot täyttävän funktion sarjaesityksen n. kertoimen moduli on pienempi kuin ne. Koeben distortiolause puolestaan antaa rajat Koeben lauseen ehdot täyttävän funktion derivaatan itseisarvolle, funktion itseisarvolle sekä näiden osamäärälle. Lisäksi tarkastellaan, miten Blochin lauseesta seuraa Picardin suuri lause, ja miten Picardin pieni lause saadaan seurauksena Picardin suuresta lauseesta. Picardin suuren lauseen mukaan analyyttinen funktio saavuttaa oleellisen erikoispisteen ympäristössä kaikki kompleksitason pisteet korkeintaan yhtä pistettä lukuunottamatta. Picardin pienen lauseen mukaan kokonainen ei-vakio funktio saavuttaa kaikki kompleksitason pisteet korkeintaan yhtä pistettä lukuunottamatta. Varsinaisten lauseiden lisäksi tässä tutkielmassa määritellään täsmällisesti Blochin lauseessa esiintyvä Blochin vakio B, sekä hieman määritelmältään poikkeava Landaun vakio L. Näistä vakioista ei kuitenkaan ole tiedossa tarkkoja arvoja, mutta tässä tutkielmassa kerrotaan parhaat tiedossa olevat rajat näille vakioille. Nämä rajat jätetään todistamatta ja tyydytään mainitsemaan näiden rajojen alkuperäiset todistajat ja todistusajankohdat. i

Sisältö Johdanto Luku. Koeben /4-lause 3.. Esitietoja 3.. Grönwallin pinta-alalause 5.3. Bieberbachin kerroinlause 8.4. Koeben /4-lause.5. Koeben distortiolause.6. Littlewoodin lause 5 Luku. Blochin lause 9.. Esitietoja 9.. Blochin lause.3. Blochin ja Landaun vakiot 3 Luku 3. Picardin lauseet 5 3.. Picardin pieni lause 7 3.. Schottkyn lause 7 3.3. Picardin suuri lause 9 Luku 4. Merkintöjä 33 Lähdeluettelo 35 iii

Johdanto Tässä tutkielmassa tarkastellaan analyyttisiä funktioita, erityisesti tarkoituksena on todistaa Koeben /4-lause ja Blochin lause. Koeben lause sanoo seuraavaa: Lause. (Koeben /4-lause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio. Tällöin pätee ( B f(), f ) () f(b(, )). 4 Blochin lause puolestaan sanoo seuraavaa: Lause. (Blochin lause). On olemassa aidosti positiivinen vakio B siten, että jos f : B(, ) C on analyyttinen funktio, jolle f (), niin tällöin on olemassa kiekko S B(, ) siten, että funktio f on injektiivinen kiekossa S ja kuvajoukko f(s) sisältää B f () -säteisen kiekon. Ensimmäisessä luvussa Koeben lauseessa oletetaan lisäksi f() = ja f () =. Vastaavasti toisessa luvussa esitettävässä Blochin lauseessa oletetaan lisäksi f () =. Näistä oletuksista voidaan tarvittaessa kuitenkin tässä tapauksessa luopua, sillä jos funktio g täyttää Koeben tai Blochin lauseen ehdot tässä johdannossa esitetyssä muodossa, niin tällöin funktio f = g g() g () täyttää vastaavan lauseen tarvittavat ehdot myöhemmin tässä tutkielmassa todistettavassa muodossa. Vastaavasti tällä tavalla voitaisiin moni muukin tässä tutkielmassa esitettävä tulos yleistää koskemaan laajempaa joukkoa funktioita, kunhan väite muotoillaan oletuksia vastaavaan muotoon. Koeben lauseessa vakiota ei voida parantaa, mikä näytetään tarkastelemalla 4 Koeben funktiota. Blochin lauseen tapauksessa ei tiedetä tarkkaa arvoa vakiolle B, jota sanotaan Blochin vakioksi. Toisen luvun lopulla määritellään myös Landaun vakio L, joka on vastaava vakio ilman oletusta, että funktio f olisi injektiivinen kiekossa S, sekä tarkastellaan, mitä Blochin ja Landaun vakioista tiedetään. Vaikka Koeben ja Blochin lauseiden sisällöt vaikuttavat melko samankaltaisilta, niin niiden taustat ovat varsin erilaisia. Ensimmäisessä luvussa todistetaan Koeben lause, samalla tutustuen myös muutamaan muuhun analyyttisille injektioille, eli konformikuvauksille, pätevään tulokseen. Konformikuvaukset ovat kiinnostaneet matemaatikoita erityisesti Riemannin kuvauslauseen esityksen jälkeen. Vuonna 85 Riemann esitti kuvauslauseensa, mutta todistus kaipasi vielä täydennystä. Carathéodory ja Koebe täydensivät todistuksen vuonna 9. Koska tämän tutkielman tulosten todistamisessa ei tarvita Riemannin kuvauslausetta, niin tyydytään esittämään sen muotoilu ilman todistusta.

JOHDANTO Lause.3 (Riemannin kuvauslause). Olkoon G C yhdesti yhtenäinen alue. Tällöin on olemassa konformikuvaus f : G B(, ). Koeben lauseen todistusta kohti edetessä todistetaan Grönwallin pinta-alalause, sekä Bieberbachin kerroinlause. Bieberbach esitti kerroinlauseensa todistuksen yhteydessä konjektuurinsa, joka on kiehtonut ja inspiroinut matemaatikkoja, ja jonka todistamiseen kului lähes 7 vuotta, kunnes 98-luvulla Louis de Branges todisti kyseisen konjektuurin todeksi. Luonnollisesti tämäkin tulos jätetään tässä todistamatta. Lause.4 (de Brangesin lause/bieberbachin konjektuuri). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () = ja lisäksi f(z) = z + a n z n. Tällöin a n n kaikilla n. Näiden tulosten lisäksi todistetaan Koeben lauseen seurauksena Koeben distortiolause, sekä Littlewoodin lause, joka on vuonna 95 todistettu tulos, joka kertoo, että Bieberbachin konjektuurin arvion suuruusluokka on oikea. Toisessa luvussa todistetaan Blochin lause, jota J. E. Littlewood on lähteen [4] mukaan kuvaillut sanoin One of the queerest things in mathematics.... the proof itself is crazy. Sattumaa tai ei, Bloch todisti lauseensa mielisairaalassa, jossa vietti elämänsä viimeiset vuosikymmenensä. Blochin lauseen todistus mahdollisti myös Picardin lauseiden todistamisen alkeellisin keinoin, mitä tarkastellaankin tämän tutkielman kolmannessa luvussa. Tämän tutkielman kirjoittamisessa keskeisimpiä lähteitä ovat olleet erityisesti [, 8, 6, 9]. Lähteet [, 8] ovat olleet tärkeitä ensimmäisen luvun kannalta. Toisessa ja kolmannessa luvussa lähde [6] on ollut tärkein yksittäinen lähde. Lähdettä [9] on hyödynnetty pääasiassa Picardin suuren lauseen todistuksessa. Lukijan oletetaan tuntevan kompleksianalyysin kursseilla käsitellyt asiat. Käytännössä siis luentomonisteessa [4] käsiteltävät asiat sisäistänyt lukija pystyy luultavasti ymmärtämään tässä tutkielmassa käsiteltävät asiat. n=

LUKU Koeben /4-lause Tässä luvussa todistetaan Koeben /4-lause ja sen todistuksessa tarvittavat Grönwallin pinta-alalause ja Bieberbachin kerroinlause. Lisäksi todistetaan Koeben lauseelle seurauksena Koeben distortiolause, jonka avulla todistetaan myös Littlewoodin lause. Tämän luvun kirjoittamisessa on käytetty lähteitä [,, 8,,, ]. Tämän luvun todistusten ideat perustuvat lähteestä riippumatta enemmän tai vähemmän samoihin alkuperäisten todistajien ideoihin... Esitietoja Kerrataan seuraavaksi tässä luvussa tarvittavia esitietoja, joiden pitäisi olla tuttuja kompleksianalyysien kursseilta, poikkeuksena seuraavaksi esitettävä Greenin lause, jonka pitäisi olla tuttu kurssilta, joka saattaa ajasta ja paikasta riippuen olla nimetty muun muassa integraalilaskentaan tai vektorifunktioiden analyysiin viittaavalla nimellä. Lause. (Greenin lause). Olkoon γ : I C positiivisesti suunnistettu (paloittain) sileä umpinainen Jordan-polku, ja alue A olkoon käyrän γ(i) sisäpuoli. Oletetaan, että funktio f : G C on jatkuvasti differentioituva avoimessa joukossa G C, jolle A G. Tällöin on voimassa yhtälö (Re(f)dx + Im(f)dx ) = ( Im(f) Re(f)). γ Todistus. Ks. [, Lause 5.4] tai [, Chapter 6, Theorem 6]. Greenin lausetta voidaan käyttää pinta-alan laskemiseen: Merkitään z = x + iy. Tällöin saadaan Greenin lauseen nojalla muuten samoja merkintöjä hyödyntäen γ z dz = (x iy)(dx + idy) = x dx + y dy + i y dx + x dy γ γ γ = y x dx dy + i x ( y) dx dy. A A = + i dx dy. Tällöin siis alueen A pinta-ala on (.) dx dy = A i A 3 A γ z dz.

4. KOEBEN /4-LAUSE Lause. (Cauchyn lauseen lokaali muoto). Olkoon funktio f analyyttinen kiekossa B(z, r). Tällöin f(z) dz = kaikilla suljetuilla teillä γ kiekossa B(z, r). Todistus. Ks. [4, Lause 4.6] tai [, Theorem.4.3]. Tästä saadaan suorana seurauksena seuraava tulos: Seuraus.3. π γ([,]) γ e ikθ dθ = {, k Z {} π, k =. Todistus. Merkitään γ(t) = e ikπt. Kun k Z {}, niin hyödyntämällä muuttujanvaihtoa z = e ikθ saadaan lauseen. nojalla i π = k dz = i π k ikeikθ dθ = e ikθ dθ. Tapaus k = on triviaali. Lause.4 (Potenssisarjakehitelmä). Olkoon f analyyttinen joukossa G ja olkoon B(z, r) G. Tällöin funktiolla f on potenssisarjaesitys pisteen z ympärillä ja f määrää potenssisarjan yksikäsitteisesti: Kun z B(z, r), niin f(z) = a n (z z ) n, missä n= a n = f (n) (z ). n! Todistus. Ks. [4, Lause 7.] tai [, Theorem 3.3.]. Lause.5 (Analyyttisen funktion Laurentin sarjakehitelmä). Olkoot luvut a ja b siten, että a < b. Olkoon funktio f analyyttinen renkaassa D = {z C : a < z z < b}. Tällöin f voidaan esittää Laurent-sarjana joukossa D, f(z) = a n (z z ) n, n= kun z D. Esitys on yksikäsitteinen: kaikilla n Z a n = f(z) dz, πi (z z ) n+ kun a < r < b. z z =r Todistus. Ks. [4, Lause 7.7] tai [, Theorem 4.3. ja Proposition 4.3.3].

.. GRÖNWALLIN PINTA-ALALAUSE 5 Lause.6. Olkoon k N ja olkoon funktio f analyyttinen punkteeratussa kiekossa B(z, r) {z }. Tällöin z on funktion f k. kertaluvun napa jos ja vain jos on olemassa analyyttinen funktio g kiekossa B(z, r) siten, että g(z ) ja kaikilla z B(z, r) {z }. f(z) = g(z) (z z ) k Todistus. Ks. [4, Lause 8.9] tai [6, Luku V, Proposition.4]. Huomautus.7. Olkoon z funktion f k. kertaluvun napa ja g pisteen z ympäristössä analyyttinen siten, että kaikilla z B(z, r) {z } Tällöin f(z) = (z z ) k f(z) = (z z ) k g(z). n= mikä on funktion f Laurentin sarja. b n (z z ) n = n= k b n+k (z z ) n, Lemma.8. Olkoon G avoin joukko ja f : G C analyyttinen injektio. Tällöin kaikilla z G. f (z) Todistus. Ks. [4, Seuraus 9.8] tai [, Theorem.]. Tässä luvussa tarkastellaan analyyttisiä injektioita f : B(, ) C, joille pätee f() = ja f () =. Näitä funktioita sanotaan konformikuvauksiksi (univalent, schlicht). Lauseen.4 mukaan näiden funktioiden potenssisarjakehitelmä on muotoa f(z) = z + a n z n = (z )( + a n z n ), n= jolloin siis lauseen.6 perusteella voidaan päätellä, että piste on funktiolle. f kertaluvun napa. Tällöin siis huomautuksen.7 perusteella funktion Laurentin sarja f on muotoa f = z + b n (z) n. n= n=.. Grönwallin pinta-alalause Todistetaan seuraavaksi kaksi eri pinta-alalausetta. Ensimmäistä tarvitaan Koeben /4-lauseen todistuksessa ja toista käytetään myöhemmin Littlewoodin lauseen todistuksessa. Ruotsalainen Thomas Hakon Grönwall todisti nimeään kantavan pintaalalauseensa vuonna 94 [3]. Grönwallin todistuksesta tietämättä myös Bieberbach todisti saman tuloksen vuonna 96 ja käytti sitä kerroinlauseensa todistamiseen [3]. Lähteen [] mukaan tässä toisena esitettävän pinta-alalauseen todisti unkarilainen Lipót Fejér vuonna 93, joskin tulos esiintyy myös Grönwallin artikkelissa [3] ilman viittauksia.

6. KOEBEN /4-LAUSE Lause.9 (Grönwallin pinta-alalause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () = ja lisäksi f(z) = z + a n z n. n= Tällöin Todistus. Koska n a n. n= f(z) = z + a n z n, n= niin voidaan määritellä funktio g : C B(, ) C, g(z) = f( ) = z + a n z n. z Olkoon nyt E = g(c B(, )) ja olkoon γ r = g({z : z = r}), missä r >. Tällöin Greenin lauseen nojalla alueen E pinta-ala saadaan kaavasta (.) eli pinta-ala on siis A r = wdw, i γ r kun r, mistä muuttujanvaihdolla saadaan A r = wdw = g(z)g (z)dz i γ r i z =r = ( ) ) π re i iθ + a n (re iθ ) ( n ka k (re iθ ) k ire iθ dθ n= k= = ( ) ) π re iθ + a n r n e ( inθ ka k r k e i(k+)θ re iθ dθ k= n= Kun tarkastellaan integraalin sisällä olevaa kolmen luvun tuloa, saadaan r ka k r k+ e i(k)θ + a n r n+ e i(n+)θ = r n= n= k= ( ) ( ) ka k r k e i(k+)θ a n r n+ e i(n+)θ k= ka k r k+ e i(k)θ + n= ( ) a n r n+ e i(n+)θ ka k a n r k n e i(n k)θ. k= n= k= n=

.. GRÖNWALLIN PINTA-ALALAUSE 7 Koska seurauksen.3 mukaan π e ikθ dθ =, jos k, niin termeittäin integroimalla saadaan A = π r ka k a k r k k dθ Kun r, niin tästä saadaan = ( = π π r r k= k a k r k dθ k= ) k a k r k. k= k a k. sarjaesityksen kertoi- Tästä saadaan suorana seurauksena myös arvio funktion f mille: k= Seuraus.. Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () = ja lisäksi f(z) = z + a n z n. Tällöin kun n. n= a n n, Seuraavasta esimerkistä nähdään, että Grönwallin pinta-alalausetta ei voi parantaa. Esimerkki.. Olkoon f : B(, ) C, z f(z) = + e iθ z, missä θ [, π]. Tällöin siis f on injektio. Lisäksi f() = ja f (z) = ( + eiθ z ) ze iθ z ( + e iθ z ) = eiθ z ( + e iθ z ), eli siis f () =, joten f toteuttaa Grönwallin pinta-alalauseen ehdot. Siispä koska f(z) = + eiθ z z = z + eiθ z, niin Grönwallin pinta-alalauseen merkintöjä hyödyntämällä saadaan tästä laskettua k a k = a = =. k= Siispä Grönwallin pinta-alalausetta ei voi parantaa.

8. KOEBEN /4-LAUSE Seuraavasta tuloksesta, ja erityisesti vertaamalla sen todistusta edellisen pintaalalauseen todistukseen, nähdään, miksi näitä lauseita nimitetään pinta-alalauseiksi. Lause. (Pinta-alalause, toinen versio). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen funktio ja lisäksi f(z) = a n z n. n= Tällöin alueen f(b(, r)) pinta-ala A r on A r = π n a n r n, kun < r. n= Todistus. Olkoon γ : [, π] C, γ r (θ) = f(re iθ ), kun < r <. Tällöin Greenin lauseen nojalla joukon f(b(, r)) pinta-ala A r saadaan kaavan (.) avulla muuttujanvaihtoa hyödyntäen A r = w dw = f(z)f (z) dz i γ r i z =r = ( π ) ( ) a n (re i iθ ) n ka k (re iθ ) k ire iθ dθ = π n= k= ( ) ( ) a n r n e inθ ka k r k e ikθ dθ, n= mistä auki laskettuna ja integroituna saadaan seurauksen.3 nojalla A r = π a k r k ka k r k = π k a k r k = π k a k r k. k= Tapaus r = saadaan, kun r. k= k=.3. Bieberbachin kerroinlause Todistetaan seuraavaksi Bieberbachin kerroinlause, jonka todisti saksalainen matemaatikko Ludwig Bieberbach vuonna 96 [3]. Todistuksensa alaviitteessä hän esitti tunnetuksi tulleen konjektuurinsa: Ehkä konformikuvaksen, jonka derivaatta origossa on, sarjaesitykselle pätee yleisemminkin a n n. Lähteen [] mukaan Bieberbach todisti itse vuonna 98, että a n < 5, n. Tästä seuranneiden vuosikymmenten aikana todistettiin parempiakin rajoja, kuten tässä tutkielmassa käsiteltävä Littlewoodin lause, kunnes lopulta konjektuurin todisti oikeaksi Louis de Branges vuonna 985 [7]. Tarkempaa tietoa näiden tulosten historiasta löytyy lähteistä [6, ]. Todistetaan kuitenkin aluksi tarvittava lemma. Lemma.3. Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () =. Tällöin on olemassa analyyttinen injektio g : B(, ) C, jolle pätee g() = ja g () = ja lisäksi g (z) = f(z ) k=

.3. BIEBERBACHIN KERROINLAUSE 9 Todistus. Merkitään f(z) = z µ(z), missä µ on analyyttinen alueessa B(, ). Koska f () =, niin µ() =. Lisäksi µ(z) kaikilla z B(, ), koska jos olisi jokin z B(, ) {}, jolla µ(z ) =, niin tällöin myös f(z ) = z µ(z ) = = f(), jolloin f ei olisi injektio. Siispä koska µ ja koska funktio µ on analyyttinen, niin funktiolla µ /µ on olemassa yksikkökiekossa määritelty primitiivi log(µ), jonka avulla voidaan määritellä neliöjuuren haara r(z) := µ(z) := e log(µ), joka on kahden analyyttisen funktion yhdisteenä analyyttinen alueessa B(, ), jolle pätee r() =. Olkoon g(z) = z r(z ). Tällöin g (z) = z r (z ) = z µ(z ) = f(z ). Lisäksi g() = ja g () = r() =. Tarkistetaan vielä, että g on injektiivinen. Jos g(a) = g(b), niin f(a ) = f(b ), jolloin siis funktion f injektiivisyyden nojalla a = b, mistä saadaan että a = ±b. Jos a = b kaikilla a, b B(, ), niin g on injektiivinen. Jos a = b, niin funktion g määritelmästä nähdään, että g(a) = a r(a ) = b r(b ) = g(b), jolloin g(b) = g(a) = g(b), joten g(a) = g(b) =. Koska r(z) kaikilla z, niin tällöin on siis oltava a = b =, jolloin siis g on myöskin injektiivinen. Lause.4 (Bieberbachin kerroinlause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () = ja lisäksi f(z) = z + a n z n. Tällöin a. Todistus. Lemman.3 nojalla on olemassa analyyttinen ja injektiivinen funktio g : B(, ) C, jolle pätee f(z ) = g (z) ja jolle voidaan merkitä g(z) = z + b n z n. n= n= Tällöin Grönwallin pinta-alalauseen nojalla n b n, n= joten b. Nyt siis g (z) = z + b z + (b + b ) +... Olkoon h f se analyyttinen funktio, jolle pätee f(z ) = z h f (z). Tällöin funktion f potenssisarjaesityksestä nähdään lauseen.4 nojalla, että h f () =, h f () = ja h f () = a. Siispä saadaan ( ) () =, h f

. KOEBEN /4-LAUSE ja ( h f ( h f ) () = h f () (h f ()) = ) () = h f ()(h f()) + h f ()h f()h f () = a + (h f ()) 4 = a. Tällöin siis funktio saadaan funktion f(z ) h f lauseen.4 nojalla muotoon f(z ) = z h f (z) = z ( a z +... ) potenssisarjaesitystä hyödyntämällä Koska f(z ) = g (z), niin saadaan, että b = ja a = b +b = b, mistä saadaan a = b..4. Koeben /4-lause Vuonna 97 saksalainen Paul Koebe todisti, että on olemassa vakio < k, 4 siten että konformikuvaukselle f, jolle pätee f() = ja f () =, pätee myös B(, k) f(b(, )) [5]. Arvon k = todisti Bieberbach vuonna 96 kerroinlauseensa avulla 4 [3]. Lause.5 (Koeben /4-lause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () =. Tällöin pätee ( B, ) f(b(, )). 4 Todistus. Olkoon w / f(b(, )). Tällöin voidaan siis määritellä analyyttinen funktio g : B(, ) C siten, että g(z) = wf(z) w f(z). Tällöin g on injektio, koska jos g(z ) = g(z ) joillakin z, z B(, ), niin tällöin myös f(z ) = f(z ), mistä funktion f injektiivisyyden nojalla seuraa z = z. Lisäksi g() = wf() w f() = w =. Lasketaan seuraavaksi myös g () ja g (). Koska g (z) = wf (z)(w f(z)) wf(z)( f (z)) (w f(z)) = w f (z) (w f(z)), niin g () = w f () (w f()) = w (w ) =. Koska g (z) = w f (z)(w f(z)) w f (z)(w f(z))( f (z)) (w f(z)) 4,

.4. KOEBEN /4-LAUSE niin kun merkitään f(z) = z + k= a kz k, niin lauseen.4 mukaan f () = a, jolloin siis saadaan g () = w f ()(w f()) w f ()(w f())( f ()) (w f()) 4 = w (a )(w ) w (w )( ) (w ) 4 = a + w. Koska g on analyyttinen injektio ja koska g() =, g () = ja g () = a +, niin w lauseen.4 avulla käyttämällä Bieberbachin kerroinlausetta funktioon g, saadaan a + w = g (). Vastaavasti käyttämällä Bieberbachin kerroinlausetta funktioon f, saadaan a, joten kolmioepäyhtälöä hyödyntämällä saadaan w = a + w a a + w + a + = 4, eli siis Tällöin siis joten siis w 4. C f(b(, )) {z : z 4 }, B (, ) f(b(, )). 4 Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkinä Koeben funktiota, jonka avulla nähdään, että Koeben lauseen vakiota ei voi parantaa, ja että Bieberbachin kerroinlauseen ja 4 konjektuurin rajoja ei voi parantaa. Koska Esimerkki.6 (Koeben funktio). Määritellään Koeben funktio k : B(, ) C, z k(z) = ( z). n= z n = lim n z n+ z = z, niin Koeben funktiolle saadaan sarjaesitys kirjoittamalla k(z) = z d ( ) = z nz n = dz z n= nz n. Tästä sarjaesityksestä nähdään, että Bieberbachin kerroinlauseen ja konjektuurin rajoja ei voi parantaa. Kun tarkastellaan funktiota f(z) = + z z n=

. KOEBEN /4-LAUSE ja huomataan, että kuvajoukko f(b(, )) on oikea puolitaso Re(z) >, niin kirjoittamalla k(z) = ( ) + z 4 z 4 nähdään, että Koeben funktion kuvajoukko on k(b(, )) = C ], 4 ], mikä osoittaa, että Koeben lauseen vakiota 4 ei voi parantaa..5. Koeben distortiolause Todistetaan seuraavaksi Koeben distortiolause. Lähteen [] mukaan Koebe todisti, että on olemassa positiivset rajat arvoille f(z) ja f (z), mutta tarkat arvot distortiolauseen rajoille todistivat Grönwall ja Bieberbach vuonna 96. Todistetaan aluksi tarvittava lemma. Lemma.7. Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () =. Tällöin zf (z) f (z) r r 4r r, kun r = z <. Todistus. Olkoon w B(, ) ja olkoon (.) F (z) = f ( z+w +wz ) f(w) ( w )f (w). Tällöin sekä eli siis Lisäksi F (z) = eli siis F (z) = (+wz) (z+w)w (+wz) F () = (+wz) (z+w)w (+wz) F () = f(w) f(w) ( w )f (w) =, f ( z+w +wz ) ( w )f (w) = f ( z+w +wz ) ( + wz) f (w) f ( +w +w ) ( + w ) f (w) = f (w) f (w) =. f ( z+w +wz )(( + wz) f (w)) f ( z+w +wz ) f (w)(w z + w) ( + wz) 4 f (w) = ( w )f ( z+w +wz ) f ( z+w +wz )(w z + w) ( + wz) 4 f (w) F () = ( w )f ( +w +w ) f ( +w +w )(w + w) ( + w ) 4 f (w) = ( w )f (w) f (w)w. f (w)

.5. KOEBEN DISTORTIOLAUSE 3 Tällöin siis lauseen.4 ja Bieberbachin kerroinlauseen nojalla ( w )f (w) w f (w) 4, w mistä kertomalla puolittain luvulla saadaan w wf (w) w f (w) w 4w w, mistä saadaan väite merkitsemällä r = w. Lause.8 (Koeben distortiolause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () =. Merkitään r = z. Tällöin pätee seuraavat epäyhtälöt r (.3) ( + r) f (z) + r 3 ( r) 3 (.4) (.5) r ( + r) f(z) r ( r) r + r z f (z) f(z) + r r Todistus. Todistetaan ensin (.3). Koska epäyhtälöstä α c seuraa, että c Re(α) c niin lemmasta.7 seuraa ( ) r 4r zf (z) Re r + 4r r f (z) r. Koska f () = ja lemman.8 mukaan f (z), niin voidaan valita haara log(f (z)), joka siis määritellään analyyttisen funktion f /f primitiivinä. Tällöin koska ( ) zf (z) Re = r f (z) r Re(log(f (z))) = r r log f (re iθ ), kun z = re iθ, niin saadaan siis (.6) Koska ja koska r 4 r r log f (re iθ ) r + 4 r. ( ) d z dz log = ( )( + z)3 ( z)3( + z) ( + z) 3 ( + z) 6 = z 3 + 3z ( + z)( z) = z 4 z ( + z)3 z ( ) d + z dz log = ( z)3 ( + z)( )3( z) ( z)3 ( z) 3 ( z) 6 + z = z + 3 + 3z ( z)( + z) = z + 4 z,

4. KOEBEN /4-LAUSE niin integroimalla epäyhtälön (.6) puolet muuttujan r suhteen pisteestä pisteeseen R, saadaan log R ( + R) log f (R e iθ ) log + R 3 ( R), 3 mikä on yhtäpitävä epäyhtälön (.3) kanssa. Todistetaan seuraavaksi (.4). Olkoon < z <. Merkitään z = z e iθ. Tällöin siis voidaan merkitä f(z) = Siispä epäyhtälön (.3) nojalla saadaan f(z) z z = ( = = f (re iθ ) dr z z ( r) 3 + r ( z ) z ( z ). f (re iθ )e iθ dr. + r ( r) dr 3 ( r) dr = ) 3 ( z z ( r) 3 ( r) dr ) ( ) Siispä epäyhtälön (.4) yläraja on todistettu. Todistetaan seuraavaksi alaraja. Koska z ( + z ) 4, niin jos f(z), niin väite pätee. Jos taas f(z) <, niin Koeben /4-lauseen 4 4 nojalla jana [, f(z)] on kokonaan kuvajoukossa f(b(, )). Olkoon γ se injektiivinen polku, joka on kyseisen janan alkukuva. Tällöin siis f(z) = f (w)dw. Tällöin siis epäyhtälön (.3) nojalla f(z) = f (w) dw γ z z γ r ( + r) 3 dr = ( + r) r + 3 ( + r) dr = ( 3 = ( + z ) + ) + z = z ( + z ). z ( + r) 3 ( ( + ) + + ( + r) dr ) Siispä epäyhtälön (.4) alaraja on todistettu. Todistetaan seuraavaksi (.5). Olkoon funktio F kuten lemman.7 todistuksessa kohdassa (.), eli siis F (z) = f ( ) z+w +wz f(w) ( w )f (w)

Tällöin epäyhtälön (.4) nojalla eli siis.6. LITTLEWOODIN LAUSE 5 w ( + w ) F ( w) w ( w ), w ( + w ) f(w) ( w )f (w) w ( w ), mistä kertomalla kaikki puolet luvulla w saadaan w w ( w )( + w ) = f(w) ( w )( + w ) + w ( + w ) wf (w) = + w ( w ) w, mistä seuraa (.5). Yleistetään seuraavaksi Koeben funktiota määrittelemällä esimerkkinä kierretyt Koeben funktiot, joiden avulla nähdään, että Koeben distortiolauseen rajoja ei voi parantaa. Esimerkki.9 (Kierretyt Koeben funktiot). Määritellään kierretyt Koeben funktiot k θ : B(, ) C, k θ (z) = e iθ k(e iθ z) = z ( e iθ z) = ne iθ(n ) z n, missä θ [, π]. Kun valitaan θ =, niin kyseessä on siis jo aiemmin mainittu Koeben funktio, jonka derivaatta on siis n= k (z) = ( z) z( )( z) ( z) 4 = + z ( z) 3. Tästä siis nähdään, että Koeben funktion kohdalla epäyhtälön (.3) yhtäsuuruus tulee kyseeseen sekä ylä- että alarajalle. Lisäksi Koeben funktion määritelmästä huomataan, että rajojen yhtäsuuruudet tulevat kyseeseen myös epäyhtälön (.4) kohdalla. Koska z k (z) k(z) = z + z ( z) ( z) 3 z = + z z, niin myös epäyhtälön (.5) tapauksessa Koeben funktion kohdalla yhtäsuuruudet tulevat kyseeseen. Siispä distortiolauseen rajoja ei voi parantaa. Voidaan itseasiassa todistaa, että Bieberbachin kerroinlauseen, ja samalla myös Koeben lauseen, reunatapaukset tulevat kyseeseen, jos ja vain jos kyseessä on kierretty Koeben funktio. Lisäksi distortiolauseen epäyhtälöiden yhtäsuuruudet tulevat kyseeseen ainoastaan sopivilla kierretyillä Koeben funktioilla, ks. [8,. ja.3, sivut 3-36]..6. Littlewoodin lause Todistetaan seuraavaksi Littlewoodin lause, jonka englantilainen John Edensor Littlewood todisti vuonna 95 [8]. Lauseesta nähdään, että Bieberbachin konjektuurin antaman arvion suuruusluokka on oikea. Todistetaan kuitenkin aluksi pari Littlewoodin lauseen todistuksessa tarvittavaa tulosta.

6. KOEBEN /4-LAUSE Lause. (Parsevalin lause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen funktio ja olkoon funktion f sarjaesitys f(z) = a n z n. Olkoon lisäksi < r <. Tällöin π π n= f(re iθ ) dθ = a n r n. Todistus. Koska ( ) ( ) f(re iθ ) = f(re iθ )f(re iθ ) = a n r n e inθ a m r m e imθ = n= m= n= a n a m r n+m e i(n m)θ, niin seurauksen.3 nojalla integroimalla termeittäin saadaan π f(re iθ ) dθ = π a n a m r n+m e i(n m)θ dθ π π n= m= = π a n a m r n+m e i(n m)θ dθ π n= m= = a n r n n= Lemma.. Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () = ja olkoon < r <. Tällöin π π n= f(re iθ ) dθ r r. Todistus. Lemman.3 mukaan on olemassa analyyttinen ja injektiivinen funktio g : B(, ) C, jolle pätee g() = ja g () = ja lisäksi g (z) = f(z ). Tällöin lauseen.8 nojalla r f(z) ( r), mistä saadaan g(z) r r, r kun z = r <. Tällöin siis g(b(, r)) B(, ), mistä saadaan, että joukon r g(b(, r)) pinta-ala A r on korkeintaan A r π ( ) r. r m= Lisäksi pinta-alalauseen toisen version nojalla pinta-ala A r on A r = π k a k r k. k=

Siispä saadaan (.7).6. LITTLEWOODIN LAUSE 7 k a k r k k= r ( r ). Koska ( ) d r = r( r ) r ( r) r = dr r ( r ) ( r ), niin integroimalla epäyhtälön (.7) molemmat puolet muuttujan r suhteen välin [, ρ] yli, ja muistamalla että a =, saadaan a k ρ k ρ ρ, k= mistä Parsevalin lauseella saadaan π g(ρ e iθ ) dθ π ρ ρ. Koska g (z) = f(z ), niin tämä epäyhtälö saadaan siis muotoon π π f(ρ e iθ ) dθ ρ ρ, mistä merkitsemällä ρ = R ja muuttujanvaihdolla θ = φ saadaan π π f(r e iφ ) dφ = π 4π f(r e iφ ) dφ R R. Lause. (Littlewoodin lause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen injektio, jolle pätee f() = ja f () = ja lisäksi f(z) = z + a n z n. Tällöin a n < en, kun n. Todistus. Hyödyntämällä lausetta.5, muuttujanvaihtoa z = re iθ ja lemmaa. saadaan a n = f(z) dz πi z =r (z z ) n+ = π f(re iθ ) πi (re iθ ) n+ rieiθ dθ = π f(re iθ ) π (re iθ ) dθ n π f(re iθ ) π (re iθ ) n dθ = π r n π f(re iθ ) r n dθ = r n r r = r n ( r), n= π π f(re iθ ) dθ kun < r <. Valitsemalla r =, tästä saadaan n ( a n n n) n+ ( ) n ( n = n = n + ) n < ne. n n

LUKU Blochin lause Tässä luvussa todistetaan Blochin lause ja tarkastellaan hieman Blochin ja Landaun vakioita... Esitietoja Kerrataan seuraavaksi tässä luvussa tarvittavia esitietoja, joiden pitäisi olla pääosin tuttuja kompleksianalyysin kursseilta. Lause. (Cauchyn estimaatti). Olkoon f analyyttinen kiekossa B = B(z, r). Jos f(z) M kaikilla z B, niin f (k) (z) kaikilla z B, k =,, 3,.... Erityisesti k!mr (r z z ) k+ f (k) (z ) k!m r k. Todistus. Ks. [4, Lause 5.] tai [, Theorem 3.4.]. Lause. (Algebran peruslause). Olkoon p polynomi p(z) = a + a z +... + a n z n, missä a n ja n. Tällöin on olemassa z C, jolle p(z) =. Todistus. Ks. [4, Lause 5.5] tai [, Theorem 3.4.5]. Lause.3 (Maksimiperiaate/Maksimimodulilause). Olkoon D C alue ja olkoon funktio f : D C analyyttinen. Jos on olemassa sellainen z D, että f(z) f(z ) kaikilla z D, niin f on vakio alueessa D. Todistus. Ks. [4, Lause 5.6] tai [, Theorem 5.4.]. Lause.4 (Casorati-Weierstrass). Jos funktio f on analyyttinen punkteeratussa kiekossa B(z, r) {z } ja jos z on funktion f oleellinen erikoispiste, niin kuvajoukko f(b(z, r) {z }) on tiheä kompleksitasossa C, ts. f(b(z, r) {z }) = C. Todistus. Ks. [4, Lause 8.3] tai [, Theorem 4..4]. Lemma.5 (Schwarzin lemma). Jos f : B(, ) B(, ) on analyyttinen ja f() =, niin f () ja f(z) z kaikilla z B(, ). Todistus. Ks. [4, Lemma 9.9] tai [, Proposition 5.5.]. 9

. BLOCHIN LAUSE Lause.6 (Rouchén lause). Olkoot f ja g analyyttisiä funktioita joukossa B(a, r), lukuunottamatta eristettyjä erikoispisteitä, joilla ei ole nollakohtia eikä napoja ympyrällä γ = {z : z a = r}. Olkoot Z f, Z g funktioiden f ja g nollakohtien lukumäärä ympyrän γ sisällä ja olkoot P f, P g vastaavasti funktioiden f ja g napojen lukumäärä ympyrän γ sisällä kertalukunsa huomioiden. Jos f(z) + g(z) < f(z) + g(z) ympyrällä γ, niin Z f P f = Z g P g. Todistus. Ks. [6, Luku V 3.8] tai [7, Lause 3.6]... Blochin lause Todistetaan seuraavaksi Blochin lauseen todistuksessa tarvittavia lemmoja, minkä jälkeen todistetaan itse Blochin lause. Ranskalainen André Bloch todisti nimeään kantavan lauseen vuonna 95 [4]. Tässä esitetyt todistukset mukailevat pääosin lähteen [6] todistuksia. Lemma.7. Olkoon f analyyttinen kiekossa B(, ) ja olkoon f() =, f () =. Jos on M > siten, että f(z) M kaikilla z B(, ), niin tällöin M ja B(, ) f(b(, )). 6M Todistus. Olkoon < r < ja merkitään f(z) = z + k= a kz k. Tällöin Cauchyn estimaatin mukaan a k = f (k) () M kaikille k. Siis koska a k! r k M kaikilla r r <, niin = a M. Jos z =, niin 4M f(z) z a k z k k= 4M ( ) k M 4M k= ( = ( ) 4M M M M 4M 4M = ( 4M 4M 4M M ) 4 = 4M 4M M(4M ) (4M ) 4 4M = 4M 4 4M = 4M 6M 4 4M 6M 4M = 3 M M = 6M ( ) ) 4M

koska M. Olkoon w < 6M z =.. BLOCHIN LAUSE mielivaltainen ja olkoon g(z) = f(z) w. Kun, niin tällöin 4M f(z) g(z) = w < 6M f(z). Tällöin siis Rouchén lauseen mukaan funktioilla f ja g on yhtä monta nollakohtaa jou- kossa B(, ). Koska f() =, niin on oltava g(z 4M ) = jollakin z B(, ). Tällöin siis jokaisella w B(, ) on olemassa jokin z 6M B(, ), jolle pätee f(z ) = 4M w, eli siis B (, 6M ) f (B(, )). Lemma.8. Olkoon funktio f analyyttinen kiekossa B(, r) ja olkoot f() = ja f () >. Jos on M > siten, että f(z) M kaikilla z B(, r), niin ) B (, r f () f(b(, r)). 6M Todistus. Olkoon g : B(, ) C, g(z) = f(rz). Tällöin g on analyyttinen, ja lisäksi g() =, g () = ja g(z).7 mukaan B(, r f () 6M g(b(, )) = f(b(,r)) M r f () rf () kaikilla z B(, ). Tällöin lemman ) g(b(, )). Koska funktion g määritelmästä saadaan, että, niin saadaan siis B(, r f () ) f(b(, r)). r f () 6M Lemma.9. Olkoon f : B(a, r) C analyyttinen funktio siten, että jokaiselle z B(a, r) {a} pätee f (z) f (a) < f (a). Tällöin f on injektio. Todistus. Olkoot z, z B(a, r), z z ja olkoon jana γ = [z, z ]. Tällöin oletuksesta saadaan f(z ) f(z ) = f (z)dz γ f (a)dz (f (z) f (a))dz γ γ f (a) z z f (z) f (a) dz > Siispä f(z ) f(z ) eli f on injektio. Lause. (Blochin lause). Olkoon f : B(, ) C analyyttinen funktio, jolle pätee f () =. Tällöin on olemassa kiekko S B(, ) siten, että f on injektiivinen kiekossa S ja kuvajoukko f(s) sisältää kiekon, jonka säde on 7. Huomautus.. Funktion analyyttisyys on määritelty ainoastaan avoimessa joukossa. Tässä kuitenkin käytetään merkintää, että funktio f on analyyttinen suljetussa kiekossa B(, ), millä tarkoitetaan, että funktio f on analyyttinen avoimessa kiekossa B(, + ɛ) jollakin ɛ >. Todistus. Merkitään m(r, g) = max z =r g(z). γ

. BLOCHIN LAUSE Koska derivaattakuvaus f on jatkuva, niin r m(r, f ) on jatkuva, jolloin myös r ( r)m(r, f ) on jatkuva. Koska lisäksi ( )m(, f ) = f () = ja koska ( )m(, f ) =, niin on olemassa r < siten, että r on suurin luku, jolle ( r )m(r, f ) =. Tällöin kaikille r > r pätee Bolzanon lauseen perusteella ( r)m(r, f ) <, jolloin siis kaikille z > r pätee (.) f (z) m( z, f ) < z. Tarkastellaan seuraavaksi arviota derivaatalle f (z) kun z r. Jatkuvana funktiona f (z) saavuttaa suurimman arvonsa kompaktissa joukossa {z : z r }. Jos f (z) saavuttaa avoimessa joukossa B(, r ) suurimman arvonsa, niin maksimiperiaatteen mukaan f (z) on vakio joukossa B(, r ). Tällöin (.) f (z) = f () = = ( r )m(r, f ) m(r, f ) = ( r ) kaikilla z B(, r ). Jos taas f (z) ei saavuta avoimessa joukossa B(, r ) suurinta arvoaan, niin se saavuttaa kompaktin joukon {z : z r } suurimman arvonsa joukon reunalla, eli joukossa z = r. Tällöin siis on z = r, jolle (.3) f (z) f (z ) = m(r, f ) = ( r ) kaikilla z r. Kun yhdistetään (.), (.) ja (.3), saadaan f (z) max( z, ) = r kaikilla z B(, ). Kun z < ( + r ), niin max( z, r ) (.4) z < ( + r ) z < ( + r ) = r = r. Merkitään ρ = ( r ) = ( r ). Olkoon nyt a B(, ) siten, että a = r ja f (a) = m(r, f ) = r = Tällöin siis kun z a < ρ = ( r ) = ( + r ) r, niin saadaan f (z) f (a) f (z) + f (a) < ρ + ρ = 3 ρ. Merkitsemällä w = z a ja soveltamalla Schwartzin lemmaa analyyttiseen funktioon ρ w ρ (f (ρw + a) f (a)) saadaan edellisestä siis 3 mistä saadaan f (ρw + a) f (a) 3 ρ w, f (z) f (a) = f (ρw + a) f (a) w 3 ρ = z a ρ kaikilla z B(a, ρ). Siispä kun z B(a, ρ ), niin 3 f (z) f 3 z a (a) < 3 ρ 3 ρ ρ = ρ = f (a). 3 ρ = 3 z a ρ ρ.

.3. BLOCHIN JA LANDAUN VAKIOT 3 Nyt siis lemman.9 mukaan f on injektiivinen kiekossa B(a, ρ ). 3 Todistetaan seuraavaksi että B(f(a), ) f(b(a, ρ )). Tarkastellaan funktiota 7 3 g : B(, ρ ) C, g(z) = f(z a) f(a). Nyt siis g() =, 3 g () = f (a) =. ρ Olkoon nyt jana γ = [a, z + a]. Tällöin käyttämällä epäyhtälöä (.4) saadaan g(z) = f (w)dw f (w) dw ρ z < 3. Nyt siis lemman.8 mukaan ( B, ) ( = B, ( ) ρ 3 ) ( ρ ) 7 6( ) 3 eli nyt siis B γ γ ( ( g B, ρ )) 3 ( f(a), ) ( ( f B a, ρ )). 7 3 Tässä vaiheessa voidaan verrata Blochin lausetta Koeben /4-lauseeseen. Ensimmäisenä ja oleellisimpana erona huomataan, että Koeben lauseessa funktion oletetaan olevan injektiivinen, mitä Blochin lauseessa ei oleteta. Molemmissa kuitenkin oletetaan funktion analyyttisyys, sekä myöskin f () =, minkä lisäksi tässä tutkielmassa Koeben lauseelta on edellytetty, että f() =. Molempien lauseiden kohdalla nämä oletukset eivät ole täysin välttämättömiä tässä muodossa, kunhan asetetut oletukset otetaan väitteen muotoilussa huomioon, sillä mikäli g on analyyttinen funktio, jolle g (), niin funktio f = g g() g () toteuttaa kyseiset ehdot ja lisäksi f on injektio täsmälleen silloin, kun g on injektio. Toisin sanoen molemmat lauseet voidaan helposti yleistää myös sellaiseen muotoon, missä riittää olettaa f (). Koeben lauseen tapauksessa tämäkin ehto voitaisiin jättää pois, sillä se seuraa injektiivisyydestä lemman.8 nojalla. Toinen mielenkiintoinen, mutta helposti huomaamatta jäävä, ero näiden kahden lauseen välillä on se, että Blochin lause ei tässä muodossaan sano, että kiekko S olisi välttämättä origokeskinen. Lisäksi funktion injektiivisyys tässä kiekossa ei ole Koeben lauseen tapauksessa mielenkiintoinen, sillä funktion injektiivisyys on jo oletuksessa, mutta Blochin lauseen tapauksessa kyseessä on yllättävä tulos..3. Blochin ja Landaun vakiot Blochin lauseen jälkeen voidaan kysyä, voidaanko Blochin lausetta parantaa. Tästä inspiroituneena määritellään Blochin ja Landaun vakiot. Määritelmä. (Blochin vakio). Olkoon F = {f : B(, ) C analyyttinen, jolle f () = }. Olkoon funktiolle f F luku β(f) supremum niistä luvuista r >, joille on olemassa kiekko S B(, ) siten, että funktio f on injektiivinen kiekossa S ja f(s) sisältää r-säteisen kiekon. Määritellään Blochin vakio olevan luku B = inf{β(f) : f F}.

4. BLOCHIN LAUSE Tällöin siis Blochin lauseen nojalla B. Helposti nähdään myös, että B, 7 kun tarkastellaan funktiota f(z) = z. Parempiakin rajoja on todistettu. Tällä hetkellä tiedetään, että 3 3, 433 4 + 4 B Γ( )Γ( ) 3 3 Γ( ), 479 4 missä Γ on gammafunktio, eli Γ(z) = x z e x dx. Blochin vakion ylärajan todistivat Ahlfors ja Grunsky [] vuonna 937 ja vuonna 996 Chen ja Gauthier [5] paransivat alarajaa yllä mainittuun. Määritelmä.3 (Landaun vakio). Olkoon F kuten Blochin vakion määritelmässä. Olkoon funktiolle f F luku λ(f) = sup{r : f(b(, )) sisältää r-säteisen kiekon}. Määritellään nyt Landaun vakio L seuraavasti L = inf{λ(f) : f F}. Määritelmistä nähdään selvästi, että B L ja funktiota f(z) = z tarkastelemalla nähdään helposti, että L. Landaun vakiollekaan ei ole tiedossa tarkkaa arvoa, mutta tiedetään, että < + 335 < L Γ( )Γ( 5) 3 6 Γ( ), 5433 6 missä Γ on gammafunktio. Lähteen [9] mukaan ylärajat todisti erikseen R. M. Robinson vuonna 938 ja Rademacher [3] vuonna 943, mutta vain jälkimmäinen on julkistanut todistuksensa. He todistivat myös, että < L, mutta yllä mainittuun arvoon alarajan paransi Yanagihara vuonna 995 [6].

LUKU 3 Picardin lauseet Tässä luvussa todistetaan Picardin lauseet Blochin lausetta hyödyntämällä. Picardin lauseet todisti ensimmäisenä ranskalainen Émile Picard. Lähteiden [5, 4] mukaan tämä on tapahtunut vuonna 879. Lauseille on myös myöhemmin löydetty monia alkuperäisestä ideasta poikkeavia todistuksia. Tässä luvussa esitettävät todistukset on yhdistelty lähteistä [6, 9]. Todistetaan aluksi pari tarvittavaa lemmaa. Lemma 3.. Olkoon f : B(, r) C analyyttinen funktio. Tällöin f(b(, r)) sisältää kiekon, jonka säde on r f () L, missä L on Landaun vakio. Todistus. Olkoon f : B(, r) C analyyttinen funktio. Jos f () =, niin väite on triviaali. Oletetaan siis, että f (). Olkoon g : B(, ) C, g(z) = f(rz) rf (). Tällöin siis g () =. Olkoon λ = λ(f) kuten Landaun vakion määritelmässä. Tällöin siis määritelmän mukaan on olemassa jono pisteitä a n g(b(, )) siten, että B(a n, λ ) g(b(, )) kaikilla n. Koska g(b(, )) g(b(, )), niin on n olemassa piste a g(b(, )) ja osajono (a nk ) siten, että a nk a. Merkitään tätä osajonoa (b n ). Olkoon w a < λ. Valitaan tällöin n siten, että w a < λ n. Tällöin on olemassa kokonaisluku n > n siten, että kun n n, niin b n a < λ n w a. Siispä kolmiepäyhtälöä hyödyntämällä saadaan w b n w a + a b n < λ n < λ n, kun n n. Siis w B(a n, λ ) g(b(, )). Koska w oli mielivaltainen, niin n tästä voidaan päätellä että B(a, λ) g(b(, )). Koska f(z) = rf ()g( z ), niin tästä r saadaan B(rf ()a, r f () λ) f(b(, r)). Lemma 3.. Olkoon G yhdesti yhtenäinen alue ja olkoon f : G C {, } analyyttinen funktio. Tällöin on olemassa analyyttinen funktio g : G C siten, että iπ cosh(g(z)) f(z) = e kaikilla z G. Lisäksi g(g) ei sisällä kiekkoa, jonka säde on. Todistus. Koska f(z) > kaikilla z G, niin voidaan määritellä logaritmin haara l = log(f(z)), eli siis e l = f kaikilla z G. Olkoon F (z) = l(z) πi. 5

6 3. PICARDIN LAUSEET Jos tällöin jollakin kokonaisluvulla n olisi F (a) = n, niin tällöin f(a) = e F (a)πi = e πin =, mikä ei ole funktion f määritelmän perusteella mahdollista. Siispä funktio F ei saavuta kokonaislukuarvoja, joten erityisesti F ei saavuta arvoja ja. Siispä funktiot F F ja (F ) F ovat analyyttisiä joukossa G, joten niillä on primitiivit log(f ) ja log(f ), joiden avulla voidaan määritellä neliöjuuret F := e log(f ) ja F := e log(f ). Määritellään nyt H(z) := F (z) F (z) = F (z) + F (z). Nyt siis H(z), sillä F ei saavuta lukuja ja. Siispä joukossa G voidaan määritellä haara g = log(h). Siispä Tällöin siis cosh(g) + = eg + e g = (H + H ) = 4F = F = l πi. + = eg + + e g = (eg + e g ) = ( F F + F + F ) f = e l = e πi(cosh(g)+) = e πi cosh(g)). Siispä väitteen yhtälö on nyt todistettu. Todistetaan seuraavaksi, että g(g) ei sisällä kiekkoa, jonka säde on. Olkoot m Z + ja n Z. jos olisi piste b G siten, että g(b) = ± log( m + m ) + ( ) inπ = ± log + m m inπ, niin eli siis Siispä cosh(g(b)) = e g(b) + e g(b) = e inπ ( m + m ) ± + e inπ ( m + m ) = ( ) n (( m + m ) + ( m m ) ) = ( ) n (m + (m )) = ( ) n (4m )) cosh(g(b)) = ( ) n (m )). f(b) = e ( )n(m ))πi,

3.. SCHOTTKYN LAUSE 7 joten koska (m ) on pariton luku, niin f(a) =. Siispä saatiin ristiriita, joten ei ole olemassa sellaista pistettä b G, jolle g(b) = ± log( m + m ) + inπ, missä n Z ja m Z +. Nämä puuttuvat pisteet muodostavat tasolle suorakulmioita, joiden korkeus on imπ i(m + )π = π < 3. Vastaavasti kyseisten suorakulmioiden leveys on log( n + + n) log( n + n ) >, mikä on laskeva funktio luvun n suhteen, joten suorakulmion leveys on korkeintaan log( + ) log( + ) = log( + ) < log(e) =, joten suorakulmion lävistäjän pituus on aidosti pienempi kuin ( 3) + = 4 =, joten kompleksitasolle ei mahdu yhtään -säteistä kiekkoa siten, ettei jokin mainituista puuttuvista pisteistä sisältyisi siihen. 3.. Picardin pieni lause Tässä vaiheessa todistettujen tulosten avulla voitaisiin todistaa Picardin pieni lause, ks. [6, Luku XII, Theorem.3]. Jätetään Picardin pieni lause tässä vaiheessa erikseen todistamatta ja todistetaan se myöhemmin Picardin suuren lauseen seurauksena. Picardin pienen lauseen todisti ensimmäisenä ranskalainen Émile Picard, mutta lauseelle on myös myöhemmin löydetty monia alkuperäisestä ideasta poikkeavia todistuksia. Lause 3.3 (Picardin pieni lause). Kokonaiselle ei-vakiolle kuvaukselle f : C C joukko C f(c) sisältää enintään yhden pisteen. 3.. Schottkyn lause Todistetaan seuraavaksi Schottkyn lause, jota hyödynnetään Picardin suuren lauseen todistuksessa. Tässä esitetty todistus mukailee lähteen [6] todistusta. Lause 3.4 (Schottkyn lause). Olkoot < α < ja β. Tällöin on olemassa vakio C α,β siten, että jos f : B(, ) C on analyyttinen funktio, jolle, / f(b(, )) ja jolle f() α, niin pätee f(z) C α,β, kun z β. Todistus. Riittää todistaa väite tilanteessa, jossa α <, koska jos pätee < α <, niin α voidaan korvata luvulla, jolloin oletukset ovat edelleen voimassa eikä väite ole muuttunut. Oletetaan aluksi, että f() α. Olkoot funktiot F, H ja g kuten lemmassa 3. eli ja F (z) = l(z) πi, H(z) = F (z) F (z) g = log(h),

8 3. PICARDIN LAUSEET missä l = log(f(z)) on haara, jossa tässä todistuksessa Im(l()) < π ja vastaavasti funktio g on se haara, jossa Im(g()) < π. Tällöin siis F () = l() πi = log f() + i Im(l()) log(α) +. π π Merkitään nyt C (α) = log(α) +. Lisäksi saadaan π F () ± F () F () + F () = F () + F () C (α) + C (α). Merkitään nyt C (α) = C (α) + C (α). Nyt jos H(), niin tällöin Vastaavasti jos H() <, niin tällöin g() = log H() + i Im(g()) log H() + π log(c (α)) + π. g() log H() + π ( ) = log + π H() = log( F () + F () ) + π log(c (α)) + π. Merkitään siis C (α) = log(c (α)) + π. Jos a <, niin lemman 3. mukaan joukko g(b(a, ( a ))) sisältää kiekon, jonka säde on L( a ) g (a), missä L on Landaun vakio. Toisaalta lemman 3. mukaan joukko g(b(, )) ei voi sisältää kiekkoa, jonka säde on. Siispä nämä yhdistämällä saadaan g (a) < L( a ), kun a <. Jos a < ja määritellään jana γ = [, a], niin tällöin g (a) g() + g(a) g() C (α) + g (z)dz γ C (α) + a max{ g (z) : z [, a]} C (α) + a L( a ).

3.3. PICARDIN SUURI LAUSE 9 Merkitään nyt C 3 (α, β) = C (α) + β. Tällöin siis jos z β, niin pätee L( β) g(z) C 3 (α, β). Siispä jos z β, niin tällöin f(z) = e πi cosh(g(z)) π cosh(g(z)) e e πe g(z) e πec 3 (α,β). Merkitään nyt C 4 (α, β) = e πec 3 (α,β). Oletetaan seuraavaksi, että < f() <. Tällöin funktio ( f) toteuttaa aiemmin tarkastellun tapauksen oletukset, joten siis f(z) C 4 (, β), kun z β. Siispä f(z) + C 4 (, β). Määritellään siis C α,β = max{c 4 (α, β), + C 4 (, β)}. 3.3. Picardin suuri lause Sitten päästäänkin Picardin suureen lauseeseen, jonka todisti ensimmäisenä Émile Picard, mutta lauseelle on myös myöhemmin löydetty monia alkuperäisestä ideasta poikkeavia todistuksia. Tässä esitetty todistus mukailee lähteen [9] todistusta. Lause 3.5 (Picardin suuri lause). Olkoon r >. Jos z on analyyttisen funktion f oleellinen erikoispiste, niin joukossa C f(b(z, r) {z }) on korkeintaan yksi piste. Todistus. Antiteesi: Olkoot a, b C f(b(z, r) {z }) kaksi eri pistettä. Tarkastellaan funktiota g(z) = f(z + z ) a. b a Tällöin, C g(b(, r) {z }). Lisäksi nähdään, että funktiolla g on oleellinen erikoispiste pisteessä, sillä funktion f ainoa oleellinen erikoispiste on pisteessä z. Casorati-Weierstrassin lauseen perusteella on olemassa lukujono (z n ) siten, että z n ja z n+ < z n < re π kun n ja siten, että g(z n ) <. Määritellään seuraavaksi jono analyyttisiä funktioita F n : B(, ) C, F n (z) = g(z n e πiz ). Tällöin F n (B(, )) C {, } ja F n () = g(z n ) <. Tällöin soveltamalla Schottkyn lausetta funktioihin F n arvoilla α = ja β = saadaan, että on olemassa vakio C siten, että F n (z) C, kun z, erityisesti siis kun z [, ]. Siispä g(zne iθ ) = F n( θ π ) C, kun π θ π, eli siis g(z) C, kun z = z n kaikilla n. Kun pätee z n+ < z < z n, niin pätee myöskin g(z) C, koska jos olisi jokin w, jolle g(w) > C, niin funktion g jatkuvuudesta seuraisi, että funktio g saavuttaa suurimman arvonsa jossakin pisteessä w, jolloin maksimiperiaatteen mukaan g olisi vakio, kun z n+ < z < z n, jolloin myös f olisi vakio, joten siis g(z) C, kun z n+ z z n. Koska tämä pätee kaikilla n ja z n, kun n, niin

3 3. PICARDIN LAUSEET tästä seuraa, että g(z) C, kun < z z. Tästä kuitenkin seuraa, että piste on funktion g poistuva erikoispiste, eikä oleellinen erikoispiste, sillä funktio g on rajoitettu pisteen ympäristössä. Tämä on siis ristiriita, eli antiteesi on väärä. Seuraus 3.6. Jos z on analyyttisen funktion f oleellinen erikoispiste, niin kaikilla r > funktio f saavuttaa yhtä pistettä lukuunottamatta kaikki kompleksitason C pisteet äärettömän monta kertaa joukossa B(z, r). Todistus. Jos jollakin w C on vain äärellisen monta pistettä z B(z, r), jolle f(z) = w, niin tällöin valitsemalla r < min( z : f(z) = w) joukossa B(z, r ) ei ole yhtään pistettä z, jolle f(z) = w. Picardin suuren lauseen mukaan näitä pisteitä on korkeintaan yksi. Todistetaan seuraavaksi Picardin pieni lause. Picardin pienen lauseen todistus. Algebran peruslauseen mukaan ei-vakiolle polynomille p on olemassa z C, jolle p(z ) =. Koska mielivaltaiselle w C myös p(z) w on polynomi, niin tällöin algebran peruslauseen mukaan myös sillä on juuri z C. Tällöin siis p(z ) = w. Siispä jokaisen ei-vakion polynomin kuvajoukko on koko kompleksitaso C. Riittää siis todistaa Picardin pieni lause funktiolle, joka ei ole polynomi. Olkoon funktio f kokonainen funktio, joka ei ole polynomi. Olkoon g(z) = f( ). Koska f ei ole polynomi, niin sen sarjaesitys pisteessä on muotoa z a i z i, i= missä a i äärettömän monella i N, jolloin siis funktion g sarjaesitys pisteessä on muotoa a i z i, i= mistä nähdään, että funktiolla g on oleellinen erikoispiste pisteessä. Tällöin Picardin suuren lauseen mukaan joukossa C g(c {}) = C f(c {}) on korkeintaan yksi piste. Todistusta tarkastelemalla nähdään, että käyttämällä Picardin suuren lauseen sijaan seurausta 3.6 saadaan todistettua itseasiassa Picardin pientä lausetta vahvempi tulos. Seuraus 3.7. Jos funktio f on kokonainen, mutta ei polynomi, niin tällöin f saavuttaa, korkeintaan yhtä pistettä lukuunottamatta, kaikki kompleksitason C pisteet äärettömän monta kertaa. Picardin suurella lauseella on myös seuraava mielenkiintoinen seuraus. Seuraus 3.8. Kokonainen injektiivinen kuvaus f on muotoa missä a, b C. f(z) = az + b,

3.3. PICARDIN SUURI LAUSE 3 Todistus. Todistetaan, että jos f ei ole väitteessä mainittua muotoa, niin tällöin f ei voi olla injektiivinen. Jos f on korkeamman asteen polynomi, niin tällöin derivaatta f on vähintään. asteen polynomi, jolloin algebran peruslauseen mukaan on olemassa z C, jolle f (z ) =. Tällöin siis lemman.8 nojalla f ei voi olla injektio. Jos f ei ole polynomi, niin tällöin siis funktiolla f( ) on oleellinen erikoispiste z pisteessä. Tällöin seurauksen 3.6 mukaan funktio f( ) saavuttaa yhtä pistettä lukuunottamatta kaikki kompleksitason C pisteet äärettömän monta kertaa, eli siis f( ) z z ei voi olla injektio, eli myöskään f ei voi olla injektio.

LUKU 4 Merkintöjä Merkintä Selitys N Luonnollisten lukujen joukko {,,, 3,... } Z + Positiivisten kokonaislukujen joukko {,, 3,... } Q Rationaalilukujen joukko R Reaalilukujen joukko C Kompleksilukujen joukko [a, b] Pisteiden a ja b välinen jana γ : [, ] C, γ(t) = a + (b a)t B(z, r) Avoin kiekko {z C : z z < r} B(z, r) Suljettu kiekko {z C : z z r} 33

Lähdeluettelo [] Robert A. Adams. Calculus : a complete course. Pearson, Toronto, 6th ed edition, 6. [] L. V. Ahlfors and H. Grunsky. Über die blochsche konstante. Mathematische Zeitschrift, 4:67 673, 937. ISSN 43-83. doi:.7/bf6. http: //eudml.org/doc/6874. [3] Ludwig Bieberbach. Über die koeffizienten derjenigen potenzreihen, welche eine schlichte abbildung des einheitskreises vermitteln. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl., page 94 955, 96. [4] André Bloch. Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l uniformisation. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, 7:, 95. http://eudml.org/doc/789. [5] Huaihui Chen and Paul M. Gauthier. On Bloch s constant. Journal d Analyse Mathématique, 69():75 9, Dec 996. ISSN 565-8538. doi:.7/ BF787. https://doi.org/.7/bf787. [6] John B. Conway. Functions of one complex variable. Graduate texts in mathematics. New York,. pr edition, 975. [7] Louis de Branges. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math., 54 (-):37 5, 985. doi:.7/bf398. https://doi.org/.7/ BF398. [8] Peter L. Duren. Univalent functions. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer, New York, 983. [9] Steven R. Finch. Mathematical constants. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press, New York, 3. http://search. ebscohost.com/login.aspx?direct=true&scope=site&db=nlebk&an=58955. [] Mario Gonzalez. Complex Analysis: Selected Topics. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. Taylor & Francis, 99. ISBN 9788478464. [] A. W. Goodman. Univalent functions. Vol.. Mariner, Tampa, Fla., 983. [] Robert E. Greene and Steven G. Krantz. Function theory of one complex variable. John Wiley & Sons, New York, 997. [3] T. H. Grönwall. Some remarks on conformal representation. Annals of Mathematics, 6(/4):7 76, 94. ISSN 3486X. http://www.jstor.org/stable/ 96844. [4] Tero Kilpeläinen. Kompleksianalyysin luentomoniste. http://users. jyu.fi/~terok/opetus/kompleksi/kompleksianalyysi.pdf. Arkistoitu kopio: https://web.archive.org/web/76854/http://users.jyu.fi/ ~terok/opetus/kompleksi/kompleksianalyysi.pdf. 35