Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi

Transkriptio

1 Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6

2

3 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa luennoimiini integraalimuunnosten ja kompleksianalyysin kursseihin. Moniste sisältää myös aikaisempien Integraalimuunnokset I & II-kurssien luentomateriaalin. Sisältö on jaettu kahteen osaalueeseen niin, että monisteen alkuosa käsittelee integraalimuunnosten tarvitsemia kompleksianalyysin apuvälineitä ja loppuosa varsinaisia integraalimuunnoksia. Esitän kiitokseni H.L. Wietsma:lle (Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden yksikkö), joka on suorittanut tekstin puhtaaksikirjoituksen LaTeX-muotoon ja piirtänyt eräisiin esimerkkeihin liittyvät kuvat. Vaasassa 3. elokuuta 6 Seppo Hassi

4

5 v Sisällysluettelo Esipuhe Sisällysluettelo iii v Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista. Peruskäsitteitä trigonometrisista funktioista kertausta Kompleksiluvut Eräitä kompleksifunktioita Jatkuvuus ja derivoituvuus Kompleksinen integrointi 9. Käyräintegraali kompleksitasossa Cauchy n integraalilause ja integraalikaava Sarjakehitelmistä kompleksialueessa 5 3. Potenssisarjat kompleksialueessa Laurentin sarja Residy lause Residyn laskeminen m-kertaisessa navassa Residy-lauseen sovelluksia Rationaalifunktion epäoleellinen integraali Laplace-muunnos Laplace-muunnoksen määritelmä Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Laplace-muunnos Integraalin Laplace-muunnos Laplace-muunnoksen derivaatta ja integraali Jaksollisen funktion Laplace-muunnos Konvoluution Laplace-muunnos Raja-arvo-ominaisuuksia Laplace-käänteismuunnos ja yhteys Fourier-muunnokseen Laplace-käänteismuunnoksen laskeminen Residy-menetelmä Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Integraaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Siirtofunktio Vektori- ja sisätuloavaruudet Sisätuloavaruus

6 6 Fourier-sarjat Fourier-kertoimet Fourier-sarjan suppeneminen Kompleksiset Fourier-sarjat Fourier-muunnos Fourier-muunnoksen määritelmä ja käänteismuunnos Laplace- ja Fourier-muunnoksen välinen yhteys Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Fourier-muunnos Konvoluutio Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia Sovellus differentiaaliyhtälöihin Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Z-muunnos 9 8. Z-muunnos ja sen käänteismuunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Z-muunnoksella A Fourier-Muunnoskaavoja 99 A. Fourier-sarja A. Fourier-muunnos A.3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) B Laplace-Muunnoskaavoja 3 C Z-Muunnoskaavoja 5 D Kompleksi analyysi 7 Kirjallisuus 9

7 Luku : Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista. Peruskäsitteitä trigonometrisista funktioista kertausta Seuraavat sini- ja kosini-funktioiden laskukaavat tulevat usein käyttöön: Sinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat Kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) sin(x y) = sin(x) cos(y) cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) cos(x y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) yhteys: sin( π x) = cos(x) ja cos( π x) = sin(x). Sinien summaa ja erotusta koskevat kaavat sin(x) + sin(y) = sin( x + y sin(x) sin(y) = cos( x + y Kosinien summaa ja erotusta koskevat kaavat Peruskaava: sin (x) + cos (x) =. cos(x) + cos(y) = cos( x + y cos(x) cos(y) = sin( x + y Määritelmä... Funktio f on parillinen, jos ) cos( x y ) ) sin( x y ) ) cos( x y ) ) sin( x y ) f( x) = f(x), x M f ja funktio f on pariton, jos f( x) = f(x), x M f. Parillisen reaalifunktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, parittoman reaalifunktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Esimerkki... cos(x) on parillinen funktio. Vastaavasti sin(x), tan(x) ja cot(x) ovat parittomia funktioita. Funktiota f sanotaan jaksolliseksi, jos a s.e. x M f pätee f(x + a) = f(x). Vakiota a sanotaan tällöin f:n jaksoksi. Pienintä positiivista jaksoa kutsutaan funktion perusjaksoksi; usein jaksona ilmoitetaan juuri funktion perusjakso. Esimerkki..3. Funktiot sin(x) ja cos(x) ovat π-jaksollisia, kun taas funktiot tan(x) ja cot(x) ovat π-jaksollisia.. Kompleksiluvut Kompleksilukujen joukko C muodostuu luvuista z = x + iy, missä x, y R ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee i =. Kompleksiluvut voidaan ajatella reaalilukupareina (x, y) ja havainnollistaa vektoreina kompleksitasossa, jolloin erityisesti i = (, ). Luvun z = x + iy C reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. iy 4i z = 6 + 4i y = IM(z) i 6 x = RE(z) x Kuva.: Piste z = 6 + 4i kompleksitason vektorina. Laskutoimitukset. Kompleksiluvuille voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku. Kompleksilukujen z = x + iy ja z = x + iy summa on ja tulo on z + z = (x + x ) + i(y + y ) z z = (x x y y ) + i(x y + x y ). Yhteenlaskulla on seuraavat ominaisuudet: (i) (liitännäisyys) (z + z ) + z 3 = z + (z + z 3 ); (ii) (vaihdannaisuus) z + z = z + z ; (iii) on olemassa nolla-alkio = + i C, jolle pätee: z + = z, z C; (iv) jokaisella z = x + iy C on olemassa vasta-alkio z = x + i( y) = x iy ts. z + ( z) =. Kertolaskulla on ominaisuudet:

9 .. Kompleksiluvut 3 (i) (liitännäisyys) (z z ) z 3 = z (z z 3 ); (ii) (vaihdannaisuus) z z = z z ; (iii) (osittelulaki) z (z + z 3 ) = z z + z z 3 ; (iv) on olemassa ykkösalkio = + i C, jolle pätee: z = z, z C; (v) jokaiselle z on olemassa käänteisluku z = z, jolle pätee z z =. Itse asiassa, jos z = x + iy C, niin z = x x + y i y x + y. iy z3 = zz 3 ) =( +( ) + 3 i iy 6i z + z = + 6i z = + i 4i z = 6 + 4i z = 4 + i i i z = 3 + i i x z = 3 4 i 4 x z = 6 4i 4i i (a) Yhteenlasku (b) Kertolasku Kuva.: Yhteen- ja kertolasku. Kompleksiluvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti on z = x iy. Liittoluvulla on ominaisuudet (i) (z) = z; (ii) z + z = z + z ; (iii) z z = z z ; (iv) ( z z ) = z z.

10 4 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista iy z = + 3i 3i i z = 3 + i i 3 x i i z = 3 i 3i z = 3i Kuva.3: Liittoluku. Liittoluvun avulla z = x + iy:n reaali- ja imaginaariosa saadaan seuraavasti x = Re z = (z + z) ja y = Im z = (z z). i Kompleksiluku voidaan esittää napakoorinaattien avulla muodossa z = x + iy = r(cos φ + i sin φ). Pituutta r = z sanotaan kompleksiluvun z moduliksi ja kulmaa φ = arg z sen argumentiksi. Näille pätee z = x + y = zz ; { arctan y φ = arg z = x, Re x ; ±π + arctan y x, Re x <. Vaihtoehtoisesti cos φ = x x + y, sin φ = y x + y. Moduli on ei-negatiivinen reaaliluku ja argumentti puolestaan on π:n monikerran tarkkuudella määritelty reaaliluku, kun z. Usein argumentti rajataan välille arg z < π tai välille π < arg z π.

11 .. Kompleksiluvut 5 iy iy z z r = z = zz y = IM(z) ϕ = arg(z) x x x = RE(z) (a) Karteesiset koordinaatit (x, y) (b) Napakoordinaatit (r, φ) Kuva.4: Karteesinen- ja napakoordinaattiesitys. Esimerkki... Liittoluku napakoordinaateissa: z = x iy = r cos φ ir sin φ = r (cos( φ) + i sin( φ)). Erityisesti z = r = z ja arg(z) = φ = arg(z). Kompleksilukujen summaa z +z vastaa kompleksitasossa vektoriyhteenlaskua, vrt. Kuva.(a). Kompleksilukujen tuloa z z voi puolestaan havainnollistaa kompleksitasossa napakoordinaattiesityksen avulla. Asian selvittämiseksi tarkastellaan tulon z z napakoordinaattiesitystä. Tulo ja osamäärä napakoordinaateissa: Esitetään kompleksiluvut z ja z napakoordinaateissa: z = r (cos φ + i sin φ ) z = r (cos φ + i sin φ ). Tällöin tulolle z z saadaan napakoordinaattiesitys z z = r (cos φ + i sin φ ) r (cos φ + i sin φ ) = r r ( cos(φ ) cos(φ ) sin(φ ) sin(φ ) + i (cos(φ ) sin(φ ) + sin(φ ) cos(φ )) ) = r r ( cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ ) ), missä viimeinen yhtälö seuraa sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista (kts. Luku.). Niinpä z z = r r = z z arg(z z ) = φ + φ = arg z + arg z.

12 6 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista iy z z r r r z i r z ϕ ϕ ϕ + ϕ x Kuva.5: Tulo z z napakoordinaateissa. Osamäärän napakoordinaattiesitys: Kun z, niin z = z z = r (cos(φ ) + i sin(φ )) r (cos( φ ) + i sin( φ )) z z z r = r (cos(φ φ ) + i sin(φ φ )), r joten z z = r = z r z ja arg ( z z ) = arg(z ) arg(z ). Esimerkki... Lasketaan luvun z = ja argumentti. i +i reaali- ja imaginaariosa sekä moduli 3 i i + i 3 = i( i 3) ( + i 3)( i 3) = i = i. Siten Re z = 3/4 ja Im z = /4. Toisaalta z :n moduli on z = i + i 3 = i + i 3 = + ( = 3) ja argumentti on ( ) i arg z = arg + i = arg(i) arg( + i 3) = π 3 arctan 3 = π π 3 = π 6. Siis z = i = ( cos π 6 + i sin π ). 6

13 .. Kompleksiluvut 7 iy z = + i 3 z = i z = z = 3 z i π 6 x Kuva.6: Osamäärä z = z z napakoordinaateissa. Modulilla on tärkeä geometrinen ominaisuus. Moduli määrää normin (vrt. Mat.Menet. II) kompleksilukujen joukossa, ts. sillä on seuraavat kolme ominaisuutta: (i) z, z C ja z = z = ; (ii) az = a z, a R ja z C; (iii) (Kolmioepäyhtälö) z + z z + z, z, z C. Esimerkki..3. Olkoot z = + i ja z = 3i. Tällöin z z = ( + i)(3i) = 6 6i, z + i ( + i)( 3i) = = = + i = z 3i 3i ( 3i) i 3, z z = ( 6) + ( 6) = 6 = 8 3 = ( ) + ( 3) = z z, arg(z ) = 3π 4, arg(z ) = π, arg(z z ) = 3π 4 = 5π 4 π = arg(z ) + arg(z ) π, ( ) z arg = π 4 = arg(z ) arg(z ). z Tulon modulin ja argumentin kaavat yleistyvät n:n luvun tulolle. Jos z = z z... z n, niin z = z z z n ja arg(z) = n arg(z i ). i= Jos tässä valitaan z = z =... = z n, saadaan ns. de Moivre n kaava: z n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ)).

14 8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Jos erityisesti z =, niin z n = cos(nφ) + i sin(nφ). Napakoordinaattiesitys on hyödyllinen myös ratkaistaessa polynomiyhtälöitä. Tarkastellaan erikoistapausta z n = w, jolloin z = n w; ts. on etsittävä luvun w C kaikki n-juuret kompleksitasossa. Olkoot r, ρ. Tällöin joten w = r(cos(φ) + i sin(φ)) ja z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)), z n = ρ n (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cos(φ + i sin(φ)) = w, ρ = n r ja nθ = φ + kπ, (k Z) eli ρ = n r ja θ = φ n + kπ n, (k Z). Erisuuret juuret saadaan arvoilla k =,,..., n ja ratkaisuksi saadaan n kappaletta luvun w n-juuria: ( ( ) ( )) z = n φ + kπ φ + kπ r cos + i sin, k =,,..., n. n n Kun w =, nähdään, että juuret n w sijaitsevat kompleksitason yksikköympyrän kehällä ja määräävät tasasivuisen n-monikulmion, jonka kärjet ovat pisteissä ( ) ( ) n kπ kπ = cos + i sin, k =,,..., n. n n iy iy iy x x x (a) juuret 3 (b) juuret 4 (c) juuret 5 Kuva.7: Luvun z = n erisuurta n-juurta n arvoilla n = 3, 4, 5. Kompleksilukujen eräänä tärkeänä ominaisuutena on, että jokaisella (reaali- tai kompleksikertoimisella) n:n asteen (n > ) polynomilla on täsmälleen n kappaletta juuria kompleksilukujen joukossa monikerrat huomioiden. [Algebran peruslause.]

15 .3. Eräitä kompleksifunktioita 9.3 Eräitä kompleksifunktioita Eksponenttifunktio kompleksitasossa määritellään kaavalla (.) e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Kuva.8(b) havainnollistaa funktion z e z määritelmää kompleksitason kuvauksena. Kun z = Re z = x, saadaan tavallinen reaaliakselilla määritelty eksponenttifunktio. Kun z = iy, saadaan e iy = cos y + i sin y. (Eulerin kaava) Kun z esitetään napakoordinaateissa z = z (cos φ + i sin φ), saadaan jokaiselle kompleksiluvulle z seuraava esitys eksponenttifunktion avulla (.) z = z e iφ = e ln z e iφ = e ln z +iφ, z >. Esimerkkejä: e πi = e =, e ±πi =, e πi = i ja e πi = i. Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoista seuraa e iy e iy = (cos(y ) + i sin(y )) (cos(y ) + i sin(y )) = (cos(y ) cos(y ) sin(y ) sin(y )) + i (sin(y ) cos(y ) + cos(y ) sin(y )) = cos(y + y ) + i sin(y + y ) = e i(y +y ). Tämän nojalla e z toteuttaa myös kompleksitasossa kaavan e z +z = e (x +x )+i(y +y ) = e (x +x ) e i(y +y ) = e x e x e iy e iy = e x +iy e x +iy = e z e z. Sini- ja kosinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että e z on πi-jaksollinen funktio, e z+πi = e z, z C. Siten e z saavuttaa kaikki arvonsa jo jaksovyössä π < y π, x R; kts. Kuva.8(c). Huom. Selvästi e z z C, sillä e z = e Re z = e x > x R. Toisaalta kaavan (.) nojalla kaikki arvot z C \ {} kuuluvat e z :n arvojoukkoon. Huom. Eksponenttifunktion määritelmästä (.) nähdään, että e z = e x e iy kompleksitason pisteessä z = x + iy määräytyy olennaisesti sen arvoista imaginaariakselilla z = iy eli Eulerin kaavasta. Palautetaan mieleen reaaliakselilla määriteltyjen funktioiden e x, sin x ja cos x Taylor-sarjakehitelmät: e x x n = n!, sin x = ( ) k x k+ (k + )!, cos x = ( ) k xk (k)!. n= k= Korvaamalla e x :n Taylor-sarjakehitelmässä luku x imaginaariluvulla iy ja huomioimalla, että y n, n = 4k (iy) n iy = n, n = 4k + y n, n = 4k + iy n, n = 4k + 3 k=

16 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista todetaan, että e iy (iy) n = n! n= = k= ( ) k xk (k)! + i( ( ) k x k+ ) = cos y + i sin y, (k + )! k= mikä osaltaan selittää e z :n määritelmän (.) ja Eulerin kaavan sisällön. Trigonometriset funktiot kompleksitasossa. Eulerin kaavoista saadaan e iy = cos y + i sin y ja e iy = cos y i sin y, y R cos y = eiy + e iy ja sin y = eiy e iy, y R. i Sini- ja kosinifunktiot määritellään koko kompleksitasossa eksponenttifunktion avulla vastaavasti: (.3) cos z = eiz + e iz Samalla Eulerin kaava yleistyy koko kompleksitasoon ja sin z = eiz e iz, z C. i e iz = cos z + i sin z, z C. Tangentti- ja kotangenttifunktiot voidaan nyt määritellä kaavoilla tan z = sin z cos z ja cot z = cos z sin z, kun cos z ja vastaavasti sin z. Logaritmifunktio kompleksitasossa: Kun eksponenttifunktio rajoitetaan jaksovyöhön π < y π, x R, niin se on injektiivinen ja arvojoukkona on C \ {}. Luonnollisen logaritmin ln z ns. päähaara kompleksitasossa (z ) määritellään e z :n yo. rajoittuman käänteisfunktiona. Olkoon ln z = w = u + iv ja z = re iφ. Tällöin joten e u = r = z ja v = φ = arg z. Siten z = e w = e u e iv, ln z = ln z + i arg(z), π < arg z π eli Re (ln z) = ln z ja Im (ln z) = arg z. Muut ln z:n haarat saadaan sen päähaarasta πi-monikertoina: Lnz = ln z + kπi, k Z. Määritelmästä ja eksponenttifunktion ominaisuuksista seuraa ( ) z ln(z z ) = ln z + ln z ja ln = ln z ln z. z

17 .3. Eräitä kompleksifunktioita Huom. Funktio ln z on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla (, ]. Yleinen potenssi- ja eksponenttifunktio kompleksitasossa: Yleinen pontenssifunktio z c, missä myös potenssi c voi olla kompleksiluku voidaan määritellä logaritmifunktion avulla: Esimerkki: z c = e c ln z z c = e clnz (päähaara), (muut haarat). i i = e i ln i = e i(ln i +i arg i) = e i(ln +i π ) = e π R. Vaihtamalla määritelmässä z:n ja c:n roolit saadaan määriteltyä myös eksponenttifunktio kantalukuna a C: a z = e z ln a. Huom. sin z ja cos z ovat myös kompleksitasossa π-jaksollisia, koska e z on πijaksollinen: sin(z + πk) = (e i(z+πk) e i(z+πk)) i = ( e iz e iz) = sin z, (k Z). i Vastaavasti cos(z + πk) = cos z, z C. Sen sijaan ne eivät ole rajoitettuja kuvauksia C:ssä. Valitsemalla z = iy todetaan, että cos iy = ( ) e iy + e i y = ( e y + e y), joten imaginaariakselilla kosinifunktio kasvaa rajatta: lim y ± cos iy = +. Esimerkki.3.. Etsitään yhtälön cos z = 5 kaikki ratkaisut. Määritelmän nojalla yhtälö saa muodon ( e iz + e iz) = 5 ( e iz) + e iz e iz = e iz ( e iz) e iz + = e iz = ± 4 = 5 ± 4. Toisaalta e iz = e i(x+iy) = e y+ix, joten { y = ln(5 ± 4) x = arg ( e iz) = arg(5 ± 4) = πk, k Z. Niinpä yhtälöllä on äärettömän monta eri ratkaisua kompleksitasossa: z = πk i ln(5 ± 4), k Z.

18 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Hyperboliset funktiot. Hyperboliset funktiot sinh x ja cosh x määritellään reaalialueessa seuraavilla kaavoilla sinh x = (ex e x ), x R, cosh x = (ex + e x ), x R, ja edelleen hyperboliset funktiot tanh x ja coth x reaalialueessa vastaavasti kaavoilla tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x, x R, + e x coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x, x R \ {}. e x Suoralla laskulla todetaan, että sinh( x) = sinh x ja cosh( x) = cosh x. Niinpä sinh x on pariton ja cosh x parillinen funktio, ja siten funktiot tanh x ja coth x ovat parittomia. [Hahmottele niiden kuvaajat.] Seuraava kaava antaa erään yhteyden funktioiden sinh x ja cosh x välillä: (.4) cosh x sinh x =. Hyperbolisten funktioiden määritelmät yleistyvät sellaisenaan myös kompleksimuuttujalle z C: sinh z = (ez e z ), cosh z = (ez + e z ), tanh z = sinh z cosh z, cosh z coth z = sinh z. Huomioimalla kompleksisten trigonometristen funktioiden sin z ja cos z määritelmät kaavoissa (.3) todetaan, että kompleksialueessa hyperbolisilla funktioilla on yhteys trigonometrisiin funktioihin: cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z tai yhtäpitävästi cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z.

19 .3. Eräitä kompleksifunktioita 3 iy f(z) = z iy ϕ x ϕ x (a) neliöön korotus iy d π f(z) = e z iy c a x b d c e a e b x (b) suorakaiteen kuva kuvauksessa z e z iy π f(z) = e z iy i x x π i (c) jaksovyön osien kuvautuminen kuvauksessa z e z Kuva.8: Alueiden kuvautuminen neliöinnin ja eksponenttifunktion tapauksissa.

20 4 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista.4 Jatkuvuus ja derivoituvuus Koska kompleksiluvun moduli z määrää normin, joka yhtyy kompleksitasoon piirretyn vektorin z = x + iy pituuteen, yhtyy kompleksitason topologia R :n topologiaan. Siten, esim. pisteen z C ε-säteinen (avoin) palloympäristö on joukko B ε (z ) = {z C : z z < ε}. Kompleksitasossa funktion raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät ja niiden sisältö on sama kuin kahden muutujan vektorifunktioilla R R. Niinpä funktio f : M f C on jatkuva pisteessä z M f C, jos lim z z f(z) = f(z ), z M f, ts. ε > δ ε > : z z < δ ε (z M f ) f(z) f(z ) < ε. Derivaatta: Toisin kuin tavallisessa xy-tasossa R kompleksiluvuille on määritelty kertolasku ja siten myös osamäärä. Tämä mahdollistaa derivaatan määritelmän kompleksifunktioille yhden muuttujan reaalifunktioiden tapaan, suoraan erotusosamäärän raja-arvona. Jos raja-arvo f (z ) := lim z z f(z) f(z ) z z on olemassa sanotaan, että f on derivoituva (differentioituva) pisteessä z ja että raja-arvo f (z ) on f:n derivaatta pisteessä z C. Huomaa, että määritelmässä z z kompleksitasossa. Ko. raja-arvo ei saa siten riippua suunnasta tai tavasta, jolla z z. Esimerkki.4.. Olkoon f(z) = z. Tällöin Siis f (z ) = z, z C. f(z) f(z ) z z lim = lim z z z z z z z z Derivaatalla on seuraavat tavanomaiset ominaisuudet: (i) (cf) (z) = cf (z), c C; (ii) (f + g) (z) = f (z) + g (z); (iii) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z); = lim z z z + z = z. (iv) ( ) f(z) g(z) = f (z)g(z) f(z)g (z). g(z) Kompleksifunktion derivoituvuus muistuttaa vektorifunktioiden differentioituvuutta (vrt. funktion f : R R approksimointi tangenttitasolla), joka on luonteeltaan voimakkaampi vaatimus kuin osittaisderivaattojen olemassaolo. Useat yksinkertaisetkaan kompleksimuuttujan funktiot eivät välttämättä ole derivoituvia.

21 .4. Jatkuvuus ja derivoituvuus 5 Esimerkki.4.. (Kompleksikonjugaatti) Olkoon f(z) = z = x iy, z = x + iy C. Funktio f ei ole derivoituva millään z C. Tarkastellaan funktion f erotusosamäärää pisteessä z C: f(z) f(z ) z z = z z z z = (x x ) i(y y ) (x x ) + i(y y ). Jos y = y, niin ja jos x = x, niin f(z) f(z ) x x lim = lim =, z z z z z z x x f(z) f(z ) lim = lim y y =. z z z z z z y y Niinpä f:n erotusosamäärällä ei ole raja-arvoa missään pisteessä z C, ts. f (z ) ei ole olemassa. Kompleksifunktiota f(z) sanotaan analyyttiseksi alueessa A C (tässä alue = avoin yhtenäinen joukko C:ssä ), jos se on derivoituva z A. Funktiota f(z) sanotaan analyyttiseksi pisteessä z C, jos se on analyyttinen jossakin pisteen z ε-ympäristössä. Esim. Polynomit P (z) = c n z n +c n z n +... c z +c, c i C, ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa C. Samoin rationaalifunktiot P (z)/q(z), missä P (z) ja Q(z) ovat polynomeja, ovat analyyttisiä nimittäjän nollakohtia (q(z) = ) lukuunottamatta. Cauchy-Riemannin yhtälöt. Olkoon f kompleksifunktio ja merkitään z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), missä u = Re f ja v = Im f. Jos f on derivoituva, niin se on myös jatkuva (vektorifunktiona) ja tällöin myös reaaliarvoiset komponenttikuvaukset u(x, y) ja v(x, y) ovat jatkuvia kahden muuttujan x ja y funktioina. Voimme myös tutkia u:n ja v:n osittaisderivaattojen u x = x u, u y = y u, v x = x v ja v y = y v olemassaoloa. Osoittautuu, että f:n analyyttisyys voidaan karakterisoida u:n ja v:n osittaisderivaattoihin liittyvien Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla. Olkoon f = u + iv määritelty pisteen z ympäristössä ja oletetaan, että f on derivoituva pisteessä z = x + iy. Tarkastellaan erotusosamäärän raja-arvoa, kun z z : f(z) f(z ) = u(x, y) u(x, y ) + i v(x, y) v(x, y ). z z z z z z

22 6 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Kun valitaan y = y, nähdään (pitämällä f:ää vektorifunktiona), että seuraavat raja-arvot ovat olemassa ja että (.5) ( u(x, y) f u(x, y ) (z ) = lim + i v(x, y) v(x ), y ) = u x (x, y )+iv x (x, y ). z z,y=y x x x x Vastaavasti, kun x = x päädytään raja-arvoyhtälöön (.6) ( u(x, y) f u(x, y ) (z ) = lim + i v(x, y) v(x ), y ) = iu y (x, y )+v y (x, y ). z z,x=x i(y y ) i(y y ) Kohdista (.5) ja (.6) nähdään, että { ux (x, y ) = v y (x, y ), u y (x, y ) = v x (x, y ). Siis f toteuttaa z :ssa ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt: { ux = v y, u y = v x. Funktion derivoituvuus kompleksimuuttujan suhteen on yhtäpitävää differentioituvuuden kanssa, mikä nähdään seuraavasta differentiaalikehitelmästä: (.7) f(z + λ) f(z ) = cλ + λ ε(λ), missä ε(λ), kun λ. Tällöin c = f (z )( C). Perustelu on sama kuin yhden muuttujan reaalifunktioiden tapauksessa (vrt. Mat. menet. I). Nyt seuraukset ovat kuitenkin voimakkaampia, nimittäin funktiot u(x, y) ja v(x, y) ovat myös differentioituvia kahden muuttujan funktioina (vrt. Mat. menet. II). Huomioimalla lisäksi Cauchy-Riemannin yhtälöt saadaan funktion derivoituvuudelle kompleksimuuttujan suhteen seuraava karakterisaatio. Lause.4.3. Funktio f(z) = u(x, y) + iv(x, y) on derivoituva pisteessä z = x + iy C, jos ja vain jos komponenttikuvaukset u(x, y) ja v(x, y) ovat differentioituvia pisteessä (x, y ) ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt { ux = v y, u y = v x. Todistus. Oletetaan ensin, että f on derivoituva pisteessä z. Merkitään λ = h + ik ja f (z ) = a + ib( C). Differentiaalikehitelmästä (.7) nähdään, että kun λ, niin u(x + h, y + k) u(x, y ) = Re ( f (z )λ + λε(λ) ) = ah bk + Re (λε(λ)) = ah bk + λ ε (λ),

23 .4. Jatkuvuus ja derivoituvuus 7 missä Vastaavasti, kun λ, lim ε Re (λε(λ)) (λ) = lim =. λ λ λ missä v(x + h, y + k) v(x, y ) = Im ( f (z )λ + λε(λ) ) = bh + ak + λ ε (λ), lim ε Im (λε(λ)) (λ) = lim =. λ λ λ Siten u ja v ovat differentioituvia pisteessä (x, y ) ja { ux (x, y ) = a, u y (x, y ) = b; v x (x, y ) = b, v y (x, y ) = a. Oletetaan kääntäen, että u ja v ovat differentioituvia (x, y ):ssä ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt. Tällöin { u(x + h, y + k) u(x, y ) = u x (x, y )h + u y (x, y )k + λ ε (λ); v(x + h, y + k) v(x, y ) = v x (x, y )h + u v (x, y )k + λ ε (λ), missä ε (λ) and ε (λ) kun λ. Siten f(z + λ) f(z ) = (u x (x, y ) + iv x (x, y )) h + (u y (x, y ) + iv y (x, y )) k + λ (ε (λ) + iε (λ)). Tässä λ (ε (λ) + iε (λ)) = λε(λ), missä ε(λ), kun λ. Cauchy-Riemannin yhtälöt nähdään, että Huomioimalla f(z + λ) f(z ) = u x (x, y )(h + ik) + iv x (x, y )(h + ik) + λε(λ) = (u x (x, y ) + iv x (x, y )) λ + λε(λ). Siis f on derivoituva pisteessä z ja f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = v y (x, y ) iu y (x, y ). C. Seuraava tulos antaa riittävän ehdon funktion f derivoituvuudelle pisteessä z Lause.4.4. Jos reaaliarvoisilla funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on jatkuvat. kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä (x, y ) ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt pisteessä (x, y ), niin funktio f(z) = u(x, y) + iv(x, y) on derivoituva pisteessä z = x + iy. Lisäksi f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = v y (x, y ) iu y (x, y ).

24 8 Chapter. Kompleksiluvuista ja kompleksifunktioista Todistus. Osittaisderivaattojen jatkuvuus takaa funktioiden u ja v differentioituvuuden (x, y ):ssä (vrt. Mat. menet. II-kurssi). Tämän perusteella väite saadaan Lauseesta.4.3. Esimerkki.4.5. f(z) = z = x iy. Nyt u(x, y) = x, v(x, y) = y ja edelleen u x =, u y =, v x =, v y =. Siten u x v y. Lause.4.6. Jos f = u + iv on analyyttinen alueessa A C, niin u = Re f ja v = Im f toteuttavat Laplace-yhtälön: u = u xx + u yy =, v = v xx + v yy =. Todistus. (IDEA) Funktion f analyyttisyydestä seuraa, että myös sen derivaatta f on analyyttinen f (n) on analyyttinen (tämä perustellaan myöhemmin). Derivoimalla Cauchy-Riemannin yhtälöt saadaan (.8) { uxx = v yx, u xy = v yy ; u yx = v xx, u yy = v xy. Koska f (n) on analyyttinen, komponenttikuvauksilla u ja v on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Tämän nojalla u xy = u yx ja v xy = v yx (vrt. Mat. menet. II-kurssi). Niinpä yhtälöistä (.8) nähdään, että u xx +u yy = ja v xx +v yy =. Esimerkki.4.7. (i) f(z) = e z, f (z) = e z ; (ii) f(z) = sin z, f (z) = cos z; (iii) f(z) = cos z, f (z) = sin z; (iv) f(z) = tan z, f (z) = / cos z; (v) f(z) = cot z, f (z) = / sin z; (vi) f(z) = ln z, f (z) = z, kun z C \ (, ]. Esimerkki.4.8. Myös hyperbolisten funktioiden derivaatat on helppo johtaa normaalien derivointisääntöjen avulla huomioimalla kaava (.4) sekä peruskaava D(e z ) = e z : (i) f(z) = sinh z, f (z) = cosh z; (ii) f(z) = cosh z, f (z) = sinh z; (iii) f(z) = tanh z, f (z) = / cosh z; (iv) f(z) = coth z, f (z) = / sinh z.

25 9 Luku : Kompleksinen integrointi. Käyräintegraali kompleksitasossa Kompleksifunktioille voidaan määritellä käyräintegraali samaan tapaan kuin usean muuttujan reaalifunktioille. Olkoon C paloittain sileä käyrä kompleksitasossa, t.s. sillä on parametriesitys [a, b] C, t z(t), joka on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrin t suhteen. Ositetaan väli [a, b] R jakopisteillä a = t,t,..., t n = b, jolloin pisteet z k = z(t k ) jakavat C:n osakäyriin. Valitaan kultakin C:n osakäyrältä z k :n ja z k :n välistä piste ξ k (= z(η k ), t k η k t k ). Jos summalla S d := n f(ξ k )(z k z k ) i= on raja-arvo, kun D := max k z k z k, joka ei muutoin riipu jaosta D eikä pisteiden ξ k valinnasta, sanotaan ko. raja-arvoa f:n käyräintegraaliksi pitkin (suunnistettua) käyrää C. Raja-arvon olemassaolo ilmaistaan usein sanomalla, että funktio f on integroituva yli käyrän C ja ko. raja-arvolle käytetään merkintää f(z) dz. C Kirjoittamalla f = u+iv ja z k z k = x k +i y k saadaan C f(z)dz palautettua reaalifunktioiden käyräintegraaleiksi ( n n n ) n S d = u k x k v k y k + i u k y k + v k x k k= f(z)dz = C C i= u(x, y)dx C i= ( v(x, y)dy + i i= C u(x, y)dy + C ) v(x, y)dx. Kirjoittamalla { f(z) = u(x, y) + iv(x, y); dz = dx + idy voidaan tämä yhteys nähdä myös laskemalla symbolisesti: f(z)dz = (u(x, y) + iv(x, y)) (dx + idy) C C ( ) = u(x, y)dx v(x, y)dy + iu(x, y)dy + iv(x, y)dx C = (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i (u(x, y)dy + v(x, y)dx). C C

26 Chapter. Kompleksinen integrointi Jos f on jatkuva, niin f on integroituva yli käyrän C ja käyräintegraali voidaan laskea määrättynä integraalina käyttämällä apuna C:n parametriesitystä t z(t) (vrt. Mat. menet. I ja II-kurssit): b f(z) dz = f(z(t))z (t) dt. C a Integraalifunktio ja yhteys käyräintegraaliin. Kuten reaalifunktioiden tapauksessa funktiota F, jolla on ominaisuus F (z) = f(z) sanotaan funktion f integraalifunktioksi. Integraalifunktio on kompleksista vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätty. Todettakoon, että integraalifunktion olemassaolo muistuttaa vektorifunktion potentiaalin olemassa ja sen ominaisuudetkin ovat samankaltaiset (vrt. Usean muuttujan analyysin kurssi). Lause... Jos f:llä on integraalifunktio F, niin f(z) dz = F (z ) F (z ), missä z on käyrän C alkupiste ja z C:n päätepiste. Todistus. C f(z)dz = b a C f(z(t))z (t)dt = b a (F z) (t)dt = [F z] b a = (F z)(b) (F z)(a) = F (z ) F (z ). Tämä osoittaa, että jos f:llä on integraalifunktio, niin sen käyräintegraalit eivät riipu pisteitä z ja z yhdistävän polun valinnasta. Myös käänteinen väite pätee: Lause... Olkoon f : A C jatkuva alueessa A C. Tällöin funktiolla f on integraalifunktio alueessa A, jos ja vain jos kaikille umpinaisille paloittain säännöllisille käyrille C A on voimassa f(z) dz =. C Tämän lauseen käänteinen väite voidaan todistaa samalla tavalla kuin Mat. menet. II-kurssilla vastaava tulos. Esimerkki..3. Lasketaan C z z dz pitkin ympyrän, jonka keskipisteenä on z ja säteenä, kehää suunnistettuna vastapäivään. Valitaan C:lle parametriesitys z(t) = z + cos t + i sin t = z + e it, t π. Tällöin z (t) = ie it ja C z z dz = π π e it ieit dt = i dt = πi. Huomaa, että (ln(z z )) = z z, kun z z / (, ], mutta ln(z z ) on epäjatkuva arvoilla z z (, ]. Erityisesti funktiolla f(z) = z (z = ) ei ole integraalifunkiota alueessa, joka sisältää origon.

27 .. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava Integraalifunktion olemassaoloa on helpointa tarkastella alueessa A, joka on yhdesti yhtenäinen: jokaisen A:n umpinaisen käyrän C rajoittaman C:n osajoukon pisteet kuuluvat joukkoon A. Tämä tarkoittaa, että A:ssa ei voi olla reikiä. (Piirrä kuva.) Käyrää C sanotaan säännölliseksi (ja sileäksi), jos se ei leikkaa itseään eikä siinä ole kulmia (ts. käyrällä on tangentti kaikissa pisteissä). Tällaisen käyrän parametriesitys z(t) : [a, b] C on säännöllinen, jos z(t) on injektiivinen ja sen derivaatta z (t) on olemassa ja jatkuva, sekä lisäksi z (z). Käyrä C on paloittain säännöllinen, jos se voidaan jakaa äärellisen moneksi osakäyräksi, jotka ovat säännöllisiä. (Piirrä kuva.) Lause... (Cauchy n integraalilause) Jos f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A, niin jokaiselle A:n umpinaiselle paloittain säännölliselle käyrälle C pätee C f(z)dz =. Todistus. Näytämme vain kuinka väitetty tulos voidaan johtaa, kun f (z) on jatkuva. Määritelmän nojalla C f(z)dz = = (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i R ( v(x, y) x u(x, y) y (u(x, y)dy + v(x, y)dx) ( u(x, y) x ) dxdy + i R ) v(x, y) dxdy, dy missä jälkimmäinen yhtälö seuraa ns. Greenin lauseesta, joka todistetaan Matemaattiset menetelmät II-kurssilla (tässä R on käyrän C sisäpuolelle rajattu tasoalue). Huomioimalla nyt Cauchy-Riemannin yhtälöt todetaan, että molemmissa tasointegraaleissa integroitava funktio on nollafunktio, jolloin ko. tasointegraalien arvot ovat myös nollia. Seuraus... Jos f on analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A, niin f:llä on A:ssa integraalifunktio. Cauchy n integraalilauseen tulos pätee myös yleisemmille kompleksitason alueille seuraavassa muodossa. Jos f on analyyttinen alueessa, joka sisältää alueen A ja sen (paloittain säännölliset äärellisen pituiset) reunakäyrät, niin A f(z)dz =, kun alueen reuna A (aluetta rajoittavat reunakäyrät) on positiivisesti suunnistettu: kuljettaessa reunakäyrää pitkin positiiviseen suuntaan alue A jää vasemmalle. Esimerkki..3. (Vrt. Esimerkki..3.) Suoraan havaitaan, että jos C r = B r (z ) on r-säteisen ympyrän kehä keskipisteenä

28 Chapter. Kompleksinen integrointi z ja valitaan parametriesitykseksi z(t) = r(cos t + i sin t) + z = z + re it ( t π), jolloin z (t) = r ie it, niin saadaan C r z z dz = π π re it rieit dt = i dt = πi. Integraalin arvo ei siis riipu säteestä r, vaikka eri r:n arvoja vastaa eri integrointipolku C r. Soveltamalla ennen esimerkkiä mainittua tulosta, sama johtopäätös voidaan yleistää monimutkaisemmille integrointipoluille C: Olkoon C säännöllinen umpinainen käyrä, joka kulkee kerran pisteen z C ympäri suunnistettuna vastapäivään ja olkoon B r (z ) sellaisen r-säteisen ympyrän kehä keskipisteenä z, myös suunnistettuna vastapäivään, joka sijaitsee käyrän C sisäpuolella. Tällöin C ja B r (z ) rajaavat kompleksitasossa alueen A, jonka reunakäyrinä ne ovat. (Piirrä kuva.) Vaihtamalla käyrän B r (z ) suunnistus vastakkaiseksi (eli kulku myötäpäivään), tulevat molemmat A:n reunakäyrät positiivisesti suunnistetuiksi. Tämän nojalla = A f(z)dz = C f(z)dz + f(z)dz = f(z)dz f(z)dz, B r(z ) C B r(z ) kun f on analyyttinen joukon A sisältävässä alueessa. Erityisesti, kun f(z) = z z, pätee C dz = z z B r(z ) dz z z = πi. Niinpä integraalin arvo ei edelleenkään riipu yo. integrointikäyrästä C. Esimerkin tulos voidaan yleistää seuraavasti. Lause..4. (Cauchy n integraalikaava) Olkoot f analyyttinen alueessa A, z mielivaltainen A:n piste sekä C säännöllinen umpinainen kerran z :n ympäri kulkeva vastapäivään suunnistettu käyrä, jonka rajaama alue kuuluu A:han. Tällöin f(z ) = πi C f(z) z z dz. Todistus. Kirjoitetaan f(z) = f(z ) + (f(z) f(z )). Tällöin C f(z) dz = f(z ) z z dz C z z }{{ } =πi + C f(z) f(z ) dz. z z Toisaalta C voidaan korvata z -keskisellä r-säteisellä ympyrällä; valitaan z(t) = re it + z, t π. Funktio f on derivoituvana jatkuva pisteessä z, joten ɛ > r > s.e. f(z) f(z ) < ɛ, kun z z r.

29 .. Cauchy n integraalilause ja integraalikaava 3 Koska z (t) = ire it ja z (t) = r, saadaan nyt arvio f(z) f(z ) dz z z = f(z) f(z ) dz z z = C B r (z ) π f(z(t)) f(z ) z(t) z }{{} =r Tässä ɛ > oli mielivaltainen. Niinpä C Esimerkki..5. C π z (t) dt = }{{} =r f(z(t)) f(z ) z (t)dt z(t) z π f(z) f(z ) z z dz =. e z z dz = πiez z= = πie ( 46, 4i). Cauchy n integraalikaava antaa myös esityksen derivaatalla f (z ). Seuraus..6. (Derivaatan esitys) Lauseen..4 oletuksin pätee f (z ) = πi C f(z) (z z ) dz. f(z(t)) f(z ) < πɛ. }{{} <ɛ Todistus. Soveltamalla Cauchy n integraalikaava pisteissä z ja z + λ saadaan f(z ) = f(z) dz πi z z ja f(z + λ) = πi C C f(z) z (z + λ) dz. Vähentämällä nämä esitykset puolittain nähdään, että f(z + λ) f(z ) (.) = f(z) λ πi (z z λ)(z z ) dz. C Siten f (z ) = lim λ πi C f(z) (z z λ)(z z ) dz = πi C f(z) (z z ) dz. Tässä raja-arvon λ ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa (perustelu sivuutetaan), mistä väite seuraa. Saatu esitys f (z ):lle osoittaa, että f (z ) on jatkuva. Itse asiassa vastaava päättely käyttämällä f (z ):n esitystä osoittaa, että f (z) on derivoituva ja f (z ) = πi C f(z) (z z ) 3 dz.

30 4 Chapter. Kompleksinen integrointi Niinpä f:llä on kaikkien kertalukujen derivaatat ja f (n) (z ) = n! f(z) dz. πi (z z ) n+ C Huom. f (n) (z ):n esitys saadaan derivoimalla Cauchy n integraalikaava n kertaa z :n suhteen (tässä z :n ja :n järjestyksen saa vaihtaa). Analyyttisen funktion kaikkien kertalukujen derivaatat ovat siis analyyttisiä. Tästä seuraa, että Cauchy n integraalilause voidaan kääntää. Seuraus..7. (Moreran lause) Olkoon A ja C kuten Cauchy n integraalilauseessa (Lause..). Jos f on jatkuva ja kaikille C pätee f(z)dz =, niin f on analyyttinen A:ssa. C Todistus. C f(z)dz =, C f:llä on integraalifunktio F (z). analyyttinen f(z) on analyytinen. F (z) on tällöin

31 5 Luku 3: Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Kompleksialueessa sarjakehitelmillä on keskeinen merkitys. Kompleksilukujen z, z,... muodostama sarja k= z k suppenee, jos osasummien jonolla n S n = k= on äärellinen raja-arvo S (= k= z k) C. Sarja k= z k on suppeneva, jos ja vain jos reaalilukusarjat ja y k, (z k = x k + iy k ) k= x k k= kumpikin ovat suppenevia. Tällöin S = z k = k= k= z k x k + i y k. Sarjaa k= z k sanotaan itseisesti suppenevaksi, jos modulien z k muodostama reaalilukusarja k= z k suppenee. Jos sarja suppenee itseisesti, suppenevat myös reaalilukusarjat k= x k ja k= y k (itseisesti) majoranttiperiaatteen nojalla ja siten sarja k= z k suppenee myös tavallisessa mielessä. 3. Potenssisarjat kompleksialueessa Potenssisarjat ovat muotoa a n (z z ) n, n= missä a n C ovat sarjan kertoimia, z C on sarjan kehityskeskus ja z C on muuttuja. Seuraava lause todistetaan kuten reaalilukusarjoille. Lause 3... (Abelin lause) Jos potenssisarja n= a n(z z ) n suppenee pisteessä z z, niin se suppenee itseisesti jokaisella arvolla z, jolle z z < z z. Jos ko. potenssisarja hajaantuu pisteessä z, niin se hajaantuu jokaisella arvolla z, jolle z z > z z. Tämän nojalla potenssisarjaan voidaan liittää suppenemissäde R (R tai R = ), jolle pätee z z < R a n (z z ) n suppenee, z z > R n= k= a n (z z ) n n= hajaantuu.

32 6 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Kuten reaalialueessa potenssisarja määrittelee konvergenssikiekossa funktion f(z) = n= z n(z z ) n, jolla on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat z:n suhteen ja ne voidaan laskea derivoimalla sarja termeittäin: f (k) (z) = n(n )(n )... (n k + )a n (z z ) n k. n=k Näin saaduilla potenssisarjoilla on sama suppenemissäde R kuin alkuperäisellä sarjalla, eli ne suppenevat arvoilla z z < R. Erityisesti f (k) (z ) = k!a k, joten alkuperäinen sarja voidaan suppenemiskiekossaan kirjoittaa muodossa f(z) = n= f (n) (z ) (z z ) n, z z < R. n! Tätä sanotaan f:n Taylorin sarjaksi pisteessä z. Esimerkki 3... Muodostetaan Taylorin sarja fuktiolle kehityskeskuksena origo. Selvästi f(z) = z f (z) = d dz ( z) = ( ) ( z) ( ) = ( z). Vastaavasti ja yleisesti f (z) = d dz ( z) = f (n) (z) = ( z) 3 n!, n =,, 3,... ( z) n+ Siten f (n) () = n! ( ) n+ = n!(= n(n ) ) ja f(z):lle saadaan Taylor sarjaksi f(z) = n= f (n) () z n = n! Ko. Taylor-sarja yhtyy geometriseen sarjaan z <. z n. n= n= zn = z, joka suppenee arvoilla Esimerkki Funktio f(x) = on jatkuva x R ja jopa äärettömän +x monta kertaa derivoituva funktio voidaan muodostaa Taylor-sarja. Mutta: Ko. Taylor-sarja suppenee pisteessä x R x ], [. Syy: funktiolla f(z) = +z (z C) on navat pisteissä z = ±i.

33 3.. Laurentin sarja 7 Potenssisarjan summa f(z) on derivoituvana funktiona analyyttinen kiekossa z z < R. Osoittautuu, että myös käänteinen tulos on voimassa: pisteessä z analyyttinen funktio voidaan kehittää potenssisarjaksi (Taylorin sarjaksi) pisteessä z, joka suppenee kohti alkuperäistä funktiota. Potenssisarjan suppenemissäteeseen liittyy sama tulos kuin reaalialueessa: Jos raja-arvo lim n an = R n tai lim n a n a n+ = R on olemassa, niin se on sarjan n= a n(z z ) n suppenemissäde. Esimerkki Geometrisen sarjan n= zn suppenemissäde on R = ja sen summa f(z) = n= zn = z on analyyttinen kiekossa z <. Itse asiassa rationaalifunktiona z on analyyttinen, kun z. 3. Laurentin sarja Esitämme analyyttiselle funktiolle sarjakehitelmän, jonka kehityskeskukseksi voidaan valita myös piste, jossa ko. funktion ei tarvitse olla edes määritelty. Kehitelmällä on paljon käyttöä muun muassa residy-laskennassa, jonka avulla esimerkiksi hankalien käyräintegraalien laskeminen saattaa helpottua olennaisesti. Erikoistapauksena saamme analyyttisen funktion Taylor-sarjan. muodostettiin Taylor-sarja kehityskeskuk- Esimerkki 3... Funktiolle f(z) = sena origo Esimerkissä 3..: z f(z) = z = z n. Tämä sarja suppenee arvoilla z <, z C. Funktiolle f(z) voidaan muodostaa myös z:n negatiivisiin kokonaislukupotensseihin perustuva sarjakehitelmä seuraavasti: z = z = ( ) n ( ) n = (z, ). z z z z n= n= Kyseinen sarja suppenee, kun z <, tai yhtäpitävästi, kun z >. Niinpä funktiolla f(z) = z on seuraavat sarjakehitelmät: n= z = z n, kun z < ; n= z = ( ) n, kun z >. z n= Lause 3... Rengasalueessa r z z R analyyttinen funktio voidaan esittää Laurent-sarjana f(z) = a n (z z ) n, n=

34 8 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa missä a n = πi C f(ξ) dξ, n Z (ξ z ) n+ ja integrointi suoritetaan vastapäivään pitkin renkaassa r < z z < R olevaa säännöllistä umpinaista käyrää C (kiertäen kerran z :n ympäri). Ko. sarja suppenee kohti funktiota f ainakin rengasalueessa r < z z < R. Todistus. Yhdistetään reunakäyrät B r (z ) ja B R (z ) janalla, jolloin muodostuu umpinainen käyrä γ, joka kiertää kerran renkaassa < z z < R olevan pisteen z ja jonka rajaamassa alueessa f on analyyttinen (piirrä kuva). Cauchy n integraalikaavan (Lause..4) nojalla f(z) = πi Kirjoitetaan γ f(ξ) ξ z dξ = πi B R (z ) ξ z = ( ) = (ξ z ) z z ξ z f(ξ) ξ z dξ πi B r (z ) k n= f(ξ) ξ z dξ =: f (z)+f (z). (z z ) n (ξ z ) n + (z z ) k (ξ z)(ξ z ) k. Sijoittamalla tämä f (z):n lausekkeeseen ja integroimalla termeittäin saadaan ( k ) f(ξ)dξ f (z) = πi n= B R (z ) (ξ z ) n+ (z z ) n + (z z ) k f(ξ)dξ πi B R (z ) (ξ z)(ξ z ) k. }{{}}{{} =a n (korvataan B R (z ) polulla C) =:R k (z) Tässä f(ξ) M < ξ B R (z ) (jatkuvana rajoitettu funktio), joten R. ξ z lim R k(z) πrm k π lim k ( ) z z k =. R }{{} < Siis f (z) = n= a n(z z ) n ja tämä sarja suppenee ainakin arvoilla z z < Toisaalta lähtemällä esityksestä ξ z = ( (z z ) ξ z z z ) saadaan f (z) = ( k ) f(ξ)(ξ z ) n dξ (z z ) n + (z z ) k (ξ z ) k f(ξ)dξ πi n= B r(z ) πi B r(z ) (z ξ) }{{}}{{} =a n (korvataan B r (z ) polulla C) =: R k (z) ja tässä f(ξ) M <, ξ B r (z ), joten z ξ lim R πr M k (z) k π lim k ( ) r k =. z z }{{} <

35 3.. Laurentin sarja 9 Niinpä f (z) = n= a n(z z ) n ja tämä sarja suppenee ainakin arvoilla z z > r. Koska f(z) = f (z) + f (z), väite on todistettu. Huom. Lauseessa 3.. esitetyt Laurent-sarjan kertoimien a n lausekkeet voidaan johtaa myös seuraavasti. Integroidaan sarja f(z) = n= a n(z z ) n termeittäin ja sovelletaan Cauchy n integraalilausetta ja derivaattojen lauseketta: C eli f(z)dz = Vastaavasti antaa eli C n= = a a n C (z z ) n dz }{{} = + a C Lause.. dz C z z }{{ } =πi,esim...3 f(z) (z z ) k+ dz = }{{} derivaattojen esitys a = f(z)dz. πi C f(z) (z z ) k+ = n= a n C a k = πi C n= a n (z z ) n k, (z z ) n k dz = a k f(z) dz. (z z ) k+ dz + a z z C C dz z z = a k πi dz (z z ) +... Laurent-sarjan alkuperäistä suppenemisrengasta voi laajentaa: r ja R kunnes ao. ympyrän kehä saavuttaa pisteen, jossa funktio f ei ole enää analyyttinen. Erityisesti, jos f on analyyttinen z -keskisessä R-säteisessä pallossa z z < R, niin Laurent-sarjan negatiivisia indeksejä vastaavat kertoimet a, a,... ovat kaikki nollia Cauchy n integraalilauseen (Lause..4) nojalla. Laurent-sarja antaa siten erikoistapauksena pisteessä z analyyttiselle funktiolle sen Taylor-sarjakehitelmän. Kiinteässä suppenemisrenkaassa funktion Laurent-sarjakehitelmä on yksikäsitteisesti määrätty: jos sarjakehitelmät f(z) = n= a n (z z ) n ja f(z) = n= b n (z z ) n suppenevat samassa rengasalueessa r < z z < R, niin a n = b n, n Z. Mikäli funktiolle f saadaan muodostettua ko. tyyppiä oleva suppeneva sarjakehitelmä, niin se on välttämättä ao. rengasalueessa funktion f Laurent-sarja, ts. a n = f(ξ) dξ, n Z. πi (ξ z ) n+ C

36 3 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Esimerkki Sarjakehitelmä z = n= zn suppenee arvoilla z <. Kyseessä on funktion f(z) = Taylor-sarjakehitelmä eli Laurent-sarja, joka z suppenee rengasalueessa, jossa r = ja R =. Toisaalta sarjakehitelmä ) k+ = z z z 3 = z = z( /z) = ( k= z n= zn suppenee arvoilla z >. Kyseessä on funktion f(z) = z Laurent- sarja, joka suppenee rengasalueessa, jossa r = ja R =. Esimerkkejä Taylor-sarjoista: Eksponenttifunktio e z = n= z n n! = + z + z! + z3 3! +... ja sarja suppenee z C. Trigonometriset funktiot sin z = cos z = ( ) n zn+ (n + )! = z z3 3! + z5 5!... n= n= ( ) n zn (n)! = z! + z4 4!... ja molemmat sarjat suppenevat z C. Geometrinensarja suppenee arvoilla z < (z C). Logaritmi ln( + z) = z = z n = + z + z +... n= n= ( ) n zn+ n + = z z + z suppenee arvoilla z <. Huom! Taylor-sarjan tapauksessa kertoimet a n (n =,,,... ) voidaan laskea myös kaavalla a n = f (n) (z ) n!. Taylor-sarjoja voi käyttää apuna muodostettaessa funktioiden Laurent-sarjakehitelmiä. Esimerkki f(z) = z e /z = z ( n= n! ( ) ) n = z + z + z z + 3!z Laurent-sarja pisteessä z =, joka suppenee arvoilla z >.

37 3.3. Residy lause Residy lause Usein Laurent-sarja muodostetaan rengasalueessa < z z < R, missä kehityskeskus z on aina R-säteisen palloympäristön piste, jossa f(z) ei ole analyyttinen. Tarkastelun kohteena on tällöin erityisesti sellaiset funktiot, joiden Laurentin sarjoissa negatiivisia indeksejä vastaavista kertoimista vain äärellinen määrä on nollasta eroavia, ts. f(z):n Laurent-sarja on muotoa missä f(z) = f (z) = n= m n= a n (z z ) n = f (z) + f (z), = a m = a m =..., a n (z z ) n ja f (z) = a + a z z (z z ) + + a m (z z ) m. Kun tässä a m, sanotaan että f:llä on m-kertainen napa pisteessä z. Jos z on f:n napa, niin lim z z f(z) =. Funktion Laurent-sarjakehitelmän kerroin a on erityisasemassa ja sitä sanotaan funktion residyksi pisteessä z, merk. (3.) Res z f(z) = a = πi C f(ξ)dξ. Tätä voi hyödyntää mm. käyräintegraalien laskemisessa, jos funktion Laurent-sarja tunnetaan. sin z Esimerkki Laske C dz, missä C on yksikköympyrän kehä. Funktion z 4 sin z Taylor-sarjakehitelmä antaa Laurent-sarjan joka suppenee kun z >. Siten Tässä z = on f(z):n 3-kertainen napa. C sin z z 4 = z 3 3!z + z 5!..., ( sin z dz = πi ) = πi z4 3! 3. Usein funktion residy voidaan kuitenkin laskea muodostamatta sen Laurentsarjaa. Tarkastellaan tilannetta, jossa funktiolla on -kertainen napa pisteessä z. Tällöin m = ja f(z) = a z z + a + a (z z ) + a (z z ) + ( < z z < R). Nyt (z z )f(z) = a + a (z z ) + a (z z ) + a (z z ) 3 + ( < z z < R),

38 3 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa joten Res z f(z) = a = lim z z (z z )f(z), kun m =. Jos p(z) ja q(z) ovat analyyttisiä pisteessä z ja piste z = z on q:n -kertainen nollakohta (eli q(z ) = ja q (z ) ) ja p(z ), niin (3.) Res z p(z) q(z) = p(z ) q (z ). Nimittäin lim (z z ) p(z) z z q(z) = lim z z Esimerkki Res z =i p(z) q(z) z z = lim z z p(z) q(z) q(z ) z z [ ] [ ] 9z + i 9z + i z(z = + ) 3z = i + z=i = 5i. = p(z ) q (z ). Lause (Residy lause) Olkoon C paloittain säännöllinen umpinainen käyrä, jonka rajaamassa kompleksitason alueessa funktio f on analyyttinen lukuunottamatta pisteitä z, z,..., z k, jotka ovat C:n sisäpuolella. Tällöin C f(z)dz = πi k Res zj f(z). Todistus. Lisätään jokaiseen pisteeseen z j niitä ympäröivät ympyräkehät, jotka eivät leikkaa toisiaan ja sijaitsevat käyrän C rajaaman alueen sisäpuolella. Olkoon A se alue, joka on C:n sisäpuolella poislukien pisteitä z, z,..., z k ympäröivät ympyräalueet (ts. alueessa A on k ympyränmuotoista reikää: piirrä kuva). Tällöin f on analyyttinen A:ssa, joten A f(z)dz =, missä alueen A reuna A (ts. kaikki sen reunakäyrät) on positiivisesti suunnistettu (vrt. s. 7). Toisin sanoen f(z)dz + C f(z)dz + C f(z)dz + + C f(z)dz = C k eli C j= f(z)dz = f(z)dz + C f(z)dz + + C f(z)dz, C k missä käyrät C,..., C k on suunnistettu vastapäivään. Käyrän C j (j =,..., k) sisäpuolella piste z j on ainoa piste, jossa f ei ole analyyttinen, joten (katso (3.)) f(z)dz = Res zj f(z), j =,..., k. πi C j Niinpä f(z)dz = Res z f(z) + Res z f(z) + + Res zk f(z). πi C

39 3.3. Residy lause 33 Esimerkki Lasketaan 4 3z C z z dz yli käyrän C, joka ympäröi pisteet z = ja z = eli integroitavan funktion navat. Napojen kertaluku on yksi, joten vastaavat residyt ovat Res z 4 3z z z = Res z 4 3z z z = katso (3.). Lauseen nojalla saamme C [ ] 4 3z z [ ] 4 3z z z= z= = 4, =, 4 3z z dz = πi [ 4 + ] = 6πi. z 3.3. Residyn laskeminen m-kertaisessa navassa Jos funktiolla f(z) on m-kertainen napa pisteessä z, niin sen Laurent-sarja z :ssa on muotoa f(z) = a m (z z ) m + + a (z z ) + a n (z z ) n, missä a m. Funktion f(z) residy Res z f(z) = a voidaan tällöin laskea pisteessä z seuraavasti. Merkitään g(z) := (z z ) m f(z) = a m +a m+ (z z )+ +a (z z ) m + a n (z z ) n+. Tällöin a = (m )! g(m ) (z ) = n= n= [ d m ] (m )! lim z z dz m ((z z ) m f(z)). Esimerkki Lasketaan Esim tulos yo. kaavalla, kun m = : [ ] [ ] 9z + i 9z + i Res z =i z(z = lim (z i) + ) z i z(z + ) [ ] 9z + i = lim = i z i z(z + i) i = 5i. z Esimerkki Olkoot f(z) =. Funktiolla f on navat pisteissä z (z+)(z ) =, jonka kertalukuna on, ja z =, jonka kertalukuna on. Siten Res z f(z) = lim z Res z f(z) = z (z ) = 4 9 [ d dz ( )! lim z ( z z + )] [ ] (z + ) z = lim z (z + ) = 4 9.

40 34 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa 3.3. Residy-lauseen sovelluksia Olkoon F (x, y) rationaalifunktio. Tällöin integraali π F (cos x, sin x)dx voidaan muuttujanvaihdolla palauttaa käyräintegraaliksi yli yksikköympyrän kehän. Merkitään e ix = z, jolloin dz dx = ieix = iz dx = dz iz. Koska { ( cos x = e ix + e ix) = ( ) z + z sin x = ( i e ix e ix) = ( ) i z z saamme muuttujanvaihdolla missä π f(z) = F F (cos x, sin x)dx = C f(z) dz iz, ( ( z + ), ( z )) z i z on rationaalifunktio ja C on yksikköympyrän kehä suunnistettuna vastapäivään. Esimerkki Lasketaan π Sijoitus: cos x = ( z + z π dx cos x. ) ja dx = dz iz : dx dz = cos x C (z + /z) iz = dz C i (z z + ) dz = i (z )(z + ). C Tässä z = + on C:n ulkopuolella ja z = on C:n sisäpuolella. Nyt Res z=z [ ] i (z )(z + ) = i z z= = i, joten π dx cos x = πi( i) = π Rationaalifunktion epäoleellinen integraali Olkoon f(x) = p(x)/q(x) reaalinen rationaalifunktio. Oletetaan lisäksi, että (3.3) { deg p deg q ; q(x) x R.

41 3.3. Residy lause 35 Tällöin integraali f(x)dx suppenee ja R f(x)dx = lim f(x)dx. R R Ko. epäoleellisen integraalin arvo voidaan laskea kompleksisen käyräintegraalin avulla Residy-lausetta käyttäen: Yhdistetään reaaliakselin pisteet R ja R puoliympyrän kaarella S R, ympyrän keskipisteenä origo. Yhdessä reaaliakselilla sijaitsevan janan [ R, R] kanssa muodostuu suljettu paloittain säännöllinen umpinainen käyrä, jonka rajaama alue on C:n ylemmässä puolitasossa C + sijaitseva R-säteinen puoliympyrä. (Piirrä kuva.) Koska f on rationaalifunktio ja q(x), x R, saadaan kompleksitason ylemmässä puolitasossa sijaitsevat q:n nollakohdat (ts. f:n kaikki C + :ssa sijaitsevat navat) z j käyrän C = [ R, R] S R sisäpuolelle, kun R on riittävän suuri. Tällöin: C f(z) = f(z)dz + S R R R f(x)dx }{{} = πi Lause z j C +, z j f:n napa Res zj f(z). Osoitetaan, että lim R S R f(z)dz = : Valitaan S R :lle parametriesitys z(t) = Re it, t [, π], jolloin z (t) = Rie it ja S R f(z)dz = π f ( Re it) Rie it dt. Tässä f ( Re it) Rie it = R f ( Re it) R k z, kun säde R ja vakio k > ovat riittävän suuria (syy: deg p deg q ). Siten lim R f(z)dz lim S R π R R k kπ dt = lim z R R =. Johtopäätös: (3.4) f(x)dx = πi Res zj f(z). z j C +,z j f:n napa Vastaavasti voidaan todistaa, että kun f(x) = p(x)/q(x) toteuttaa annetut ehtoa ((3.3)), niin kaikilla s > pätee (3.5) f(x)e isx dx = πi z j C +,z j f:n napa Res zj [ f(z)e isz ].

42 36 Chapter 3. Sarjakehitelmistä kompleksialueessa Todistus. Olkoon z S R, missä S R on puolin ympyrän kaari kuten yllä. Tällöin z = x + iy ja y ja siten e isz e = is(x+iy) = e isx e sy = e isx e sy, }{{} = koska sy < (s > ja y ). Niinpä f(z)e isz f(z) e isz f(z) ja kuten edellä päätetään, että lim R f(z)e isz dz =. S R Kaava (3.5) on käyttökelpoinen ns. Fourier-integraalien laskemisessa. Reaalija imaginaariosiin siirtymällä saadaan kaavasta (3.5) reaalisia Fourier-integraaleja koskevat kaavat. Seuraus Olkoon f(x) = p(x)/q(x) reaalinen rationaalifunktio, joka toteuttaa ehdot (3.3). Tällöin f(x) cos(sx)dx = π Im ( [ Res zj f(z)e isz ]), f(x) sin(sx)dx = π z j C +,z j f:n napa z j C +,z j f:n napa Re ( [ Res zj f(z)e isz ]). Todistus. Sijoitetaan kaavaan (3.5) esitys e isx = cos(sx) + i sin(sx), mistä väite seuraa ottamalla reaali- ja imaginaariosat puolittain. Esimerkki Osoitetaan, että dx = π +x 4. Huomaa, että funktiolla f(z) = /( + z 4 ) on neljä yksinkertaista napaa: z = e πi/4, z = e 3πi/4, z 3 = e 3πi/4 ja z 4 = e πi/4. Näistä vain navat z ja z sijaitsevat C + :ssa. Koska saadaan kaavan (3.4) nojalla [ ] Res z=z f(z) = 4z 3 = z=z 4 e 3πi/4 = 4 eπi/4 [ ] Res z=z f(z) = 4z 3 = z=z 4 e 9πi/4 = 4 e πi/4, d ( + x 4 = πi 4 eπi/4 + 4 ) e πi/4 = π eπi/4 e πi/4 i = π sin(π/4) = π.

43 37 Luku 4: Laplace-muunnos 4. Laplace-muunnoksen määritelmä Olkoon f : R C (tai R) kompleksi- tai reaaliarvoinen funktio. Funktion f Laplacemuunnos määritellään kaavalla (4.) F (s) = f(t)e st dt, s R tai yleisemmin s C, merk. myös L(f) tai L(f(t); s). Jotta F (s) olisi hyvinmääritelty funktio, pitää määritelmässä (4.) esiintyvän (epäoleellisen) integraalin supeta arvolla s C. Koska integrointi suoritetaan yli välin [, ) ei funktion f saamat arvot negatiivisella reaaliakselilla vaikuta sen Laplace-muunnokseen. Siksi voidaan olettaa, että f : [, ) C tai vaihtoehtoisesti asettaa f(t) =, kun t <. Esimerkki 4... Tarkastellaan funktion f(t) =, t, Laplace-muunnosta pisteessä s R. Kun s > nähdään, että L(f(t); s) = e st dt = ] [ e st s = lim T s e st + s }{{} = s> + s, sillä tässä > st ja siten lim T e st =, kun s >. Jos s =, niin ja jos s <, niin L(f(t); ) = L(f(t); s) = e dt = dt = e st dt = lim T s e st + s =, sillä tässä < st + ja siten lim T e st =. Esimerkki 4... Olkoon f(t) = e at, t, a vakio. Vastaavalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä todetaan, että [ ] (4.) L(f(t); s) = e at e st e (a s)t e (a s)t dt = = lim a s T a s a s = s a, kun a s < eli s > a. Arvoilla s a pätee L(f(t); s) =. Yleisemmin, jos s = x + iy C, niin funktion f(t) = e at Laplace-muunnos on määritelty vain arvoilla x = Re s > a, sillä nyt kaavassa (4.) termi e (a s)t voidaan kirjoittaa seuraavasti: e (a s)t = e (a x iy)t = e iyt e (a x)t,

44 38 Chapter 4. Laplace-muunnos missä e iyt = (moduli) ja > (a x)t, kun x > a ja T, jolloin lim T e (a x)t = ja siten myös lim T e (a s)t = lim T e iyt e (a x)t =. Sensijaan arvoilla x = Re s a määritelmässä (4.) esiintyvän (epäoleellinen) integraali ei suppene. Laplace muunnoksen olemassaolo edellyttää, että integraali f(t)e st dt suppenee pisteessä s. Seuraava tulos on usein riittävä. Lause Olkoon f(t), t, paloittain jatkuva ja oletetaan, että on olemassa reaaliset vakiot M ja k siten, että (4.3) f(t) Me kt, t. Tällöin f:n Laplace-muunnos L(f(t); s) on olemassa kaikilla arvoilla s > k. Todistus. Koska f on paloittain jatkuva f(t)e st on integroituva yli äärellisen pituisten välien. Lisäksi f(t)e st dt f(t) e st dt Me kt e st dt = M e (k s)t dt [ ] e (k s)t = M = M [ ] M lim k s k s T e(k s)t }{{} = s k < k s< Todistus osoittaa, että kun annettu eksponentiaalinen kasvuehto (4.3) on voimassa, niin itse asiassa Laplace-muunnos L(f(t); s) voidaan laskea yleisemmin kompleksitason pisteissä, jotka sijaitsevat puolitasossa s = x + iy C, x = Re s > k. 4. Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Lause 4... Olkoot L(f(t); s) ja L(g(t); s) funktioiden f ja g Laplace-muunnoksia. () (Lineaarisuus) L(af(t) + bg(t); s) = al(f(t); s) + bl(g(t); s), a, b vakioita () (Skaalaus) L(f(at); s) = a L(f(t); s a ), a > {, t < (3) (Siirto oikealle) Olkoon u(t) = yksikköaskelfunktio eli ns. Heavisiden funktio. Tällöin L(u(t t )f(t t ); s) = e st, t > L(f(t); s), t (4) (Eksponenttifunktiolla kertominen) L(e at f(t); s) = L(f(t); s a), a vakio Todistus. Harjoitustehtävä. Huom. Ominaisuudet voidaan johtaa kuten Lauseen 7.3. todistuksessa (tai mm. palauttamalla ne vastaaviin Fourier-muunnoksen ominaisuuksiin).

45 4.. Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Derivaatan Laplace-muunnos Lause 4... Olkoon f(t) derivoituva ja f (t) paloittain jatkuva, kun t ja oletetaan, että Lauseen 4..3 ehto on voimassa. Tällöin f (t):llä on Laplace-muunnos (arvoilla s > k, vrt. Lause 4..3) ja Todistus. Osittaisintegrointi antaa L(f (t); s) = L(f (t); s) = sl(f(t); s) f(). f (t)e st dt = [ f(t)e st] f(t)( s)e st dt = lim f(t )e st f() + s T }{{} =( ) f(t)e st dt = f() + sl(f(t); s). ( ):n perustelu: f(t )e st e st Me kt = Me (k s)t jos T, kun k s <. Saatu kaava voidaan yleistää korkeamman kertaluvun derivaatoille. Olkoot f(t), f (t),..., f (n ) (t) jatkuvia ja f (n) (t) paloittain jatkuva sekä Lauseen 4..3 ehto voimassa. Tällöin Esimerkiksi L(f (n) (t); s) = s n L(f(t); s) s n f() s n f ()... f (n ) (). L(f (t); s) }{{} = Lause 4.. sl(f (t); s) f () }{{} = Lause 4.. s [sl(f(t); s) f()] f () = s L(f(t); s) sf() f (). Esitetty kaava L(f (n) (t); s):lle saadaan suoraan toistamalla Lauseen 4.. tulosta n kertaa (funktioihin f (n) (t), f (n ) (t),..., f (t), f (t)). Esimerkki Lasketaan funktion f(t) = t Laplace-muunnos. Koskaa f (t) = ja f() =, f () = sekä Esimerkin 4.. nojalla L(; s) = s, saadaan derivaatan muuntokaavasta yhtälö s = L(f (t); s) = s L(f(t); s) sf() f () = s L(f(t); s) L(f(t); s) = s 3, s >. Esimerkki Olkoon f(t) = cos(at). Lasketaan f:n Laplace-muunnos. Nyt f (t) = a sin(at) ja f (t) = a cos(at) = a f(t). Derivaatan muuntokaava antaa yhtälön a L(f(t); s) = L(f (t); s) = s L(f(t); s) sf() f () = s L(f(t); s) s (s + a )L(f(t); s) = s s L(f(t); s) = s + a, s >.

46 4 Chapter 4. Laplace-muunnos Esimerkki Olkoon f(t) = t sin(at). Lasketaan f:n Laplace-muunnos. f (t) = sin(at) + at cos(at) f (t) = a cos(at) + a cos(at) a t sin(at) = a cos(at) a f(t). Lisäksi f() = ja f () =. Derivaatan muuntokaava antaa nyt (4.4) L(f (t); s) = s L(f(t); s) sf() f () = s L(f(t); s) ja yhtälöstä f (t) = a cos(at) a f(t) saadaan (4.5) L(f (t); s) = al(cos(at); s) a s L(f(t); s) }{{} = a s + a a L(f(t); s). Esim Yhdistämällä (4.4) ja (4.5) saadaan edelleen yhtälö s L(f(t); s) = as s + a a L(f(t); s) as L(f(t); s) = (s + a ), s >. 4.. Integraalin Laplace-muunnos Lause Olkoon f(t) paloittain jatkuva, kun t, ja oletetaan, että Lauseen 4..3 ehto on voimassa. Tällöin ( t ) L f(u)du; s = L(f(t); s). s Todistus. Merkitään F (t) = t f(u)du. Tällöin F (t) on jatkuva ja F (t) = f(t) eli F (t) paloittain jatkuvasti derivoituva. Lisäksi F () =, joten Lauseen 4.. nojalla L(f(t); s) = sl(f (t); s) F () = sl(f (t); s). Esimerkki Olkoon L(f(t); s) =. Tehtävänä on etsiä funktio f(t), s(s +a ) jonka Laplace-muunnos on oikealla puolella oleva rationaalifunktio (ts. laskea ko. rationaalifunktion Laplace-käänteismuunnos). Esimerkin 4.5 nojalla L(cos(at); s) = s. Siten Lauseen 4..6 nojalla s +a ( t ja tässä [ t cos(au)du = sin(au) a L(sin(at); s) = a L ) cos(au)du; s = ] t s + a = sin(at) a (ts. L ( s +a ; t ). Edelleen Lauseen 4..6 nojalla s +a ( t ) sin(au) L du; s = a s(s + a ) ) = sin(at) a

47 4.. Laplace-muunnoksen ominaisuuksia 4 ja tässä f(t) := Ts. f(t) = L ( t [ sin(au) du = cos(au) ] t a a = ( cos(at)). a s(s +a ) ; t ) = a ( cos(at)) Laplace-muunnoksen derivaatta ja integraali Merkitään F (s) = L(f(t); s). Määritelmän mukaan F (s) = Derivoimalla s:n suhteen saadaan F (s) = d ds f(t)e st dt = }{{} ( ) f(t)e st dt. f(t) d ds e st dt = tf(t)e st dt. Kohdassa (*) derivoinnin ja integroinnin järjestyksen vaihto on sallittua (- tätä emme tässä tarkemmin perustele). Siten F (s) = L(tf(t); s). Toistamalla samaa päättelyä n kertaa saadaan seuraava tulos. Lause Jos f(t) on paloittain jatkuva, kun t, ja F (n) (s) on olemassa, niin F (n) (s) = dn ds n L(f(t); s) = ( )n L(t n f(t); s). Tuloksen voi muotoilla yhtäpitävästi muodossa: (polynomilla t n kertominen) missä F (s) = L(f(t); s). Esimerkki L(t cos(t); s) = ( ) d ds L(t n f(t); s) = ( ) n F (n) (s), L(cos(t); s) }{{} = ( ) d ds Esimerkki (4..4) s s + = s (s + ). Lause 4... Jos f(t) on paloittain jatkuva, t, ja funktiolla f(t)/t, t >, on Laplace-muunnos, niin L( t f(t); s) = F (u)du, missä F (s) = L(f(t); s). s

48 4 Chapter 4. Laplace-muunnos Todistus. s F (u)du = = = s f(t) f(t)e ut dtdu = ] [ e ut t s dt = f(t) e st dt = L( f(t); s) t t ( f(t) s ) e ut du dt f(t) [ ] lim t U e Ut + e st dt Esimerkki 4... Lasketaan funktion f(t) = t sin(u) u du Laplace-muunnos. Koska L(sin(t); s) = (kts. Esimerkki 4..7), saadaan Lauseen 4.. nojalla s + L( sin(t) [ du ; s) = t s u + = arctan( ] u ) s = arctan( ) lim s arctan( S S ) = arctan( s ). (Huomaa, että d dy arctan( y ) = + y ( y ).) Lopuksi sovelletaan Lausetta 4..6 ( t L ) sin(u) u du; s = ( ) sin(u) s L u ; s = s arctan( s ) Jaksollisen funktion Laplace-muunnos Lause 4... Olkoon f(t) paloittain jatkuva, kun t, ja Lauseen 4..3 ehto voimassa. Jos f(t) on T -jaksollinen eli f(t + T ) = F (t), niin L(f(t); s) = T f(t)e st dt e st. Todistus. Tässä L(f(t); s) = T f(t)e st dt + T f(t)e st dt f(t)e st dt }{{} = f(u + T )e s(u+t ) du T ( ) = e st f(u)e su du = e st L(f(t); s), missä suoritettiin muuttujanvaihto t = u + T kohdassa (*). Siten L(f(t); s) = T f(t)e st dt + e st L(f(t); s), mistä väite seuraa.

49 4.. Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Konvoluution Laplace-muunnos Lause Olkoot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia, kun t ja oletetaan, että f(t) ja g(t) toteuttavat Lauseen 4..3 ehdon. Tällöin L((f g)(t); s) = L(f(t); s)l(g(t); s), missä (f g)(t) = t f(t u)g(u)du. Huomaa, että tässä g(u) =, kun u < ja f(t u) =, kun t u <. Todistus. L(f(v); s)l(g(u); s) = = f(v)e sv dv g(u)e su du f(v)g(u)e s(u+v) dudv =: I Tehdään muuttujanvaihto t = u + v, jolloin dt = dv, ja t ( t ) I = f(t u)g(u)e st dudt = f(t u)g(u)du e st dt = L((f g)(t); s). Esimerkki Integraalin Laplace-muunnos konvoluutiona: vrt. Lause Kirjoitetaan t f(u) du = t f(u) du = t (t u) f(u) du = ( f)(t). Koska L (; s) = s, saadaan Lauseen 4..3 nojalla ( t ) L f(u)du; s = L (; s) L (f(t); s) = L (f(t); s). s ( Esimerkki Määrättävä L ). s (s +a ) ; t Esimerkin 4..7 mukaan g(t) := ( ) L s(s +a ) ; t = ( cos(at)) ja toisaalta Esimerkin 4.. mukaan f(t) := a L ( s ; t) =, kun t. Siten ( ) L s t s(s + a ) ; t }{{} = (f g)(t) = ( cos(au)du a Lause 4..3 = [ u a sin(au) a Esimerkki ( ) ( L s 3 ; t = L s s ) s ; t = ( ( ))(t) = t t [ ] = [v] u u t du = u du = = t ] t = ( a t sin(at) ). a t ( u ) dv du

50 44 Chapter 4. Laplace-muunnos 4..6 Raja-arvo-ominaisuuksia Lause Oletetaan, että f(t) toteuttaa Lauseen 4..3 ehdot. Olkoon F (s) = L(f(t); s). Tällöin () lim s F (s) = () lim s sf (s) = f(), ns. alkuarvo-ominaisuus (3) lim s sf (s) = lim t f(t), ns. päätearvo-ominaisuus Todistus. () F (s) = f(t)e st dt = M e (k s)t dt = M () Lauseen 4.. nojalla [ f(t) e st dt = }{{} Lause 4..3 ] e (k s)t = M k s k s [ M e kt e st dt ] lim T e(k s)t L(f (t); s) = sl(f(t); s) f() = sf (s) f(). Toisaalta kohdan () mukaan lim s L(f (t); s) =, joten (3) Harjoitustehtävä. = lim s sf (s) f() lim s sf (s) = f(). = M s k }{{} s 4.3 Laplace-käänteismuunnos ja yhteys Fourier-muunnokseen Kun asetamme f(t) = arvoilla t <, saamme esitettyä Laplace-muunnoksen ja ns. Fourier-muunnoksen (jota käsitellään tarkemmin vasta tuonnenpana) välisen yhteyden: F(f(t); s) = f(t)e ist dt = tai yhtäpitävästi L(f(t); s) = F(f(t); is) (s R). f(t)e ist dt = L(f(t); is) Esimerkki Olkoon f(t) = e at, t ja f(t) =, t <. Tällöin lähtemällä kaavasta L(f(t); s) = s+a, s > a, saadaan Fourier-muunnoskaava F(f(t); w) = L(f(t); iw) = a+iw ; katso Taulukko A.. Kääntäen kun s > a. L(f(t); s) = F(f(t); is) = a i s = a + s,.

51 4.3. Laplace-käänteismuunnos ja yhteys Fourier-muunnokseen 45 Laplace- ja Fourier-muunnoksen välisestä yhteydestä seuraa, että Fourier-muunnoksella on samankaltaisia ominaisuuksia kuin Laplace-muunnoksella. Laplace-muunnoksella on käänteismuunnos. Se määritellään kaavalla L (F (s); t) = πi c+i c i F (s)e ts ds, missä vakio c ( R) pyritään valitsemaan niin, että kyseinen integraali suppenee. Kaavaan päädytään Fourier-muunnoksen avulla seuraavasti: Olkoon F (s) funktion f(t) Laplace-muunnos. Käyttämällä Fourier-muunnosta ja sen yhteyttä Laplacemuunnokseen, F(f(t); w) = L(f(t); iw) = F (iw), sekä Fourier-käänteismuunnosta saadaan f(t) = F (F(f(t); w); t) = F (F (iw); t) = π { dw = ds Muuttujanvaihto s = iw, jolloin i ± ±i, antaa f(t) = i F (s)e st ds. πi i F (iw)e iwt dw. Perustelu osoittaa, että kun f:n Laplace-muunnokseen suoritetaan Laplace-käänteismuunnos, saadaan alkuperäinen funktio f (lukuunottamatta ns. nollamittaista R:n osajoukkoa), ts. L (L(f(t); s); t) = f(t), kun f(t) ja F (s) ovat esimerkiksi jatkuvia ja integroituvia funktioita Laplace-käänteismuunnoksen laskeminen Osamurtomenetelmä on eräs käyttökelpoinen tapa laskea Laplace-käänteismuunnos rationaalifunktioille. Tällöin annettu rationaalifunktio esitetään osamurtokehitelmän avulla yksinkertaisempien rationaalifunktioiden avulla ja tehtäväksi jää kunkin osan käänteismuunnoksen selvittäminen erikseen taulukoita apuna käyttäen. Osamurtokehitelmän muodostamista on käsitelty mm. matemaattiset menetelmät I-kurssilla. Tarkastellaan menetelmää esimerkkien avulla. Laplace-käänteismuunos. Muo- Esimerkki Lasketaan funktion F (s) = dostetaan osamurtokehitelmä: s s = (s + )(s ) = A s + + B s = A(s ) + B(s + ) = (A + B)s + (B A), { { A + B = A = B A = B =

52 46 Chapter 4. Laplace-muunnos ( ) ts. s = s+ + s. Tässä L s+ ; t Esimerkki 7..). Siten lineaarisuuden nojalla: ( ) L s ; t = ( ) L s + ; t + L ( s ; t = e t ja L ( s ; t ) = e t (vrt. ) = et e t (= sinh(t)). Esimerkki Lasketaan funktion F (s) = s Laplace-käänteismuunnos. Suoritetaan ensin jakolasko niin, että osoittajan asteluku saadaan nimittäjän astelukua s 9 pienemmäksi: F (s) = s s 9 = s s = s 9. Jaetaan sitten jälkimmäinen rationaalifunktio osamurtoihin: 9 s 9 = 9 (s + 3)(s 3) = A s B s 3. Kuten edellä saadaan: A = 3 ja B = 3 eli 9 s 9 = 3 s s 3. ( ) ( ) Tässä L s+3 ; t = e 3t, L s 3 ; t = e 3t ja L (; t) = δ(t) (Diracin deltafunktio Taulukko B). Siten ( ) s L s 9 ; t = L (; t) 3 ( ) L s + 3 ; t + 3 ( ) L s 3 ; t 4.3. Residy-menetelmä = δ(t) + 3 e3t e 3t = δ(t) + 3 sinh(3t). Residy-menetelmä Laplace-käänteismuunnoksen laskemiseksi on osamurtomenetelmää käyttökelpoisempi ja usein myös muutoinkin suoraviivaisempi. Se perustuu residylauseen käyttöön (vrt. kompleksianalyysin kurssi). Menetelmän voi kiteyttää seuraavasti: Olkoon F (s) analyyttinen funktio kompleksitasossa lukuunottamatta äärellistä määrää erillisiä napoja a, a,..., a N (jolloin lim s aj F (s) =, s =,..., N). Tällöin N L { (F (s); t) = Res s=aj F (s)e st }. Kaava perustuu yhtälöihin (s C): L (F (s); t) = πi = }{{} j= c+i c i Residy Lause j= F (s)e ts ds = F (s)e ts ds πi C N { Res s=aj F (s)e st }.

53 4.4. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella 47 (Tässä C on umpinainen käyrä, joka koostuu pisteiden c ik, c + ik yhdysjanasta ja niitä yhdistävästä ympyränkaaresta.) Erityisesti, kun F (s) = R(s) Q(s), deg(r) < deg(q), on rationaalifunktio, jossa R(s) ja Q(s) ovat keskenään jaottomia polynomeja ja Q(s):n nollakohdat (eli F (s):n navat) ovat yksinkertaisia (ts. Q(a j ) =, R(a j ) ja Q (a j ), j =,..., N) saa yo. kaava muodon: ( ) R(s) L Q(s) ; t = N j= { } R(s) Res s=aj Q(s) est = N j= R(a j ) Q (a j ) ea jt, missä deg(r) < deg(q) : Vrt. Kompleksianalyysin materiaali. Esimerkki Funktion F (s) = navat ovat s = ±. Nyt residy-menetelmällä s saadaan F (s):n käänteismuunnos ( ) [ ] [ ] L s ; t = s est + s= s est = et e t = sinh(t). s= Tässä esimerkissä sinh(t) = et e t on hyperbolinen sinifunktio. Vastaavasti hyperbolisen kosinifunktion määrittelee lauseke cosh(t) = et +e t. Esimerkki Lasketaan residy-menetelmällä funktion Laplace-käänteismuunnos. s +a ( ) { } { } s se L st se st s + a ; t = res s=ia s + a + res s= ia s + a = iaeiat ia + iae iat ia = eiat + e iat = cos(at). Edellä olevissa esimerkkeissä napojen kertaluvut olivat ykkösiä. Tarkastellaan residy-menetelmää korkeampikertaisen navan tapauksessa. Esimerkki Lasketaan residy-menetelmällä L ( ; t ). s -kertainen napa origossa. ( ) { } { e L st s s ; t e st } = Res s= s d = lim s ds (st) k s s Tässä F (s):llä on d { = lim e st } = lim te st = t. s ds s (Huomaa, että est = s s k= k! = + t s s + t! + st3 3! +..., mistä residy saadaan myös suoraan määritelmän nojalla tekijään s liittyvänä kertoimena a = t.) 4.4 Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Laplace-muunnoksen avulla voidaan kätevästi ratkaista differentiaal- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Menetelmän kannalla keskeinen on derivaatan Laplace-muunnosta koskeva kaava (vrt. Lause 4..): L(f (n) (t); s) = s n L(f(t); s) s (n ) f()... f (n ) ().

54 48 Chapter 4. Laplace-muunnos Tarkastelemme esimerkkeinä vakiokertoimisten lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemista. Epähomogeeminen. kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on muotoa y (t) + ay(t) = f(t). Tässä f(t) on annettu ja y(t) on etsittävä funktio, joka toteuttaa annetun differentiaaliyhtälön. Ottamalla yhtälöstä puolittain Laplace-muunnos saadaan sy (s) y() + ay (s) = F (s), missä Y (s) = L(y(t); s) ja F (s) = L(f(t); s). Yhtäpitävästi (4.6) Y (s) = y() s + a + F (s) s + a. Funktio s+a on funktion e at Laplace-muunnos. Lauseen 4..3 nojalla funktion F (s) s+a on e at :n ja f(t):n konvoluution (e at f)(t) Laplace-muunnos. Siten Laplacemuunnoksen lineaarisuuden nojalla Y (s) = L ([ y()e at + (e au f(u))(t) ] ; s ), jolloin (ottamalla Laplace-käänteismuunnos) y(t) = y()e at + t e au f(t u)du. Havaitsemme, että saatu y(t):n lauseke on itse asiassa alkuarvotehtävään y (t) + ay(t) = f(t), y() = y liittyvä ratkaisukaava, jonka voi kirjoittaa myös muodossa y(t) = y e at + t e au f(t u)du = e at (y + t ) e au f(u)du, missä on käytetty konvoluutiotulon vaihdannaisuutta, kts. Lause Kyseinen ratkaisukaava on esitetty Mat. peruskurssilla (sitä ei siellä kuitenkaan johdettu). Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä y (t) + y(t) =, y() =. Laplace-muunnos puolittain antaa yhtälön sy (s) y() + Y (s) =, missä Y (s) = L(y(t); s). Sijoitetaan y() = ja ratkaistaan Y (s): Y (s) = s +. Käänteismuunnos antaa nyt suoraan haetun ratkaisun y(t) = e t.

55 4.4. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella 49 Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä y (t) + 3y(t) = e t, y() =. Lapalce-muunnos puolittain antaa yhtälön siten sy (s) y() + 3Y (s) = s +. Y (s) = y() s (s + 3)(s + ). Muodostamalla osamurtohajotelma saadaan edelleen mistä nähdään, että Y (s) = y() s s + s + 3 = s + + (y() s + 3, y(t) = L ( s + ; t Edelleen alkuehdon y() = nojalla on oltava ) ( ) y() + L s + 3 ; t = e t + (y() )e 3t. = y() = e + (y() )e 3 y() = e e 3 = e. Sijoittamallla tämä y(t):n lausekkeeseen saadaan lopullinen vastaus y(t) = e t + (e )e 3t = e t e 3t+. Esimerkki Ns. RL-piirin (kts. kuva) virta i(t) toteuttaa differentiaaliyhtälön L d i(t) + Ri(t) = e(t), dt missä L = kela, R = vastus ja e = lähdejännite. Määrätään RL-piirin virta (ts. ratkaistaan ko. differentiaaliyhtälö), kun i() = ja lähdejännite e(t) = E on vakio. Laplace-muunnos antaa L(sI(s) i() ) + RI(s) = E }{{} s. = Ratkaistaan I(s) = L(i(t); s): ( ) E E I(s) = = (Ls + R)s }{{} R s s + R/L osamurto hajotelma Tästä saadaan käänteismuunnoksella vastaus i(t) = E R ( e R L t).

56 5 Chapter 4. Laplace-muunnos Epähomogeeninen. kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on muotoa y (t) + ay (t) + by(t) = f(t). Ottamalla puolittain Laplace-muunnos saadaan s Y (s) sy() y () + a(sy (s) y()) + by (s) = F (s) ja edelleen ratkaisemalla Y (s) = L(y(t); s): (4.7) Y (s) = y()(s + a) + y () + F (s) s. + as + b Tästä käänteismuunnos antaa yleisen ratkaisukaavan ( y()(s + a) + y y(t) = L ) ( ) () s ; t + L F (s) + as + b s + as + b ; t, missä ensimmäinen termi antaa homogeenisen yhtälön ratkaisun ja toinen termi antaa epähomogeenisen yhtälön (y() = y () = )) yksityisratkaisun. Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä Laplace-muunnos puolittain antaa eli y (t) + y (t) + y(t) = e t, y() = y () =. s Y (s) s y() y () +(sy (s) y() ) + Y (s) = }{{}}{{}}{{} s + = = = s Y (s) + sy (s) + Y (s) = s + Y (s) = (s + )(s + s + ) = (s + )((s + ) + ) = s + s + (s + ) +. Ottamalla Laplace-käänteismuunnos ja käyttämällä Taulukkoa B sekä Lauseen 4.. kohtaa (4) saadaan ( ) ( ) y(t) = L s + ; t L s + (s + ) + ; t Esimerkki Määrättävä differentiaaliyhtälön y (t) + 6y (t) + 9y(t) = e 3t = e t e t cos(t) = e t ( cos(t)). ratkaisun y(t) raja-arvo lim t y(t), kun tiedetään, että se on olemassa.

57 4.5. Integraaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella 5 Laplace-muunnos antaa s Y (s) sy() y () + 6(sY (s) y()) + 9Y (s) = s + 3 s+3 Y (s) = + (s + 6)y() + y () s. + 6s + 9 Ko. raja-arvo saadaan nyt soveltamalla Lauseen 4..7 kohtaa () [ s s+3 lim y(t) = lim sy (s) = lim + s(s + 6)y() + ] sy () t s s (s + 3) =. 4.5 Integraaliyhtälöiden ratkaiseminen Laplace-muunnoksella Integraaliyhtälöissä tuntematon funktio esiintyy osana integroitavaa funktiota. Tyypillinen lineaarinen integraaliyhtälö on muotoa (4.8) a(t)y(t) + β α K(t, u)y(u)du = f(t). Funktiota K(t, u) sanotaan integraaliyhtälön ytimeksi. Yhtälöä (4.8) sanotaan homogeeniseksi, jos f(t). Jos kerroinfunktio a(t), kutsutaan yhtälöä (4.8) toisen lajin integraaliyhtälöksi tai ns. Fredholmin integraaliyhtälöksi. Jos a(t), saadaan ns. ensimmäisen lajin integraaliyhtälö: β α K(t, u)y(u)du = f(t). Käsittelemme yhtälön (4.8) erikoistapausta, jossa ko. funktion konvoluutio: (4.9) ay(t) + t h(t u)y(u)du = f(t). integraalitermi on kahden (Tässä lisäksi kerroin a on vakio.) Kyseessä on itse asiassa ns. Volterran integraalinyhtälön erikoistapaus. Tämä yhtälö voidaan ratkaista Laplace-muunnoksen avulla käyttämällä apuna konvoluutioteoreemaa (Lause 4..3). Yhtälö (4.9) muuntuu Laplace-muunnoksessa muotoon ay (s) + H(s)Y (s) = F (s), missä H(s) = L(h(t); s). Tästä saadaan rakaisemalla ja edelleen Y (s) = F (s) a + H(s) ( ) F (s) y(t) = L a + H(s) ; t. (Edellyttäen, että kaikki yo. muunnokset ovat olemassa.)

58 5 Chapter 4. Laplace-muunnos Esimerkki Ratkaistaan.lajin integraaliyhtälö t Laplace-muunnos antaa yhtälön e (t u) y(u)du = t. Y (s) s + = s, kts. Taulukko B. Siten (s + ) Y (s) = s = s + s. Ottamalla käänteismuunnos saadaan edelleen, kts. Taulukko B, ( ) ( ) y(t) = L s ; t + L s ; t = ( + t). Esimerkki Ratkaistaan. lajin integraaliyhtälö y(t) + t Laplace-muunnos puolittain antaa yhtälön cos(t u)y(u)du = sin(t). Y (s) + s s + Y (s) = s + Y (s) = s + s + ( ) ( ) y(t) = L s + s + ; t = e t 5 4 sin 5 4 t, missä on käyttetty Taulukon B kaavaa (5) ja Lauseen 4.. kohtaa (4). Kun integraaliyhtälö (4.8) tai (4.9) sisältää lisäksi tuntemattoman funktion derivaattoja, sanotaan ko. yhtälöä integro-differentiaaliyhtälöksi. Esimerkki Ns. RLC-piirin (kts. kuva) virta i(t) toteuttaa differentiaaliyhtälön L d dt i(t) + R d dt i(t) + C i(t) = d dt e(t). Integroimalla ajan t suhteen ko. differentiaaliyhtälö muuntuu integro-differentiaaliyhtälöksi L d dt i(t) + Ri(t) + i(u)du = e(t). C Ratkaistaan tämä yhtälö Laplace-muunnoksen avulla: L(sI(s) i()) + RI(s) + I(s) = E(s) C }{{} s Lause 4..6 LCs I(s) = i() LCs + RCs + + Cs LCs + RCs + E(s). t

59 4.6. Siirtofunktio Siirtofunktio Laplace-muunnoksia ja seuraavassa luvussa käsiteltäviä Z-muunnoksi käytetään paljon tekniikan sovelluksissa. Usein ne esiintyvät lineaaristen input-output-systeemien yhteydessä. Tilannetta havainnollistaa seuraava kaavio x(t) [LTI-systeemi] y(t) Tässä x(t) on systeemin input eli heräte tai syöte ja y(t) on systeemin output eli vaste tai tulosuure. LTI-systeemin (Linear Time Invariant system) toimintaa kuvataan funktiolla g(t), jota kutsutaan systeemin impulssivasteeksi. Tällöin systeemin vaste y(t) saadaan impulssivasteen ja herätteen x(t) konvoluutiona: y(t) = (g x)(t) eli tai y(t) = y(t) = t g(u)x(t u)du g(u)x(t u)du, jos g(t) = x(t) =, kun t <. Laplace-muunnos muuntaa jälkimmäisen yhtälön muotoon Y (s) = G(s)X(s). Ts. vasteen y(t) Laplace-muunnos Y (s) saadaan impulssivasteen g(t) Laplacemuunnoksen G(s) ja herätteen x(t) Laplace-muunnoksen tulona. Systeemin rakennetta kuvaavaa funktiota G(s) = Y (s) ( = L(output) ) X(s) L(input) kutsutaan systeemin siirtofunktioksi. Tässä oletetaan, että x(t) ja y(t) ovat nollaalkuarvoisia; ts. että niiden arvot ja mahdolliset derivaattojen arvot pisteessä t = (lähtöhetki) ovat kaikki nollia. Esimerkki kertaluvun differentiaaliyhtälössä y (t) + ay(t) = f(t), f(t) on heräte ja y(t) on vaste. Alkuehdon y() = nojalla Y (s) = F (s) s + a, katso kaava (4.6), ts. G(s) = s+a on tämän systeemin siirtofunktio. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa siirtofunktion G(s) = s+a avulla muodossa (vrt. kaava (4.6)) Y (s) = y()g(s) + G(s)F (s).

60 54 Chapter 4. Laplace-muunnos Esimerkki kertaluvun differentiaaliyhtälö y (t) + ay (t) + by(t) = f(t), missä f(t) on heräte ja y(t) on vaste. Alkuehdoilla y() = y () = saadaan joten systeemin siirtofunktio on Y (s) = G(s) = F (s) s + as + b, s + as + b. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa nyt muodossa (vrt. kaava (4.7)) Y (s) = (y()(s + a) + y ())G(s) + G(s)F (s).

61 55 Luku 5: Vektori- ja sisätuloavaruudet Vektoriavaruus on (epätyhjä) joukko V, jonka alkioihin liitetään kaksi laskutoimitusta: yhteenlasku ja skalaarikertolasku. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan yleensä vektoreiksi. Yhteenlasku liittää kahteen V :n alkioon x, y V kolmannen alkion, jota merkitään x + y( V ). Siis yhteenlasku on kuvaus V V V. Yhteenlaskulta vaaditaan seuraavat ominaisuudet: () x + y = y + x, x, y V (vaihdannaisuus) () (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V (liitännäisyys) (3) nolla-alkion olemassaolo: (4) vasta-alkion olemassaolo: V s.e. x + = x, x V x V y V s.e. x + y = Vasta-alkiota y merkitään symbolilla x. Vektoriavaruus voi olla reaali- tai kompleksikertoiminen riippuen siitä määritelläänkö skalaarilla kertominen reaali- vai kompleksilukujen avulla. Kummassakin tapauksessa skalaarikertolaskulta, joka tarkemmin ilmaistuna on kuvaus R V V tai C V V, vaaditaan seuraavat ominaisuudet (tässä K = R tai K = C): (5) a(bx) = (ab)x, a, b K, x V, (skalaarikertolaskun liitännäisyys) (6) a(x + y) = ax + ay, a K, x, y V (osittelulait) (7) (a + b)x = ax + bx, a, b K, x V (osittelulait) (8) luku K on skalaarikertolaskun neutraalialkio: x = x, x V Esimerkki R n on reaalikertoiminen vektoriavaruus: yhteenlasku : (x,..., x n ) + (y,..., y n ) = (x + y,..., x n + y n ); skalaarikertolasku : a(x,..., x n ) = (ax,..., ax n ). Jos tässä a C ja x i, y i C, i n, saadaan kompleksilukujonojen muodostama vektoriavaruus C n.

62 56 Chapter 5. Vektori- ja sisätuloavaruudet Esimerkki Funktioavaruuksia. (a) V = {f : R R}, reaalifunktiot R:ssä yhteenlasku : (f + g)(x) = f(x) + g(x), x R; skalaarikertolasku : (af)(x) = af(x), a R, x R. (b) V p = {p : R R reaalikertoiminen polynomi} varustettuna kohdan (a) laskutoimituksilla. Nimittäin p, q polynomeja = p + q ja ap (a R) polynomeja, joten V p V eli V p on V : n vektorialiavaruus. (c) C([a, b]) = {f : [a, b] R jatkuva funktio} varustettuna kohdan (a) laskutoimituksilla on myös vektoriavaruus. Nytkin kyseiset laskutoimitukset ovat hyvinmääriteltyjä joukossa C([a, b]), sillä f, g jatkuva = f + g ja af (a R) jatkuva. Esimerkkien (a)-(c) vektoriavaruudet ovat ääretönulotteisia. Alkiota x,..., x n V sanotaan lineaarisesti riippumattomiksi, jos niiden lineaarikombinaatioille pätee n a i x i = = a = a =... = a n =. i= Ääretönulotteisessa vektoriavaruudessa lineaarisesti riippumattomia alkioita löytyy äärettömän monta. 5. Sisätuloavaruus Vektoriavaruuteen voidaan liittää geometriset ominaisuudet sisätulon avulla. Reaalikertoimisen vektoriavaruuden tapauksessa sisätulo määritellään kuvauksena (, ) : V V R, x y (x, y) (x, y V ), jolta vaaditaan seuraavat ominaisuudet: x, y, z V ja a R () (x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus) () (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (lineaarisuus) (3) (ax, y) = a(x, y) (skalaarin siirtosääntö) (4) (x, x) ja (x, x) = x = (positiivisuus) Jos kyseessä on kompleksikertoiminen vektoriavaruus, niin ja ehto () korvataan ehdolla (, ) : V V C, x y (x, y), x, y V

63 5.. Sisätuloavaruus 57 ( ) (x, y) = (y, x), (eli (y, x):n kompleksikonjugaatti) Kohdan () lineaarisuusominaisuus toisen muuttujan suhteen saadaan seuraavasti: ( ) (x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z). Edelleen skalaarin siirtosääntö jälkimmäisen komponentin suhteen saa muodon (3 ) (x, ay) = (ay, x) = a(y, x) = a(x, y), x, y V ja a C Esimerkki 5... (a) R n :ssä sisätulon voi määritellä skalaari- eli pistetulon avulla: (x, y) = x y = x y + x y x n y n, tässä x = (x,..., x n ) ja y = (y,..., y n ). (b) C n :ssä sisätulon voi määritellä vastaavasti kaavalla Tällöin nimittäin x C n : (x, y) = x y + x y x n y n. (x, x) = x x + x x x n x n = x + x x n, tässä x i = x i x i on x i : n, i n, moduli. Esimerkki 5... Funktioavaruudessa C([a, b]) sisätulon voi määritellä kaavalla (f, g) = b a f(t)g(t)dt, f, g C([a, b]). Ominaisuus () seuraa yhtälöstä f(t)g(t) = g(t)f(t). Ominaisuudet () ja (3) seuraavat integraalin b a lineaarisuudesta. Ehto (4): ja lisäksi = b a (f, f) = b a f(t) dt f(t) dt f(t) = koska f on jatkuva funktio välillä [a, b]. Sisätulon avulla V :n alkioihin voidaan liittää normi: t [a, b], x := (x, x), x V (vektorin pituus) Sisätulo toteuttaa tärkeän ns. Cauchy-Schwarzin epäyhtälön: (x, y) x y, x, y V (todistus sivuutetaan) Normille saadaan sisätulosta seuraavat ominaisuudet:

64 58 Chapter 5. Vektori- ja sisätuloavaruudet () x x V ja x = x = ; () ax = a x x V, a R tai a C; (3) x + y x + y x, y V (kolmioepäyhtälö). Todistus. Kohdan (3) perustelu: x + y = (x + y, x + y) = (x, x + y) + (y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = x + Re (x, y) + y x + (x, y) + y x + x y + y = ( x + y ). Esimerkki (a) ( b ) ( a f(t)g(t)dt b a f(t) b dt a g(t) dt Cauchy-Schwarzin epäyhtälö C([a, b]):ssä. ) (b) f(t) dt = ( ) ( f(t) dt f(t) dt Tätä kutsutaan Jensenin epäyhtälöksi. Esim. ( ) tdt = 4 < dt t = 3. ) = ( f(t) dt Normi liittää V :n alkioihin niiden pituuden. Erotuksen x y normi x y puolestaan ilmoittaa pisteiden x, y V välisen etäisyyden toisistaan. Sisätulon avulla voimme määritellä myös x:n ja y:n välisen kulman (x, y) kaavalla cos (x, y) = (x, y), (x, y) π, x y (x,y) kun V on reaalikertoiminen. Huom. x y Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla. Siten x ja y ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, merk. x y, jos ja vain jos (x, y) =. Sovimme, myös, että x x V. Vektorin x kohtisuora eli ortogonaalinen projektio y:lle saadaan kaavalla (5.) P y x = (x, y) y y = (x, y y ) y y. Erityisesti, jos y =, niin P y x = (x, y)y. Jos vektorit y, y,... y n ovat kaikki keskenään kohtisuorassa toisiaan vastaan, ts. (y i, y j ) =, kun i j, ja x = n i= a iy i, niin välttämättä ). a i = (x, y i), i =,..., n. y i

65 5.. Sisätuloavaruus 59 Nimittäin (x, y j ) = ( n a i y i, y j ) = i= n (a i y i, y j ) = a j (y j, y j ) = a j y j. Siis, jos (y i, y j ) =, kun i j, niin voimme kirjoittaa x = n i= P y i x. i= Usein ortogonaaliset vektorit vielä normeerataan yksikkövektoreiksi: e i = y i y i, i n, jolloin saadaan ortonormaali jono e, e,... e n : (e i, e j ) =, i j, ja (e i, e i ) =, i n. Tällöin niiden lineaarikombinaatiot voidaan esittää muodossa n n x = (x, e i )e i = P ei x. i= (Tässä esiintyvää lukua (x, e i ) kutsutaan toisinaan myös x:n Fourier-kertoimeksi e i -kantavektorin suhteen.) Lause Vektoriavaruuden sisätulolla on seuraavat ominaisuudet: () Pythagoran ominaisuus: Jos y,..., y n ovat ortogonaaliset, niin () Suunnikassääntö: (3) Polaariyhtälöt: i= y y n = y y n ; x + y + x y = x + y ; (a) Kun vektoriavaruus on reaalikertoiminen, pätee (x, y) = ) ( x + y x y ; 4 (b) Kun vektoriavaruus on kompleksikertoiminen, pätee (x, y) = ) ( x + y x y + i x + iy i x iy ; 4 Kaikki kaavat todetaan oikeiksi suoralla laskulla. Kohdasta () seuraa, että ortogonaaliset vektorit ovat aina lineaarisesti toisistaan riippumattomia. Nimittäin a y + a y a n y n = = = a y a n y n = a y +... a n y n = a =... = a n =, sillä y i >, i n.

66 6 Chapter 5. Vektori- ja sisätuloavaruudet Olkoon e,..., e n V ortonormaali jono ja olkoon E n ko. vektoreiden virittämä n-ulotteinen V :n aliavaruus: n E n = span {e,..., e n } := { a i e i : a i K, i n}, i= tässä K = R tai K = C. Olkoon x V mielivaltainen V :n vektori. Pyritään löytämään y E n siten, että etäisyys x y minimoituu. Lause Olkoon x V, tällöin missä x P En x x y, y E n, P En x := n P ei x = i= n (x, e i )e i. Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos y = P En x on x:n kohtisuora projektio E n :lle. Todistus. Olkoon u = n i= a ie i E n. Tällöin n (x u) E n = (x u, e j ) = (x a i e i, e j ) = (x, e j ) a j, u = i= n (x, e i )e i = P En x. i= i= j n Nyt y E n pätee u y E n ja siten (u y) (x u). Pythagoran lauseen (Lause 5..4) nojalla pätee Niinpä x y = (x u) + (u y) = x u + u y x u. x y x u = x P En x, y E n ja tässä yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos u y = y = u = P En x. Jokainen x V voidaan projektion P En avulla jakaa kahteen osaan, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: x = (x P En x) + P }{{} En x, (x P }{{} En ) P En x. En E n E n on E n :n kohtisuora komplementti, kirj. V = E n E n. Itse asiassa P En on lineaarinen kuvaus V :ssä: P En (ax + by) = ap En x + bp En y x, y V ja a, b K. Sillä on seuraavat kaksi karakterisoivaa ominaisuutta: Tässä P E n P E n = P En (P En on projektio) P En = P E n (P En kohtisuoruusominaisuus). on P En :n konjugaatti transpoosi: (P E n x, y) = (x, P En y), x, y V.

67 5.. Sisätuloavaruus 6 Seuraus (Besselin epäyhtälö) Kaikille x V pätee epäyhtälö n (x, e i ) x, i= missä e,..., e n on ortonormaali jono V :ssa. Todistus. Koska (I P En )x P En x, Lause 5..4 antaa x = x P En x + P En x P En x. Toisaalta e i e j, i j, ja e i =, i n, joten edelleen n n n P En x = (x, e i )e i = ( (x, e i )e i, (x, e i )e i ) = = i= n (x, e i ). i= i= i= n (x, e i ) e i i= Seuraus (Parsevalin yhtälö) Jos x ja y ovat E n :n alkioita, niin Erityisesti (x, y) = x = n (x, e i )(y, e i ). i= n (x, e i ), x E n. Todistus. Kirj. x = n i= (x, e i)e i, y = n j= (y, e j)e j. Tällöin i= n n (x, y) = ( (x, e i )e i, (y, e j )e j ) = i= j= n n (x, e i )(y, e j )(e i, e j ) = i= i= n (x, e i )(y, e j ). i= Mikä tahansa V :n alkioiden muodostama jono lineaarisesti riippumattomia alkioita voidaan ns. Gram-Schmidtin ortogonalisoimismenetelmällä muuntaa ortonormaaliksi jonoksi. Lause (Gram-Schmidtin ortogonalisointi) Olkoon {x, x,...} jono lineaarisesti riippumattomia V :n alkioita. Tällöin jono e = x x, e = x (x, e )e x (x, e )e,..., e n = x n n i= (x, e i)e i x n n i= (x, e i)e i,... jne... on ortonormaali. Lisäksi E n = span {x,..., x n } = span {e,..., e n }, n N.

68 6 Chapter 5. Vektori- ja sisätuloavaruudet Todistus. Geometrisesti ilmeinen. Voimme kirjoittaa: e n = un u n, u n P (n ) x n, missä P (n ) on ortogonaali projektio E n :lle. = x n Esimerkki x = (,,, ), x = (5,,, ) ja x 3 = ( 3, 3,, 3), sillä u = x ; u = x P () x = x (x, u ) u u = (5,,, ) 4 (,,, ) = (4,,, ); 4 u 3 = x 3 P () x 3 = x 3 (x 3, u ) u u (x 3, u ) u u = ( 3, 3,, 3) (,,, ) (4,,, ) = (,,, ). 4 Koska u 3 = (,,, ) vektorit x, x, x 3 ovat lineaarisesti riippuvia. Toisaalta u, joten x ja x ovat lineaarisesti riippumattomia ja saamme e = u u = (,,, ) ja e = u u = 6 (,,, ). Esimerkki 5... Varustetaan vektoriavaruus V = {p : [, ] R, p on polynomi} sisätulolla (p, q) = p(t)q(t) dt, p, q V. Polynomit p n = t n, n =,,,... muodostavat V :n lineaarisesti riippumattoman jonon; itse asiassa jopa virittivät V :n (ts. muodostavat V :n kannan). Gram- Schmidtin ortogonalisointi antaa: Koska (p, u ) = u (t) = p (t) =. t dt = ja u = saadaan kuten edellä kaavan (5.) mukaan Edelleen (p, u ) = joten dt =, u (t) = p (t) (p, u ) u u (t) = p (t) u (t) = t. t dt = 3, (p, u ) = t t dt =, ja u = u (t) = p (t) (p, u ) u u (p, u ) u u = t 3. u = t dt = 3, Vastaavasti: u 3 (t) = t t, u 4(t) = t t ja u 5(t) = t 5 9 t3 + 5 t. Yleisesti: u n (t) = n! d n (n)! dt (t ) n. n Normalisoimalla pituudet saadaan: e (t) = u 3, e (t) = t, e (t) = 5 (3t ), jne.... (ns. normalisoidut Legendre polynomit). u (t) u (t) =

69 63 Luku 6: Fourier-sarjat Taylorin sarjojen yhteydessä funktioita pyritään kehittämään potenssisarjoiksi. Kompleksialueessa tämä onnistuu analyyttisten funktioiden tapauksessa, reaalifunktioille välttämätön (mutta ei riittävä) ehto on, että funktiolla on kaikkien kertalukujen derivaatat. Fourier-sarjojen tapauksessa näitä säännöllisyysvaatimuksia voidaan huomattavasti lieventää. Tällöin funktio pyritään esittämään ns. trigonometrisen sarjan, jonka termit koostuvat sini- ja kosinifunktioista summana. Ne ovat muotoa a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)). i= Koska sin(x) ja cos(x) ovat π-jaksollisia, on ilmeistä, että jos yo. trigonometrinen sarja suppenee kohti funktiota f(x), niin f on π-jaksollinen. Nyt voimmekin kysyä milloin annettu funktio f : [ π, π] R voidaan esittää yo. sarjan summana ja miten kertoimet a, a, a,... sekä b, b, b 3,... pitää valita? 6. Fourier-kertoimet Tarkastellaan trigonometrisen sarjan luonnetta geometrisesta näkökulmasta. Funktiot cos(nx) ja sin(nx) ovat jatkuvia ja siten integroituvia välillä [ π, π]. Kaavoista cos(mx) cos(nx) = [cos((m + n)x) + cos((m n)x)] ; sin(mx) sin(nx) = [cos((m n)x) cos((m + n)x)] ; cos(mx) sin(nx) = [sin((m + n)x) sin((m n)x)], m, n N, seuraa π-jaksollisuudesta johtuen, että m, n N: ja π π cos(mx) cos(nx)dx = π π π π sin(mx) sin(nx)dx = cos(mx) sin(nx)dx =. {, m n π, m = n Näin ollen funktiot e (x) = π, e n (x) = cos(nx) π, ẽ n (x) = sin(nx) π, n =,,... muodostavat ortonormaalin jonon vektoriavaruuteen C([ π, π]) sisätulon (f, g) = π π f(t)g(t)dt, f, g C([ π, π])

70 64 Chapter 6. Fourier-sarjat suhteen. Trigonometriseen sarjaan liittyvää osasummaa S N = a N + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) i= sanotaan astetta N olevaksi trigonometriseksi polynomiksi. Jos f : [ π, π] on jatkuva, jolloin f C([ π, π]), niin Lauseen 5..5 nojalla lauseke f S N = π π saavuttaa minimin (kiinteällä N:n arvolla), kun (6.) S N = Tämä tarkoittaa, että ja a n = π π a = π π π N i= f(x) S N (x) dx (f, e n )e n = P EN f. f(x) dt = π π π f(x) cos(nx)dx ja b n = π π π π π f(x)dx f(x) sin(nx)dx, n =,,.... Kun nämä kertoimet on laskettu ne määräävät sarjan a + i= (a n cos(nx) + b n sin(nx)). Jos tämä sarja suppenee (pisteittäin) kohti funktiota f, niin kohdan (6.) merkintöjä käyttämällä saadaan Seuraavan lauseen tulos on nyt ilmeinen. f(x) = lim N S N(x) = lim N P E N f(x). Lause 6... Jos f(x) = a + i= (a n cos(nx) + b n sin(nx)) ja f on (paloittain) jatkuva välillä [ π, π], niin n N pätee a n = π π π f(x) cos(nx)dx ja b n = π π π f(x) sin(nx)dx. Lauseen 6.. lukuja a n ja b n, n N, sanotaan funktion f trigonometrisiksi Fourier-kertoimiksi ja niiden määräämää sarjaa funktion f trigonometriseksi Fouriersarjaksi. Jos f on välillä [ π, π] integroituva, ts. π π f(x) dx <, myös tulofunktiot f(x) cos(nx) ja f(x) sin(nx), n N, ovat integroituvia välillä [ π, π] ja π π π f(x) cos(nx)dx f(x) cos(nx) dx f(x) dx <. π π π

71 6.. Fourier-kertoimet 65 Siten Fourier-kertoimet ja Fourier-sarja voidaan muodostaa, kun f on integroituva (ei välttämättä jatkuva) välillä [ π, π]. On huomattava, että Fourier-sarja ei aina kuitenkaan välttämättä suppene (edes jatkuvan funktion tapauksessa), ja vaikka se suppenisi, ei sen summa välttämättä yhdy alkuperäiseen funktioon f(x). Esimerkki 6... Olkoon f : [ π, π] R määritelty seuraavasti: f(x) = {, π < x < ;, x π. Huomaa, että f on epäjatkuva pisteessä x =. Muodostetaan f:n Fourier-sarja. Fourier-kertoimet ovat: a = [ π ] dx + dx = [ π + π] = π π a n = π b n = π [ [ π π π cos(nx)dx + sin(nx)dx + π π = [ ] cos(nπ) cos(nπ) + nπ Siis f:n Fourier-sarja on S f (x) = + 6 π k= sin((k + )x) k + ] cos(nx)dx = [ π ] sin(nx)dx = π = + 6 π sin(nx) n + sin(nx) π] π n = [ cos(nx) n cos(nx) π] π n {, n parillinen; 6 nπ, n pariton. = 3 nπ [ ( )n ] = (sin(x) + 3 sin(3x) + 5 sin(5x) +... ). Selvästi S f () =, joten S f () f() =. Fourier-sarja ei suppene kohti f:ää pisteessä x =. (Sen sijaan pisteissä x, π < x < π, pätee S f (x) = f(x).) Havaitaan myös, että f:n epäjatkuvuuskohdassa S f () = +, ts. S f () = ( ) lim f(x) + lim f(x). x x + Seuraavat tulokset saattavat usein helpottaa Fourier-kertoimien laskemista. Lause Jos f on a-jaksollinen jatkuva funktio, niin (6.) a a f(t)dt = a+r a+r f(t)dt, r R. Todistus. (6.3) a a f(t)dt = a+r a a+r a f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt a+r a+r

72 66 Chapter 6. Fourier-sarjat Jaksollisuudesta johtuen voimme kirjoittaa a+r a f(t) dt = a+r a f(t + a) dt = a+r a a f(u) dt = f(u) du, a+r missä toinen yhtälö saadaan sijoituksella u = t + a (jolloin du = dt, t = a u = a, t = a + r u = a + r). Huomioimalla edellinen yhtälö lausekkeessa (6.3) saadaan kaava (6.). Niinpä, kun jaksollinen funktio integroidaan yli jaksovälinsä, integroinnin aloituskohdan voi valita vapaasti. Esimerkki Jos f on π-jaksollinen funktio, niin a n = π b n = π π π f(x) cos(nx)dx = π π π f(x) sin(nx)dx = π π π f(x) cos(nx)dx, f(x) sin(nx)dx. Lause Jos f(x) on integroituva funktio, niin c R pätee: arvoilla n =,, 3,.... a n = π b n = π π π π π (f(x) + c) cos(nx)dx, (f(x) + c) sin(nx)dx, Todistus. π π c cos(nx)dx = = π π c sin(nx)dx, c R, < n N. Tulos osoittaa, että jos funktioon f lisätään vakio c, niin sen Fourier-sarjassa ainoastaan kerroin a = π π f(x)dx muuttuu arvoon a + π π π cdx = a + c, jolloin a a + c. Jos funktio f(x) kerrotaan kiinteällä vakiolla a, niin funktion af(x) Fourier-kertoimet saadaan kertomalla vastaavat f(x):n Fourier-kertoimet vakiolla a, sillä esim. (6.4) π π π (af(x)) sin(nx) dx = a f(x) sin(nx) dx. π Parillisille ja parittomille funktioille on voimassa seuraava yleinen tulos, joka yhdistettynä edellisiin havaintoihin, helpottaa usein Fourier-kertoimien laskemista.

73 6.. Fourier-kertoimet 67 Lause Jos f on parillinen funktio, niin b n =, n N, ja jos f on pariton funktio, niin a n =, n N. Todistus. Jos f on parillinen, niin tulofunktio f(x) sin(nx) on pariton. Tästä seuraa, että π π f(x) sin(nx)dx =. Vastaavasti, jos f on pariton, tulofunktio f(x) cos(nx) on pariton, mistä seuraa, että π π f(x) cos(nx)dx =. Esimerkki (Vrt. esim. 6..) π-jaksollinen suorakaideaalto on muotoa f(x) = { k, π < x < ; k, < x < π; f(x + πk) = f(x), k Z. Sen Fourier-kertoimet saadaan Lauseiden 6..5 ja 6..6 sekä Esimerkin 6.. avulla suoraan huomioimalla lisäksi kaava (6.4): f:n Fourier-sarja on siis muotoa a n =, n =,,,... (f pariton) {, n parillinen b n = k 6 3 nπ = 4k nπ, n pariton S f (x) = 4k π (sin(x) + 3 sin(3x) + 5 sin(5x) +... ) Funktion f Fourier-sarjaan liittyviä ensimmäisiä osasummia on esitetty Kuvissa 6.. Kuviot viittavat siihen, että kyseinen Fourier-sarja suppenee ja että sen summa yhtyy alkuperäiseen funktioon f pisteissä x, joissa f(x) on jatkuva. Funktio f(x) on epäjatkuva pisteissä x = ja x = ±π sekä yleisemmin pisteissä x = kπ, k Z. Funktion f epäjatkuuvuuskohdissa pätee sin(kπ) = ja tämän seurauksena Fourier-sarjan summana on myös arvo nolla. Havaitaan, että kyseinen arvo nolla on toisaalta alkuperäisen funktion f toispuoleisten raja-arvojen aritmeettinen keskiarvo pisteissä x = kπ. Pisteessä x = π funktio f on jatkuva, ja jos vastaavan Fourier-sarjan summa yhtyy arvoon f( π ), niin f( π ) = k = 4k π ( ), ja siten = π 4. Tämä osoittaa, että Fourier-sarjan avulla voi kätevästi laskea hankalien reaalilukusarjojen summia. Ko. sarjan summan laski ensimmäisenä Leibniz (v. 673) geometrisin keinoin.

74 68 Chapter 6. Fourier-sarjat Π Π Π Π Π 3Π - - (a) funktio f. (b) f:ää approksimoiva Fourier-sarjan ensimmäinen osasumma. Π Π Π Π - - (c) f:ää approksimoiva Fourier-sarjan toinen osasumma. (d) f:ää approksimoiva Fourier-sarjan kolmas osasumma. Kuva 6.: f ja sitä approksimoivat kolme ensimmäistä Fourier-sarjan osasummaa. 6. Fourier-sarjan suppeneminen Jos f on integroituva funktio välillä [ π, π], niin sille voidaan muodostaa vastaava Fourier-sarja: f(x) a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) =: S f (x), i= missä a n ja b n ovat f:n Fourier-kertoimet (Lause 6.. ), osoittautuu, että ko. sarja suppenee kohti alkuperäistä funktioita melko vähäisillä oletuksilla funktiosta f. Funktio f : [a, b] R on paloittain jatkuva, jos f on jatkuva välillä [a, b] lukuunottamatta äärellistä määrää pisteitä, joissa sillä on olemassa äärelliset toispuoleiset rajaarvot. Edelleen funktiota f sanotaan paloittain jatkuvasti derivoituvaksi välillä [a, b], jos f on välillä [a, b] paloittain jatkuva ja derivoituva lukuunottamatta äärellistä määrää pisteitä, ja jos lisäksi sen derivaatta f on paloittain jatkuva välillä [a, b]. Lause 6... Olkoon f π-jaksollinen funktio, joka on välillä [ π, π] paloittain jatkuvasti derivoituva. Tällöin f:n Fourier-sarja S f (x) suppenee pisteessä x R kohti f:n vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvon keskiarvoa: S f (x) = (f(x + ) + f(x )). Erityisesti, jos f on jatkuva pisteessä x, niin S f (x) = f(x).

75 6.. Fourier-sarjan suppeneminen 69 Todistus. Esitämme todistuksen vain tapauksessa, jossa f on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Osittaisintegrointi antaa a n = π π π f(x) sin(nx) π f(x) cos(nx)dx = nπ π f (x) sin(nx)dx. π nπ π }{{} = Suoritetaan osittaisintegrointi toisen kerran, jolloin saadaan a n = f (x) cos(nx) π n π π π n f (x) cos(nx)dx = π π π n f (x) cos(nx)dx. π π }{{} = Huomaa, että oletuksen mukaan f on π-jaksollinen funktio, jolloin myös sen derivaatta f on π-jaksollinen funktio. Tällöin erityisesti f ( π) = f (π), mikä selittää sen, että edellisen lausekkeen ensimmäisessä termissä tehtävä sijoitus todella antaa arvoksi luvun nolla. Koska f on jatkuvana suljetulla välillä rajoitettu eli f (x) M <, x [ π, π], saadaan arvio a n = n π π π f (x) cos(nx)dx n π π π f (x) cos(nx) dx π n Mdx = M π π n, n =,,.... Vastaavasti nähdään, että b n M kaikilla n =,,.... Majoranttiperiaatteen nojalla f:n Fourier-sarja suppenee, sillä sarja n n= suppenee n yliharmonisena sarjana. Lisäksi sarjan summa S f (x) on tässä tapauksessa jatkuva funktio (yo. ns. Weierstrassin majoranttiehto = suppeneminen on tasaista välillä [ π, π]). Selvästi S f (x):n Fourier-kertoimet ovat a n, b n n N: a n (S f ) = a n (f) ja b n (S f ) = b n (f). Näin ollen (f S f ) cos(nx), sin(nx) n N avaruuden C([ π, π]) sisätulon suhteen (f S f ) C([ π, π]), joten välttämättä f S f (C([ π, π]):n nollavektori). Esimerkki 6... π-jaksollinen suorakaideaalto on epäjatkuva pisteissä x = kπ, k Z. Sen Fourier-sarja suppenee kohti alkuperäistä funktioita lukuunottamatta pisteitä x = kπ, k Z, joissa pätee S f (kπ) = (Kts. Kuva 6. ). Esimerkki (sahahammasaalto) Olkoon f π-jaksollinen funktio, jonka määrittelee ehdot f(x) = x + π, π < x < π ja f(x + πk) = f(x), k Z.

76 7 Chapter 6. Fourier-sarjat Π Π Π 3Π Π Π Π Π 3Π Π Kuva 6.: funktio f(x). Välillä [ π, π] funktio y = x on pariton (ja siten myös sen π-jaksollinen jatke a f(x) π, x R). Nyt Lauseet 6..5 ja 6..6 antavat: = π ja a n =, n =,, 3,... b n = π x sin(nx)dx = [ x cos(nx) π π ] cos(nx) π π π n + dx π π n }{{} = π [ π cos(nπ) + n ] ( π) cos(nπ) = ( )n. n n S f (x) = π + (sin(x) sin(x) + sin(3x)...) = f(x), 3 kun x kπ, k Z, ja S f (kπ) = π. Π = Π Π Π Π Π Kuva 6.3: funktio f(x) ja sen kolme ensimmäistä Fourier-approksimaatiota; vrt. []. Yllä esitetyt tulokset voidaan helposti siirtää π-jaksollisesta tapauksesta funktioille, jotka ovat a = L-jaksollisia. Tällöin esim. funktioon f : [ L, L] R

77 6.3. Kompleksiset Fourier-sarjat 7 liittyvä Fourier-sarja ja sen Fourier-kertoimet saadaan kaavoilla f(x) a + ( a n cos( nπx L ) + b n sin( nπx ) L ), a n = L n= L L f(x) cos( nπx L )dx ja b n = L L L f(x) sin( nπx L )dx. Myös Lauseiden 6..5, 6..6 ja 6.. tulokset ovat ilmeisin muutoksin voimassa Ljaksollisille funktioille. 6.3 Kompleksiset Fourier-sarjat Fourier-sarja esitetään usein kompleksisessa muodossa. Ideana on käyttää eksponenttifunktiota e z, joka on määritelty koko kompleksitasossa kaavalla e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos(y) + i sin(y)). Tällöin cos(y) = eiy + e iy Voimme nyt kirjoittaa ja sin(y) = eiy e iy. i a n cos(nx)+b n sin(nx) = a n e inx + e inx +b n e inx e inx i = a n ib n e inx + a n + ib n e inx. Merk. c = a ja c n = a n ib n, jolloin c n = a n+ib n. Tällöin c n = π c n = π π π π π f(x)(cos(nx) i sin(nx))dx = π f(x)(cos(nx) + i sin(nx))dx = π Sallimalla n:lle myös negatiiviset arvot havaitsemme, että c n = c n, n =,,.... Sijoittamalla nämä f:n Fourier-sarjaan saamme esityksen f(x) S f (x) = n= π π π π f(x)e inx dx, f(x)e inx dx. c n e inx, c n = π f(x)e inx dx. π π Sarjaa n= c ne inx sanotaan f:n kompleksiseksi Fourier-sarjaksi ja sen kertoimia c n = π π π f(x)e inx dx f:n kompleksisiksi Fourier-kertoimiksi. L-jaksolliselle funktiolle vastaavat kaavat ovat f(x) S f (x) = n= c n e inπ L x, c n = L L L f(x)e inπ L x dx.

78 7 Chapter 6. Fourier-sarjat Kantafunktioihin e inx, n Z, liittyy samat geometriset tulkinnat kuin edellä funktioihin cos(nx) ja sin(nx), n N. Tällöin vektoriavaruuteen C([ π, π]) = {f : [ π, π] C jatkuva}, jossa sallitaan myös kompleksilukuarvoiset funktiot, voidaan liittää sisätulo Nyt (f, g) = π π π f(x)g(x)dx. (e inx, e imx ) = π e inx e π imx dx = π { e i(n m)x, m n, dx = π π π, m = n. Ko. funktiot muodostavat ortonormaalin kannan C([ π, π]):hin, C([ π, π]) = span {e inx : n Z}. Kun f:n Fourier-sarja suppenee kohti f:ää, saamme seuraavan tuloksen: π f(x) dx = ( π ) f(x) c n e inx c π n dx = f(x)e inx dx π π π π π n= n= π = c n c n = c n. n= Seuraus (Parsevalin yhtälö) n= f = π f(x) dx = π π n= c n Huomioimalla, että c n = c n ja että c n = an ibn, voimme kirjoittaa Parsevalin yhtälön myös muodossa f = n= c n = c + n= c n = a 4 + n= a n + b n. Tekniikan sovelluksissa lukua (f:n neliöllinen keskiarvo yli jaksovälin) f = π π π f(x) dx sanotaan usein π-jaksollisen signaalin (funktion) f keskimääräiseksi tehoksi. Parsevalin yhtälö osoittaa, että signaalin teho jakautuu komponenttifunktioiden c n e inx tehojen summaksi, nimittäin: π π π c n e inx c n e inx dx = π π π c n dx = c n.

79 6.3. Kompleksiset Fourier-sarjat 73 Komponentit c n e inx vastaavat eri aaltopituuksia ja kerroin c n kuvaa sitä millä painolla ko. aaltopituus esiintyy signaalissa f. Funktion f Fourier-sarjaan n= c ne inx liitetään tyypillisesti seuraavat käsitteet. π-jaksollisen funktion spektri: pisteparien (n, c n ) joukko, ts. {(n, c n ) : n Z}, (f:n spektri), missä c n on f:n kompleksinen Fourier-kerroin. Spektri ilmoittaa painokertoimet c n, joilla vastaavat ns. harmoniset taajuuskomponentit e inx, n Z, esiintyvät funktion f Fourier-sarjassa. Spektriä voidaan havainnollistaa 3-ulotteisessa avaruudessa; kts. kuvat 6.4 alla. Spektri on kuvaus Z C. Se kuvaa funktiota f ns. taajuusalueessa, kun taas f:n tavanomainen esitys t f(t), t R, kuvaa funktioita f ns. aika-alueessa. (a) Kolmiulotteinen spektri. (b) Spektri suoraan edestä. Kuva 6.4: spektrin havainnollistuksia Kompleksisen Fourier-sarjan painokertoimet c n ovat kompleksilukuja. Luvun c n modulia c n sanotaan amplitudiksi ja sen argumenttia arg(c n ) vaiheeksi. Esittämällä Fourier-kertoimet c n napakoordinaatistossa saadaan f:n spektri jaettua kahteen komponenttiin: amplitudispektriin: {(n, c n ) : n Z}, vaihespektriin: {(n, arg(c n )) : n Z}. Esimerkki Määrätään funktion f(t) = sin(kt) spektri ja sen osat (k N kiinteä). Koska sin(kt) = i (eikt e ikt )

80 74 Chapter 6. Fourier-sarjat päättelemme, että sin(kt):n kompleksiset Fourier-kertoimet ovat c k = i = i, c k = i = i ja c n = muulloin. Siten funktion sin(kt) spektri on {( k, i ), (k, i )}, vastaavasti amplitudispektri on {( k, ), (k, )} ja vaihespektri on {( k, π ), (k, π )}. Π Π - Π Π (a) Funktio f(t) = sin(3t) (b) Funktion f(t) = sin(3t) amplitudispektri. Π Π Π Π (c) Funktion f(t) = sin(3t) vaihespektri. (d) Funktion f(t) = sin(3t) spektri kolmiulotteisena. Kuva 6.5: funktio f = sin(3t), sen spektri ja spetrin kaksi komponenttia. Esimerkki Lasketaan Kuvassa 6.6 olevan sakarapulssin spektri. 4A 3A A A 3T T T T T A A Kuva 6.6: sakarapulssi; vrt. []. Suoraan laskemalla tai käyttämällä apuna Esimerkkiä 6..7 toteamme helposti, että

81 6.3. Kompleksiset Fourier-sarjat 75 sakarapulssiin liittyvän trigonometrisen Fourier-sarjan kertoimet ovat a = A, a n =, ja b n = 4A ( cos(nπ)), n =,, 3,.... nπ Tästä seuraa, että c = A, c n = ib n = ia { 4Ai nπ (einπ ) = nπ, n pariton,, n parillinen. Kuvissa 6.7 on valittu A =. π π (a) Amplitudispektri. (b) Vaihespektri. Kuva 6.7: sakarapulssin spektrin kaksi komponenttia; vrt. []. Huomattakoon, että amplitudispektrissä joka toisen spektriviivan korkeus on nolla ja vaihespektrissä vaihe on aina joko π tai π. Tämä kertoo siitä, että kaikki Fourier-kertoimet ovat puhtaita imaginaarilukuja. Spektriä tarkasteltaessa on hyvä huomioida seuraava painokertoimia c n (tai a n ja b n ) koskeva yleinen tulos. Seuraus Fourier-kertoimille c n on voimassa: lim c n =. n ± Vastaava tulos pätee kertoimille a n, b n : lim n a n = = lim n b n. Todistus. Parsevalin yhtälön (Seuraus 6.3.) nojalla n= c n = f <, joten sarja n= c n suppenee. Tällöin välttämättä lim c n = n ± ja sitten myös lim n ± c n =. Jälkimmäinen väite seuraa siitä, että c n = a n +b n 4. Jos funktion kompleksisesta Fourier-sarjasta halutaan päästä trigonometriseen (reaaliseen) Fourier-sarjaan, niin kertoimet a n ja b n saadaan kertoimista c n kaavoilla a n = Re c n = c n + c n = c n + c n, n, b n = Im c n = c n c n i = i(c n c n ) = i(c n c n ), n >.

82 76 Chapter 6. Fourier-sarjat Palautetaan mieleen, että funktion L-jaksollinen kompleksinen Fourier-sarja on muotoa (6.5) f(x) c n e inπ L x, missä c n = L f(x)e inπ L x dx. L L n= Tässä esityksessä Fourier-sarja muodostuu taajuuskomponenteista, joissa esiintyvät perustaajuuden w = π/l kokonaislukumonikerrat nw, n Z. Jaksollisuudesta päästään muodollisesti eroon antamalla L:n kasvaa mielivaltaisen suureksi (L ), jolloin perustaajuus w. Tämä johtaa yleiseen Fourier-muunnokseen, jota käsitellään seuraavassa luvussa.

83 77 Luku 7: Fourier-muunnos Fourier-muunnokset liittyvät läheisesti Fourier-kertoimien ja -sarjojen käsitteeseen. Fourier-muunnosta voi pitää Fourier-sarjaan liittyvän spektrin yleistyksenä tilanteeseen, jossa taajuutena w = nπ L voi esiintyä mikä tahansa reaaliluku. Tämä saavutetaan muodollisesti antamalla kaavassa (6.5) L. (L-jaksollisen funktion spektriin liittyy kuvaus nw c n, missä w = π L ja n Z}.) 7. Fourier-muunnoksen määritelmä ja käänteismuunnos Funktion f : R R tai yleisemmin f : R C Fourier-muunnoksen määrittelee kaava (7.) F (w) = f(t)e iwt dt, w R. Fourier-muunnos on hyvin määritelty w R, jos f on integroituva yli koko R:n, ts. jos f(t) dt <. Tällöin funktion f Fourier-muunnos on kuvaus F : R C, w F (w). Sen arvot ovat siis yleensä kompleksilukuja. Sille käytetään myös merkintää f: f(w) = F (w) = f(t)e iwt dt. Fourier-muunnokseen liittyy läheisesti käänteismuunnos: (7.) F (t) = π F (w)e iwt dw, t R. Muuunnokset F ja F ovat toistensa käänteismuunnoksia, joille käytetään myös seuraavia täsmällisempiä merkintöjä: F(f(t); w) ja F (F (w); t). Tällöin (F F)(f(t)) = f(t) (f ja F integroituvia/jatkuvia), ts. (7.3) ( ) f(s)e iws ds e iwt dt = f(t). π Käänteismuunnos vastaa Fourier-sarjaa, jossa yhteenlaskettavia taajuuskomponentteja e iwt esiintyy kaikilla reaaliluvuilla eli taajuuksilla w R; tällöin muodollisesti

84 78 Chapter 7. Fourier-muunnos n=. Yhdessä F ja F muodostavat ns. Fourier-muunnosparin. Ne esiintyvät toisinaan myös muodossa F (w) = π f(t) = π f(t)e iwt dt, F (w)e iwt dw, vrt. []. Huomaa, että π π = π, jolloin kaava (7.3) pysyy voimassa eli yo. kaavat määräävät edelleen toinen toisensa käänteismuunnoksen. Esimerkki 7... Olkoon f(t) = { k, < t < a;, muulloin. (a > ) Lasketaan funktion f Fourier-muunnos: F (w) = f(t)e iwt dt = a ke iwt dt = ke iwt iw a = k( e iaw ). iw Esimerkki osoittaa, että myös reaalisella vakiolla k R, f:n Fourier-muunnos on kompleksiarvoinen funktio. Esimerkki 7... Olkoon f(t) = { k, a < t < a;, muulloin. (a > ) Nyt f:n Fourier-muunnokseksi saadaan F (w) = f(t)e iwt dt = a a ke iwt dt = ke iwt iw a a = k(eiaw e iaw ) iw = k sin(aw). w sin(x) Nyt f:n Fourier-muunnos on reaaliarvoinen, jos k R. Koska lim x x =, nähdään että F () = f(t)dt = a a kdt = ak = lim w F (w). 6 3Π Π Π Π Π 3Π Kuva 7.: Funktion F (w) = k sin(aw) w kuvaaja arvoilla a = ja k = 3.

85 7.. Laplace- ja Fourier-muunnoksen välinen yhteys Laplace- ja Fourier-muunnoksen välinen yhteys Kun asetamme f(t) = arvoilla t <, saamme esitettyä Laplace-muunnoksen Fourier-muunnoksen avulla: F(f(t); s) = f(t)e ist dt = tai yhtäpitävästi L(f(t); s) = F(f(t); is) (s R). f(t)e ist dt = L(f(t); is) Esimerkki 7... Olkoon f(t) = e at, t ja f(t) =, t <. F(f(t); w) = a+iw ; katso Taulukko A.. Niinpä L(f(t); s) = F(f(t); is) = a i s = a + s, Tällöin kun s > a. Kääntäen lähtemällä kaavasta L(f(t); s) = s+a, s > a, saadaan Fourier-muunnoskaava F(f(t); w) = L(f(t); iw) = a+iw. Laplace- ja Fourier-muunnoksen välisestä yhteydestä seuraa, että Fourier-muunnoksella on samankaltaisia ominaisuuksia kuin Laplace-muunnoksella. 7.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Esitämme eräitä keskeisiä Fourier-muunnoksen ominaisuuksia. Lause Olkoot a ja b vakioita. Tällöin: () (Lineaarisuus) F(af(t) + bg(t); w) = af(f(t); w) + bf(g(t); w), () (Skaalaus) F(f(at); w) = a F(f(t); w a ), kun a > (3) (Siirto) F(f(t t ); w) = e iwt F(f(t); w) (4) (Taajuussiirto) F(f(t)e iw t ; w) = F(f(t); w w ) Todistus. () Seuraa suoraan integraalin lineaarisuudesta. () Käytetään muuttujanvaihtoa λ = at, jolloin dλ = adt; F(f(at); w) = f(at)e iwt dt = = a F(f(λ); w a ). f(λ)e i w a λ a dλ = a (3) Muuttujanvaihto λ = t t, jolloin dλ = dt, antaa F(f(t t ); w) = = e iwt f(t t )e iwt dt = (4) Tämä jätetään harjoitustehtäväksi. f(λ)e iw(λ+t ) dλ f(λ)e iwλ dλ = e iwt F(f(λ); w). f(λ)e i w a λ dλ

86 8 Chapter 7. Fourier-muunnos Esimerkki Lasketaan funktion { 3, 3π x(t) = < t < 5π ;, muulloin. Fourier-muunnos Esimerkin 7.. ja Lauseen 7.3. avulla: Merkitään y(t) = { 3, π < t < π ;, muulloin. Tällöin y(t) = f(t), kun valitaan Esimerkissä 7.. k = 3 ja a = π. Esimerkin 7.. nojalla y:n Fourier-muunnos on F(y(t); w) = 6 sin( πw ). w Toisaalta x(t) = y(t π), jolloin Lauseen 7.3. kohtaa (3) soveltamalla saadaan F(x(t); w) = F(y(t π); w) = e iwπ F(y(t), w) = e iwπ 6 sin( πw ). w Esimerkki (Jatkoa edelliseen esimerkkiin.) Lasketaan esimerkin 7.3. Fouriermuunnos vaiheittain, kun lähtökohdaksi valitaan funktion x (t) = Fourier-muunnos F(x (t); w) = w 7.3. kohtia (), () ja (3): {, π < t < π;, muulloin sin(πw) sin(πw) = π πw. Käytetään apuna Lauseen x (t) = 3x (t) = F(x (t); w) = 3F(x (t); w) = 6 sin(πw) ; w x (t) = x (t) = F(x (t); w) = F(x (t); w ) = 6 sin( πw ) ; w x(t) = x (t π) = F(x(t); w) = e iπw F(x (t); w) = e iπw 6 sin( πw ). w Tilanteen havainnollistamiseksi piirrä funktioiden x (t), x (t), x (t) ja x(t) kuvaajat sekä myös niitä vastaavien Fourier-muunnosten kuvaajat vaiheittain. 7.4 Derivaatan Fourier-muunnos Lause Olkoon f derivoituva ja f, f integroituvia yli R:n. Tällöin F(f (t); w) = iwf(f(t); w).

87 7.4. Derivaatan Fourier-muunnos 8 Todistus. Olkoon F (w) f:n Fourier-muunnos. Tällöin f(t) = F (F (w); t) = π F (w)e iwt dt ja derivoimalla t:n suhteen saadaan d dt f(t) = d [ ] F (w)e iwt dt = F (w) d dt π π dt eiwt dt = F (w)iwe iwt dt = F (iwf (w); t). π Siten F( d f(t); w) = iwf (w) = iwf(f(t); w). dt Soveltamalla Lausetta 7.4. toistuvasti saadaan Seuraus Jos f(t):llä on kertalukua n oleva derivaatta f (n) (t), joka on integroituva yli R:n, niin pätee F(f (n) (t); w) = (iw) n F(f(t); w). Esimerkki Lasketaan funktion f(t) = te t Fourier-muunnos käyttämällä apuna Taulukon 7. kohtaa 5, vrt. liitetaulukot A: F(f(t); w) = F( d ( ) dt e t ) = F( d dt e t ) = iw F(e t ; w) = iw π e w. f(t) { F(f(t); w), b < t < c {, muulloin, c < t < c, muulloin 3 4 e ibw e icw iw sin(cw) w πe a > a w { t +a a e at, b < t < c, muulloin 5 e at a > 6 sin(at) t a > e (a iw)c e (a iw)b a iw π w a e 4a { π, w < a, w > a Taulukko 7.: Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia.

88 8 Chapter 7. Fourier-muunnos 7.5 Konvoluutio Olkoot f,g koko R:ssä määriteltyjä funktioita. Tällöin funktioiden f ja g konvoluutio f g on funktio, joka määritellään kaavalla (7.4) (f g)(x) = f(s)g(x s)ds ( = ) g(s)f(x s)ds = (g f)(x). Konvoluutioita käytetään paljon tekniikan sovelluksissa juuri integraalimuunnosten yhteydessä, mutta myös esim. todennäköisyyslaskennassa. Seuraavat konvoluution ominaisuudet saadaan helposti määritelmästä, mm. () saadaan yhtälöstä (7.4). Lause () (vaihdannaisuus) f g = g f () (liitännäisyys) (f g) h = f (g h) (3) (osittelulaki) f (g + h) = f g + f h Konvoluution Fourier-muunnokselle pätee seuraava tärkeä tulos. Lause (Konvoluutioteoreema) Olkoot f ja g jatkuvia ja integroituvia yli R:n. Tällöin F((f g)(t); w) = F(f(u); w)f(g(v); w). Todistus. F(f(u); w)f(g(v); w) = = f(u)e iwu du g(v)e iwv dv f(u)g(v)e iw(u+v) dudv =: I Tehdään muuttujanvaihto t = u + v, jolloin dt = dv, ja ( ) I = f(u)g(t u)e iwt dudt = f(u)g(t u)du e iwt dt = F((f g)(t); w). 7.6 Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia Dirac:in delta(funktion) δ(t), täsmällisemmin δ-distribuution (lue delta-distribuution ) eli δ-jakauman voi ajatella raja-arvona funktioista { f ɛ (t) = ɛ, < t < ɛ;, muulloin, kun ɛ. (Muodollisesti tällöin δ(t) = ominaisuudesta {, t = ;, muulloin. f ɛ (t)dt = ) Deltafunktiolle saadaan

89 7.6. Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia 83 muodollisesti vastaava tulos δ(t)dt =. Asia voidaan esittää täsmällisemmin pitämällä deltafunktiota jakaumana (distribuutiona), joka saa arvot ja, ja jossa m = suuruinen integrointimassa sijaitsee pisteessä t = eikä integrointimassaa esiinny muualla R:ssä. Tästä johtuen deltafunktiolle on voimassa f(t)δ(t)dt = f(). Seurauksena saamme deltafunktiolle seuraavan Fourier-muunnoksen F(δ(t); w) = δ(t)e iwt dt = e iw =, w R. Siis F(δ(t); w). Deltafunkiolle pätee myös mm. seuraavassa lauseessa esitetyt ominaisuudet. Lause () f(t)δ(t t )dt = f(t ), t R () δ( t) = δ(t) (3) x f(t)δ(t)dt = { (4) x δ(t)dt = {, x <, x, x < f(), x Johdetaan vakiofunktion f(t) Fourier-muunnos. Koska F(δ(t); w) =, saadaan δ(t) = F (; t) = e iwt dt = e iw( t) dt π π ja edelleen F(; t) = πδ( t) = πδ(t). Signumfunktio (eli merkkifunktio) s(t) määritellään kaavalla, t < s(t) =, t =, t > Lauseen 7.6. kohdan (4) perusteella nähdään, että d dts(t) = δ(t). Tällöin Lauseen 7.3. nojalla saadaan Siten F(s(t); w) = iw iwf(s(t); w) = F(δ(t); w) = =. (w ).

90 84 Chapter 7. Fourier-muunnos Esimerkki Johdetaan kompleksisen eksponenttifunktion f(t) = e iw t Fouriermuunnos: F(f(t); w) = F( e iw t ; w) = F(; w w ) = πδ(w w ) = { π, kun w = w,, kunw w. Yleisemmin olkoot w, w,..., w n reaalilukuja ja tarkastellaan funktiota g(t) = n k= a ke iw kt, missä a k C k =,..., n. Tällöin g(t):n Fourier-muunnokseksi saadaan ( n ) F(g(t); w) = F a k e iwkt ; w = k= n F(e iwkt ; w) = π k= n a k δ(w w k ). Siis kun funktio g(t) koostuu harmonisista taajuuskomponenteista e iw kt, k =,..., n, niin sen Fourier-muunnoksen kuvaajassa esiintyy piikit πa k kohdissa w k, k =,... n, ja F(g(t); w) = kun w w k, k =,... n. F(g(t); w):n kuvaaja näyttää seuraavalta (vrt. moniste!) Vertaa g:n Fourier-sarjan esitystä taajuusalueessa g:n spektrin avulla! Fourier-muunnos f(w) esittää alkuperäistä funktiota f(t) taajuusalueessa, jolloin taajuuskomponentteja e iwt voi esiintyä millä tahansa taajuudella w R. Esittämällä Fourier-muunnos f(w) kompleksitason napakoordinaatistossa (modulin ja argumentin avulla) i arg( f(w)) f(w) = f(w) e päädytään f:n amplitudi- ja vaihespektriin: k= w f(w) w arg( f(w)) amplitudispektri vaihespektri Myös (signaalin) keskinääräisellä teholla on vastineensa: E := f(t) dt. Jaksottomien funktioiden tapauksessa ko. integraalia kutsutaan yleensä (signaalin) f(t) energiaksi. Lause (Parsevalin yhtälö) f(t) dt = π f(w) dw.

91 7.6. Eräiden funktioiden Fourier-muunnoksia 85 Todistus. Kirjoitetaan f(t) = F ( f(w); t) = f(w)e π iwt dw, jolloin E = π = π = π = π f(t)f(t) dt = [ ] f(t) f(w)e π iwt dw dt [ ] f(t)e iwt dt f(w)dw f(w) f(w)dw f(w) dw. Yhtälön voi tulkita niin, että signaalin energia E jakautuu taajuuskomponenteille yli R:n spektritiheyden π f(w) osoittamassa suhteessa. Integraali w π f(w) dw w kuvaa signaalin energiaa taajuusvälillä [w, w ]. Esimerkki Olkoon f(t) = Esimerkin 7.. nojalla f(w) = sin(w) w. Nyt ja toisaalta π f(w) = π {, < t <,, muulloin. f(t) dt = ( sin(w) w dt = Soveltamalla Lauseen tulosta saamme yhtälön ) dw = π ( ) sin(w) dt w ( ) sin(w) dt = π. w Tämä osoittaa kuinka Parsevalin yhtälön avulla voi laskea hankalienkin (epäoleellisten) integraalien arvoja kätevästi.

92 86 Chapter 7. Fourier-muunnos 7.7 Sovellus differentiaaliyhtälöihin Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä f (t) + a f(t) = g(t), missä a on kiinteä vakio. Tehtävänä on ratkaista funktio f, kun g on jokin annettu funktio (R R). Muunnetaan annettu yhtälö ottamalla siitä puolittain Fourier-muunnos. Soveltamalla Lausetta 7.4. ja Seurausta 7.4. saadaan Fouriermuunnoksille yhtälöt eli F(f (t); w) + a F(f(t); w) = F(g(t); w) (iw) F(f(t); w) + a F(f(t); w) = F(g(t); w) (w + a )F(f(t); w) = F(g(t); w). Tästä voidaan ratkaista funktion f Fourier-muunnos: (7.5) F(f(t); w) = Huomioimalla, että (kts. liitetaulukot A) saadaan F(e a t ; w) = w F(g(t); w). + a a a + w, w + a = F( a e a t ; w) = F(h(t); w), missä h(t) = a e a t. Yhtälö (7.5) voidaan kirjoittaa nyt muodossa F(f(t); w) = F(h(t); w)f(g(t); w) = F((h g)(t); w), josta käänteismuunnoksella saadaan haettu ratkaisufunktio f(t) = (h g)(t) = a e a t s g(s)ds. Vastaavalla tavalla voidaan johtaa useiden muidenkin differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisukaavoja. Esimerkki Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön f (t) + af(t) = g(t), a vakio eräs ratkaisu saadaan kaavalla t f(t) = e at Kaavan johto: Harj. teht. e as g(s)ds.

93 7.8. Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Palaudetaan mieken, että T-jaksollisen funktion f kompleksinen Fourier-sarja on muotoa f(t) n= c n e i πnt T, cn = T T T πnt i f(t)e T dt, n =, ±, ±,.... Kun f:n Fourier-sarjan summa lasketaan vain kokonaislukupisteissä t = n, n =, ±, ±,..., saadaan sarjasta diskreetti funktio X : Z C, X (n) = c n e i πkn T. k= Kun jakson pituus on positiivinen kokonaisluku T = N, havaitaan, että e i π(k+n)n N = e i πkn N e iπn = e i πkn N. Näin ollen taajuuskomponenteille X k (n) = e i πkn N, k =, ±, ±,..., on voimassa: X k+n (n) = X k (n), n Z. Siten diskreetin funktion X : Z C Fourier-sarjassa erilaisia taajuuskomponentteja N-jaksollisessa tapauksessa on N kappaletta: X (n), X (n),..., X N (n). Näin päädytään diskreetin N-jaksollisen funktion X : Z C diskreettiin Fourier-sarjaan: X (n) = N k= c k e i πkn N, ck = N N n= πkn i X (n)e N, n =, ±, ±,... missä c k on funktion X diskreetti Fourier-kerroin. Näistä kertoimista saadaan diskreetti kuvaus X : Z C, X(k) = c k eli kompleksilukujono X(k) = N N n= πkn i X (n)e N, n =, ±, ±,... jota sanotaan N-jaksollisen funktion X : Z C N pisteen diskreetiksi Fouriermuunnokseksi (DFT). Huom Lauseen 7.6. kohdan () nojalla havaitaan, että c k = N N n= πkt i x(t)δ(t n)e N dt = N = F( x(nt)δ(nt n); πk), n= N N F( n= x(t)δ(t n); πk N ) vrt. Lause Siis käyttämällä apuna deltafunktiota δ nähdään, että kyseessä on todella diskreetin funktion Fourier-muunnos. Tämän perusteella DFT:llä on vastaavat ominaisuudet kuin Fourier-muunnoksella (Vrt. esim. Lause 7.3.: lineaarisuus/siirto/taajuussiirto/skaalaus).

94 88 Chapter 7. Fourier-muunnos Huom N-pisteen diskreetti Fourier-muunnos on N-jaksollinen ts. X(k + N) = X(k), k Z. Näin ollen N-pisteen diskreetille Fourier-muunnokselle riittää laskea arvot X(), X(),..., X(n ). Esimerkki Jono (X (), X (), X (), X (3)) = (,,, ) määrää 4-jaksollisen funktion X : Z R. Lasketaan sen diskreetti Fourier-muunnos. Riitää laskea Fourier-kertoimet X(), X(), X(), X(3): X() = 4 [X () + X () + X () + X (3)] e = 4 [ ] =, X() = 4 X() = 4 X(3) = 4 3 n= X (n)e iπn = ] [e + e iπ + + = i 4 4, 3 X (n)e iπn = [ e + e iπ + + ] =, 4 n= 3 n= X (n)e 3iπn = ] [e + e 3iπ + + = + i 4 4. Diskreettiin Fourier-muunnokseen liittyy myös käänteismuunnos, ns. diskreetti Fourier-kääteismuunnos (IDFT): Merk. myös: X (n) = N k= X(k)e iπnk N, n Z. DF (X(k)) = X (n). Jos tässä X(k) = DF (X (n)) (ts. X on X :n DFT), niin DF (X(k)) = X (n) eli käänteismuunos antaa alkuperäisen funktion X : Z C. Esimerkki Lasketaan edellisen esim. jonoon (X(), X(), X(), X(3)) liittyvä diskreetti Fourier-käänteismuunnos: X () = [X() + X() + X() + X(3)] e = + i 4 ] X () = [X()e + X()e iπ + X()e iπ + X(3)e 3iπ = X () = [ X()e + X()e iπ + X()e iπ + X(3)e 3iπ] = ] X (3) = [X()e + X()e 3iπ + X()e 3iπ + X(3)e 9iπ = Siis X (n) = X (n), n =,,, i 4 + ( i)i 4 =, + ( i)( ) 4 + ( i)( i) 4 ( + i)( i) + + =, 4 ( + i)( ) + + =, 4 ( + i)(i) + + =. 4

95 7.8. Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) 89 Huom Myös N-pisteen diskreetti Fourier-käänteismuunnos on N-jaksollinen, ts. X (n + N) = X (n), n Z. Perustelu on sama kuin yllä: eksponenttifunktio on kompleksialueessa πi-jaksollinen. Konvoluutioteoreema (kts. Lause 7.5.) pätee myös diskreetille Fourier+muunookselle seuraavassa muodossa: N k= X(k)Y(k)e iπnk N = N N m= X (m)y(n m) =: (X Y)(n) N eli DF (X(k)Y(k))(n) = (x y)(n). N

96 9 Chapter 7. Fourier-muunnos

97 9 Luku 8: Z-muunnos 8. Z-muunnos ja sen käänteismuunnos Z-muunnos on diskreetti(aikainen) muunnos, joka suoritetaan lukujonoon (vrt. diskreetti Fourier-muunnos). Olkoon x(n) jono, ts. x : Z R tai x : Z C, reaali- tai kompleksilukujen jono. Jonon -puolinen Z-muunnos on (8.) Z(x(n); z) = n= x(n)z n, missä z C \ {}. Merk. myös X (z) = Z(x(n); z). Z-muunnos on siis kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen kuvaus. Kyseessä on itse asiassa Laurent-sarja, joita tarkasteltiin kompleksianalyysin kurssilla. Tavalliseen Laurent-sarjaan verrattuna sarjassa (8.) esiintyy muuttuja z muuttujan z asemasta. Jos Z-muunnos on olemassa jossakin pisteessä z C, niin tiedämme, että ko. sarja suppenee rengasalueessa D = {z C : r < z < R}, missä r < R. Siten D on Z-muunnoksen määrittelyjoukko. Z-muunnokseen liittyy Z-käänteismuunnos, joka liittää annettuun kompleksifunktioon (8.) X (z) = n= x(n)z n sen yo. muotoa olevan Laurent-sarjan kertoimet x(n), n =, ±, ±,.... Z- käänteismuunnosta merkitään symbolilla Z (X (z)). Kompleksianalyysistä tiedämme, että ko. Laurent-sarjan kertoimet saadaan kaavalla (8.3) x(n) = πi C X (z)z n dz, n =, ±, ±,... Funktion X (z) Z-käänteismuunnos voidaan periaatteessa siis laskea kompleksitason käyräintegraalien avulla; kaavassa (8.3) C on umpinainen säännöllinen käyrä, joka sijaitsee renkaassa D ja kiertää kerran origon itseään leikkaamatta. Jos erityisesti x(n) = kun n < (tai yleisemmin x(n) = kun n < n ), kyseessä on käänteinen potenssisarja, jonka Z-muunnos on määritelty alueessa D = {z C : z > r} (vrt. ns. kausaalinen jono alla) ja ko. alueessa D olevan käyrän C sisäpuolelle integraalissa (8.3) jää tällöin integroitavan funktion X (z)z n kaikki navat. Usein funktion X (z) Laurent-sarja voidaan muodostaa suoraan esimerkiksi osamurtokehitelmien ja potenssisarjojen avulla, jolloin ko. integraaleja ei tarvitse erikseen laskea. Tiedämme myös, että yleisemmin ko. kertoimet x(n) voidaan laskea soveltamalla funktioon X (z)z n Residy-lausetta (katso kompleksianalyysin osuutta): x(n) = {a j napa} Res (X (z)zn ).

98 9 Chapter 8. Z-muunnos Esimerkki 8... Jonon x( ) = x() =, x( ) = x() =, x() = 3 ja x() = muulloin. -puolinen Z-muunnos on Z(x(n); z) = n= x(n)z n = z + z z + z. Esimerkki 8... x(n) =, n =,,,... ja x(n) =, n <. Tällöin Z(x(n); z) = x(n)z n = n= n= ( ) n = z z ja kyseinen sarja suppenee alueessa D = {z C : z > }. = z z, Useissa sovelluksissa tarkastellaan ns. kausaalisten jonojen x(n), missä x(n) =, kun n <, Z-muunnoksia: X (z) = Kyseessä on ns. -puolinen Z-muunnos. x(n)z n. Esimerkki Jonon x(n) = a n, n =,,,..., Z-muunnos on n= Z(x(n); z) = a n z n = n= n= ( a ) n = z a z = z z a, ja ko. sarja suppenee arvoilla z > a. Esimerkki Jonon x(n) = n, n =,,,..., Z-muunnos on Z(x(n); z) = nz n = z nz (n+) = z d dz n= n= ( ) z = z (z ) = (z ), ja sarja suppenee arvoilla z >. z n = z d dz n= ( z ) z Esimerkki Jonon x(n) = n! (n! = n(n ) ), n =,,,..., Z-muunnos on z n Z(x(n); z) = = e z, n! ja sarja suppenee z C \ {}. n=

99 8.. Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-muunnoksen ominaisuudet ovat samantapaisia kuin Laplace-muunnoksen. Tarkastelemme jatkossa -puolisia Z-muunnoksia ja siten voimme olettaa, että lukujonot ovat kausaalisia (ts. x(n) =, kun n < ). Lause 8... Olkoot x(n), y(n) : N R tai N C ja X (z) = Z(x(n); z), Y(z) = Z(y(n); z) niiden Z-muunnokset suppenemisalueina D = {α < z < β} ja D = {c < z < d}. Tällöin: () (Lineaarisuus) Z(ax(n) + by(n); z) = ax (z) + by(z), D = D D ja a, b vakioita () (Siirto oikealle) Z(x(n n ); z) = z n X (z) + z n (3) (Potenssifunktiolla a n kertominen) m= n x(m)z m, D = D ja n Z(a n x(n); z) = X ( z a ), D = { a α < z < a β} (4) (Funktiolla v(n) = n kertominen) Z(nx(n); z) = z d dz X (z), D = D (5) (Konvoluutio-ominaisuus) Z((x y)(n); z) = X (z)y(z), D = D D, missä jonojen konvoluutio määritellään kaavalla (x y)(n) = n x(k)y(n k). k= Todistus. Perustellaan esimerkkinä kohta (): Z(x(n n ); z) = x( n ) + x( n )z x( )z (n ) + x()z n + x()z n +... = z n [x( n )z n + x( n )z n x( )z] + z n [ x() + x()z +... ] = z n m= n x(m)z m + z n X (z).

100 94 Chapter 8. Z-muunnos Huom. Lauseen 8.. kohta () sisältää ei-kausaalisen termin, jossa arvoja x( n ), x( n +),..., x( ) käytetään tyypillisesti differenssiyhtälöiden ratkaisujen alkuehtoina (yhtälön yksikäsitteistä ratkaisua varten). Esimerkki 8... Jonon x(n) = na n, n =,,,..., Z-muunnos on Z(na n ; z) }{{} = z d dz Z(an ) }{{} = z d ( ) z az = dz z a (z a), (4) Esim ja sarja suppenee, kun z > a. Esimerkki x(n) = ( 4 n, ( 5) n =,,,.... Jonon y(n) = x(n ) = 4 5 Z-muunnos on ( (4 Z(y(n); z) }{{} = z z ( ) 4 z 4 + z 5) z 5 + z) = 5 5z () 5 4z + 5 4z + 5 6, ) n ja sarja suppenee, kun z > 4 5. Tässä jono x(n ) ei ole kausaalinen, sillä x( ) = ( 4 ), ( 5 x( ) = 4 ). 5 Nämä (alku)arvot liittyvät usein ns. alkuarvoehtoihin (vrt. differenssiyhtälöt). Esimerkki Olkoon X (z) = z (z )(z 3) z. Lasketaan X (z):n Z-käänteismuunnos z z 3. Tällöin Z (U(z); n) = u(n) = Z (X (z); n). Merkitään U(z) = z, V(z) = n ja Z (V(z); n) = v(n) = 3 n. Konvoluutio-ominaisuus (5) antaa siten Z (X (z); n) = Z (U(z)V(z); n) = (u v)(n) = = 3 n+ [ n n k 3 n k = 3 n k= ( ) ] n+, n =,,, k= ( ) k 3 Vertailun vuoksi lasketaan vastaava tulos osamurtokehitelmän avulla. Kirjoitetaan z (z )(z 3) = A z z + B z z 3, mistä ratkaisemalla A, B saadaan A =, B = 3. Siten Z (X (z); n) = n n = n+ + 3 n+ = 3 n+ [ ( ) ] n+. 3 z Lasketaan lopuksi vastaava tulos residy-menetelmällä. Funktion X (z) = (z )(z 3) navat ja 3 ovat selvästi yksinkertaisia. Niinpä x(n) = z z n [ z Res (z )(z 3) = z n ] [ z z n ] + z 3 z {a j napa} = n+ + 3n+ = n+ + 3 n+. z= z=3

101 8.3. Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Z-muunnoksella Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Z-muunnoksella Kertalukua N oleva differenssiyhtälö on muotoa N a k y(n k) = x(n) k= missä x(n) on annettu jono ja jono y(n) on haettavana oleva differenssiyhtälön ratkaisu. Esimerkki kertaluvun differenssiyhtälö on muotoa y(n) + a y(n ) = x(n) ja -kertaluvun differenssiyhtälö on vastaavasti muotoa y(n) + a y(n ) + a y(n ) = x(n). Esimerkki Ratkaistaan rekursiivisesti -kertaluvun differenssiyhtälö alkuehdolla y( ) =. y(n) + y(n ) =, y() = y( ) = y() = y() = y() = y() = 4 = 3 4 y(3) = y() = 3 8 = 5 8. Samoilla periaatteilla kuin differentiaaliyhtälöitä ratkaistiin Laplace-muunnoksella, voidaan differenssiyhtälöitä ratkaista Z-muunnoksen avulla. Tarkastelemme asiaa esimerkkien avulla. -kertaluvun differenssiyhtälö: Otetaan puolittain Z-muunnos y(n) + ay(n ) = x(n) Y(z) + a(z Y(z) + y( )) = X (z). Asetetaan alkuehto y( ) = (kausaalisuus), jolloin Tässä H(z) = + a z = z z+a Y(z) = + a X (z). z on (diskreetin) systeemin siirtofunktio.

102 96 Chapter 8. Z-muunnos Esimerkki y(n) y(n ) = δ(n), y( ) = (n ). δ-funktio, ts. {, n =, δ(n) =, n >. Nyt Z(δ(n); z) ja a =, jolloin H(z) = saadaan Y(z) = H(z)Z(δ(n); z) = H(z) = H(z) ( ) z y(n) = Z (H(z); n) = Z z z z. Tässä δ(n) on Siten yhtälön ratkaisuksi =, n =,,.... (Vrt. Esimerkki 8...) Huomaa, että saadun ratkaisun oikeellisuus on helppo tarkistaa. Selvästi kausaalisen jonon y(n) (n ) differenssille pätee: y(n) y(n ) =, kun n = (sillä y( ) = kausaalisuuden nojalla) ja y(n) y(n ) =, kun n >. Esimerkki y(n) y(n ) =, y( ) =. Nyt Z(; z) = z z, joten Y (z) = H(z) z z = z. Osamurtokehitelmää käyttämällä saadaan (z ) z Y(z) = (z ) + z z ( ) y(n) = Z z (z ) ; n ( ) z + Z z ; n = n +, n =,,,.... Tarkistus: y(n) y(n ) = (n + ) (n + ) = (n + ) n =, kun n. Toisinaan Z-muunnoksen siirtokaava () esiintyy muodossa. Siirtokaava ( ): Z(x(n + n ); z) = z n Z(x(n); z) ( z n x() + z n x() x(n )z ). Kaava ( ) (vastaavasti myös aiempi kaava ()) seuraa yhtälöstä [ ] z n Z(x(n); z) = z n x() + x()z x(n )z (n ) + x(n )z n +... = z n x() + z n x() x(n )z + [ x(n ) + x(n + )z +... ]. Tällöin differenssiyhtälössä on kiinnitettävä alkuarvot x(), x(),..., x(n ), kun kyseessä on kertalukua n oleva yhtälö. Esimerkki Ratkaistaan differenssiyhtälö y(n + ) + 3y(n + ) + y(n) = ; y() =, y() =. Soveltamalla Z-muunnosta saadaan yhtälö z Y(z) z y() zy() + 3(zY(z) zy()) + Y(z) = (z + 3z + )Y(z) = z + 5z Y(z) = z + 5z (z + )(z + ) = 4z z + 3z z +.

103 8.3. Differenssiyhtälöiden ratkaiseminen Z-muunnoksella 97 Tästä saadaan Z-käänteismuunnoksella annetun differenssiyhtälön ratkaisu y(n) = 4( ) n 3( ) n = ( ) n [4 3 n ], n =,,,.... Huom. Kuten yllä jo muutamassa esimerkissä nähtiin differenssiyhtälöille (aivan kuten diffenrentiaaliyhtälöidenkin tapauksessa) saatu ratkaisu on yleensä helppo tarkastaa sijoittamalla ratkaisuna saatu jono alkuperäiseen differenssiyhtälöön ja todeta, että ko. ratkaisujono toteuttaa annetun yhtälön.

104 98 Chapter 8. Z-muunnos

105 99 Liite A: Fourier-Muunnoskaavoja A. Fourier-sarja L-jaksoinen funktion f(t) Fourier-sarja Trigonometrinen muoto missä a = L L f(t) S f (t) = a + (a n cos( nπ L t) + b n sin( nπ L t)), L f(t)dt, a n = L L Eksponentti- eli kompleksimuoto n= L f(t) cos( nπ L t)dt, b n = L f(t) S f (t) = n= c n e i nπ L t, L L f(t) sin( nπ L t)dt. missä eli Parsevalin yhtälö c n = L nπ i f(t)e L t dt L L c = a, c n = a n ib n ja c n = c n. L f(t) dt = L L n= c n = c + n= c n = a 4 + n= a n + b n.

106 Appendix A. Fourier-Muunnoskaavoja A. Fourier-muunnos F (w) = F(f(t); w) = f(t)e iwt dt Käänteismuunnos f(t) = F (F (w); t) = π F (w)eitw dw Lineaarisuus F(af(t) + bg(t); w) = af(f(t); w) + bf(g(t); w) Skaalaus F(f(at); w) = a F(f(t); w a ) (a > ) Siirto F(f(t t ); w) = e iwt F(f(t); w) Taajuussiirto F(f(t)e iw t ; w) = F(f(t); w w ) Konvoluutio (f g)(t) = f(s)g(t s)ds = f(t s)g(s)ds Konvoluutioteoreema F((f g)(t); w) = F(f(t); w)f(g(t); w) Derivaatan muunnos Integraalin muunnos Parsevalin yhtälö F ( d n dt n f(t); w ) = (iw) n F(f(t); w) ( ) t F f(s) ds; w = F(f(t); w) iw + πδ(w)f(f(t); ) f(t) dt = π F(f(t); w) dw = π F (w) dw A.3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) X(k) = F(x(n); k) = N N n= x(n)e ink π N Käänteismuunnos x(n) = F (X(k); n) = N k= X(k)eink π N Lineaarisuus F(ax(n) + by(n); k) = af(f(n); k) + bf(y(n); k) Siirto F(x(n n ); k) = e in k π N F(x(n); k) Modulaatio ( ) F e ink π N x(n); k = F(x(n); k k ) Konvoluutio (x y)(n) = N k= x(k)y(n k) Konvoluution muunnos F(x(n); k)f(y(n); k) = F( N (x y)(n); k)

107 A.3. Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Funktio {, b < t < c, muulloin {, c < t < c, muulloin Fourier-muunnos e ibw e icw iw sin(cw) w e a t, a > a w +a e at, a > sin(at) t, a > π a e w 4a { π, w < a, w > a t +a, a > π a e a w δ(t) πδ(w) e iw t πδ(w w ) {, t < s(t) =, t > iw {, t < u(t) =, t > iw + πδ(w) u(t)e at, a > a+iw cos(at) π [δ(w a) + δ(w + a)] sin(at) iπ [δ(w a) δ(w + a)] Taulukko A.: Fourier-muunnoksia.

108 Appendix A. Fourier-Muunnoskaavoja

109 3 Liite B: Laplace-Muunnoskaavoja F (s) = L(f(t); s) = f(t)e st dt Käänteismuunnos f(t) = L (F (s); t) = c+i πi c i F (s)ets ds = πi C F (s)ets ds = a j F :n napa Res s=aj { F (s)e st } Lineaarisuus L(af(t) + bg(t); s) = al(f(t); w) + bl(g(t); s) Skaalaus L(f(at); s) = a L(f(t); s a ) (a > ) Siirto oikealle L(u(t t )f(t t ); s) = e st { L(f(t); s),, t < missä u(t) = ja t, t Eksponenttifunktiolla kertominen L(e at f(t); s) = L(f(t); s a) Derivaatan muunnos Integraalin muunnos Potenssifunktiolla kertominen Laplace-muunnoksen integraali L( dn dt n f(t); s) = s n L(f(t); s) s n f() s n f ()... f (n ) () ( ) t L f(u)du; s = sl(f(t); s) L((t n f(t); s) = ( ) n dn ds n L(f(t); s), n =,,,... L( t f(t); s) = s F (u)du Jaksollisen funktion muunnos L(f(t); s) = T f(t)e st dt e st, f(t + T ) = f(t) Konvoluutio (f g)(t) = t f(s)g(t s)ds Konvoluution muunnos L((f g)(t); s) = L(f(t); s)l(g(t); s)

110 4 Appendix B. Laplace-Muunnoskaavoja Taulukossa B. Laplace-muunnos määritelty arvoilla Re s >, ellei toisin mainita. Funktio Laplace-muunnos δ(t) tai u(t) = {, t <, t s e at s a, (Re s > a) t n n! s n+ sin(at) cos(at) a s +a s s +a cos(at) a s(s +a ) t sin(at) as (s +a ) t cos(at) s a (s +a ) e at t n n! (s a) n+, (Re s > max{, a}) e at sin(bt) e at cos(bt) b (s a) +b, (Re s > a) s a (s a) +b, (Re s > a) Taulukko B.: Laplace-muunnoksia.

111 5 Liite C: Z-Muunnoskaavoja Kaksipuolinen Z-muunnos on ja yksipuolinen Z-muunnos on X(z) = Z(x(n); z) = X(z) = Z(x(n); z) = n= x(n)z n x(n)z n Käänteismuunnos x(n) = Z (X(z); n) = πi C X(z)zn dz n= Lineaarisuus Z(ax(n) + by(n); z) = az(x(n); z) + bz(y(n); z) D = D D (D on X(z):n, D Y (z):n suppenemisalue) Yksipuolinen siirto oikealle Yksipuolinen siirto vasemmalle Z(x(n n ); z) = z n Z(x(n); z) + z n k= n x(k)z k D = D ja n > Z(x(n + n ); z) = z n Z(x(n); z) z n n k= x(k)z k D = D ja n > Kaksipuolinen siirto Z(x(n n ); z) = z n Z(x(n); z), D = D Potenssifunktiolla kertominen Z(a n x(n); z) = Z ( x(n); z a), D = { a α < z < a β} Funktiolla n kertominen Z(nx(n); z) = z d dz Z(x(n); z), D = D Konvoluutio (x y)(n) = n k= x(k)y(n k) Konvoluution muunnos Z((x y)(n); z) = Z(x(n); z)z(y(n); z), D = D D

112 6 Appendix C. Z-Muunnoskaavoja Sarja Z-muunnos Suppenemisalue {, n u(n) =, n < z z D = {z C : z > } { a a n u(n) = n, n, n < z z a D = {z C : z > a } { n, n nu(n) =, n < z (z ) D = {z C : z > } na n u(n) = { na n, n, n < az (z a) D = {z C : z > a } { n!, n, n < e z D = C \ {} δ(n) D = C δ(n n ) z n D = C, n, ja D = C \ {}, n > Taulukko C.: Z-muunnoksia.

113 7 Liite D: Kompleksi analyysi Kompleksianalyysin kaavoja: e z = f(z) = z n n!, sin z = ( ) n zn+ (n + )!, cos z = n= n= f (n) (z ) = n! πi n= a n (z z ) n, a n = πi C n= f(z) dz, n =,,,... (z z ) n+ C ( ) n zn (n)! f(ξ) dξ, n =, ±, ±,... (ξ z ) n+ [ ] d m Res z=z f(z) = lim (m )! z z dz m ((z z ) m f(z)). f(x) dx = πi Res f(z) z C + napa

114 8 Appendix D. Kompleksi analyysi

115 9 Kirjallisuus [] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th ed., Wiley, New York, 999. [] A. Niemi, Fourier-analyysi ja Laplace-muunnos, 5. painos, Hakapaino Oy, Opetushallitus, Helsinki, 999.