Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi, Kaksiulotteie ormaalijakauma, Korrelaatio, Kovariassi, Odotusarvo, Regressiofuktio, Tiheysfuktio, Variassi, Yhteisjakauma Itervalliasteikko, Järjestysasteikko, Laatueroasteikko, Nomiaaliasteikko, Ordiaaliasteikko, Suhdeasteikko, Välimatka-asteikko Aritmeettie keskiarvo, Frekvessi, Frekvessijakauma, Geometrie keskiarvo, Harmoie keskiarvo, Histogrammi, Järjestystuusluvut, Keskiarvo, Luokiteltu frekvessijakauma, Maksimi, Mediaai, Miimi, Otoshajota, Otosvariassi, Pylväsdiagrammi, Vaihteluväli, Vaihteluväli pituus. Oletetaa, että satuaismuuttujat X ja Y oudattavat 2-ulotteista ormaalijakaumaa parametrei E(X) = E(Y) = Var(X) = D 2 (X) = 9 Var(Y) = D 2 (Y) = 4 Cor(X, Y) = 0.5 (a) Määrää muuttujie X ja Y kovariassi. (b) Määrää muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee ja muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee sekä vastaavat ehdolliset variassit. (c) Määrää kohda (b) regressiofuktioita vastaavie suorie leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujie X ja Y odotusarvoje vastaavaa pisteesee. Mitä havaitset? Lasketaa esi muuttujie X ja Y stadardipoikkeamat: D(X) = 3 D(Y) = 2 (a) Muuttujie X ja Y kovariassi: Cov(X, Y) = Cor(X, Y) D(X) D(Y) = 0.5 3 2 = 3 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) /
(b) Muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(X)/D(Y) = 0.5 3/2 = 0.75 Tämä suora yhtälö o = 0.75 (y + ) Muuttuja X ehdollie variassi muuttuja Y suhtee: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (X) = ( 0.5 2 ) 9 = 6.75 Muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(Y)/D(X) = 0.5 2/3 = /3 Tämä suora yhtälö o y + = (/3) ( ) Muuttuja Y ehdollie variassi muuttuja X suhtee: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (Y) = ( 0.5 2 ) 4 = 3 (c) Suorie leikkauspiste o muuttujie X ja Y odotusarvoje määräämä piste (, ). 2. (a) Oletetaa, että satuaismuuttujat X ja Y oudattavat 2-ulotteista ormaalijakaumaa parametrei E(X) = 0 E(Y) = Var(X) = D 2 (X) = Var(Y) = D 2 (Y) = 4 Cov(X, Y) = Määrää muuttujie X ja Y korrelaatio ja muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee ja muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee sekä vastaavat ehdolliset variassit. (b) Olkoo muuttuja X regressiosuora muuttuja Y suhtee 8 4 y = + 3 3 ja muuttuja Y regressiosuora muuttuja X suhtee 3 7 y = + 2 2 Määrää muuttujie X ja Y odotusarvot. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 2/
(a) Lasketaa esi muuttujie X ja Y stadardipoikkeamat: D(X) = D(Y) = 2 Muuttujie X ja Y korrelaatio: Cor(X, Y) = Cov(X, Y)/(D(X) D(Y)) = /( 2) = 0.5 Muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(X)/D(Y) = 0.5 /2 = /4 Tämä suora yhtälö: = ( /4) (y ) Vastaava ehdollie variassi: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (X) = ( ( 0.5) 2 ) = 0.75 Muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(Y)/D(X) = 0.5 2/ = Tämä suora yhtälö: y = Vastaava ehdollie variassi: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (Y) = ( ( 0.5) 2 ) 4 = 3 (b) Suorat leikkaavat pisteessä (, 2), jote E(X) = E(Y) = 2 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 3/
3. Alla o lueteltu joukko muuttujia.. Masikoide C-vitamiiipitoisuus; mg/00 g 2. Alvari aukiolta löydety kasvi laji 3. Paie, joka vaaditaa teräksise säiliö murtumisee; kg/cm 2 4. Hekilöide reaktio väitteesee Suome o liityttävä NATO:o mitattua asteikolla täysi eri mieltä, yhde tekevää, täysi samaa mieltä 5. Jokereide sijoitus jääkiekkoliigassa;, 2, 6. Teekkari koulutusohjelma 7. Teekkari älykkyysosamäärä; piste 8. Teekkari pistemäärä kurssi. välikokeessa; 0 30 9. Letokoee opeus; km/h (a) Mitä mitta-asteikkoja muuttujat oudattavat? (b) Mitkä muuttujista ovat kvalitatiivisia ja mitkä kvatitatiivisia? (c) Mitkä muuttujista ovat diskreettejä ja mitkä jatkuvia? (a) Laatueroasteikollisia muuttujia: 2, 6 Järjestysasteikollisia muuttujia: 4, 5, 7, 8 Suhdeasteikollisia muuttujia:, 3, 9 (b) Kvalitatiivisia muuttujia: 2, (4), (5), 6 Kvatitatiivisia muuttujia:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Suluilla o merkitty kvalitatiiviste ja kvatitatiiviste muuttujie välimaastossa olevat järjestysasteikolliset muuttujat. (c) Diskreettejä muuttujia: 2, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuvia muuttujia:, 3, 9 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 4/
4. Erää talo asukkailla o seuraavat kuukausitulot ( /kk): 2000 9400 000 23000 24200 2500 8200 8900 0300 26000 400 2900 3200 4300 5800 600 7200 8900 5200 000 2300 4000 500 6000 00 0800 900 7200 4300 38000 500 9600 0900 2000 3200 500 Määrää aieistosta seuraavat tuusluvut: (a) miimi, maksimi (b) vaihteluväli, vaihteluväli pituus (c) mediaai Määrättävät tuusluvut ovat kaikki järjestystuuslukuja tai iihi perustuvia tuuslukuja. Järjestystuuslukuje määräämistä varte havaiot o järjestettävä suuruusjärjestyksee: 4300 5200 7200 8200 8900 900 9600 000 000 0300 0800 0900 00 400 2000 2300 2900 3200 3200 4000 4300 500 500 5800 6000 600 7200 8900 9400 2000 23000 24200 2500 26000 38000 500 (a) Miimi ja maksimi: Mi = 4300, Ma = 500 (b) Vaihteluväli: (Mi, Ma) = (4300, 500) Vaihteluväli pituus: Ma Mi = 500 4300 = 46800 (c) Etsitää havaitoje mediaai eli tuusluku Md. Mediaai jakaa havaitoaieisto kahtee yhtä suuree osaa site, että puolet iistä havaitoarvoista, jotka eivät ole yhtä suuria kui mediaai, ovat mediaaia pieempiä, ja puolet iistä havaitoarvoista, jotka eivät ole yhtä suuria kui mediaai, ovat mediaaia suurempia: (i) Jos otoskoko o parito, ii mediaaiksi valitaa havaitoarvo, joka löytyy paikasta ( + )/2. (ii) Jos otoskoko o parillie, mediaaiksi valitaa kahde keskimmäise havaio aritmeettie keskiarvo. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 5/
Havaitoje lukumäärä o tässä parillie, jote Md = Q 2 = (3200 + 3200)/2 = 3200 5. Muodosta tehtävä 4 aieistosta luokiteltu frekvessijakauma, joka luokat ovat: 4000 2000 200 28000 2800 60000. Määrää myös tätä frekvessijakaumaa vastaava histogrammikuvio suorakaiteide korkeudet, ku luokkaa 4000 2000 vastaava suorakaitee korkeudeksi o valittu 5 ruutua ruudullisella paperilla. Hahmottele myös ko. histogrammikuvio paperille. Missä luokassa o jakauma moodi? Histogrammi muodostuu suorakaiteista, joide pita-alat suhtautuvat toisiisa kute vastaavat luokkafrekvessit (tai suhteelliset luokkafrekvessit). Luokka Luokkafrekvess i Suorakaitee korkeus 4000 2000 5 5 200 28000 9 9/2 = 9.5 2800 60000 2 2/4 = 0.5 () Valitaa luokkavälii 4000-2000 liittyvä suorakaitee korkeudeksi 5 ruutua. (2) Luokkaväli 200-28000 o. kaksi kertaa pitempi kui luokkaväli 4000-2000. Siksi luokkaa 200-28000 liittyvä suorakaitee korkeus saadaa jakamalla frekvessi 9 luvulla 2. (3) Luokkaväli 2800-60000 o. eljä kertaa pitempi kui luokkaväli 4000-2000. Siksi luokkaa 800-60000 liittyvä suorakaitee korkeus saadaa jakamalla frekvessi 2 luvulla 4. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 6/
Alla oleva kuvio esittää yo. luokiteltua frekvessijakaumaa vastaavaa histogrammia. 5 f/ 0 5 0 4000 2000 28000 60000 Huomautuksia: (i) Histogrammissa suorakaiteide pita-alat eivät siis korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseihi. (ii) Oikea laatu pystyakselille o frekvessi/ : Vaaka-akseli laatu: Pystyakseli laatu: frekvessi/ Suorakaitee pita-ala: frekvessi/ = frekvessi (iii) Histogrammissa suorakaiteide korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseihi vai, jos luokitus o tasavälie. Jakauma moodi o luokassa 4000-2000, koska siiä histogrammi saavuttaa maksimisa. Huomaa, että moodi ei ole luokassa 200-28000, vaikka se frekvessi o suuri. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 7/
6. Määrää tehtävä 4 aieisto kahde esimmäise sarakkee 8 luvusta aritmeettie keskiarvo, otosvariassi ja otoshajota. Laskutoimitukset voidaa tehdä kahdella eri tavalla. Alla oleva tauluko muodostamisessa o käytetty apua MS Ecel -ohjelmaa. Tulokset: Aritmeettie keskiarvo = 556 Otosvariassi = 87587 Otoshajota = 900 Jos ko. tuuslukuje laskemiseksi laaditaa tietokoeohjelma, laskutoimitukset voidaa järjestää laskutavassa 2 ii, että havaiot käydää läpi vai kerra, ku taas laskutavassa havaiot o käytävä läpi kaksi kertaa. Se sijaa laskutava kaavat ovat umeerisesti stabiilimpia. Palkka i -Ka (-Ka)^2 ^2 2000 737.5 50943906.25 40400000 2 26000 3037.5 69976406.3 676000000 3 5200-7762.5 60256406.25 27040000 4 7200-5762.5 33206406.25 5840000 5 9400 6437.5 444406.25 376360000 6 400-562.5 244406.25 29960000 7 000-2862.5 893906.25 0200000 8 4300-8662.5 75038906.25 8490000 Summa 03700 0 44498750 78570000 Ka = 2962.5 Tapa : Var = 6307250 Hajota = 794.74 Tapa 2: Var = 6307250 Hajota = 794.74 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 8/
Kaavat tehtävää 6 Laskutapaa liittyvät kaavat: = i= 2 s = i s = s 2 i i= ( ) Laskutapaa 2 liittyvät kaavat: = i= s s 2 2 2 = i i= = s 2 i 2 Tehtävissä 7 ja 8 osoitetaa, että aritmeettie keskiarvo ei ole aia käypä tuusluku. 7. Olet ottaut 0000 euro laia, jota ei saa lyhetää kahde esimmäise vuode aikaa. Laiasopimukse mukaa korko o. vuotea 0 % ja 2. vuotea 20 %, jolloi takaisi maksettava laiapääoma kasvaa kahdessa vuodessa % (laske ). Oletetaa, että laiasopimusta muutetaa ii, että korkoa käytetää koko aja samaa korkoa, mutta tämä vakioa pidettävä korko valitaa ii, että takaisi maksettava laiapääoma ei kasva eempää kui alkuperäise sopimukse mukaa. (a) Totea, että (b) /2 % ei ole uude sopimukse vakiokorko. Totea, että oikea vakiokorko saadaa laskutoimituksella (..2 ) 00 % Huomautus: Laskutoimituksessa sovelletaa geometrise keskiarvo kaavaa: Positiiviste lukuje,,, geometrie keskiarvo o G = 2 Laiapääoma. vuode lopussa: ( + 0.) 0000 = 000 Laiapääoma 2. vuode lopussa: ( + 0.2) 000 = 3200 Laiapääoma o kasvaut kahdessa vuodessa 32 %. Siis = 32 %. TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 9/
(a) /2 % = 6 % 6 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopussa: ( + 0.6) 0000 = 600 Laiapääoma 2. vuode lopussa: ( + 0.6) 600 = 3456 Laiapääoma o kasvaut kahdessa vuodessa 34.56 % 32 %. (b) (..2 ) 4.89 % 4.89 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopussa: ( + 0.489) 0000 = 489 Laiapääoma 2. vuode lopussa: ( + 0.489) 600 = 3200 Laiapääoma o kasvaut kahdessa vuodessa 32 %. 8. Paikkakutie A ja B välimatka o 20 km. Hekilö ajaa A:sta B:he keskiopeudella 60 km/h ja B:stä A:ha keskiopeudella 20 km/h. (a) Totea, että keskiopeus edestakaisella matkalla ei ole (60+20)/2 = 90 km/h (b) Totea, että oikea keskiopeus saadaa laskutoimituksella + 2 60 20 Huomautus: Laskutoimituksessa sovelletaa harmoise keskiarvo kaavaa: Positiiviste lukuje,,, harmoie keskiarvo o H = i= A: ja B: välimatka: 20 km Ajoaika A:sta B:he (60 km/h): 20/60 = 2 h Ajoaika B:sta A:ha (20 km/h: 20/20 = h Matka edestakaisi: 240 km Ajoaika edestakaisi: 2 + = 3 h Keskiopeus edestakaisella matkalla: 240/3 = 80 km/h i TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) 0/
(a) 90 km/h 80 km/h. (b) = 80 km/h + 2 60 20 TKK/SAL @ Ilkka Melli (2004) /