1 OHJAILU TYYNESSÄ VEDESSÄ YLEISTÄ LIIKEYHTÄLÖISTÄ KERTOIMIEN MÄÄRITTÄMINEN LUKITULLA PERÄSIMELLÄ ETENEVÄ ALUS,

1 1 OHJAILU TYYNESSÄ VEDESSÄ...1 1.1 YLEISTÄ...1 1.2 LIIKEYHTÄLÖISTÄ...2 1.3 KERTOIMIEN MÄÄRITTÄMINEN...8 1.4 LUKITULLA PERÄSIMELLÄ ETENEVÄ ALUS, SUUNTAVAKAVUUS JA KÄÄNTÖYMPYRÄN SÄDE...9 Laivan rungon päämittasuhteiden vaikutus ohjailuun... 10 1.4.1 Kölin vaikutus suuntavakavuuteen... 10 1.5 OHJAILUKOKEET... 13 1.5.1 Pull-out-koe... 13 1.5.2 Dieudonnen spiraalikoe... 14 1.5.3 Bechin käännetty spiraalikoe... 15 1.5.4 Käännösympyräkoe... 16 1.5.5 Z-koe... 17 1.6 PERÄSINJÄRJESTELMÄ... 19 1.7 VIITTEET... 21 2 LAIVAN JA TUULIAALLOKON VUOROVAIKUTUS... 21 2.1 LINEAARINEN PINTA-AALTOTEORIA... 22 2.1.1 Olettamukset... 22 2.1.2 Reunaehdot... 22 2.1.3 Säännöllinen aalto... 24 2.2 EPÄSÄÄNNÖLLINEN AALTO... 24 2.2.1 Superponointi... 24 2.2.2 Aaltospektri... 25 2.2.3 Idealisoidut aaltospektrit... 27 2.3 LAIVAN LIIKKEET... 29 2.3.1 Käytetty koordinaatisto ja liikekomponentit... 29 2.3.2 Kohtaamistaajuus... 29 2.3.3 Lineaarinen malli laivan liikkeistä säännöllisissä aalloissa ja sen ratkaisu... 30 2.3.4 Epäsäännöllisessä aallokossa toimivan laivan vasteiden laskenta... 33 2.4 ISKUMAISET AALTOKUORMAT... 36 2.5 LIIKEYHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN AIKATASOSSA... 37 2.6 PAKOTETUN SUHTEELLISEN LIIKKEEN MENETELMÄ... 37 2.6.1 Iskumaiset aaltokuormat epäsäännöllisessä aallokossa... 39 2.7 LISÄVASTUS TUULESSA JA AALLOKOSSA... 41 2.7.2 Kulkuvastuslisä pitkissä aalloissa... 42 2.7.3 Kulkuvastuslisä lyhyissä aalloissa... 42 2.8 LASTIN SIIRTYMINEN MERENKÄYNNISSÄ... 43 2.9 VIITTEET... 48

1 1 OHJAILU TYYNESSÄ VEDESSÄ 1.1 YLEISTÄ Seuraavassa esitetään lyhyesti pinta-aluksen ohjailun matemaattinen malli. Aluksen ohjailu on tahdollista liiketilan muuttamista tai säilyttämistä. Ohjailtava laiva muodostaa suljetun säätöjärjestelmän (katso kuva 1), joka pyrkii saamaan aluksen liikkumaan halutulla tavalla. Kaikki tekijät, jotka esiintyvät siinä, vaikuttavat ohjailuun. Aluksen ominaisuuksiin kuuluu tietysti, että saavutettavissa oleva peräsinvoima ja muut voimat vaikuttavat paljon, mutta perämiehen tai autopilotin tapa reagoida navigointilaitteiden informaatioon ja muihin tekijöihin on myös hyvin tärkeää. toivottu liike näyttöjärjestelmä poikkeama perämies, autopilotti komennot ohjauslaitteet (peräsin, potkuri, poikittaistyöntölaite, jne.) ohjausvoima laivan dynamiikka todellinen laivan liike ulkoiset häiröt (luonnonvoimat, pohja- tai seinämävaikutukset, hyvin lähellä liikkuvat muut alukset) Kuva 1 Lohkokaavio laivan ohjailusta Aluksesta, joka on suuntaepävakaa neutraaliasentoon lukitulla peräsimellä, tulee yleensä vakaa kun perämies tai autopilotti vaikuttavat peräsimen liikkeisiin. Jatkossa tullaan käsittelemään pääasiallisesti alusta ja sen ohjailulaitetta. Periaatteet,

2 kuinka perämies vaikuttaa aluksen ohjailuun, voidaan opettaa ohjailusimulaattoreissa, joita on esim. Otaniemessä. Jos alus alunperin on tietyllä kurssilla ja kohtaa ulkoisen häiriön, puhutaan erilaisista vakavuuskäsitteistä riippuen siitä kuinka alus jatkaa kulkuaan, katso kuva 2. ulkoinen häiriö suuntavakavuus suunnan säilytyskyky Kuva 2 Aluksen suuntavakavuus ja suunnan säilytyskyky Ennen kuin mennään eteenpäin määritellään tietyt käsitteet: - suuntavakavuus (engl. straight line stability): alus jatkaa suoraviivaista kulkuaan uudella kurssilla (ainoa vakavuuden muoto, joka on mahdollinen alukselle jolla on kiinteä peräsin), - suunnan säilytyskyky (engl. directional stability): alus jatkaa joko mutkitellen tai ilman mutkia kurssia, joka on yhdensuuntainen alkuperäisen kurssin kanssa. Laivan hyvät ohjailuominaisuudet ovat: - alus on helposti pidettävissä halutulla suunnalla (suuntavakavuus), - alus on helposti käännettävissä uudelle suunnalle, - alus muuttaa nopeasti nopeutta. Laivan dynamiikkaan vaikuttavat tekijät ovat: - ulkoiset kuormat, - aluksen hitaus, - kääntymisvastus, - peräsimen ja potkureiden ohjaavat voimat. 1.2 LIIKEYHTÄLÖISTÄ Liikeyhtälöt esitetään laivaan kiinnitetyssä koordinaatistossa x,y,z, joka on esitetty kuvassa 3. Koordinaatisto on oikeakätinen ja z osoittaa alas.

3 z X u x Y v y N!! = r! = r Kuva 3 Laivan koordinaatisto ja liikekomponenttien määritelmä Ohjailun yhteydessä (tyynessä vedessä) käytetään seuraavia liikekomponentteja: - kiihtyily (surge); liike x-akselin suunnassa nopeudella u, - poikkittaiskiihtyily (sway); liike y-akselin suunnassa nopeudella v, - mutkailu (yaw); kääntyminen z-akselin ympäri, kulmanopeudella r =!, missä ψ on suuntakulma (katso kuva 4). Voimia x- ja y-akselien suunnissa merkitään X ja Y sekä momenttia z-akselin ympäri N. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan että koordinaatiston origo sijaitsee aluksen painopisteessä G. Liikeyhtälöiden johto perustuu Newtonin lakiin, jossa massa * kiihtyvyys = voima ja hitausmomentti * kulmakiihtyvyys = momentti avaruuteen kiinnitetyssä koordinaatistossa (x 0,y 0,z 0 ), joka on esitetty kuvassa 4. 0 u 0! " x 0 G X 0 Y! N = N 0 X v 0 y 0 v y Y 0 u x Kuva 4 Koordinaatistot

4 Liikeyhtälöt ovat silloin m x 0 = X 0 m y 0 = Y 0 I zz! 0 = N 0, (1) missä m on aluksen massa, I zz on laivan massahitausmomentti z-akselin suhteen ja X 0, Y 0 ja N 0 ovat voimat ja momentti avaruuteen kiinnitetyssä koordinaatistossa (ns. inertiakoordinaatisto) (x 0,y 0,z 0 ). Lisäksi oletettiin että aluksen keinunta ja jyskintä (kulmaliikeet x- ja y-akselin ympäri) eivät vaikuta tasoliikkeeseen. Seuraavaksi ilmaistaan voimat X 0, Y 0, momentti N 0 ja aluksen nopeudet u 0 ja v 0 vastaavilla suureilla (X, Y, N, u ja v), jotka ovat laivaan kiinnitetyn koordinaatiston (x,y,z) voimat. ja aluksen nopeuskomponentit X 0 = X cos! " Y sin!, (2) Y 0 = X sin! + Y cos!, (3) u 0 = u cos! " v sin!, (4) v 0 = u sin! + v cos!, (5) Derivoidaan (4) ja (5) ajan suhteen u 0! x 0 = u cos " # v sin " # " u sin " + v cos ", (6) v 0! y 0 = u sin " + v cos " + " u cos " # v sin ". (7) Kerrotaan yhtälöt (2) ja (6) termillä cos ψ ja yhtälöt (3) ja (7) termillä sin ψ. Näin saatuja lausekkeita summataan jolloin saadaan tulokseksi laivaan kiinnitetyn koordinaatiston (x,y,z) x suuntainen liikeyhtälö m u! v " = X. (8) Seuraavaksi kerrotaan yhtälöt (2) ja (6) termillä sin ψ ja yhtälöt (3) ja (7) termillä cos ψ. Näin saatuja lausekkeita vähennetään toisistaan jolloin saadaan tulokseksi laivaan kiinnitetyn koordinaatiston (x,y,z) y suuntainen liikeyhtälö m v + u! = Y. (9) Kolmas liikeyhtälöistä (1) ei muutu koska sekä kulmanopeus! että ulkoinen momentti N 0 ovat riippumattomia koordinaatiston valinnasta. Toisin sanoen voidaan kirjoittaa I zz! = N. (10)

5 Voimat X ja Y ja momentti N ovat riippuvaisia - muista tekijöistä, kuten tuulesta, aalloista ja virtauksesta, - peräsimen liikkeistä, - aluksen liikkeestä veden suhteen. Koska olemme edellyttäneet tyyntä säätä, riippuvat X, Y ja N ainoastaan aluksen ja peräsimen liikkeistä. Näiden voimien ja momenttien käsittelyssä otaksumme seuraavaa: 1. Voimat voidaan ilmaista erilaisten termien summana, esim. Y = Y 1 + Y 2 + Y 3 +... 2. Jokainen näistä termeistä riippuu joistain aluksen nopeus- tai kiihtyvyyskomponenteista. Esimerkiksi Y 1 on translaationopeuden funktio, Y 1 = f(v), Y 2 on translaatiokiihtyvyyden funktio, Y 3 on kulmakiihtyvyyden funktio, jne. 3. Y 1 = f(v) approksimoidaan suoralla, jolloin Y 1 = Y v v missä Y v on vakio (suoran kaltevuus). Samalla tavalla on Y 2 = Y v v, Y 3 = Y r r, missä Y v, Y v ja Y r kutsutaan stabiilisuusderivaatoiksi. Oletetaan, että alus kulkee suoraa kurssia lukitulla peräsimellä. X-suunnassa laivan vastus lisättynä potkurin imuvoimalla (niin sanottu työnnön vähennys /4/) kumoavat potkurin työntövoiman siten, että resultoiva voima X = 0. Y-suuntainen voima ja mutkailumomentti ovat myös nolla, eli Y = N = 0. Oletetaan nyt että alus, joka etenee x-suuntaan nopeudella u, siirtyy myös y- suuntaan vakionopeudella v, katso kuva 5.

6 u!! Y x N N = Y x N v Y Kuva 5. Pitkittäisnopeudella u ja poikittaisnopeudella v etenevään alukseen vaikuttavat voimat ja momentit. Laivalla oleva havainnoija toteaa, että laivan rungon vedenalainen osa kohtaa virtauksen sortokulmassa β. Tämän seurauksena syntyy sivuvoima Y negatiivisen y-akselin suuntaan. Tämä sivuvoima vaikuttaa niin kutsutussa neutraalipisteessä, joka sijaitsee etäisyydellä x N laivan painopisteestä keulaan päin, katso kuva 5. Voima Y ja momentin N välinen yhteys on N = Y x N. (11) Huomaa, että sekä Y että N ovat negatiivisia, koska sekä voima että momentti ovat suunnatut negatiiviseen akselisuuntaan. Jos Y-voima piirretään nopeuden v funktiona, saadaan käyrä, joka on kuvassa 6. Y = Y v v Y v Kuva 6 Sivuvoiman riippuvuus aluksen poikittaisnopeudesta v.

7 Tätä käyrää approksimoidaan nyt suoralla, jonka kaltevuus on!y!v kaltevuus merkitään Y v ja saadaan. Jatkossa tämä Y = Y v v, (12) missä Y v todellisuudessa on negatiivinen, katso kuva 6. Samalla tavalla saadaan momentti N = N v v, (13) missä N v =!N!v yleensä on negatiivinen. Koska x N = N Y = N v Y v (14) seuraa N v :n negatiivisuudesta, että voiman vaikutuspiste (neutraalipiste) sijaitsee laivan painopisteen keulan puolella, katso kuva 5. Positiivinen arvo N v :lle saadaan ainoastaan, jos aluksen perä varustetaan hyvin suurilla vakauttavilla pinnoilla. Seuraavaksi oletetaan, että aluksella on y-suunnassa kiihtyvyys v =!v!t. Voimme esimerkiksi kuvitella aluksella olevan sinimuotoisen liikkeen y- suunnassa samanaikaisesti kun sen nopeus x-suunnassa on u. Ne voimat ja momentti, jotka syntyvät silloin, riippuvat toisaalta nopeudesta v, katso kuvaa 6 ja toisaalta kiihtyvyydestä v. Jos Y ja N mitataan kääntöpisteissä, joissa v = 0, ne ovat ainoastaan riippuvaisia todellisesta kiihtyvyydestä. Mikäli kiihtyvyyttä muutetaan liikkeen amplitudia muuttamalla, voidaan Y ja N-arvot esittää funktioina kiihtyvyydestä v, kuten Y esitettiin v:n funktiona kuvassa 6. Näitä käyriä approksimoidaan suorilla, jolloin saadaan Y = Y v v N = N v v. (15) Samalla tavoin menetellään voimien ja momentin osalta, jotka syntyvät kulmanopeuden r ja kulmakiihtyvyyden r =!r sekä peräsinkulma δ seurauksena.!t Samalla voidaan esittää aluksen liikeyhtälöt seuraavilla differentiaaliyhtälöillä m u = X u u! u 1 + X u u (16) m v + u 1 r = Y v v + Y v v + Y r r + Y r r + Y!! (17) I zz r = N v v + N v v + N r r + N r r + N!!, (18) missä u 1 on alkuperäinen nopeus x-suunnassa. Yhtälöt ovat linearisoidut ja ovat voimassa oikeastaan ainoastaan kun u! u 1, u, v, v, r, r ja " ovat pieniä. Suureita

8 X u, X u, Y v,... N! kutsutaan, kuten mainittu, ohjailun 'hydrodynaamisiksi kertoimiksi', eli 'stabiilisuusderivaatoiksi'. 1.3 KERTOIMIEN MÄÄRITTÄMINEN Hydrodynaaminen kerroin esittää, kuten edellä on mainittu, voiman ja nopeuden tai kiihtyvyyden välistä lineaarista yhteyttä kun muut nopeus- tai kiihtyvyyskomponentit ovat nollia. Staattiset kertoimet Y v ja N v voidaan määrittää vinohinausmallikokein eri sortokulmilla β, katso kuva 7. x! y Starboard Port Kuva 7 Staattisten kertoimien määritys Kokeessa mitataan mallin keulaan ja perään vaikuttavat voimakomponentit X ja Y sekä kääntävä momentti N. Staattiset kertoimet voidaan laskea kun X:n, Y:n ja N:n muutokset esitetään suhteen u/v =! tan " funktiona. Samalla tavalla määritetään voimat ja momentti, kun peräsinkulmaa δ muutetaan sortokulman β ollessa nolla. Peräsimen kertoimet Y δ ja N δ saadaan käyrien Y = f 1 (δ) ja N = f 2 (δ) kaltevuuksina. Dynaamisten kertoimien määrittämiseksi käytetään niin kutsuttua ohjailuoskillaattoria PMM (engl. Planar Motion Mechanism). Jos mallille aikaansaadaan pelkkä poikittaisliike (ilman mutkailua) kuten kuvassa 8, voidaan kertoimet Y v ja N v määrittää (kuten osoitettiin kappaleessa 2). Kuva 8 Mallin poikittaisliikkeen PMM-koe Jos taas mallille aikaansaadaan pelkkä mutkailuliike (ilman poikittaisliikettä), on mallin pitkittäinen symmetriataso aina liikeradan tangentin suuntainen (katso kuva 9).

9 Kuva 9 Mallin mutkailun PMM-koe Voimat X ja Y sekä momentti N mitataan, jolloin kertoimet Y r, Y r, N r ja N r voidaan määrittää. Kertoimia!Y v ja!n r nimitetään lisätyksi massaksi ja lisätyksi hitausmomentiksi, koska ne ovat samassa vaiheessa hitausvoimien kanssa. Niiden aiheuttamia voimia arvioitaessa voidaan suuruusluokkatarkasteluna esittää: Y v! -m ja N r! -I zz. (19) 1.4 LUKITULLA PERÄSIMELLÄ ETENEVÄ ALUS, SUUNTAVAKAVUUS JA KÄÄNTÖYMPYRÄN SÄDE Katsotaan ensin mitä tapahtuu, kun alus on suoralla kurssilla ja asetetaan alttiiksi häiriölle. Liikeyhtälöiden (17 ja 18) ratkaisu sisältää silloin häiriötermit e! 1t ja e! 2t. Jos joko σ 1 tai σ 2 on positiivinen, saadaan ratkaisu, jossa häiriö kasvaa eksponentiaalisesti ajan funktiona, mikä merkitsee, että alus on epävakaa. Jos ne molemmat ovat negatiivisia, pienenevät häiriöt ajan funktiona ja lähestyvät nollaa. Alus on silloin edennyt uutta suoraa kurssia, joka poikkeaa alkuperäisestä kurssista, eli alus on suuntavakaa. Kriteeri suuntavakavuudelle on, että stabiilisuusindeksi on positiivinen, eli /2/ N r Y v! N v Y r! V m > 0, (20) missä V on aluksen vauhti. Tämän lausekkeen fysikaalinen tulkinta on seuraava. Koska translaationopeuden v aiheuttama sivuvoima vaikuttaa neutraalipisteessä eli etäisyydellä x N laivan painopisteestä keulaan päin, pätee N v = Y v x N (21) ja stabiilisuusindeksi voidaan kirjoittaa muotoon x N < N r Y r! V m (22) mikä edellyttää, että suuntavakaan laivan neutraalipiste sijaitsee kriittisen pisteen x kr perän puolella, missä

10 x kr = N r Y r! V m. (23) Eri laivojen kriittisen pisteen paikka vaihtelee, mutta on useimmissa tapauksissa suuruusluokkaa x kr = (0.1...0.3) L. Huomaa että N r on aina negatiivinen joten x kr on aina positiivinen, eli sekä kriittinen piste että neutraalipiste sijaitsevat laivan painopisteestä keulaan päin. Laivan rungon päämittasuhteiden vaikutus ohjailuun Aluksen päämittasuhteet (L/B, C B, B/T ja L/T) vaikuttavat rungon hydrodynaamisiin kertoimiin ja samalla laivan suuntavakavuuteen. Taulukossa 1 on esitetty suuntavakavuuden muutossuunta yhden päämittasuureen kasvaessa samalla pysyessä muiden vakiona /3/. Taulukko 1 Päämittojen vaikutus suuntavakavuuteen Pituus Leveys Syväys Täyteläisyys Suuntavakavuus kasvaa sama sama sama paranee sama kasvaa sama sama heikkenee sama sama kasvaa sama paranee sama sama sama kasvaa heikkenee 1.4.1 Kölin vaikutus suuntavakavuuteen Oletetaan nyt, että varustetaan olemassa oleva alus kölilla, joka sijoitetaan laivan perään pisteeseen x D. Koska x D on negatiivinen, on kölin ja painopisteen etäisyys -x D. Pelkässä translaatioliikkeessä nopeudella v y-suunnassa syntyy lisävoima ΔY negatiiviseen y-suuntaan. Tämä voima kasvattaa sivuvoimaa Y v v ja pienentää momenttia N v v siten, että kokonaissivuvoiman vaikutuspiste siirtyy perää kohti, katso kuva 10.

11 x! N Y y " x D #Y Kuva 10. Kölin vaikutus translaatioliikkeessä. Pelkässä kulmaliikkeessä kulmanopeudella r keula- ja perälaiva kohtaavat virtauksen eri puolilta, kuva 11. x N Y y! x D "Y Kuva 11. Kölin vaikutus kulmaliikkeessä. Köli aikaansaa lisävoiman positiiviseen y-suuntaan, joka pienentää negatiivisen voiman Y r r suuruutta, mutta kasvattaa negatiivisen momentin N r r suuruutta, koska x kr = N r / Y r! V m merkitsee edellä esitetty, että x kr kasvaa. Yhteisvaikutus on, että kölin kasvattaminen pienentää x n :ää ja samanaikaisesti kasvattaa x kr :ää, eli aluksen suuntavakavuus paranee. Olemassa olevalle alukselle sama vaikutus voidaan aikaansaada kasvattamalla painolastia ja

12 sen seurauksena aluksen viippauskulmaa perään. Lateraalipinnan muodon muutoksella on samanlainen vaikutus kuin kölin kasvattamisella. Oletetaan nyt, että aluksella on tasainen vauhti ja suora kurssi. Sen jälkeen annetaan peräsimelle tietty kulma δ ja alus asettuu välivaiheen jälkeen vakiosäteiselle ympyräradalle. Käännösympyrän säteen R, peräsinkulman δ, kertoimien Y δ ja N δ ja muiden kertoimien välinen yhteys voidaan laskea liikeyhtälöiden avulla. Olettamalla, että peräsinvoima Y δ δ vaikuttaa etäisyydellä -x R painopisteestä perään päin, voidaan dimensioton kääntöympyrän säde R/L, missä L on aluksen pituus, esittää muodossa R L = suuntavakavuusindeksi Y v Y!! x N " x R, (24) missä suuntavakavuusindeksi on N r Y v! N v Y r! V m. (25) Kuten edellä on mainittu (lauseke 20), jotta alus olisi suuntavakaa peräsimen ollessa lukittuna, suuntavakavuusindeksin pitää olla positiivinen. Kaava 24 osoittaa että kääntöympyrän säde suuntavakaalla aluksella pienentyy kun - suuntavakavuusindeksi pienentyy, eli erittäin suuntavakaa alus ohjailtuu huonommin kuin vähemmän suuntavakaa alus (vertaa pitkäkölinen purjealus ja lyhytkölinen purjealus), - kerroin Y δ kasvaa, eli silloin peräsimestä tulee tehokkaampi, - peräsinkulma δ kasvaa, - etäisyys neutraalipisteen ja peräsimen välillä kasvaa. Suuntaepävakaalla aluksella ei ole vastaavaa yhteyttä. Jos suuntaepävakaa alus on käännösliikkeessä, se saattaa jatkaa kääntymistään, vaikka peräsin käännettäisiin vastakkaiselle puolelle, katso kappale 5. Jos peräsintä siirretään eteenpäin, kasvaa kääntöympyrän säde kunnes x R = x N, jolloin siitä tulee äärettömän suuri. Mikäli peräsin olisi sijoitettu neutraalipisteeseen, eli (0.2...0.3) L painopisteen keulan puolelle, ei se kykenisi aiheuttamaan alukselle mutkailuliikettä. Peräsimen tehokkuus riippuu siten suuressa määrin siitä, että se sijaitsee pitkällä perässä. Pääasiassa ne hydrodynaamiset voimat, jotka antavat alukselle

13 sen ohjailuliikkeet, aiheutuvat aluksen rungosta. Peräsimen pääasiallisena tehtävänä on kääntää runkoa sopivaan asentoon virtaukseen nähden. Koeajon yhteydessä suoritettujen käännöskokeiden tuloksia voidaan käyttää hyväksi pyrittäessä ennakolta arvioimaan kääntymiskulmanopeus ja peräsinkulma mutkaisilla väyläosuuksilla. Kääntymiskulmanopeuden, joka mitataan, tulisi olla suuruusluokkaa r =!!!t " V R 180 " [aste/s], (26) missä V [m/s] on aluksen vauhti ja R [m] on väylän kaarevuussäde. R:n ja peräsinkulman δ välillä vallitsee likimääräisesti yhteys! =! P R R P, (27) missä R P ja δ P ovat koematkalla mitatut käännösympyrän säteen ja peräsinkulman arvot. Käännöskoe antaa myös kuvan nopeuden pienentämisestä käännöksen aikana. Lastialuksen koeajo suoritetaan yleensä painolastitilanteessa. Jos syväysero eri lastitilanteessa on huomattava, voi jopa ohjailuominaisuuksissa olla eroa - erityisesti viippauksella voi olla suuri merkitys. Jos alus on varustettu kulmanopeushyrrällä, on miehistöllä kuitenkin mahdollisuus tyynessä vedessä tarkastella aluksen ohjailuominaisuuksia tarkastelusyväydellä. Saattamalla alus mutkailuliikkeeseen tunnetulla nopeudella ja peräsinkulmalla ja lukemalla resultoiva mutkailukulmanopeus r, voidaan käännösympyrän säde laskea kaavasta R = V r 180! [m], missä kulmanopeuden r yksikkönä on aste/s. Vertailu koematkatuloksiin antaa kuvan mahdollisista eroista. 1.5 OHJAILUKOKEET Laivan riittävän suuntavakavuuden ja ohjailukyvyn tarkistamiseksi suoritetaan uusille laivoille ohjailukokeita koeajon yhteydessä. Tavallisimmat ohjailukokeet on esitelty seuraavassa. 1.5.1 Pull-out-koe Aluksen suuntavakavuutta voidaan yksinkertaisimmin tarkastella ns. Pull-Outkokeella. Kokeessa aluksen kääntyessä vakiokulmanopeudella käännetään ohjailulaite keskiasentoon. Koe tehdään yleensä molempiin suuntiin. Mikäli alus on

14 suuntavakaa, aluksen kääntymisnopeus pienenee ajan funktiona (katso kuva 12) nollaan tai arvoon, joka on sama sekä BB- että SB- puoleiselle käännökselle. Mikäli jäännöskulmanopeuksien arvoissa on eroa, alus on suuntaepävakaa. Koe voidaan helposti suorittaa normaalin kääntöympyräkokeen lopuksi.! [ast/s] SB suuntaepävakaa suuntavaakaa aika [s] BB Kuva 12 Pull-out-koe 1.5.2 Dieudonnen spiraalikoe Dieudonnen spiraalikokeessa ajetaan useilla vakioperäsinkulma-asetuksilla, ja saavutettava vakiokääntymisnopeus (katso kuva 13) rekisteröidään kullekin peräsinkulmalle. vakiintunut käännös 10 0 5 0 peräsin15 0 Kuva 13 Dieudonnen spiraalikoe

15 Jos yhtä peräsinkulmaa vastaa aina tietty kääntymisnopeus, on alus suuntavakaa (paksumpi viiva kuvassa 14). Jos käyrässä esiintyy kuvan 14 kaltainen hystereesialue, on alus epävakaa. Pienillä peräsinkulmilla alus voi kääntyä peräsintään vastaan, peräsinkulma/kääntymisnopeus-suhde ei ole yksikäsitteinen. Hystereesialueen leventyessä kasvaa aluksen epävakavuus. kääntymisnopeus -r suuntaepävakaa suuntavakaa SB BB peräsinkulma! Kuva 14 Dieudonnen spiraalikokeen tulos 1.5.3 Bechin käännetty spiraalikoe Jos spiraalikoe tehdään käänteisesti, eli haetaan tiettyä kulmanopeutta vastaava peräsinkulma, saadaan määritettyä käyrän muoto myös hystereesi-alueella.

16 kääntymisnopeus -r suuntaepävakaa suuntavakaa SB BB peräsinkulma! Kuva 15 Bechin käännetyn spiraalikokeen tulos Tätä koetta nimitetään Bechin käännetyksi spiraalikokeeksi (katso kuva 15). 1.5.4 Käännösympyräkoe Yleisesti ottaen suuntavakaa alus kääntyy huonommin kuin suuntaepävakaa alus. Siten kaikki suuntavakavuutta parantavat muutokset yleensä huonontavat kääntymiskykyä. Kääntymiskykyä mitataan kääntöympyräkokeella. Yleensä maksimiperäsinkulmalla tehtävästä kääntöympyrästä mitataan seuraavat muuttujat (katso kuva 16): - etenemä (engl. advance), - siirtymä (engl. transfer), - taktisen ympyrän halkaisija (engl. tactical diameter), - vakiintunut kääntöhalkaisija (engl. steady diameter), - sortokulma β, - nopeus V käännöksen aikana.

17 peräsin "kaikki oikealle" etenemä siirtymä taktisen ympyrän halkaisija vakiintunut kääntösäde! V Kuva 16 Käännösympyräkoe 1.5.5 Z-koe Kääntymiskyvyn lisäksi varsinkin aluksen peräsinvastetta ja hallittavuutta mittaava ohjailukoe on Z-koe, jota kutsutaan myös ZigZag-kokeen nimellä. Kokeen suoritustapa on seuraava (katso kuva 17): - Alus kulkee vakionopeudella suoralla kurssilla. - Käännetään peräsin sovittuun kulmaan, esim. 10 [ast]. - Kun keulasuunnan kulmamuutos on sama kuin peräsinkulma, käännetään peräsin vastakkaiselle puolelle samaan kulmaan (engl. checking angle). - Kun laiva on kääntynyt 10 astetta, käännetään peräsin taas vastakkaiselle puolelle, jne.

18 y 0 /L 2 1 Starboard 30 -!, " [deg] overshoot yaw angle 20 y 0 /L 10 overshoot width of path! " 0-1 -2 0-10 -20 Port -30 1 2 3 4 5 reach period 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 time [min] Kuva 17 Z-koe Z-kokeesta saatavat tärkeimmät parametrit ovat: - suuntakulman ylitys (engl. overshoot yaw angle), [deg], - liikeradan leveys (engl. width of path), [m], - peräsimen 1. ja 2. kääntämishetken välinen aika (engl. initial turning time), [s], - kääntymisjakson aika (engl. period), [s]. Suuntakulman ylitys ja liikeradan leveys kuvaavat aluksen vastetta peräsinkulman muutoksiin. Peräsimen kääntämishetkien välinen aika kuvaa aluksen kykyä muuttaa nopeasti suuntaansa. Yleisesti ottaen 1. ja 2. kääntämishetken välinen aika pienenee tehokkaammalla ohjailulaitteella ja suuntavakavuuden huonontuessa. Ylityskulma pienenee, kun suuntavakavuus paranee. Se kasvaa, kun peräsimen tehokkuus paranee. Liikeradan leveys pienenee kun ohjauslaite tehostuu tai alus muuttuu suuntavakaammaksi /2/. Z-kokeen tulokset ovat voimakkaasti nopeusriippuvaisia. Nopeuden kasvaessa peräsimen 1. ja 2. kääntämishetken välinen aika pienenee, suuntakulman ylitys ja liikeradan leveys kasvaa /2/. Edellä kuvatut kääntöympyrä-, spiraali- ja Z-koe yhdessä pysäytyskokeiden kanssa muodostavat kokonaisuuden, joka on katsottu riittäväksi aluksen ohjailuominaisuuksien määrittämiselle. Näiden standardiohjailukokeiden

19 suoritustapa ja olosuhteet on määritelty (esim. ITTC-74), ja saatuja tuloksia voidaan verrata aikaisemmissa kokeissa saatuihin arvoihin. Koetulokset ovat sellaisenaan tärkeä apu aluksen käyttäjille. IMOresoluution A.601(15) mukaan aluksen käyttäjillä on oltava määrätyt tiedot aluksen ohjailuominaisuuksista, ja niiden määrittäminen tapahtuu standardiohjailukokein. Koska ohjailuominaisuudet ovat herkkiä lastitilanteen, nopeuden ja ympäristöolosuhteiden muutoksille, on tiedot komentosillalle ilmoitettava useissa eri tilanteissa. Kaikki ohjailukokeet ovat herkkiä aluksen nopeudelle. Tästä syystä nopeuden kasvaessa yli arvon F n 0.2, on tärkeää tehdä kokeita useilla eri nopeuksilla /2/. Kokeet voidaan suorittaa joko täysmittakaavassa tai vapaasti uivalla laivamallilla. Kokeet voidaan myös simuloida, jos käytössä on sopiva matemaattinen malli tarvittavine kertoimineen. 1.6 PERÄSINJÄRJESTELMÄ Konventionaalisen peräsimen aikaansaama sivuvoima L tietyllä kohtauskulmalla voidaan esittää seuraavasti: L = 1 2! V2 C L A R, (28) missä V on peräsimen etenemisnopeus, A R on peräsimen pinta-ala ja C L on nostevoimakerroin. Nostekertoimen C L muutos kohtauskulman δ funktiona on esitetty kuvassa 18. Kuten havaitaan, muuttuu C L melkein lineaarisesti δ:n funktiona tiettyyn kriittiseen kulmaan saakka. Kun δ > δ kr ei virtaus enää pysy kiinni peräsimen pinnassa vaan irtoaa. Voima L pienenee, virtauksesta tulee epävakaa ja värähtelyjä saattaa esiintyä. C L riippuu kuvan 18 mukaisesti myös niin kutsutusta sivusuhteesta, joka on määritelty! = b2 A R = b c, (29) missä b on nostepinnan (peräsimen) korkeus ja c on sen kärkisuoran keskiarvo.

20 C L 1,2 1,4 " 5 2 1,33 1,0 0,80 0,67 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 10 20 30 40! [ast] Kuva 18. Peräsinkulman δ ja sivusuhteen Λ vaikutus peräsimen nostevoimakertoimeen Matala peräsin, jolla on suuri kärkisuora, aikaansaa siten merkittävästi pienemmän peräsinvoiman kuin korkea ja kapea peräsin, jolla on sama pinta-ala. Koska peräsin sijaitsee aluksen vanavedessä, jossa virtausnopeus on hidastunut, vaikuttaa se myös peräsinvoimaa vähentävästi. Yleensä potkuri kuitenkin sijaitsee peräsimen etupuolella ja potkurin virtausta kiihdyttävä vaikutus kasvattaa peräsinvoimaa oleellisesti. Tällä on erityistä merkitystä pienillä etenemisnopeuksilla kun potkurin työntövoiman hetkellisellä lisäämisellä voidaan kasvattaa voimakkaasti peräsinvoimaa. Kaksipotkurialuksella, jonka peräsin on symmetriatasolla, on alhaisen virtausnopeuden takia usein erittäin huonot ohjailuominaisuudet. Nykyisin kaksipotkurialukset varustetaan useimmiten potkurin jättövirtaukseen. Peräsinvoiman L vaikutuspiste sijaitsee suunnilleen etäisyydellä 0.25 c johtoreunasta kun sivusuhde on suuri, mutta siirtyy jättöreunaa kohti pienemmillä Λ:n arvoilla. Yleensä peräsinakseli sijoitetaan peräsinvoiman vaikutuspisteen etupuolelle. Tuolloin sanotaan, että peräsin ei ole tasapainoitettu. Jotta peräsinakselimomentti ei kasvaisi liian suureksi, mikä merkitsisi suurempia vaatimuksia peräsinkoneen teholle, ei peräsinakselin ja peräsinvoiman vaikutuspisteen etäisyys saa olla liian suuri. Peruutettaessa laiva ja peräsin kohtaavat takaa tulevan virtauksen. Neutraalipiste siirtyy laivan painopisteen peräpuolelle ja peräsimen ohjailukyky pienenee oleellisesti. Tiettävästi peräsin kohtaa tuolloin melko häiriintymättömän virtauksen, mutta terävän jättöreunan kohtaessa virtauksen tapahtuu irtoaminen

21 aikaisemmin. Keulaperäsin (esimerkiksi lautat), josta on vain vähän etua eteenpäin ajettaessa, on tehokas peruutettaessa. Yksi tapa parantaa aluksen ohjailukykyä on korvata konventionaalinen peräsin potkurin ympärille sijoitettavalla käännettävällä suulakkeella /4/. Samalla peräsinasetuksella on suulakkeen ohjailuvoima huomattavasti konventionaalista peräsintä parempi. Suulake parantaa lisäksi potkurin hyötysuhdetta. Viitteissä /2/ ja /3/ on annettu peräsimien tyyppejä ja niiden suunnitteluohjeita. 1.7 VIITTEET 1. Dyne, G. Fartygs framdrivning, manövrering och sjöegenskaper. Kompendium i Skeppshydromekanik. Institutionen för Marin hydrodynamik i augusti 1989.Chalmers tekniska Högskola. 2. Lewis, E.V., ed. Principles of Naval Architecture. New York 1988, SNAME. Vol. III Motions in Waves and Controllability. 3. Laivojen ohjailu ja navigointi. INSKO 20-22.1.87 4. Matusiak, J. Laivan propulsio. Teknillinen korkeakoulu, laivalaboratorio. Otaniemi 1993. M-176. 2 LAIVAN JA TUULIAALLOKON VUOROVAIKUTUS Laiva harvoin toimii tyynen veden ideaalitilanteessa. Laivan ja tuuliaallokon vuorovaikutusta on totuttu kutsumaan merikelpoisuudeksi (engl. seakeeping), joka käsitteenä on laaja ja jossakin määrin epämääräinen. Tällä vuorovaikutuksella on monenlaisia vaikutuksia aluksen operointiin. Tämä vuorovaikutus johtaa alukseen kohdistuviin kuormiin ja liikkeisiin. Kuormat rasittavat rakennetta. Liikkeiden seurauksena on miehistön työskentelykyvyn ja matkustajien mukavuuden aleneminen. Lisäksi liikkeet saattavat vaarantaa laivan turvallisuutta, varsinkin jos niiden seurauksena tapahtuu lastin siirtymistä. Keulan alueella tapahtuva lyhyiden aaltojen heijastuminen tai pitkissä aalloissa aluksen ja vedenpinnan suhteellinen liike johtavat kulkuvastuksen kasvuun. Tämä ns. lisävastus saattaa nousta jopa suuremmaksi kuin tyynen veden vastus. Koska laivan ja tuuliaallokon vuorovaikutus vaikuttaa niin monella tavalla laivan toimintaan merikelpoisuus on laaja käsite.

22 Edellä esitetty johdatus aiheeseen ei pyri käsittelemään yksityiskohtaisesti kaikkia yllä luokiteltuja ilmiöitä. Sen sijaan käsitellään ne perusasiat ja matemaattiset mallit, jotka ovat yhteisiä kaikille osa-alueille. Nämä asiat ovat: tuuliaaltojen lineaarinen teoria ja meriympäristön epäsäännöllinen aallokkomalli, aluksen lineaariset liikkeet ja niiden laskennallinen malli, iskumaiset aaltokuormat, laivan lisävastus aallokossa. 2.1 LINEAARINEN PINTA-AALTOTEORIA 2.1.1 Olettamukset Käsitellään kaksiulotteista virtausta, joka on kitkaton ja pyörteetön eli potentiaalinen. Valitsemme karteesisen inertiakoordinaatiston (X, Z), jonka origo sijaitsee vapaalla ja tyynellä veden pinnalla. Virtausta kuvaa Laplacen yhtälö! 2 " =!2 "!X +!2 " = 0. (1) 2!Z2 Nopeuspotentiaalin ja virtausnopeuksien välinen yhteys on seuraava u =!!!X, w =!!!Z. (2) Oletamme lisäksi että vesi on syvää. 2.1.2 Reunaehdot A Z ζ(x) p = p a S F X λ Kuva 1 Kosinimuotoinen tuuliaalto.

23 Vapaan nestepinnan fysikaalista käyttäytymistä kuvataan kahdella reunaehdolla, jotka pätevät muodoltaan tuntemattomalla pinnalla S F (katso kuva 1). Ensimmäisessä ehdoista eli niin sanotussa 'kinemaattisessa reunaehdossa' veden virtausnopeus rajapinnalla pinnan normaalisuunnassa on yhtä suuri kuin rajapinnan nopeus. Tämä vaatimus merkitsee samalla, että vapaalla pinnalla sijaitsevat vesipartikkelit pysyvät veden pinnalla. Tämä kinemaattinen reunaehto on siis läpitunkemattomuusehdon erikoistapaus. Lineaarisoitu versio kinemaattisesta reunaehdosta on!!!t =!"!Z, (3) missä pinnan normaalivektorin suunta voidaan olettaa pystysuoraksi, koska aaltojen kaltevuus oletetaan hyvin pieneksi. Toinen ehdoista, jota kutsutaan 'dynaamiseksi ehdoksi', edellyttää, että paine rajapinnan molemmin puolin on yhtä suuri. Dynaaminen reunaehto eli vaatimus, että nesteen vapaalla pinnalla hydrodynaaminen paine olisi samansuuruinen kuin ilmakehän paine, voidaan ilmaista käyttäen Bernoullin yhtälöä seuraavasti! 1 " p! p a =!#!t + 1 2!#!X 2 +!#!Z 2 + g $ = 0 (4) eli! = " 1 g!#!t + 1 2!#!X 2 +!#!Z 2 = 0. (5) Dynaaminen reunaehto linearisoidaan jättämällä epälineaariset nopeustermit pois ja tulokseksi saadaan! = " 1 g!#!t. (6) Derivoidaan (6) ajan suhteen ja sijoitetaan kinemaattiseen reunaehtoon (3) saadaan lauseke! 2!!t + g!! = 0, (7) 2!Z joka kuvaa molempia nesteen vapaan pinnan reunaehtoja. Reunaehtojen lineaarisointi tarkoittaa, että epälineaariset termit yhtälöissä jätettiin kokonaan käsittelyn ulkopuolelle ja lisäksi reunaehtoja sovelletaan tasolle Z = 0 eikä todelliselle veden pinnalle Z = ζ(x,t).

24 2.1.3 Säännöllinen aalto Yksinkertaisin Laplacen yhtälön (1) ratkaisu, joka toteuttaa reunaehdon (7) on muodoltaan seuraava! = g A " ek Z sin(k X # " t), (8) missä A on pinta-aallon amplitudi, k =!/V p =! 2 /g = 2 "/# on aaltoluku, λ on aallon pituus. Syvässä vedessä aallon kulmataajuudella ω ja pituudella λ on seuraava riippuvuus! = 2"g #. (9) Sijoittamalla nopeuspotentiaali (8) reunaehtoon (6) saadaan aallon pinnan koordinaatille yhtälö!(x,t) = A cos (k X " # t). (10) aallon etenemissuunta 0!/2! 3!/2 2! (k X " # t) Kuva 2 Sinimuotoinen pinta-aalto ja virtausnopeudet (Newman 1977). 2.2 EPÄSÄÄNNÖLLINEN AALTO 2.2.1 Superponointi Lineaarisuuden ansiosta on mahdollista esittää monia taajuuskomponentteja sisältävä meriaallokko, eli ns. epäsäännöllinen aallokko, sinimuotoisten osakomponenttien summana

25!(X,t) = N! i = 1 A i cos (k i X " # i t + $ i ). (11) S(") aaltospektri!(t) osakomponenttien summa t aalto aikatasossa sinimuotoiset osakomponentit, joilla on satunnaiset vaihekulmat Kuva 3 Aaltospektri ja epäsäännöllisen meriaallokon osakomponentit. Merialuekohtaisten aallokkojen mittausten tilastollinen käsittely on johtanut epäsäännöllisten aallokkojen malleihin, joita esitetään aaltospektrien S(ω) avulla. 2.2.2 Aaltospektri Aaltospektri on jatkuva taajuuden funktio, joka kertoo mikä on eri aalto-osakomponenttien osuus epäsäännöllisessä aallokossa (katso kuva 3). Kuvassa 4 on esitetty aaltospektri, joka on edustettu sadalla osakomponentilla. Aaltospektrin ordinaatta kuvaa ω-taajuisen komponenttiaallon energiaa. Ordinaatta S(ω) on verrannollinen ω-taajuisen komponenttiaallon amplitudin neliöön. Jokaisen aalto-osakomponentin amplitudi on siis A i = 2 S(! i ) "! i. (12)

26 3.5 S(!) [m^2 s] 3 2.5 2 1.5 S(!) "! 1 0.5 0 0.4 0.6! 0 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 "!! [rad/s] Kuva 4 Aaltospektri ja osakomponentin amplitudin määritys. Merenkäynnin keskimääräinen kokonaisenergia pinta-alayksikköä kohti on E =! g 0! S(") d". (13) Spektrin alle jäävä pinta-ala on epäsäännöllisen aallokon (11) varianssi m 0 = 0! S(!) d! " 1 2 N 2! " i i = 1 = E # g. (13) Niin sanottu merkitsevä aallon korkeus (engl. significant wave heigth), joka on aallokon korkeimman kolmanneksen keskiarvo, saadaan varianssista (13) seuraavasti H 1/3 = 4 m 0. (14) Merkitsevän aallon korkeudeksi käytetään myös symbolia H S. Spektrin huippuarvoa vastaava taajuuden arvo ω 0 (katso kuva 4) määrää niin sanotun modaaliperiodin arvon T 0 = 2 π/ω 0. (15) Muita aaltospektriä kuvaavia parametreja ovat ns. spektrin momentit. Niin sanottu n:s momentti lasketaan seuraavaksi

27 m n = 0!! n S(!) d!. (16) Momenttien avulla lasketaan keskimääräinen aaltojen jakso T 1 = 2! m 0 /m 1 (17) ja nollatason ylitysten jakso T Z = 2! m 0 /m 2. (18) 2.2.3 Idealisoidut aaltospektrit Merillä suoritettujen lukuisten aallokoiden mittausten tilastollinen analyysi on johtanut analyyttisillä lausekkeilla edustettujen aaltospektrien kehitykseen. 2.2.3.1 ISSC-aaltospektri ISSC (International Ship and Offshore Structures Congress) ja ITTC (International Towing Tank Conference) ehdottavat avomeren meriympäristöä mallitettavaksi ns. ISSC aaltospektrillä, joka on muodoltaan S(!) = 171.44 H 2 1/3 exp " 685.76 [m 2 s] (19) T 4 1! 5 T 4 1! 4 2.2.3.2 JONSWAP-aaltospektri Eräs mittauksiin pohjautuva idealisoitu aaltospektri on niin sanottu JONSWAP- (Joint North Sea Wave Project) aaltospektri. ITTC suosittelee tätä spektriä käytettäväksi kun kyseessä on rajoitettu merialue. JONSWAP-spektri on annettu lausekkeella missä S(!) = 155 H 2 1/3 exp " 944 3.3 # [m 2 s] (20) T 4 1! 5 T 4 1! 4! = exp " #/# 0 " 1 2 $ 2 (21) ja! = 0.07 kun "! 5.24/T 1! = 0.09 kun " > 5.24/ T 1. (22)

28 JONSWAP-spektri voidaan myös laskea joko annetun merkitsevän aallon korkeuden H 1/3 ja periodin T 1 avulla tai tuulen nopeuden U [m/s] ja pyyhkäisymatkan X [m] avulla. Jälkimmäisessä tapauksessa spektri on annettu lausekkeella S(!) = " g2! 5 exp # 5 4! 0! 4 3.3 $ [m 2 s], (23) missä Philipsin luku α ja modaalitaajuus ovat! = 0.076 g X U 2 " 0.22 ja #0 = 7 $ g U g X U 2 " 0.33. (24) Kuvassa 5 on esitetty sekä ITTC:n että JONSWAP-tyyppinen aaltospektri. Molempien spektrien alle jäävät pinta-alat ovat yhtä suuret. Niiden merkitsevät aaltokorkeudet ovat H 1/3 = 4.9 m ja keskimääräiset aaltojen jaksot T 1 = 7.7 s. JONSWAP-spektri vastaa tuulen nopeutta 20 m/s ja 150 km pyyhkäisymatkaa. 6 S(!) 5 [m^2 s] 4 JONSWAP 3 ITTC 2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2! [rad/s] Kuva 5 JONSWAP- ja ITTC-spektrit, H S = 4.9 m, T 1 = 7.7 s. Kuten kuvasta nähdään rajoitettu merialue tarkoittaa lyhyempiä ja jyrkempiä aaltoja. Kehittynyt aallokko (ITTC-spektri) sisältää enemmän pitkiä aaltoja. Aallokot eivät ole yhtä jyrkkiä kuin JONSWAP-spektrin aallot.

29 2.3 LAIVAN LIIKKEET 2.3.1 Käytetty koordinaatisto ja liikekomponentit Laivan liikettä kuvataan kuudella vapausasteella (katso kuva 6). Koordinaatiston origo sijaitsee kohdassa, joka on laivan painopisteen sijainti kun alus etenee tyynessä vedessä (piste G kuvassa 6). Oikeakätisen kariteesikoordinaatiston x- akseli osoittaa keulaan, z-akseli alas ja y-akseli oikealle. Tämä koordinaatisto liikkuu laivan kanssa vakionopeudella, eikä se seuraa aallokoista johtuvia laivan liikkeitä. Hetkelliset laivan painopisteen poikkeamat pysyvästä asemasta G määräävät aluksen kiihtyilyä (x G' tai x 1, engl. surge ), huojuntaa (y G' tai x 2, engl. sway) ja kohoilua (z G' tai x 3, engl. heave). Huomaa että kuvassa 6 näillä liikekomponenteilla on hetkellisesti negatiivisia arvoja. G' x 1 y x 2 x 6 " x G G' x 5 x #! x 4 G' G x 2 y z x 3 z x 3 Kuva 6 Laivan liikekomponentit. Kulmaliikettä x-akselin ympäri kutsutaan keinunnaksi (φ tai x 4, engl. roll). Kulmaliikkeitä y- ja z-akselien ympäri kutsutaan jyskinäksi (θ tai x 5, engl. pitch) ja mutkailuksi (ψ tai x 6, engl. yaw). 2.3.2 Kohtaamistaajuus Laiva kohtaa aaltoja ns. kohtaamiskulmalla β (katso kuva 7).

30! X Y V p " V x y Kuva 7 Kohtaamiskulman määritelmä. Laivan kohtaamilla aalloilla on ns. kohtaamiskulmataajuus. Tämä taajuus on riippuvainen aaltojen kulmataajuudesta ω, laivan kurssista β aaltoihin nähden ja laivan nopeudesta V lausekkeen! e =! 1"!V g cos # (26) mukaisesti. Toisin sanoen kun aallon taajuus inertiakoordinaatistossa on ω, aluksen vasteiden taajuus on ω e. 2.3.3 Lineaarinen malli laivan liikkeistä säännöllisissä aalloissa ja sen ratkaisu 2.3.3.1 Oletukset Lineaarisessa laivan liikkeiden mallissa oletetaan, että laivan liikkeet ovat pieniä. Hydrostaattisia voimia ja momentteja mallitetaan alkuvakavuuden approksimaatiolla. Aaltojen aiheuttamien herätevoimien mallittamisessa käytetään samaa lineaarisointia kuin yllä kuvatussa lineaarisessa pinta-aaltoteoriassa. Toisin sanoen aaltojen amplitudin oletetaan olevan pieni. Suureita, joilla kuvataan rungon ja veden vuorovaikutusta (ns. lisätyn massan ja vaimennuksen kertoimet) oletetaan olevan riippumattomia laivan liikkeistä. Virtauksen, joka liittyy aaltoihin ja rungon liikkeisiin, oletetaan olevaan kitkaton ja pyörteetön.

31 2.3.3.2 Liikeyhtälö Suuri etu lineaarisoinnin oletuksista on siinä että laivan liiketilaa kuvaa lineaarinen yhtälöryhmä. Nämä yhtälöt ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, jotka esitettyinä matriisimuodossa ovat [M] + [m] x + [N] x + [B] x = F FK + F D. (27) Yhtälössä (27) [M] on aluksen massamatriisi, jonka ainoat nollasta poikkeavat termit sijaitsevat lävistäjällä kun valitun koordinaatiston origo sijaitsee laivan painopisteessä G. Tämä matriisi on M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 I xx -I xy -I xz 0 0 0 -I xy I yy -I yz 0 0 0 -I xz -I yz I zz, (28) missä M = ρ on aluksen massa ja I xx, I yy ja I zz ovat laivan massahitausmomentit x-, y- ja z-akselien suhteen. Matriisi [m] sisältää ns. 'lisätyn massan' termit (engl. added mass). Se kuvaa dynaamisia painevoimia, jotka vaikuttavat harmonisesti oskilloivaan laivaan. Huojunnan, kohoilun, jyskinnän ja mutkailun 'lisätyn massan' termit ovat samaa suuruusluokka kuin vastaavat [M]-matriisin termit. Kiihtyilyn ja keinunnan termit ovat yleensä huomattavasti laivan massamatriisin vastaavia termejä pienempiä. Matriisin [m] termit ovat riippuvaisia kohtaamistaajuudesta ω e. Vektori {x} sisältää liikekomponentit. Se on x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6! kiihtyily huojunta kohoilu keinunta jyskintä mutkailu. (29) x ja x ovat vastaavat nopeuden ja kiihtyvyyden vektorit. Matriisi [N] sisältää eri liikekomponenttien vaimennustermejä. Vaimennus johtuu pääosin oskilloivan aluksen pinta-aallon muodostamisesta, viskoosivirtauksesta ja pyörteiden muodostamisesta. Matriisi [B] sisältää eri liikekomponenttien hydrostaattisia termejä, joita on käsitelty laivan vakavuuden opintojaksossa. Jos käsitellään yksirunkoista symmetristä laivaa tämän matriisi on seuraavan muotoinen

32 B =! g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A W 0 " A W x F 0 0 0 0 # GM T 0 0 0 0 " A W x F 0 # GM L 0 0 0 0 0 0 0, (30) missä A W on vesiviivan pinta-ala, x F on kellumiskeskuksen sijainti, GM T ja GM L ovat poikittainen ja pitkittäinen alkuvaihtokeskuskorkeus. Aaltoherätteen F FK + F D oletetaan olevan lineaarisesti riippuvainen aallokon amplitudista A ja kaltevuudesta k A kulmaliikkeiden osalta. Ensimmäinen aaltoherätetermi eli {F FK } on niin sanottu Froude-Krylovin heräteosuus. Tämä aaltoheräte on saman arvoinen kuin aaltojen kiinteästi paikallaan olevaan laivaan kohdistama reaktio. Laivan runko ei vaikuta aallokkoon ja virtaukseen mitenkään. Toista aaltoherätetermiä eli {F D }kutsutaan diffraktio-osuudeksi. Se ottaa huomioon aluksen rungon aiheuttaman aallokon deformoinnin. Pitkillä aalloilla Froude-Krylovin-voimat ovat hallitsevia. Lyhyillä aalloilla molemmat voimat pitää ottaa huomioon. 2.3.3.3 Liikeyhtälön ratkaisu Konventionaalisen aluksen kohdalla voidaan liikeyhtälöt jakaa kahteen toisistaan riippumattomaan ryhmään: liikkeisiin vaakatasossa eli huojuntaan y, keinuntaan φ ja mutkailuun ψ sekä liikkeisiin pystytasossa eli kohoiluun z, jyskintään θ ja työntyilyyn x. Usein työntyily jätetään tarkastelusta kokonaan pois. Liikkeiden selvittämiseksi kehitetyt monen vapausasteen laskentamenetelmät ja ohjelmistot, jotka perustuvat potentiaalivirtauksen teoriaan, ovat yleensä luotettavia ja tarpeeksi tarkkoja ennustamaan tavanomaisen laivan liiketilaa aallokossa. Suurin osa käytössä olevista laskentamenetelmistä perustuu ns. strip-teoriaan. Tässä teoriassa yhtenä oletuksena on aluksen hoikkuus. Aluksen runko jaetaan poikittaisiin ja pystysuoriin suikaleisiin (engl. strips) ja kussakin suikaleessa liikkeiden ja aaltojen synnyttämää häiriövirtausta tarkastellaan kaksiulotteisena. Oletetaan siis että virtaukset eri suikaleissa ovat toisistaan riippumattomia. Lineaarisuuden ansiosta aluksen vaste on riippuvainen lineaarisesti aallokosta. Tämä tarkoittaa että sinimuotoinen aalto, jonka tajuus on ω, aiheuttaa vasteen kohtaamistaajuudella ω e ja vasteen amplitudi on lineaarisessa suhteessa aallon amplitudiin. Liikeyhtälöryhmän (27) ratkaisua suoritetaan taajuustasossa. Tuloksena saadaan aluksen vasteiden siirtofunktiot. Esimerkiksi kohoilun siirtofunktio H z (ω) on aaltotaajuuden ω tai kohtaamistaajuuden ω e kompleksifunktio, joka kertoo mikä on kohoilun ja aaltojen amplitudien suhde ja vaihe-ero ε z. Kompleksifunktio H z (ω) voidaan esittää seuraavasti

33 H z (!) = H z (!) e i " z. (31) z/a 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0!=90!=180 kohoilu!=135 0 1 2 "/L 3 4 5 $/(k A) 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 keinunta!=135!=90 0 1 2 3 4 5 "/L 1 # /(k A) 0.8 0.6 0.4 0.2 jyskintä!=180 1 huojunta y/a 0.8!=90!=135 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 "/L "/L Kuva 8 Series 60-aluksen siirtofunktioiden itseisarvot. Fn = 0.15. C B = 0.8. 0.6 0.4 0.2!=90!=135 Esimerkki siirtofunktioiden itseisarvoista H vaste (!) " vaste /A on esitetty kuvassa 8. Kulmaliikkeiden siirtofunktiot ilmaisevat kulmavasteen suhdetta aaltojen jyrkkyyteen k A. Siirtofunktion itseisarvon neliötä kutsutaan RAOksi (engl. response amplitude operator). RAO on liikekomponenttikohtainen ja lisäksi se on riippuvainen aluksen nopeudesta. Aluksen siirtofunktion selvittämiseksi suoritetaan usein ns. merikelpoisuusmallikokeita. 2.3.4 Epäsäännöllisessä aallokossa toimivan laivan vasteiden laskenta Kun siirtofunktio on tiedossa, voidaan arvioida aluksen käyttäytymistä epäsäännöllisessä aallokossa kertomalla siirtofunktion neliö aaltospektrillä S(ω). S vaste (!) = RAO(!) S(!). (32) Asiaa selventää kuva 9, jossa laivan kohoilun spektritiheys S z (ω) saatiin aaltospektrin S(ω) ja kohoilun siirtofunktion itseisarvon neliön tulona.

34 8 aaltospektri S(!) 6 4 2 0 0 0.5 1 1.5 2! * z/a 1 0.75 0.5 0.25 0 vasteen siirtofunktio(itseisarvo) 0 0.5 1 1.5 2! 2 = 6 S z (!) 4 2 vasteen spektri Kuva 9 0 0 0.5 1 1.5 2! Epäsäännöllisessä vasta-aallokossa Series 60-aluksen kohoilun arviointi. Fn = 0.15. C B = 0.8. Kuvassa 9 siirtofunktio ja spektrit on esitetty aaltotaajuuden ω funktiona. Toinen tapa esittää niitä on kohtaamistaajuuden ω e käyttö ω:n tilalla. Kuitenkin kohtaamistaajuuden ω e käyttö saattaa johtaa myötäaaltotilanteessa negatiivisiin taajuuden arvoihin (katso lauseke 26). Laivan liikedynamiikan vapausasteet eivät ole ainoat suureet, joiden vasteet voidaan laskea käyttäen spektritekniikkaa. Samalla tavalla voidaan arvioida esimerkiksi pystysuuntainen kiihtyvyys jossakin aluksen kohdassa P. Oletetaan, että laivan palkki on jäykkä eli runko ei värähtele. Johdetaan lauseke pystykiihtyvyyden siirtofunktiolle H av (ω) seuraavasti. Kokonaiskiihtyvyys a jossakin kohdassa laivaa P voidaan ilmaista lausekkeella (Salonen, 1978) a = a 0 + " # r + " # " # r, jossa a 0 on laivan origon kiihtyvyys, & # * ( " = $ ( ' + ( )% (, on kulmakiihtyvyysvektori,

35 & #* ( " = ( ' $ + ( )% (, on kulmanopeusvektori ja r on kiinteä etäisyysvektori origosta pisteeseen P. Jos viimeinen kiihtyvyystermeistä, eli keskihakukiihtyvyys jätetään pois, pystysuuntainen kiihtyvyys pisteessä P voidaan kirjoittaa seuraavasti a v = z + y P " # x P $. Harmonisessa aallokossa "(t) = Acos# e t, joka kohtaa laivaa taajuudella ω e (kts. lauseke 26) laivan vasteet ovat z(t) = A H z (") cos(" e t + # z ), "(t) = ka H " (#) cos(# e t + $ " ), "(t) = ka H " (#) cos(# e t + $ " ), kohoilu keinunta jyskintä ja vastaavat kiihtyvyydet, jotka saadaan derivoimalla vasteita ajan suhteen, ovat z (t) = "# 2 e A H z (#) cos(# e t + $ z ), kohoilu " (t) = #$ e 2 ka H " ($) cos($ e t + % " ), keinunta " (t) = #$ e 2 ka H " ($) cos($ e t + % " ), jyskintä joten siirtofunktio pystysuuntaiseksi kiihtyvyydeksi on H av (!) = "! e 2 H z (!) " k(!) H # (!) x P " H $ (!) y P = "! e 2 H z (!) "!2 g H # (!) x P " H $ (!) y P. (33) Asiaa selventää kuva 10.

36 x P! G P yp V p # x " $ y Kuva 10 Pystysuuntaisen kiihtyvyyden siirtofunktion määrittäminen kohoilun, jyskinnän ja keinunnan siirtofunktioista. Pystykiihtyvyyden spektri saadaan seuraavasti S av (!) = H av (!) 2 S(!). (34) Muiden vasteiden, jotka ovat lineaarisesti riippuvaisia aallokon amplitudista, määrittäminen tapahtuu samalla tavalla. Vasteena voi olla esimerkiksi laivan palkin taivutusmomentti tai jännitys jossakin kohdassa laivaa. Spektritekniikka tekee mahdolliseksi tehdä alukselle lyhyen ja pitkän ajan vasteiden ennusteita. Tärkeä vaste, jota voidaan laskea laivan liikkeiden siirtofunktioista, on ns. suhteellinen liike (engl. relative motion). Se on aallokon ja jonkun aluksen pisteen P välinen pystysuuntainen liike s(t) = ζ(t) + z P (t). Tämän suhteellisen liikkeen siirtofunktio voidaan laskea seuraavasta lausekkeesta H r (!) = 1 + H z (!) " k(!) H # (!) x P " H $ (!) y P = 1 + H z (!) "!2 g H # (!) x P " H $ (!) y P. (35) Lauseekkessa (35) ei ole otettu huomioon diffraktioaaltoa. Toisin sanoen se soveltuu parhaiten suhteellisen liikkeen laskentaan kun alusta kohtaava aalto on tarpeeksi pitkä. 2.4 ISKUMAISET AALTOKUORMAT Jos laivan liikkeet eivät ole pieniä silloin alukseen kohdistuvat aaltokuormat eivät välttämättä ole riippuvaisia lineaarisesti aallon amplitudista. Näitä iskumaisia

37 aaltokuormia kutsutaan englanniksi slamming loads. Iskuille on ominaista lyhyt kesto ja korkea voiman arvo. Iskumaisten kuormien seurauksena on yleensä laivan transienttityyppinen värähtely, jota kutsutaan englanniksi whippingiksi. Nämä värähtelyt saattavat vaarantaa aluksen turvallista toimintaa ja johtavat matkustajien ja miehistön epämukavuuteen. Iskumaiset aaltokuormat voidaan tulkita aaltokuormien osuuksilla, joita lineaarinen approksimaatio ei ota huomioon. Menetelmiä, joita käytetään niiden määrittämiseksi, voidaan jakaa kahteen osaan. 2.5 LIIKEYHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN AIKATASOSSA Simuloinnissa ratkaistaan liikeyhtälö (27) aikatasossa (Chou et al 1993 ja Keuning ja Quadvlieg 1993). Sekä lisätyn massan [m], vaimennuksen [N] ja palautusvoimien [B] matriisit, että aaltoherätteen {F} vektori muuttuvat jatkuvasti. Niiden suuruus riippuu aallokosta ja liiketilasta. Liikeyhtälön ratkaisuksi saadaan alukseen kohdistuvat kokonaisvoimat ja liikkeet, jotka ovat vapaita lineaarisuuden olettamuksesta. Tätä menetelmää kutsutaan epälineaariseksi strip-menetelmäksi. Tässä menetelmässä joudutaan valitettavasti tekemään joukko muita olettamuksia, joiden seurauksena menetelmä ei ole toistaiseksi kovin tarkka. Menetelmää on lisäksi suhteellisen raskas käyttää. 2.6 PAKOTETUN SUHTEELLISEN LIIKKEEN MENETELMÄ Toinen, yksinkertaisempi iskumaisten aaltokuormien laskentamalli perustuu pakotetun suhteelliseen liikkeeseen. Tämän menetelmän takana on olettamus että laivan liikkeet aalloissa eivät ole paljon riippuvaisia iskukuormista. Toisin sanoen oletetaan että laivan kohoilu ja jyskintä ovat lineaarisia aallon amplitudin ja jyrkkyyden suhteen. Lineaaristen liikkeiden siirtofunktioiden arvioimisessa käytetään joko mallikokeita tai lineaarista strip-menetelmää. Aallon ja laivan pystysuuntaiseen suhteelliseen liikkeeseen liittyy tietty liikemäärä. Sen suuruus on P(x,t) = m Z (x,t) V r (x,t) kg m m s, (36) missä m Z (x,t) on laivan kaaren, joka sijaitsee kohdassa x, kohoilun liikettä vastaava lisätty massa laivan pituusyksikköä kohtaan ja V r (x,t) on suhteellinen nopeus. Sekä lisätty massa että suhteellinen nopeus ovat riippuvaisia myös ajasta.

38 Iskuvoima F S lasketaan soveltaen Newtonin lakia liikemäärän muutoksesta (Matusiak ja Rantanen 1986) eli F S = dt d m ZV r = dm Z ds ds dt V r + m dv r Z dt = dm Z ds V r 2 + m Z a r N/m. (37) Lausekkeessa (36) a r on laivan kaaren ja aallon pinnan suhteellinen kiihtyvyys. Lisäksi käytettiin suhteellisen nopeuden määritelmää V r = ds/dt. Termi dm Z /ds on lisätyn massan muutos suhteellisen liikkeen tai syväyden suhteen. selventää kuva 11. s Asiaa B(s+ds)! kvv m Z (s+ds) s T s + ds m Z (s) Kuva 11 Lisätyn massan muutos suhteellisen liikkeen mukaan. Lisätty massa on kappaleen liikettä näennäisesti seuraavan veden massa. Kun liike on tarpeeksi nopea se on likimäärin saman suuruinen kuin veden massa, joka on esitetty kuvassa 11 varjostetuilla puolisylinterin muotoisilla alueilla. Tämän massan suuruus on riippuvainen siis hetkellisestä syväydestä eli suhteellisesta liikkeestä s ja kaaren paikallisesta kulmasta β. Lauseke (37) antaa iskuvoiman F S silloin kun suhteellinen nopeus on positiivinen eli laivan kaari painuu veteen. Kun kaari nousee vedestä silloin ensimmäinen lausekkeen termeistä voidaan olettaa olevan nolla. Kokonaisvoima, joka vaikuttaa kaareen, saadaan lisäämällä uppouman nostotermi F! = " g (T + s) B(s). (38) Lausekkeesta (37) nähdään että iskukuormaan vaikuttaa ratkaistavasti suhteellinen nopeus ja paikallinen kaaren leveys ja sen muutos. Suhteellinen nopeus on yleensä maksimissa kun aallon pinta ohittaa konstruktiovesiviivaa. Tästä syystä pitää pyrkiä siihen että konstruktiovesiviivan kohdalla kaaren kulma β olisi mahdollisimman suuri, jolloin vältetään suuria iskumaisia aaltokuormia. Kosomaa (1996) on soveltanut pakotetun suhteellisen liikkeen menetelmää eräälle arktiselle rahtilaivalle, joka täyttää keulan muodon osalta hyvin huonosti