DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän kappaleen suhteellinen liike. Jäykän kappaleen kinetiikka: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Kappaleen massaominaisuudet.

KERTAUS

KERTAUS: SUHTEELLINEN LIIKE z Z ω ρ y x Y = + ρ X Derivoimalla edeltä esitystä r = r C + ρ saadaan (kannattaa johtaa ) XY Z ρ xyz Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt Nopeus: Kiihtyvyys: v = ṙ C + ρ r + ω ρ a = r C + ρ r + ω ρ + ω (ω ρ) + 2ω ρ r (alaviite r viittaa suhteellisiin derivaattoihin)

KERTAUS: JÄYKÄN KAPPALEEN PARTIKKELIN LIIKE z Z ω ρ y Y x = + ρ X Koska ρ r = 0 jäykälle kappaleelle (kappalekoordinaatistossa) Jäykän kappaleen partikkelin partikkelin nopeus ja kiihtyvyys asema: r = r C + ρ CP nopeus: v = ṙ C + ω ρ CP kiihtyvyys: a = r C + ω ρ CP + ω (ω ρ CP ),

KERTAUS: JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Kuinka saadaan absoluuttinen kulmanopeus ja -kiihtyvyys (ω ja α), jos (1) niistä tehdyt suhteelliset havainnot (ω r ja α r ) ja (2) suhteellisen havainnon tekijän kannan kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Ω ja Λ) tunnetaan? Kulmanopeus: Kulmakiihtyvyys: ω = Ω + ω r α = Λ + α r + Ω ω r Näissä yhtälöissä ω, α B:n kulmanopeus ja -kiihtyvyys (abs.) Ω, Λ A:n kannan kulmanopeus ja -kiihtyvyys (abs., Ω = Λ) ω r, α r A:n havainto B:n kulmanopeudesta ja -kiihtyvyydestä (suht.)

KERTAUS: ESIMERKKI Oheisen kuvan sauvaan kiinnitetty levy on nivelöity kitkattomasti pisteeseen O. Kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω s ja pystyakselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Käytä jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälöitä ja esitä kappaleen kulmanopeus ja -kiihtyvyys Eulerin kulmiin liittyvässä välikoordinaatistossa ξηζ.

DYNAMIIKKA II: L5: JÄYKÄN KAPPALEEN KINETIIKKAA I Arttu Polojärvi

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Ymmärtää kappaleen liikemäärän momentin taseen johdon perusperiaatteet siten, että pystyy soveltamaan niitä jatkossa jäykän kappaleen liikeyhtälöiden johtamisessa. Hahmottaa kappaleen massan vaikutusmittojen merkityksen jäykän kappaleen liikeyhtälöiden muodostamisessa. Osaa soveltaa kappaleen massan vaikutusmittojen määritelmiä geometrialtaan yksinkertaisten kappaleiden massan vaikutusmittojen määrittämiseen.

MEKANIIKAN PERUSLAIT Kinetiikka = liikkeen ja sen syyn (voimien ja niiden momenttien) tarkastelu. Liikemäärän taseen periaate: Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien voimien summa f = d (mv) = ṁv + m v = m v = ma dt Liikemäärän momentin taseen periaate: Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien ulkoisten voimien aiheuttaminen momenttien summa m = l Lisäksi: massan säilymisen, energian taseen ja entropian kasvun periaatteet.

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: MÄÄRITELMIÄ Peruskäsitteet ja määritelmät kirjoitettuna partikkelisysteemille: Ulkoisten voimien momentti*: m = Liikemäärän momentti: l = Liikemäärän momentin tase: r i F i r i m iv i m = dl dt (= l) *Tässä hieman sopimuksen vastaisesti merkintä: F i ulkoinen voimavektori Liikemäärän momentin tase pätee kaikille partikkelisysteemeille ja kappaleille (ääretön määrä partikkeleita), mutta on erityisen hyödyllinen jäykän kappaleen rotaatioiden tapauksessa, koska jäykän kappaleen pisteiden väliset etäisyydet ovat vakioita (massaominaisuudet saadaan temppuiltua vakioiksi). Seuraavaksi johdetaan m = l lähtien tutusta liikelaista f = ma

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: JOHTO Sisäiset voimat f ij ovat systeemin partikkelien toisiinsa välittämiä voimia. Määritellään ensin i-partikkeliin vaikuttava sisäisten voimien resultantti f i = j=1,i j Eli i-partikkeliin vaikuttaa muiden systeemin partikkelien aiheuttamat sisäiset voimat - ei sen oma. Tässä ja jatkossa merkintä f ij : partikkeliin i partikkelin j kohdistama voima (voi ajatella, että esim. muodonmuutoksesta johtuva voima). On oltava f ij = f ji, jotta systeemin partikkelit i ja j olisivat tasapainossa (voima ja vastavoima). f ij

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: JOHTO Huomioi liikeyhtälöissä sekä ulkoiset että sisäiset voimat F i + f i = m ia i sekä ota momentti pisteen O (mielivaltainen) suhteen r i (F i + f i) = r i m ia i. Pädettävä jokaiselle partikkelille on myös pädettävä r i (F i + f i ) = r i m i a i. jonka oikeaa ja vasenta puolta täytyy johdossa tarkastella.

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: JOHTO Yhtälön vasemmalta puolelta häviää termejä ja saadaankin heti ulkoinen momentti r i (F i + f i) = r i F i + r i f i = r i F i = m, jossa viimeinen = on määritelmä edeltä. Tulos saadaan, koska (hankalin kohta) r i f i = r i f ij = r i f ij,i j,i j = r 1 f 12 + r 1 f 13 +... + r 1 f 1n + r 2 f 21 + r 2 f 23 +... + r 2 f 2n ja koska f ij + f ji = 0 niin esim. edellä termit r 1 f 12 + r 2 f 21 = r 1 f 12 r 2 f 12 = r 1 f 12 r 2 f 12 = (r 1 r 2 ) f 12 = 0, koska r 1 r 2 f 12 ks. kuva ja r i f i = 0. O 1 r 2 f 12 r 1 f 21 r 1 r 2 2

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: JOHTO Sijoitetaan edeltä ja tarkastellaan yhtälön m = r i F i = r i m ia i. oikeaa puolta. Huomioidaan tulon derivaatta d dt r i m i v i = = dr i dt m iv i + r i m i dv i dt v i m iv i + r i m ia i } {{ } =0,b b=0 kaikilla b = r i m ia i, Sijoitetaan tähän vain l:n määritelmä m = r i F i = r i m ia i = d dt r i m iv i = dl dt (= l)

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: ESIMERKKI Oheisessa kuvassa esitetyssä systeemissä henkilö (partikkeli, jonka massa on m) pyörii massattomassa ja kitkattomassa karusellissa. Oletetaan, että systeemiin ei vaikuta mitään ulkoisia momentteja ja henkilö siirtyy etäisyydeltä R etäisyydelle r suhteessa karusellin keskipisteeseen A. Mikä on karusellin kulmanopeudeksien ω 0 (kun etäisyys R) ja ω (kun etäisyys r) suhde? Voit olettaa, että tarkasteluhetkillä henkilö ei ole liikeessä kohti karusellin keskustaa.

LIIKEMÄÄRÄN MOMENTIN TASE: MASSAN VAIKUTUSMITAT Edellä ollaan siis johdettu liikemäärän momentin taseelle yhtälö, jonka voi ajatella olevan liikemäärä m iv i mielivaltaisen pisteen O suhteen. Tämähän oli m = dl dt = d dt r i m i v i. Selkeästi yhtälössä esiintyy partikkelisysteemin partikkelien massat m i ja niiden asemat r i eräiden nk. partikkelisysteemin tai kappaleen massan vaikutusmittojen johto ja käyttö helpottaa jatkossa paljon. Huomautetaan jo, että jäykälle kappaleelle partikkelien määrä on ääretön, ja aiemmissa johdoissa voidaan korvata kaikki summat integraaleilla ( ) ja partikkelien massat korvataan massa-alkioilla ( dm = ρdv m i ). Johdetaan tarvittavat massaominaisuudet ennen dl/dt:n (yllä) aukaisemista

MASSAN VAIKUTUSMITAT

MASSAN VAIKUTUSMITAT: MÄÄRITELMIÄ Massa: m = m i Massakeskp.: ρ AC = 1 ρ m Ai m i J xx J xy J xz Hitausmatriisi: J = J yx J yy J yz J zx J zy J zz Edellä ominaisuudet esitetty mv. pisteen A suhteen: eli paikkavektori ρ Ai on vektori A:sta partikkeliin i. Nämä suureet kuvaavat jäykän kappaleen massan ja sen jakautumisen täydellisesti mekaniikan ongelmien tapauksessa (yhteensä kymmenen toisistaan riippumatonta parametria). Kaksi ensimmäistä lienevät tuttuja, viimeinen ehkä vähän hankalampi

MASSAN VAIKUTUSMITAT: HITAUSMATRIISI PARTIKKELISYST. J xx = m i (yi 2 + zi 2 ) J yx = J zx = J xy = m i (y i x i ) J yy = m i (z i x i ) m i (x i y i ) m i (x 2 i + zi 2 ) J zy = J xz = J yz = m i (z i y i ) J zz = m i (x i z i ) m i (y i z i ) m i (x 2 i + yi 2 ) Huomaa, että tässä siis koordinaatit x i, y i ja z i ovat ihan oikeasti partikkelin i paikkavektorin (mv. pisteen suhteen) komponentteja (ρ i = x i i + y i j + z i k)! Hitausmatriisin diagonaali-alkiot (J xx, J yy, J zz ) ovat hitausmomentteja ja muut alkiot hitaustuloja. Huomaa, että hitaustuloille pätee J ij = J ji hitausmatriisi on symmetrinen eli kappaleen hitautta rotaatiossa kuvaa kuusi toisistaan riippumatonta parametria.

MASSAN VAIKUTUSMITAT: ESIMERKKI olme partikkelia, joiden kunkin massa on m, ovat ellä b origosta kuvan osoittamalla tavalla. dosta partikkelisysteemin Kuvan kolme partikkelia, massan joiden vaikutusmitat kunkin (oriuhteen) massa kuvan on koordinaatistossa m, ovat etäisyydellä (kokonaismassa b origosta m, skipisteen kuvan paikka osoittamalla ~r tavalla. Ratkaise partikkelisysteemin massan vaikutusmitat (ori- C ja hitaustensori J $ O. aise kappaleen liikemäärän momentti L ~ O (origon O gon O suhteen) kuvan koordinaatistossa ~ tapauksessa, jossa kappaleen kulmanopeus! on (kokonaismassa, massakeskipisteen paikka y j +! z ~ k? ja hitausmatriisin alkiot). : 3 m, ~r C = b/3(~i+~j+ ~ k) ja J $ O = 2 3 mb2 (~i~i+~j~j+ ~ k ~ k) 2 mb 2 (! 3 x ~i +! y ~j +! z ~ k) yrrä on kiinnitetty pallonivelellä kiinteään origoon ale pyörii symmetria-akselinsa ympäri vakiokulmalla! s. Määritä kappaleeseen vaikuttava pisteeseen oitu momenttivektori (välikoordinaatiston kannassa), pale kiertää Z-akselia vakiokulmanopeudella! p

MASSAN VAIKUTUSMITAT: HITAUSMATRIISI KAPPALEELLE Esitys kappaleelle saadaan korvaamalla edelliset summat integraaleilla ja partikkelien massat massa-alkioilla (J:n ominaisuudet säilyvät samoina): J xx = y 2 + z 2 ρdv J xy = xyρdv J xz = xzρdv V V V J yx = yxρdv J yy = x 2 + z 2 ρdv J yz = yzρdv V V V J zx = zxρdv J zy = zyρdv J zz = x 2 + y 2 ρdv V V Huomaa, että tässä siis koordinaatit x, y ja z ovat ihan oikeasti kappaleen jonkin pisteen paikkavektorin (mv. pisteen suhteen) komponentteja (ρ = xi + yj + zk)! Tärkeää: kannan valintaa ei ole tässä vielä rajoitettu - voidaan siis käyttää esim. kappalekoordinaatistoa (ja usein näin tehdäänkin)! Kuten skalaarit ja vektorit hitaustensori on invariantti koordinaatistonmuunnoksissa mutta (yleensä) eri kannoissa hitaustensorin komponentit saavat eri arvoja. V

MASSAN VAIKUTUSMITAT: STEINERIN SÄÄNTÖ Jos hitaustensori J tunnetaan kappaleen keskipisteen suhteen, saadaan kuvan mukaisen x y z -koordinaatiston origon suhteen hitaustensorin J alkiot seuraavasti: J xx = J xx + m(d 2 y + d 2 z) J xy = J xy + md x d y J xz = J xz + md x d z J yx = J yx + md y d x J yy = J yy + m(d 2 x + d 2 z) J yz = J yz + md y d z J zx = J zx + md zd x J zy = J zy + md zd y J zz = J zz + m(d 2 x + d 2 y) z z x y x y d = d x i + d y j + d z k Huomaa: hitausmomenttien minimit, kun J ratkaistaan massakeskipisteen suhteen!

MASSAN VAIKUTUSMITAT: ESIMERKKI y Ratkaise oheisen kuvan mukaisen ohuen kolmiolevyn (paksuus t) hitausmomentti x-akselin suhteen (J xx ). Mikä olisi J xx :n arvo ratkaistuna kolmion massakeskipisteen suhteen (massakeskipiste korkeudella y = h/3)? h b x

MASSAN VAIKUTUSMITAT: YHDISTETTY KAPPALE Yksinkertaisista osista koostuvan kappaleen hitausmomentti pisteen A suhteen saadaan summaamalla sen osien hitausmomentit pisteen A suhteen (jos haluaisit momentin massakeskipisteen C suhteen, täytyy myös ratkaista massakeskipiste yhdistetylle kappaleelle). Yhdistetty kappale (ympyrälevy ja massa m etäsiyydellä R levyn keskipisteestä). Muista huomioida Steinerin sääntö!

MASSAN VAIKUTUSMITAT: PÄÄHITAUSKOORDINAATISTO z x z x y y Hitausmatriisi x y z -koordinaatistossa J = LJL T, jossa L antaa kantojen välisen yhteyden i i j k = L j k J x x 0 0 Päähitauskoordinaatistossa (x y z ): J = 0 J y y 0 0 0 J z z

MASSAN VAIKUTUSMITAT: PÄÄHITAUSKOORDINAATISTO J x x 0 0 Päähitauskoordinaatistossa (x y z ): J = 0 J y y 0 0 0 J z z Hitaustensori on reaalinen, symmetrinen ja positiividefiniitti: mille tahansa kappaleelle löytyy (kappaleeseen nähden) kulma-asemaltaan sellainen ortogonaalinen kanta, että hitaustensori on diagonaalinen. Päähitauskoordinaatisto löytyy ominaisarvotehtävän tuloksena (ei ratkaista täällä) ja on tyyppillisesti kappalekoordinaatisto asemoituna s.e hitaustulot häviävät diagonaalinen hitaustensori! Voidaan näyttää esimerkiksi, että kappaleen symmetria-akseli on aina yksi päähitauskoordinaatiston akseleista valitse kappalekoordinaatisto s.e. yksi akseleista yhtyy symmetria-akseliin.

MASSAN VAIKUTUSMITAT: PYÖRÄHDYSYMMETRIA Pyörähdyssymmetrisen kappaleen symmetria-akselin mv. pisteen suhteen ratkaistu J on vakio kaikkien symmetria-akselin suhteen pyöräytettyjen koordinatistojen tapauksissa! x x y y ϕ z, z Kuvan x y z-koordinaatisto on pyöräytetty symmetria-akselin z (ja z ) suhteen kulman θ verran: J on sama kummassakin koordinaatistossa. Kuvan sylinterisymmetrisessä tapauksessa J xx = J yy ja hitaustulot ovat nollia! Näin on aina sylinterisymmetrisissä tapauksissa (merkinnät voivat vaihtua).

MASSAN VAIKUTUSMITAT: PYÖRÄHDYSYMMETRIA x x y y ϕ z, z Eulerin kulmien välikoordinaatisto: jos pyörähdyssymetrinen (riittää myös että J xx = J yy ) kappale spinnaa akselinsa ympäri ξηζ-koordinaatistossa, on sen hitausmatriisi vakio ξηζ-koordinaatistossa. Helpottaa jatkossa (esim. hyrräyhtälöt välikoordinaatossa)! Tyypillisesti näissä ongelmissa hitausmatriisi tulee olemaan muotoa I O 0 0 J = 0 I O 0. 0 0 I

MASSAN VAIKUTUSMITAT: ESIMERKKI Muodosta homogeenisen sylinterin (säde R, pituus L, materiaalin tiheys ρ) hitausmatriisi origon suhteen, kun z-akseli yhtyy symmetria-akseliin ja koordinatiston origo sijaitsee massakeskipisteessä. x y z