LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien sisäinen rakenne on usein epäoleellinen. Tämä johtaa ajatukseen, että voitaisiin tarkastella sellaista systeemiä, jossa käsitellään ainoastaan joukkoja. Ensi alkuun tämä saattaa vaikuttaa paradoksaaliselta ja kehäpäätelmiin johtavalta idealta. Joukko-oppi voidaan kuitenkin rakentaa käyttäen toisen kertaluvun predikaattilogiikkaa, jossa kiinteän (logiikan) aakkoston lisäksi on ainoastaan yksi, binäärinen predikaatti- eli relaatiosymboli, niin kutsuttu epsilon-relaatio. Käytetään tästä formaalisesta kielestä merkintää L. Epsilon-relaation x y intuitiivinen tulkinta on tavanomainen x on joukon y alkio. Esimerkki 1.1. Joukko-opin aksioomia: (a) Eksistentiaaliaksiooma: ( x)( y)((x = y) (( z)(z x z y))) Joukot x ja y ovat samat tarkalleen silloin kun niissä on samat alkiot. (b) Parin muodostaminen: ( x)( y)( z)(( u)(u z (u = x u = y))) Mistä tahansa kahdesta alkiosta x ja y voidaan muodostaa joukko z, joka sisältää alkiot x ja y mutta ei muita alkioita. (c) Erotteluaksiooma: Olkoon φ mielivaltainen L-kaava. ( x)( y)(( z)(z y z x φ)). Ylläoleva aksiooma on itse asiassa aksioomakaavio, josta saadaan sijoituksella äärettömän monta aksioomaa. Tämä voitaisiin välttää nk. transformaatiosäännöillä. Aksiooman intuitiivinen sisältö on: Mielivaltaisesta joukosta x voidaan muodostaa sellainen joukko y, joka sisältää tarkalleen ne joukon x alkiot, jotka toteuttavat kaavan φ. Joukko-oppi voidaan Zermelon ja Fraenkelin mallin mukaan esittää kymmenellä aksioomalla, joihin lisätään kiistelty valinta-aksiooma. Tästä järjestelmästä käytetään lyhennystä ZFC. Ei tiedetä, onko ZFC ristiriidaton, mutta tiedetään, että joukkooppi valinta-aksioomalla täydennettynä (ZFC) tai valinta-aksiooman negaatiolla täydennettynä (ZF) ovat molemmat yhtä ristiriidattomia. Tilanne on tällöin samankaltainen kuin vertailtaessa esimerkiksi euklidista ja epäeuklidista geometriaa. 14

Aksiomaattinen lähestymistapa on välttämätön joukko-opin kannalta, sillä intuitiivinen joukko-oppi voi johtaa paradokseihin. Näistä monet johtuvat liian laajaalaisesta joukon käsitteestä. Esimerkki 1.2 (Russelin paradoksi). Frege esitti matematiikan perusteita käsittelevässä teoksessaan joukko-opin, joka salli uuden joukon muodostamisen seuraavalla tavalla: Mikäli P (x) on (käytettävässä) kielessä ilmaistava ominaisuus, voidaan muodostaa joukko {x P (x)}, joka sisältää kaikki sellaiset alkiot x, joilla on ominaisuus P. Tämän mukaan voidaan määritellä U = {x x / x}, toisin sanoen joukko U sisältää tarkalleen kaikki sellaiset joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita. Tämä johtaa kuitenkin ristiriitaan, sillä jos on voimassa U / U, on määritelmän mukaan U U. Jos taas U U, on oltava U / U. Klassinen matematiikka voidaan rakentaa lähes kokonaan joukko-opin varaan, mutta universaalialgebrassa, mittateoriassa ja algebrallisessa topologiassa on kuitenkin tarpeen voida puhua joukkoja suuremmista käsitteistä. Otetaan tämän vuoksi käyttöön käsite luokka. Luokkateorialle on kehitetty samankaltaiseen aksiomatisointi kuin joukko-opille (Gödel-Bernstein), ja joukkoja voidaankin tässä teoriassa pitää erikoistapauksena luokista. Sanotaan, että luokka x on joukko, mikäli on olemassa sellainen luokka y, että on voimassa -relaatio x y. Myös luokkien teoria voidaan esittää kielen L avulla. Esimerkki 1.3. (a) Luokkateorian aksiomatisointia: Oletetaan, että φ on mielivaltainen L-kaava. ( x)( y)(y x ( z)(y z) φ) On olemassa luokka x, joka sisältää tarkalleen kaikki kaavan φ toteuttavat joukot y. (b) Parinmuodostusaksiooma on rajoitettava joukkoihin. (c) Kohdan (a)-nojalla on olemassa luokka = {x x x}, niin kutsuttu tyhjä luokka. Tämä on myös joukko. 2. Kategoria Määritelmä 2.1. Kategoria C koostuu kolmesta osasta: (a) Luokka, jonka alkioina ovat kategorian objektit. (b) Kutakin objektien paria A, B kohti on joukko Hom(A, B). Nämä ovat kategorian morfismit A B. (c) Jokaista objektikolmikkoa A, B ja C kohti on olemassa kompositiosääntö Hom(A, B) Hom(B, C) Hom(A, C). Morfismien f Hom(A, B) ja g Hom(B, C) kompositiosta käytetään merkintää gf tai g f. 15

Lisäksi kategorian on toteutettava seuraavat aksioomat: (A1) Joukot Hom(A 1, B 1 ) ja Hom(A 2, B 2 ) ovat erilliset, ellei A 1 = A 2 ja B 1 = B 2. (A2) Jos f Hom(A, B), g Hom(B, C) ja h Hom(C, D), on voimassa h(gf) = (hg)f. (A3) Jokaista objektia A kohti on olemassa morfismi 1 A Hom(A, A), joka toteuttaa ehdot f1 A = f ja 1 A g = g aina, kun f Hom(A, B) ja g Hom(C, A) joillekin kategorian objekteille B ja C. Esimerkki 2.2. (a) Joukkojen kategoria S. Tämän kategorian objektit ovat kaikki joukot, ja morfismeina ovat kaikki joukkojen väliset kuvaukset. Kompositiosäännöt ovat ilmeisiä. (b) Ryhmien kategoria G. Objekteina ovat kaikki ryhmät ja morfismeina näiden väliset ryhmähomomorfismit. Huomautus 2.3. Luokan määritelmän mukaan sen alkiot ovat joukkoja. Jokainen ryhmä (G, ) voidaan kuitenkin katsoa joukoksi esimerkiksi seuraavalla tavalla: (1) Ryhmän alkiot muodostavat joukon G, samoin karteesiset tulot G G ja (G G) G. (2) Ryhmäoperaatio on karteesisen tulon (G G) G osajoukko. Ryhmä voidaan siis katsoa järjestetyksi pariksi, jossa on komponetteina joukot (1) ja (2). Toisaalta taas järjestetty parin (a, b) määritelmänä voidaan pitää (a, b) = {a, {a, b}}. Näin ollen ryhmä voidaan katsoa ainoastaan joukoksi. 3. Homologia ja kohomologia Olkoon R rengas ja M (additiivinen) abelin ryhmä. Sanotaan, että M on vasen R-moduli, jos on olemassa kuvaus R M M, (r, m) r m, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (1) r (m 1 + m 2 ) = r m 1 + r m 2 (2) (r 1 + r 2 ) m = r 1 m + r 2 m (3) 1 R m = m (4) (r 1 r 2 ) m = r 1 (r 2 m) Vastaavasti määritellään oikeanpuoleinen R-moduli. Oletetaan, että on olemassa sellainen modulin M osajoukko W, että jokainen modulin M alkio m voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa r = i I r i w i, r i R, w i W. 16 Silloin sanotaan, että W on modulin M R-kanta tai lyhyesti kanta. Kannan W kardinaliteettia kutsutaan modulin M asteeksi tai rangiksi. Olkoon R rengas, ja C R jokin vasemmanpuoleisten R-modulien kategoria. Sanotaan, että kategoria C R on hyvä kategoria, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat:

(1) Kategorian objektien luokka on suljettu siinä mielessä, että luokan modulien alimodulit, tekijämodulit ja äärelliset suorat summat ovat myös tässä luokassa. (2) Jokaista objektiparia A, B kohti joukko Hom(A, B) sisältää kaikki R-lineaariset kuvaukset A B. Esimerkki 3.1. Kategoria, jonka objekteina ovat kaikki vasemmat R-modulit, on hyvä kategoria. Olkoon R rengas ja C R hyvä kategoria. Tarkastellaan kategorian objekteista muodostuvaa numeroituvaa jonoa X, joka voi olla joko toisesta tai molemmista päistä päättyvä, ja jossa kahden peräkkäisen objektin välillä on jokin kategorian morfismi ϕ n : X n+1 X n. 17 ϕ n 1 X : X n 1 Xn ϕ n Xn+1 (3-1) Määritelmä 3.2. Jono X on ketjukompleksi, jos ϕ n 1 ϕ n = 0 aina, kun n I. Tämä merkitsee sitä, että Im ϕ n Ker ϕ n 1. Ketjukompleksia kutsutaan jatkossa lyhyesti kompleksiksi. Määritelmä 3.3. Tekijämodulia Ker ϕ n 1 / Im ϕ n kutsutaan kompleksin X n:nneksi homologiaryhmäksi, ja siitä käytetään merkintää H n (X). Tämän ohella voidaan tarkastella myös jonoja Y, joissa kategorian C objektin Y n välillä on morfismit d n : Y n Y n+1. d n 1 Y : Y n 1 Yn d n Yn+1 (3-2) Jos kaikille indekseille pätee d n d n 1 = 0, kutsutaan jonoa Y myös kompleksiksi. Määritelmä 3.4. Tekijämodulia H n (Y ) = Ker d n / Im d n 1 kutsutaan kompleksin Y n:nneksi kohomologiaryhmäksi. Määritelmä 3.5. Kompleksi on eksakti, mikäli Im ϕ n = Ker ϕ n 1 (vastaavasti Ker d n = Im d n 1 ) kaikilla indekseillä n. Eksaktia kompleksia nimitetään myös resoluutioksi. Tarkastellaan kahta kompleksia X ja X. Oletetaan, että jokaisella indeksillä n on olemassa sellainen kategorian morfismi F n, että kaavio ϕ n 1 X : X n 1 Xn ϕ n Xn+1 F n 1 F n F n+1 (3-3) X : X n 1 ϕ n 1 X n ϕ n X n+1 kommutoi. Morfismien jonoa F = {F n } sanotaan ketjukuvaukseksi. Samoin määritellään vastaketjukuvaus. Ketjukuvaus indusoi homologioiden H n (X) ja H n (X ) välille kuvauksen, kun määritellään F n (x + Im ϕ n ) = F n (x) + Im ϕ n.

Tästä kuvauksesta käytetään myös merkintää F n. Todetaan, että ϕ n 1 F n = F n 1 ϕ n 1, josta seuraa, että F n (Ker ϕ n 1 ) Ker ϕ n 1. Lisäksi on voimassa ϕ n F n+1 = F n ϕ n, joten F n (Im ϕ n ) Im ϕ n. Näistä seuraa, että homologiaryhmien välille indusoitu morfismi on hyvin määritelty. Kaaviossa 18 0 M X 0 X 1 f F 0 F 1 (3-4) 0 M X 0 X 1 ketjukuvausta nimitetään ketjukuvaukseksi yli f:n. Analogisessa tilanteessa vastaketjukuvausta nimitetään vastaketjukuvaukseksi yli f:n. Olkoot F : X X ja G : X X ketjukuvauksia. Morfismien jonoa {s n }, s n : X n X n+1, kutsutaan homotopiaksi, jos jokaisella indeksillä n on voimassa ϕ ns n + s n 1 ϕ n 1 = F n G n. Tällöin sanotaan, että ketjukuvaukset F ja G ovat homotooppiset. Jos ketjut päättyvät kuten kaaviossa (3-4), määritellään F 1 = G 1 = f ja s 1 = 0. Tilannetta kuvaa seuraava kaavio: ϕ n 1 X n 1 Xn F n 1 G n 1 s n 1 Fn Gn X n 1 ϕ n 1 X n ϕ n Xn+1 ϕ n s n F n+1 G n+1 X n+1 Jos X ja X ovat vastaketjuja, ja F ja G vastaketjukuvauksia, määritellään homotopia s = {s n } vaatimuksella d n 1 s n + s n+1 d n = F n G n. d n 1 X n 1 Xn F n 1 G n 1 s n Fn Gn X n 1 d n 1 X n d n Xn+1 d n s n 1 F n+1 G n+1 X n+1 Lause 3.6. Olkoot F : X X ja G : X X homotooppisia ketjukuvauksia (vastaketjukuvauksia). Silloin F ja G indusoivat saman kuvauksen homologioiden (kohomologioiden) välillä. Todistus. Riittää todistaa ketjukuvauksia koskeva väite, todistus vastaketjukuvauksille on analoginen. Oletetaan, että x Ker ϕ n 1. Silloin F n (x) G n (x) = ϕ ns n (x) + s n 1 ϕ n 1 (x) = ϕ ns n (x) Im ϕ n. Näin ollen F n (x) G n (x) (mod Im ϕ n). Väite nähdään nyt suoraan oikeaksi, sillä H n (X ) = Ker ϕ n 1 / Im ϕ n.

19 4. Projektiiviset ja injektiiviset modulit Tässä pykälässä kaikki modulien väliset kuvaukset oletetaan kategorian morfismeiksi, ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä 4.1. Olkoon P moduli hyvässä kategoriassa C. Moduli P on projektiivinen, jos kaaviossa (vaakarivi eksakti) P ψ 0 B C voidaan kuvaus jakaa kuvauksen ψ kautta, olivatpa B ja C mitä tahansa kategorian C moduleja sekä ja ψ kategorian morfismeja, toisin sanoen on olemassa sellainen morfismi : P C, että = φ. Lemma 4.2. Jos P C on projektiivinen ja kaaviossa A P ϕ A ψ A on Ker ϕ = Im ψ ja ϕ = 0, on olemassa sellainen Hom(P, A), että = ψ. (4-1) (4-2) Todistus. Oletuksen nojalla Im Ker ϕ = Im ψ. Asetetaan kaaviossa (4-1) B = Im ψ ja C = A. Vaadittu morfismi saadaan suoraan projektiivisuuden määritelmästä. Esimerkki 4.3. (a) Vapaat modulit ovat projektiivisia, sillä mielivaltainen kuvaus modulin kannalta voidaan laajentaa yksikäsitteisellä tavalla morfismiksi. (b) Jos C on kaikkien vasempien R-modulien kategoria, ovat projektiiviset modulit tarkalleen kaikki vapaiden modulien komponentit suorissa summissa. Jos nimittäin F = P P on vapaa, laajennetaan kuvaus modulille F määrittelemällä (P ) = 0. Koska F on vapaa, on olemassa kuvaus : F C, joka saa kaavion (4-1) kommutoimaan, ja haluttu kuvaus saadaan kuvauksen rajoittumana modulille P. Jos oletetaan kääntäen, että P on projektiivinen, voidaan valita vapaa moduli F ja surjektio ψ Hom(F, P ). Projektiivisuuden määritelmän mukaan on olemassa sellainen : P F, että kaavio ψ 0 P F kommutoi. Tällöin on helppo todeta, että P = Im ja F = Im Ker ψ. Määritelmä 4.4. Resoluutiota id P 0 M X 0 X 1 X 2 (4-3) kutsutaan projektiiviseksi resoluutioksi yli modulin M, jos modulit X i, i 0 ovat projektiivisia.

20 Lause 4.5. Olkoot X ja X ketjukomplekseja. Oletetaan, että kaaviossa X : 0 M ϕ 1 ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 X 0 X1 X2 f (4-4) X : 0 M ϕ 1 X 0 ϕ 0 X 1 ϕ 1 X 2 ϕ 2 X on eksakti kompleksi eli resoluutio ja että X on projektiivinen kompleksi yli modulin M. Silloin on olemassa ketjukuvaus F : X X yli f:n. Todistus. Tarkastellaan aluksi kuvausta fϕ 1 : X 0 M. Moduli X 0 oletettiin projektiiviseksi, joten on olemassa kuvaus F 0 : X 0 X 0, jolle pätee ϕ 1 F 0 = fϕ 1. X 0 fϕ 1 F 0 0 M ϕ 1 X 0 Oletetaan nyt, että on konstruoitu F n, jolle pätee sekä tarkastellaan kaaviota ϕ n 1 F n = F n 1 ϕ n 1, X n X n+1 F n ϕ n F n+1 (4-5) X n 1 ϕ n 1 X n ϕ n+1 X n+1 Induktio-oletuksen mukaan on voimassa ϕ n 1 F nϕ n = F n 1 ϕ n 1 ϕ n = 0, ja kompleksi X oletettiin projektiiviseksi, joten lemman 4.2 mukaan on olemassa sellainen kuvaus F n+1 : X n+1 X n+1, joka toteuttaa ehdon ϕ n F n+1 = F n ϕ n. Lause 4.6. Olkoot X ja X komplekseja, joiden modulit ovat kategorian C objekteja, sekä F : X X ja G : X X ketjukuvauksia yli f:n. X : 0 M ϕ 1 ϕ 0 ϕ 1 X 0 X1 F f 0 F 1 G 0 G 1 (4-6) X : 0 M ϕ 1 X 0 ϕ 0 X 1 ϕ 1 Oletetaan lisäksi, että X on eksakti ja että X n on projektiivinen, kun n 0. Silloin ketjukuvaukset F ja G ovat homotooppiset.

21 Todistus. Todistus suoritetaan induktiolla. Tarkastellaan aluksi kaaviota f f=0 M ϕ 1 X 0 F 0 G 0 s 0 M ϕ 1 X 0 ϕ 0 X 1 Koska kaavio (4-6) kommutoi, on voimassa ϕ 1 (F 0 G 0 ) = ϕ 1 F 0 ϕ 1 G 0 = fϕ 1 fϕ 1 = 0. Lemman 4.2 nojalla on olemassa sellainen kuvaus s 0, että F 0 G 0 = ϕ 0 s 0. Oletetaan nyt, että on löytynyt sellaiset kuvaukset s i : X i X i+1, että homotopiaehto ϕ i s i + s i 1 ϕ i 1 = F i G i on voimassa, kun i {0, 1,..., n}. Tarkastellaan kaavoita X n ϕ n Xn+1 F n G n s n 1 ϕ n 1 F n+1 G n+1 s n ϕ n s n+1 X n ϕ n X n+1 ϕ n+1 X n+2 Kaavio (4-6) kommutoi, joten ϕ n (F n+1 G n+1 s n ϕ n ) = F n ϕ n G n ϕ n ϕ n s nϕ n = (F n G n ϕ ns n )ϕ n = s n 1 ϕ n 1 ϕ n = 0. Toiseksi viimeinen yhtäsuuruus saadaan induktio-oletuksesta ja viimeinen johtuu siitä, että jono X n on kompleksi. Jono X oletettiin eksaktiksi, ja X projektiiviseksi, joten jälleen lemman 4.2 nojalla on olemassa sellainen kuvaus s n+1 : X n+1 X n+2, että F n+1 G n+1 s n ϕ n = ϕ n+1 s n+1. Määritelmä 4.7. Olkoon I moduli kategoriassa C. Moduli I on injektiivinen, jos kaaviossa (vaakarivi eksakti) I 0 B ϕ C (4-7) kuvaus voidaan jakaa ϕ:n kautta aina, kun B ja C ovat kategorian C moduleja ja ja ϕ sen morfismeja. Tämä merkitsee sitä, että on olemassa sellainen kuvaus : C I, että = ϕ.

22 Lemma 4.8. Jos I on injektiivinen ja kaaviossa A I ψ A ϕ A (4-8) on Ker ϕ = Im ψ ja ψ = 0, on olemassa sellainen kuvaus : A I, että kaavio (4-8) kommutoi. Todistus. Oletuksen nojalla Ker Im ψ = Ker ϕ, joten kuvaukset : A/ Ker ϕ I, (a + Ker ϕ) = (a) ja ϕ : A/ Ker ϕ A, ϕ(a + Ker ϕ) = ϕ(a) ovat hyvin määriteltyjä. Valitaan kaaviossa (4-7) B = A/ Ker ϕ ja C = A. I 0 A/ Ker ϕ ϕ A Injektiivisyyden määritelmän mukaan on olemassa sellainen kuvaus : A I, että = ϕ. Kuvaus saa kaavion (4-8) kommutoimaan. Määritelmä 4.9. Resoluutio 0 M X 0 X 1 X 2 on injektiivinen resoluutio yli modulin M, jos modulit X i, i 0 ovat injektiivisiä. Lause 4.10. Olkoot X ja X komplekseja. X : 0 M d 1 d X 0 d 0 1 X1 X2 f X : 0 M d 1 X 0 d 0 X 1 d 1 X 2 Oletetaan lisäksi, että X on eksakti ja X n injektiivinen, kun n 0. olemassa vastaketjukuvaus F : X X yli f:n. Silloin on Todistus. Todistus on analoginen lauseen 4.5 todistuksen kanssa. Lause 4.11. Olkoot kompleksit X ja X kuten lauseessa 4.10, sekä F ja G ketjukuvauksia yli f:n. Silloin F ja G ovat homotooppiset. Todistus. Väite todistetaan samoin kuin lause 4.6. Huomautus 4.12. Käsitteet projektiivinen ja injektiivinen ovat toistensa duaalikäsitteitä, eikä lauseiden 4.10 ja 4.11 todistuksia ole tarpeen kirjoittaa, sillä todistukset ovat analogisia lauseiden 4.5 ja 4.6 todistuksien kanssa. Kategoriateoria tuo tähän lisävalaistusta.