ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali? (b) Herra K.:lla on 2.000 euroa, ja hän harkitsee sijoittavansa rahansa jompaan kumpaan seuraavista arpajaisista (luvut ovat voittoja/tappioita): eli kuvallisesti L 1 = L(1, 100), L 2 = L ( 0,1, L(0,5, 400 ; 0,5, 600) ; 0,9, 5 ), L 1 1 100 0,5 400 0,1 0,5 600 L 2 0,9 5 Kumman arpajaisista L 1 vai L 2 herra K. valitsee? Ratkaisuehdotus: (a) Herra K. on riskinkaihtaja. Tämä seuraa harjoitustehtävän 3 kohdasta (a), sillä funktio ln x on konkaavi. Tyydymme tässä perustelemaan herra K.:n riskinkaihtoa esimerkillä. Tarkastellaan arpajaisia L = L(0,5, 1 ; 0,5, 0). Herra K.:n varmuusvastine (yksikkönä hyöty) näille arpajaisille on CE(L) = E ( u(l) ) = E ( ln L ) = ln 1 0,5 + ln 0 0,5 =. 1
Toisaalta riskineutraalin päätöksentekijän varmuusvastine (ykikkönä palkkio) arpajaisille L on CE(L) = E(L) = 1 0,5 + 0 0,5 = 0,5. Tämän luvun 0,5 yksikkö on palkkioissa. Herra K.:n varmuusvastineen yksikkö on hyöty. Jotta näitä voitaisiin verrata, täytyy yksiköt muuttaa samoiksi. Muutamme hyödyn palkkioiksi: u 1 ( ) = 0. Siisä herra K.:n varmuusvastine on palkkioina 0. Ja siten herra K.:n riskipreemio on 0,5 palkkiota arpajaisille L. Näemme, että herra K. on riskinkaihtaja ainakin mitä arpajaisiin L = L(0,5, 1 ; 0,5, 0) tulee. Huomattavaa kuitenkin on, että periaatteessa herra K. voisi olla riskinrakastaja joidenkin muiden arpajaisten suhteen. Harjoitustehtävästä 3(a) seuraa kuitenkin, että näin ei voi olla. (b) Herra K.:n varmuusvastine arpajaisille L on CE(L) = E(ln L) (yksikkönä hyöty). Siten CE(L 1 ) = ln(2.000 100) = ln 1.900 = 7,5496, CE(L 2 ) = ln(2.000 400) 0,1 0,5 + ln(2.000 600) 0,1 0,5 + ln(2.000 + 5) 0,9 = 7,5742. Näemme, että herra K. valitsee arpajaiset L 2. 2. Vastaa edellisen tehtävän kysymyksiin (a) ja (b), kun herra K.:n hyötyfunktio on logaritmisen hyötyfunktion sijasta (a) u(x) = x 2, (b) u(x) = 2x + 1. Ratkaisuehdotus: (a) Harjoitustehtävän 3(b) nojalla herra K. on riskinrakastaja, sillä funktio x 2 on konveksi. Tarkastelemme sitten arpajaisia L 1 ja L 2. Herra K.:n varmuusvastineet (yksikköinä hyödyt) ovat CE(L 1 ) = (2.000 100) 2 = 3.610.000, CE(L 2 ) = (2.000 400) 2 0,1 0,5 + (2.000 600) 2 0,1 0,5 + (2.000 + 5) 2 0,9 = 3.844.000. 2
Näemme, että herra K. valitsee arpajaiset L 2. (b) Funktio 2x + 1 on sekä konkaavi että konveksi. Siten, harjoitustehtävän 3(c) nojalla, herra K. on riskineutraali. Nyt arpajaisille L 1 ja L 2 pätee CE(L 1 ) = 2 (2.000 100) + 1 = 3.801, CE(L 2 ) = ( 2 (2.000 400) + 1 ) 0,1 0,5 + ( 2 (2.000 600) + 1 ) 0,1 0,5 + ( 2 (2.000 + 5) + 1 ) 0,9 = 3.910. Herra K. valitsee arpajaiset L 2. 3. Osoita että päätöksentekijä on (a) riskinkaihtaja, jos hänen hyötyfunktionsa on konkaavi, (b) riskinrakastaja, jos hänen hyöytyfunktionsa on konveksi, (c) riskineutraali jos ja vain jos hänen hyötyfunktio on sekä konveksi että konkaavi. Ratkaisuehdotus: Harjoituksen väitteet seuraavat Jensenin epäyhtälöstä (1) E ( u(l) ) u ( E(L) ), kun u on konveksi, joka on esitelty luennoilla. Nimittäin epäyhtälön (1) vasen puoli on varmuusvastine CE(L) yksikköinä hyödyt 1 ja epäyhtälön oikea puoli on odotettu arvo EV(L) yksikköinä hyödyt. Siten riskipreemio (yksikkönä hyöty) on RP(L) = E ( u(l) ) u ( E(L) ). (a) Tämä seuraa Jensenin epäyhtälöstä, sillä u(x) on konkaavi jos ja vain jos u(x) on konveksi. (b) Tämä on Jensenin epäyhtälö. (c) Tämä seuraa yhdistämällä kohdat (a) ja (b). Itse asiassa funktio u(x) on sekä konveksi että konkaavi jos ja vain jos se on affiini: u(x) = ax + b. 1 Jos suureen x yksikkö on hyöty, niin vastaava palkkio on u 1 (x). Jos taas suureen x yksikkö on palkkio, niin vastaava hyöty on u(x). 3
4. Oiva Opiskelijan on päätettävä osallistuako kurssille Operaatioanalyysi vai Johdatus tilastotieteeseen. Oiva arvioi, että jos hän osallistuu kurssille Operaatioanalyysi, niin todennäköisyydellä 10% hän saa arvosanan 5, todennäköisyydellä 40% arvosanan 4 ja todennäköisyydellä 50% arvosanan 3. Samoin Oiva arvelee, että osallistuu kurssille Johdatus tilastotieteeseen, niin todennäköisyydet arvosanoille ovat: 70% arvosanalle 4, 25% arvosanalle 3 ja 5% arvosanalle 2. Oiva on indifferentti arpajaisten L(1, 3) ja L(0,25, 5 ; 0,75, 2) suhteen, sekä arpajaisten L(1, 4) ja L(0,70, 5 ; 0,30, 2) suhteen. Jos Oiva Opiskelija haluaa optimoida arvosanasta saadun keskimääräisen (eli odotetun) hyödyn, niin kumman kursseista Operaatioanalyysi vai Tilastotieteen johdantokurssi hän valitsee? Ratkaisuehdotus: Huomaamme aluksi, että Oiva Opiskelija tarkastelee vain arvosanoja 5, 4, 3 ja 2. Hän siis ei pidä mahdollisena arvosanoja 1 tai hylätty. Rakennamme sitten Oivan hyötyfunktion. Ääriarvoissa asetamme u(5) = 1 ja u(2) = 0. Indifferessistä L(1, 3) L(0,25, 5 ; 0,75, 2) päättelemme, että u(3) = 0,25. Samoin indifferenssistä L(1, 4) L(0,7, 5 ; 0,3, 2) päättelemme, että u(4) = 0,7. Nyt hyötyfunktio on tiedossamme. Voimme siis laskea odotetut hyödyt arpajaisille L OR ja L IS : E ( u ( L OR )) = u(5) 0,1 + u(4) 0,4 + u(3) 0,5 = 1 0,1 + 0,7 0,4 + 0,25 0,5 = 0,505, E ( u ( L IS )) = u(4) 0,7 + u(3) 0,25 + u(2) 0,05 = 0,7 0,7 + 0,25 0,25 + 0 0,05 = 0,5525. Oiva Opiskelija valitsee siis kurssin Tilastotieteen johdantokurssi. 5. Sjoittaja R.:llä on 1.000 euroa löysää rahaa. Hän aikoo sijoittaa ne vuodeksi joko valtion obligaatioiin tai kultaan (mutta ei molempiin). Jos sijoittaja R. sijoittaa 1.000 euroa valtion obligaatioihin saa hän varmasti vuoden kuluttua 1.296 euroa. Jos hän taas sijoittaa kultaan saa hän vuoden kuluttua 400 euroa todennäköisyydellä 0,75 ja 10.000 euroa todennäköisyydellä 0,25. Sijoittaja R.:n hyötyfunktio on u(x) = x. Sijoittaja R. haluaa optimoida odotetun (eli keskimääräisen) hyödyn. Tuleeko hänen sijoittaa valtion obligaatioihin vai kultaan? 4
Huomautus: Tämän tehtävän ratkaiseminen pitäisi onnistua jo edellisen viikon harjoitusten tiedoilla. Ratkaisuehdotus: Laskemme odotetut hyödyt obligaatiolle L bond ja kullalle L gold : E ( u(l bond ) ) = 1.296 = 36, E ( u(l gold ) ) = 400 0,75 + 10.000 0,25 = 40. Siispä sijoittaja R. sijoittaa kultaan. 5