TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS 2 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut/primes}. TOOLS 2 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut/primes}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut/integers}. TOOLS 2 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut/primes}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut/integers}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. TOOLS 2 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut/primes}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut/integers}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS 2 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut/primes}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut/integers}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}. Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. TOOLS 2 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. TOOLS 3 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} TOOLS 3 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. TOOLS 3 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. TOOLS 3 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... TOOLS 3 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q \ {0}, R = R \ {0}, C = C \ {0}, TOOLS 3 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Sekalaisia merkintöjä! täsmälleen yksi. TOOLS 4 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Sekalaisia merkintöjä! täsmälleen yksi. A B A B A B. TOOLS 4 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Sekalaisia merkintöjä! täsmälleen yksi. A B A B A B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. TOOLS 4 / 28
Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Sekalaisia merkintöjä! täsmälleen yksi. A B A B A B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f (a) = f (a 1 ) +... + f (a m ), a A f (a) = f (a 1 ) f (a m ). a A Jos A =, niin f (a) = 0, a A (tyhjä summa ja tulo). f (a) = 1 a A TOOLS 4 / 28
Equivalence relation Equivalence relation Määritelmä 1 The relation is an equivalence relation in the set B, if for all a, b, c B. a a; (1) a b b a; (2) a b, b c a c. (3) TOOLS 5 / 28
Equivalence relation Equivalence class Merkintä 1 The equivalence class determined by the element a D is denoted by where a is a representative of [a]. Lemma 1 [a] = {b D b a}, (4) a b [a] = [b]. (5) TOOLS 6 / 28
Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. TOOLS 7 / 28
Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on TOOLS 7 / 28
Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; TOOLS 7 / 28
Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f (A) = B; TOOLS 7 / 28
Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f (A) = B; BIJEKTIO=INJEKTIO+SURJEKTIO. TOOLS 7 / 28
Funktioista Lemma 2 Olkoon ja injektio. #A = #B < f : A B TOOLS 8 / 28
Funktioista Lemma 2 Olkoon ja injektio. #A = #B < f : A B Tällöin f : A B on bijektio. TOOLS 8 / 28
Complex numbers Esimerkki 1 Kompleksilukujen kunta C. Luvun z = a + ib kompleksikonjugaatti on luku z = a ib ja pituus z = a 2 + b 2. z = z, zw = z w, zz = z 2. (6) z = z z R. (7) a = z + z 2, b = z z. (8) 2i z + z 2 z, z z 2 z. (9) z + z 2 z. (10) TOOLS 9 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomijoukko Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin R-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää Polynomia R[x] = {P(x) P(x) = n p k x k ; p k R, n N}. k=0 kutsutaan nollapolynomiksi ja polynomia 0(x) = 0 + 0 x + 0 x 2 +... (11) 1(x) = 1 + 0 x + 0 x 2 +... (12) ykköspolynomiksi. Ne ovat erikoistapauksia vakiopolynomista c(x) = c + 0 x + 0 x 2 +..., c R. (13) TOOLS 10 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Laskutoimitukset Määritelmä 2 Olkoot P(x) = n k=0 p kx k, Q(x) = n k=0 q kx k R[x], jolloin asetetaan P(x) = Q(x) k(p k = q k ); P(x) + Q(x) = k + q k )x k 0(p k ; P(x) Q(x) = r k x k, k 0 joka on Cauchyn kertosääntö. k r k = p i q k i = p i q j, (14) i=0 i+j=k TOOLS 11 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomial ring/degree Lause 1 Tällöin (R[x], +, ) on rengas, missä 0(x) on yhteenlaskun nolla-alkio ja 1(x) on kertolaskun ykkösalkio. Määritelmä 3 Jos p n 0, niin polynomin P(x) = n k=0 p kx k aste/degree on deg P(x) = n, (15) lisäksi asetetaan/set deg 0(x) =. (16) TOOLS 12 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Astekaava/Degree formula Huomautus 1 + ( ) = + k =, k Z. (17) Lause 2 Degree formula. Olkoon D kokonaisalue ja P(x), Q(x) D[x]. Tällöin deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x). (18) TOOLS 13 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Lause 3. A. Olkoon R = D kokonaisalue. Tällöin polynomirengas D[x] on kokonaisalue. B. Olkoon R = K kunta. Tällöin polynomirengas K[x] on kokonaisalue. Todistus: Olkoon a(x)b(x) = 0(x). Astekaavan nojalla deg a(x)b(x) = deg a(x) + deg b(x) = deg 0(x) =. (19) Jos olisi a(x) 0(x) ja b(x) 0(x), niin Ristiriita. 0 deg a(x) + deg b(x) =. (20) TOOLS 14 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Lause 4 Olkoon K kunta. A. Polynomirenkaan K[x] yksikköryhmä on K eli K[x] = K. (21) B. Polynomi j(x) K[x] \ K on jaoton täsmälleen silloin, kun sen ainoat tekijät ovat vakioita k tai polynomeja k j(x), missä k K \ {0}. C. Edelleen, polynomi a(x) K[x] \ {0(x)} on jaollinen täsmälleen silloin, kun sillä on tekijä d(x) K[x], jolle pätee 1 deg d(x) deg a(x) 1. (22) D. Erityisesti ensimmäisen asteen polynomit ovat jaottomia. TOOLS 15 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Jakoalgoritmi/Division algorithm Lause 5 Division algorithm. Olkoon K kunta. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (23) Edelleen, K[x] on Eukleideen alue! Huomautus 2 Jos D ei ole kunta, niin jakoalgoritmi ei välttämättä päde polynomirenkaassa D[x]!! If D is not a field, then the division algorithm does not work necessarily in the polynomial ring D[x]!! TOOLS 16 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomien a(x) ja b(x) suurin yhteinen tekijä d(x) = s.y.t.(a(x), b(x)) voidaan valita pääpolynomiksi. Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit s(x), t(x) K[x], että d(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x). (24) TOOLS 17 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Määritelmä 4 Polynomin p(x) = n p k x k K[x] k=0 (formaali) derivaatta Dp(x)on polynomi Lemma 3 Dp(x) = n kp k x k 1 K[x]. (25) k=1 Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Tällöin deg Dp(x) = deg p(x) 1, deg p(x) 1; (26) p(x) Dp(x). (27) TOOLS 18 / 28
Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomi on neliövapaa täsmälleen silloin kun sillä ei ole yhteisiä tekijöitä derivaattansa kanssa. A polynomial is square-free exactly when it does not have common factors with its derivative. Esimerkki 2 Olkoon p(x) = x 5 + 2x 3 + x Q[x]. Laskemalla saadaan/by calculating syt(p, Dp) 1 (28) polynomilla p(x) on useampikertainen tekijä/higher order factor/multiple factor renkaassa Q[x]. TOOLS 19 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Lause 6 Olkoon K kunta ja p(x) K[x], 1 deg p(x). Tällöin p(α) = 0, α K (x α) p(x). (29) K[x] Todistus. : Olkoon p(α) = 0, α K. Jakoalgoritmin nojalla p(x) = q(x)(x α) + r(x), deg r(x) < deg(x α) = 1, (30) joten r(x) K on vakio. Edelleen 0 = p(α) = q(α)(α α) + r(α) = r(α), : r(x) = 0(x) (x α) p(x). (31) K[x] (x α) p(x) = (x α)h(x), p(α) = 0, α K. (32) K[x] TOOLS 20 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Huomautus 3 Olkoon K on kunta ja p(x) K[x], deg p(x) = 2 tai deg p(x) = 3. Jos p(x) jakaantuu/is reducible polynomirenkaassa K[x], niin sillä on 1. asteen tekijä/then it has first degree factor ja Lauseen 6 nojalla p(α) = 0, α K. Jos nollakohtaa ei ole K:ssa/If there is no zero in K, niin p(x) on jaoton/irreducible polynomirenkaassa K[x]. Määritelmä 5 Olkoon K L kuntia ja p(x) K[x]. Tällöin on polynomin p(x) nollajoukko L:ssä. Z L (p) = {α L p(α) = 0} (33) TOOLS 21 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Määritelmä 6 Olkoon α L, K L kuntia ja p(x) K[x]. Jos (x α) m p(x), m N, (34) L[x] niin m = m L (α, p(x)) on polynomin p(x) nollakohdan α L kertaluku/order of zero/multiplicity of zero. Edelleen n L (p(x)) = p(α i )=0, α i L nollakohtien lukumäärä/number of zeros joukossa L. m L (α i, p(x)). (35) TOOLS 22 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Lause 7 Olkoon K kunta, char K=0, α K ja p(x) K[x] ja m N. Tällöin (x α) m p(x) (36) K[x] D k p(α) = 0 k = 0,..., m 1, D m p(α) 0. (37) Huomautus 4 Lause 7 EI päde esimerkiksi polynomirenkaassa Z p [x]. TOOLS 23 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Esimerkki 3 Olkoon p(x) = (x 1) 3 (x + 1/2) 5. Polynomin p(x) nollakohdat ovat α 1 = 1 ja α 2 = 1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat ja nollakohtien lukumäärä m Q (α 1, p(x)) = 3, m Q (α 2, p(x)) = 5 (38) n Q = 3 + 5 = 8. (39) TOOLS 24 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Esimerkki 4 Olkoon (x 2 + 1)(x 2 2) R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärät ovat n Q = 0 < 4 = deg p(x). (40) n R = m( 2) + m( 2) = 2 < 4 = deg p(x). (41) n C = 4 = deg p(x). (42) TOOLS 25 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Lause 8 Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Tällöin pätee n K (p(x)) deg p(x). (43) Todistus: 1. Jos nolla-kohtaa, niin m K (α, p(x)) = 0, kaikilla α K. Siten n K (p(x)) = 0 < 1 deg p(x). 2. Olkoot β 1,..., β k erillisiä nollakohtia, jolloin Siten m j := m K (β j, p(x)) 1 ja (x β j ) m j p(x), j = 1,..., k. (44) K[x] p(x) = (x β 1 ) m 1 p 2 (x), p 2 (β 1 ) 0 p 2 (β 2 ) = 0, (45) p 2 (x) = (x β 2 ) m 2 p 3 (x), p 3 (β 2 ) 0 p 3 (β 3 ) = 0... (46) TOOLS 26 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista... Lopulta p(x) = (x β 1 ) m1 (x β k ) m k p k+1 (x), deg p k+1 (x) 0. (47) Astekaavalla saadaan deg p(x) = m 1 +... + m k + deg p k+1 (x) m 1 +... + m k = n K (p(x)). (48) TOOLS 27 / 28
Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Lause 9 ALGEBRAN PERUSLAUSE. Olkoon p(x) C[x], deg p(x) 1, tällöin n C (p(x)) = deg p(x). (49) TOOLS 28 / 28