GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 GPS jäjestelmän teoeettisista peusteista Tkt Tuomo Suntola Relatiistiset ilmiöt kellojen näyttämissä ja signaalien kulkuajoissa 1. Liikkeen ja gaitaation aikutus (aikaan) kelloihin. GPS-jäjestelmän koodinaattiaika 3. Signaalin kulkuaikaan liittyiä tekijöitä 4. Maapallo ja GPS-jäjestelmä auingon gaitaatiokehyksessä 5. Päätelmiä 1. Liikkeen ja gaitaation aikutus (aikaan) kelloihin Suppean suhteellisuusteoian keskeisenä lähtökohtana on ollut haaintokoodinaatiston kuaaminen siten, että alon nopeus ilmenee samana jokaiselle leossa tai tasaisessa liikkeessä olealle haaitsijalle. Kellojen käyntitaajuuden osalta aatimus toteutuu kun haaitsijaan nähden liikkeessä olean kelloon soelletaan Loentz muunnoksesta saataaa aikadilaatiota, ts. liikkeessä olean kellon käyntitaajuus (tai ajan kulku) haaitaan tekijällä 1 hidastuneena, missä on kellon nopeus haaitsijaan nähden. Aikadilaatio todennettiin ensimmäisen kean laboatoiokokeissa 1930-luun lopulla sähkökentässä kiihdytettyjen ionien emissioaallonpituudesta (Ies & Stilwell) ja sen jälkeen 1960-luulla monissa Mössbaue-ilmiöön peustuissa sentiugeilla tehdyissä kokeissa, kua 1. Käytetyissä koejäjestelyissä lepotilaksi oitiin määitellä maanpallon pinnan mukana pyöiä laboatoio, ilman että maapallon pyöimisestä johtuaa nopeutta summattiin eeenssiäähtelijän ja laboatoiossa liikkeessä oleien äähtelijöiden nopeuteen. Kun astaaa koe uonna 1971 tehtiin ensi ketaa apaasti maapallon gaitaatiokehyksessä lentokoneissa liikkuilla kelloilla [1,], ei maan pinnalla oleaa haaitsijaa enää oitukaan pitää lepotilassa oleana, aan liikkeen aikutus kellojen jättämiin (aikadilaatioon) suhteutui maan pyöimisliikkeen suhteen leossa oleaan kelloon, kuten kuitteelliseen pohjois- tai etelänaalla oleaan kelloon, kua. Lepotilan tulkinta synnytti tieteellisen keskustelun suhteellisuusteoian peusteista; oikeaoppinen koulukunta katsoi, että suppean suhteellisuusteoian aikadilaatio on haaitsemiseen liittyä ilmiö haaitsijaan nähden liikkeessä oleasta objektista, mikä takoittaisi, että maapallon mukana pyöiää kuan kelloa K R tulisi oida pitää leossa oleana etailukellona [3,4]. Kokeen tulos oli kuitenkin yksiselitteinen, lentokoneessa länsisuuntaan maapallon ympäi lennätetty kello K W edisti maan pinnalla oleaan kelloon K R nähden kun taas itäsuuntaan lennätetty kello K E jäi jälkeen etailukellosta K R. Haainto antoi peustan maakeskeisen inetiaalikoodinaatiston määittelylle (Eath Centeed Inetial Fame, ECI-ame). ECI-kehyksessä takasteltuna maan pinnalla olea etailukello on liikkeessä maapallon pyöimisen, ja siten kellon sijaintipaikan leeyspiiin määäämällä nopeudella. Koska kellojen jättämät todettiin kelloissa itsessään olleilla laskueilla mekitsi koetulos myös, että kellojen jättämä ei ollut yhdistettäässä ei liiketilasta tapahtuaan haaitsemiseen, aan että se oli liiketilaan ko. liikejäjestelmässä sinänsä liittyä ilmiö. 48
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Kello suljetussa liikejäjestelmässä maan pinnalla Eath-Centeed, Eath-Fied Fame (ECEF Fame): Maakeskeinen koodinaatisto, joka on kiinnitetty maan pyöimiseen N K 1 1 = 0 1 0 1 ½ K 0 Laboatoiokokeet Ies Stillwell 1939 Mössbaue-kokeet 1960-luulla S Kua 1. Suljetussa liikejäjestelmässä liikkuan kellon aikadilaatio suhteutuu ko. liikejäjestelmän suhteen leossa oleaan kelloon. Kello liikkeessä maapallon gaitaatiokehyksessä Eath-Centeed Inetial Fame (ECI Fame): Maakeskeinen koodinaatisto, joka on iippumaton maan pyöimisestä N W ( h ) 1 ½ ( ) ω 0 W W K W K R K E E ( + ) ω E 0 1 ½ he ω R 0 1 ½ h R S K 0(h) Cesium-kellot lentokoneissa Haele, Keating 1971 Mössbaue-kokeet 1960-luulla Kua. Vapaasti maan gaitaatiokehyksessä liikkuan kellon aikadilaatio suhteutuu maan pyöimiseen nähden leossa, samassa gaitaatiopotentiaalissa oleaan kelloon. 49
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Edellä suoitetussa takastelussa käsiteltiin ain liikkeen aikutusta kellon käyntiin. Yleisen suhteellisuusteoian, tai ehkä oikeammin ekilenssipeiaatteen, mukaan myös kellon gaitaatiotila aikuttaa sen käyntinopeuteen, kuten myös Mössbaue-ilmiöön peustuissa kokeissa 1960-luulla ja yhtäpitäästi Haelen ja Keatingin lentokoneissa lennätetyillä Cesiumkelloilla oitiin todentaa. ECI-kehyksessä määiteltyjen liike- ja gaitaatiotilojen (gaitaatiopotentiaalin) yhteisaikutus kellon taajuuteen oidaan ilmaista kuan 3 lausekkeella GM GM 0 (, ) 0 (,0) 1 1 ½ 0 (,0) 1 ½ h missä etailukellona on maapalloon nähden kaukana leossa olea kello, jonka taajuus on, kua 3. 0 (,0) Yhtälöä (1) oidaan käyttää yleisenä lausekkeena paikallisessa liike- ja gaitaatiojäjestelmässä haaittaalle atomaaisen äähtelijän taajuudelle. Yleisen suhteellisuusteoian omalismissa yhtälö (1) saa muodon GM GM =, 0 (,0) 1 0 (,0) 1 β ½ tai gaitaatiopotentiaalin (1) () GM φ = aulla ilmaistuna muodossa φ φ (, ) = 0 (,0) 1+ β 0 (,0) 1+ ½β β (3) Yhtälöitä (1-3) oidaan soeltaa sellaisenaan satelliittien kellojen taajuuden (pope equeny) takasteluun ECI-kehyksessä, kua 4. Soellettaessa yhtälöitä maa-asemien kelloihin, on lisäksi huomioitaa maan litistyneisyydestä johtua leeysasteiippuuus gaitaatiopotentiaaliin. Gaitaation aikutus kellon käyntinopeuteen (aikaan) Eath-Centeed Inetial Fame (ECI Fame): Maakeskeinen koodinaatisto, joka on iippumaton maan pyöimisestä N GM 1 0( h ) 0 (, ) K E K W K,0 K R Yhdistetty liikkeen ja gaitaation aikutus: S K 0 GM 0, 0 (,0) 1 1 ½ h Kua 3. Massakeskuksen läheisyys hidastaa kellon taajuutta suhteessa kaukana massakeskusta oleaan etailukellon taajuuteen. 50
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Liikkeen ja gaitaation aikutus (aikaan) kelloihin ECI kehyksessä β = s GM φ = ( 0,0) M E nopeuseekti: ( β ) ( β ) φ,0 1 ½ gaitaatioeekti: φ 1+ ( φ,0) ( 0,0) konaiseekti: φ ( φ, ) 1+ ½ 0,0 Kua 4. Kuassa 3 esitettyä liikkeen ja gaitaation yhteisaikutusta kellotaajuuteen oidaan soeltaa sekä maan pinnalla, että satelliiteissa. Satelliitin ataliikkeen keskeiskiihtyyydellä ei ole aikutusta kellojen taajuuteen. Maapallon akiopotentiaali -geoidi φ θ = 1+ ½ θ ( ECI ) (,0) GM a 1 φθ = ( θ) ( θ) ( θ ) 1 1 J 3sin 1 P N (θ) θ θ = ωeosθ φ φ φθ = 1+ + ½ P P θ ( ECI ) (,0) φθ φ P θ = (,0) 1 ½ ECI P + ECEF ( 0) 0 S gh ( 0)( h) ( 0) 1 ECEF ECEF + h θ (θ ) 635674.05 + 1353.64 os θ + 39.83 os 4 θ + 0.798 os 6 θ + 0.003 os 8 θ Kua 5. Naoilta päiäntasaajalle siiyttäessä maapallon litistyneisyydestä johtua säteen kasu pienentää kellojen gaitaatiohidastumaa saman ean kuin maapallon pyöimisestä johtua kehänopeuden kasu lisää liikehidastumaa (aikadilaatiota). 51
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Maapallon litistyneisyys aiheuttaa gaitaatiopotentiaaliin kadopolimomentin (quadupole moment), jonka aikutuksesta gaitaatiopotentiaali on leeyspiiin θ unktio GM ( 0) 1 = 1 J ( 3sin 1) (4) ( θ) ( θ) φ θ E θ missä J = 1.086300 10 3 (= quadupole moment oeiient), (0) on maapallon säde ekaattoilla. Leeyspiiillä θ säteelle (θ) käytetään likiaoa (θ) = 635674.05 + 1353.64 os θ + 39.83 os 4 θ + 0.798 os 6 θ + 0.003 os 8 θ (5) missä ensimmäinen temi (90 ) = 635674.05 on maapallon säde naoilla. Yhtälöä (4) soeltaen saa maan pinnalla, pintaan nähden leossa olean kellon taajuuden lauseke muodon φ 1+ ½ E ( ECI ) (,0) os ( θ) θ (6) missä θ = ωe θ θ on maapallon pyöimisestä johtua nopeus ja φ E (θ ) on yhtälön (4) mukainen gaitaatiopotentiaali. Maapallon litistyneisyyden aiheuttama lisäys gaitaatiopotentiaalitemiin φ E (θ )/ maapallon säteen kasaessa päiäntasaajaa lähestyttäessä on jokseenkin yhtä suui kuin astaaa pyöimisnopeuden aiheuttama nopeustemin ½( θ /) pieneneminen, joten yhtälön (6) kahden iimeisen temin summa on akio. Maapallon akiopotentiaali -geoidi määitelläänkin yhtälöstä ( θ) Φ φe ½ akio = θ (7) josta oidaan atkaista akiopotentiaali -geoidin säde [t. yhtälö (5)] leeysasteiden unktiona, kua 5. On huomattaa, että näin määiteltyyn akiopotentiaaliin sisältyy maapallon pyöimisen antamasta liike-enegiasta johtua temi, joten akiopotentiaali Φ ei muodostu pelkästä gaitaatiopotentiaalista. Määittelystä johtuen atomikellon taajuus leossa meenpinnan kokeudella (= geoidin määäämän säteen etäisyydellä maapallon keskipisteestä) on akio [5]. Kellojen takastelu akipotentiaali-geoidilla takoittaa ECEF-kehyksen käyttöä, sillä liikeeeenssinä on tällöin maapallon pinta pyöimisliikkeineen. Kuassa 6 on eattu suppean suhteellisuusteoian tulkintaa ECEF ja ECI-kehyksissä. ECEF-kehyksessä takasteltuna aikadilaatiota soelletaan suhteelliseen nopeuteen ja kojataan kehyksen liikkeestä johtualla lisätemillä, jota nimitetään Sagna-kojaukseksi [6-8] (johtuen sen matemaattisesta samankaltaisuudesta Sagna-ilmiöön). ECI-kehyksessä takasteltuna aikadilaatiota oidaan soeltaa suoaan kellon kokonaisnopeuteen ECI = (Eath) + ω(θ), jolloin mitään lisäkojauksia ei taita. Kuassa 6 nopeus (East) takoittaa kellon maanpintaan nähden suhteellisen nopeuden itään suuntautuaa komponenttia ja ( ) sitä astaan kohtisuoaa nopeuskomponenttia. Kun kelloa kuljetaan itä länsisuunnassa maapallon ympäi nopeudella, joka on pieni maan paikalliseen pyöimisnopeuteen nähden, (East) = ECI ω(θ) = d ω(θ), oidaan kumuloitua aikadilaatio ECI-kehyksessä laskea taajuusdieenssin aikaintegaalista kuljetusaikana. Koska taajuusdieenssi on suoaan eannollinen nopeusdieenssiin, d = d, ja kuljetusaika kääntäen eannollinen nopeusdieenssiin, supistuu kuljetusnopeus (nopeusdieenssi) kumuloituan aikadilaation lausekkeesta, joka näin on kuljetusnopeudesta iippumaton. Kuassa 7 on esitetty aikadilaatio, joka syntyy kun kelloa kuljetetaan maapallon ympäi päiäntasaajaa myöten itä ja länsisuuntaan. ECEF kehyksessä takasteltuna näin saatua kellon jättämää/edistymää nimitetään Sagnasiitymäksi, jota kijallisuudessa käytetään määitelmän taoin tehtäänä kojauksena [8]. 5
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Siiettää kello ECI- ja ECEF kehyksissä K 0 K 1 N K 1 K 1 K 0 S ECI: ECEF: ωθ ECI 1 ½ ½, R MC + ( h ) ( East) = 1 ½, R MC ( h ) = MC 1+ ½ ½ = MC 1 ½ ωθ ( East) ωθ ( + ) + ( ) ( East) ωθ ωθ aikadilaatio aikadilaatio aikadilaatio Sagna -siitymä Kua 6. Maapallon gaitaatiokehyksessä, määätyssä gaitaatiopotentiaalissa, aikadilaatio määäytyy nopeudesta maapallon pyöimisestä apaaseen lepotilaan nähden (ECI-kehys). Jos aikadilaatio lasketaan suhteellisesta maan pintaan nähden, joudutaan tulosta kojaamaan Sagna - siitymällä. Aikadilaatio ai Sagna ilmiö? Kelloa kuljetetaan matka L = π nopeudella << ω(θ ) L Kellon näyttämä: N = ( ) T = N ECI: ωθ, [,0] 1 ECI h ω ECI h ( ½ eq ) eq ( ± eq ) d d L N N0 0 L = T = = N0 0 0 deq d eq π eq =± =± 07.4 ns [ ] eq Aikadilaatio - ketymä S ECEF: ( East) ωθ (, ) = (,0) 1 ½ ECEF h ECEF h R 0 0 N0 N ± d eq L ωeq πeq ωaeq = T = = ± = ± = ± 07.4 ns N d [ ] Sagna - siitymä Kua 7. Maapallon pyöimisnopeuteen nähden pienellä nopeudella siiettään kelloon kumuloitua aikadilaatio on ko. siitonopeudesta iippumaton. ECEF-kehyksessä takasteltuna ko. jättämää nimitetään Sagna-ilmiöksi. 53
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00. GPS-jäjestelmän koodinaattiaika Yhtälön (5) mukaista maapallon sädettä käyttäen saadaan geoidilla kuassa 8 esitetty kellotaajuuden iippuuus leeyspiiistä. Kuassa on myös esitetty geoidilla olean eeenssikellon (MC) taajuuden eo GPS-adalla käyään kelloon sekä kuitteelliseen ääettömän kaukana leossa oleaan eeenssikelloon. GPS-adalla toteutua kellotaajuuden eo Maste-kellon taajuuteen nähden on / = 4.465 10 10. Käytännössä adalleen lähetettäien GPS-satelliittien kellot iitetään ennen laukaisua käymään ketoimella 4.465 10 10 hitaammin kuin Maste-kello, jolloin ne adalleen päästyään käyät samalla taajuudella kuin Maste-kello maassa. On huomattaa, että GPS-kellojen koodinaattiaika on määitelty ECI-kehyksessä aikka eeenssinä (Maste Clok) käytetään pyöiän maapallon pinnalla ECEF-kehyksessä (Eath Centeed Eath Fied) määiteltyä standadiaikaa. Tämä on jossain määin hämmentäää syy lienee lähinnä histoiallinen, sillä 1970-luulle asti maan pintaa pyöimisliikkeineen totuttiin pitämään eeenssitilana suppean suhteellisuusteoian mukaiselle aikadilaatiolle. GPSjäjestelmän koodinaattiaika astaa ECI-kehyksessä leossa maapallon pohjois- ja etelänaan gaitaatiopotentiaalissa olean kellon osoittamana aikana. Kellon käyntitaajuus satelliitin kietoadalla GPS-satelliitin ata oidaan kuata Keplein atana, jolloin kellotaajuuden gaitaatio- ja liiketemit oidaan yhdistää. Satelliittien ata pyitään saamaan mahdollisimman takoin ympyäksi, sillä eksentisyys aiheuttaa kellotaajuuteen jaksollisen häiiön kuissa 9 ja 10 esitettyjen yhtälöiden mukaisesti. Kuten kuassa 10 on haainnollistettu, aiheutuu kellon näyttämään keskimäääisestä noin 0.5%:n eksentisyydestä amplitudiltaan 11.5 ns:n suuuinen sinimuotoinen häiiö, jonka jakso on satelliitin kietoaika, 11 tuntia 58 minuuttia. Kua 11 esittää tyypillistä GPS-kellodataa, jossa puolen uookauden jaksollisuus on selästi haaittaissa. Maste-kello (MC) ja GPS-kello (,0 ) P N θ (MC) MC GM 10 (,0) 1 (,0)( 1 6.9693 10 ) µ s 60. k ns/ MASTER ECEF ECI P 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 S 0 90 Latitude 60 30 0 GPS-kello ympyäadalla: 3 GM GPS = + a µ s µ s 1.6 k 38.6 k 10 10 1,0 (,0)( 1.5046 10 ) MC ( 1 4.465 10 ) Kua 8. Standadiaika on kiinnitetty maan akiopotentiaali -geoidilla (ECEF-kehyksessä) olean kellon taajuuteen. GPS-jäjestelmä koodinaattiaika määitellään kuitenkin ECI-kehyksessä, jonka kuitteellinen etailukello on leossa kaukana maasta (t. kua 4). 54
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Kellotaajuus (pope equeny) Keplein adalla ECI-kehyksessä GM (, ) 1 ½ 0,0 a M ϕ 1 1 = GM a 1 1+ eosϕ 1 = 1 + os a a ( 1 e ) ( e ϕ ) 3 GM GM GM (, ) (,0) 1 e osϕ 1 e osϕ a ϕ a a a a Kua 9. Keplein adalla olean satelliitin kellotaajuuden gaitaatio- ja liiketemit oidaan yhdistää Keplein enegiaintegaalin aulla. Radan eksentisyyden aiheuttama häiiö GPS-kelloihin E M ϕ GM 1 e osϕ ϕ a a ma min = ae 60 km 0.005 e= GMe T t t os d t 11.5 e+ sin E ns 0 e= 0.005 a π ( ϕ) ϕ [ ] Kua 10. Radan elliptisyys aiheuttaa satelliitin kelloon eksentisyyteen e eannollisen jaksollisen häiiön. 55
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Käsittelemätön GPS-kellodata kuudelle satelliitille 4 päiän aikana [m] 5 Eksentisyyttä 0,005 astaaa häiiö 30 [ns] 0 10 0 0 1 3-10 4-5 5-0 6-10 1 3 4-30 Kua 11. Käsittelemätön GPS-kellodata (=poikkeama Maste-kellon näyttämästä) sisältää mekittään jaksollisen häiiön satelliitin kietojan (11 h 58 min) taajuudella. Jaksollisten häiiöiden mahdollinen eliminointi datasta on käyttäjän tehtää. 3. Signaalin kulkuaikaan liittyiä tekijöitä Paitsi kellojen käyntitaajuutta on myös signaalin etenemistä yksinketaisinta takastella ECI-kehyksessä, johon myös alon nopeuden oidaan ajatella suhteutuan. Signaalin ns. Sagna-iie määätään matkasta, jonka (maan pintaan nähden paikallaan olea) astaanotin etenee maapallon pyöimisestä johtuen signaalin kulkuaikana, kua 1. Sagna-nimitys peiytyy tähänkin ilmiöön maapallon pyöimisliikkeestä, iieen laskutapa on kuitenkin sama astaanottimen mikä tahansa ECI-kehyksessä tapahtuan liikkeen suhteen. Yleisen suhteellisuusteoian mukainen aika-aauuden kaaeutumisesta johtua signaalin kulkuajan piteneminen maan massan läheisyydessä tunnetaan Shapio-iieenä. Jos alon koodinaattinopeuden etailuaona käytetään maan pinnalla määiteltyä alon nopeutta on oikeampaa puhua Shapio-nopeutumasta. Shapio-eekti oidaan johtaa Shwazshildin metiikasta, kua 1. GPS-signaaleille Shapio-eekti on suuuudeltaan noin 0.07 ns, mikä astaa noin 0 mm:n etäisyyttä signaalin kulkumatkassa, kua 13. Shaipo-eektin takempi analyysi heättää kysymyksen iieen akentumisesta signaalin kulkutien adiaalisen (massasta poispäin suuntautuan) ja toisaalta kulkutien tangentiaalisen komponentin suhteen. Suhteellisuusteoian Shapio-lausekkeessa iieen ketyminen tangentiaalikomponentin suunnassa on oletettu samaksi kuin sen ketyminen adiaalisuunnassa, jolloin päädytään kuan 14 lausekkeisiin. Valon koodinaattinopeus aikuttaa kummassakin suunnassa samalla taalla, mutta aika-aauuden kaaeutumisen aiheuttamasta iiaelementin d pitenemästä johtua iieen komponentti ketyy peiaatteessa ain adiaalikomponentin osalta, kua 15. Jos tällainen kojaus huomioidaan, saa Shapio-iieen lauseke kuassa 15 esitetyn muodon. Suuuudeltaan ko. kojaus GPS-signaalin Shapio-iieeseen on nollasta neljään millimetiä edellä todettuun noin 0 mm:n iieeseen signaalitien etikaalikulmasta iippuen. 56
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Vastaanottimen liikkeestä johtua kojaus dt d = t otation d t = = = ± 0...10 ns Sagna-iie d [ ] t (0) [ ] 6 Etäisyys 0...5 10 m Signaalin kulkuaika t = t1 t0 = 70...80 ms [ ] t (1) N t (0) dotation Vastaanottimen nopeus ECI-kehyksessä [ ] = t 0...30 m Kua 1. Satelliitin etäisyyden ja signaalin kulkuajan määityksessä on huomioitaa astaanottimen liike signaalin kulkuaikana satelliitista astaanottimeen. Aika-aauuden kaaeuus ja Shapio-iie Shwazshild meti: GM d ds dt dθ θ d = 1 + + + sin ( 1 GM/ ) ( ϕ ) d GM dt dt os 0 φ dt φ = = δ d d d d GM = = δ t AB GSM 1 0.07 [ ns] 0 [ mm] 1 d d d d δ d( dt) = = d d GM GM 1 dt = d = ln 3 3 Kua 13. Aika-aauuden kaaeutuminen massakeskuksen läheisyydessä hidastaa signaalin koodinaattinopeutta ja pidentää signaalin kulkutietä. 57
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 4. Maapallo ja GPS-jäjestelmä auingon gaitaatiokehyksessä Kuten edellä esitetystä on käynyt ilmi aikuttaa paikallinen gaitaatiopotentiaali ja nopeus paikallisessa gaitaatiojäjestelmässä atomikellon käyntitaajuuteen. Maapallo satelliitteineen liikkuu auingon gaitaatiojäjestelmässä adalla, jonka eksentisyys on noin 0.0167. Tämä mekitsee, että auingon gaitaatiokehyksessä takasteltuna kaikkien jäjestelmän kellojen käyntitaajuuteen tulee uodenajasta iippua tekijä tammikuun alussa, jolloin maa on peihelipisteessään kellot käyät hitaimmin ja heinäkuun alussa, kun maa on aphelissä, nopeimmin, kuat 16 ja 17. Shapio-iie (nopeutuma) B B B AB = B A M d A A A t AB GSM 0.07 [ ns] 0 [ mm] GM B + B GM A + B + AB tab = ln 3 = 3 A + A A + B AB Kua 14. GPS-satelliiteille aika-aauuden kaaeutumisesta johtua Shapio-kojaus on noin 0.07 ns. Shapio-iie, kun tangentiaalinen iiaelementti pidetään akiona d d dϕ α ds ϕ φ t AB GSM 0.06 [ ns] 17 [ mm] GM B + B B A tab = ln 3 A + A B A Kua 15. Aika-aauuden geometinen takastelu johtaa päätelmään, että Shapio-iie on suuempi signaalin kulkutien adiaalikomponentille kuin tangentiaalikomponentille. 58
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Maapallo auingon gaitaatiokehyksessä Helioenti Inetial Fame: Auinkokeskeinen koodinaatisto, joka on planeettaliikkeistä iippumaton GM Eath MC 1 e os ϕ GPS ϕ a Eath ϕ GM Sun MC 1 e os Eath a Eath ϕ aeath MSun 3 GM Sun 1 Eath( a) (,0) aeath Kua 16. Auingon gaitaatiokehyksessä takasteltuna on maapallon gaitaatiokehyksessä oleien kellojen taajuuksissa maan adan eksentisyydestä johtua jaksollinen häiiö. Häiiö älittyy sekä maan pinnan että satelliittien kelloihin. B Kellon taajuus auingon gaitaatiokehyksessä ( lok ) = lok ph µ s = 1+ 1.13 k lok ph µ s = 1 1.13 k M = ± GM Sun aeath e Eath 1 Eath seond = the SI unit o time equal to the duation o 9 19 631 770 peiods o the adiation oesponding to the tansition between two hypeine leels o the gound state o the aesium-133 atom. Kua 17. Maan planeettaadan eksentisyydestä johtuan jaksollisen häiiön amplitudi maan standadiajassa on noin 1.13 µs/k. 59
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Kuassa 16 on yhdistetty kellojen gaitaatio- liikekojaukset auingon ja maapallon gaitaatiokehyksissä. Reeenssitaajuus ( 0, ) kuassa 16 takoittaa nyt kaukana auingosta, auinkoon nähden leossa olean kuitteellisen kellon taajuutta. Maan ja satelliittien kellojen uosiaihtelu on sama, joten uodenaikaan liittyiä taajuuseoja ei kellojen älille synny. Esitetty sisäkkäisten gaitaatiokehysten ketjutus ei sellaisenaan kuulu suhteellisuusteoian omalismiin, mutta se antaa kokonaisaltaisen ja haainnollisen kuan kellotaajuuksiin aikuttaista tekijöistä. Suhteellisuusteoia on lähtökohdiltaan paikallisteoia, jota yleensä soelletaan yhdessä määitellyssä haaintokehyksessä. Auingon aikutusta GPS-jäjestelmän kelloihin on kijallisuudessa käsitelty asin ähän. Ensisijainen päätelmä on, ettei auingon gaitaatio eikä maan obitaaliliike auingon ympäi aikuta GPS-jäjestelmän kelloihin [5,6,9,10]. Päätelmä peustuu satelliittijäjestelmän takasteluun auinkoa kietäänä haaintokehyksenä, jonka auinkoa lähempänä olea euna liikkuu auinkoon nähden hitaammin kuin kauempana auinkoa olea euna. Kuten yksinketaisella laskulla oidaan osoittaa, tulisi auingon gaitaatiosta johtua gaitaatiosiitymä tällöin kumotuksi liikkeestä johtualla astakkaismekkisellä aikadilaatiosiitymällä, jolloin nettoaikutus olisi nolla, kua 18. Kuassa 16 esitetyn sisäkkäisten gaitaatiokehysten takastelu ja ECI-kehyksen ensisijaisuus elatiististen kojausten soeltamisessa eiät tue päätelmää gaitaatiosiitymää kumoaasta liiketemistä, sillä ECI-kehyksen koodinaatistosuunta on lukittu tähtiaauuteen eikä auinkoon, ts. auingosta katsottuna ECI-koodinaatisto pyöähtää uoden aikana 360 maan obitaaliliikettä astaan, mikä kumoaa edellä päätellyn nopeuseon GPS-kehyksen auinkoa lähempänä ja kauempana olean eunan älillä, kua 19. Tällöin auingon gaitaatiosiitymä jää nettoeektiksi, mikä takoittaisi auingon hetkelliseen etäisyyteen eannollista jaksollista häiiötä GPS-satelliitin kelloissa. Suuimmillaan tällainen häiiö olisi silloin, kun GPSatataso osoittaa kohti auinkoa, jolloin kellohäiiön amplitudiksi tulee noin 1 ns, mikä on jokseenkin sama kuin 0.5 %:n eksentisyyttä astaaan jaksollisen häiiön amplitudi. GPS-jäjestelmä auingon gaitaatiokehyksessä Yleisen suhteellisuusteoian tulkinta: gaitaatio- ja nopeussiitymät kumoaat toisensa ma ω min R = R0 + sin Ωsinϕ g g Sun sin Ω sinϕ 0 ( sin sinϕ ) = ω R + Ω = ωsin Ωsinϕ 0 0 = sin Ωsinϕ R gsun = sin Ωsinϕ ( β ) g = d Sun sin sin = Ω ϕ 0 Kua 18. Suhteellisuusteoian tulkinnan mukaan maan satelliittijäjestelmän nopeus auingon gaitaatiokehyksessä on suuimmillaan kun satelliitti on etäimmillään auingosta. Näin saadun nopeuden aiheuttama aikadilaatio kumoaa suuemmasta gaitaatiopotentiaalista johtuan gaitaatiosiityman. 60
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 ECI-kehys auingon gaitaatiokehyksessä Vaihtoehtoinen tulkinta: ECI-kehys säilyttää suuntansa heliosentisessä kehyksessä ψ ψ obital( ψ ) ω Vaihtoehtoinen tulkinta: Koska ECI-kehys on lukittu tätitaiaaseen, pyöäyttää maan kieto auingon ympäi ECI-kehystä astapäiään auinkoon nähden, mikä kompensoi ulko/sisäkehä -eektin: ω R = R0 + sin Ωsinϕ Nopeus maan adan suunnassa ψ: R 1 os sin obital = ω ψ 0 ( + Θ ψ ) otation = ω sin Θsinψ ψ = ωr total( ψ ) 0 Auingon eekti: g Sun g g Sun sin Ω sinϕ 0 [ ] t = t0 sin Ω sinϕ = 1 ns sin Ω sinϕ Kua 19. Maan ECI-kehyksen suunta on kiinnitetty tähtiaauuteen, mikä eliminoi kehyksen sisäkehän ja ulkokehän älisen nopeuseon, ja siis myös aikadilaatioeon auingon gaitaatiokehyksessä. Tällöin ECI-kehyksen kelloihin syntyy auingon gaitaatiopotentiaaliin (auingon etäisyyteen) eannollinen siitymä, mikä haaitaan ECI-jäjestelmässä kietoliikkeessä oleissa kelloissa jaksollisena häiiönä. The Eet o Sola Gaitational Potential on GPS Cloks Tom Van Flanden & Thomas B. Bahde Amy Reseah Laboatoy PAWG, Coloado Spings 1998 August 19 (last two slides updated 00 Mah 30) Conlusions (last slide) Sola potential eet does not eist in GPS data; motion is oed Uneplained 1-hou peiods oelated with Sun dietion must hae some othe eplanation No unesoled elatiity issues emain at the 1-mete leel o GPS Soue: http://www.shiee.a.mil/gps/pawg/pawg%01998/papes/anlanden.ppt. Kua 0. GPS-kelloissa on oitu todeta auingon gaitaatiopotentiaaliin eannollinen jaksollinen häiiö, jonka syytä ei ole identiioitu. 61
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 Auingon asemaan koeloituista häiiöhaainnoista olen löytänyt ain yhden maininnan GPS-kijallisuudessa, kua 0 [11]. Haaittua auingon asemaan koeloituaa jaksollista häiiötä pidetään selittämättömänä ilmiönä edellä esitettyyn suhteellisuusteoian tulkintaan peustuen. Tutkimuksen tekijä ahistaa, että haaittu häiiö astaa laskennallista auingon gaitaatiosiitymän suuuutta [1]. Haainto puoltaa kuissa 16 ja 19 esitettyjä ECI-kehyksen ominaisuuksiin ja sisäkkäisten gaitaatio- ja liikekehysten omalismiin peustuaa tulkintaa. Kuassa 1 on soitettu tältä pohjalta laskettu kuan 19 mukainen maksimihäiiö an Flandenin GPS-siuillaan julkaisemaan, suuimman auingon asemaan koeloituan häiiön sisältämään GPS-dataan, josta satelliitin adan eksentisyyteen liittyä häiiö on poistettu. Auingon gaitaation mahdollisella aikutuksella satelliittikelloihin on teoeettisessa mielessä eittäin suui mekitys kokonaisuuden takasteluun. Koska maa-asemien kellot käyttäytyät gaitaatiopotentiaalin ja liikkeen suhteen ECI-kehyksessä samalla taoin kuin satelliittikellot, mekitsisi se, että myös maa-asemien kelloissa olisi löydettäissä auingon gaitaatiopotentiaalista johtua jaksollinen häiiö. Koska maapallon säde on huomattaasti pienempi kuin GPS-adan säde, muodostuu maapallon pyöimisestä johtua auingon gaitaatiopotentiaalin heilahtelu maa-asemilla pienemmäksi kuin se muodostuu GPS-satelliiteilla. Vastaaasti kuitenkin kelloiheen integointiaika maa-asemien kelloissa on kaksinketainen GPSsatelliittikelloihin nähden, joten maksimissaan (päiäntasaajalla) maa-aseman kellon auinkohäiiölle saadaan lauseke d( VE.. + ) t t 5.8 [ ns] 1 0.1 sin π osθ sin π 365 (8) 4 h missä uookausijakson lisäksi esiintyy ekliptikan kalteuudesta johtua uosijakso sekä maa-aseman leeyspiiistä θ määäytyä amplituditekijä. Haaintoja jaksollisesta jäännöshäiiöstä Suuin haaittu, ei eksentisyyteen liittyä 1 h häiiö: satelliitti 3 Lähde: Van Flanden, Absolute GPS to bette than one mete Maksimi gaitaatiosiitymä auingon gaitaatiokehyksessä Kua 1. GPS-satelliittien tunnistamaton jaksollinen häiiö astaa huomattaalla takkuudella ECI-kehyksen ominaisuuksista pääteltyä auingon gaitaatiopotentiaalin aikutusta. 6
GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos 7.11.00 5. Päätelmiä GPS-jäjestelmässä on ielä unsaasti käyttämättömiä mahdollisuuksia. Jäjestelmän kokonaistakkuus on saatu tasolle, joka mahdollistaa suhteellisessa paikannusmittauksissa millimetitason sekä hoisontaali- että etikaalisuunnassa. Absoluuttipaikannuksen ja signaalin sisältämän meteoologisen inomaation täysimittaiseksi hyödyntämiseksi tulisi signaaliin sisältyien eityisesti jaksollisten häiiöiden ysikaalinen alkupeä ja mallinnus saattaa nykyistä takemmalle tasolle. Esimekiksi kuan 1 jaksollinen jäännöshäiiö on amplitudiltaan eilut kolme metiä, mikä on yli kymmenketainen meteoologian kannalta kiinnostaaan ilmakehän kosteuden aiheuttamaan signaaliiieeseen eattuna. Takkuudeltaan ja haaintojäjestelmän kattauudeltaan GPS-jäjestelmä tajoaa myös ainutlaatuisen mahdollisuuden ysiikan ja kosmologian teoioiden ja niiden soeltamisen testaamiseen. Kijallisuusiitteet [1] Haele, J.C. and Keating, R.E., Aound-the-Wold Atomi Cloks: Pedited Relatiisti Time Gains, Siene 177 (197) 166 [] Haele, J.C. and Keating, R.E., Aound-the-Wold Atomi Cloks: Obseed Relatiisti Time Gains, Siene 177 (197) 168 [3] Shlegel, R., Relatiisti East West Eet on Aibone Cloks, Natue Phys. Si. 9 (1971) 37 [4] Haele, J.C., Reply to Shlegel, Natue Phys. Si. 9 (1971) 38 [5] Neil Ashby, Relatiisti Eets in the Global Positioning System, Pesented at the Fiteenth Intenational Coneene on Geneal Relatiity and Gaitation, Pune, India, Deembe 15-1, 1997 [6] Neil Ashby and Daid W. Allan, Patial Impliations o Relatiity o Global Coodinate Time Sale, adio Siene, 14, No.4 (1979) 649 [7] Ashby, N., Relatiity and the Global Positioning System, Physis Today, May 00 (00) 41 [8] D.W. Allan, M.A. Weiss, N. Ashby, Aound-the Wold Relatiisti Sagna Eet, Siene 8 (1985) 69 [9] Manasse, F.K., and Misne, C.W., Femi nomal oodinates and some basi onepts o dieential geomety, J.Mat.Phys., 4(6) (1963) 735-745 [10] Bahde, T.B., Femi Coodinates o an Obsee Moing in a Cile in Minkowski Spae: Appaent Behaio o Cloks, Geneal Relatiity and Quantum Cosmology, http://ai.og/ps_ahe/gq/pd/9811/9811009.pd [11] Van Flanden, T., Bahde, T.B., The Eet o Sola Gaitational Potential on GPS Cloks, PAWG, Coloado Spings, August 19 1998, http://www.shiee.a.mil/gps/pawg/pawg%01998/papes/anlanden.ppt [1] Van Flanden, T. / Suntola, T., e-mail kijeenaihto, lokakuu 00. 63