Talousmatematiikan perusteet: Luento 18 Määrätty integraali Epäoleellinen integraali
Motivointi Viime luennoilla opimme integrointisääntöjä: Tavalliset funktiotyypit (potenssi-, polynomi- ja eksponenttifunktiot) Osittaisintegrointi tulomuotoisille funktioille Yhdistetyn funktion derivaatan käänteinen käyttö eli sijoitusmenettely Tällä luennolla sovellamme sääntöjä nk. määrättyjen ja epäoleellisten integraalien laskemiseen Ensi luennolla tarkastelemme integroinnin soveltamista kassavirtaanalyysissa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa 2
Määrätty integraali Integraalilaskennan keskeinen sovellus on integroitavan funktion kuvaajan ja x- akselin välisen pinta-alan laskeminen Tämä johtuu siitä, että tutkittavien ilmiöiden kertyneitä määriä voidaan usein samastaa pinta-alojen kanssa Esim. kertynyt matka tietyllä aikavälillä, kun nopeutta kuvaava funktio tunnetaan 3
Määrätty integraali Voidaan osoittaa, että ei-negatiivisen jatkuvan funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä x [a, b] on A = F b F(a), missä F x = f x dx Näin laskettavasta pinta-alasta käytetään merkintää Määrätty integraali, jonka integrointirajat ovat a ja b Luetaan: Sijoitus a:sta b:hen funktioon F 4
Määrätty integraali ja alkeisgeometria Esim. Esim. 5 3 5 = 15 3 4 4 6 2 = 12 6 Esim. Esim. 2 3 2 = 3; x-akselin alapuolella 3 2 12 3 = 9 12 3 3 Laitoksen nimi 5
Määrätyn integraalin additiivisuus 4 0 4 Edellä 2 1.5x dx = 9 = 3 + 12 = 2 1.5x dx + 0 1.5x dx Yleisesti pätee: b න a f x dx = න a c f x dx + න c b f x dx 6
Määrätty integraali Lineaarisia ja vakiofunktioita monimutkaisempien funktioiden integraaleja ei voi enää laskea alkeisgeometrian avulla Esim. Määritä 1 2 x 2 dx Ratkaisu: 7
Määrätty integraali Esim. Kalatehtaan veden kulutusta f(x) (m 3 /h) kellonajan x (h) suhteen kuvaa malli f: 0,24 R +, f x = 2.8x 2 + 67.4x + 186.4 Kuinka paljon vettä on yhteensä kulutettu aikavälillä 10-14? Ratkaisu: 8
Määrätty integraali Esim. Kalastuskunta on investoinut kalavesien tuoton parantamiseen. Oletetaan, että 1. Investointi alkaa tuottaa heti nopeudella 100 000 /v 2. Tuottonopeus vähenee ajan suhteen jatkuvasti 20 % vuodessa Mikä on 10 vuoden aikana kertynyt tuotto? Entä tuoton nykyarvo 5% korkokannalla? Tuottonopeus ajan x funktiona on 100000 0.8 x. Kymmenen vuoden aikana kertynyt tuotto Tuoton nykyarvo 5% korkokannalla: 10 100000 0.8 x න 0 1.05 x dx 100000 න 100.7619 x dx = 100000 0 ln 0.7619 0.761910 1 343 490 9
Presemo-kysymys Tontin jatkuvasti maksettavasta vuokrasta sovitaan, että se on vuokraushetkellä 2000 /v ja pienenee sen jälkeen jatkuvasti 10 % vuosivauhtia. Kuinka suuri on viiden vuoden aikana kertynyt kokonaisvuokrasumma? 1. 7371.18 2. 7773.50 3. 8190.20 10
Epäoleellinen integraali (Kalvon 9 esimerkki jatkuu.) Kuinka suuri on investoinnin kokonaistuotto, jos tuoton oletetaan jatkuvan ikuisesti? Tuotto ajankohtaan b asti: න b100000 0.8 x dx = 100000 0 ln 0.8 (0.8b 1) Aikarajan b lähestyessä ääretöntä: 100000 lim b ln 0.8 (0.8b 1) = 100000 448 142 ln 0.8 Tuoton nykyarvo 5% korkokannalla: 0 b 100000 0.8 x 1.05 x dx = 100000 ln 0.7619 0.7619b 1 100000 367 737, kun b ln 0.7619 11
Epäoleellinen integraali Määrätyn integraalin raja-arvoa, jossa yläraja b ja/tai alaraja a, kutsutaan epäoleelliseksi integraaliksi. Merkintätapa: න f x dx, a න b f x dx, න f x dx 12
Presemo-kysymys Tontin jatkuvasti maksettavasta vuokrasta sovitaan, että se on vuokraushetkellä 2000 /v ja pienenee sen jälkeen jatkuvasti 10 % vuosivauhtia. Kuinka suuri on kokonaisvuokrasumma, jos vuokrasopimusta jatketaan ikuisesti? 1. 18982.44 2. 19491.22 3. 20000.00 13
Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen Osittaisintegrointi toimii kuten epämääräisessä tapauksessa: Esim. Määritä 0 1 x 3 e x2 dx Ratkaisu: Valitaan f x = x 2 ja g x = xe x2 f x = 2x Funktio g x saadaan soveltamalla sijoitusmenettelyä funktion g x = xe x2 integrointiin: 1. Hahmotetaan sisäfunktioksi s x = x 2 ja korvataan se apumuuttujalla y = x 2 x = y y > 0 2. Sisäfunktion derivaatta s x = dy dy = 2x, josta muokataan dx = = dy dx 2x 2 y 3. Korvataan alkuperäisestä funktiosta kaikki x:ää sisältävä termit vastaavilla y-termeillä න xe x2 dx = න dy y ye 2 y = 1 2 න ey dy = 1 2 ey = 1 2 ex2 14
Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen Siispä f x = x 2 ja g x = xe x2 f x = 2x ja g x = 1 2 ex2 Tällöin Laskettu edellisellä kalvolla 15
Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen 0 Esim. Määritä x 2 x 2 dx. Viime luennolta tiedämme, että x2 x2 dx = 2 x2 2 ln 2 Siispä 16
Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen Esim. Määritä x 2 x 2 dx. Nyt 17
Presemo-kysymys 0 Määritä xe x dx. 1. 1 2. 1 3. 18
Presemo-kysymys 5 Määritä 1 ln x dx. 1. 0 2. 1.30 3. 4.05 19
Presemo-kysymys Määritä 0 e x dx. 1. 1 2. 1 3. 20
Yhteenveto Määrätty integraali: a b f(x) dx = F b F(a), missä F x = f(x) dx Epäoleellinen integraali esim: a f(x) dx = lim b F b F(a), missä F x = f(x) dx 21