LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c, a b. a c ja b c ja a b, ab c. p ab, p a tai p b. p a n p a p n a n. p k a n p a n. 2. Määrää seuraavat Eulerin funktion arvot (a) φ(p); φ(p m ); (c) φ(2 m ); (d) φ(2 a 1 3 a 2 ); (e) φ(7 a 1 11 a 2 ); (f) φ(2 3 5 7 11). 3. Määrää edellisen tehtävän luvuille lausekkeen arvot. φ(n) n 4. Todista
(a) a b φ(a) φ; a 3 2 φ(a). 5. Määrää sellaiset luvut a Z, että (a) (c) φ(a) = a/2; φ(a) = 12; φ(a) φ(2a). 6. Määrää ryhmän Z 13, (a) alkioiden kertaluvut; aliryhmät; (c) sykliset aliryhmät; (d) generaattorit. 7. Määrää ryhmän Z 15, (a) alkioiden kertaluvut; aliryhmät; (c) sykliset aliryhmät; (d) generaattorit. 8. Määrää ryhmän Z 15, (a) Yhden alkion generoimat aliryhmät; Kahden alkion generoimat aliryhmät; (c) Kolmen alkion generoimat aliryhmät. 9. Määrää ryhmän Z 35, (a) Yhden alkion generoimat aliryhmät; Kahden alkion generoimat aliryhmät 4, a, a Z 35; (c) Kolmen alkion generoimat aliryhmät 4, 6, 29, 6, 29, 34.
10. Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Todista, että yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r seuraa 11. Olkoon Ratkaise 12. Ratkaise a b (mod m 1 m r ). f(x) = 2x 3 + 7. f(x) 0 (mod 105). n 13 n 0 (mod 5 7 13). 13. Olkoon H ryhmä ja α H. Todista Lauseen 9.5 B kohta eli: Jos α = {1, α, α 2,..., α n 1 } ja α n = 1, missä n Z + on pienin eksponentti k Z +, jolla α k = 1, niin ord α = n. 14. Olkoon H ryhmä, α H ja m Z +. Todista Lause 9.6 eli: 15. Olkoon n Z 2. α m = 1 ord α m. (a) Osoita, että luvun n 2 + 1 parittomat alkutekijät ovat muotoa 4k + 1. Osoita, että luvun n 4 + 1 parittomat alkutekijät ovat muotoa 8k + 1. (c) Osoita, että luvun n 2 +n+1 parittomat alkutekijät 5 ovat muotoa 6k +1. 16. Olkoot a Z, p, q P 3 ja q a p 1. (a) Osoita, että q a 1 tai q = 2kp + 1, jollakin k Z. Osoita, että luvun 2 p 1 parittomat alkutekijät ovat muotoa 2kp + 1. 17. Olkoon H ryhmä ja α H. Todista 18. Olkoon p P 3 ja β = Z p. Todista α = α 1. (a) ord β = p 1, jos p 1 (mod 4); ord β = p 1 2, jos p 3 (mod 4). 19. Olkoon 7 = Z 71. Määrää
(a) log 7 9, log 7 70 (c) log 7 36, (d) log 7 61 (70 = 1), (61 = 10, 7 10 = 1). (e) Ratkaise 11 a = 60 kunnassa Z 71. 20. Mitkä luvuista 2, -2, -1 ovat ovat kunnan Z 71 primitiivialkioita? 21. Onko yhtälö 7 a = 2, a Z + ratkeava kunnassa Z 71 ja jos on, niin määrää ratkaisu. 22. Olkoot p ja p 1 alkulukuja ja p 1 (mod p 1 ). Olkoon β = Z p. Miten muodostat Z p :n kertalukua p 1 olevan syklisen aliryhmän generoija-alkion γ? 23. Olkoon p = 4q + 1 ja p, q P. Osoita, että 2 = Z p. 24. Olkoon p = 2 n + 1 P 5. Osoita, että 3 = Z p. 25. Olkoon n Z 2 ja oletetaan, että F n = 2 2n + 1 P. Osoita, että Z F n = 2. 26. Osoita, että jos p P ja niin (a) p 2 2n + 1, p 1 (mod 2 n+1 ). p 1 (mod 2 n+2 ). 27. Osoita, että muotoa (a) (c) p 1 (mod 4); p 1 (mod 6); p 1 (mod 8); olevia alkulukuja p on äärettömän paljon. Vihje: Käytä tehtävän 15 tuloksia. 28. Olkoon n Z 2. Määrää primitiivijuurien (mod n) lukumäärä.
29. Olkoon p P 3. Osoita, että 30. Määrää pienin sellainen v Z +, että v = Z p 2 v = Z p. (a) (c) kaikilla k Z +. v = Z 5 k ; v = Z 7 k ; v = Z 11 k, 31. Todista Lause 11.6: Olkoon p P 3 ja k Z +. Osoita, että tällöin on olemassa sellainen v Z, että v = Z 2 p k. 32. Olkoon k Z +. Osoita, että 3 = Z 2 5 k. 33. Tarkastellaan ryhmää Z 13. (a) määrää neliöt ja epäneliöt. määrää alkioiden Legendren symbolit. (c) ratkaise yhtälö 4x 9 = 7. (d) ratkaise yhtälö x 3 = a, kun a = 1, a = 3. 34. Olkoon p P 3 ja Z p = β. (a) Määrää log β 1. Olkoon a 2 = 1, määrää log β a. (c) Olkoon p P 4Z + 1. Ratkaise yhtälö x 2 = 1 Z p. (d) Olkoon p P 4Z + 3. Ratkaise yhtälö x 2 = a Z p. (e) Osoita, että ( a = 0. p) a Z p
35. Ratkaise yhtälö x 2 46 (mod 17), x Z. 36. Laske (a) ( ) 91 ; 167 ( ) 19 ; 31 (c) ( ) 97 ; 101 (d) ( ) 3083 ; 3911 (e) ( ) 5. 160465489 37. Olkoon p P 5. Osoita, että ( ) 3 = 1 p p ±1 (mod 12). 38. Olkoot f 0 = 0, f 1 = 1 ja f k+2 = f k+1 + f k aina, kun k N. Olkoon n 2. Osoita, että p f 2n+1, p P p 1 (mod 4). (Vihje: Käytä Lukuteorian perusteet tuloksia.) 39. Käyttämällä jakoalgoritmia ja erottamalla jakojäännöksestä luvun 2 potenssit saadaan Osoita, että ( ) 401 111 401 = 3 111 + 2 2 17, 111 = 6 17 + 2 0 9, 17 = 1 9 + 2 3 1. = ( 1) m, m = 2 1112 1 8 +0 172 1 8 40. Olkoon k Z 2, p = 4k + 3 P. Osoita, että (a) 2p + 1 P 2 p 1 (mod 2p + 1). 2p + 1 P M p = 2 p 1 / P. +3 92 1 8 + 111 1 2 17 1 2 + 17 1 9 1 2 2.
41. Olkoot ja Osoita, että tällöin n = p P. 42. Olkoon a 0 = 2, a 1 = 4 ja n = k2 m + 1 Z +, k < 2 m a n 1 2 1 (mod n), a Z. a l+2 = 4a l+1 a l, l N, u k = a 2 k, k N. Näytä, että u k+1 = u 2 k 2, k N. 43. Olkoon q, p P 3. Osoita, että 44. Olkoon q P. Osoita, että 45. Määrää kuntien yksikköryhmien kertaluvut. q = 2 p 1 7 (mod 12). α = 2 + 3, β = 2 3 Z q [ 3]. Z q [ 3], q = 5, 7, 11, 13 46. Olkoot a Z, n N, n 2. Osoita, että tällöin polynomirenkaassa Z n [x]. 47. Osoita: a n, n / P (x a) n = x n a (a) Jos n on pseudoalkuluku kannan b suhteen, niin se on sitä myös kantojen b ja b 1 (mod n) suhteen. Jos n on pseudoalkuluku kantojen b 1 ja b 2 suhteen, niin se on sitä myös kannan b 1 b 2 suhteen. (c) Määrää P SP b Z 15, b = 2, 3, 4, 5, 6. 48. (a) Osoita, että 45 on pseudoalkuluku kantojen 17 ja 19 suhteen. Osoita, että 2047=2 11 1 on yhdistetty luku. (c) Oletetaan, että n on pseudoalkuluku kannan b suhteen, missä syt(b 1, n) = 1. Osoita, että N = (b n 1)/(b 1) on pseudoalkuluku kannan b suhteen. (d) Osoita, että on olemassa äärettömän monta pseudoalkulukua kannan b suhteen, kun b = 2, 3 tai 5.
49. (a) Osoita, että 561 on Euler-Jacodin pseudoalkuluku kannan 2 suhteen. Määritä kaikki sellaiset kannat, joiden suhteen 15 on Euler-Jacobin pseudoalkuluku. 50. Olkoon n pariton yhdistetty luku. Osoita: (a) Jos k 2 n, k > 1, niin n ei ole Carmichaelin luku. Jos n = p 1 p 2...p t, missä p i :t ovat keskenään erisuuria ehdon (p i 1) (n 1) toteuttavia alkulukuja, niin n on Carmichaelin luku. 51. Osoita, että Carmichaelin luku on ainakin kolmen erisuuren parittoman alkuluvun tulo. 52. Osoita, että 65 on vahva pseudoalkuluku kantojen 8 ja 18 suhteen, mutta ei ole sitä kannan 8 18 14 (mod 65) suhteen. 53. Määritä kaikki kannat, joiden suhteen 65 on vahva pseudoalkuluku. 54. Osoita, että on olemassa äärettömän monta vahvaa pseudoalkulukua kannan 2 suhteen.