Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328

Vektorianalyysi I opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 sirkka-liisa.eriksson@helsinki.fi Perusasioita Kurssissa on loppukoe Harjoituksista saa bonuspisteitä seuraavasti

1 lisäpiste, jos 30% laskettu 2 lisäpistettä, jos 60% laskettu 3 lisäpistettä, jos 90% laskettu ja kaikissa tapauksissa oppilaan tulee olla paikalla harjoituksissa ja valmiina esittämään ratkaisunsa taululla. Sähköisesti tai paperilla palautettuja ratkaisuja ei oteta vastaan. Luentomateriaalit kurssisivulta

Muuta oheismateriaali Olli Martio, Vektorianalyysi, Limes 2008. Esimerkkejä verkkomateriaaleista Khan Academy Multivariable calculus https://www.khanacademy.org/ (opetusvideoita, hyvä johdatus ja tärkeimpiä tuloksia) MITOPENCOURSES Multivriable calculus https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/

1 Euklidinen avaruus Tällä kurssilla käsittelemme tasoa R 2, avaruutta R 3 ja yleistä n-ulotteista euklidista avaruutta R n. Siksi kertaamme perusasiat. Merkitään R n = {(x 1,.., x n ) x i R}. Määritellään tavalliset laskutoimistukset (x 1,.., x n ) + (y 1,.., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) ja r (x 1,.., x n ) = (rx 1,.., rx n ),

kun (x 1,.., x n ), (y 1,.., y n ) R n ja r R. Alkion (x 1,.., x n ) lukua x k sanotaan k.koordinaatiksi tai k. komponentiksi. Alkiota (x 1,.., x n ) voidaan ajatella pisteeksi avaruudessa R n tai vektoriksi, jonka alkupiste on (0,.., 0) ja loppupiste (x 1,.., x n ). Lause 1.1 Joukko R n on vektoriavaruus edellä määriteltyjen laskutoimituksien suhteen. Toisin sanottuna seuraavat ominaisuudet ovat voimassa 1. u + v R n ja ru R n, 2. u + v = v + u, (vaihdantalaki eli kommutatiivisuus)

3. u + (v + w) = (u + v) + w jokaiselle w R n (liitäntälaki eli assosiatiivisuus), 4. on olemassa alkio 0 R n, joka toteuttaa ehdon u + 0 = u jokaiselle u R n (nolla-alkio), 5. jokaiselle u R n on olemassa alkio u, joka toteuttaa ehdon u + ( u) = 0, (vasta-alkio) 6. r (u + v) = ru + rv, (osittelulaki eli distributiivisuus), 7. (r + s) u = ru + su jokaiselle s R,

8. r(su) = (rs)u jokaiselle s R, 9. 1u = u. 2 n-ulotteinen avaruus Avaruuden R n lunnollinen kanta on {e 1,..., e n }, missä e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),. e n = (0, 0,..., 1).

Kanta tarkoittaa sitä, että jokainen avaruuden R n piste voidaan esittää yksikäsitteisesti kannan alkioiden lineaarikombinaationa eli (x 1,.., x n ) = x 1 e 1 +... + x n e n. 3 Sisätulo ja normi Pisteen x = (x 1,.., x n ) normi on x = x 2 1 +,,, +x2 n

ja pisteiden a = (a 1, a 2,..a n ) ja b = (b 1,..., b n ) välinen euklidinen etäisyys on d (b, a) = b a = (b 1 a 1 ) 2 +,,, + (b n a n ) 2. Avaruudessa R n on määritelty sisätulo eli pistetulo eli skalaaritulo seuraavasti a b = n i=1 a i b i, kun a = (a 1, a 2,..a n ) ja b = (b 1,..., b n ). Lause 3.1 Vektoriavaruus R n on reaalinen sisätuloavaruus, toisin sanottuna joukossa R n on määritelty sisätulo ( ), joka toteuttaa seuraavat ominaisuudet

1. u v R jokaiselle u, v R n, 2. u v = v u, 3. αu v = α (u v). 4. (u + v) w = u w + v w, 5. u u 0 6. u u = 0 jos ja vain jos u = 0

jokaiselle u, v, w R n ja α R. Lause 3.2 Vektoriavaruudessa R n edellä määritellyt sisätulo ja normi toteuttavat seuraavat ominaisuudet 1. u v u v, (Cauchy-Schwarz) 2. u + v u + v (kolmioepäyhtälö) jokaiselle u, v R n.

Todistus. Väite on tosi, kun v = 0. Voidan olettaaa, että v 0. Olkoon Tällöin λ = u v v v. 0 (u λv) (u λv) = u u (u v)2 v v. Seuraus 3.3 Jos u 0 ja v 0, niin u v u v 1.

Edellisen seurauksen nojalla voimme avaruudessa R n määritellä alkioiden (vektoreiden) u ja v valisen kulman a asettamalla cos α = u v u v. Esimerkki 3.4 Mikä on normi ja etäisyys avaruuksissa R 2 ja R 3? Lause 3.5 Vektoriavaruus R n on normiavaruus. määritelty normi, joka toteuttaa ominaisuudet: Tosin sanottuna joukossa R n on 1. u 0 jokaiselle u R n ; 2. Jos u = 0, niin u = 0;

3. αu = α u jokaiselle α R ja u R n ; 4. u + v u + v jokaiselle u, v R n. Lemma 3.6 (Pythagoraan lause) Olkoot u R n ja v R n. Tällöin u ja v ovat ortogonaalisia eli u v = 0, jos ja vain jos u + v 2 = u 2 + v 2. Lause 3.7 (Suunnikassääntö) kun u = u u. u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2,

Lemma 3.8 Jos u R n ja v R n niin u = v jos ja vain jos (u + v) (u v) eli (u + v) (u v) = 0. Todistus. Väite seuraa siitä, että (u + v) (u v) = u 2 u v + v u v 2 = u 2 v 2.

4 Lukujonot euklidisessa avaruudessa R n 4.1 Jonon suppeneminen Määritelmä 4.1 Jono euklidisessa avaruudessa R n on kuvaus f : N R n f (k) = u k = ( u k,1, u k,2,..., u k,n ), kun k N ja u k = ( u k,1, u k,2,..., u k,n ) R n. Jonoa voidaan merkitä (u k ) k N tai u 1, u 2,...

Määritelmä 4.2 Olkoot u i R n, kun i N. Jono (u i ) i N suppenee kohti pistettä a R n avaruudessa R n, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa sellainen m ε N, että jokaiselle k > m ε.tällöin merkitsemme d (a, u k ) = a u k < ε lim u k = a. k ja pistettä a sanotaan jonon (u k ) raja-arvoksi. Jos jono ei suppene, se hajaantuu.

Suppenevuus tarkoittaa, että jonon pisteiden u k etäisyys pisteestä a on mielivaltaisen pieni, kun k on tarpeeksi suuri. Merkitään koordinaatin i määräämää projektiokuvausta p i : R n R Tällöin p i on lineaarinen, toisin sanottuna jokaiselle α,β R. p i ( u1, u 2,..., u n ) = ui. p i (αu + βv) = αp i u + βp i v Lemma 4.3 Olkoot u = (u 1, u 2,..., u n ) R n ja v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, Tällöin p i u = u i u

jokaiselle i = 1,,,,, n. Erityisesti p i u p i v = u i v i d (u, v). Lisäksi u n i=1 p i u.

Lause 4.4 Olkoot u i R n, kun i N. Tällöin jono (u k ) k N suppenee ja a = lim k u k jos ja vain jos reaalilukujono (p i u k ) k N suppenee ja jokaiselle i = 1,..., n. lim k p iu k = p i a Seuraus 4.5 Jos jono suppenee avaruudessa R n, niin sen raja-arvo on yksikäsitteinen. Seuraus 4.6 Olkoot u k R n, kun k N. Tällöin jono (u k ) k N suppenee jos ja vain jos jokainen sen osajono suppenee kohti samaa raja-arvoa.

Lause 4.7 Olkoot (u k ) k N ja (v k ) k N jonoja avaruudessa R n. Jos ja niin lim k u k = a lim k v k = b, 1. lim k u k + v k = a + b, 2. lim k u k v k = a b, 3. lim k βu k = βa.

Määritelmä 4.8 Joukkoa A R n sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen reaaliluku M > 0,että a M jokaiselle a A. Jono (a k ) on rajoitettu, jos sitä vastaava joukko {a k k N} on rajoitettu. Lemma 4.9 Jos jono (a k ) supeenee avaruudessa R n, niin jono (a k ) on rajoitettu. Lisäksi jos a k M jokaiselle k N, niin jonon (a k ) raja-arvo a teteuttaa ehdon a M. Lause 4.10 (Bolzano-Weierstrass) Olkoot a k R n. Jos a k M jokaiselle k N, niin jonolla (a k ) on suppeneva osajono, jonka raja-arvo a toteuttaa ehdon a M.

Todistus. Väite on todistettu, kun n = 1. Oletetan, että väite on voimassa, kun n = m N.Olkoot a k R m+1 ja oletetaan, että (p 1 a k ) 2 +... + (p m a k ) 2 + (p m+1 a k ) 2 = a k M jokaiselle k N. Tällöin (p 1 a k ) 2 +... + (p m a k ) 2 Merkitään (p 1 a k ) 2 +... + (p m a k ) 2 + (p m+1 a k ) 2 M. b k = (p 1 a k, p 2 a k,..., p m a k ). Induktio-oletuksen nojalla jonolla (b k ) on suppeneva osajono ( b ki )i N. Merkitääm b = lim i b ki. Koska p m+1 a ki (p1 a ki ) 2 +... + ( pm a ki ) 2 + ( pm+1 a ki ) 2 M,

niin reaalilukujonolla ( ) ( p m+1 a kj on suppeneva osajono p m+1 a kij )j N. Merkitään ) lim p m+1 a kij = b m+1. Koska (b kij on jonon ( b ki osajono, niin se suppenee ( ) )i N ja lim j b kij = b sekä lim j p l b kij = p l b jokaiselle l = 1,..., m. Siis ) lim (p 1 a kij, p 2 a kij,..., p m+1 a kij j Edellisestä lemmasta seuraa viimeinen osa väitteestä. = (b 1,..., b m+1 ). Seuraus 4.11 Jos jono (a k ) on rajoitettu, sillä on suppeneva osajono. Määritelmä 4.12 Jonoa (a k ) sanotaan Cauchyn jonoksi avaruudessa R n, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa sellainen m ε N, että a t a s < ε

jokaiselle t, s > m ε. Joukkoa A R n sanotaan täydelliseksi, jos sen jokainen Cauchyn jono suppenee kohti joukon A pistettä. Lemma 4.13 Jono (a k ) on Cauchyn jonoavaruudessa R n, jos ja vain jos (p i a k ) k R n on Cauchyn jono avaruudessa R jokaiselle i = 1,..., n. Lemma 4.14 Olkoon M > 0. Joukko {u R n u M} on täydellinen. Lemma 4.15 Cauchyn jono avaruudessa R n on rajoitettu. Lause 4.16 Euklidinen avaruus R n on täydellinen.

5 Topologiaa joukossa R n 5.1 Avoin ja suljettu joukko Määritelmä 5.1 Olkoon u R n.joukkoa B (u, r) = {x R n x u < r} sanotaan r-säteiseksi u-keskiseksi avoimeksi palloksi. Joukkoa B (u, r) = {x R n x u r} sanotaan r-säteiseksi u-keskiseksi suljetuksi palloksi.

Topologian peruskäsitteet ovat seuraavat: Määritelmä 5.2 Olkoon U R n 1. joukkoa U R n sanotaan avoimeksi, jos jokaiselle pisteelle u on olemassa avoin pallo B (u, r) U. 2. Joukkoa U sanotaan suljetuksi, jos sen komplementtijoukko R n \U on avoin. 3. Piste u U on joukon U R n sisäpiste, jos on olemassa avoin pallo B (u, r) U. Sisäpisteiden joukkoa merkitään int U.

4. Piste u R n on joukon U R n reunapiste,jos jokaiselle r > 0 pätee B (u, r) U ja B (u, r) \U. Joukon A reunapisteiden joukko merkitään U 5. Piste u R n on joukon U R n kasautumispiste, jos jokaiselle r > 0 löytyy sellainen u r U, että 0 < u r u < r. 6. Piste u R n on joukon U R n erillinen piste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B (u, r) U = {u}. Joukko voi olla suljettu ja avoin. Esimerkiksi on suljettu sekä avoin. Joukkon ei tarviste olla suljettu eikä myöskään avoin. ]a, b]. Esimerkiksi puoliavoin väli

Siitä, että joukko ei ole avoin, ei seuraa välttämättä, että joukko olisi suljettu tai päinvastoin.

Huomautus 5.3 Joukko A R n on avoin jos ja vain jos A = int A. Huomautus 5.4 Piste u ei ole joukon U kasautumispiste jos ja vain jos on olemassa sellainen avoin pallo B (u, r), että B (u, r) U {u}. Propositio 5.5 Avoin pallo B (u, r) on avoin joukko. Lemma 5.6 Jos u R n on joukon U R n kasautumispiste, niin jokaisessa avoimessa pallossa B (u, r) on äärettömän monta joukon U pistettä. Lisäksi on olemassa sellainen jono (u k ) joukon U eri pisteitä, että lim k u k = u. Seuraus 5.7 Äärellisellä joukolla ei ole kasautumispisteitä.

Lause 5.8 Joukko A R n on avoin jos ja vain jos A A = Merkitään F = int F F Joukkoa F sanotaan joukon F sulkeumaksi.

6 Halkaisija Määritelmä 6.1 Epätyhjän joukon epätyhjän A R n halkaisija on diam (A) = sup {d (x, y) x, y A} = Joukko on rajoitettu, jos A = tai diam (A) <. Huomautus 6.2 ja tyhjällä joukolla ei ole halkaisijaa. 0 diam (A) sup x y. x,y A Lemma 6.3 Jos A R n on rajoitettu, niin on olemassa sellainen pallo B r (0) että A B (0, r) eli x r jokaiselle x A.

7 Vektorifunktio Määritelmä 7.1 Olkoon A R n ja n, p N. Funktio f : A R p on 1. vektoriarvoinen funktio, jos p 2, 2. reaalifunktio, jos p = 1. Esimerkki. Tarkastellaan kuvausta g (x 1, x 2 ) = 9 x 2 1 x2 2 Funktion g graafi on joukko { (x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2 D, x 3 = } 9 x 2 1 x2 2

Määritelmä 7.2 Olkoon A R 2. Jos f : A R on kuvaus, niin sen graafi on joukko {(x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2 ) A, x 3 = f (x 1, x 2 )}. Esimerkki 7.3 f (u) = u 2, u R 2.Funktion graafi on { (x1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2 ) R 2, x 3 = x 2 1 + x2 2} Esimerkki 7.4 z = x 2 + y 2

4 4 4 4 2 2 2 z 0 0 0 2 y2 4 2 x 4 Esimerkki 7.5 f (u) = u, u R 2.Funktion graafi on { (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2 ) R 2, x 3 = x 2 1 + x2 2 }. z = x 2 + y 2

4 4 2 4 2 z 0 0 2 2 y 4 0 2 4 x 2 4

8 Tasa-arvojoukko Määritelmä 8.1 Olkoon A R n ja f : A R reaalifunktio. Funktion f tasaarvojoukko on S r (f) = {x A f (x) = r}. Esimerkki 8.2 Funktion f (u) = u, u R 2 tasa-arvojoukko on { u R 2 u = r }. Siis r-säteinen origokeskinen pallon kehä.

8.1 Funktion raja-arvo Määritelmä 8.3 Olkoon D R n ja a joukon D kasautumispiste. Funktiolla f : D R on raja-arvo b R pisteessä a,jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ a,ε = δ > 0, että f (x) b < ε jokaiselle x, joka toteuttaa ehdon 0 < x a < δ ja x D.Tällöin merkitään lim f (x) = b. x a Lause 8.4 Jos raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen.

Lause 8.5 Olkoon D R n ja a joukon D kasautumispiste. Funktiolla f : D R on raja-arvo b R pisteessä a, jos ja vain jos jokaiselle joukon D\ {a} pistettä a kohti suppenevalle jonolle (a k ) k N, (ts. a k D\ {a k } ja lim k a k = a pätee lim f (a k) = b. k Todistus. Oletetaan, että jokaiselle ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) b < ε, kun 0 < x a < δ. ja x D\ {a}. Olkoon (a k ) k N siten, että lim k a k = a. ja a k D. Koska lim k a k = a, on olemassa m δ siten, että a k a < δ, kun k > m δ. Tällöin jokaiselle k > m δ pätee, että f(a k ) b < ε.

Siis lim k f (a k) = b. Oletetaan, että lim k f (a k ) = b jokaiselle jonolle (a k ) k N, missä a k D\ {x} ja lim a k = a. Tehdään vastaoletus, että lim x a f(x) b eli lim x a f(x) ei ole olemassa tai lim x a f(x) b. Tällöin on olemassa sellainen ε > 0, että kaikille δ > 0 löytyy a 1δ D siten, että 0 < Näin saadulle jonolle (a n ) k N pätee a 1 δ a f(a 1) b ε. δ lim k a k = a. < δ, mutta

Toisaalta f(a k ) b > ε jokaiselle k N, joten missä on ristiriita. lim k f (a k) b, Lause 8.6 Olkoon D R n ja a joukon D kasautumispiste. Jos f : D R sekä g : D R ovat funktioita. ja niin lim f (x) = c ja x a lim g (x) = d, x a (a) lim x a f (x) + g (x) = c + d,

(b) lim x a f (x) g (x) = ab, (c) lim x a βf (x) = βa, jokaiselle β R. Esimerkki 8.7 Tutki funktion raja-arvoa origossa (0, 0). f (x, y) = { x 2 y 2 x 2 +y2, kun (x, y) 0, Esimerkki 8.8 Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvo olemassa lim (x,y) (0,0) sin ( x 2 + y 2) x 2 + y 2

Esimerkki 8.9 Selvitä, onko raja-arvo olemassa? lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 2 8.2 Funktion jatkuvuus Määritelmä 8.10 Olkoon U R n. Funktio f : U R on jatkuva pisteessä a U, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ a,ε > 0,että f (u) f (a) < ε

jokaiselle u B (a, δ) U, toisin sanottuna aina kun u a < δ ja x U. Funktiota f sanotaan jatkuvaksi joukossa U, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä a U. Lause 8.11 Olkoon U R n. Jos funktio f : U R on jatkuva pisteessä a U, niin on olemassa sellainen ympäristö B (a, δ), että f on rajoitetettu joukossa B (a, δ) U, ts. on olemassa sellainen M > 0, että jokaiselle u B (a, δ) U. f (u) M Lause 8.12 Olkoon U R n. Funktio f : U R on jatkuva pisteessä a U, jos jokaiselle joukon U jonolle (x k ) k N, joka suppenee pistettä a kohti, pätee lim k f (x k) = f (a).

Esimerkki 8.13 Funktio f (x) = 2x 1 on jatkuva joukossa R n. lim f(x) = lim y x y x 2y 1 = 2 lim y = 2x y x 1. Olkoon ε > 0 ja valitaan, että δ = ε 2. Tällöin aina, kun y 1 x 1 y x < δ. f(y) 2x 1 = 2 y 1 x 1 < ε Esimerkki 8.14 Funktio f (x, y) = x 2 y 2 x 2 +y 2, kun (x, y) 0, 0, kun (x, y) = 0. ei ole jatkuva pisteessä (x, y) = 0. Ohje tarkastele suoria x = ky ja y = kx.

Lause 8.15 Olkoon U R n. Jos funktiot f : U R ja g : U R ovat jatkuvia pisteessä a U, niin funktiot αf + βg ovat jatkuvia pisteessä a jokaiselle α, β R. Lause 8.16 Olkoon U R n. Jos funktiot f : U R ja g : U R ovat jatkuvia pisteessä a U, niin fg on jatkuva ja f g on jatkuva, mikäli g (a) 0. Seuraus 8.17 Polynomifunktio f (x 1,.., x n ) = on jatkuva funktio. 0 i 1 +...+i n m a (i 1, i 2,.., i n ) x i 1 1...x i n, a (i 1, i 2,.., i n ) R

9 Reaaliarvoisen funktion osittaisderivaatat 9.1 Osittaisderivaaatat Määritelmä 9.1 Olkoon U R 2 avoin, f : U R ja (a, b) U. Funktiolla f on osittaisderivaatta muuttujan x suhteen pisteessä (a, b), jos on olemassa raja-arvo lim h 0 f (a + h, b) f (a, b). h Tätä raja-arvoa merkitsemme f x (a, b) tai f x (a, b) tai D 1f (a, b). Funktiolla f on osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), jos on olemassa raja-arvo lim h 0 f (a, b + h) f (a, b). h

Tätä raja-arvoa merkitsemme f y (a, b) tai f y (a, b) tai D 2f (a, b). Huomautus 9.2 Olkoon U R 2 avoin, f : U R ja (a, b) U. Jos merkitään niin mikäli g (a) on olemassa. Samoin jos niin g (x) = f (x, b) g (a) = f x (a, b) h (y) = f (a, y) h (b) = f y (a, b) mikäli h (b) on olemassa. Siis f x (a, b) on käyrän g (x) = f (x, b) tangentin kulmakerroin. Vastaavasti f y (a, b)on käyrän h (y) tangentin kulmakerroin.

Esimerkki 9.3 Olkoon f : R 2 R { 0, kun x = y = 0 f (x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) 0 Osoita, että funktiolla on kaikki osoittaiderivaatat kaikkialla, mutta funktio ei ole jatkuva origossa., Määritelmä 9.4 Olkoon U R 2 avoin, f : U R ja (a, b) U. Jos funktiolla f

on osittaisderivaattat muuttujien x ja y suhteen pisteessä (a, b), niin mikäli nämä ovat olemassa. f xx (a, b) = ( f x x f yx (a, b) = ( f y x f xy (a, b) = ( f x y f yy (a, b) = ( f y y ) ) ) ) (a, b) = 2 f (a, b), x2 (a, b) = 2 f x y (a, b) = 2 f y x (a, b), (a, b), (a, b) = 2 f (a, b) y2

Esimerkki 9.5 Osoita, että funktio on harmoninen eli toteuttaa yhtälön f (x, y) = e x sin y 2 f (x, y) x 2 + 2 f (x, y) y 2 = 0. Lause 9.6 (Clairautin lause.) Olkoon U R n avoin ja f : U R. Jos osittaisderivaatat f xk x r ja f xr x k ovat olemassa ja jatkuvia jossain pallossa B r a U, niin f xk x r = f xr x k.

10 Osittaisderivaatat useamman muuttujan funktiolle Määritelmä 10.1 Olkoon U R n avoin, f : U R ja u U. Merkitään e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),. e n = (0, 0,..., 1). Funktiolla f on osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä u, jos on olemassa raja-arvo lim h 0 f (u + he i ) f (u). h

Tätä raja-arvoa merkitsemme f xi (u) tai f x i (u) tai D i f (u) tai i (u). Esimerkki 10.2 Kun n = 2, niin e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1). Merkitään u = (a, b). Olkoon i = 1. Tällöin osittaisderivaatta muuttujan x 1 suhteen on raja-arvo lim h 0 mikäli se on olemassa f (u + he i ) f (u) h f (a + h, b) f (a, b) = lim, h 0 h Esimerkki 10.3 Olkoon f (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x 1x 3 + x 3 2 x 3

Esimerkki 10.4 Funktio f (x, t) = sin (x at), a > 0. Osoita, että f toteuttaa aaltoyhtälön 2 f t 2 = a2 2 f x 2 11 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaatojen geometrinen tulkinta Olkoon A R 2. Jos f : A R on kuvaus, niin sen graafi on joukko S = {(x, y, z) (x, y) A, z = f (x, y)}.

Jos f (a, b) = c, niin piste (a, b, c) on pinnalla S. Kun y = b on vakio, tarkastelemme pinnan leikkauskäyrää (x, b, f (x, b)). Kun x = a on vakio, tarkastelemme pinnan leikkauskäyrää (a, y, f (a, y)). Tälläin kun merkitsemme g (x) = f (x, b), niin g (a) = f x (a, b). Siis funktion g (x) kuvaajan tangentin kulmakerroin on leikkauskäyrän (x, b, f (x, b)) tangentin kulmakerroin. Vastaavasti kun merkitsemme h (y) = f (a, y), niin h (b) = f y (a, b). Siis funktion h (y) kuvaajan tangentin kulmakerroin on leikkauskäyrän (a, y, f (a, y)) tangentin kulmakerroin.

Esimerkki 11.1 Olkoon f (x, y) = 4 x 2 2y 2. Laske f x (1, 1) ja f y (1, 1). z = 4 x 2 2y 2

4 4 2 2 2 z 0 2 0 0 y2 4 2 x 4 4 4

12 Suunnattu derivaatta. Määritelmä 12.1 Olkoon U R n avoin, u R n ja e R n sekä e = 1. Funktion f : U R m suunnattu derivaatta suuntaan e pisteessä u U on rajaarvo f (u + he) f (x) lim. h 0 h mikäli se on olemassa. Funktion f suunnattua derivaattaa suuntaan e pisteessä u merkitään D e f (u). Huom. D ei f (u) = D i f (x) = f xi = f x i.

Esimerkki 12.2 Olkoon f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 ja e = e 1+e 2 2. 13 Tangenttitaso Olkoon A R 2 ja f : A R on kuvaus, jonka graafi on joukko ja jolla on jatkuvat osittaisderivaatat. S = {(x, y, z) (x, y) A, z = f (x, y)} Lause 13.1 Pinnan S tangenttitason yhtälö pisteessä (x 0, y 0, z 0 ) S on a (x x 0 ) + b (y y 0 ) = z z 0,

missä a = f x (x 0, y 0 ) b = f y (x 0, y 0 ) z 0 = f (x 0, y 0 ) Määritelmä 13.2 Olkoon U R n avoin ja u U, niin funktion f : U R gradientti pisteessä x 0 on f (u) = ( f (u),..., f ) (u) x 1 x n = (D 1 f (u),..., D n (u)).

Seuraus 13.3 Olkoon U R n avoin, u U ja f : U R funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat. Pinnan S = {(x, y, z) (x, y) A, z = f (x, y)} tangenttitason normaali pisteessä u on ( ) f f f (u) = (u), x y (u) Esimerkki 13.4 Etsi tangenttitaso elliptiselle paraboloidille pisteessä (1, 1, 3) Paraboloidin määrää yhtälö z = 2x 2 + y 2.

14 Kuvauksen aproksimointi Huomautus 14.1 Olkoon U R 2 avoin, u 0 U ja f : U R jatkuva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat. Tällöin kuvausta f voidaan approksimoida seuraavalla affi inilla kuvauksella f (u) f (u 0 ) + f (u 0 ) (u u 0 ). Nimittäin f (u) f (u 0 ) + f (u 0 ) (u u 0 ) f (u) f (u 0 ) + f (u 0 ) u u 0.

Huomautus 14.2 Olkoon U R 2 avoin, u 0 = (x 0, y 0 ) U ja f : U R funktio. Funktion f graafia voidaan approksimoida tangenttitasolla S = {(x, y, z) (x, y) U, z = f (x, y)} f (x 0, y 0 ) ((x, y) (x 0, y 0 )) = z z 0 Esimerkki 14.3 Olkoon f : R 2 R laske gradientti. f (x) = sin x 1 cos x 2 Esimerkki 14.4 Laske funktion f (x) = x 2

gradientti. 15 Lineaarikuvauksista Määritelmä 15.1 Kuvausta T : R n R m sanotaan lineaarikuvaukseksi, jos 1. T (u + v) = T u + T v 2. T (ru) = rt u

jokaiselle u, v R n ja r R. Lause 15.2 Kuvausta T : R n R m on lineaarinen jos ja vain jos jokaiselle r, s R ja u, v R n. T (ru + sv) = rt u + st v Lause 15.3 Kerrataan lineaarikuvauksen matriisi Lause 15.4 Olkoon T : R n R m. Tällöin on olemassa m n matriisi A, joka toteuttaa ehdon T (h) = ( Ah T ) T.

Lisäksi matriisin A esitys pystyrivimuodossa on A = [ T (e 1 ) T...T (e n ) T ], missä {e 1,..., e n } on avaruuden R n standardi kanta. Seuraus 15.5 Jokaista lineaarikuvausta T : R n R vastaa sellainen a R n, että Esimerkki 15.6 Olkoon T x = a x. T x = x 1 + x 2 x 3 x 4 3x 5 Määritelmä 15.7 Kuvausta S : R n R m sanotaan affi inikuvaukseksi, jos on olemassa sellainen lineaarlikuvaus T : R n R m ja a R n,että Sx = T x + a.

16 Derivaatan määritelmä Määritelmä 16.1 Olkoon E R n avoin, f : E R ja x E.Funktiota f sanotaan differentioituvaksi pisteessä x E, jos on olemassa sellainen lineaarinen kuvaus T x : R n R, että lim h 0 f (x + h) f (x) T x (h) h = 0. Tällöin lineaarikuvausta T x sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x. Funktion derivaattaa pisteessä x merkitään Df (x) tai f (x). Huom. Funktio f : E R on differentioituva pisteessä x E, jos ja vain jos on olemassa lineaarinen kuvaus T x : R n R m ja pisteen nolla jossain ympäristössä

määritelty funktio ε (h), jotka toteuttavat ehdot ja f (x + h) f (x) = T x (h) + h ε (h) lim ε (h) = 0. h 0 Lause 16.2 Olkoon E R n avoin, f : E R m ja x E. Jos f on differentioituva pisteessä x, niin kuvaus T x on yksikäsitteinen. Todistus. Oletetaan, ettäjossain ympäristössä määritellyt funktiot ε (h) ja ε (h) sekä lineaarikuvaukset T x ja T x toteuttavat ehdot, jotka toteuttavat ehdot f (x + h) f (x) = T x (h) + h ε (h) f (x + h) f (x) = Tx (h) + h ε (h) lim ε (h) = 0 = lim h 0 h 0 ε (h) = 0.

jossain pisteen nolla jossain ympäristössä B r (0). Tällöin T x (h) T x (h) = h (ε (h) ε (h)) eli T x (h) T x (h) h = ε (h) ε (h) jokaiselle h B r (0). Olkoon h 0 B r (0) \ {0} kiinteä. Tällöin αh B r (0), kun α [0, 1]. Siis ε (αh 0 ) + ε (αh 0 ) = T x (αh 0 ) T x (αh 0 ) αh 0 Kun ε 0, saamme = T x (h 0 ) Tx (h 0 ). h 0 T x (h 0 ) T x (h 0 ) h 0 = lim α 0 ε (αh 0 ) + ε (αh 0 ) = 0.

Siis T x (h 0 ) Tx (h 0 ) = 0 h jokaiselle h 0 B r (0). Koska r 2 h B r (0) jokaiselle h R n, niin T x = Tx. Lause 16.3 Olkoon E R n avoin, f : E R ja x E. Jos f on differentioituva pisteessä x, niin f on jatkuva pisteessä x. Olkoon E R n avoin, f : E R ja x E.Jos f on differentioituva, niin sillä on osittaisderivaatat kaikkien koordinaattien x j suhteen ja f (x) (h) = h 1 D 1 f (x) +... + h n D n f (x) = f (x) h.

Esimerkki 16.4 Lineaarikuvauksen T : R n R, niin T (x + h) T (x) = T x + T h T x = T h. Siis funktion f derivaatta on f (x) = T ja ε (h) = 0 Esimerkki 16.5 Funktiolla voi olla osittaisderivaatat olemassa, mutta funktio ei ole differentioituva f (x, y) = { x + y, kun x = 0 tai y = 0 1 muuten.

Lause 16.6 Olkoon U R n avoin. Jos funktiolla f : U R on jatkuvat osittaisderivaatat osittaisderivaatat joukossa U, niin f on differentioituva. 17 Derivoimiskaavoja Lause 17.1 Jos f, g : G R, G R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0 G, niin funktio on differentioituva pisteessä x 0 ja f + g D (f + g) (x 0 ) = Df (x 0 ) + Dg (x 0 )

eli D (f + g) (x 0 ) h = Df (x 0 ) h + Dg (x 0 ) h. Lause 17.2 Jos G R n avoin ja f, g : G R,, ovat differentioituvia pisteessä x 0 G, niin funktio on differentioituva pisteessä x 0 ja eli fg D (fg) (x 0 ) = Df (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) Dg (x 0 ) D (fg) (x 0 ) h = g (x 0 ) Df (x 0 ) h + f (x 0 ) Dg (x 0 ) h

Seuraus 17.3 Jos G R n avoin ja f : G R on t differentioituva pisteessä x 0 G, niin funktio αf on differentioituva pisteessä x 0 jokaiselle α R ja eli D (αf) (x 0 ) = αdf (x 0 ) D (αf) (x 0 ) h = αdf (x 0 ) h. Lause 17.4 Olkoon U R n avoin. Jos f : U R on differentioituva pisteessä x U, niin funktiolla f on olemassa pisteessä x suunnatut derivaatat jokaiseen e R n suuntaan ja D u f (x) = f (x) e.

Määritelmä 17.5 Olkoon E R n avoin, f : E R m ja x E.Funktiota f = (f 1,..., f m ) sanotaan differentioituvaksi pisteessä x E, jos jon olemassa sellainen lineaarinen kuvaus T x : R n R m, että lim h 0 f (x + h) f (x) T x (h) h = 0. Tällöin lineaarikuvausta T x sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x. Funktion derivaattaa pisteessä x merkitään Df (x) tai f (x). Seuraus 17.6 Olkoon E R n avoin, f : E R m ja x E.Funktio f = (f 1,..., f m ) on differentioituva pisteessä x E, jos ja vain jos jokainen koordinaattikuvaus f i on differentioituva. Jos f on differentioituva, niin Df (x) = (Df 1 (x),..., Df m (x))

ja lineaarikuvauksen Df (x) : R n R m matriisi on Df 1 (x). Df m (x) = f 1 (x). f m (x). Lause 17.7 Olkoot U R n ja V R m avoimia. Jos f : U V on differentioituva pisteessä x 0 U ja g : V R s on differentioituva pisteessä f (x 0 ) V, niin funktio g f on differentioituva pisteessä x 0 ja D (g f) (x 0 ) = Dg (f (x 0 )) Df (x 0 )

Siis lineaarikuvuvauksen D (g f) (x 0 ) matriisi on = Dg 1 (f (x 0 )). Dg s (f (x 0 )) g 1 x (f (x 1 0 )). g s x (f (x 1 0 )) s m g 1 Df 1 (x). Df m (x) x m (f (x 0 )). g s x m (f (x 0 )) m n s m f 1 x (x 1 0 ). f m x (f (x 1 0 )) f 1 x n (x 0 ). f s x n (x 0 ) m n. Seuraus 17.8 Olkoot U R n ja V R avoimia. Jos f : U V on differentioituva pisteessä x 0 U ja g : V R on differentioituva pisteessä f (x 0 ) V,

niin funktio g f on differentioituva pisteessä x 0 ja D (g f) (x 0 ) = Dg (f (x 0 )) Df (x 0 ) = g (f (x 0 )) Df (x 0 ) ( = g (f (x 0 )) f (x 0 ) = g f (f (x 0 )) (x 0 ),..., f (x 0 ) x 1 x n ja funktion g f derivaatan matriisi on g (f (x 0 )) [ f x 1 (x 0 )... f x n (x 0 ) ] ) Lause 17.9 (Ketjusääntö I) Olkoot U R ja V R n avoimia. Jos funktio f : U V f (t) = (x 1 (t),..., x n (t)), missä x i : U R, on differentioituva pisteessä x 0 U ja g : V R on differentioituva pisteessä f (x 0 ) V, niin funktio g f on differentioituva pisteessä

t 0 ja (g f) t = g x 1 x 1 t + g x 2 x 2 t = n i=1 g x n +... + x n t g x i x i t = ( g) (f (t 0)) ( x1 t (t 0),..., x n t (t 0) ). Esimerkki 17.10 Okoon g (x, y) = x 2 y + 3xy 4 ja f (t) = (sin 2t, cos t). Laske (g f) t (t). Laske (g f) t (0). g f (t) = sin 2 (2t) cos t + 3 sin 2t cos 4 t (g f) (t) = 4 sin (2t) cos (2t) cos t sin 2 (2t) sin t + 6 cos (2t) cos 4 t 12 sin 2t cos 3 t sin t

Ketjusäännön avulla g f (t) t = g x x t + g y y t = g x (f (t)) sin 2t t + g y (f (t)) cos t t = 2 cos 2t [ 2xy + 3y 4] x=sin 2t,y=cos t sin t [ x 2 + 12xy 3] x=sin 2t,y=cos t = 4 cos 2t sin 2t cos t + 6 cos 2t cos 4 t sin t sin 2 2t 12 sin t sin 2t cos 3 t. Siis (g f) t (0) = 6. Huomautus 17.11 Edellisen esimerkin derivaatta voidaan tulkita funktion g (x, y) muutosnopeudeksi muuttujan t

suhteen, kun (x, y)-piste kulkee käyrällä f (t) = (sin 2t, cos t) y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 x 0.4 0.6 0.8 1.0.

Olkoot U R n ja V R n avoimia. Jos funktio f : V U f (x) = (u 1 (x),..., u n (x)), on differentioituva pisteessä x 0 V, g : U R, on differentioituva pisteessä f (x 0 ) U, niin funktio g f on differentioituva pisteessä x 0 ja missä h i (x 0 ) = D (g f) (x 0 ) = Dg (f (x 0 )) Df (x 0 ) = (h 1 (x 0 ),..., h n (x 0 )) (g f) x i (x 0 ) = g u 1 (f (x 0 )) u 1 x i (x 0 ) + g u 2 (f (x 0 )) u 2 x i (x 0 ) +... + g u n (f (x 0 )) u n x i (x 0 Esimerkki 17.12 Olkoon g (u, v) = e u sin v ja f (x, y) = ( xy 2, x 2 y ). D (g f) (x, y). Laske

Lasketaan g f Siis D (g f) (x, y) h = = ( g f (x, y) = e xy2 sin ( x 2 y ) y 2 e xy2 sin ( x 2 y ) + e xy2 2xy cos ( x 2 y ), 2xye xy2 sin ( x 2 y ) + x 2 e xy ( y 2 e xy2 sin ( x 2 y ) + e xy2 2xy cos ( x 2 y )) h 1 + (2xye xy2 sin ( x 2 y )

Ketjusäännön avulla g f x = g u u x + g v v x = g u g v (f (x, y)) (x, y) + ((f (x, y))) (x, y) u x v x = [e u sin v] u=xy 2,v=x 2 y y2 + 2xy [e u cos v] u=xy,v=x 2 y = y 2 e xy2 sin ( x 2 y ) + 2xye xy2 cos x 2 y

ja g f y = g u u y + g v v y = g u (f (x, y)) u y (x, y) + g v ((f (x, y))) v y (x, y) = [e u sin v] u=xy 2,v=x 2 y 2xy + x2 [e u cos v] u=xy 2,v=x 2 y = 2xye xy2 sin ( x 2 y ) + x 2 e xy2 cos x 2 y. Siis D (g f) h = ( y 2 e xy2 sin ( x 2 y ) ) ( + 2xye xy2 cos x 2 y h 1 + 2xye xy2 sin ( x 2 y ) + x 2 e xy2 co

18 Maksimimuutos Olkoon f (x, y) kahden reaalimuuttujan funktio. Tarkastellaan kaikkia mahdollisia suunnattuja derivaattoja annetussa pisteessä u 0 = (a, b). Funktion f muutosnopeus pisteessä u 0 yksikkövektorin e suuntaan on sunnattu derivaatta e f (u 0 ) eli lim h 0 f (u 0 + he) f (u 0 ) h = e f (u 0 ) Missä näistä suunnista funktion f muutosnopeus on suurin?

Mikä on suurin muutosnopeus? Lause 18.1 Olkoon f : R 2 R, (x, y) f (x, y) differentioituva. Jos u 0 R 2 ja f (u 0 ) 0, niin funktion f suurin muutosnopeus on sunnatun derivaana maksimiarvo, joka saadaan kun vektorin suunta on sama kuin gradienttivektorin suunta, Todistus. Tällöin Cauchy-Schwarzin mukaan e f (u 0 ) = f (u 0 ) e. e f (u 0 ) f (u 0 ) e = f (u 0 ) Toisaalta, kun e = f(u 0) f(u 0 ) ( f (u 0) = 0, sillä f (u 0 ) 0), niin e f (u 0 ) = f (u 0 )

Siis muutosnopeus on suurin gradientin määrämän yksikkövektorin suunnassa. e f (u 0 ) 19 Gradientin geometrinen merkitys Tarkastellaan graaffi a S = {(x, y, z) z = f (x, y), x, y R}.

Pisteessä (x 0, y 0 ) tangenttitason yhtälö f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y x 0 ) = z z 0 Siis tangenttitason normaali pisteessä (x 0, y 0 ) on ( f x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ), 1 Olkoon φ 3 (t) = f (φ 1 (t), φ 2 (t)). Tällöin käyrä γ (t) = (φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t)) on graafilla S. Käyrän tangentin suuntavektori saadaan seuraavasti lim t 0 γ (t) γ (t 0 ) t t 0 = ( φ 1 (t 0), φ 2 (t 0), φ 3 (t 0) )

Ketjusäännön nojalla φ 3 (t) = f x (φ 1 (t 0 ), φ 2 (t 0 )) φ 1 (t 0) + f y (φ 1 (t 0 ), φ 2 (t 0 )) φ 2 (t 0). Siis suuntaveltori toteuttaa ehdon ( φ 1 (t 0 ), φ 2 (t 0), φ 3 (t 0) ) ( f x (φ 1 (t 0 ), φ 2 (t 0 )), f y (φ 1 (t 0 ), φ 2 (t 0 )), 1 Mistä seuraa, että käyrän γ (t) tangenttisuora ) = 0, t ( φ 1 (t 0), φ 2 (t 0), φ 3 (t 0) ) + (φ 1 (t 0 ), φ 2 (t 0 ), φ 3 (t 0 )) missä t R on tangenttitasossa. Erityisesti, jos tarkastelemme tasa-arvokäyriä f (x, y) = vakio, niin se määrittelee käyrän (x, y, f (x, y) = C)

z = xy 4 4 4 2 2 z 0 2 0 y 2 4 0 2 2 x 4 4 xy = 1

y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 x 2 3 4 5

20 Korkeamman kertaluvun osoittaisderivaatat Olkoon f : R n R funktio.toisen kertaluvun osittaisderivaatat määritellään seuraavasti j ( i f) = 2 f = ( ) f = D ji f = ji x j x i x j x i Vastaavasti ik ik 1... i1 f = k f x jk... x i1 = ik ik 1... i1 f = D ik i k 1...i 1 f mikäli i j {1,..., n}, j = 1,..., k.

Jos i 1 =... = i k = i {1,..., n}, niin merkitään ik ik 1... i1 f = k f x k i Kerrataan yhden muuttujan Taylorin kaava Lause 20.1 (Taylorin kaava) Olkoon f : ]a, b[ R funktio, jonka f (n 1) on jatkuva välillä ]a, b[ ja f (n) on olemassa välillä ]a, b[. Tällöin jokaiselle x, x 0 ]a, b[ ja x 0 < x, on olemassa sellainen c ]x 0, x[, että f (x) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + R n (x),

missä R n (x) = f (n) (c) n! (x x 0 ) n. Määritelmä 20.2 Olkoon Ω avoin joukon R n osajoukko. Joukossa Ω jatkuvien funktioiden f : Ω R joukkoa merkitään C(Ω). Sellaisten funktioiden f : Ω C joiden kaikki osittausderivaatat D α1,α 2,...,α k ovat jatkuvia α i {1,..., n} joukkoa merkitään C k (Ω). Määritelmä 20.3 Olkoon U R n avoin ja x 0 R n. Funktion f : U R m osittaisderivaatan D i1,i 2,...,i k f kertaluku on k. Olkoon U R n avoin. Jos funktiolla f on kaikki kertalukua k olevat osittaisderivaatat, niin merkitsemme d (k) f (x 0 ; h) = n i k =1 n i 1 =1 i1 i 2...i k f (x 0 ) h i1 h i2...h ik.

Lauseketta d (k) f (x; h) sanotaan kertalukun differentiaaliksi pisteessä. Kun k = 0, d (0) f (x 0 ; h) = f (x 0 ) Lemma 20.4 Jos f C k (R n ), niin d (k) f (x 0 ; h) = s n +s n 1 +...+s 1 =k ( k s 1, s 2,..., s n ) k f x s n n... x s 1 1 (x 0 ) h s 1 1 hs 2 2...hs t n. Esimerkki 20.5 d (1) f (x 0 ; h) = d (2) f (x 0 ; h) = D 11 f (x 0 ) h 2 1 +D 12f (x 0 ) h 1 h 2 +D 21 f (x 0 ) h 2 h 1 +D 22 f (x 0 ) h 2 2.

Jos f C 2 ( R 2), niin d (k) f (2) (x 0 ; h) = D 11 f (x 0 ) h 2 1 + 2D 12f (x 0 ) h 1 h 1 + D 22 f (x 0 ) h 2 2. Lause 20.6 (Taylor) Olkoon U R n avoin. Oletetaan, että funktion f : U R kaikki kertalukua m olevat osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Jos x 0 U ja x U ja L (x 0, x) U, missä L (x 0, x) = {z R n z = (1 t) x 0 + tx, t [0, 1]} niin on olemassa sellainen c L (x 0, x), että f (x) = m 1 k=0 d (k) f (x 0 ; x x 0 ) + R m f (x) k!

ja R m f (x) = f (m) (c, x x 0 ). m! Todistus. Olkoon x = x 0 + h. Tarkastellaan kuvausta ϕ (t) = x 0 + th ja f ϕ käytetään ketjusääntöä välillä ] ε, 1 + ε[. Siis f ϕ (1) = n 1 k=0 (f ϕ) (k) (0) + R n f (1). k!

Kun n = 2,niin d (1) f (x 0 ; th) = (f ϕ) (0) = = n i=1 f x i (x 0 ) h i d (2) f (x 0 ; th) = (f ϕ) (0) = ja induktiivisesti voimme todistaa d (k) f (x 0 ; h) = d (k) f (x 0 ; h) = = s n +s n 1 +...+s 1 =k n n i k =1 i 1 =1 ( k n i=1 n i=1 s 1, s 2,..., s n f x i (x 0 ) ϕ i t (0) 2 f x j x i (x 0 ) h i h j i1 i 2...i k f (x 0 ) h i1 h i2...h ik ) k f x s n n... x s 1 1 (x 0 ) h s 1 1 hs 2 2...hs t n

R m f (x) = f (m) (c, x x 0 ) = d(m) f (c; h) m! m! ( m ) k f = s n +s n 1 +...+s 1 =m s 1, s 2,..., s n x s n n... x s 1 1 (c) h s 1 1 hs 2 2...hs t n Esimerkki 20.7 Kun m = 2 ja f C ( R 2), niin f (x 0 + h) = 1 k=0 d (k) f (x 0 ; h) + R 2 f (x) k! = f (x 0 ) + h 1 D 1 f (x 0 ) + h 2 D 2 f (x 0 ) + R 2 f (x).

Esimerkki 20.8 Kun k = 3ja f C ( R 2), niin f (x 0 + h) = 2 k=0 d (k) f (x 0 ; h) + R 2 f (x) k! = f (x 0 ) + h 1 D 1 f (x 0 ) + h 2 D 2 f (x 0 ) + D 11 f (x 0 ) h 2 1 + 2D 12f (x 0 ) h 1 h 1 + 21 Ääriarvoista Määritelmä 21.1 Olkoon U R n avoin ja f : U R differentioituva pisteessä a U. Jos Df (a) = 0, niin pistettä a sanotaan kriittiseksi pisteeksi. Kriittistä

pistettä sanotaan satulapisteeksi, jos jokaisessa pallossa B r a on olemassa pisteet x ja y, joissa pätee ehdot f (x) > f (a) ja f (y) < f (a). Määritelmä 21.2 Olkoon U R n avoin. Funkiolla f : U R on lokaali maksimi

pisteessä a U, jos on olemassa sellainen ympäristö B r a, että f (x) f (a) jokaiselle x B r a. Vastaavasti funktiolla f on lokaali minimi pistessä b U, jos on olemassa sellainen ympäristö B r a, että jokaiselle x B r a. f (x) f (a) Lause 21.3 Olkoon U R n avoin ja f : U R differentioituva pisteessä a U. Jos Df (a) = 0, niin piste on joko lokaali maksimi-, minimi- tai satulapiste. Lause 21.4 Olkoon E R n suljettu ja rajoitettu ja f : E R on jatkuva, niin f saavuttaa joukossa E suurimman ja pienimmän arvonsa. Joukon suurin tai pienin arvo saavutetaan joukon reunalla E tai joukon sisäpisteessä.

Huomaa, että jos E on suljettu, niin E = E = int E E. Lause 21.5 Olkoon U R 2 avoin. Oletetaan, että f : U R on C 3 (U) -funktio ja x 0 U on funktion f kriittinen piste. Tällöin 1. jos D 11 f (x 0 ) D 22 f (x 0 ) (D 12 f (x 0 )) 2 > 0 ja D 11 f (x 0 ) > 0, niin x 0 on aito lokaali minimipiste, 2. jos D 11 f (x 0 ) D 22 f (x 0 ) (D 12 f (x 0 )) 2 > 0 ja D 11 f (x 0 ) < 0, niin x 0 on aito lokaali maksimipiste,

3. jos niin x 0 on satulapiste. D 11 f (x 0 ) D 22 f (x 0 ) (D 12 f (x 0 )) 2 < 0, 4. jos D 11 f (x 0 ) D 22 f (x 0 ) (D 12 f (x 0 )) 2 = 0, niin suoraan ei voi päätellä, millainen kriittinen piste se on. Perusteluja. Funktiolla f on esitys f (x 0 + h) = f (x 0 )+h 1 D 1 f (x)+h 2 D 2 f (x 0 )+D 11 f (x 0 ) h 2 1 +2D 12f (x 0 ) h 1 h 2 +D 22 f (x Koska x 0 on kriittinen piste, niin f (x 0 ) = 0 ja D 1 f (x) = D 2 f (x) = 0, joten f (x 0 + h) = f (x 0 )+D 11 f (x 0 ) h 2 1 +2D 12f (x 0 ) h 1 h 1 +D 22 f (x 0 ) h 2 2 +R 3f (x 0 )

Siis f (x 0 + h) f (x 0 ) = D 11 f (x 0 ) h 2 1 +2D 12f (x 0 ) h 1 h 1 +D 22 f (x 0 ) h 2 2 +R 3f (x 0 ) ja R 3 f (x 0 ) Merkitään a = D 11 f (x 0 ) b = D 12 f (x 0 ) c = D 22 f (x 0 )

ja x = h 1 sekä y = h 2. Olkoon a 0. Tällöin ax 2 + 2bxy + cy 2 = a = a [( x 2 + 2 b b2 xy + a [ ( x + by a ) 2 + a 2y2 ) + ca b2 a 2 y 2 ca b2 a 2 y 2 Jos a > 0 ja ca b 2 > 0, niin x 0 on aito minimipiste, sillä Jos a < 0 ja ca b 2 > 0, niin x 0 on aito maksimipiste. ]. ] Jos D 11 f (x 0 ) D 22 f (x 0 ) (D 12 f (x 0 )) 2 < 0, niin satulapiste. Esimerkki 21.6 Olkoon f : R 2 R f (x 1, x 2 ) = x 3 1 + x3 2 3x 1x 2

Etsi lokalit ääriarvot. z = x 3 + y 3 3xy 4 4 4 2 2 2 z 0 0 2 0 y2 4 2 x 4 4 Ratkaisu

22 Sidotut ääriarvot Määritelmä 22.1 Olkoon U R n avoin sekä funktiot f : U R ja g : U R differentioituvia funktioita, joilla on jarkuvat osittaisderivaatat. Merkitään S = {u U g (u) = 0} Sidottu ääriarvotehtävä on ongelma, jossa etsitään funktion maksimi tai minimi arvoja joukossa S, ts. ehdolla g (x) = 0. Lause 22.2 Sidotun ääriarvotehtävän ratkaisu saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä f (u) = λ g (u) g (u) = 0 pisteen x ja kertoimen λ R suhteen. Jos u S on funktion f ääriarvopiste joukossa S ja g (u) 0, niin f (u) = λ g (u) jollekin kertoimelle λ R.

Kerrointa λ sanotaaa Lagrangen kertoimeksi. Esimerkki 22.3 Olkoon f (x, y) = xy ja g (x, y) = x 2 + y 2 4 = 0. Tällöin Siis ja f (x, y) = (y, x) g (x) = (2x, 2y). (y, x) = λ (2x, 2y) x 2 + y 2 4 = 0 x 2 + y 2 4 = 0. y = 2xλ x = 2yλ = 4xλ 2

Siis λ = ± 1 2 y = ±x 2x 2 = 4 joten x = ± 2 y = ± 2 λ = ± 1 2 f (x, y) = 2. Siis suorakaiteen suurin ala on 2, kun sen halkaisijan pituus on 2. Tällöin suorakaide on neliö, jonka sivu on 2.

22.1 Moniulotteinen Riemann integraali Joukon R n rajoitettu intervalli I on joukko, joka voidaan kirjoittaa muodossa I = I 1... I n, missä joukot I k ovat rajoitettuja välejä joukossa R jokaiselle k = 1,..., n. Intervallin I mitta on kuvaus l, joka määräytyy kaavasta l(i) = l(i 1 )... l(i n ). Määritelmä 22.4 Olkoon P i välin I i jako, kun i = 1,..., n. Jos J k on välin I k jokin jaon P k jakoväli, niin yleistettyjen intervallien J = J 1... J n

joukkoa sanotaan intervallin I jaoksi ja sitä merkitään P = (P 1,..., P n ). Kun intervalli J kuuluu jakoon P, niin sitä sanotaan jaon P intervalliksi ja sitä merkitään J P. l(i) = l(i 1 )... l(i n ). Olkoon funktio f : I R rajoitettu. Jos P on intervallin I on jako ja J sen jakoväli, niin määritellään luvut M (f, J) ja m (f, J) seuraavasti: M (f, J) = sup {f(y) y J}, m (f, J) = inf {f(y) y J}. Näiden lukujen avulla puolestaan määrittelemme jakoa P vastaavan Darboux yläsum-

man U(f, P) ja alasumman L(f, P) seuraavasti: U(f, P) = M (f, J) l(j), J P L(f, P) = J P m (f, J) l(j). Lemma 22.5 Jos P on intervallin I R n jako, niin 1. m (f, J) M (f, J), 2. L(f, P) U (f, P).

Lemma 22.6 Olkoon I R n intervalli. Jos f : I R toteuttaa ehdon jokaiselle x I, niin m f (x) M jokaiselle intervallin jaolle P. ml (I) L(f, P) U (f, P) Ml (I), Määritelmä ( 22.7 Olkoon I R n intervalli. Jos P = (P 1,..., P n ) ja P = P 1,..., Pn ) ovat intervallin I jakoja ja Pi Pi, niin jakoa P sanotaan jaon P tihennykseksi. Lemma 22.8 (Tihennyslemma) Olkoon f : I R rajoitettu ja P intervalin I jako.jos P on jaon P tihennys, niin L(f, P) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P).

Lemma 22.9 Olkoon I R n intervalli ja f : I R rajoitettu. Jos P 1 ja P 2 ovat vintervallin I jakoja ja P on molempien jakojen tihennys, niin L(f, P 1 ) L (f, P ) U (f, P ) U (f, P 2 ). 22.2 Riemann integroituvuus Määritelmä 22.10 Olkoon I rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. Lukua sup P jako L(f, P) sanotaan funktion f alaintegraaliksi, jota merkitään fdu = sup L(f, P). I P jako

Vastaavasti lukua inf P jako U(f, P) sanotaan funktion f yläintegraaliksi, jota merkitään f du = inf U(f, P). I P jako Lause 22.11 Olkoon I rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. fdu I I f du. Tällöin Esimerkki 22.12 Olkoon I rajoitettu intervalli. Jos f : I R on vakiofunktio m, niin I fdu = ml (I) = I fdu.

Määritelmä 22.13 Olkoon I R n rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. Funktiota f : I R sanotaan integroituvaksi, kun I fdu = Kun f on Riemann integroituva, merkitään fdu = I f du = I I fdu. Kun I R 2 tai I R 3, käytetään myös merkintöjä I f du = f (x, y) dxdy I I f du = I I fdx 1 dx n. fdf (x, y, z) dxdydz.

Seuraus 22.14 Vakiofunktio on integroituva jokaisella intervallilla. Määritelmä 22.15 Olkoon I R n rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. Jono (P k ) k N intervallin jakoja on funktion f Arkimedeen jono jakoja, jos lim k (U (f, P k) L (f, P k )) = 0. Lause 22.16 (Arkimedes-Riemann lause) Olkoon I R n rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. Tällöin f on integroituva intervallilla I, jos ja vain jos on olemassa funktion f Arkimedeen jono intervallin I jakoja (P k ) k N. Lisäksi, jos (P k ) on Arkimedeen jono intervallin I jakoja, niin lim k L (f, P k) = I fdu = lim n U (f, P k).

Lause 22.17 (Arkimedes-Riemann lauseen seuraus ) Olkoon I R n rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. Tällöin seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitäviä: (i) Funktiolle f on olemassa Arkimedeen jono intervallin I jakoja, (ii) Jokaiselle ε > 0, on olemassa jako sellainen P, että U (f, P) L (f, P) < ε. 22.3 Integraalin ominaisuuksia Lause 22.18 (Addiviivisuus yli osaintervallien) Olkoon I R n rajoitettu intervalli ja f : I R rajoitettu. Olkoon P intervallin jako. Tällöin f on integroituva,

jos ja vain jos f : J R on integroituva jokaisessa jaon P osajaossa J. Tällöin I fdu = J P J fdu. Lause 22.19 (Integraalin monotonisuus) Olkoon I R n rajoitettu intervalli. Jos f : I R ja g : I R ovat integroituvia ja f (x) g (x) jokaiselle x I, niin I fdu I gdu. Seuraus 22.20 Olkoon I R n rajoitettu intervalli. Jos f ja f : [a, b] R ovat

integroituvia, niin I fdu I f du. Lause 22.21 (Integraalin lineaarisuus) Olkoon I R n rajoitettu intervalli. Jos f : I R ja g : I R ovat integroituvia ja α, β R, niin I (αf + βg) du = α I fdu + β I gdu.

22.4 Darboux konvergenssi kriteeri 22.5 Jatkuvan funktio on itegroituva Lause 22.22 Jatkuva funktio f : I R on integroituva rajoitetulla intervallilla I. 22.6 Fubinin lause Lause 22.23 (Fubinin lause ) Olkoon I intervalli avaruudessa R n+k ja rajoitettu funktio f : I R integroituva. Merkitään I = I 1... I n+k

ja sekä I x = I 1... I n, I y = I n+1... I n+k I x h = I x hdx h = hdy I y I y Jokaiselle x J 1 määritellään funktiot F x : I y R asettamalla F x (y) = f (x, y). Jos F x on integroituva jokaiselle x I x, niin funktio A : I x R A (x) = F x (y) dy = f (x, y) dy I y I y

on integroituva ja I fdu = I x A (x) dx = I x ( I y f (x, y) dy ) dx. Seuraus 22.24 Olkoon I intervalli avaruudessa R 2 ja rajoitettu funktio f : I R integroituva. Merkitään I = I 1 I 2. ja jos F x : I 2 R ja F y : I 1 R ovat integroituvia, niin I 1 I 2 f (x, y) dxdy = I 1 ( I 2 f (x, y) dy ) dx = I 2 ( I 1 f (x, y) dx ) dy.

Seuraus 22.25 Olkoon f : R 2 R on jatkuva ja kompakti kantajainen, ts joukko S (f) = { u R n+k f (x) 0 } on suljettu ja rajoitettu. Tällöin funktiot F x : I 2 R ja F y : I 1 R ovat integroituvia ja funktiot A : I 1 R A (x) = ja B : I 2 R ovat jatkuvia sekä I 1 I 2 f (x, y) dxdy = I 1 I 2 F x (y) dy = ( I 2 f (x, y) dy ) I y f (x, y) dy dx = I 2 ( I 1 f (x, y) dx ) dy. Seuraus 22.26 Olkoon f : R n R on jatkuva ja kompakti kantajainen, ts joukko S (f) = {u R n f (x) 0} on rajoitettu.. Olkoon I = I 1... I n R n

sellainen intervalli. että S (f) I. Tällöin I fdu = I n... =... = ( I 1 f (x 1,..., x n ) dx 1 I 1 I n 1 ( ) dx 2...dx n I n f (x 1,..., x n ) dx n ) dx n 1...dx 1. Lisäksi integrointi ei ole riipppuvainen, missä järjestyksessä integrointi suoritetaan muuttujien x 1,..., x n suhteen. Määritelmä 22.27 Olkoon I R n intervalli ja D intervallin I osajoukko. Rajoitetun funktion f : D R nolla laajennus on funktio f : I R, joka määritellään seuraavasti f (x) = { f (x), kun x D, 0, kun x I\D.

Määritelmä 22.28 Olkoon D R n. Rajoitettua funktiota f : D R sanotaan integroituvaksi, jos on olemassa sellainen intervalli I, jossa funktion f nolla laajennus f : I R on integroituva. Tällöin merkitään D f = f. I Lause 22.29 Olkoon I R n intervalli ja h : I R sekä g : I R jatkuvia rajoitettuja funktioita, jotka toteuttavat Merkitään h (x) g (x) jokaiselle x I. D = { (x, y) R n+1 x I, y [h (x), g (x)] }.

Jos funktio f : D R on jatkuva ja rajoitettu, niin D fdu = ( g(x) I h(x) ) f (x, y) dy dx. Seuraus 22.30 Olkoon I R väli ja h : I R sekä g : I R jatkuvia rajoitetuja funktioita, jotka toteuttavat Merkitään Integraali h (x) g (x) jokaiselle x I. D = { (x, y) R 2 x I, y [h (x), g (x)] }. D dxdy = I ( ) g(x) dy dx. h(x)

antaa kappaleen D pinta-alan. Seuraus 22.31 Olkoon S R 2 rajoitettu ja h : I R sekä g : I R jatkuvia rajoitetuja funktioita, jotka toteuttavat Merkitään h (x, y) g (x, y) jokaiselle x (x, y) S. D = {(x, y, z) (x, y) S, z [h (x, y), g (x, y)]}. Integraali D dxdy = S ( ) g(x,y) dz dxdy = h(x,y) antaa kappaleen D tilavuuden. S g (x, y) dxdy S h (x, y) dxdy.

Lause 22.32 Olkoon I R n intervalli ja h : I R sekä g : I R jatkuvia rajoitetuja funktioita, jotka toteuttavat Merkitään h (y) g (y) jokaiselle y I. D = { (x, y) R n+1 y I, x [h (y), g (y)] }. Jos funktio f : D R on jatkuva ja rajoitettu, niin D fdxdy = I ( g(y) h(y) f (x, y) dx ) dy. Lause 22.33 Olkoon T bijektiivinen jatkuvasti differentioituva kuvaus avoimelta rajoitetulta joukolta E R 3 joukkoon R 3 ja oletetaan, että T (u) 0 jokaiselle

u E. Jos f on reaaliarvoinen jatkuva funktio, jonka kantaja supp (f) on rajoitettu ja supp (f) E, niin f (x, y, z) dxdydz = f (T (u)) det DT (u) du 1 du 2 du 3 (1) E T 1 (E) missä det DT (u) on derivaattakuvauksen indusoimat matriisin (ts., Jacobin matriisin) determinantti (ts. Jacobin determinantti) ja det DT (x) on sen itseisarvo. Lause 22.34 Olkoon T bijektiivinen jatkuvasti differentioituva kuvaus avoimelta rajoitetulta joukolta E R 2 joukkoon R 2 ja oletetaan, että T (u) 0 jokaiselle u E. Jos f on reaaliarvoinen jatkuva funktio, jonka kantaja supp (f) on rajoitettu ja supp (f) E, niin f (x, y) dxdy = f (T (u)) det DT (u) du 1 du 2 (2) E T 1 (E)

missä det DT (u) on derivaattakuvauksen indusoimat matriisin (ts., Jacobin matriisin) determinantti (ts. Jacobin determinantti) ja det DT (x) on sen itseisarvo. 23 Epäoleellinen Riemann integraali Kertaamme vain määritelmät. Lukija voi miettiä, mitkä tulokset yleistyvät epäoleellisille Riemann integraaleille. Määritelmä 23.1 Olkoon a, b R {, } siten, että a < b. Jos funktio f : R R on integroituva suljetulla väliillä [c, d] jokaiselle c,d, jotka toteuttavat

a < c < d < d, ja raja-arvot d lim d b lim c a c d c f dx f dx ovat olemassa, niin sanotaan, että funktiolla f on olemassa epäoleellinen Riemann integraali, jota merkitään b w d f dx = lim f dx + lim a c a f dx. c d b w Määritelmä 23.2 Olkoon f : R n R. Jos funktio f on integroituva jokaisella intervallilla I ja raja-arvo lim f du diam I I

on olemassa, niin sanotaan, että funktiolla f on olemassa epäoleellinen Riemann integraali joukossa R n, jota merkitään f du = R n lim diam I I f du Määritelmä 23.3 Olkoon A k R n rajoitettu ja A k A k+1. Jos funktio f on integroituva jokaisessa joukossa A k ja raja-arvo lim k A k f dx on olemassa, niin sanotaan, että funktiolla f on olemassa epäoleellinen Riemann integraali joukossa A = k=1 A k, jota merkitään A f dx = lim k A k f du.

Määritelmä 23.4 Olkoon A k R n rajoitettu ja A k+1 A k. Jos funktio f on integroituva jokaisessa joukossa A k ja raja-arvo lim k A k f dx on olemassa, niin sanotaan, että funktiolla f on olemassa epäoleellinen Riemann integraali joukossa A = k=1 A k, jota merkitään A f dx = lim f du. k A k