Metriset avaruudet, demotehtäviä

Metriset avaruudet, demotehtäviä 1.1 Olkoon X joukko ja P(X) sen potenssijoukko. Onko aina P(X) tai X P(X)? Osataksesi vastata tähän, kertaa joukkoinkluusion määritelmä, joka kuuluu näin: Jos A ja B ovat joukkoja, niin sanotaan, että A on B:n osajoukko, merkitään A B, mikäli kaikille a A pätee a B. 1.2 Tätä tehtävää varten kertaa ensin euklidisten avaruuksien kurssilta R n :n avoimen joukon määritelmä. Seuraavassa osoitetaan, että jokainen R n :n osajoukko on avoin. Olkoon siis A R n mielivaltainen joukko ja a A mielivaltainen piste. Määritellään joukkoperhe A a sopimalla, että Tällöin A a = {B R n a B, B A ja B on avoin}. a i) B A a B ii) B B A a iii) A, (1) missä ehto i) seuraa siitä, että a B kaikille B A a, ehto ii) on triviaali ja ehto iii) seuraa siitä, että B A kaikille B A a. Mutta nyt joukko B A a on avoimien joukkojen yhdisteenä avoin, joten se on ehdon (1) perusteella a:n avoin ympäristö, joka sisältyy A:han. Koska a A oli mielivaltainen, A on avoin. Onkohan tässä päättelyssä jotain vikaa? Vastaa tarkasti mieti huolellisesti, mikä kyseisessä joukkoperheessä on indeksijoukko ja mitä sitten tapahtuu. 1.3 Mikä on lyhin etäisyys pallon pinnalla pisteestä toiseen, siis pallon pintaa pitkin? Tähän kysymykseen osataan antaa perusteltu vastaus differentiaaligeometrian kurssilla, mutta tyydytään tässä perustelemattomaan väitteeseen: lyhin tie kulkee pitkin ns. isoympyrää. Oletetaan merkintöjen yksinkertaistamiseksi, että tarkastellaan avaruuden R 3 yksikköpalloa, jonka pinnalla S on kaksi pistettä x y. Näiden pisteiden määräämä isoympyrä on se geometrinen ympyrä, joka syntyy, kun vektoreiden x ja y virittämä R 3 :n alivaruus eli origon kautta kulkeva taso leikkaa pallon pintaa S. Huomaa, että näin todella syntyy x:n ja y:n kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on origo ja säde 1. Tätä ympyrää pitkin kulkien on lyhin matka pisteestä x pisteeseen y. Uskotaan tähän. Vastaava tulos tietysti pätee kaikilla palloilla, esimerkiksi maapallon pinnalla. Kuinka pitkä tämä välimatka näin kulkien sitten on? Tähän on olemassa valmis laskentakaava, joka tässä esitetään maapallon pinnalle viritettynä. Olkoot pisteiden x ja y pituus- ja leveyspiireinä ilmaistut sijainnit (ϕ x,ψ x ) ja (ϕ y,ψ y ). Tässä siis leveyspiiri ψ vaihtelee etelänavan luvusta 90 pohjoisnavan lukuun 90 ja vastaavasti pituuspiiri ϕ luvusta 180 lukuun 180, missä nollataso on Greenwichissä. Tällöin näiden pisteiden välinen napakulma eli 1

maapallon keskipisteeseen muodostuva kulma on ρ = arccos(sin ψ x sinψ y + cos ψ x cos ψ y cos(ϕ x ϕ y )). (1) Uskotaan tähänkin kaavaan (1). Pisteiden x ja y välinen etäisyys d(x, y) saadaan helposti skaalaamalla kaava (1) maapallon säteellä r 6400 km: d(x,y) = rρ. (2) Oletetaan nyt laskujen yksinkertaistamiseksi, että Vaasa ja Örnsköldsvik Pohjanlahden toisella puolella ovat samalla leveyspiirillä 63 ja V:n pituuspiiri on 22 sekä Ö:n 18. Oletetaan saman tien (varsin fiktiivisesti), että Pohjanlahti on täysin kivetön ja sallii purjehtimisen mistä vain. a) Suunnistaja lähtee purjehtimaan V:stä Ö:hön. Koska V. ja Ö. ovat samalla leveyspiirillä, suunnistaja katsoo kompassista suunnan suoraan länteen, ja ajelee perille. Kuinka pitkä on matka? b) Matemaatikko lähtee purjehtimaan samaa väliä. Koska hän tietää, että isoympyräreitti on lyhin, hän ajaa sitä pitkin. Paljonko matka hänelle on? c) Kaikkein lyhin venematka saadaan kuitenkin sukellusveneellä. Paljonkos tämä on olettaen tietysti, että vedessä on syvyyttä riittävästi. Ohje: b)-kohta saadaan suoraan kaavasta (2). Laske a)-kohdassa ensin leveyspiirin kokonaispituus. c)-kohtaa varten tarvitaan V:n ja Ö:n koordinaatit kolmiulotteisessa avaruudessa. Laske ensin yksikköpallon pinnalla käyttäen differentiaalilaskennasta (ehkä) tuttuja pallokoordinaatteja (löytyvät hakusanalla spherical coordinates) ja skaalaa sitten maapallon säteellä. Huomaa, että tässä c)-kohdassa otetaan ikäänkuin annettuna sellainen fakta, että kahden R 3 :n pisteen välinen lyhin reitti on niiden välinen jana. Näin se on, mutta mitenkäs todistat? (Ei tässä kuitenkaan tätä todistusta ole tarkoitus esittää.) Miten tämän isoympyräreitin sitten käytännössä löytää? Helpointa on ehkä toimia ensin kuten c)-kohdan ohjeessa eli hakea lähtö- ja päätepisteille x ja y kolmiulotteiset koordinaatit. Nämä virittävät origon kautta kulkevan tason T = {λx + µy λ, µ R}. Tältä tasolta saa mielivaltaisen paljon pisteitä antamalla eri arvoja λ:lle ja µ:lle ja nämä pisteet voi normeerata, jolloin päästään yksikköpallon pinnalle eli isoympyrälle. Tästä saa sitten etappeja, joiden kautta kulkea. Vielä helpompaa on tietysti katsoa netistä, esimerkiksi osoitteesta www.greatcirclemapper.net löytyy eri lentokenttien välisiä optimireittejä. Sieltä näkyy muun muassa se, että Frankfurtin ja Tokion välinen reitti kulkee jostakin Lappeenrannan seudulta. Tosin koneet taitavat lentää enempi pohjoisesta, mutta se on taas toinen asia. d) Suunnistajamatemaatikko lähtee (pintaveneellä) yöllä V:stä Ö:hön. Oletetaan, että Ö:hön on rakennettu niin korkea televisiomasto, että sen huippuvalo 2

näkyy V:hen asti. Lähteekö suunnistajamatemaatikko valoa kohti? Ja mitenkäkö tämä tehtävä 1.1 liittyy metrisiin avaruuksiin? No siten, että etäisyyksistä puhutaan, ja mikä tärkeintä, kaavan (2) antama etäisyysmittari on ihan oikea metriikka määritelmän 2.1 mielessä. Tämän laitteen todistaminen metriikaksi on vähän työlästä kolmioepäyhtälön osalta siinä tarvitaan vähän trigonometristä pyörittelyä, mutta sivuutetaan nämä ikävät laskut. Tämä on ns. pallometriikka, spherical metric. 1.4 Kolmostehtävän pallometriikka jäi osoittamatta metriikaksi hankalien laskujen takia. Yksinkertaistetaan tilannetta ja siirrytään pallosta ympyrään ja saman tien yksikköympyrään, jottei sädettä tarvitse kuljettaa laskuissa mukana. Jos pallometriikkaa tarkastellaan päiväntasaajalla, jossa ψ x = ψ y = 0, niin pallometriikka tulee (säde skaalattuna ykköseksi) muotoon d(x,y) = arccos(cos(ϕ x ϕ y )). (1) Jos tätä ajatellaan tason R 2 yksikköympyrällä S, niin kulmat ϕ x ja ϕ y ovat pisteiden x ja y napakulmia, missä siis napakoordinaattimuodossa x = (cos ϕ x,sin ϕ x ) ja y = (cos ϕ y,sin ϕ y ). Osoita, että määritelmä (1) antaa todella metriikan. Ohje: Tämäkin on aika hankala. Ensimmäiseksi on syytä huomata, että määritelmässä (1) on arcuskosinin päähaara, joka saa arvoja väliltä [0, π]. Tämä arcuskosini ja kosini siis eivät suinkaan välttämättä kumoa toisiaan, koska ϕ x ϕ y voi saada muunkinlaisia arvoja. Tässä tapahtuu niin, että tuo arcuskosini ikäänkuin valitsee sen lyhyemmän reitin pisteestä x pisteeseen y ympyrän kaarta pitkin ympyrää pitkinhän pääsee myös toista kautta pisteestä toiseen, mutta se reitti on yleensä pitempi eli yli π:n. (Sama ilmiö on muuten pallometriikassakin, isoympyräähän voi kiertää myös toista kautta.) Tässä yksikköympyrän tapauksessa käy siis niin, että d(x,y) on vektoreiden x ja y välinen napakulma, nimenomaan se pienempi eli korkeintaan oikokulman suuruinen. Metriikaksi osoittamisessa on hankalaa vain kolmioepäyhtälö. Olkoot x, y, z S. Pitäisi osoittaa, että d(x,z) d(x,y) + d(y,z). Merkitään γ = d(x,z), α = d(x,y) ja β = d(y,z), jolloin väite tulee muotoon γ α + β. (2) Koska etäisyys on aina korkeintaan π, niin väite (2) pätee triviaalisti, jos α + β π. Voidaan siis olettaa, että 0 α + β < π. Tällöin väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että cos γ cos(α + β). Tämä voidaan kosinin yhteenlaskukaavan nojalla kirjoittaa muotoon cos γ cos α cos β sin α sinβ. (3) 3

Tässä vaiheessa kannattaa ottaa euklidinen sisätulo peliin mukaan. Käytetään hyväksi sitä LAG:n kurssilta toivottavasti tuttua tulosta, että yksikkövektoreiden x ja y välinen napakulma α toteuttaa yhtälön cos α = x y. Vastaavasti Merkitään cos β = y z ja cos γ = x z. x = x (cos α)y R 2 ja z = z + (cos β)y R 2. Totea laskemalla (sisätulon lineaarisuutta hyväksi käyttäen), että x z = cos γ + cos α cos β, x = sin α z = sin β. Sovella Schwarzin epäyhtälöä vektoreihin x ja z ja kas kummaa, väite (3) sieltä tulla putkahtaa. 1.5 Määritellään joukkoon R metriikka d asettamalla d(x,y) = arctan x arctan y kaikille x,y R. a) Osoita, että d on todella metriikka. b) Anna geometrinen tulkinta tälle metriikalle. Tässä on ajatuksena piirrellä kolmioita, joiden kärkinä ovat origo, (0,1), (x,0) ja (y,0) sekä tarkastella syntyviä kulmia. c) Piirrä pallot B d (0,10), B d (0,9) ja B d (3,9). ja 1.6 Määritellään joukkoon Z metriikka d seuraavasti. Sovitaan ensin, että d(x, x) = 0 kaikille x Z. Kun x y, niin x y 0 ja voidaan järkevästi määritellä m x y = min{n N x y ei ole jaollinen luvulla 10 n }. Tämän jälkeen asetetaan d(x,y) = m 1 x y. a) Osoita, että näin määritelty d on todella metriikka joukossa Z. b) Laske etäisyydet d(123,4623), d(10,0), d(3,7) ja d(3, 7). c) Määrää pallot B d (3,2), B d (3,1), B d (3, 2 3 ), B d(3, 1 2 ) ja B d(3, 1 2 ). 4

1.7 Tässä tehtävässä sovitaan, että nolla ei ole luonnollinen luku, ts. N = {1,2,3,...}. Tämä ei ole kovin oleellista, mutta vastaukset b)- ja c)-kohtiin riippuvat tästä sopimuksesta. Määritellään potenssijoukkoon P(N) metriikka d asettamalla ensin d(a,a) = 0 kaikille A P(N) ja jos A B, niin (A B)\(A B) ja voidaan järkevästi määritellä Tämän jälkeen asetetaan m AB = min{n N n (A B) \ (A B)}. d(a,b) = m 1 AB. a) Osoita, että näin määritelty d on todella metriikka joukossa P(N). b) Olkoon P kaikkien parittomien luonnollisten lukujen joukko, A alkulukujen joukko (ykkönen ei ole alkuluku) ja N kaikkien neliöiden joukko eli N = {1 2,2 2,3 2,...} = {1,4,9,...}. Laske etäisyydet d(p,a), d(p,n) ja d(a,n). c) Määrää pallo B d (A, 1 2 ). 5

Metriset avaruudet, demotehtäviä 2.1 Tarkastellaan (vrt. esimerkki 1.7 c)) vektoriavaruutta l 2 = {(z n ) n N (z n ) on K:n jono siten, että sarja z n 2 suppenee}. n N Osoita, että määrittely (z n ) (w n ) = n N z n w n antaa sisätulon avaruuteen l 2. Ohje: Tässä on lievää ongelmaa tuon sarjan suppenemisen kanssa. Kompleksiarvoisen sarjan suppeneminen määritellään niin, että vaaditaan sekä reaaliettä imaginaariosista muodostuvien sarjojen suppeneminen. Muistele reaalikertoimisten sarjojen ominaisuuksia, erityisesti majoranttiperiaatetta. Huomautus. Tehtävän 2.1 ja lauseen 1.10 nojalla avaruuteen l 2 syntyy normi määritelmällä ( ) 1 ( ) 1 2 2 (z n ) = z n z n = z n 2. n N Tämä siis todistaa esimerkin 1.7 c) väitteen siinä erikoistapauksessa, että p = 2. Muut p:n arvot vaativat kokonaan toisenlaisen todistuksen, koska niissä syntyvä normi ei ole sisätulonormi. 2.2 Olkoon X = C([0, 1], R) välillä [0, 1] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden vektoriavaruus, vrt. esimerkit 1.1 c), 1.5 c), 2.2 b) ja 2.3 b) sekä myös 1.7 b). a) Osoita, että määrittely n N f max = max{ f(x) x [0,1]} antaa normin kyseiseen avaruuteen. Onko kyseessä sisätulonormi, ts. onko avaruudessa X sisätuloa, joka määrittelisi tämän normin lauseen 1.10 mielessä? b) Osoita, että myös määrittely f 1 = 1 0 f(x) dx antaa normin avaruuteen X. Onko tämä sisätulonormi? 2.3 Määritellään tehtävän 2.2 merkinnöin A = {f X f(x) > 0 kaikille x [0,1]}. 6

Olkoot d max ja d 1 tehtävän 2.2 normien max ja 1 indusoimat metriikat. a) Onko A avoin metrisessä avaruudessa (X,d max )? b) Onko A avoin metrisessä avaruudessa (X,d 1 )? 2.4 Olkoon (X, ) reaalikertoiminen sisätuloavaruus. Olkoon tämän sisätulon antama normi lauseen 1.10 mielessä. a) Todista oikeaksi suunnikasidentiteetti x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 kaikille x,y X. Päteekö tämä kompleksikertoimisissa sisätuloavaruuksissa? b) Todista oikeaksi reaalinen polaarikaava x y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) kaikille x,y X. c) Voiko normi olla myös jonkun toisen sisätulon antama? Huomautus. Polaarikaava pätee tuossa muodossaan vain reaalikertoimisissa avaruuksissa. Kompleksinen polaarikaava on vähän toisennäköinen kaava löytyy hakusanalla polarization identity. Tehtävä 2.3 a) kertoo, että jokainen sisätulonormi toteuttaa suunnikasidentiteetin. Kaikki normit eivät sitä tee, jolloin ne eivät voi olla sisätulonormeja. Kuten luentomonisteessa todetaan, suunnikasidentiteetin voimassaolo on myös riittävää sille, että kyseessä on sisätulonormi, ts. on olemassa jokin sisätulo, joka antaa juuri tämän normin. Miten tällaisen sisätulon sitten löytää? Polaarikaava antaa vahvan vihjeen. Määritellään sisätulo polaarikaavalla, kun normi on annettu. Kysymys kuuluu, että syntyykö näin todellakin sisätulo. Kyllä syntyy, mutta todistus on vähän takkuinen sisätulon lineaarisuuden osalta, erityisesti ehto λ(x y) = (λx) y on hankala. Tämän saa todistettua niin, että todistetaan se ensin jonkinlaisella induktiovirityksellä luonnollisille luvuille λ, siirrytään sitten myös negatiivisiin lukuihin ja sen jälkeen rationaalilukuihin. Yleiselle λ R väite saadaan lopulta rajankäyntiprosessin kautta. Kompleksisessa tapauksessa kuvio on suurin piirtein samanlainen, tosin määritelmä on toinen, koska joudutaan käyttämään kompleksista polaarikaavaa. 2.5 Olkoon (X, ) normiavaruus. Määritellään kuvaus d : X 2 R asettamalla d(x,y) = x + y kun x y ja d(x,y) = 0 kun x = y. a) Osoita, että d on metriikka. b) Piirrä pallonkuoret S(a,r), kun X = R 2 ja on tavallinen euklidinen normi sekä a = (2,0) R 2 ja r = 1,2,3,4,5. 7

2.6 Merkitään avaruuden R 2 pisteitä x tavalliseen tapaan koordinaateittain eli x = (x 1,x 2 ). Olkoon avaruuden R 2 euklidinen normi ja määritellään A = {x R 2 x 1 = 0}, B = {x R 2 x (3,3) 1}, C = {x R 2 x 2 < 0} ja D = {x R 2 x 1 > 0, x 2 > 1/x 1 }. Tarkastellaan R 2 :ssa metriikkoja d 1,...,d 5, missä ( 2 ) 1 2 d 1 (x,y) = x i y i 2, d 2 (x,y) = i=1 2 x i y i, i=1 d 3 (x,y) = max{ x i y i i = 1,2}, { 1 kun x y d 4 (x,y) = ja 0 kun x = y { x + y kun x y d 5 (x,y) = 0 kun x = y. Näistä d 5 todettiin metriikaksi tehtävässä 2.5 a) ja muut(kin) näkee helposti metriikoiksi, eikä tässä tehtävässä näihin yksityiskohtiin ole tarkoitus mennä. Määrää etäisyydet d i (A,B) ja d i (C,D), kun i = 1,...,5. 2.7 Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja x X sen erakkopiste. (Erakkopiste määritellään kohdassa 3.13; tässä siis A = X.) a) Onko joukko {x} välttämättä avoin? b) Onko X:n kaikkien erakkopisteiden joukko välttämättä avoin? Jos olet sitä mieltä, että on, niin todista väitteesi. Muussa tapauksessa anna vastaesimerkki. Ja sitten bonustehtäviin. Nämä bonustehtävät ovat sellaisia, että niistä kustakin saa bonusta eli yhden hyvityspisteen tenttiin. Tämän pisteen ansaitsee toimittamalla sähköpostiini Latexilla siististi laaditun oikean ratkaisun. Deadline on se hetki, jolloin julkaisen ratkaisut netissä eli keskiviikkoisin jälkimmäisen demoryhmän jälkeen. Nämä tehtävät ovat tavallista vaikeampia ja laajempia, ja niiden ratkaiseminen ei ole ihan helppoa, vaikka moniin löytyykin kirjallisuudesta kovasti apua. Tässä siis samalla palkitaan se, että osaa käyttää Latexia sekä 8

osaa ja viitsii kirjallisuudesta kaivaa ratkaisut jos niitä nyt sieltä edes löytyy. Näitä ei millään tavalla käsitellä demotilaisuuksissa, mutta julkaisen omat ratkaisuni muiden ratkaisujen ohessa. Bonustehtävä 1. Osoita, että reaalisen vektoriavaruuden normi on sisätulonormi jos ja vain jos normi toteuttaa suunnikasidentiteetin. Bonustehtävä 2. Osoita, että määrittely d((x n ),(y n )) = ( n=1 x n y n p ) 1 p antaa metriikan avaruuteen l p, p 1, vrt. esimerkki 1.7 c). Ohje: Kolmioepäyhtälöhän tässä on vaikeinta. Kätevintä on huomata että tämäkin on normimetriikka, jolloin väite seuraa lauseesta 2.2, kun todistetaan kyseinen värkki (siis mikä?) normiksi. Siinäkin on kolmioepäyhtälö vaikeaa; hae jostain lähteestä Youngin, Hölderin ja Minkowskin epäyhtälöt (todistuksineen eivät nämäkään ihan helppoja ole; Hölderin todistuksessa käytetään Youngia, Minkowskin todistuksessa Hölderiä ja varsinaisen kolmioepäyhtälön todistuksessa (vain) Minkowskia), ja sitten asia onkin selvä. 9

Metriset avaruudet, demotehtäviä 3.1 Olkoon (X, ) reaalikertoiminen sisätuloavaruus, joka varustetaan sisätulon antamalla normilla ja edelleen tämän normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon (Y,d ) jokin metrinen avaruus ja a Y. Olkoot f,g : (Y,d ) (X,d) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Varustetaan R itseisarvometriikalla d. Määritellään kuvaus h : Y R asettamalla kaikille y Y h(y) = f(y) g(y). Osoita, että h : (Y,d ) (R,d ) on jatkuva pisteessä a. Huomautus. Tässä siis f(y) g(y) on vektoreiden f(y) ja g(y) sisätulo. 3.2 Varustetaan Z tehtävän 1.6 mukaisella metriikalla d ja olkoon a Z vakio. Määritellään kuvaukset f, g : Z Z asettamalla f(x) = x + a ja g(x) = xa kaikille x Z. a) Osoita, että f : (Z, d) (Z, d) on jatkuva. b) Määrää ne pisteet x Z, joissa g : (Z,d) (Z,d) on jatkuva. Vihje a)-kohtaan: Lipschitz. 3.3 Olkoon (Z,d) kuten tehtävässä 2. Varustetaan R itseisarvometriikalla d. Määritellään kuvaus f : Z R asettamalla { 1 f(x) = x kun x 0 0 kun x = 0. Määrää ne pisteet x Z, joissa f : (Z,d) (R,d ) on jatkuva. Vihje: Jatkuvuuspisteitä on täsmälleen yksi. 3.4 Varustetaan P(N) tehtävän 1.7 mukaisella metriikalla d ja olkoon C N kiinteä. Määritellään kuvaukset f, g : P(N) P(N) asettamalla f(a) = A C ja g(a) = A C kaikille A P(N). a) Määrää ne pisteet A P(N), joissa f : (P(N),d) (P(N),d) on jatkuva. b) Määrää ne pisteet A P(N), joissa g : (P(N),d) (P(N),d) on jatkuva. 3.5 Olkoon X = C([0,1], R) kuten tehtävässä 2.2 ja varustetaan se kyseisen 10

tehtävän normien max ja 1 indusoimilla metriikoilla kuten tehtävässä 2.3. Varustetaan R itseisarvometriikalla d. Määritellään kuvaus α : X R asettamalla kaikille f X α(f) = f( 1 2 ). a) Onko kuvaus α : (X,d max ) (R,d) jatkuva tai Lipschitz-jatkuva? b) Entä kuvaus α : (X,d 1 ) (R,d)? 3.6 Olkoot (X,d max ) ja (X,d 1 ) kuten tehtävässä 3.5 Määritellään kuvaus β : X X asettamalla kaikille f X β(f)(t) = 2tf(t) kaikille t [0,1]. a) Onko kuvaus β : (X,d max ) (X,d max ) jatkuva? b) Entä kuvaus β : (X,d 1 ) (X,d 1 )? c) Entä β : (X,d max ) (X,d 1 ) tai d) β : (X,d 1 ) (X,d max )? 3.7 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja f : X R kuvaus. Varustetaan R itseisarvometriikalla d. Oletetaan, että alkukuvat f 1 (],q[) X ja f 1 (]q, [) X ovat avoimia avaruudessa (X,d) kaikille q Q. a) Osoita, että f : (X,d) (R,d ) on jatkuva. b) Osoita esimerkillä, että a)-kohdan väite ei välttämättä päde, jos R:ssä käytetään jotain muuta metriikkaa kuin itseisarvometriikkaa. Vihje: Lause 4.10. Bonustehtävä 3. Olkoon (X, ) reaalikertoiminen sisätuloavaruus ja d vastaava normimetriikka avaruudessa X kuten tehtävässä 3.1. Varustetaan R itseisarvometriikalla d. Olkoon f : (X,d) (X,d) jatkuva kuvaus. Koska vakiokuvaus on aina jatkuva, tehtävän 3.1 nojalla jokaiselle a X kuvaus f a : (X,d) (R,d ), missä f a (x) = f(x) a on myös jatkuva. Osoita esimerkillä, että tämä ei päde kääntäen, ts. konstruoi sisätuloavaruus X ja kuvaus f : X X siten, että f a on jatkuva kaikille a X, mutta itse f on epäjatkuva. Vihje: Huomautus 5.12. 11

Metriset avaruudet, demotehtäviä 4.1 Olkoon (X,d max ) kuten tehtävässä 3.5 ja määritellään joukko K X asettamalla K = {f X f on kasvava}. Osoita, että K on suljettu joukko, jolla ei ole lainkaan sisäpisteitä. 4.2 Varustetaan Z tehtävän 1.6 metriikalla d. a) Määrää joukon A = {n Z n 0} sisäpisteet, reunapisteet ja sulkeuma avaruudessa (Z,d). b) Määrää joukon B = {n Z n on 10:llä jaollinen} sisäpisteet, reunapisteet ja sulkeuma avaruudessa (Z,d). 4.3 Varustetaan P(N) tehtävän 1.7 metriikalla d. Määrää joukon A = {A P(N) A on rajoittamaton} sisäpisteet, reunapisteet ja sulkeuma avaruudessa (P(N),d). Termi rajoittamaton tarkoittaa tässä sitä, että kaikille n N on olemassa a A siten, että a n. 4.4 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A X. Joukon A karakteristinen funktio on kuvaus χ A : X {0,1}, joka määritellään asettamalla { 1 kun x A χ A (x) = 0 kun x A. Varustetaan joukko {0,1} diskreetillä metriikalla d ja olkoon a X. Osoita, että a) χ A : (X,d) ({0,1},d ) ei ole jatkuva pisteessä a jos ja vain jos a A. b) A on avoin ja suljettu jos ja vain jos A =. c) A on avoin ja suljettu jos ja vain jos χ A : (X,d) ({0,1},d ) on jatkuva koko avaruudessa X. 4.5 Olkoon d joukon R tehtävän 1.5 mukainen metriikka ja d :n R:n itseisarvometriikka. Osoita, että metriikat d ja d ovat ekvivalentteja, mutta eivät ole bilipschitz-ekvivalentteja. Ohje: Tässä on viisainta turvautua analyysi 1:stä saataviin tietoihin funktioiden tan ja arctan käytöksestä. Erityisesti niiden jatkuvuus itseisarvometriikassa oletetaan tunnetuksi. 12

4.6 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja varustetaan tulojoukko X Y merkinnän 11.1 mukaisella metriikalla e i, i = 0,1,2. Olkoon f : X Y kuvaus. f:n graafi eli kuvaaja määritellään asettamalla G f = {(x,f(x)) X Y x X} X Y. a) Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva. Osoita, että graafi G f on suljettu avaruudessa (X Y,e i ). b) Osoita esimerkillä, että käänteinen tulos a)-kohdalle ei päde, ts. graafi voi olla suljettu, vaikka kuvaus ei ole jatkuva. 4.7 Olkoon (X, ) reaalikertoiminen normiavaruus, joka varustetaan normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon Y X vektorialiavaruus. a) Osoita esimerkillä, että Y ei välttämättä ole suljettu avaruudessa (X,d). b) Osoita, että sulkeuma Y on myös vektorialiavaruus. Ohje: Tässä nyt täytyy ensin tietää vektorialiavaruuden määritelmä, joka kuuluu niin, että epätyhjä Z X on vektorialiavaruus, jos kaikille u,v Z ja λ R pätee u + v Z ja λu Z. Kohdassa a) esimerkkiä on turha etsiä äärellisulotteisesta avaruudesta. Näitä esimerkkejä varten meillä on tehtävän 2.1 vektoriavaruus l 2, joka on ääretönulotteinen. Kohdan a) esimerkissä pitää myös aliavaruuden Y olla ääretönulotteinen. Vaihtoehtoja l 2 :n sopivasta aliavaruudesta löytyy monenlaisia, mutta helpointa on varmaan keksiä sellainen aito aliavaruus, jonka sulkeuma on koko l 2. b)-kohdassa kannattaa käyttää lausetta 6.23. 4.8 Olkoon (X, ) reaalikertoiminen sisätuloavaruus, joka varustetaan sisätulonormin indusoimalla metriikalla d. Määritellään joukon A X ortogonaalinen komplementti A kuten LAG:ssa asettamalla A = {x X x a = 0 kaikille a A}. a) Osoita, että A on suljettu avaruudessa (X,d) kaikille A X. b) On helppo nähdä, että A on aina vektorialiavaruus ja että A (A ). Näitä ei ole tarkoitus todistaa tässä. Anna sen sijaan esimerkki vektorialiavaruudesta A jolle pätee A (A ). Ohje a)-kohtaan. Epätyhjälle A huomaa ensin, että A = {x X x a = 0}. a A Joukot {x X x a = 0} kiinteälle a ovat erään suljetun joukon alkukuvia eräässä jatkuvassa kuvauksessa. 13

Metriset avaruudet, demotehtäviä 5.1 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : (X,d) (Y,d ) kuvaus. Pätevätkö jotkut seuraavista väitteistä? a) Jos f on jatkuva, niin kaikille A Y pätee f 1 (A) f 1 (A). b) Jos f on jatkuva, niin kaikille A Y pätee f 1 (A) f 1 (A). c) Jos f on jatkuva, niin kaikille A Y pätee f 1 (A) = f 1 (A). d) Jos kaikille A Y pätee f 1 (A) = f 1 (A), niin f on jatkuva. e) Jos kaikille A Y pätee f 1 (A) f 1 (A), niin f on jatkuva. f) Jos kaikille A Y pätee f 1 (A) f 1 (A), niin f on jatkuva. 5.2 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia sekä f : (X,d) (Y,d ) kuvaus. Pätevätkö jotkut seuraavista väitteistä? a) Jos f on jatkuva, niin kaikille A Y pätee f 1 (int(a)) int(f 1 (A)). b) Jos f on jatkuva, niin kaikille A Y pätee int(f 1 (A)) f 1 (int(a)). c) Jos f on jatkuva, niin kaikille A Y pätee f 1 (int(a)) = int(f 1 (A)). d) Jos kaikille A Y pätee f 1 (int(a)) = int(f 1 (A)), niin f on jatkuva. e) Jos kaikille A Y pätee f 1 (int(a)) int(f 1 (A)), niin f on jatkuva. f) Jos kaikille A Y pätee int(f 1 (A)) f 1 (int(a)), niin f on jatkuva. 5.3 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A X. Pätevätkö seuraavat väitteet? a) A A. b) A A. c) A = A. 5.4 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A,B,U X osajoukkoja siten, että X = A B ja U A B. Oletetaan, että U A on avoin aliavaruudessa (A,d A ) ja että U B on avoin aliavaruudessa (B,d B ). a) Osoita, että U on avoin avaruudessa (X,d). 14

b) Päteekö a)-kohdan väite ilman oletusta U A B? 5.5 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A,B X siten, että A B = = A B. a) Osoita, että A ja B ovat avoimia ja suljettuja aliavaruudessa (A B,d A B ). b) Ovatko A ja/tai B välttämättä avoimia ja/tai suljettuja avaruudessa (X, d)? 5.6 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia, f : X Y kuvaus ja (f n ) jono kuvauksia f n : X Y siten, että f n f pisteittäin X:ssä. Olkoon A X ja oletetaan, että kaikki joukot f n (A) ja f(a) Y ovat rajoitettuja. Tällöin d (f(a)) R sekä d (f n (A)) R kaikille n, jolloin voidaan järkevästi esittää kysymys: Onko välttämättä lim n d (f n (A)) = d (f(a)) itseisarvometriikassa? (1) a) Mikä on vastaus kysymykseen (1)? b) Mikä on vastaus kysymykseen (1), jos oletetaan, että f n f tasaisesti A:ssa? 5.7 Funktion tasainen jatkuvuus määritellään kohdassa 14.16. Tasaisesti jatkuva kuvaus on aina jatkuva (lause 14.17) ja Lipschitz-jatkuva kuvaus on aina tasaisesti jatkuva (lause 14.20). Toisaalta jatkuvan kuvauksen ei tarvitse olla Lipschitz (esimerkki 4.5) eikä tasaisesti jatkuva (esimerkki 14.18). Anna esimerkki funktiosta, joka on tasaisesti jatkuva, mutta ei Lipschitz-jatkuva. 5.8 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia, f : (X,d) (Y,d ) kuvaus sekä (f n ) jono kuvauksia f n : (X,d) (Y,d ). Oletetaan, että f n f pisteittäin X:ssä. Huomautuksessa 12.38 todettiin, että jatkuvuus ei periydy tässä konvergenssissa, ts. jos f n :t ovat jatkuvia, niin rajafunktio f voi olla epäjatkuva. a) Miten rajafunktion jatkuvuuden käy, jos f n :t ovat tasaisesti jatkuvia? b) Entä jos ne ovat Lipschitz-jatkuvia? c) Entä jos on olemassa M > 0 siten, että kaikki f n :t ovat M-Lipschitz-jatkuvia? 15

Metriset avaruudet, demotehtäviä 6.1 Osoita, että n n! = 1. n=1 Tämän aika epäortodoksisen väitteen takana on tietenkin epäortodoksinen metriikka eli tehtävässä 1.6 määritelty Z:n metriikka d. Lisäksi pitää määritellä sarjan summa. Jos (a n ) on (tässä tapauksessa) joukon Z jono, niin sanotaan, että n=1 a n = a Z, jos lim n n i=1 a i = a metrisessä avaruudessa (Z,d). 6.2 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja varustetaan tuloavaruus X Y jollakin merkinnän 11.1 metriikoista e 0, e 1 tai e 2. Olkoon p X : X Y X projektiokuvaus p X (x,y) = x kaikille (x,y) X Y. Pätevätkö seuraavat väitteet? a) Jos A X ja B Y ovat avoimia, niin A B X Y on avoin metriikassa e i, i = 0,1,2. b) Jos A X ja B Y ovat suljettuja, niin A B X Y on suljettu metriikassa e i, i = 0,1,2. c) Jos A X Y on avoin metriikassa e i, i = 0,1,2, niin p X (A) X on avoin. d) Jos A X Y on suljettu metriikassa e i, i = 0,1,2, niin p X (A) X on suljettu. 6.3 Olkoot (X, X ) ja (Y, Y ) normiavaruuksia. Varustetaan X ja Y normien indusoimilla metriikoilla d X ja d Y. Olkoon f : (X,d X ) (Y,d Y ) isometria. Osoita esimerkillä, että f ei välttämättä ole lineaarikuvaus. Tämä on helppoa, mutta entä, jos oletetaan, että f(0) = 0? Ohje: Varusta R 2 maksiminormilla ja R itseisarvonormilla (normihan se tämäkin on), valitse kuvaus g : R R sopivasti ja määrittele f : R R 2 asettamalla f(x) = (x,g(x)). 6.4 Olkoot X ja Y reaalikertoimisia sisätuloavaruuksia varustettuna sisätulometriikoilla ja f : E F isometria siten, että f(0) = 0. Osoita, että f on lineaarikuvaus. Vertaa tehtävään 6.3, huomaa erityisesti, että tehtävän 6.3 ohjeen mukaista esimerkkikuvausta ei löydy, jos R 2 :ssa käytetään euklidista normia, joka on sisätulonormi kuten myös R:n itseisarvo. Vihje: Polaarikaava. Huomautus. Tehtäviin 6.3 ja 6.4. liittyen voidaan osoittaa, että jos normiavaruuksien välinen isometria kuvaa origon origolle ja on surjektio, niin se on 16

lineaarikuvaus. Tässä siis ei oleteta, että kyseessä on sisätulonormi, vaan tulos pätee kaikille normeille. Tämä on ns. Mazurin-Ulamin lause. Sille on erittäin lyhyt ja helppo todistus lähteessä Jussi Väisälä, Amer. Math. Monthly, 110, (2003) ss. 633-635. 6.5 a) Varustetaan R tehtävän 1.5 metriikalla d(x, y) = arctan x arctan y. Osoita, että (R,d) ei ole täydellinen. b) Koska R varustettuna itseisarvometriikalla tunnetusti on täydellinen, niin a)- kohta ja tehtävä 4.5 osoittavat, että metriikan vaihto ekvivalenttiin metriikkaan ei välttämättä säilytä täydellisyyttä. Osoita, että tällaista ei voi tapahtua, jos vaihto tehdään bilipschitz-ekvivalenttiin metriikkaan. Täsmällisemmin sanottuna oletetaan, että (X,d) ja (X,d ) ovat metrisiä avaruuksia ja (X,d) on täydellinen. Oletetaan lisäksi, että metriikat d ja d ovat bilipschitz-ekvivalentteja. Osoita, että myös (X,d ) on täydellinen. 6.6 Olkoon X = C([0,1], R) ja d max kuten tehtävässä 2.3. Osoita, että (X,d max ) on täydellinen. Ohje: Annetun Cauchy-jonon pisteittäinen rajafunktio löytyy helposti R:n täydellisyyttä käyttäen. Ongelmana on osoittaa rajafunktio jatkuvaksi. Tämä onnistuu parhaiten, kun osoitat, että konvergenssi on tasaista ja käytät lausetta 12.37. Loppuosa todistuksesta eli se, että tässä tapahtuu konvergenssi myös metriikan d max suhteen, sujuu jo sitten helposti. 6.7 Olkoon X = C([0,1], R) ja d 1 kuten tehtävässä 2.3. Osoita, että (X,d 1 ) ei ole täydellinen. Ohje: Tässähän riittää antaa esimerkki Cauchy-jonosta, joka ei suppene. Varo kuitenkin antamasta sellaista esimerkkijonoa (f n ), jossa f n 1 0, sillä tämähän konvergoi nollafunktioon avaruudessa (X,d 1 ), vaikkei pisteittäin sitä tekisikään. 6.8 Varustetaan joukko P(N) tehtävän 1.7 mukaisella metriikalla d. Onko avaruus (P(N),d) täydellinen? Bonustehtävä. Olkoon sisätuloavaruus l 2 kuten tehtävässä 2.1, ja varustetaan se sisätulon antamalla metriikalla d. Osoita, että (l 2,d) on täydellinen. 17

Metriset avaruudet, demotehtäviä Tehtävissä 7.1 3 joukot Z ja P(N) on varustettu tehtävissä 1.6 ja 1.7 määritellyillä metriikoilla, joita molempia merkitään symbolilla d. 7.1 Onko avaruus (Z,d) täydellinen? 7.2 a) Onko avaruus (Z,d) kompakti? b) Onko avaruus (P(N),d) kompakti? 7.3 a) Onko avaruus (Z,d) yhtenäinen? b) Onko avaruus (P(N),d) yhtenäinen? 7.4 a) Olkoon X ja (X,d) täydellinen metrinen avaruus sekä f : X X kontraktio, ts. on olemassa q [0,1[ siten, että kaikille x,y X pätee d(f(x), f(y)) qd(x, y). Tällöin Banachin kiintopistelauseen nojalla f:llä on täsmälleen yksi kiintopiste a X. Valitaan x 1 X ja muodostetaan rekursiivisesti jono (x n ) asettamalla x n+1 = f(x n ) kaikille n tämähän on sama jono kuin Banachin kiintopistelauseen todistuksessa. Osoita, että kaikille n N pätee d(x n,a) qn 1 1 q d(x 1,x 2 ). b) Hae yhtälön x 3 7x + 1 = 0 välillä [0,1] olevan juuren likiarvo jollakin sopivalla tarkkuudella soveltaen Banachin kiintopistelausetta funktioon f(x) = 1 7 (x3 + 1). Tarkista huolellisesti, että kyseisen kiintopistelauseen oletukset ovat kunnossa; virhearviointiin on tietenkin tarkoitus käyttää a)-kohtaa. Huomautus. Tarkkuus paranee tehtävässä 7.4 b) huomattavasti, jos käytät vähän lyhyempää väliä välin [0,1] asemasta, mutta se nyt ei ole tämän tehtävän kannalta oleellista. Sitä paitsi kolmannen asteen yhtälölle on olemassa ratkaisukaava eli ns. Cardanon kaava, josta juurelle saa tarkan arvon. Tämän tehtävän tarkoituksena onkin kuvailla kiintopistelauseiden yllättävän monipuolisia sovellusmahdollisuuksia. Seuraavassa tehtävässä on myös aika ovela Banachin kiintopistelauseen käyttökuvio. 7.5 Olkoon E täydellinen normiavaruus ja f : E E kontraktio. Määritellään kuvaus F : E E asettamalla kaikille x E F(x) = x + f(x). Osoita, että F on bilipschitz ja lisäksi homeomorfismi. Ohje: F:n surjektiivisuushan tässä on ongelma. Määrittele kaikille y E kuvaus g y : E E asettamalla g y (x) = y f(x). Osoita, että g y :llä on yksikäsitteinen kiintopiste, jota merkitään symbolilla G(y). Näin syntyy kuvaus E E, y G(y). Osoita, että F G = id E. 18

7.6 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja (A n ) jono X:n epätyhjiä osajoukkoja, jotka ovat sisäkkäin niin, että A n A n+1 kaikille n N. a) Osoita, että voi olla n N A n =. b) Miten käy, jos oletetaan, että A n :t ovat suljettuja? c) Miten käy, jos oletetaan, että d(a n ) 0? d) Miten käy, jos oletetaan, että A n :t ovat suljettuja ja d(a n ) 0? e) Miten käy, jos d)-kohdan oletusten lisäksi oletetaan, että (X,d) on täydellinen? f) Miten käy, jos d)-kohdan oletusten lisäksi oletetaan, että (X, d) on kompakti? g) Miten käy, jos oletetaan, että d(a n ) 0 ja (X,d) on kompakti? h) Miten käy, jos oletetaan, että A n :t ovat suljettuja ja (X,d) on kompakti? i) Miten käy, jos oletetaan, että A n :t ovat kompakteja? 7.7 Osoita esimerkillä, että normiavaruuden suljettu yksikköpallo (tai sen pinta) ei välttämättä ole kompakti. Onko normiavaruuden suljettu yksikköpallo välttämättä yhtenäinen? Entä sen pinta eli joukko {x X x = 1}? 7.8 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja A,B X. Onko X:ssä välttämättä pistettä x siten, että d(x,a) = d(x,b)? Entä jos oletetaan, että X on yhtenäinen? Bonustehtävä. Olkoon (X, d) kompakti metrinen avaruus. Osoita, että on olemassa X:n jono (x n ) siten, että sen kasautumisarvojen joukko on koko avaruus X. Anna esimerkki, joka osoittaa, että kompaktisuusoletus on tässä välttämätön. 19