Rak-54.6 RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C Luentomoniste kevätlukukausi 2005 0 VEKTORILASKENNAN KERTAUSTA 0. Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Olkoot a ja b kaksi mielivaltaista vektoria kolmiulotteisessa avaruudessa. Ne voidaan tällöin esittää komponenttimuodossa kiinteän globaalin koordinaattijärjestelmän x, y, z koordinaattiakselien suunnille projisioituina, toisin sanoen a = a x e x + a y e y + a z e z ja b = bx e x +b y e y +a z e z. Skalaaritulo näiden vektorien välillämääritellään nyt seuraavasti: a b = a b cos[ a, b] (0.) toisin sanoen, skalaariluku, joka on vektorien pituuksien tulo kerrottuna näiden välisen kulman kosinilla. Havaitaan myös välittömästi, että vektorin pistetulo itsensä kanssa on a a = a a cos[ a, a] = a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z (0.2) toisin sanoen yhtäkuin vektorin pituuden neliö. Jos taas sijoitetaan vektoreiden a ja b komponenttimuotoiset esitykset edellä annettuun määritelmään saadaan a b =(a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + a z e z ) = a x b x ( e x e x )+a x b y ( e x e y )+a x b z ( e x e z ) +a y b x ( e y e x )+a y b y ( e y e y )+a y b z ( e y e z ) +a z b x ( e z e x )+a z b y ( e z e y )+a z b z ( e x e x ) Soveltamalla suoraan skalaaritulon määritelmää kuhunkin tuloon e x e x = e x e y =0 e x e z =0 e y e x =0 e y e y = e y e z =0 (0.3) e z e x =0 e z e y =0 e z e z = saadaan lopulta tulokseksi a b = a x b x + a y b y + a z b z (0.4) Tarkastellaan vielä skalaarituloa vektorin a ja x-koordinaattiakselin suuntaisen yksikkövektorin e x kanssa. Tällöin saadaan a e x = a e x cos[ a, e x ]=a x ( e x e x )+a y ( e y e x )+a z ( e z e x )=a x (0.5)
Kuva 0.. Oikeakätinen koordinaattijärjestelmä mikä on vektorin a projektio x-akselin suunnalle. 0.2 Vektoreiden vektoritulo eli ristitulo Kahden vektorin ristitulo taas määrittää vektorin, joka on kohtisuorassa kumpaakin tulon tekijää vastaan. Ristitulo siis määritellään vektorina a b = a b sin[ a, b] e (0.6) missä yksikkövektori e on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan, eli a e = b e =0. Vektorilla e on siis kaksi vaihtoehtoista suuntaa: normaali jommalle kummalle puolelle vektoreiden a ja b virittämää tasoa. Suunta valitaan siten, että vektorikolmikko a, b, e muodostaa oikeakätisen systeemin. Tällöin kierrettäessä vektoria a vektorin b suuntaan korkkiruuvisäännön mukaisesti vektorin e suunta määräytyy korkin menosuuntana. Havainnollisen käsityksen suunnan määrityksestäsaamyös kuvassa 0. esitetystä oikealla kädellä suoritetusta vastaavasta kierrosta, jolloin peukalo osoittaa tuloksena saatavan vektorin suunnan. Komponenttimuodossa saadaan näin ollen a b =(a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + a z e z ) Nyt edellä annetun määritelmän mukaan = a x b x ( e x e x )+a x b y ( e x e y )+a x b z ( e x e z ) + a y b x ( e y e x )+a y b y ( e y e y )+a y b z ( e y e z ) + a z b x ( e z e x )+a z b y ( e z e y )+a z b z ( e x e x ) e x e x =0 e y e x = e z e z e x = e y e x e y = e z e y e y =0 e z e y = e x e x e z = e y e y e z = e x e z e z =0 (0.7) jolloin saadaan a b =(a y b z a z b y ) e x +(a z b x a x b z ) e y +(a x b y a y b x ) e z (0.8) 2
Kuva 0.2. Vektorien välisen ristitulon tulkinta Vielä havaitaan, että vektoreiden a ja b ristitulo on määritelmänsä mukaan vektori, jonka pituus on yhtäsuuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka vierekkäisinä särminä ovat juuri vektorit a ja b. 0.3 Vektorin derivaatta Tarkastellaan vektoria a, joka on mielivaltaisen skalaarimuuttujan t funktio, ts. a = a(t). Vektorin derivaatta määritellään tavanomaisesti Kuva 0.3. Vektorin derivaatta d a dt = lim a t 0 t = lim a(t + t) a(t) t 0 t (0.9) Vektorin derivaatta on siis vektori. Jos asetetaan vektorit a(t) ja a(t + t) samasta pisteestä alkaviksi (kuva 0.3) ja merkitään vektoreiden kärkipisteitä P:llä ja Q:lla, niin a = PQ.Kunnyt t lähestyy nollaa ( t 0), vektori a lähestyy käyrän c tangenttia 3
pisteessä P.Tästä seuraa, että vektorin a derivaatta on sen käyrän tangentti, jonka a:n kärki piirtää parametrin t vaihdellessa. Jos erikoisesti a:n pituus on vakio, käyrä c on O-keskinen a -säteinen ympyrä (tai pallo) ja tällöin d a/dt on kohtisuorassa vektoria a vastaan, toisin sanoen d a a =0 (0.0) dt Siis vakiovektorin, esimerkiksi yksikkövektorin, derivaatta on aina kohtisuorassa ko. vektoria vastaan. KIMMOTEORIAN PERUSYHTÄLÖT. Muodonmuutostila.. Muodonmuutosten määritelmät Tarkastellaan mielivaltaisen kappaleen deformaatiota kolmiulotteisessa avaruudessa. Otaksutaan, että se kappaleen piste P, jonka koordinaatit ovat x, y, z, siirtyy deformaatiossa asemaan P. Siirtymävektorin PP = u(x, y, z) komponentteja u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) jaw = w(x, y, z) kutsutaan lyhyesti siirtymiksi. Siirtymävektori on siis esitettävissä muodossa u(x, y, z) =u(x, y, z) e x + v(x, y, z) e y + w(x, y, z) e z (.) missä vektorit e x, e y, e z - kirjallisuudessa käytetty myös i, j, k - muodostavat yksikkövektorikannan oikeakätisen kiinteän ortogonaalin koordinaattijärjestelmän x, y, z koordinaattiakselien suunnille. Yksikkövektorit ovat siis sekä suunnaltaan ettäinten- siteetiltään eli pituudeltaan vakioita. Muodonmuutoskomponentit pisteessä P - lyhyesti muodonmuutokset - määritellään seuraavasti: Venymä ɛ x on alkutilassa x-akselin suuntaisen dx:n pituisen jana-alkion PQ suhteellinen pituuden muutos. Vastaavasti määritellään venymät ɛ y ja ɛ z. Leikkausmuodonmuutos eli liukuma γ xy määritellään taas kahden alkutilassa toisiaan vastaan kohtisuorassa asemassa olevan, x- jay-akselin suuntaisen, jana-alkion PQ ja PR välisen kulman muutoksena. Vastaavasti saadaan liukumat γ yz ja γ zx.venymän ɛ x ja siirtymien väliseksi yhteydeksi saadaan kuvassa. esitetyssä kaksidimensioisessa tasotapauksessa, jossa on käytetty merkintää x = ( )dx, ɛ x = P Q (dx + u PQ dx)2 +( v dx)2 dx = PQ dx Tämä voidaan esittää jakamalla dx:llä edelleen muodossa ɛ x = +2 u + ( ) 2 u + ( ) 2 v Käyttämällä hyväksi vielä Taylorin sarjakehitelmää neliöjuurilausekkeelle +x =+ 2 x + O(x2 ) 4
Kuva.. Ainesäikeen PQ deformoituminen ja jättämällä toisenjasitä korkeamman asteen termit pois saadaan venymän yleinen lauseke muotoon [ ( ɛ x = u + ) 2 ( ) ] 2 u v + (.2) 2 Kolmiulotteisessa tapauksessa vastaava lauseke saa muodon [ ( u ɛ x = u + ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 v w + + 2 mikä yhdessä venymienɛ y ja ɛ z lausekkeiden [ ( u ɛ y = v + ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 v w + + 2 [ ( ɛ z = w + ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 u v w + + 2 (.3a) (.3b) (.3c) kanssa muodostaa venymien yleiset epälineaariset lausekkeet kolmidimensioisessa avaruudessa. Pienten siirtymien teorian mukaan siirtymien derivaatat otaksutaan pieniksi, jolloin niiden derivaattojen neliöt voidaan jättää ensimmäisen asteen termien rinnalla huomioon ottamatta lausekkeissa (.3). Näin saadaan määritelmät ɛ x = u, ɛ y = v, ɛ z = w (.4) Liukuman γ xy ja siirtymien väliseksi yhteydeksi saadaan kuvan.2 ja edellä annetun määritelmän mukaan lauseke ( Q Q ) ( R R ) γ xy = β + β 2 =arctan P Q +arctan P R 5
Kuva.2. Kahden toisiaan vastaan kohtisuoran ainesäikeen PQ ja PR deformoituminen Tämä on edelleen Taylorin sarjakehitelmästä arcustangentti-funktiolle arctan x = x + O(x 3 ) ainoastaan ensimmäinen termi huomioon ottaen γ xy = Q Q P Q + R R P R = v dx P Q + u dy P R = v dx dx + u dx + u dy dy + v dy Tästä saadaan edelleen supistamalla dx:llä jady:llä sekä muuttamalla lausekkeet saman nimisiksi tulokseksi u + v + u u + v v γ xy = ( + u v )( + ) Nimittäjässä osittaisderivaattatermit voidaan ykkösen rinnalla pieninä jättää tarkastelun ulkopuolelle, jolloin päädytään tulokseen γ xy = u + v + u u + v v (.5a) Vastaavat lausekkeet liukumille γ yz ja γ zx ovat γ yz = v + w + v v + w γ zx = w + u + u u + w w w (.5b) (.5c) 6
Kuva.3. Ainesäikeen PQ deformoituminen mitkä vielä lineaarisen analyysin tapauksessa pelkistyvät muotoon γ xy = u + v, γ yz = v + w, γ zx = w + u (.6)..2 Muodonmuutokset vektorilaskentaa hyväksikäyttäen Muodonmuutokset voidaan myös määrittäävarsin käyttökelpoisesti vektorilaskentaa hyväksi käyttämällä. Tarkastellaan kuvan.3 avulla janan PQ, jonka pituus on dx ja joka voidaan esittää muodossa PQ =dx e x (.7) deformoitumista janalle P Q. Jos merkitään pisteiden P ja Q siirtymävektoreita u P :llä ja u Q :lla, kuvan.3 perusteella voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa vektorisumma Ottamalla huomioon, että P Q = PQ+ uq u P u Q = u P + x u P = u P + u P dx, edellinen saa muodon P Q = PQ+ up + u P dx u P 7
Tällöin P Q :n pituuden määrittämiseksi saadaan yhtälö P Q 2 =( P Q P Q )=( u P u P PQ+ dx) ( PQ+ dx) =( u P PQ PQ)+2( PQ )dx +( u P u P )dx2 ottamalla huomioon, että vektorin PQ pituus lausekkeessa (.7) on dx, sekäkäyttämällä hyväksi, kuten edellä, neliöjuurilausekkeen Taylorin sarjakehitelmää, saadaan P Q = ( PQ PQ)+2( PQ u P )dx +( u P u P )dx2 =(+( e x u P )+ 2 ( u P u P ))dx Sijoittamalla tämä venymän ɛ x määritelmään saadaan ( + ( e x u P ɛ x = )+ 2 ( u P u P ))dx dx dx Näin saadaan lopulta jakamalla dx:llä lauseke ɛ x = P Q PQ PQ = e x u P + 2 u P u P Kaikkiaan vastaavanlaiset lausekkeet voidaan johtaa kaikille kolmelle venymäkomponentille, jotka ovat ɛ x = u e x + u 2 u ɛ y = u e y + u 2 u (.8) ɛ z = u e z + u 2 u Jättämällä toisen asteen termit pieninä suureina tarkastelun ulkopuolelle, saadaan vastaavat pienten siirtymien teorian mukaiset lausekkeet ɛ x = u e x ɛ y = u e y ɛ z = u e z (.9) Leikkausmuodonmuutosten eli liukumien lausekkeet johdetaan vastaavanlaisella tarkastelulla. Kuvan.4 merkintöjä hyväksi käyttäen kahden alkuaan toisiaan vastaan kohtisuoran janan PQ ja PR pituudet deformaation jälkeen määräytyvät vektorien P Q = PQ+ x u P = u P PQ+ dx P R = PR+ y u P = PR+ u P dy 8
Kuva.4. Kahden toisiaan vastaan kohtisuoran ainesäikeen PQ ja PR deformoituminen pituuksina ja ovat P Q = P R = ( P Q P Q )=(+( e x u P )+ 2 ( u P u P ))dx ( P R P R )=(+( e y u P )+ 2 ( u P u (.0) P ))dy Deformaation jälkeen näiden vektoreiden välinen kulma määritetään skalaaritulon avulla seuraavasti P Q P R = P Q P R cos χ Ottamalla huomioon, että = PQ PR }{{} + u P PQ =0 dy + PR u P dx + u P dx u P dy cos χ =sin( π 2 χ) γ xy ja jättämällä siirtymien derivaatat pois pieninä ykkösen rinnalla deformoituneiden vektoreiden pituuksien lausekkeissa (.0), sekä supistamalla termillä dxdy, saadaan γ xy = e x u P + e y u P + u P u P 9
Leikkausmuodonmuutosten yleisiksi lausekkeiksi saadaan näin kaiken kaikkiaan γ xy = u e x + u e y + u u γ yz = u e y + u e z + u u γ zx = u e z + u e x + u u (.) ja vastaaviksi geometrisesti lineaarisiksi lausekkeiksi γ xy = u e x + u e y γ yz = u e y + u e z γ zx = u e z + u e x (.2)..3 Muodonmuutos- ja rotaatiomatriisit Pienten siirtymien mukaiset muodonmuutoskomponentit voidaan johtaa helposti myös tarkastelemalla niin sanottua siirtymägradienttia du, jokamääritellään kunkin siirtymäkomponentin muutoksena du du = dv (.3) dw Kukin termi määritellään kokonaisdifferentiaalina jolloin saadaan yhteys du = u u u dx + dy + dz, dv = v v v dx + dy + dz, dw = w eli komponenttimuodossa u du dv = v dw w w w dx + dy + dz, du = Udx (.4) u v w 0 u v dx dy w dz
Kuva.5. Rotaatiokomponentin ω määräytyminen Kerroinmatriisin U symmetristä osaa, joka on 2 u u E = + v 2 v 2 symm u + w v + w 2 w (.5) kutsutaan Lagrangen muodonmuutosmatriisiksi (kysymys on itse asiassa tensorista, mutta tässä yhteydessä riittää tulkita se tutuksi matriisiksi) ja antisymmetristä osaa 0 R = v 2 u w u u v 0 w v rotaatiomatriisiksi (kysymys on jälleen tensorista.) muodossa ω ω = ω 2 ω 3 u w v w 0 (.6) Jos määritellään rotaatiovektori jossa koordinaattitasojen keskimääräistä kiertymistä koordinaattiakseleiden ympäri kuvaavat komponentit (kuva.5) ovat ω = 2 ( w v ), ω 2 = 2 ( u w ), ω 3 = 2 ( v u ), (.7) rotaatiomatriisi voidaan kirjoittaa rotaatiokomponenttien avulla muotoon R = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω (.8) 2 ω 2 ω 0
Lagrangen muodonmuutosmatriisi (.5) on siis kaiken kaikkiaan E = ɛ x 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z (.9) Muodonmuutosmatriisin avulla voidaan tiettyjä muodonmuutostilaan liittyviä kaavoja esittää hyvin lyhyessä ja yksinkertaisessa muodossa. Muodonmuutosmatriisi E jaetaan usein kahteen osaan, joista toinen vastaa rakenteen tilavuudenmuutosta. Tämä osa määritellään keskiarvona matriisin venymäkomponenteista, eli 3 ɛ = 3 (ɛ x + ɛ y + ɛ z ) Tätä kutsutaan pallo-osaksi (spherical strain) ja se voidaan esittää matriisina 3 ɛi = 3 ɛ 0 0 0 3 ɛ 0 (.20) 0 0 3 ɛ Edellisessä I on yksikkömatriisi I = 0 0 0 0 0 0 eli matriisi, jossa ainoat nollasta eroavat termit ovat diagonaalilla olevat ykköset. Jäljelle jäävää osaa kutsutaan deviaattoriosaksi E (deviatoric strain) ja se on E = E 3 ɛi = ɛ x 3 ɛ 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 3 ɛ 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z 3 ɛ (.2) Muodonmuutosmatriisin jakamisella osiin on perinteisesti tulkinta, että pallo-osa mittaa ainoastaan tarkasteltavan kappaleen tilavuuden muutosta, mutta ei muodon muuttumista, kun taas deviatoorinen osa - muodonvääristymisosa - mittaa kappaleen muodonmuutosta. Suhteellinen tilavuudenmuutos e määritellään yhtälöllä e = V V V (.22) missä V on kappaleen alkuperäinen tilavuus ja V deformoituneen kappaleen tilavuus. Jälkimmäinen voidaan lausua muodossa V =(+ɛ )( + ɛ 2 )( + ɛ 3 )V 2
Kuva.6 Koordinaatiston siirto ja kierto Suhteelliseksi tilavuudenmuutokseksi saadaan ottamalla tämä huomioon e = ɛ + ɛ 2 + ɛ 3 + ɛ 2 ɛ 3 + ɛ 3 ɛ + ɛ ɛ 2 + ɛ ɛ 2 ɛ 3 (.23).2 Muodonmuutosmatriisi koordinaatiston kierrossa Tarkastellaan seuraavaksi muodonmuutoskomponenttien käyttäytymistä koordinaatiston kierrossa. Käytetään kahta koordinaattijärjestelmää x, y, z ja X, Y, Z, joiden koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit ovat e x, e y, e z sekä e X, e Y, e Z. Kunkin materiaalipisteen paikkavektori voidaan esittää kummassakin koordinaattijärjestelmässä r = x e x + y e y + z e z R = X e X + Y e Y + Z e Z Kuvan.6 mukaisesti paikkavektorien välillä pätee yhteys r = r o + R (.24) missä r o on vakiovektori, joka osoittaa koordinaattijärjestelmän X, Y, Z origon sijainnin järjestelmässä x, y, z. Derivoimalla lauseketta (.24), johon on sijoitettu paikkavektoreiden lausekkeet, saadaan X e x + X e y + X e z = e X Y e x + Y e y + Y e z = e Y Z e x + Z e y + Z e z = e Z 3
Tästä saadaan helposti vektoreiden skalaari- eli pistetuloa soveltamalla X X X Y Y Y = e X e x e X e y e X e z e Y e x e Y e y e Y e z e Z e x e Z e y e Z e z Z Z Z = cos[ e X e x ] cos[ e X e y ] cos[ e X e z ] cos[ e Y e x ] cos[ e Y e y ] cos[ e Y e z ] cos[ e Z e x ] cos[ e Z e y ] cos[ e Z e z ] (.25) Määritellään tämä koordinaatistonmuunnosmatriisin eli niin sanotun Jacobin matriisin L transponoiduksi matriisiksi L T. Sovelletaan nyt venymän ɛ X määritelmää muodossa (.9). Tällöin saadaan ketjuderivointia soveltamalla ɛ X = u X e X =( u X + u X + u X ) e X Sijoittamalla tähän siirtymävektorin u lausekkeen saadaan ja edelleen ɛ X = X ( u e x + v e y + w e z) e X + X ( u e x + v e y + w e z) e X + X ( u e x + v e y + w e z) e X ɛ X =( e X e x ) u ( e x e X )+( e X e y ) v ( e y e X )+( e X e z ) w ( e z e X ) +( e X e x )( u + v )( e y e X )+( e X e y )( v + w )( e z e X ) +( e X e z )( w + u )( e x e X ) Tämä on edelleen yhtäkuin ɛ X =( e X e x ) ɛ x ( e x e X )+( e X e y ) ɛ y ( e y e X )+( e X e z ) ɛ z ( e z e X ) +( e X e x ) γ xy ( e y e X )+( e X e y ) γ yz ( e z e X )+( e X e z ) γ zx ( e x e X ) (.26a) mikä voidaan esittää matriisin L ensimmäisen vaakarivin käsittävän vektorin ja muodonmuutosmatriisin tulona ( e X e x ) ɛ X = ( e X e y ) ( e X e z ) T ɛ x 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 4 2 γ yz ɛ z ( e x e X ) ( e y e X ) ( e z e X ) (.26b)
Vastaavasti esimerkiksi leikkausmuodonmuutoksen γ xy lausekkeeksi saadaan ɛ x T 2 γ xy 2 γ xz ( e X e x ) ( e x e Y ) γ XY = ( e X e y ) 2 γ xy ɛ y 2 γ yz ( e y e Y ) ( e X e z ) ( e z e Y ) 2 γ xz 2 γ yz ɛ z (.27) Samoin voidaan menetellä muiden muodonmuutoskomponenttien kanssa, jolloin lopullisena tuloksena koordinaatiston kierron vaikutus muodonmuutoksiin voidaan esittää muodossa ɛ X 2 γ XY 2 γ XZ 2 γ XY ɛ Y 2 γ YZ 2 γ XZ 2 γ YZ ɛ Z e X e x e X e y e X e z e Y e x e Y e y e Y e z e Z e x e Z e y e Z e z = ɛ x 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z e X e x e Y e x e Z e x e X e y e Y e y e Z e y e X e z e Y e z e Z e z Ê = L T EL (.28) Muodonmuutosmatriisille käytetään kirjallisuudessa joskus myös esitysmuotoa L = e X e x e Y e x e Z e x e X e y e Y e y e Z e y = l x m x n x l y m y n y (.29) e X e z e Y e z e Z e z l z m z n z.3 Päävenymien määrittäminen Voidaan helposti osoittaa, että on olemassa sellainen kuvaus (.28), joka kuvaa muodonmuutosmatriisin diagonaalimatriisiksi eli toisin sanoen löytyy sellainen koordinaattijärjestelmä x,y,z, jossa muodonmuutosmatriisi on diagonaalinen. Tällöin kaikki leikkausmuodonmuutokset häviävät, ja toisaalta venymät saavat ääriarvonsa. Lävistäjällä oleviavenymätermejä kutsutaan päävenymiksi ja niitä merkitään ɛ,ɛ 2,ɛ 3. Suuntia x,y,z kutsutaan pääsuunniksi ja niiden muodostamaa koordinaatistoa päävenymäkoordinaatistoksi. Suurin ja pienin päävenymä ovat ɛ max =max{ɛ,ɛ 2,ɛ 3 } ɛ min =min{ɛ,ɛ 2,ɛ 3 } Etsittäessä venymän ääriarvoja ja niitä suuntia, joissa ääriarvot saavutetaan, sovelletaan lauseketta (.26a). Määrittäköön venymän ääriarvot se taso, jonka normaalin suuntakosinit ovat n x =cos[ n, e x ],n y =cos[ n, e y ]jan z =cos[ n, e z ]. Näin yhtälö (.26a) venymälle voidaan kirjoittaa muotoon ɛ X = n 2 xɛ x + n 2 yɛ y + n 2 zɛ z + n x n y γ xy + n y n z γ yz + n z n x γ zx 5
Koska venymän suunnan määrittävät suuntakosinit n x =cos[ n, e x ],n y =cos[ n, e y ]ja n z =cos[ n, e z ]eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niitä sitooehton 2 x +n2 y +n2 z =, sovelletaan Lagrangen kertojamenettelyä. Siinä muodostetaan funktio f(n x,n y,n z,ɛ)=n 2 x ɛ x +n 2 y ɛ y +n 2 z ɛ z +n x n y γ xy +n y n z γ yz +n z n x γ zx ɛ(n 2 x +n2 y +n2 z ), jonka ääriarvot pyritään määrittämään. Kun nyt tätä funktiota derivoidaan muuttujiensa suhteen, saadaan f =2n x ɛ x + n y γ xy + n z γ zx 2ɛn x =0 n x f =2n y ɛ y + n x γ xy + n z γ yz 2ɛn y =0 n y f =2n z ɛ z + n x γ zx + n y γ yz 2ɛn z =0 n z Tämä homogeeninen yhtälöryhmä voidaan esittää muodossa tai edelleen ɛ x ɛ 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y ɛ 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z ɛ n x n y n z 0 = 0 0 (.30a) (E ɛi)n = 0 (.30b) Päävenymät määritetään ratkaisemalla yhtälöryhmään (.30) liittyvä determinanttiehto ɛ x ɛ 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y ɛ 2 γ yz =0 (.3a) 2 γ xz 2 γ yz ɛ z ɛ mikä voidaan lausua myös muodossa det(e ɛi) =0 (.3b) Determinanttiyhtälö johtaa kolmannen asteen yhtälön ratkaisemiseen. Yhtälö voidaan lausua muodossa ɛ 3 I ɛ 2 I 2 ɛ I 3 =0 (.32) missä kertoimet I,I 2,I 3 ovat I = ɛ x + ɛ y + ɛ z I 2 = ɛ y ɛ z ɛ z ɛ x ɛ x ɛ y + 4 γ2 yz + 4 γ2 zx + 4 γ2 xy ɛ x 2 γ xy 2 γ xz I 3 = 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z (.33) 6
Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan päävenymät ɛ, ɛ 2 ja ɛ 3. Koska päävenymät ovat luonnollisesti käytetystä koordinaattijärjestelmästä riippumattomia, eivät tarkasteltavan kolmannen asteen yhtälön kertoimetkaan voi olla koordinaatistosta riippuvia. Tllöin siis kertoimet I,I 2,I 3, joita kutsutaan muodonmuutostilan ensimmäiseksi, toiseksi ja kolmanneksi invariantiksi ovat invariantteja skalaarisuureita, toisin sanoen käytetystä koordinaattijärjestelmästä riippumattomia. Jos valitaan tarkastelun kohteeksi juuri päävenymäkoordinaatisto, invarianttien lausekkeet saavat muodon I = ɛ + ɛ 2 + ɛ 3 I 2 = (ɛ 2 ɛ 3 + ɛ 3 ɛ + ɛ ɛ 2 ) ɛ 0 0 I 3 = 0 ɛ 2 0 0 0 ɛ 3 = ɛ ɛ 2 ɛ 3 (.34) Kaavassa (.23) määritelty suhteellinen tilavuudenmuutos voidaan lausua muodonmuutosinvarianttien avulla seuraavasti: tai likimain vain e = I + I 2 + I 3 e = I (.23a) (.23b) Pääsuunnat eli päävenymäkoordinaatiston akselien suuntaisten yksikkövektoreiden suuntakosinit n xi,n yi,n zi, i =, 2, 3 ratkaistaan myös yhtälöstä (.30) sijoittamalla siihen vuoronperään kunkin päävenymän numeroarvo, toisin sanoen päävenymää i vastaava suunta määräytyy yhtälöstä tai komponenttimuodossa (E ɛ i I)n i = 0 (.35a) ɛ x ɛ i 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y ɛ i 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z ɛ i n xi n yi n zi = 0 0 0 (.35b) Näihin yhtälöihin tulee liittää yksikäsitteisyyden takaava ehto f ɛ = n2 xi + n 2 yi + n 2 zi =0 Voidaan osoittaa, että edellä mainitusta kolmannen asteen yhtälöstä ratkaistut päävenymien arvot ɛ, ɛ 2 ja ɛ 3 ovat aina reaalisia, ja että pääsuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan..4 Jännitystila 7
Kuva.7 Pinnan normaali- ja leikkausjännityskomponentit Tietyn pinnan, jonka normaali on n, jännitysvektori eli traktio määritellään kaavalla T = F lim A 0 A = d F da (.36) missä da on pinnan pinta-alkio ja d F voima, joka kohdistuu pinta-alkioon sen ulkonormaalin suuntaan, eli n:n suuntaan - siis ulospäin positiivinen. Kuva.8 Jännityskomponentit Jännitysvektorin normaalijännityskomponentti, kohtisuorassa pinta-alkiota vastaan kuvassa.7, on σ = σ n (.37) missä skalaarinen normaalijännitys määritetään skalaaritulon avulla σ = n T (.38) 8
Pinnan (resultoiva-) leikkausjännitys on tällöin pinnan tason suuntainen komponentti ja saadaan vektorien vähennyslaskulla τ = T σ (.39) Sen pituus eli leikkausjännityskomponentin suuruus (intensiteetti) on τ = τ = T 2 σ 2 (.40) Leikkausjännitys voidaan edelleen jakaa pinta-alkiolla kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Mielivaltaisen pisteen P jännitystila on tunnettu, jos kaikkien pisteeseen asetettujen pintojen jännitysvektorit ovat tunnetut. Pisteen jännitystila esitetään jännityskomponenttien avulla. Kuvassa (.8) on esitetty pisteeseen P liittyvä kuutio ja jännityskomponentit sen eri tahoilla. Siinä x-akselia vastaan kohtisuoralla taholla vaikuttavat normaalijännitys σ x sekä leikkausjännitykset τ xy ja τ xz. Komponentti τ xy on y-akselin ja τ xz vastaavasti z-akselin suuntainen. Samalla tavalla määritellään jännityskomponentit y-jaz-akseleita vastaan kohtisuorilla tasoilla. Kirjoitettaessa voimatasapainoehdot koordinaattiakselien suunnille kuvan (.9) perusteella saadaan alkion yleiset tasapainoehdot, jotka ovat σ x + τ yx τ xy + τ zx + F x =0 + σ y + τ zy + F y =0 (.4) τ xz + τ yz + σ z + F z =0 Kun taas otetaan momenttitasapainoehdot kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran särmiön särmän ympäri, päädytään leikkausjännitysten parittaisuuden edellyttämiin symmetriaehtoihin τ yz = τ zy τ zx = τ xz (.42) τ xy = τ yx Yhtälöistä (.4) ja (.42) nähdään, että vain kuusi jännityskomponenttia ovat toisistaan riippumattomia ja kun ne tunnetaan, on pisteen jännitystila kokonaisuudessaan tunnettu. Tarkastellaan kuvassa (.0) esitettyä tetraedria, joka on saatu leikkaamalla kuvassa (.8) oleva särmiö tasolla, jonka normaalin suuntakosinit ovat n x =cos[ n, e x ],n y = cos[ n, e y ] ja n z = cos[ n, e z ]. Jos merkitään leikkauspinnan pinta-alaa da:lla koordinaattiakseleita vastaan kohtisuorien tahojen pinta-alat ovat n x da, n y da ja n z da. Jännitysvektori eli traktio leikkauspinnalla on T = T x e x + T y e y + T z e z. Tetraedrin x-akselin suuntaiseksi tasapainoehdoksi saadaan helposti T x da σ x n x da τ yx n y da τ zx n z da =0 T x = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z Kirjoittamalla vastaavat yhtälöt y- ja z-akselien suunnissa voidaan jännitysvektorin komponentit lausua sisäisten jännityskomponenttien avulla T x = σ x n x + τ xy n y + τ xz n z T y = τ yx n x + σ y n y + τ yz n z (.43a) T z = τ zx n x + τ zy n y + σ z n z 9
Kuva.9 Jännitysten tasapainoehdot eli lyhyemmin Tässä onkäytetty vektorimerkintöjä T = T x T y T z T = Sn n = n x n y n z (.43b) sekä jännitysmatriisille (tensori), johon on koottu kaikki jännityskomponentit, vastaavanlaista merkintää kuin aikaisemmin muodonmuutosmatriisille (.9), eli S = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz (.44) τ zx τ zy σ z 20
Kuva.0 Jännitysvektori ja alkion sisäiset jännityskomponentit On huomattava, että lävistäjän ulkopuolisten leikkausjännitystermien edessä ei ole kerrointa kuten oli vastaavissa termeissä muodonmuutosmatriisissa. Soveltamalla nyt 2 kaavaa (.38) pinnan normaalijännitykselle ja käyttämällä hyväksi esitysmuotoa (.43) saadaan lauseke σ = n T = n x T x + n y T y + n z T z = n T T σ = n T Sn (.45) Vertaamalla näin johdettua kaavaa aikaisemmin johdettuun venymän ɛ x muunnoskaavaan koordinaatiston kierrossa havaitaan, että neovattäsmälleen samaa muotoa. Yhteys (.45) siis itse asiassa esittää jännitysmatriisin kuvautumista tetraedrin leikkaustason normaalin suunnalle normaalijännityskomponentiksi. Aivan vastaavanlaisella tarkastelulla voidaan osoittaa myös leikkaustasossa olevien leikkausjännityskomponenttien noudattavan samaa muunnoskaavaa ja vetää tästä johtopäätös jännitysmatriisin ja muodonmuutosmatriisin samanlaisesta käyttäytymisestä koordinaatiston kierrossa eli Ŝ = L T SL (.46) Muunnosmatriisi L on esitetty aikaisemmin lausekkeessa (.25). Jännitysmatriisi S jaetaan usein kahteen osaan, joista toinen vastaa rakenteen kuormituksena olevasta hydrostaattisesta paineesta aiheutuvia jännityksiä. Nämä määritellään keskiarvona matriisin normaalijännityskomponenteista, eli σ = σ m = 3 (σ x + σ y + σ z ) 2
Tällöin tämä osa, jota kutsutaan pallo-osaksi (spherical stress) tai hydrostaattiseksi osaksi (hydrostatical stress), voidaan esittää matriisina σi = σ m I = σ m 0 0 0 σ m 0 (.47) 0 0 σ m Jäljelle jäävää osaakutsutaandeviaattoriosaksi S (deviatoric stress) ja se on S = σ x + σ m τ xy τ xz τ yx σ y + σ m τ yz τ zx τ zy σ z + σ m (.48) Jännitysmatriisin jakamisella osiin on perinteisesti tulkinta, että pallo-osan jännitykset muuttavat ainoastaan tarkasteltavan kappaleen tilavuutta, mutta ei muotoa, kun taas deviatoorinen osa - muodonvääristymisosa - muuttaa kappaleen muotoa..5 Pääjännitysten määrittäminen Seuraavaksi etsitään sellainen tetraedrin leikkaustaso, jolla ei esiinny lainkaan leikkausjännityksiä. Kaavojen (.37) ja (.39) perusteella saadaan τ = T σ = 0 T σ n = 0 T σn = 0 Tämä on edelleen (.43) huomioonottaen (S σi)n = 0 (.49a) tai komponenttimuodossa esitettynä σ x σ τ xy τ xz τ xy σ y σ τ yz τ xz τ yz σ z σ n x n y n z 0 = 0 0 (.49b) Tämä on homogeeninen yhtälöryhmä suuntakosinien n x,n y,n z ratkaisemiseksi. Eitriviaalin ratkaisun löytymisen edellytyksenä on kerroinmatriisin determinantin häviäminen, toisin sanoen det(s σi) =0 (.50a) mikä voidaan lausua myös muodossa σ x σ τ xy τ xz τ xy σ y σ τ yz τ xz τ yz σ z σ =0 (.50b) Näin päädytään jälleen kolmannen asteen yhtälön ratkaisemiseen. asteen yhtälö voidaan lausua muodossa Tämä kolmannen σ 3 J σ 2 J 2 σ J 3 =0 (.5) 22
missä kertoimet J,J 2,J 3 ovat J = σ x + σ y + σ z J 2 = σ y σ z σ z σ x σ x σ y + τyz 2 + τ zx 2 + τ xy 2 σ x τ xy τ xz J 3 = τ xy σ y τ yz τ xz τ yz σ z (.52) Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan pääjännitykset σ, σ 2 ja σ 3. Koska pääjännitykset ovat luonnollisesti käytetystäkoordinaattijärjestelmästä riippumattomia, eivät tarkasteltavan kolmannen asteen yhtälön kertoimetkaan voi olla koordinaatistosta riippuvia. Tllöin siis kertoimet J,J 2,J 3, joita kutsutaan jännitystilan ensimmäiseksi, toiseksi ja kolmanneksi jännitysinvariantiksi ovat invariantteja skalaarisuureita, toisin sanoen käytetystä koordinaattijärjestelmästä riippumattomia. Jos valitaan tarkastelun kohteeksi juuri pääjännityskoordinaatisto, invarianttien lausekkeet saavat muodon J = σ + σ 2 + σ 3 J 2 = (σ 2 σ 3 + σ 3 σ + σ σ 2 ) σ 0 0 J 3 = 0 σ 2 0 0 0 σ 3 = σ σ 2 σ 3 (.53) Kutakin pääjännitystä σ i vastaavan pääsuunnan määrittävä yksikkövektori n i saadaan sen homogeenisen yhtälöryhmän (S σ i I)n i = 0 (.54a) eli σ x σ i τ xy τ xz n xi 0 τ xy σ y σ i τ yz n yi = 0 τ xz τ yz σ z σ i n zi 0 ratkaisuna, joka toteuttaa lisäksi vektorin pituudelle asetetun ehdon (.54b) n i = n 2 xi + n2 yi + n2 zi = Voidaan osoittaa, että pääjännitykset σ, σ 2 ja σ 3 ovat aina reaalisia, ja että pääsuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pääsuuntien määrittelemiä tasoja kutsutaan päätasoiksi ja pääsuuntiin yhtyvää koordinaatistoa pääjännityskoordinaatistoksi. Suurin ja pienin normaalijännitys määritellään seuraavasti: σ max =max{σ,σ 2,σ 3 } σ min =min{σ,σ 2,σ 3 } Määritetään vieläjännitystilaan liittyvä suurin leikkausjännitys ja se taso, jolla tämä vaikuttaa. Olkoon x, y, z pääjännityskoordinaatisto, jolloin voidaan kirjoittaa S = σ 0 0 0 σ 2 0 (.55) 0 0 σ 3 23
Tällöin kaavan (.43) mukaan σ n x T = Sn = σ 2 n y σ 3 n z ja vektorin T pituus on T = T = (σ n x ) 2 +(σ 2 n y ) 2 +(σ 3 n z ) 2 Lisäksi normaalijännitys määritetään kaavasta (.38) σ = n T = n T T = σ n 2 x + σ 2 n 2 y + σ 3 n 2 z jonka jälkeen voidaan yhtälön (.39) avulla vektoreiden vähennyslaskua käyttäen laskea leikkausjännitysvektorin pituuden neliö. Tuloksena saadaan τ 2 = T 2 σ 2 = n 2 xn 2 y(σ σ 2 ) 2 + n 2 yn 2 z(σ 2 σ 3 ) 2 + n 2 zn 2 x(σ 3 σ ) 2 (.56) Etsitään nyt τ 2 :n ääriarvot. Sitä vartenkäytetään jälleen Lagrangen kertojamenettelyä. Muodostetaan funktio f(n x,n y,n z,λ)=τ 2 + λ(n 2 x + n2 y + n2 z ) = n 2 x n2 y (σ σ 2 ) 2 + n 2 y n2 z (σ 2 σ 3 ) 2 + n 2 z n2 x (σ 3 σ ) 2 + λ(n 2 x + n2 y + n2 z ), jonka ääriarvot pyritään määrittämään. Parametri λ on niin sanottu Lagrangen kertoja. Kun nyt tätä funktiota derivoidaan muuttujiensa suhteen, saadaan f n x =2n x n 2 y (σ σ 2 ) 2 +2n x n 2 z (σ 3 σ ) 2 +2λn x =0 f n y =2n y n 2 x (σ σ 2 ) 2 +2n y n 2 z (σ 2 σ 3 ) 2 +2λn y =0 f n z =2n z n 2 x (σ 3 σ ) 2 +2n z n 2 y (σ 2 σ 3 ) 2 +2λn z =0 f λ = n2 x + n2 y + n2 z =0 Ensimmäinen yhtälöistä voidaan esittää muodossa n x (n 2 y (σ σ 2 ) 2 + n 2 z (σ 3 σ ) 2 + λ) =0, josta nähdään helposti, että yhtälöryhmän yksi juuri on n x = 0. Toinen ja kolmas yhtälö pelkistyvät muotoon n y (n 2 z (σ 2 σ 3 ) 2 + λ) =0 n z (n 2 y (σ 2 σ 3 ) 2 + λ) =0 24
joten muitten juurien tulee toteuttaa ehto n y = ±n z. Lopuksi viimeisestä yhtälöstä saadaan n y = n z = ± 2 Tämä suunta on kohtisuorassa pääjännityksen σ suuntaa vastaan ja muodostaa 45 o :n kulman eli puolittaa jännitysten σ 2 ja σ 3 välisen kulman. Ensimmäinen ääriarvokohta on n x =0, n y = ±, 2 n z = ± 2 ja vastaava leikkausjännityksen ääriarvo on τ 2 = 4 (σ 2 σ 3 ) 2 τ = ± 2 σ 2 σ 3 Muut ääriarvokohdat saadaan asettamalla vuorollaan n y = 0 ja n z = 0. Leikkausjännitysten kaikki ääriarvot ovat näin ± 2 σ σ 2, ± 2 σ 2 σ 3, ± 2 σ 3 σ. (.57) Suurin leikkausjännitys on näistä suurin eli τ max = 2 (σ max σ min ) (.58) Suurin leikkausjännitys siis esiintyy samassa tasossa suurimman ja pienimmän normaalijännityksen kanssa suunnassa, joka puolittaa näiden välisen kulman. Normaalijännitys tällä pinnalla ei luonnollisestikaan häviä, vaan se voidaan määrittää yhtälöstä (.45) σ τ = σ n 2 x + σ 2 n 2 y + σ 3 n 2 z = 2 (σ 2 + σ 3 )= 2 (σ max + σ min ) (.59) Esimerkki Tarkastellaan jännitystilaa, jossa leikkausjännityskomponentit τ xz ja τ yz häviävät, τ xz = τ yz = 0 ja määritetään jännitystilan pääjännitykset ja pääsuunnat. Kyseessä ontasojännitystila, jos normaalijännitys σ z = 0 tai tasomuodonmuutostila, jos vastaavasti σ z 0. Määritetään pääjännitykset edellä esitetystä determinanttiyhtälöstä (.50). Tällöin saadaan ja tästä edelleen kolmannen asteen yhtälö σ x σ τ xy 0 τ xy σ y σ 0 0 0 σ z σ =0 (σ σ z )(σ 2 (σ x + σ y )σ + σ x σ y τ 2 xy) =0 Tämä yhtälö palautuu toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen ja juuret ovat σ,2 = 2 σ 3 = σ z [ ] σ x + σ y ± (σ x σ y ) 2 +4τxy 2 25
Kuva. Pääsuuntien määräytyminen Pääsuunnat määritetään käyttämälläyhtälöä (.54). Ensimmäinen pääsuunnista saadaan yhtälöstä σ x σ τ xy 0 n x 0 τ xy σ y σ 0 n y = 0 0 0 σ z σ n z 0 Alimmasta yhtälöstä on helppo huomata, että n z = 0. Kahdesta ylemmästä saadaan n y n x = σ σ x τ xy = τ xy σ σ y Kuvassa. pyritään havainnollistamaan tilannetta. Kuvasta nähdään, että tan α = n y /n x, missä kulmaα on pääsuunan ja x-akselin välinen kulma. Kulmalle α saadaan näin yhtälö α =arctan σ σ x τ xy τ xy =arctan σ σ y Yksikkövektori tälle suunnalle on e = τ xy e x +(σ σ x ) e y (σ σ x ) 2 + τxy 2 = (σ σ y ) e x + τ xy e y (σ σ y ) 2 + τxy 2 Pääsuunta 2 määritetään aivan vastaavasti yhtälöstä σ x σ 2 τ xy 0 τ xy σ y σ 2 0 0 0 σ z σ 2 n x2 n y2 n z2 = 0 0 0 Alimmasta yhtälöstä saadaan jälleen tulos n z2 = 0 ja kahdesta ylemmästä n y2 n x2 = σ 2 σ x τ xy = τ xy σ 2 σ y 26
Pääsuunta α 2 määräytyy ehdosta α 2 =arctan σ 2 σ x τ xy τ xy =arctan σ 2 σ y Pääsuunnalle 3 saadaan yhtälö σ x σ 3 τ xy 0 τ xy σ y σ 3 0 0 0 σ z σ 3 n x3 n y3 n z3 = 0 0 0 Nyt alin yhtälö toteutuu vaikka n z3 0. Kaksi ylintäyhtälöä muodostavat homogeenisen yhtälöryhmän [ ]{ } { } σx σ z τ xy nxi 0 = τ xy σ y σ z n yi 0 jonka kerroindeterminantin arvo on normaalisti (σ x σ z )(σ y σ z ) τxy 2 yhtälöryhmän ainoa ratkaisu on 0. Tällöin ja pääsuunta 3 yhtyy z-akselin suuntaan..6 Mohrin jännitysympyrät n x3 = n y3 =0, n z3 = Tarkastellaan mielivaltaista tasoa, jonka normaalin ja koordinaattiakselien välisten kulmien kosinit ovat n x =cos[ n, e x ],n y =cos[ n, e y ]jan z =cos[ n, e z ]. Tällöin ovat voimassa tasapainoehdot (.43) T x = σ x n x + τ xy n y + τ xz n z T y = τ yx n x + σ y n y + τ yz n z T z = τ zx n x + τ zy n y + σ z n z Jos otaksutaan yksinkertaisuuden säilyttämiseksi x, y, z-koordinaatiston yhtyvän pääjännityskoordinaatistoon, nämä tasapainoyhtälöt yksinkertaistuvat muotoon Samoin pinnan normaalijännityskomponentti saa muodon Yhtälöä (.39) hyväksi käyttämällä saadaan T x = σ n x T y = σ 2 n y (.60) T z = σ 3 n z σ = T n = σ n 2 x + σ 2 n 2 y + σ 3 n 2 z (.6) σ 2 + τ 2 = T 2 = σ 2 n 2 x + σ 2 2n 2 y + σ 2 3n 2 z (.62) 27
Kuva.2 Periaatekuva Mohrin jännitysympyröistä Yhtälöt (.6) ja (.62) yhdessä yksikkövektorin pituuden määrittävän ehdon n 2 x + n2 y + n 2 z = muodostavat kolme yhtälöä käsittävän yhtälösysteemin suuntakosinien neliöiden määrittämiseksi. Se voidaan esittää muodossa σ σ 2 σ 3 n 2 x σ σ 2 σ2 2 σ3 2 n 2 y = σ 2 + τ 2 (.63) Tämän yhtälösysteemin ratkaisu on n 2 z n 2 x = τ 2 +(σ σ 2 )(σ σ 3 ) (σ σ 2 )(σ σ 3 ) n 2 y = τ 2 +(σ σ )(σ σ 3 ) (σ 2 σ )(σ 2 σ 3 ) n 2 z = τ 2 +(σ σ )(σ σ 2 ) 0 (σ 3 σ )(σ 3 σ 2 ) Koska ratkaisuna ovat suuntakosinien neliöt, tulee niiden luonnollisesti olla positiivisia. Kun asetetaan pääjännitykset keskenään suuruusjärjestykseen siten, että 0 0 (.64) σ σ 2 σ 3 (.65) ja tutkitaan lausekkeiden (.64) nimittäjien etumerkkiä, osoittajissa olevien lausekkeiden tulee toteuttaa vastaavassa järjestyksessä seuraavat epäyhtälöt: τ 2 +(σ σ 2 )(σ σ 3 ) 0 τ 2 +(σ σ )(σ σ 3 ) 0 τ 2 +(σ σ )(σ σ 2 ) 0 (.66) 28
Valittaessa kustakin epäyhtälöstä yhtäläisyysmerkki saadaan (σ, τ )-koordinaatistossa kolmen ympyrän yhtälöt S, S 2 ja S 3, esitetty kuvassa.2, jotka ovat τ 2 +(σ 2 (σ 2 + σ 3 )) 2 = 4 (σ 2 σ 3 ) 2 S τ 2 +(σ 2 (σ + σ 3 )) 2 = 4 (σ σ 3 ) 2 S 2 (.67) τ 2 +(σ 2 (σ + σ 2 )) 2 = 4 (σ σ 2 ) 2 S 3 Ympyröiden keskipisteet sijaitsevat σ-akselilla. Oheisessa taulukossa on annettu ympyröiden halkaisijat ja keskipisteiden koordinaatit. ympyrä halkaisija keskipiste S (σ 2 σ 3 ) ( 2 (σ 2 + σ 3 ), 0) S2 (σ σ 3 ) ( 2 (σ + σ 3 ), 0) S3 (σ σ 2 ) ( 2 (σ + σ 2 ), 0) Piirrettäessä kyseessä olevat ympyrät (σ, τ )-koordinaatistoon (kuva.2) epäyhtälöt (.66) määrittävät kuvassa viivoitetun kolmen ympyrän rajoittaman alueen, jossa jokaisen mielivaltaisen tason normaali-leikkausjännitysparin tulee sijaita. Kuvassa.3 on esitetty erästä jännitystilaa vastaavat Mohrin jännitysympyrät. Kuvasta havaitaan, että kaavoissa (.67) määritellyistä ympyröistä keskimmäinen on suurin ja kulkee suurinta ja pienintä pääjännitystä vastaavienσ-akselilla sijaitsevien pisteiden (σ, 0) ja (σ 3, 0) kautta. Samalla se edustaa suurinta leikkausjännitystä, joka näin ollen määräytyy ko. ympyrän säteen pituutena. Kuvasta nähdään lisäksi, että tasolla, jolla esiintyy suurin leikkausjännitys, normaalijännitys on σ n = 2 (σ + σ 3 ). Jos suurin leikkausjännityksen arvo ja vastaava normaalijännitys sijoitetaan kaavoihin (.64), saadaan suuntakosinien arvoiksi n 2 x = n2 z = 2 ja n y =0. Tämä osoittaa, että suurin leikkausjännitys esiintyy tasoilla, jotka puolittavat niiden tasojen välisen kulman, joilla esiintyy suurin ja pienin normaalijännitys. Kuvasta.3 voidaan lisäksi graafisesti löytää eri tasoilla vallitsevat yhdistelmät normaali- ja leikkausjännityskomponenteista, kun pääjännitykset tunnetaan. Jos tarkoituksena on löytää jännitykset tasolla, jonka normaali muodostaa kulmat α, β ja γ pääsuuntien kanssa, erotetaan σ-akselilta kulmat 2α ja 2γ kuvan mukaisesti. Näin määräytyvät pisteet A ja B. Piste P, jonka komponentit kuvassa edustavat etsittyjä jännityksiä σ n,τ n,löytyy siten, että piirretään C keskinen ympyrä pisteen A kautta ja vastaavasti C 3 keskinen ympyrä pisteen B kautta. Näin määräytyvä leikkauspiste on piste P. Tulos voidaan vielä tarkistaa erottamalla kuvassa esitetyllä tavalla kulma 2β kahdesta suunnasta ja piirtämällä näin kiinnitettyjen pisteiden D ja E kautta C 2 keskinen ympyrä, jonka tulisi leikata edellä piirretyt ympyrät juuri pisteessä P. Käänteinen probleema voidaan ratkaista mittaamalla aluksi pisteen P asema ja mittaamalla lopuksi kuvasta kulmat 2α, 2β ja 2γ. Graafista ratkaisua kaiken kaikkiaan varsin harvoin tarvitaan, koska se vastaa tarkalleen ottaen yhtälöryhmän (.64) ratkaisemista, mikä useimmiten on huomattavastikin helpompi suorittaa. 29
Kuva.3 Mohrin jännitysympyrät.7 Hooken materiaalilaki Tarkastellaan kuvan.4 mukaista homogeenista, isotrooppista särmiötä, jota kuormittaa aluksi ainoastaan normaalijännitys σ x, kuva.4a. Tästä jännityksestä aiheutuvat ainoat nollasta eroavat muodonmuutokset ovat venymät ɛ x = E σ x, ɛ y = ν E σ x, ɛ z = ν E σ x Kun särmiön kuormituksena on vastaavasti vain normaalijännitys σ y, kuva.4b, venymiksi saadaan ɛ x = ν E σ y, ɛ y = E σ y, ɛ z = ν E σ y 30
Kuva.4 Normaalijännityskomponentit ja kuormituksesta σ z, kuva.4c, venymät ɛ x = ν E σ z, ɛ y = ν E σ z, ɛ z = E σ z Kun edellämainitut normaalijännitykset vaikuttavat särmiöön samanaikaisesti, kuva.4d, voidaan lineaarisen kimmoteorian yhteenlaskuperiaatteen mukaan jännitykset superponoida keskenään eli laskea yhteen. Tällöin saadaan ɛ x = E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = E (σ y ν(σ y + σ z )) (.68) ɛ z = E (σ z ν(σ x + σ z )) On huomattava, että liukumia γ xy,γ yz,γ zx ei näin lainkaan syntynyt. Lausekkeet (.68) voidaan myös esittää matriisimuodossa missä E = +ν E S ν E (σ x + σ y + σ z )I = 2G S ν E 3σ mi (.69) E = ɛ x 0 0 0 ɛ y 0, S = σ x 0 0 0 σ y 0 0 0 ɛ z 0 0 σ z 3
ja σ m = 3 (σ x + σ y + σ z ). Kun yhtälöön (.69) suoritetaan koordinaatiston muunnos (.28) saadaan ( +ν Ê = L T EL = L T E S ν ) E (σ x + σ y + σ z )I L = +ν E LT SL 3ν E σ ml T L (.70) = +ν E Ŝ 3ν E σ mi Tulosta johdettaessa käytettiin hyväksi myös jännityskomponenttien välistä muunnoskaavaa (.46). Saatu tulos pätee mielivaltaisesti valitussa koordinaattijärjestelmässä, missä muodonmuutos- ja jännitysmatriisit eivät enää ole diagonaalimatriisejavaan yleistä muotoa (.9) ja (.44). Kun kaavat (.70) kirjoitetaan komponenttimuodossa, saadaan ɛ x = E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = E (σ y ν(σ x + σ z )) ɛ z = E (σ z ν(σ x + σ y )) 2( + ν) γ xy = τ xy E 2( + ν) γ yz = τ yz E 2( + ν) γ zx = τ zx E (.7) Koska Hooken lain mukaan liukumoduuli (leikkausmoduuli) määritellään tavanomaisesti yhtälöllä γ = τ/g, (.7):stä nähdään tuttu yhteys G = E 2( + ν) (.72) Aikaisemmin yhtälössä (.23b) määritelty suhteellinen tilavuudenmuutos voidaan esittää muodossa e = I = ɛ + ɛ 2 + ɛ 3 = 2ν E (σ + σ 2 + σ 3 )= 3( 2ν) σ m E joka esitetään tavallisestiniinsanotun kokoonpuristumismoduulin K = E/3( 2ν) avulla muodossa e = K σ m (.73) Yleistetty lineaarisesti kimmoinen materiaalimalli eli Hooken laki (.70) tai (.7) voidaan esittää myös kääntäen, eli lausumalla jännitykset muodonmuutosten avulla. Tällöin saadaan (.70):tä vastaten lauseke [ S =2G E + ν ] 2ν (ɛ x + ɛ y + ɛ z )I 32 (.74)
tai (.7):tä vastaava komponenttimuotoinen esitys σ x = 2G 2ν [ɛ x + ν(ɛ y + ɛ z )] σ y = 2G 2ν [ɛ y + ν(ɛ x + ɛ z )] σ z = 2G 2ν [ɛ z + ν(ɛ x + ɛ y )] E τ xy = 2( + ν) γ xy = Gγ xy E τ yz = 2( + ν) γ yz = Gγ yz E τ zx = 2( + ν) γ zx = Gγ zx (.75) Hooken laki esitetään myös usein käyttämällä jännitys- ja muodonmuutosvektoreita, joihin kaikki vastaavat komponentit sijoitetaan allekkain σ x σ y σ σ = z τ xy τ yz τ zx ɛ x ɛ y ɛ ɛ = z γ xy γ yz Tällöin kimmoteorian mukainen materiaalilaki voidaan lausua muodoissa tai kääntäen D = 2G 2ν γ zx σ = Dɛ (.76) ɛ = D σ (.77) Matriisia D, joka on aina symmetrinen, kutsutaan jännitysmuodonmuutosmatriisiksi ja se on ν ν ν 0 0 0 ν ν ν 0 0 0 ν ν ν 0 0 0 ja käänteismatriisi vastaavasti 0 0 0 2 ( 2ν) 0 0 0 0 0 0 2 ( 2ν) 0 0 0 0 0 0 ( 2ν) ν ν 0 0 0 ν ν 0 0 0 D = ν ν 0 0 0 E 0 0 0 2(+ν) 0 0 0 0 0 0 2(+ν) 0 0 0 0 0 0 2(+ν) 33 2 (.78a) (.78b)
Havaitaan, että homogeenisen isotrooppisen aineen jännitys-muodonmuutosriippuvuuden kuvaamiseen riittää kaksi toisistaan riippumatonta materiaaliparametria, kimmokerroin E ja suppeumaluku ν. Näistä kumpi tahansa voidaan korvata liukukertoimella G. Usein käytetään myös niinsanottuja Lamen materiaaliparametreja λ e ja µ e,jotkamääritellään kimmokertoimen ja suppeumaluvun avulla seuraavasti: λ e = Eν ( + ν)( 2ν), µ e = E 2( + ν) = G (.79) Yhtälöitä (.78) voidaan soveltaa myös mielivaltaisen anisotrooppisen ainemallin tapauksessa. Jännitys-muodonmuutosmatriisi määräytyy kutakin materiaalimallia ja tarvittavaa lukumäärää materiaalivakioita käyttäen. Yleiselle anisotrooppiselle aineelle matriisi on muotoa D D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 22 D 23 D 24 D 25 D 26 D D = 33 D 34 D 35 D 36 D 44 D 45 D 46 s y m D 55 D 56 D 66 (.80) Symmetria huomioon ottaen havaitaan, että jännitysmuodonmuutosmatriisissa (.80) on 2 riippumatonta materiaaliparametria. Ortotrooppisen aineen tapauksessa, joka on erikoistapaus yleisestä anisotrooppisesta mallista, on kolme keskenään ortogonaalista suuntaa, joissa materiaaliparametrit poikkeavat toisistaan. Jos tarkastelukoordinaatiston akselitvalitaanyhtymäänortotropia-akseleihin, muodonmuutosten jajännitysten välinen yhteys on muotoa ɛ x = E σ x ν 2 E 2 σ y ν 3 E 3 σ z ɛ y = ν 2 E 2 σ x + E 2 σ y ν 23 E 3 σ z ɛ z = ν 3 E σ x ν 32 E 2 σ y + E 3 σ z (.8) γ xy = G 2 τ xy γ yz = G 23 τ yz γ zx = G 3 τ zx Mallissa on siis kolme eri kimmomoduulia, kuusi suppeumalukua ja kolme liukumoduulia. 34
Jännitysmuodonmuutosmatriisin käänteismatriisi on ν 2 ν 3 0 0 0 E E 2 E 3 ν 2 ν 23 0 0 0 E E 2 E 3 ν 3 ν 32 0 0 0 D = E E 2 E 3 0 0 0 0 0 G 2 0 0 0 0 0 G 23 0 0 0 0 0 G 3 (.82) Ortotropiamalli sisältää 2 materiaaliparametria, joista symmetrian vuoksi saatavilla kolmella rajoite-ehdolla ν 2 = ν 2 ν 23, = ν 32 ν 3, = ν 3 E 2 E E 3 E 2 E 3 E toisistaan riippumattomien parametrien lukumäärä alenee 9:ään..8 Siirtymämenetelmä Muodonmuutosten ja siirtymien väliset lineaariset yhteydet (.4) ja (.6), tasapainoyhtälöt (.4) sekä konstitutiiviset yhtälöt (.7) tai (.75) muodostavat yhdessä 5 yhtälön yhtälösysteemin 5 muuttujan ratkaisemiseksi. Nämä 5 muuttujaa ovat kolme siirtymää u, v, w, kuusi muodonmuutoksta ɛ x,ɛ y,ɛ z,γ xy,γ yz,γ zx sekä kuusi jännityskomponenttia σ x,σ y,σ z,τ xy,τ yz,τ zx.yhtäl systeemi on muotoa ɛ x = u, ɛ y = v, γ xy = u + v, σ x + τ yx ɛ z = w γ yz = v + w, (.4) + τ zx + F x =0 τ xy + σ y + τ zy + F y =0 (.4) γ zx = w + u (.6) 6yhtälöä 3yhtälöä τ xz + τ yz + σ z + F z =0 ɛ x = E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = E (σ y ν(σ x + σ z )) (.7) ɛ z = E (σ z ν(σ x + σ y )) γ xy = G τ xy γ yz = G τ yz γ zx = G τ zx 6yhtälöä 35
Ratkaistaessa nämä5yhtälöä siirtymämenetelmälläyhtälöryhmästä eliminoidaan jännitykset ja muodonmuutokset, jolloin päädytään ainoastaan siirtymät tuntemattomina sisältäviin kolmeen yhtälöön: u + e 2ν + F x G =0 v + e 2ν + F y G =0 w + e 2ν + F z G =0 (.83) joissa Laplace-operaattori on ja lisäksi on käytetty lyhennysmerkintää = 2 2 + 2 2 + 2 2 e = u + v + w Yhtälöitä (.83) nimitetään Navierin yhtälöiksi ja ne on johdettu otaksumalla tarkasteltava materiaali homogeeniseksi isotrooppiseksi..9 Voimamenetelmä Jos lineaariset muodonmuutosten lausekkeet (.4) ja (.6) tunnetaan, voidaan niistä ratkaista siirtymät u, v, w vain siinä tapauksessa, että muodonmuutokset toteuttavat kuusi yhteensopivuus- eli kompatibiliteettiehtoa. Nämä ehdot, jotka saadaan eliminoimalla lausekkeista (.4) ja (.6) siirtymät u, v, w, takaavat jatkuvan siirtymätilan olemassaolon. Mainitut kuusi yhteensopivuusehtoa ovat 2 ɛ x 2 2 ɛ y 2 + 2 ɛ y 2 + 2 ɛ z 2 = 2 γ xy = 2 γ yz 2 ɛ z 2 + 2 ɛ x 2 2 2 ɛ x = ( γ xy 2 2 ɛ y = ( γ xy 2 2 ɛ z = ( γ zx = 2 γ zx + γ zx + γ yz + γ yz γ yz ) γ zx ) γ xy ) (.84) Voimamenetelmää käytettäessä muodonmuutokset lausutaan aluksi jännitysten avulla ja sijoitetaan yhteensopivuusehtoihin (.84). Ottamalla huomioon tasapainoehdot ja 36
sieventämällä saadaan voimamenetelmän perusteena olevat Beltrami-Michellin yhtälöt, jotka ovat σ x + 2 s +ν = ν 2 ν div F 2 F x σ y + 2 s +ν = ν 2 ν div F 2 F y σ z + 2 s +ν = ν 2 ν div F 2 F z τ xy 2 s +ν = F x F (.85) y τ yz +ν τ zx +ν Näissä divergenssi määritellään ja käyteään lyhennysmerkintää 2 s = F y F z 2 s = F z F x divf = F = F x + F y + F z s = σ x + σ y + σ z Saaduissa kuudessa yhtälössä on tuntemattomina kuusi jännityskomponenttia..0 Reunaehdot Tarkasteltavan alueen reunaviiva ( reunapinta ) S koostuu kahdesta osasta, joista toisella S u on annettu reunaehdot siirtymäsuureille ja toisella S T voimasuureille. Edellisiä reunaehtoja kutsutaan kinemaattisiksi ja jälkimmäisiä mekaanisiksi. On huomattava, että koko reuna-alueen tulee olla katettu edellä mainituilla kahdella osalla, eli S = S u + S T. Alueet voivat kuitenkin mennä reunaviivalla eri sirtymäkomponenttien osalta osittain päällekkäin. Kiinnitetty reuna Reunan osalla S u siirtymillä on ennalta annetut arvot ū, v ja w, toisin sanoen u =ū, v = v, w = w S u : lla (.86) Annetut arvot voivat luonnollisesti olla nollia, ū = v = w = 0, jolloin kyseessä on kiinnitetty reuna. Kuormitettu reuna Kuormitetulla reunalla S T jännityskomponenteilla on annetut arvot T x, T y ja T z. Reunaehto voidaan antaa yhtälöiden (.43) avulla seuraavasti: σ x n x + τ xy n y + τ xz n z = T x τ yx n x + σ y n y + τ yz n z = T y S T : llä (.87) τ zx n x + τ zy n y + σ z n z = T z Vapaalla eli ns. kuormittamattomalla reunalla annetut voimasuureet häviävät, eli T x = T y = T z =0. 37
Kuva.5 Virtuaalisen työn periaate. Virtuaalisen työn periaate Virtuaalisen työn periaattetta, joskus myös virtuaalisten siirtymien periaatteeksi kutsuttua, sovellettaessa tasapainossa olevalle kappaleelle annetaan mielivaltaiset virtuaaliset, kuvitteelliset, siirtymät δu, δv ja δw. Virtuaalisen työn periaatteen mukaan tässä siirtymäkentässä tasapainossa olevan voimasysteemin tekemä virtuaalinen työ häviää. Virtuaalinen siirtymätila voi olla kinemaattisesti luvallinen, jolloin se toteuttaa kinemaattiset reunaehdot, tai kinemaattisesti luvaton, jolloin se rikkoo joko ulkoisia tukiehtoja tai rakenteen jatkuvuusehtoja. Edellä mainittuihin virtuaalisiin siirtymiin liittyvät virtuaaliset muodonmuutoskomponentit ovat δɛ x = (δu), δγ xy = (δu) + (δv), δɛ y = (δv), δɛ z = (δw) δγ yz = (δv) + (δw), δγ zx = (δw) + (δu) (.88) Määritettäessä eri jännityskomponenttien tekemän virtuaalisen työn lausekkeet tarkastellaankuvassa.5 a esitettyä alkiota. Siinä kuvattu normaalijännityskomponentti σ x, jonka resultantti on σ x dydz, tekee negatiivisen x-akselin puoleisella pinnalla negatiivisen virtuaalisen työn σ x dydzδu ja positiivisen x-akselin puoleisella pinnalla vastaavasti positiivisen virtuaalisen työn σ x dydz(δu + (δu) dx) =σ xdydz(δu + δɛ x dx), joten normaalijännityksen σ x osuus tilavuusalkion dv virtuaalisesta työstä on kaikkiaan σ x dydz(δu + δɛ x dx) σ x dydzδu = σ x dydzδɛ x dx = σ x δɛ x dv Aivan vastaavalla tavalla määritetään normaalijännitysten σ y ja σ z osuudet. Leikkausjännityksen τ xy tekemä virtuaalinen työ x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla saadaan kuvassa.5 38
b esitetyin merkinnöin τ xy dydz(δv + (δv) dx) τ xydydzδv = τ xy dydz (δv) dx Kun tähän lisätään vielä vastaavan komponentin τ yx tekemä virtuaalinen työ y- akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla ja otetaan huomioon leikkaujännitysten parittaisuus, saadaan τ xy dydz (δv) dx + τ yxdxdz (δu) dy = τ xyδγ xy dv Vastaavalla tavalla saadaan leikkausjännityskomponenttien τ yz ja τ zx tekemä virtuaalinen työ. Kokoamalla kaikkien sisäisten voimien tilavuusalkioon dv tekemän virtuaalisen työn komponentit saadaan lauseke (σ x δɛ x + σ y δɛ y + σ z δɛ z + τ xy δγ xy + τ yz δγ yz + τ zx δγ zx )dv joka koko kappaleen osalta saadaan integroimalla yli kappaleen tilavuuden δw int = V (σ x δɛ x + σ y δɛ y + σ z δɛ z + τ xy δγ xy + τ yz δγ yz + τ zx δγ zx )dv (.89a) Tämä on matriisimuodossa esitettynä δw int = V δɛ T σdv (.89b) Ulkoisista voimista sekä tilavuusvoimat F että pintatraktiot T tekevät työtä jolloin ulkoisen virtuaalisen työn lauseke on eli matriisimuodossa δw ext = δw ext = V V F δ udv + T δ uds (.90a) S T δu T FdV + δu T TdS S T (.90b) Virtuaalisen työn periaatteen mukaan sisäinen ja ulkoinen virtuaalinen työ ovatyhtäsuuret, eli δw int δw ext =0 (.9) Tämä periaate on varsin helppo myös todistaa. Lausutaan aluksi sisäisen virtuaalisen työn lauseke (.88) virtuaalisten siirtymäkomponenttien derivaattojen avulla muodossa δw int = V {σ x (δu) + (δv) ]+τ yz[ (δv) + σ (δv) (δw) y + σ z + τ xy [ (δu) + (δw) ]+τ zx[ (δw) 39 + (δu) ]}dv
Sovelletaan kuhunkin termiin kolmedimensioisia osittaisintegrointikaavoja, jotka ovat u v V dv = u n x uvds S V vdv u v V dv = u n y uvds S V vdv (.92) u v dv = u n z uvds vdv V S Näissä u = u(x, y, z) jav = v(x, y, z) jan x, n y ja n z ovat pinnan yksikkönormaalin projektiot koordinaattiakselien suunnille. Tuloksena saadaan lausekkeet, joissa on sijoitustermi kappaleen reunapinnalta sekä tilavuusintegraalitermi δw int = [σ x n x δu + σ y n y δv + σ z n z δw + τ xy (n y δu + n x δv)+τ yz (n z δv + n y δw) S V + τ zx (n x δw + n z δu)]ds [ σx δu + σ y δv + σ z δw + τ xy δu + τ xy + τ yz δv + τ yz δw + τ zx δw + τ zx δu V δv ] dv Ryhmittelemällä termit sopivasti saadaan δw int = [(σ x n x + τ xy n y + τ zx n z )δu +(τ xy n y + σ y n y + τ zy n z )δv S V +(τ zx n x + τ yz n y + σ z n z )δw]ds [ ( σ x + τ yx + τ zx )δu +( τ xy +( τ xz + τ yz + σ z )δw + σ y + τ zy )δv ] dv Käyttämällä nyt hyväksi tasapainoyhtälöitä (.4) ja (.87) tämä saadaan muotoon δw int = (T x δu + T y δv + T z δw)ds + (F x δu + F y δv + F z δw)dv S Ottamalla vielä huomioon erikseen kinemaattiset ja geometriset reunaehdot reunapinnoilla S T ja S u saadaan δw int = ( T x δu + T y δv + T z δw)ds + (T x δu + T y δv + T z δw)ds S T S u + (F x δu + F y δv + F z δw)dv = δw ext, V josta keskimmäinen termi häviää sillä perusteella, että virtuaalinen siirtymätilaon valittu toteuttamaan kinemaattiset reunaehdot reunan osalla S u. Näin on osoitettu oikeaksi 40 V
virtuaalisen työn periaate lähtemällä sisäisen virtuaalisen työn lausekkeesta ja päätyen lopulta yhtäläisyyteen vastaavan ulkoisen työn lausekkeen kanssa..2 Virtuaalisten jännitysten periaate Tässä periaatteessa, jota kutsutaan joskus myös komplementaarisen virtuaalisen työn periaatteeksi, tasapainossa olevalle kappaleelle otaksutaan homogeeniset tasapainoyhtälöt (.4) δσ x δτ xy δτ xz + δτ yx + δσ y + δτ yz alueessa V ja homogeeniset reunaehdot (.87) + δτ zx + δτ zy + δσ z =0 =0 =0 δσ x n x + δτ xy n y + δτ xz n z =0 δτ yx n x + δσ y n y + δτ yz n z =0 δτ zx n x + δτ zy n y + δσ z n z =0 reunan osalla S T toteuttavat virtuaaliset jännitykset. Tällöin sisäinen komplementaarinen työ on δ W int = (ɛ x δσ x + ɛ y δσ y + ɛ z δσ z + γ xy δτ xy + γ yz δτ yz + γ zx δτ zx )dv (.93a) V ja sama matriisimuodossa δ W int = V ɛ T δσdv missä virtuaaliset jännityskomponentit muodostavat vektorin σ (.93b) δσ =[δσ x,δσ y,δσ z,δτ xy,δτ yz,δτ zx ] T Ulkoinen komplementaarinen työ on vastaavasti δ W ext = (ūδt x + vδt y + wδt z )ds S u (.94a) eli vektoriesityksenä W ext = u T δtds (.94b) S u Virtuaalisten jännitysten periaatteen mukaan sisäinen ja ulkoinen komplementaarinen virtuaalinen työ ovatyhtäsuuret, eli δ W int δ W ext =0 (.95) Tämän periaatteen todeksi osoittaminen tapahtuu aivan analogisesti edellä esitetyn virtuaalisen työn periaatteen todistamisen kanssa. 4