Sisälls Alkust Tehtävie rtkisuj Fuktiot j htälöt MAA Reliluvut Yhtälö j epähtälö 7 Potessit j juuret Fuktio-oppi *Mtemttie mllitmie Lisätehtäviä Polomifuktiot MAA Polomilsket 7 Toise stee htälö Korkemm stee htälö 9 Polomiepähtälöt *Neliöjuurihtälö j -epähtälö Lisätehtäviä. pios 00 Pvo Jäppie, Alpo Kupiie, Mtti Räsäe j Kustusoskehtiö Otv Titto: Pvo Jäppie Toimitus: Riitt Hppoe Kopioitiehdot: Tämä teos o opettj ops/opettj kirj. Teos o suojttu tekijäoikeuslill 0/. Tekstisivuje vlokopioimie o kiellett, ellei vlokopioitii ole hkittu lup. Trkist, oko oppilitokselle voimssolev vlokopioitilup. Lisätietoj luvist j iide sisällöstä t Kopiosto r, www.kopiosto.fi/. Teokse kikkie klvopohjie j kokeide vlokopioiti opetuskättöö o sllittu, mikäli oppilitokselle o voimssolev vlokopioitilup. Teokse ti se os digitlie kopioimie ti muutelu o ehdottomsti kiellett. Alkust Tämä ieisto liitt pitkä mtemtiik oppikirj Lukio Clculus :ee j se o trkoitettu helpottm opettj tötä j opeuttm tehtävii tutustumist. Aieisto sisältää kurssie Fuktiot j htälöt j Polomifuktiot tehtävie rtkisuj. Lähes kikkie tehtävie rtkisut o esitett. Muk ei kuitek ole otettu iv kikkei helpoimpi tehtäviä, joiss hrjoitell vi käsitteide kättöä j jotk ovt melko mekisi. Sitä vstoi kikki soveltmist, lsoiti ti todistmist edellttävät tehtävät o rtkistu. Tehtävie rtkisuihi o pritt liittämää sllist selvitstä j hviollistvi piirroksi. Tvoittee o, että mös oppilt tottuvt esittämää trpeelliset perustelut j ltim vstukses ii, että siitä kä ilmi, mite rtkisu o jteltu. Tämä edellttää usei juuri tädetävä sllise selvitkse kättöä. Tmmikuuss 00 Tekijät Piopikk: Otv Kirjpio O Keuruu 00 ISBN 9--9-X
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Tehtävie rtkisuj Fuktiot j htälöt Reliluvut Lukulueet. Luoollisi lukuj ovt j. Kokoislukuj ovt, j 9. c Rtiolilukuj ovt 0,,, j d Irrtiolilukuj ovt π, j 0,... e Kikki esitett luvut ovt relilukuj. 9. 7. Luku o suurempi, sillä 0, 7070070007... j 0, 707707707... 8., 0, 00 99 c olkoo,,..., jolloi 00, j 0, Edellee 9 00 0 90 9. Tästä. 90 9. Lukuje 0,000000708090... j 0,789... välillä olevi rtiolilukuj o äärettömä pljo. Esimerkiksi 0, o rtiolie j o esimmäistä luku suurempi j jälkimmäistä pieempi. Smoi o 0,0; 0, je. 0. Neliö lävistäjä d j sivu suhde o, jok o irrtioliluku. Todistus: Luvut d j toteuttvt Pthgor htälö d, jost d d d j edellee. Jos stu suhde olisi rtiolie, olisi m eli joki supistetuksi oletettu murtoluku. Ei voi oll, kosk mikää m m kokoisluvu eliö ei ole. Kuiteki olisi, mutt tämä o mhdotot, kosk htälö vse puoli ei supistu kokoisluvuksi. Siis ei ole rtioliluku.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj *. Oletet, että lskime tm likirvo π :lle o p,9. Luku q o p:tä suurempi, sillä q, 990. Lsket, kuik mot prosetti q o p:tä suurempi q p, 990, 9 0, 000008 % p, 9 *., 7... j 77., jote 08, 87 77.. : likirvo 08 o kuude umero trkkuudell oike. 08 9 787 π, 9 8979 8... Se likirvo o 798 8 000, 9 8979 8.... Tästä ähdää, että likirvoss o oike desimli eli oike umero. Ksmksessä olev likirvo o esittät itseoppiut itilie mtemtikko Sriivs Rmuj 887 90 muodoss 0, 000. Rmujill oli pettämätö ituitio luvuist j lukusuhteist, j kseie likirvo o vi ksi moist häe esittämistää π : likirvoist. *. Kertolsku j jkolsku ovt määriteltjä etuss lukujoukoss A {,0,}. Yhteelsku ei ole määritelt joukoss A, sillä esimerkiksi summ rvo ei ole A:ss. Möskää väheslsku ei ole määritelt joukoss A, sillä esimerkiksi erotukse rvo ei kuulu lukujoukkoo A. Kertolsku o määritelt A:ss, sillä mikä ths khde A: lkio vikk smojeki tulo o A: lkio. Sotust sstä mös jkolsku o määritelt A:ss. Luoollisesti suljet pois tpus, jolloi jkj o oll. *. Alkuluku o joto positiivie kokoisluku eli sellie luoollie luku, jok o jollie vi luvull j itsellää. Luku ei pidetä lkuluku, jote piei lkuluku o. 0 8 Toistiseksi joulukuu 00 suuri tuettu lkuluku o luku. Siiä o 7 7 umero. Ajtell, että luku kirjoitettisii A-rkeille ii, että hdelle rkille tulee 00 umero. Luvu esittämisee trvittisii silloi kikki 89 rkki! Jos ämä kiiitetää vierekkäi sopivlle lustlle, tulee pperijoo kokoispituudeksi oi 08 metriä. Esimerkiksi iteretosoitteest http://www.utm.edu/reserch/primes/lrgest.html löt mielekiitoist tieto lkuluvuist. Alkulukuj käsitellää mös Lukio Clculus-srj oppikirjss svetävällä kurssill Lukuteori j logiikk.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Lskulit, vstluku j kääteisluku. Summ 99 98 97 97 98 99 00 void lske helposti soveltmll hteelsku vihdt- j liitätälkej. Summ kirjoitet muotoo 99 99 98 98 97 97 0 00, jost ähdää rvo 00.. Luvut, jotk ovt kääteislukus kss smoj, ovt j.. Luvu j se vstluvu summ o 0, erotus, tulo j osmäärä.. 0, jote luvut j ovt toistes vstlukuj., jote j ovt toistes kääteislukuj, ku, 0. *.. Kosk j ovt toistes vstlukuj, summ o 0.. Kosk j ovt toistes kääteislukuj, o, jote luseke sieveee muotoo. Lukuje suuruusjärjests 0. Pituuksie suhde o. Yhteise väli pituus o. -7 - - - - - - 0. Ku khtee lukuu lisätää sm luku, lkuperäie suuruusjärjests säil. Epähtälömerki suut säil, ku epähtälö molempii puolii lisätää sm luku. Esimerkki: <. Silloi pätee vikkp < eli < 7. Khde positiivise luvu tulo o i positiivie. Esimerkki: > 0 j > 0. Silloi pätee > 0 eli 0 > 0.. Epähtälö m > m pätee kikille reliluvuille m, kosk se o htäpitävä idettisesti tode epähtälö > 0 kss. Epähtälö m m > m ei päde i, sillä esimerkiksi mikää egtiivie reliluku ei toteut sitä. m c Yhtälö m pätee i, ku se o määritelt eli kikill m 0. 9 0. Ku F C, ii C F. Ku F, o C,, j ku F 8, o 9 9 C 7,8. Ku Fhreheit-lukemt ovt välillä < F < 8, ovt vstvt Celsius-lukemt välillä, < C < 7,8.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj *. Jos j ovt kksi rtioliluku, ii iki keskirvo eli luku c o iide välissä. Esiäki kseie luku o rtioliluku. Sillä jos j m, m p q mq p, p j q ovt kokoislukuj,, q 0, ii c Q. Oletet, että <. q Silloi <, jote < c. Smoi <, jote c<. *. Piei ei-egtiivie reliluku o 0. Kosk väli 0, o suljettu, se suuri luku o. c Välillä 0, ei ole suurit luku. Jos se olisi luku, ii olisi <. Mutt silloi luku olisi sekä :tä suurempi että luku pieempi, jote ei voi oll suuri ko. välillä. Itseisrvo. Oletet, että 0. Silloi > 0 o tosi, kosk i 0 j 0 vi, ku 0 > o epätosi, sillä esimerkiksi : rvoll pätee < c o tosi, kosk vstlukuje itseisrvot ovt htä suuret d eli o epätosi esimerkiksi : rvoll. 00, ku 00 ti 00, ku ti. Näistä ti c, ku ti. Näistä ti. < 0, ku 0 < < 0-0 -9-8 -7 - - - - - -, ku -0-9 -8-7 - - - - - - c >, ku < ti > -0-9 -8-7 - - - - - - 0 7 8 9 0 0 7 8 9 0 0 7 8 9 0. Lukusuor pisteide j välimtk o, jos <. Jos ts >, välimtk o. Kummsski tpuksess välimtk o. Tulos pätee mös tpuksess.. Kosk luvu itseisrvo ei ole egtiivie, ii 0 vi, jos 0 j 0. Sd j.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 7 Yhtälö j epähtälö Esimmäise stee htälö. Kirjoitet htälö esi muotoo. Ristii kertomll sd, jost j.. cd c d cd c c c c d c d d cd F. F m s t m c s v 0 t t t s v 0 t s t s v t. Olkoo J plkk euro. Aettuje tietoje perusteell sd htälö 7, jok rtkisu 70. 7. Kosk htälö rtkisu o, o, jost 8 j 9. 8. Olkoo reiti pituus. Pikllisju tähä mtk kättämä ik o puoli tuti pitempi kui pikju kättämä, mistä sd htälö 0, h. Mtk pituudeksi tulee 00 km. 80 km / h 00 km / h 9. Jettv o jkj kert villiie osmäärä plus jkojääös. Tämä muk sd htälö 00 8, jok rtkisu o. 0 t Esimmäise stee epähtälö. c - - - - 0 - - - - 0 - - - - 0, -, ollkoht ollkoht ollkoht,8
8 Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj. < < 9 < 9 < > 7. Nousev suor o -kseli läpuolell heti ollkohts jälkee. Siis ollkoht o. Sd htälö 0, jost. 9 8. Olkoo piei tehtävä miitsemist kokoisluvuist. Silloi > 000 > 99 > 8,. Piei kokoisluvuist o siis 9, j seurvt 0, j. 9. Epähtälö > rtkisu o <, jolloi suuri ehdo tättävä kokoisluku o. 70. Lukuje j erotus o. Ku >, erotus o positiivi. Siitä void päätellä, että o suurempi kui. 7. c, ku <, ku, ku, ku <, ku <, ku <, ku, ku, ku < 0, ku < d, ku 0, ku 7. Olkoo jokilometrie määrä. Aettuje tietoje perusteell sd epähtälö 800 0, > 9 00 0,07, jok rtkisu > 0 000 km. 7. Kokoispit-llle sd ehto 8 < 8, jost <. Kosk särmä pituude pitää oll oll suurempi, tulee vstukseksi 0< <. Tilvuudelle sd ehto 0, jost.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 9 Prosettilsku 8 8 7. Tttöjä oli 0,0 0, %. 8 07 7. Mri si mehu 0, 8 kg 0,8 kg 9, 7 kg. 7. 0,0 00 7,0. Kosk prosettirvo o pieempi kui 8, korotukseksi tulee 8, jolloi uusi kuukusiplkk o 8. 0,0 00 0,. Uusi kuukusiplkk o,. 77. Siki määrä esieessä o 0, 0 80 g 0 g, jote ikkeliä o 80 g 7 g 0 g 0 g. Nikkeli osuus o 0 g 0 80 g, %. 78. Väestökto oli 0 0 0 000 0 hekilöä eli Väkiluvu pitäisi ksv 0 hekilö verr eli 0 0 0 0 0 000 79. Olkoo vuokr ee korotust euro. Korotukse jälkee se o,0,0 euro. Tästä,9. 80. Aletmto hit sd htälöstä 0,7,70, jost 9,0. 0, 0, %. 0, 0, %.,70 0,7 8. Driki lkoholipitoisuus o 00, cl 0, 0 cl 0, 0, %. cl 0 cl cl 8. Seokse kultpitoisuus o 0, 8 0 g 0, 0 g 0, 8 8 0 g 0 g % 0. 8. Olkoo trvittv määrä sokerijuurikkit. Merkitää se j sokeriliuokse sisältämät sokerimäärät htä suuriksi: 0, 8 0, 0 0 t. Tästä, t. 8. Mire si leivästä j mrgriiist rsv hteesä 0, 09 00 g 0,0 0 g,9 g. Merkitsemällä riisi määrää :llä sd htälö 0, 009, 9 g, jok rtkisu 7, kg. 8. Olkoo mss 00 sukst. Tällöi rsk puhuvi o 7 j sks puhuvi eli hteesä, jote kht kieltä puhuvi o. Tämä o % suksmäärästä 00. 8. Olkoo televisio lkuperäie hit. Aleuste perusteell sd htälö 0,98 0,90 88, jok rtkisu 88 90. 0,98 0,90
0 Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 9,07 87. Uusi mtihit oli,0 0 8, 07. Se oli 9,07 eli 0 0,9 9, % suurempi kui lkuperäie hit. Vertiluproseti äkee suor vertmll luku,0,9 lukuu. 88. Olkoo mitomäärä kg. Siiä o rsv 0,08 kg. Kosk kuorittuu mitoo jää rsv 0, % eli 0,00 kg, kerm o kätettävissä rsv 0,07 kg. Tämä o % kerm määrästä, jote 0, 07 0,, 0 kg. Rtkisu sd trvittv mitomäärä 7, kg. 89. Ajtell, että kukkpekissä o 00 ksvi. Voikukki iistä o 0, 0, 00, mikä o % kukkpeki ksveist. 90. Töttöms lisääti 80 hekilöllä eli prosetulisesti 80, %. 80 Pikkku tötekijämäärä 000 sd htälöstä 0, 09 80. Uusi töttömie määrä o 0 eli 0 0, %. Uusi töttömsprosetti o siis 000, jote töttöms ksvoi prosettiksikköä. 9. Jos mkkr vh ksikköhit o, o korotukse jälkeie hit,. Olkoo lkuperäie kulutus j uusi kulutus. Kosk mkkrmeot säilvät ell, sd uude kulutukse lskemiseksi htälö,, jost 0, 870. Näi olle kulutust o väheettävä,0 %., Yhtälöstä, sd kertoime rvoksi 0, 870. Tästä void hi lskuksi päätellä,0, %. 9. Merkitää oskepääom kirjimell p. Korotukse jälkee pääom oli,p. Voitto edelliseä vuo oli t m 0, p, joss t trkoitt tuloj j m meoj. Tulot j meot ksvoivt 0 %, jote voitto oli t, t, m, t m, 0, p 0, p. 0, p Tämä o korotetust pääomst 008, 8, p %. 9. Jos seurmtk hit o 00, leo osuus siitä o 0 j polttoiekustukset 000,. Hi ousu jälkee polttoiekustus o,,. Mtk kokoishit ousee äi olle,: verr eli, %. 9. Todellie mtk s lsket htälöstä, 0s 0km. Tästä s 9, km, jolloi keskiopeus o 9, km 7, km / h. h 9. Otet päärämehu määrä j omemehu määrä. Sokeri määrästä sd htälö 0, 0,07 0, eli 0,0 0,0. Sekoitussuhde o : :.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Potessit j juuret Potessi 0. Tlopoiki 7, kissoj 7 7, sötjä hiiriä 7 7 7, sötjä tähkiä 7 7 7 7 j sötjä jviä 7 7 7 7 7 807. 7 07. c d e f 7 08. l m lm m m m m m c l m lm m 8 m 8 09. Ku kuutio särmä o, tilvuus o. Ku särmä o, tilvuus o eli tilvuus tulee 0,-kertiseksi. 8 8 Ku särmä o, tilvuus o 8 eli tilvuus tulee 8-kertiseksi. c Ku särmä o, tilvuus o 7 eli tilvuus tulee 7-kertiseksi. d Ku särmä o 0, tilvuus o 000 eli tilvuus tulee 000-kertiseksi.,9 09 m 0. 09,. Aurigo hlkisij o oi 09-kertie M hlkisij verrttu.,7 07 m,99 00 kg. Aurigo mss o oi 000-kertie M mss,97 0 kg verrttu.. Elektroi opeus,8 Mm/s,8 0, km/h 7 88 000 km/h o oi kmmekertie Aurigo opeutee 79 000 km/h verrttu. 00 9. 7, 888 0 00 00 9 8 9 7, 888 0, 0 0, 0 0 000 00 9 9 98, 0 0 9, 0 9, 0 000 000 98 9 97 9, 0 87, 098 0 8, 7098 0. Nulkohtise mksu muk esimmäie ul mksisi st, toie st, kolms st, eljäs st je. Viimeie ul mksisi äi olle st eli 7 8,8. Kertmksu 70 o Sterille edullisempi.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Neliöjuuri. Korkeus h rtke htälöstä h, jost h, pituusksikköä. Kolmio l o 9, pit-lksikköä.. Olkoo kolmio klki, jolloi. Tästä. Kolmio piiri pituus o 8 0, 8 pituusksikköä. *7. Sivuthko lävistäjä pituus sd htälöstä. Avruuslävistäjä o kuv piirret suorkulmise kolmio hpoteuus, jote c. Rtkist c. c c c Avruuslävistäjä pituudeksi sd c. *8. Sivuthkoje lävistäjät lsket Pthgor luseell: 0, 0, 7, m, 0, 0, 7, m j 0, 0, 0, m. Kikki vruuslävistäjät ovt smpituisi, j tämä pituus o, 0 78, m. Neliöjuurilusekkeide sievetämie. c 7. c π π π 8. Levost lähtevä kpple puto jss t mtk s gt, joss g o putomiskiihtvs. Ku htälöstä rtkist putomisik, sd tehtävässä miittu rektio- s ik t. g
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 9. Ull Eki Jussi Mri pio kg pituus m kg/m 0,0, 7,70,7 Tuluko -rvot o lskettu lusekkeest 90,9,90 70,,7, joss o hekilö pio kilogrmmoi. Kosk Eki j Mri pituus o pieempi kui stu : rvo, heitä voi pitää lipioisi. 0. Ku h 8 000 m, ii äkömtk o, 8 000 km 0 km. Jos, h, ii h. Korkeus mpilt o siis m. c Korkelt äkee kuemms siitä sstä, että M o pllo muotoie. Yleie juuri j murtopotessi 8. / c d / / 9. : c, c, c c d d d d d d d d d d 0 d 0. c d. Sävelet :st löspäi ovt, h j c. Ku : tjuus kerrot luvull, sd : tjuus, siitä vstvll tvll h: tjuus je. Kstt c: tjuus o siis 0 Hz 0 Hz Hz.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Fuktio-oppi Fuktio-käsite 9. Yhtälö määrittelemä o : fuktio, sillä jokisell reliluvull o täsmällee ksi itseisrvo. Yhtälö määrittelemä o : fuktio, sillä jokisell reliluvull o täsmällee ksi kolms potessi. c Yhtälö ± määrittelemä ei ole : fuktio, sillä esimerkiksi : rvo vst kksi : rvo j 0. d Yhtälö määrittelemä ei ole : fuktio, sillä esimerkiksi : rvo vst kksi : rvo j. e Yhtälö määrittelemä o : fuktio, sillä jokist ollst erov : rvo vst täsmällee ksi : rvo. Fuktio ei ole määritelt : rvoll 0. f Yhtälö määrittelemä ei ole : fuktio, sillä esimerkiksi : rvo vst kksi : rvo j. 0. Rtkist htälöstä 0, jolloi sd. Siis fuktio f määrittelee rtkistuss muodoss eli eksplisiittisesti htälö f. Fuktio rvoksi kohdss tulee f.. Tuottee verollie hit o h 0,,. Jos veroto hit o 0, tuottee hit o h0, 0 7. 8 8 c Veroto hit o, jote rvolisävero o 0,,,,. Yhdeksä j kmmee välillä koottuje tuotteide lukumäärä sd erotuksest L L. Vstvsti kmmee j hdetoist välillä koottuje tuotteide lukumäärä o L L 0. *. Ymprä säde r sd htälöstä πr. Ymprä l o πr π. π π Neliö piiri pituus o, jote sivu pituus o j l. Ymprä j eliö hteie l o A, 0. π -
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj *. Kosk fuktio f : A B määritteljoukko j mlijoukko ovt suppeit, eri fuktiot void esittää uolikuvioi. A B A B A B A B A B A B A B A B Fuktioit A B void siis muodost kikki 8. Yleisesti pätee, että jos A:ss m o m j B:ssä lkiot, fuktioide A B lukumäärä o. Fuktio kuvj 8. Fuktio g s kikki luku pieemmät rvot sekä rvo. 7. Fuktio f rvojoukko o 0,. 7. f g, ku ti. f g 7. Epähtälö g < f eli < rtkisu o >. Näillä rvoill g: kuvj o f: kuvj lpuolell.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 7. Plkk ousi 0 0,0,80. korotus euro,,,0 0,9 0,8 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0 0 tutiplkk euro *77. c c d e f d g g f g e h i j k i i j k h
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 7 Verrollisuus 8. Töhö met ik o käätäe verrollie tötekijöide lukumäärää, jote k, joss k o vkio. Yhtälöstä 0h 7 sd kstksi jksi kmmee miuuti trkkuudell h 0 mi. 8. Trvittv peelierä kokoispituus o käätäe verrollie peeli levetee eli o vkio. Yhtälöstä 80 mm 00 m 0 mm sd kstksi pituudeksi 00 m. 8. Kolmio l A s h, jost h A. Tiedetää, että A 8 dm. Ku kt s lusut s desimetreiä, korkeus o h dm. Ohess s o h kuvttu s: fuktio. 87. Siitä, että liike-eergi o suor verrollie opeude eliöö, sd htälö E 0 J E kv, joss k o vkio. Aetuist tiedoist sd k v 8,0 m/s. Ku 0 J opeus o,0 m/s, liike-eergi o E 8,0 m/s,0 m/s 90 J. Toisi: E 0 J E Suor verrollisuus merkitsee, että eli ve v 8,0 m/s,0 m/s. Tästä E 90 J kute edellä. 88. Kosk teho P o verrollie jäittee eliöö, ii P ku. Aetuist tiedoist sd k. Tiett jäitteesee U ktkettä teho piee- U 0 V P 00 W P 0 W ee 0 % eli o 0 W. Kseie jäite o U 78 V. k 00 W 0 V 00 W 0 W Toisi: Jäite U void lske mös suor htälöstä. 0 V U 89. Olkoo : uusi rvo. Yhtälöstä 07, sd,, jost 07, ähdää : ksvuksi oi %. 90. Trjot ksvoi rvost t rvoo,t, jolloi hit muuttui rvost h rvoo h. Yhtälöstä t h, t h sd 077,. Hi leemksi tulee oi %.,
8 Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Potessifuktio j potessihtälö 9. 8 8, jost 8 8 c 7 7 7 9 d 97. Yksi litr dm 000 cm. Yhtälöstä V π r sd V 000 cm r, cm. π π d,7 98. Yhtälöstä d 0,00 L, sd L 0,. Puu korkeus o oi 0 0,00 0,00 metriä. 99. Olkoo lkuperäise j rkeettv kuutio särmä. Koo khdetmie merkitsee, että. Silloi. Orkkeli tm euvo oli mhdoto toteutt. Hrpi j viivime vull ei imittäi ole mhdollist kostruoid sellist j, jok pituus olisi kert ii suuri kui lkuperäise j pituus. Tehtävä todistettii mhdottomksi vst 800- luvull. 00. Yhtälöstä U 0 U c I sd I, 9. Vstukse läpi kulkev c 80 virt o oi,9 mpeeri. 0, Ekspoettifuktio 09. Kosk, <, j f, > f,, ii ekspoettifuktio f kuvj o lskev kärä eli fuktio f o idosti väheevä. Tällöi tulee oll 0 < <. 0. f 8 f c f 0, d f
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 9. f m f m k k 7 Jkmll htälöt puolitti sd. Sijoite- t tämä lemp htälöö, jolloi tulee m 7 j siitä f m k 7 7. k 7 m 7. Nt *. sih e e cosh e e Ekspoetilie ksvu j väheemie. Ekspoetilisess mlliss f t,, 09 lkurvo o, j ksvutekijä,09. Ksvutekijästä,09 0,09 ähdää, että ksvuprosetti o,9 %. Vuosie lukumäärä o t j f,, 09 8,. Väkiluku o 8, miljrdi.. Tottie hi lskemisee soveltuu ekspoetilie mlli f t 000,0 t, joss t o ik vuosi. Kmmee vuode kuluttu toti hit o f 0 000,0 0 7 00.. Loppupääom o 0 000,08 79,. 7. Ku rvo väheee vuositti 0 %, ii ksvutekijä o 0,80. Auto rvo seitsemä vuode jälkee o 8 000 0,80 7 7 800. 8.,0,. Eergi kulutus o lkuperäistä % suurempi. Olkoo lkuperäie kulutus k. Kulutukse ekspoetilisest ksvust sd htälö k k, jost, 07. Vuotuie ksvu o oi,7 %. 9. Bkteerie määrä lskemisee soveltuu mlli f t 00, joss t o seur lust lskettu ik tutei. Kksikertistumie kolmess tuiss merkitsee, että f 00 000. Tästä, jolloi f t 00. 0 f 0 00 000 t t t
0 Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj t Yhtälöstä 00 9 000 jksi tulee äi olle 8 h. t sd j edellee t. Kstksi 0. Jos lsikerroksi o kpplett, läpi päässee vlo määrä o f k 0, 89. Tässä k trkoitt vlo määrää ilm suodttvi lsikerroksi. Kuude lsi tpuksess f k 0, 89 0, 0k, jote vlo pääsee läpi oi 0 %. C. Ohess o fuktio f t 70 0,9t 0 kuvj. Arvo 0 C svutet oi 0 miuuti kuluttu. Trkempi rvo o 0, mi. 80 0 0 0 0 0 0 80 mi. Hjomie o ekspoetilist. Mlli o f t g 0, t, joss j t ksikkö o tuti. Puole tui kuluttu jäljellä o f 0, g 0,0,, g rdioktiivist kooltti. Puoli tuti sitte rdioktiivist kooltti oli f 0, g 0,0,, g.. Jäljellä olev rdioktiivise iee määrä sd htälöstä f t k t, joss k 0 k o lkurvo j t hjomisik vuosi. Tiedetää, että k, jost 0. H- jomise lki o siis 0 t f t k 0. f 0 k 0 0, 79k. Cesiumi o jäljellä 79 %. 00 f 00 k 0 0, 0k. Cesiumi o jäljellä 0 %.. Sijoitet lukuprit, 0 j, 0 htälöö f t k, jolloi muodostuu htälöpri k 0 Jkmll htälöt puolitti sd k 0., jost j ±. Ekspoettifuktio määrittelehdo muk > 0, jote. Sijoitet stu : rvo esimmäisee htälöö: k 0 eli k 0, jolloi k: r- voksi sd.. Kosk ksvu o ekspoetilist, höteispopultio koko määrät mlli f t k t mukisesti. Popultio koko hetkellä t 0 o k. Aj ksikköä o vuorokusi. Aetuist tiedoist sd htälöpri k k t 7 08. Yhtälöt puolitti
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj jkmll sd 7, jost, 08. Luvu k rvoksi tulee tällä : rvoll,98. Alkurvoksi vlit lähi kokoisluku, jote ksvumlli o t f t, 08. Kokee luss höteisiä oli, mikä ilmeee äskeisestä kohdst. c f, 08 9. Khde viiko päästä höteisiä olisi 9.. Nopeude rvo lsket mlli f 00 t km t mukisesti, jolloi t o ik sekutei polttoiee loppumisest. Yhtälöstä 80 00 rtkist : h km km 0 h h t km rvoksi 08, 0. Nopeus oudtt siis htälöä f t 00 0, 8 0. Rek opeus h 0 km km miuuti kuluttu polttoiee loppumisest o f 0 00 0, 80 h h. *Mtemttie mllitmie 7. Olkoo kuk kpplehit 00. Asiks trvitsee kukk. Hä voi hkki e esimerkiksi ostmll kksi 0 kpplee ltikko j ksittäistä kukk. Tällöi hiksi tulee leuksiee 0, 9 0 00 00 00. Asiks voi mös hkki kukt ostmll kpplee ltiko. Tällöi hä s %: leukse, jote erä mks häelle 0, 87 00 7. Tämä hkittp huomt edullisimmksi. 8. Olkoo trvittv -prosettise liuokse mss. Liuost vedellä limetmll sd trvittv määrä eli 70 g -prosettist liuost. Suol määrä äissä eri liuoksiss o sm. Kirjoitet siitä htälö j rtkist. 0, 0 0, 0 70 00 g g Trvittv liuos sd siis sekoittmll 00 g -prosettist liuost j 0 g vettä. 9. Olkoo uusi mss m. Muu kui vede osuus o hekilössä säil, mistä sd htälö 0,0m 0, 90 kg. Tästä m 7 kg. 0. Olkoo hoitoiee hit euro, jolloi kekie hit o 00 euro. Yhteishist sd htälö 00 0, jost. Hoitoie mks euro.. Bussi opemp svutt ussi :, jok tällöi o jut puolitoist tuti kuemmi kui ussi. Tehtävässä kstää ussi joik. Merkitää sitä t:llä. Molemmt ussit jvt sm mtk. Muodostet htälö merkitsemällä ussie jomtkt htä suuriksi. t 00 km/ h t, h 70 km / h Muuttuj t rvoksi sd, h.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj. Kti vhempie koti ei voi oll kuemp kui se mtk päässä, jok Kti ehtii j kolmess tuiss edestkisi viipmättä lik vhempies luo. Olkoo jomtk pituus htee suut s. Kirjoitet htälö siitä, että meo- j pluumtk kuluu hteesä kolme tuti. s s h eli ilm ksiköitä 70 km / h 80 km / h s s 70 80 Rtkisuksi sd s km, jok o kodi mksimietäiss.. Olkoo pohjoisee meevä kävelopeus v, jolloi etelää kävelevä opeus o v km/h. Ajss, h kävelmtk o kertt hteesä km. v, h v km / h, h km v km / h, h km v km/h km/ h, v km / h Kävelopeudet ovt km/h j km/h.. Ajss s postj ehtii juost mtk, m s 08 m. Tämä jälkee hä s juoksee vielä mtk ee kui ääi häet svutt. Mtk postjlt meee sm ik kui ääeltä mtk 08 m, jote. Tästä 08 m 0 m/s, m/s m. Räjähdkse kuulless postj o m: päässä.. Tehtävä voi rtkist tulukoimll etäisksie summt opettj pikst oppilide pikkoihi. Istuite väli o ksi pituusksikkö. 7 8 9 0 et.summ 0 9 8 7 0 7 7 0 7 8 9 0 Opettj pikk o keskellä riviä.. Olkoo eliö sivu pituus. Suorkulmio mpärsmitt liitt silloi htälö cm, jost cm. Neliö pit-l o 9 9 9 cm 8cm. 7. Olkoo pötälii leves. Pötälii pituus o silloi cm. Pitsiä trvit määrä cm. Kosk kätettävissä o kikki m 0 cm pitsiä, sd epähtälö cm 0 cm. Tästä 0 cm, jote lii voi oll eitää 0 cm leveä. 8. Viiko päästä eli seitsemä ö kuluttu o mös perjti. Kosk 00 o ts jollie seitsemällä, o 00 ö kuluttu jällee perjti. 9. Kosk 0 miestä trvitsee 0 päivää kivksee 0 m svä kuop, ii m: svise kuop kivuu meee päivää äiltä kmmeeltä mieheltä. Viideltä mieheltä ik kuluu vstv kuop kivuu kksi verroi eli 0 päivää.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 0. Väitetää, että iki hde oppil kotimtk o li km. Ellei tämä ole tosi, ii jokise oppil kotimtk olisi eitää km. Mutt silloi 0 oppil hteelskettu kotimtk olisi eitää 0 km. Tämä o etu tiedo muk mhdotot, jote lkuperäie väite kotimtkst o tott.. Väitetää, että iki hdellä opiskelijll o eemmä kui kuusi kirj. Jollei tämä ole tosi, ii jokisell opiskelijll o eitää kuusi kirj. Mutt silloi 8 opiskelijll olisi hteesä eitää 8 kirj. Tämä o mhdotot, sillä kirjoj o 70. Siis lkuperäie väite o tosi.. Väitetää, että kikki luvut p ovt lkulukuj, ku o luoollie luku. Kokeilemll st todellki sellie vikutelm, sillä luvut ovt lkulukuj kikill : rvoill 0,,,..., 0. Luku p ei kuitek ole lkuluku, kosk p.. Yhtälö k k rtkisu o, k 0. Kosk o kokoisluku, k: k rvoiksi sopivt positiiviset kokoisluvut,,,, j. Kstt lukumäärä o siis.. Jos m j ovt mitä ths kokoislukuj, ii m j ovt prittomi kokoislukuj. Niide summ o i khdell jollie, sillä m m. Kosk miittuje lukuje erotus o m m, seki o i khdell jollie.. Ku o joki kokoisluku, luvut,,, j ovt viisi peräkkäistä kokoisluku. Niide summ o i viidellä jollie. Kuude peräkkäise kokoisluvu,,,, j summ ei ole kosk kuudell jollie.. Olkoo täde säiliö vede määrä m. Esimmäisestä reiästä vluu vettä miuutiss m m m m määrä, toisest, kolmest j eljäestä. Ku kikki reiät ovt 0 0 m m m m htä ik uki, iistä vluu miuutiss vettä määrä. Thjeemisee meee t miuutti, jost sd htälö t m. Tästä rtke- 0 0 m m m m 0 0 t 7, miuutti. 7. Kummllki o luksi mli V litr. Ku määrä siirretää stist toisee, mlrimestrill o mli V j oppipojll V litr. Kumpiki ml äillä htä ku, mistä sd htälö V V. Se rtkisu o V., 0, 7
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Lisätehtäviä Lukulueet. Kokoisluvut j ei-kokoiset murtoluvut muodostvt hdessä rtiolilukuje jouko. Jokie päättmätö desimliluku o irrtioliluku. Väite o epätosi, sillä päättmätö j jksollie desimliluku o rtioliluku. 0 o rtioliluku. Väite o tosi, sillä 0 0. c 0,9999 o kokoisluku. Väite o tosi, sillä 0,9999. d Khde irrtioliluvu summ o i irrtioliluku. Väite o epätosi, sillä esimerkiksi π π 0.. o kokoisluku Z o luoollie luku N c π o irrtioliluku d, o rtioliluku Q e 0 o luoollie luku N f, o irrtioliluku.,, c 9 9, 99 8 Lskulit, vstluku j kääteisluku. c c Vstv lki ei päde jkolskulle, sillä esimerkiksi 00:0: 0 mutt 00:0:.. Lukuje j erotus o 7 j se vstluku 7. Lukuje 00 j 00 erotus o 00 j se vstluku 00 c Lukuje j erotus o j se vstluku.. c 00 9 d e f. 00 00 9 9 000 c 7 7 7 7 7 7 0 00.. Kosk j ovt toistes kääteislukuj, o, jote sieveett muoto o.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Lukuje suuruusjärjests. Lukuje j välissä o esimerkiksi iide keskirvo. Toislt kseiset lu- 0 0 vut void lvet muotoo j, jolloi iide välii ähdää sijoittuv 0 0 muide muss murtoluvut 9,,..., 0 0 0. Lukuje 8 j välimtk lukusuorll o 8 0. Vstvsti lukuje j 0 välimtk o 0. Siis 8 o lukusuorll lähempää :ää kui o 0:tä?. Välille [ π,0[ kuuluvt prilliset kokoisluvut ovt, 0,,, j 8.. Kumpki väleistä [ 7, 8] j ], ] kuuluvt kokoisluvut,,,, 0,,,,,,, 7 j 8.. Vähitää : suuruiset mutt eitää : suuruiset reliluvut muodostvt väli [, ]. Itseisrvo. 7 7 7 7 7 c 9 9. Tiedetää, että > 7. Silloi c. 0 0 c. Ku > 0, ii. Ku < 0, ii.. 7 ± 7 0 0 c 7 ei rtkisu. > 0 0 c > < ti >. Esimmäise stee htälö. 8 0. 0 0 0 0 8 000
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj. 9. P 9 9 8. Yhtälöide, 8 j 0 000 juuret ovt, j 000, jote iide joukko ei ole B {,, 000}.., jost j 7. Peräkkäiset kokoisluvut ovt 7, 8 j 9. 7. Kosk htälö juuri o, ii. Tästä. Esimmäise stee epähtälö. > > < c > > > > 9 >. < < < < 7, ku < 0, ku <., ku 0, ku, ku < 0, ku <, ku 0, ku π, ku π < 0 π, ku < π c π π, ku π 0 π, ku π, ku < 0, ku < d, ku 0, ku, ku < 0, ku < e, ku 0, ku, ku < 0, ku < 0 f, ku 0, ku 0. f g 0 0 8 0 7 7
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 7 *. Kksoisepähtälössä 0 < < 9 suuruusjärjests säil, jos jokisee lusekkeesee lisätää sm luku. Lisätää luku, jolloi sd < < 0. Jet t jokie lusekkeist khdell, mikä t < <. Tulokse o väli,. 8. Lisätää kikkii lusekkeisii j sitte jet khdell. Sd 0 90 j siitä. Tulokse o väli [, ]. Prosettilsku. Tuottee lopullie hit o 0,8,,0 00 78,. 0, 0,,. 0,9 90 %. Luku 0, o siis 90 % luvust 0,. 0, 9 0, 0, 0,, 9 0, 0 %. Luku 0, o siis 0 % pieempi kui 0, 9 luku 0,?. Sosilivkuutusmksuje osuus oli 0,0,,8. Muide kui vrsiise töplk osuus oli 0,, 8,77., 9,. Töttömsste oli letuut 0,09 0,9 %., Töttömsste oli letuut, 9,, prosettiksikköä.. Tekologiteollisuudess oli,9 9 % eemmä hekilöstöä kui metsäteollisuudess. Tekologiteollisuudess oli prosettiksikköä eemmä hekilöstöä kui metsäteollisuudess.,,7. Mkkr suolpitoisuus lei 0, %., Suolpitoisuus lei,,7 0, prosettiksikköä. 7. Jää tilvuus o, 8, dm, dm. Vettä muodostuu määrä. Silloi, 990 cm, jost 900 cm. 8. Olkoo lisättävä suolmäärä. Ilmist suol kokoismäärä khdell tvll, jolloi sd htälö 0, 0 900 g 0, 900 g. Siitä 80 g. 9. Suuitell vlmist -prosettist seost lisäämällä 0 litr -prosettist seost litr 0-prosettist seost. Ilmisemll ölj määrä khdell tvll st htälö 0, 0 0 0, 0, 0 0. Se rtkisust ähdää, että 0- prosettist seost ei ole riittävästi tähä sekoittmistp. Otet kättöö koko 0 litr erä 0-prosettist seost j lisätää siihe litr - prosettist seost. Yhtälöstä 0, 0 0, 0 0, 0 0 sd, 7. Hluttu seost void äi olle vlmist,7 litr.
8 Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Potessi. : 0. 0. 9 9 8 9 8 8. 7 00 00 8 c0 0 0 0 d 80 8. Pperi pksuus o 0, mm. Ku rkki titet toistuvsti kksi kerroi, sd päällekkäisiä pperikerroksi,, 8, je. eli,,, je. Seitsemä tit- 7 tmise jälkee kerroksi o, jolloi ipu pksuus o 7 0, mm, 8 mm.. Kmmee tittmise jälkee ipu pksuus o 0 0, mm 0 mm. 7. Eukkoj 7, sej 7 7, säkkejä 7 7 7, leipiä 7 7 7 7, puukkoj 7 7 7 7 7 j tuppi 7 7 7 7 7 7, hteesä 7 7 7 7 7 7 7. 8 7 Neliöjuuri. 9 8 c d 7 7 7 9. 7 7 7 8 7 8 7 c 0. 9 8 c 0, 0, d ei rtkisu. o määritelt 0 o määritelt 0 c o määritelt kikill : rvoill, sillä i > 0.. c ± d ±
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 9. Relilukuj:,, d, e, f 7, g, i j j 8 8 Rtiolilukuj:,, d, e, f 7 j i Irrtiolilukuj: g j j 8 8 7. Yhtälöstä 00 98, 000 tulee : rvoksi 0. Lskelmt pettivät, kosk kätettii lii epätrkk : likirvo : rvo määrittämiseksi. Sdull : rvoll 00 980,. Tämä selittää sill pettämise 0 toi kuormll. Alkuperäisestä htälöstä 00 98 000 sd 98 8, 999. Esimerkiksi kättämällä likirvo 8, päästää mksimikuorm 99 toi. Lujuuslskelmiss oki kätettävä suurt trkkuutt, j tietokoett kätettäessä lsket edellttää mös tietokoee prosessorilt hvää luotettvuutt. Yleie juuri j murtopotessi. c, d 0,. c 7.., 0, 0, c 9 c d e f 7 8 d 9 7 7 9. 0 0 0 0 0 j. Siis >. 7 8 7 0 8 8 8 j 7 8 7 7 7 7 8 7 8 0. Siis 7 > 7.
0 Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj. > 0 Fuktio-käsite. eliö piiri p sivu pituude fuktio: p eliö sivu pituus eliö pit-l A fuktio: A A c suorkulmise kolmio terävä kulm α toise terävä kulm β fuktio: αβ 90 β. Fuktio f määritteljoukoksi o sovittu o {,, 0,, }. Näillä muuttuj rvoill fuktio s rvot,,, j. Arvojoukko o {,, }.. Fuktio f s pisteessä rvo f., jost 0 8 j.. 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 7, 0, 0, 7. Fuktio f o määritelt ehdoll 0 eli 7. Määrittelväli o [ 7, [. Fuktio kuvj. o ei c ei d o e ei f o
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj. Ohess o fuktio f,, kuvj. Arvojoukko o [, ], ollkoht o, c piei rvo o, d suuri rvo o., ku 0. Ohess fuktio f kuvj., ku > 0 Fuktio rvojoukko o,. ] [. Ohess o fuktioide f j g kuvjt. Epähtälö f > g toteutuu likimääräisesti, ku > 0,7. g f Verrollisuus. Ku o suor verrollie : eliöjuuree, ii k, k o vkio. k Ku o käätäe verrollie : eliöö, ii, k o vkio. c Ku o suor verrollie : j z: tuloo, ii kz, k o vkio.,0 cm cm cm. km. Sd k 0,0. Siis 0,0 m. Kuvj o m 0 g g g origost lkv j välillä 0 m 00g.. Kpplee putom mtk o verrollie putomisj eliöö eli s kt, jost s m s k. Aetuist tiedoist sd htälö, jost s m., s,0 s t. Suureet j ovt käätäe verrolliset, jote o vkio. Toisi vstvist rvopreist sd htälö 0,8, jost,. Nähdää, että ksv %.. Kosk ksu pie p o käätäe verrollie tilvuutee V, ii pv o vkio. Toisi vstvist rvopreist sd htälö,dm 00 kp, dm p, jost p 0 kp.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj. Olkoo F tuule tötövoim, A tuult vst kohtisuor pi l j v tuule opeus. Kosk tötövoim o suor verrollie pi l j opeude eliöö, ii F kav, joss k o vkio. Sijoittmll F 0 N, A 0, m j v 80, m /s void vkiolle rtkist rvo k 0, Ns. Lsket sitte kstt m Ns m voim etuill rvoill: F 0, m 7 kn. m s 7. Olkoo llo opeus v j mere svs h. Silloi v k h, joss k o vkio. Vkio km / h lusekkeeksi sd etuill suureide rvoill k. Ku svs o 00 m km / h 00 m, opeus o v 00 m 8, km / h. Tällä opeudell 00 m 000 km: mtk kuluu oi tuti. Potessifuktio j potessihtälö. Ohess ovt potessifuktio f r kuvjt, ku r o 0,,,, c.. 0 ± ± ± c 0 0 ± ± ± c. 0, 7 0 0,7 0, 0, 7 7 c 9. 9 7 8 8 c. Fuktio f o määritelt välillä > 0, j se kuvj o tällä välillä lskev kärä. Silloi f > f, ku 0 < <. 8
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Ekspoettifuktio. Fuktio f rvot ksvvt rgumeti ksvess, jote fuktio s välillä, Fuktio f 0, rvot väheevät rgumeti ksvess, jote fuktio suuri [, ] kikki rvot [, ] rvo välillä [, ] o f j piei f. Fuktio s kikki rvot,.. Ekspoettifuktio f k o määritelt, ku k > 0 eli ku k >.. Ekspoettifuktio f k kuvj o ousev kärä ehdoll k > eli rvoill k >. f, f,0, 0,. f,0 j c smoi. Tulos iistä mös, % 0, 0,, %. Olkoo f. Silloi f k k k f k.. Ohess o ketjukärä e e, ku. - Ekspoetilie ksvu j väheemie. Jos lkuperäie hit o, hit kmmee vuode kuluttu o,00, 9. Hitoje ousu o oi,9 %.. h 80 00,0, h. Aik o oi vuorokutt tuti. h 8 80 00,0 8,0 h. Aik o oi vuorokusi 0 tuti.. Auto rvo leee vuodess %, jote viide vuode kuluttu uto rvo o 0,8 00 00 euro.. Rtkist luku p htälöstä p 7 000 0 000.Aluksi sd htälö 00 p, jost p 00,. 00
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj 0, 0 0, 8. Muutos o p 0 p 0 0 0, 08 0 0, 09 9, %. p0 0, 0 Ku p 0 980 mr, o kilometri korkeudess p 980 0 7 mr.. Rdoi määrä milligrmmoi hetkellä t d o f t 0,8t 0. f, 0,8, 0 7 mg f, 0,8, 0 9 mg Piktesti. 0 o luoollie luku. t Välillä ], [ o eljä kokoisluku. t c π π e d 9 e e Ai pätee. e Ei päde, jos < 0. f Fuktioill f j g o smt kuvjt. e Eri määritteljoukot. 00 00 0 0.. Olkoo letmto hit. Silloi 0,9, jost 0 euro. Suol kokoismäärä grmmoi o 0,0 0 0. Se osuus liuokse koko määrästä o 0,088 8,8 %. 0 0. 7. P kv, joss k o vkio. Jos tuule opeus ksv kksikertiseksi, se kuutio j smll teho ksv khdekskertiseksi? 8. 9. Fuktiot f koskevie väitteide totuusrvot: Fuktio rvojoukko o R. e Arvojoukko o R. Ktlukuu liitt ehto > 0. t c Ku > j : rvot pieeevät, mös fuktio rvot pieeevät. t 0. Olkoo rkeukse lkuperäie rvo. Kmmee vuode kuluttu rvo o 0,970 0, 77. Arvo leem o siis oi %.
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Kertuskoe. Pdetssä järjestksessä: N, Z, Q j R eli luoolliste lukuje, kokoislukuje, rtiolilukuje j relilukuje joukko 8 8 8 8 8, 8, 8 8 9 9 0 99 99 99 8. 8 0. 8 8 8 8. Olkoo sähkömeot, jolloi puhelimeot ovt 00. Aetuist muutosehdoist sd htälö,0 0,900 0,99 00. Tästä 0. Siis sähköö kului 0 j puhelimeoihi 80.. Ohess o fuktio f,, kuvj. Fuktio määritteljoukko o [, ] j rvojoukko [, ]. - c Fuktio ollkoht o. d f > 0 : rvoill <.. Rtkist epähtälö < 0. Aluksi puolitti :ll kertomll sd < 0, jost < 0 j >. Piei tämä ehdo tättävä kokoisluku o., ku < 0, ku <, ku 0, ku L / 7. Olkoo d tve hlkisij, jolloi d k, joss k o vkio j L puu korkeus. Tuetuist tiedoist sd ilm ksiköitä k L / 8/ 9 / 9. Mm- d 7, 7, 7, 7, muttipetäjä rugo hlkisij o silloi d 90 / 8, 9 m. 9 8. Olkoo töttömiä lu peri määrä k. Se pieeee ekspoetilisesti ii, että k 0, 8k. Tästä 0,8 0, 98. Nähdää, että töttömie määrä väheee vuositti, %. Kseie prosettiluku void lske mös suor rtkisemll p htälöstä p k 0,8k. 00
Fuktiot j htälöt MAA Tehtävie rtkisuj Kertuskoe. Tulo rvo ei riipu tekijöide järjestksestä. Ku summ 78 89 07 kirjoitet muotoo 78 89 07, sovellet hteelsku liitätälki Ku luseke kirjoitet muotoo, kätetää osittelulki... 8 8. Vettä o hihdutettv grmm, jolloi pätee 0,0 700 0,0 700. Tästä 0 g.. Pistojlle pätee t k m, joss k o vkio j m klkku mss. Toisi vstvist rvopreist sd htälö, jost mi t,0 kg 7, kg t mi. Trvittv ik o siis tuti miuutti., ku. Ohess o fuktio f kuvj., ku > Fuktio f määritteljoukko R j rvojoukko ],]. c Fuktio ollkohdt lsket settmll 0 j 0. Jälkimmäisellä htälöllä ei ole rtkisu. Edellise rtkisu o, jok o kseise lusekkee kättövälillä. d f > 0 muuttuj rvoill >. 7. Kupugi väkiluku kuude vuode kuluttu o,07 7 000 88 000. Olkoo lkuperäie suksmäärä k. Kolme vuode kuluttu se o,099,0,00k k, jost,099,0,00, 09. Nähdää, että keskimääräie vuotuie ksvu o,9 %. 8. Olkoo mätkuutiometri mss m kg j puu lämpörvo h kj/kg. Vstvt koivu rvot ovt,m kg j 0,9 h kj/kg. Kuutiometri mätä tuott silloi lämpöä määrä mh j kuutiometri koivu määrä, m 09, h, mh. Jälkimmäie o % suurempi kui edellie, jote koivuhlkoje kuutiohi olisi oltv % mäthlkoje kuutiohit korkempi.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 7 Tehtävie rtkisuj Polomifuktiot Polomilsket Polomi. Q0 0 0 0 9 000 00 0 9 79 Q 9 7 9 9 c Q0, 0, 0, 0, 9 0,00 0,0 0, 9 9, 7 d Q 9 0 9. h 0 m h 0 0 m c h 0 0m. Kivi o plut mh.. P P 7. Aetust ehdost sd htälö 0. Tästä rtkisu 8. 8. Kokee luss t 0, jolloi 0 00. Kokee luss oli 00 kteeri. 0 00 0 00 kteeri. Polomie summ j erotus. P Q Q P c P Q. [ ] 0. Luseke sieveee muotoo k t. Ku k j t, lusekkee rvo o 7.. P Q R 7 P R [ ] 8 8 8
8 Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 7. P R, j 8. Kosk erotus o positiivie, ku >, edellie luku o suurempi. Polomie tulo. Luseke sieveee muotoo z z z z z z. Ku z, lusekkee rvo o. 8. 8 8 8 8 7 8 7 9. 7 0 9 0 9 9 0. < < < > Biomikvt. 8 c 0 0 8. 7 9 8 7 9 9 9. V, A V, A 0. Stet htälö luksi muotoo 0. Oike puoli o positiivie, sillä 8 >. Edellee 8 0, jok o sm kui vsemm puole juurrettv.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 9. Sijoitet etut luvut htälöö. Tällöi Yhtälö molemmt puolet ovt smt, jote htälö toteutui. m m m m m m m m m m m m. k t k kt t k t kt k t t k kt t k t kt k t t k t k t *. 0 > Polomi jkmie tekijöihi 9.. Tästä ähdää, että 9. Näi olle 0. c. Näi olle. d d d. Tästä ähdää, että. d 0. 7 7 7 7 7. m m m c z z z z z. 8 9 9 9 9 9 π π π π π π c d
0 Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj. c 0. Ku luseke jet tekijöihi, sd k k k k k k k. Jos k o 0 ti, sd lusekkee rvoksi oll, jok o jollie kuudell. Jos k, tulo muodostuu kolmest peräkkäisestä luoollisest luvust. Näistä ksi o i jollie khdell j toie kolmell. Tulo o äi olle jollie kuudell. *. Muodostet lukuje erotus. > 0, kosk 0 j > 0. Näi olle > 0 eli >. Esimmäise stee polomifuktio 9. Yhtälö rtkistust muodost ähdää, että kulmkerroi k. Kosk k > 0, suor o ousev. c Koordittikselie leikkuspisteet selvitetää merkitsemällä htälössä 0 vuorotelle j ollksi, mikä jälkee rtkist toie muuttuj. Suor leikk -kseli pisteessä, 0 j -kseli pisteessä 0,.. Suor kulmkerroi o. Suor o ousev, ku > 0 eli ku >. Suor o lskev, ku < 0 eli rvoill <. c Suor o -kseli suutie, ku 0 eli rvoll.. Suor o suor läpuolell, ku erotus o positiivie. Rtkist epähtälö > 0. > 0. Tästä < 8. 7 Rtioliluseke 8. c 9 9
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 9. c 70. 9 : 8 7. P P 7. 7. ] [ ] [ t t t t t t t t t t t t Toise stee htälö Villiie toise stee htälö 8. 0 ± 0 ti 0 0 c 0 ti 0 0
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 8. 0 0 0 ti 0 0. Ei rtkisu, kosk o i positiivie. c 0 0 0 ti 8. 7 7 0 7 ti 7 0 0 0 ti c 0 0 ti 8. 0 0 0 ± ti c 0. Ei rtkisu, kosk 0. 8. 00 0 0 ti 00 ± ± c 8 0 8 ± 8 ± 89. 0 0 0 0 0 0 0 9999 0 ti 0,9999 π 0 π 0 ± π ± π π 90. 0 0. Sdu htälö juurist 0 j jälkimmäie hlätää eliöjuure määrittelehdo tki. Vstus o 0. 9. Kosk o toie juurist, sd vkiolle rvo htälöstä. Sijoitet lkuperäisee htälöö, jolloi 8 j edellee 0 0 ±. Näi olle toie juuri o. 9. Olkoo eliö sivu s j mprä säde r. Aloje htäsuuruude perusteell sd htälö s πr, jost s r π. Neliö piiri o r π j mprä kehä π r. Neliö r π πr π π piiri o 00% 00%,8 % pitempi kui mprä kehä. πr π
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Tädellie toise stee htälö 98. Rtkist htälöt ilm rtkisukv. ± ± 9 ti ± ti ti c ± ti ti 7 ti 00. 0 0 0, 0 0 0 ± ± 0. Jos j ovt ukem sivuumerot, ii eli 0. Tämä toise stee htälö juuret ovt j 7. Kseessä o ukem 7. 0. Sekä pituutt että levettä ksvtet metrillä. Esittämällä pit-l khdell tvll sd htälö. Se sieveee muotoo 8 0. Rtkisut ovt j, jote uudet mitt ovt metriä j 7 metriä. 0. Fuktio f ei s rvo, kosk htälöllä ei ole rtkisu. Rtkisemll htälö, sd selville e muuttuj rvot, joill fuk- tio s rvo,. Tällöi, 0, jost 0, ti,. 07. Yhtälö 0 rtkisui sd ti. Ku korvt rvoll, o toie juuri. Tämä juuri ksv khdell j toie juuri ps sm, kosk se o :st riippumto. 08. Aetust ehdost sd htälö j edellee 0. Rtkisu ti. *09. Fuktio f ollkohdt j sd rtkisemll htälö 0. Fuktio kuvj olev preli huippu sijitsee ollkohtie puolivälissä eli kohdss. Tällöi huipu -koorditti o. Kosk kseessä o löspäi ukev preli, o lusekkee piei rvo.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Diskrimitti. Yhtälöllä t 0 o trkllee ksi relijuuri, ku diskrimitti D t 0 eli t: rvoill ±. Ku t, kseie juuri o t. Vstvsti t: rvoll juureksi tulee. Yhtälöllä t t 0 o trkllee ksi relijuuri, ku diskrimitti D t t t t 0 eli t: rvoill j. Ku t, kseie juuri o t. Vstvsti t: rvoll juureksi tulee.. Yhtälö 0 juuret ovt reliset, ku D 0. Tästä.. Yhtälöllä o relijuuri kikill t: rvoill, kosk diskrimitti o ei-egtiivie. D t t t 0t 0t t 0t t 0. Kseessä o löspäi ukeev preli, jok ei leikk -kseli, kosk D < 0.. Yhtälö c 0 diskrimitti D c o positiivie, jos j c ovt erimerkkisiä, sillä tällöi tulo c > 0. 7. D 8 8. Juuret ovt htä suuret, ku 8 0, jost. Alkuperäie htälö s tällöi muodo 0, jost. 8. Luseke o määritelt, ku 7 0. Lusekkeesee liittvä diskrimitti o D 7 0. Tästä sstä löspäi ukev preli 7 sijitsee joko koko -kseli läpuolell ti sivu -kseli. Näi olle kikill : rvoill pätee epähtälöehto 7 0. *9.. Ku 0, htälö s muodo 0, jost.. Yhtälöllä o ksi rtkisu, ku D 0, jolloi.. Ku <, o D < 0, jolloi htälöllä ei relijuuri. ±. Ku > j 0,. *0. Toise stee htälöllä o eemmä kui kksi rtkisu silloi, ku se o idettisesti tosi. Näi o, jos kikki kertoimet ovt htä ik olli eli htälö o muoto 0 0 0 0 0. Sd htälörhmä 0 Viimeise htälö rtkisuist 0 ti vi jälkimmäie toteutt kikki 0. htälöt.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Juurie summ j tulo 7. Kirjoitet htälö muotoo 0. Juuret ovt toistes kääteislukuj, kosk juurie tulo eli vkiotermi o. 7. 0 0 0 [ m m ] m m 0 m m 0 c [ ] 0 0 8. Kosk htälö o kokoiskertoimie, juuress esiitvä eliöjuuri o peräisi rtkisukvst. Yhtälö juuret ovt siis j. Tällöi j. Ksmksee tulev htälö o esimerkiksi 0. 9. Kosk htälö 0 juurie summ j siis riippumto : rvost, juuret eivät voi oll toistes vstlukuj millää : rvoll. 0. Yhtälö c 0 juurie summ o z, jok o toie kst htälö juurist. Juurie tulo z c o toie juuri. Kstt htälö o muoto c c 0 c c 0.. Alkuperäise htälö juurie summ j juurie tulo. Uude htälö juurie summ o j juurie tulo 9 9. Yhtälö o 0 ti tämä htälö kerrottu jollki ollst erovll vkioll. Uude htälö juurie summ j tulo ovt j 9 9 Tällöi uusi htälö o 0 0. 0.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Toise stee polomi jkmie tekijöihi. Kosk htälö 0 diskrimitti D < 0, ettu polomi o joto relilukuje joukoss. Yhtälö 8 0 diskrimitti D 8 < 0, jote ettu polomi o joto.. Jos o tekijää, polomi toise ollkoht o. Tällöi k 0, jost k. Polomi o siis. Toise stee htälö 0 juuret ovt j, jote toie tekijä o. 9. Yhtälö 0 juuret ovt j, 0. Tällöi. Rtkist htälö c c c 0 muuttuj suhtee. Sd c c j j tulomuoto c c. 0.. Ku polomi o jollie iomill p, toise ollkoht o p. Tällöi p p p p p 0 p p 0 p 0 ti p. Ku polomi o jollie iomill, toise ollkoht o. Tällöi p p p 0 p p 0 p ±.. Kirjoitet murtoluseke luksi muotoo. Luseke void supist, jos imittäjä tekijää o ti. Jos tekijää o, o ollkoht, jote 0 j. Jos tekijää o, ollkoht o, jote 0 j. Tpuksess sd. Tpuksess sd.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 7 7 Sovelluksi. Jos toie luvuist o, toie o 8. Tuloehdost 8 7 sd rtkisui j, jotk ovt kstt luvut.. Peräkkäiset luoolliset luvut ovt muoto, j. Tällöi. Yhtälö sieveee muotoo 0. Se juuret ovt 0 ti. Juuri 0 ei kä, sillä silloi esimmäie luku olisi. Aiot peräkkäiset luoolliset luvut, jotk ovt Pthgor lukuj, ovt, j.. Olkoot uude plst mitt j 8. Tällöi 8 8. Sievekse jälkee htälö o 0 0. Rtkisut ovt ti. Näistä vi edellie kelp. Uude plst mitt ovt 8 m j m.. Ltoitettv luee pit-l ltoitukse levede fuktio o f 7 8, > 0. m Aetu ehdo perusteell sd htälö 7 m 8 7 8 0, jok rtkisuist ti 0, vi esimmäie kä. Ehdo tättävä ltoitukse o oltv hde metri levie. 7. Bkteerie lukumäärä kokee luss o N 0 70. Bkteerie määrä o elikertistuut, ku 0t 90t 70 70. Sieveet htälö t 9t 0 rtkisut ovt t, joist vi t 8, kä. 9 ± 88 9 ± 09 9 09 Määrä o elikertistuut oi 8, tuiss. 8. Kosk eliö pit-l o eljä ri, sivu pituus o 0 m. Merkitää kätävä levettä kirjimell. Ristikkäiste kätävie hteisestä pit-lst sd htälö 0 0 0, 00 0 8 0. Rtkisuist, ti 8,8 vi, m kelp. Vstukse riittää desimetri trkkuus, m. 9. Oheise kuvio merkitöje muk sd htälö 7,0 7,0, eli 9, 0 0. Rtkisut ovt,79 ti,7. Korti mitt ovt siis 7,0,7 0,cm j 7,0,,7,8 cm. 70 70, 0. Ku seiää vst kohtisuori sivuj merkitää :llä, o seiä suutise sivu pituus 0. Sd htälö 0, jok rtkisut ovt, ti,. Seiää vst kohtisuor sivu voi oll, m ti, m.
8 Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj. Kuvio merkitöje perusteell sd htälö 0 00 eli 80 900 0. Rtkisut ovt 0 ti 80. Aluee pit-lksi tulee 0 80 m 0,8 h. 0-00. Yhtälö 90 sieveetlle muodolle 80 0 sd rtkisut ti. Kseie moikulmio o äi olle -kulmio. Yhtälöllä 00 ei ole kokoislukujuuri,7 ti,7, jote ei ole olemss moikulmiot, joss olisi 00 lävistäjää.. Olkoo lkuperäie hit, jolloi khde ousu jälkeie hit o,. Nousuist sd htälö,, jok sieveee muotoo p 00 p 00 p 000 0. Yhtälö rtkisut ovt p 9, ti p 09,, joist vi edellie kä.. Rtkist htälö, 7,7t,9t 0. Yhtälö sieveee muotoo,9t 7,7t 8, 0, j se rtkisut ovt t 0, ti t,0. Kpple o 0 metri korkeudell, ku t 0, s ti t,0 s. Kpple osuu mh, ku, 7,7t,9t 0. Yhtälö rtkisut ovt t 0, ti t,7. Rtkisuksi hväkstää vi rvo t,7 s.. Merkitää toist kteetti kirjimell, jolloi toie kteetti o s. Kteetit j hpoteuus toteuttvt htälö s, jok sieveee muotoo s s 0. Suorkulmise kolmio pit-l o s s. Muokt edellä olev toise stee htälö esi muotoo s s j edellee s s. Viimeksi stu tulos o kstt pit-l.. Olkoo eliö sivu pituus luksi, jolloi l o j piiri. Pieetee eliö l o tällöi 0,7, sivu pituus 0, 7 j piiri 0,7. Neliö piiri o lhe- 0,7 tt 0,7 00 0,7 % 00 0 %, %.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 9 Korkemm stee htälö Korkemm stee polomifuktio 8. f f c f d f e f f f 9. f f c f Fuktio f rvot ovt positiivisi, ku < <, j egtiivisi, ku < ti >. Fuktio f rvot ovt positiivisi, ku < 0 ti >, j egtiivisi, ku 0 < <. c Fuktio f rvot ovt positiivisi, ku < ti < < 0 ti >, j egtiivisi, ku < < ti 0 < <.
0 Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Korkemm stee htälö 7. 0 0 0 8 0 0 0 ti 0 ti 8. 7 0 ti ± ti ± 0 ti ± ti ± 9. 0 ti ± 0 0 0 ti ti 0 ti ± 70. Muodostet etuist ehdost htälö. 0. Rtkisu ti 0 ti. Ehdo tättävät luvut ovt, j ti, 0 j ti, j. 7. 0 0 0 ti ti 0 [ 0 0 ] 0 7. 0 0 ti ti 0 0 7. Tulo ollsääö perusteell 0 ti 0 ti 0, joist ti ti. Sievetämällä päästää muotoo 0. Edellee 0 0 ti ± 7. Ku sijoitet juure rvo ettuu htälöö, sd 0, jost. Yhtälöä o t 0 eli 0. Rtkisut ovt 0, ti. Juure lisäksi htälöllä o juuri mös 0 j. 7. Aetu fuktio kuvj leikk -kseli iost kerr, jos htälöllä 0 o vi ksi relie rtkisu. 0 0 0..
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Polomiepähtälöt Toise stee epähtälö 8. Luseke o relie, ku 9 0 eli ku ti. Luseke o relie, ku 0 eli rvoill 0. 8. Yhtälöllä ei ole relijuuri, jos diskrimitti D < 0. Epähtälö rtkisu < < 0. 8. Jos suorkulmio hde sivu pituus o m, ii viereise sivu pituus o m. Al koskevst ehdost sd epähtälö 0 eli 0 0. Epähtälö toteutuu rvoill 0, jote 0 m sivu pituus m. 88. Aetu htälö juuret ovt reliset silloi, ku D 8 0 eli 9 7 9 0. Epähtälö toteutuu, ku ti. 89. Aettu fuktio o määritelt, ku j 0. Epähtälö toteutuu, ku. Näi olle fuktio o määritelt, ku,. 90. Rtkist eriksee epähtälöt >,, j,, >. Epähtälöt sieveevät muotoo,, > 0 j,, > 0. Edellie toteutuu rvoill < ti > 0,, jälkimmäie rvoill <. Kksoisepähtälö rtkisu o täte < ti 0, < <. 9. Luseke o relie, ku 0 j 0. Edellie toteutuu, ku 0, jälkimmäie, ku 0 eli rvoill. Molemmt ehdot toteutuvt, ku 0. 9. Jos suorkulmio hde sivu pituus o m, ii viereise sivu pituus o 0 m j suorkulmio l 0. Asetet epähtälö 0 00 eli 0 00 0. Epähtälö toteutuu kikill : rvoill, mikä osoitt, että pit-l ei ik litä rvo 00 m. Toislt kseie rvo svutet : rvoll 80 m, jolloi pit-l o juuri ri. 9. Fuktio f c kuvj o lspäi ukev preli. Kuvj ei koht -kseli, ku htälöllä c 0 ei ole relisi rtkisuj. Näi o, 9 ku D 9 8c < 0 eli c <. 8
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 9. Kosk fuktio o idosti väheevä j f < f 8, ii > 8. Rtkist epähtälö 8 > 0. Rtkisu < ti >. 9. Epähtälö > 0 rtkisu o < 0,7 ti >,7. Epähtälö < eli < 0 toteutuu, ku > 0,. Molemmt epähtälöt toteutuvt vi, jos >. Se merkitsee, että e luvut, jotk toteuttvt epähtälö > 0, eivät välttämättä toteut epähtälöä <. 9. Rtkist epähtälö, 7,7t,9t > 0. Epähtälö sieveee muotoo,9t 7,7t 8, > 0. Likirvortkisu o 0,7 < t <,0. Kpple o li kmmee metri korkeudell ikvälillä 0, s < t <,0 s eli, sekuti. Korkemm stee epähtälö 0. Jos reliluku o, o se kuutio j eliö summ positiivie, ku > 0. Epähtälö kirjoitet muotoo > 0, jost ähdää se toteutuv, ku > 0 j 0. Tehtävässä setetu ehdo toteuttvt kikki reliluvut > j 0. 0. Neliöjuuriluseke o rvolt relie, ku juurrettv ei ole egtiivie. Relisuusehdo eli eliöjuure määrittelehdo muk o oltv 0 eli 0. Ldit tekijöide j iide tulo merkkikvio. Se perusteell ähdää, että juuriluseke o relie, ku tulo 0 ti. - 0 0. Sieveetää epähtälö siirtämällä kikki termit vsemmlle j rhmittelemällä termit. 0 0 0. Ldit tekijöide j - iide tulo merkkikvio. Se perusteell tulos - tulo o ti. Rtkist luksi ikvdrttisest htälöstä 8 0 muuttuj toie potessi. Sd ti 9. Alkuperäie polomi jkutuu tällöi tekijöihi, j sd esitsmuoto - 8 9 < 0. Ldit - 9 tekijöide j iide tulo merkkikvio: tulo Se perusteell < < ti < <. -
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 0. Sieveetää epähtälö siirtämällä kikki termit vsemmlle j rhmittelemällä termit. 0 0 0 0. Kosk i 0, epähtälö toteutuu, ku 0 eli rvoill. Tällöi muk tulee mös. Sieveetää: 7 > 8 7 8 > 0 7 > 0 7 > 0 Merkkikvio muk tulos o < ti 0 < < ti >. - - 7 tulo 0. Jet epähtälö vse puoli tekijöihi. 0 0 Lditu merkkikvio perusteell ti. - - tulo - 0 0. Epähtälö > void kirjoitt muotoo > 0 > 0. Vse puoli o toise potessi positiivie muulloi pitsi, ku 0 eli ±. Näi olle epähtälö toteutuu, ku ±. *Neliöjuurihtälö j epähtälö Neliöjuurihtälö 09. Ee eliöö korottmist tutkit sekä eliöjuure määrittelehto että eliöjuure rvoo liittvä ehto. Edellise perusteell 0, j jälkimmäise ehdo muk 0. Yhdistettä ehdot tvt tulokse. Korottmll eliöö sd 0 ti. Molemmt sduist juurist tättävät ehdo. Määrittelehdo muk 0, mikä toteutuu kikill : rvoill. Neliöjuuriehdo perusteell 0. Viimeksi stu o mös hdistett ehto. Neliöö korottmise jälkee sd muoto 0 ±. Näistä ios- t tättää ehdo 0.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj 7 7 0. Määrittelehto 0 toteutuu, ku ti. Neliöjuure rvoo liittvä ehdo muk tulee oll. Ehtoje hdistämise tulokse- 7,8. Alkuperäise htälö eliöö korottmie t 0 ti. Näistä iost jälkimmäie tättää hdistet ehdo. Toie tp: Yhtälö korottmie toisee potessii t juuriehdokkt j. Sijoitet ämä lkuperäisee htälöö, jolloi sd vstvsti htälöt j. Vi juuri hväkstää. Termie siirroll päästää muotoo 9. Soveltmll htälöö määrittelehtoj sd 0 j 9 0.Yhdistämällä päädtää ehtoo 9 7. Alkuperäise htälö eliöökorotus t 8 0 0 ti. Rtkisuist vi edellie eli toteutt luss esitett ehdot. Toie tp: Juuriehdokkist vi toteutt lkuperäise htälö.. Neliöjuurie määrittelehdot 0 eli j 0 eli ti hdistämällä sd ehdoksi. Neliöö korottmie puolest t htälö 0, jok rtkisu 0 ti. Näistä vi jälkimmäie toteutt ehdo ti lkuperäise htälö. Termejä siirtämällä päädtää muotoo. Neliöö korottmie t htälö 0, jok rtkisui ti. Vi jälkim- mäie toteutt lkuperäise htälö ti lkuperäise htälö määrittelehdo.. Termie siirroll päästää muotoo. Korotet htälö eliöö, jolloi 9 78 0 ti. Vi luku toteutt lkuperäise htälö ti lkuperäise htälö määrittelehdo.
Polomifuktiot MAA Tehtävie rtkisuj Neliöjuuriepähtälö. Epähtälö < o määritelt, ku 0. Tällöi epähtälö molemmt puolet ovt ei-egtiivisi. Neliöö korottmie tuott epähtälö <. Ku otet huomioo määrittelehto, sd 0 <. Epähtälö > o määritelt, ku. Neliöö korottmie tuott määrittelehtoo liitettä htäpitävä epähtälö > eli >. Yhdessä määrittelehdo kss sd tulokseksi >.. Epähtälö < o määritelt, ku 0 eli. Tällöi epähtälö molemmt puolet ovt ei-egtiivisi. Neliöö korottmie tuott epähtälö < eli >. Yhdistämällä ehdot sd tulokseksi <. Epähtälö o määritelt, ku 0 eli. Neliöökorotusehto o j 0 eli. Yhdistämällä ehdot sd. Täl- löi 0 0. Stu tulos tättää mös ehdo.. Termejä siirtämällä epähtälö sd muotoo <, jok o määritelt, ku 0. Vsemm puole muk erotet kksi tpust:. < 0 eli <. Tällöi lkuperäise epähtälö vse puoli o egtiivie j epähtälö toteutuu kikill rvoill0 <.. 0 eli. Tättää mös ehdo 0. Neliöö korottmie t t htäpitävästi < < < 0 < <. Yhdistämällä stu tulos ehtoo, sd <. Kohdiss j stii osrtkisut. Niide hdistämie t lopputulokseksi 0 <. Epähtälö > o määritelt, ku 0 eli,. Oike puole muk erotet kksi tpust:. 0. Kosk eliöjuure rvo o i vähitää 0, kikki rvot, 0 toteuttvt lkuperäise epähtälö.. > 0. Kosk epähtälö molemmt puolet ovt ei-egtiivisi, sd htäpitävästi > > < 0 < <. Yhdessä ehdo > 0 kss päädtää tuloksee 0 < <. Kohtie j hdistämie t lopputulokseksi, <.