Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla
|
|
- Jalmari Kahma
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa Pentille varmuuden siitä, että vain Liisa on voinut lähettää kyseisen viestin ElGamalin allekirjoitus. Tarkastellaan lyhyesti ElGamalin menetelmää digitaalista allekirjoitusta varten. Liisa valitsee satunnaisesti suuren alkuluvun p, kunnalla Z p jonkin primitiivisen alkion γ, satunnaisesti luvun a {0, 1,..., p 2} ja laskee A := γ a. Liisan julkisavain on pari (γ, A) ja salainen avain luku a. Kun Liisa haluaa allekirjoittaa viestin [x] p Z p, hän valitsee satunnaisesti luvun k {1,..., p 2}, jolle syt(k, p 1) = 1, laskee ϱ := γ k. Olkoon r Z luokan ϱ pienin ei-negatiivinen edustaja; siis r {1,..., p 1} ja [r] p = ϱ. Liisa määrää luvun s Z, jolle s k + a r x mod (p 1). Luku s on luku x a r kertaa luvun k käänteisalkio modulo p 1; ehdon syt(k, p 1) = 1 nojalla k on kääntyvä modulo p 1. Viestin x allekirjoitus on pari (r, s) Allekirjoituksen varmistaminen. Kun Pentti haluaa varmistaa Liisalta saadun viestin x allekirjoituksen (r, s) avulla, hän käyttää Liisan julkisavainta (γ, A) seuraaavasti: Ensinnäkin pitää olla 1 r p 1. Toisekseen pitää olla A r ϱ s = γ x. Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla γ k s = γ x a r (muista: primitiivisen alkion γ kertaluku on p 1), joten A r ϱ s = (γ a ) r (γ k ) s = γ a r γ k s = γ a r γ x a r = γ x. Todetaan vielä, että allekirjoitus (r, s), joka toteuttaa tarkistusehdon A r ϱ s = γ x, voidaan saada vain viestistä x ja Liisan salaisesta avaimesta a. Nimittäin, A r ϱ s = (γ a ) r (γ k ) s, missä k on alkion ϱ diskreetti γ-kantainen logaritmi. Siis A r ϱ s = γ a r+k s. Jos nyt tarkistusehto A r ϱ s = γ x toteutuu, on γ a r+k s = γ x. Koska γ on kunnan Z p primitiivinen alkio, seuraa tästä a r + k s x mod (p 1). Lukujen r ja s tulee siis toteuttaa juuri sama yhtälö, jonka avulla Liisa määräsi luvun s. Huomautus 6.1. Käytännössä allekirjoitusta ei määrätä varsinaisen viestin m avulla, vaan siitä ns. hash-funktion h avulla lasketusta suureesta x = h(m). Hashfunktio on kuvaus Σ Σ n, missä n on annettu positiivinen kokonaisluku ja Σ on käytetty aakkosto. Hash-funktio siis muuttaa mielivaltaisen pitkät viestit kiinteän pituisiksi viesteiksi. Tällainen kuvaus ei koskaan voi olla injektio. Hash-funktioon h liittyvä törmäys on pari (m, m ), jolle h(m) = h(m ). Digitaalisiin allekirjoituksiin käytettyjen hash-funktioiden toivotaan yleensä olevan törmäyksiä vastustavia (engl. 18 Viimeksi muutettu
2 collosion resistant). Tällä tarkoitetaan, että sellaisen parin (m, m ), jolle h(m) = h(m ), määräämisen pitäisi olla käytännöllisesti mahdotonta. Katso lisää [1, 10.1]. Edellä ElGamalin allekirjoitus on syytä lukea niin, että viesti x tarkoittaa varsinaisesta viestistä m laskettua hash-arvoa h(m) Allekirjoituksen toistaminen. Allekirjoitusta varten Liisa valitsee satunnaisesti luvun k {1,..., p 2} ja laskee allekirjoituksen (r, s) salaisen avaimensa a ja luvun k avulla. Liisan tulee valita uusi luku k jokaista allekirjoitusta varten, koska muuten Erkki pystyy saamaan selville Liisan salaisen avaimen a. Oletetaan, että Liisa on käyttänyt samaa lukua k kahden eri viestin [x 1 ] p, [x 2 ] p Z p, allekirjoittamiseen. Alkio ϱ = γ k on siis sama kumpaakin allekirjoitusta varten, joten myös luku r, jolle r {1,..., p 1} ja [r] p = ϱ, säilyy samana. Olkoot s 1, s 2 Z, joille Siis s 1 k + a r x 1 mod (p 1) ja s 2 k + a r x 2 mod (p 1). (s 1 s 2 ) k x 1 x 2 mod (p 1) Jos tässä s 1 s 2 on kääntyvä modulo p 1, saadaan luku k ratkaistuksi tästä yhtälöstä. Jos x 1 x 2 on kääntyvä, on myös s 1 s 2 kääntyvä, koska k on kääntyvä. Kun k saadaan selville, saadaan a ratkaistuksi yhtälöstä s 1 k + a r x 1 mod (p 1) ainakin, jos r on kääntyvä modulo p Allekirjoituksen väärentämisestä. ElGamalin allekirjoituksessa viestin allekirjoitus on lukupari (r, s). Itse viesti ei sisälly tähän allekirjoitukseen, joten se pitää välittää erikseen. Tässä tärkeätä on, että allekirjoitusta ei lasketa varsinaisesta viestistä m, vaan hash-funktion h avulla lasketusta suureesta x = h(m). Jos Liisa lähettää allekirjoitetun viestin muodossa ((m, x), (r, s)), ja viestin oikeellisuus tarkistettaisiin vain ehdolla A r ϱ s = γ x, olisi allekirjoitus väärennettävissä. Kun lisäksi tarkistetaan, että h(m) = x, ja h on törmäyksiä vastustavia, ei väärentäminen ole mahdollista. Osoitetaan, että Erkki pystyy konstruoimaan viestin x ja allekirjoituksen (r, s), joka läpäisee allekirjoituksen tarkistusehdon. Jotta Pentti uskoisi allekirjoituksen perusteella viestin x tulevan Liisalta, pitää allekirjoituksen ja viestin x toteuttaa ehto A r ϱ s = γ x, missä ϱ = [r] p. Erkki valitsee kokonaisluvut u ja v siten, että syt(v, p 1) = 1 ja määrää suureet ϱ = [r] p, s ja x, joille ϱ = γ u A v, s v r mod (p 1) ja x s u mod (p 1). Näin määrätyille suureille r ja s on A r ϱ s = A r (γ u A v ) s = A r γ u s A v s = A r γ x A r = γ x. Viestin x siis läpäisee allekirjoituksen tarkistusehdon.
3 Edeltä ei käy selville, miksi allekirjoituksen varmistamiseksi pitää myös tarkistaa, että 1 r p 1. Jos tätä ehtoa ei vaalita, voi Erkki käyttää olemassaolevan viestin x oikeata allekirjoitusta (r, s) väärentääkseen allekirjoituksen toiseen viestiin x. Oletetaan, että x on kääntyvä modulo p 1, ja että x x mod (p 1). Erkki määrää kokonaisluvut u ja s, joille x u x mod (p 1) eli [u] p 1 = [x ] p 1 [x] 1 p 1 ja s s u mod (p 1). Luvut p 1 ja p ovat keskenään jaottomat, joten kiinalaisen jäännöslauseen avulla Erkki pystyy määräämään luvun r, jolle r r u mod (p 1), r r mod p. Viestin x allekirjoitus on nyt (r, s ). Koska r r mod p, on ϱ := [r ] p = [r] p = ϱ. Allekirjoitus (r, s ) kelpaa Pentille, sillä A r (ϱ ) s = A r u ϱ s u = γ a u r+k s u = γ (a r+k s) u = γ x u = γ x. Osoitetaan, että nyt on kuitenkin r p, jos oletetaan, että r on valittu einegatiiviseksi. Koska (r, s) on oikein laadittu allekirjoitus, on luvulle r voimassa 1 r p 1. Oletuksista seuraa, että u 1 mod (p 1), joten r r u r mod (p 1). Ehdon r r mod p nojalla luku r poikkeaa luvusta r luvun p kokonaislukumonikerran verran. Ehdosta r r mod (p 1) seuraa, että r p Rabinin salain allekirjoitusmenetelmänä. Edellä esitetyn ElGamalin menetelmän lisäksi monia muita salausmenetelmiä voidaan käyttää digitaaliseen allekirjoittamiseen. Palautetaan mieleen Rabinin menetelmä. Liisa valitsee satunnaisesti kaksi keskenään erisuurta alkulukua p ja q, joille p 3 mod 4 ja q 3 mod 4. Liisa laskee tulon n := p q. Liisan julkisavain on luku n ja salainen avain pari (p, q). Allekirjoitettavien viestin joukko M on nyt kaikkien renkaan Z n neliöiden joukko eli M := {x 2 x Z n }. Muistettakoon, että kun luvun n tekijät p ja q tunnetaan, on alkioiden y M neliöjuurien laskeminen helppoa, muuten ei. Kun Liisa allekirjoittaa viestin m M, hän käyttää salaista avaintaan ja laskee alkion m neliöjuuren s, t.s. hän määrää alkion s Z n, jolle s 2 = m. Liisa lähettää Pentille allekirjoitettuna viestinä alkion s. Pentti varmistaa, että viesti on Liisalta laskemalla Liisan julkisavaimen n avulla alkion s 2 Z n ; muuta ei tarvita. 7. Autentikointi Useimmissa tietokoneiden käyttöjärjestelmissä käyttäjät tunnistetaan käyttäjätunnuksen ja salasanan avulla. Salasanat talletetaan usein salakirjoitettuna, ja tunnistautumistilanteessa käyttäjän antama salasana salakirjoitetaan ja salakirjoitettua muotoa verrataan järjestelmään talletettuun salasanaan. Vaihtoehtoisia tunnistusmenetelmiä on olemassa, ja niistä eräs typpi tunnetaan haaste-vaste -menetelmänä (engl. challenge response system). Kun tällaisessa Liisa 47
4 haluaa tunnistautua Pentille, Pentti esittää kysymyksen (haasteen), johon Liisa tulee vastata (antaa vaste). Liisa laskee vastauksen salaisen avaimensa avulla ja Pentti varmistaa vastauksen käyttäen vastaavaa julkista avainta. Tällaisesta esimerkkinä esitellään Fiatin ja Shamirin identifiointiprotokolla. Liisa valitsee satunnaisesti kaksi keskenään erisuurta alkulukua p ja q. Näistä laskettu tulo n := p q on julkinen suure. Seuraavaksi Liisa valitsee satunnaisesti luvun s {1, 2,..., n 1} ja määrää luvun v {0, 1,..., n 1}, jolle v s 2 mod n. 19 Liisan julkinen avain on pari (n, v). Luku s on yksi luvun v neliöjuurista modulo n. Koska neliöjuurien laskemista modulo n pidetään vaikeana (ellei luvun n tekijöitä tunneta), voi Pentti varmistua Liisan identiteetistä, jos Liisa pystyy jotenkin vakuuttamaan Pentin siitä, että hän tietää luvun v neliöjuuren modulo n. Tämä voidaan tehdä seuraavasti: (1) Liisa valitsee satunnaisesti luvun r {1, 2,..., n 1} ja määrää luvun x {0, 1,..., n 1}, jolle x r 2 mod n. Liisa lähettää luvun x Pentille. (2) Pentti valitsee satunnaisesti luvun e {0, 1} ja lähettää sen Liisalle. (3) Liisa määrää luvun y {0, 1,..., n 1}, jolle y r s e mod n, ja lähettää luvun y Pentille. (Siis y = r tai y r s mod n.) (4) Pentti tarkistaa, onko y 2 x v e mod n. Jos tämä ehto toteutuu, Pentti hyväksyy Liisan vastauksen; muuten vastaus hylätään. Pystyykö Erkki esiintymään Liisana, vaikka ei tietäisi Liisan salaista avainta s? Jos Erkki tietää luvut r ja r s, hän saa selville salaisen avaimen s, sillä s r s r 1 mod n. Erkki voi kuitenkin menetellä seuraavasti: Jos Erkki arvaa, että e = 0, hän valitsee luvun r satunnaisesti ja lähettää Pentille luvun x r 2 mod n. Pentti tarkistaa, että y x mod n, kuten pitääkin. Salaista avainta s ja sen neliötä v ei tässä tarvita lainkaan. Jos Erkki arvaa, että e = 1, hän valitsee luvun r satunnaisesti, lähettää Pentille ensin luvun x r 2 v 1 mod n, ja toisena luvun y r mod n. Pentti laskee y 2 r 2 mod n ja toisaalta x v r 2 v 1 v r 2 mod n. Salaista avainta s Erkki ei pysty käyttämään, mutta sen neliötä v kylläkin. Erkin pitäisi tässä tilanteessa kuitenkin arvata etukäteen, kumman luvun e Pentti tulee valitsemaan; Erkillä luvun x valinta riippuu siitä, kumpi arvo luvulla e tulee olemaan. Koska Pentin valinta on satunnainen, pitäisi Erkin onnistua siis vain todennäköisyydellä 1. Jos tätä kysy-vastaa -menetelmää toistettaisiin r kertaa, saisi Pentti 2 Erkin huijauksen selville todennäköisyydellä 1 ( 1 2 )r. Aivan suoraan tätä kysy-vastaa -menetelmää ei kuitenkaan voida toistaa. Miksi? Harjoituksiin jätetään tarkasteltavaksi yleisempi Feigen, Fiatin ja Shamirin identifiointiprotokolla, joka vastaa r-kertaa toistettua Fiatin ja Shamirin protokollaa. Fiatin ja Shamirin protokollaa vastaa salausmenetelmänä Rabinin salain: salaavuus perustuu neliöjuurten laskemisen vaikeuteen. Identifiointimenetelmät voivat kuitenkin käyttää muitakin salausmenetelmiä Luonnollista olisi vaatia, että syt(s, n) = 1, jolloin myös syt(v, n) = 1; muuten luvun n tekijät on helppo löytää. Sama pätee muihinkin väliltä {1,..., n 1} satunnaisesti valittuihin lukuihin.
5 8. Mistä kaikesta jään paitsi? 8.1. Satunnaisluvut. Monessa yhteydessä on käytetty ilmaisua valitsee satunnaisesti kokonaisluvun sen paremmin selvittämättä, miten tällainen satunnaisvalinta tehdään. Eräs yksinkertaisimmista menetelmistä on seuraava: Olkoot m, a ja b positiivisia kokonaislukuja. Jono (x j ) j=0 konstruoidaan seuraavasti: (1) valitaan x 0 {0, 1,..., m 1}; (2) kun j 1, valitaan x j {0, 1,..., m 1}, jolle x j (a x j 1 + b) mod m. Näin muodostetussa jonossa ei voi olla enempää kuin m keskenään erisuurta lukua x j. Sen sijaan on huomattavasti vaikeampi selvittää, millä ehdoilla jonossa on juuri m eri lukua. Ei ole kovin vaikea todeta, että tässä tällaisessa tilanteessa pitää olla ainakin syt(a, m) = 1. Tarkemmin ongelmaa on selvitetty kirjassa [7, 3.2]. Katso myös [2, 17.2] Alkulukutestaus. Kun luvun satunnaisvalinta ei ole itsestäänselvyys, hankalampi ongelma on, miten valitaan satunnaisesti alkuluku. Tyypillinen menetelmä voisi olla seuraavanlainen: Valitaan satunnaisesti kokonaisluku n. Testataan jollakin sopivalla menetelmällä, onko n alkuluku. Jos n ei ole alkuluku, siirrytään seuraavaan (parittomaan) lukuun ja testataan, onko se alkuluku. Tätä toistetaan, kunnes alkuluku löytyy. Tämän idean taustalla on ns. alkulukulause, jonka sanomasta voidaan heuristisesti lukuea, että annetun luvun x lähellä oleva luku on alkuluku todennäköisyydellä 1/ log n. Mutta miten testataan, onko annettu luku alkuluku? Yksinkertaisimmat menetelmät (esimerkiksi Eratosteneen seula) eivät ole riittäviä silloin, kun tarvitaan isoja alkulukuja. Fermat n pientä lausetta voi käyttää apuna, mutta ei sanomaan luku p on alkuluku, vaan sanomaan, että luku p ei ole alkuluku. Nimittäin, Fermat n pienen lauseen mukaanhan on: jos p on alkuluku ja a kokonaisluku, jolle syt(a, p) = 1, niin a p 1 1 mod p. Tätä voidaan käyttää niin, että jos p on alkulukukandidaatti, niin valitaan satunnaisesti luku a {2,..., n 1}, lasketaan a p 1 mod p (toistetulla neliöinnillä modulo p). Jos a p 1 1 mod p, niin Fermat n pienen lauseen nojalla p ei ole alkuluku. Jos taas a p 1 1 mod p, niin Fermat n pieni lause ei sano mitään. Särön Fermat n pieneen lauseeseen tuovat Carmichaelin luvut. Carmichaelin luvut ovat yhdistettyjä positiivisia kokonaislukuja n, joille on voimassa a n 1 1 mod n kaikille kokonaisluvuille a, joille syt(a, n) = 1. Särön tekee se, että tällaisia lukuja on olemassa (pienin on 561 = ), ja että tällaisia lukuja on äärettömän paljon. (Tämä todistettiin vasta 1994!). Alkutestaus on varsin tärkeä ja laaja lukuteorian osa-alue. Lukijaa kehotetaan perehtymään kirjallisuuteen, esimerkiksi [1, luku 6], [2, luku 18], [8, luku V] tai ylipäätään lukuteoriaan [5]. Alkutestauksen rinnalla kulkevat lukujen tekijöihinjakomenetelmät ([1, luku 8], [2, luku 19], [8, luku V], [8, luku VI, 4]) ja menetelmät, joilla lasketaan diskreettejä logaritmeja ([1, luku 9], [8, luku IV, 3]). 49
d Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
Lisätiedotn (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin
3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotSalakirjoitusmenetelmiä
Salakirjoitusmenetelmiä LUKUTEORIA JA LOGIIKKA, MAA 11 Salakirjoitusten historia on tuhansia vuosia pitkä. On ollut tarve lähettää viestejä, joiden sisältö ei asianomaisen mielestä saanut tulla ulkopuolisten
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotTietoturva 811168P 5 op
811168P 5 op 6. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos Mitä se on? on viestin alkuperän luotettavaa todentamista; ja eheyden tarkastamista. Viestin eheydellä tarkoitetaan sitä, että se ei ole
Lisätiedot(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotRSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017
RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro. 1976269 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Salausmenetelmien yleisiä periaatteita 3 2 Määritelmiä ja
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotKokonaisluvun kertaluvun sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Timo D. Talvitie Kokonaisluvun kertaluvun sovelluksia Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotEnigmail-opas. Asennus. Avainten hallinta. Avainparin luominen
Enigmail-opas Enigmail on Mozilla Thunderbird ja Mozilla Seamonkey -ohjelmille tehty liitännäinen GPG-salausohjelmiston käyttöä varten. Sitä käytetään etenkin Thunderbirdin kanssa sähköpostin salaamiseen
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotSALAUSMENETELMÄT. Osa 2. Etätehtävät
SALAUSMENETELMÄT Osa 2 Etätehtävät A. Kysymyksiä, jotka perustuvat luentomateriaaliin 1. Määrittele, mitä tarkoitetaan tiedon eheydellä tieoturvan yhteydessä. 2. Määrittele, mitä tarkoittaa kiistämättömyys
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotLatinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotSatunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden
LisätiedotRSA-salakirjoitus. Simo K. Kivelä, Apufunktioita
Simo K. Kivelä, 25.1.2005 RSA-salakirjoitus Ron Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman esittivät vuonna 1978 salakirjoitusmenettelyn, jossa tietylle henkilölle osoitetut viestit voidaan salakirjoittaa hänen
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotNeljän alkion kunta, solitaire-peli ja
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotRSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä
RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä Perusteet, algoritmit, hyökkäykset Matti K. Sinisalo, FL Alkuluvut Alkuluvuilla tarkoitetaan lukua 1 suurempia kokonaislukuja, jotka eivät ole tasan jaollisia
LisätiedotTietuetyypin määrittely toteutetaan C-kielessä struct-rakenteena seuraavalla tavalla:
KERTAUSTEHTÄVIÄ Tietue Tietuetyypin määrittely toteutetaan C-kielessä struct-rakenteena seuraavalla tavalla: struct henkilotiedot char nimi [20]; int ika; char puh [10]; ; Edellä esitetty kuvaus määrittelee
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedotdiskreetin logaritmin laskemisen käytännössä mahdottomaksi. Olkoon γ kunnan F q primitiivinen alkio. Luku q ja alkio γ ovat julkisia suureita.
6. Sovelluksia 6.1. Diffien ja Hellmanin avainten vaihto julkisavainsalauksessa. (Whitfield Diffie ja Martin E. Hellman (1976)) Oletetaan, että Liisa haluaa lähettää Pentille luottamuksellisen viestin.
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotSALAUSMENETELMÄT 801346A, 4 op
Luentorunko ja harjoitustehtävät SALAUSMENETELMÄT 801346A, 4 op Pohjautuu Leena Leinosen, Marko Rinta-ahon, Tapani Matala-ahon ja Keijo Väänäsen luentoihin Sisältö 1 Johdanto 2 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Jakoyhtälö
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotIDENTITEETTIIN PERUSTUVISTA JULKISEN AVAIMEN KRYPTOSYSTEEMEISTÄ
IDENTITEETTIIN PERUSTUVISTA JULKISEN AVAIMEN KRYPTOSYSTEEMEISTÄ Heikki Pernaa Pro gradu -tutkielma Helmikuu 2011 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan laitos PERNAA, HEIKKI:
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 4. Eulerin a Fermat'n lauseet à 4.1 Alkuluokka a Eulerin -funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä äännösluokista
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotLuentorunko ja harjoitustehtävät. SALAUSMENETELMÄT (801346A) 4 op, 2 ov
Luentorunko ja harjoitustehtävät SALAUSMENETELMÄT (801346A) 4 op, 2 ov Keijo Väänänen I JOHDANTO Salakirjoitukset kurssilla tarkastelemme menetelmiä, jotka mahdollistavat tiedon siirtämisen tai tallentamisen
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotKoostanut Juulia Lahdenperä ja Rami Luisto. Salakirjoituksia
Salakirjoituksia Avainsanat: salakirjoitus, suoraan numeroiksi, Atblash, Caesar-salakirjoitus, ruudukkosalakirjoitus, julkisen avaimen salakirjoitus, RSA-salakirjoitus Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka,
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot