3 Lukujonon raja-arvo

ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n = 6n 5 2n + 5 n Z +, (n Z + ) Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 3 < 0,0 aina, kun n n 0 3 Olkoon x n = 3n 5 (n Z + ) 9n + 4 Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että xn 3 < 0,00 aina, kun n n0 4 Olkoon x n = 2n + 3 n + ja y n = 2n + 7 n + (n Z + ) Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 2 < 0,0 aina, kun n n 0, ja jokin sellainen n Z +, että y n 2 < 0,0 aina, kun n n 5 Olkoon x n = 3n + 2 n + (n Z + ) Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 3 < ε aina, kun n n 0 ja ε = 0,, (b) ε = 0,0, (c) ε = 0,00 6 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että = 0, (b) n2 n n =, (c) 2n 2n 2n =, (d) 2n + =

7 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että 3 n + 5 n = 3 8 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että ( ) ( ) n2 + 3 n = 0, (b) n2 + 4n n 9 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että = 2 n 2 + 7n + 2 2n 2 + 3n + 5 =, (b) 2 n 3 + n + 2n 3 n 2 + 3 = 2, (c) 2n 2 + n n 2 + n + 2 = 2, (d) 6n 4 + n 3 + 3 2n 4 n + = 3, (e) 4n + 3 3n 4 = 4, (f) 3 3n 2 + 2n n 2 2n + 4 = 3 0 Olkoon A R sellainen epätyhjä joukko, että sup A = 5 Osoita täsmällisesti perustellen, että on olemassa sellainen lukujono (a n ), että a n A kaikilla n Z + ja a n = 5 32 Perusominaisuuksia Olkoot (x n ) ja (y n ) sellaisia lukujonoja, että y n = x n n Z + Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono (y n ) suppenee, niin myös lukujono (x n ) suppenee, ja (b) jos lukujono (x n ) suppenee ja niin myös lukujono (y n ) suppenee ja x n = x, y n = x 2 Olkoon x n = ( n ) +( )n (n Z + ) Osoita, että lukujono (x n ) hajaantuu

3 Tutki, suppeneeko lukujono (x n ), kun x n = sin(nπ) + cos(nπ), nπ sin (b) x n = n 2 4 Olkoot (x n ), (y n ) ja (z n ) sellaisia lukujonoja, että x n y n z n n Z + Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujonot (x n ) ja (z n ) suppenevat, myös lukujono (y n ) suppenee 5 Olkoot (x n ) ja (y n ) rajoitettuja lukujonoja Osoita, että myös lukujonot (x n + y n ) ja (x n y n ) ovat rajoitettuja 6 Tutki, suppeneeko lukujono (x n ), kun x n = n + ( ) n n, (b) x n = + n ( )n 7 Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono (x n ) ei ole rajoitettu, niin kaikki lukujonon (x n ) osajonot hajaantuvat 8 Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jokaisella lukujonolla on ainakin yksi suppeneva osajono 9 Oletetaan, että x n = 2 Osoita, että vain äärellinen määrä jonon (x n ) jäseniä voi kuulua väliin [,,999] 0 Osoita, että jos 0 < t < ja x n = 5, niin vain äärellinen määrä lukujonon (x n ) jäseniä voi kuulua väliin [4, 5 t] Lukujonosta (x n ) oletetaan, että x = 3 ja x n = Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujonon (x n ) termien joukossa on suurin luku 2 Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että x = ja x n =, mutta lukujonon (x n ) termien joukossa ei ole suurinta lukua Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki)

3 Lukujonosta (x n ) oletetaan, että x = 0 ja x n = 7 Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujonon (x n ) termien joukossa on pienin luku 4 Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että jonon (x n ) termien joukossa ei ole pienintä lukua ja x n = 7 Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki) 5 Oletetaan, että lukujono (x n ) suppenee ja < x n < 2 Osoita, että on olemassa sellainen n 0 Z +, että < x n < 2 kaikilla n > n 0 6 Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että x n < 3 n Z + ja x n = 3 Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki) 7 Todista täsmällisesti perustellen, että jos x n = x 0, niin on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n > x n > n 0 2 8 Osoita täsmällisesti perustellen, että jos x n = 4, niin on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n > 3 n > n 0 33 Laskusääntöjä Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään perustuen, että jos x n = x, niin x 3 n = x 3 2 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n < y n kaikilla n Z + ja x n = y n = 3

3 Olkoot A R ja B R sellaisia epätyhjiä joukkoja, että a b kaikilla a A ja kaikilla b B Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellaiset lukujonot (a n ) ja (b n ), että a n A, b n B kaikilla n Z + ja Todista täsmällisesti perustellen, että a n = b n sup A = inf B 4 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n 0, y n 0 ja x n /y n 0, (b) x n 0, y n 0 ja x n /y n 3 Huom Riittää määrittää kyseiset raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään 5 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään perustuen, että jos x n > 0 kaikilla n Z + ja x n = x > 0, niin + x n = + x 2x n 2x 6 Määritä raja-arvo ( ) n 2 n 3 +, (b) 3n 2 + 2n + 7 n 2 + 3 n2 + n + 2 tai osoita, että lukujono hajaantuu 7 Määritä raja-arvo n + (n + ) cos(nπ) 2n + n cos(nπ + π), (b) n 3n + tai osoita, että lukujono hajaantuu 8 Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono (x n ) hajaantuu ja y n = x n n n Z +, niin myös lukujono (y n ) hajaantuu 9 Määritä a n a n + 2 (a R)

0 Määritä 2 n+ + 3 n+, (b) 2 n + 3 n π n, (c) + 22n (n + 2)! + (n + )! (n + 2)! (n + )! Määritä ( n + ) ( n 5) 2 + 3 4 + 2n, (b) 9n 3 n2 + 2 Määritä n ( n 2 + 4 n ), (b) ( n2 + n n 2 n ) 3 Määritä sellainen vakio b R, että ( n2 + bn n 2 + n ) = 3 4 Määritä 5 Määritä + 2 + + n (, (b) n 2 2 + 4 + + ) 2 n 2 + cos(π + sin(n + π)), (b) 3n3 + ( ) n + sin(n + π) n n 3 + 2 6 Määritä (n!) 2, (b) (2n)! n k= 2n + sin k 7 Olkoot (x n ) ja (y n ) sellaisia lukujonoja, että (x n ) suppenee ja x n y n < n n Z + Osoita suppiloperiaatetta käyttäen, että lukujono (y n ) suppenee 8 Tarkastellaan seuraavaa päättelyä: Olkoon (z n ) sellainen lukujono, että ε > 0: + ε < z n < + 3ε Valitsemalla luvut ε sopivasti (esimerkiksi ε n = /n) voidaan muodostaa sellaiset lukujonot (x n ) ja (y n ), että x n z n y n kaikilla n Z + ja Siis suppiloperiaatteen nojalla myös Mikä ongelma päättelyssä on? x n = y n = z n =

34 Monotonisista jonoista Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos (x n ) ja (y n ) ovat kasvavia lukujonoja, niin myös lukujono (x n + y n ), (b) (x n y n ) on kasvava 2 Olkoon lukujono (x n ) kasvava Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos y n = x n + x n+, (b) y n = x n x n+ (n Z + ), niin myös lukujono (y n ) on kasvava 3 Olkoon x n = n 2 8n (n Z + ) Tutki, onko olemassa sellaista lukua k Z +, että lukujono x k, x k+, x k+2, on kasvava 4 Olkoon x n = 4n (n Z + ) n Osoita monotonisten jonojen peruslausetta käyttäen, että lukujono (x n ) suppenee 5 Olkoon x n = n k= Osoita, että lukujono (x n ) suppenee 3 k + k (n Z + ) 6 Oletetaan, että lukujono (x n ) on vähenevä, lukujono (y n ) on kasvava ja y n x n kaikilla n Z + Osoita, että lukujonot (x n ) ja (y n ) suppenevat 7 Olkoon (x n ) kasvava ja (y n ) suppeneva lukujono Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n y n kaikilla n n 0 Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujono (x n ) suppenee 8 Olkoon (x n ) sellainen kasvava lukujono, että sen osajono (x 5n ) suppenee Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujono (x n ) suppenee 9 Joukko S R on avoin, jos jokaista joukon S pistettä s kohti on olemassa sellainen postiiviluku ε > 0, että U ε (s) S Osoita täsmällisesti perustellen, että jos (x n ) on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono ja A = {x, x 2, x 3, }, niin joukko R \ A ei ole avoin

0 Osoita käyttämättä täydellisyysaksioomaa, että jos kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono (x n ) suppenee, niin joukolla on pienin yläraja (eli on olemassa sup A) A = {x n n Z + } Olkoon A R + jokin epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko ja m n = min { m Z + m 0 n on joukon A yläraja } (n Z + ) Osoita, että lukujono (x n ) suppenee, kun x n = m n 0 n 2 Olkoon (x n ) tehtävän lukujono Osoita, että x n = sup A 3 Olkoon x = ja x n+ = 7x n + 8 n Z + Osoita, että lukujono (x n ) on kasvava jono, joka suppenee Mikä on kyseisen jonon raja-arvo? 4 Olkoon x = ja x n+ = 2x n + 3 n Z + Osoita, että lukujono (x n ) on vähenevä jono, joka suppenee Mikä on kyseisen jonon raja-arvo? 5 Olkoon x = ja x n+ = 3x n n Z + + x n Osoita, että lukujono (x n ) suppenee ja määritä x n x 6 Olkoon x n = cos ( n 2 + ) + sin ( n 2 ) (n Z + ) Osoita, että lukujonolla (x n ) on suppeneva osajono 7 Olkoon π = 3,x x 2 x 3 luvun π desimaaliesitys ja y n = x n + cos(n + x n ) n Z + Osoita, että lukujonolla (y n ) on suppeneva osajono 8 Osoita, että lukujonolla (x n ) on suppeneva osajono sekä käyttämällä Bolzano-Weierstrassin lausetta että muodostamalla jokin lukujonon (x n ) suppeneva osajono, kun x n = + ( ) n, (b) x n = n + n + 2 + n ( )n 2n +, (c) x n = sin nπ 2, (d) x n = n + n + 2 ( sin 2πn 2πn + cos 3 3 )

35 Luvun e määrittely Osoita, että 2 < e < 3 2 Määritä ( + n) 2n (, (b) + 5n+4 (, (c) + n) 7n+3 n) 3 Määritä ( n + n ) 3n+2 (, (b) ) n ( ) n n + 2, (c) n 2 n + 4 Olkoon k Z + Osoita, että ( + k n = e n) k Vihje: Totea, että + 2 = ( ( ) + n n) + n+, ja yleistä tulos tapaukseen + k n 5 Osoita, että ( n) n < e n Z + 6 Määritä tai osoita, että lukujono hajaantuu ( + n ) n 2 2 7 Määritä ( ) 2n ( ) n 2n 2n, (b) 2n 2n 8 Osoita, että kaikilla n Z + n n e n < n!, (b) n! e n > (n + ) n 9 Osoita, että kaikilla n Z + (n + )! < e n k=0 i! < 2 (n + )! 0 Osoita tehtävän 9 epäyhtälöiden avulla, että e ei ole rationaaliluku Vihje: Tee vastaoletus, että e on rationaaliluku Tällöin n!e on kokonaisluku, kun n on riittävän suuri Kerro sitten epäyhtälöt puolittain n! :lla

36 Cauchyn jonoista Olkoon x n = n + (n Z + ) Osoita suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että jono (x n ) on Cauchyn jono 2 Olkoon x n = n + (n Z + ) n Tutki suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, onko lukujono (x n ) Cauchyn jono 3 Olkoon x n = + ( ) n n + (n Z + ) n Tutki suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, onko lukujono (x n ) Cauchyn jono 4 Osoita Cauchyn suppenemisehtoa käyttäen, että raja-arvo n k=0 k! on olemassa 5 Olkoon (x n ) sellainen lukujono, että x n+ x n < 2 n n Z + Osoita Cauchyn suppenemisehtoa käyttäen, että lukujono (x n ) suppenee 6 Olkoon (x n ) sellainen lukujono, että x =, x 2 = 2 ja x n = x n + x n 2 2 n 3 Osoita Cauchyn suppenemisehtoa käyttäen, että lukujono (x n ) suppenee 7 Oletetaan, että lukujono (x n ) toteuttaa ehdon ε > 0: p Z + : N Z + : n N : x n+p x n < ε Onko (x n ) välttämättä Cauchyn jono?

8 Oletetaan, että (x n ) ja (y n ) ovat Cauchyn jonoja ja c R Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös jono (cx n + y n ) on Cauchyn jono 9 Oletetaan, että (x n ) on Cauchyn jono Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös lukujono (x 2 n ) on Cauchyn jono 0 Oletetaan, että (x n ) ja (y n ) ovat Cauchyn jonoja Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös jono (x n y n ) on Cauchyn jono 37 Raja-arvokäsitteen laajentaminen Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että n 2 2n =, (b) n 4 4 n 3 + 2n =, (c) n 3 + 5n 3n 2 2 =, (d) n 6 5 n 5 + 2n 4 + 3 = 2 Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että n 2 + 2n =, (b) 2n 3 5n 2 3 = 3 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n ja x n + y n 3, (b) x n, y n 0 ja x n y n 2 Huom Riittää määrittää kyseiset raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään 4 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n 0 ja x n y n, (b) x n y n 4, (c) x n y n 0 Huom Riittää määrittää vaadittavat raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään 5 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n ja x n /y n, (b) x n /y n 2, (c) x n /y n 0 Huom Riittää määrittää vaadittavat raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään

6 Olkoon x n = an n k (a >, k Z + ) Osoita täsmällisesti perustellen, että x n = x Vihje: Tarkastele esimerkiksi raja-arvoa n+ x n 7 Osoita täsmällisesti perustellen, että jos niin x n =, x n = 0 Onko käänteinen väite tosi eli onko x n = aina, kun x n = 0? 8 Oletetaan, että x n y n < n kaikilla n Z + ja x n, kun n Onko mahdollista, että jono (y n ) suppenee? 9 Onko mahdollista, että lukujono (x n ) on kasvava ja x n, kun n? 0 Määritä (c) 2 n2 n! ( ) n 2n 3, (b) n + ( ) 2n+ 3n, 2n + (, (d) + ) n 2 2n Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että jos x n = ja y n =, niin x ny n = 2 Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että jos x n = ja y n =, niin x ny n =