pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Työkaluja Asymptoottisesti sama ISO OO Kongruenssi 0-14

Transkriptio

1 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Yleistä Työkaluja Asymptoottisesti sama ISO OO Kongruenssi Yksikköryhmä Eulerin funktio Euler-Fermat Eräs kongruenssiryhmä Kiinalainen jäännöslause Tuloksia ryhmistä Syklisten ryhmien perusteita Sovelluksia ja esimerkkejä Nopeaa potenssilaskentaa

2 4.4 Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Diskreetti logaritmi yhteenlaskuryhmässä Ryhmät Z n Primitiivijuuret Diskreetin logaritmin ongelma Osittaisinfoa Kryptausjärjestelmiä A. Diffie-Hellman avaimenvaihto Diffie-Hellman ongelma B. ElGamal kryptausjärjestelmä C. Allekirjoituksista ElGamal allekirjoitussysteemi Hash-funktio DSA/FIPS DSA GOST

3 6 Äärelliset kunnat Äärellisten kuntien teoriaa Kuntalaajennukset Äärellisten kuntien konstruointi Lisää polynomeista Affiinit ja projektiiviset tasokäyrät Affiinit avaruudet Projektiiviset avaruudet Projektiivisen tason geometrisia tulkintoja Algebralliset joukot, tasokäyrät Elliptiset käyrät Tapaus char K = 2, E(L) on ryhmä Tapaus char K = 2, Yhteenlaskuryhmän kertaluvuista

4 11 Kryptausjärjestelmiä/Elliptiset käyrät Diffie-Helmann avaimenvaihto/elliptinen analogia Elgamal/elliptinen analogia Menezes-Vanstone järjestelmä Ryhmän E(L) rakenne/ei vaadita tentissä Karakteerit Ryhmän E(L) kertaluvusta Ryhmän E(L) rakenteesta Projektiiviset yhteenlaskukaavat/ei vaadita tentissä Elliptinen käyrä renkaan yli/ei vaadita tentissä Elliptisen käyrän alkulukutesti Lenstran tekijäalgoritmi Kertausta projektiivisen tason P 2 (K) suorista Merkintöjä ja työkaluja

5 16.1 Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Rengas, Ring Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field POTENSSI MONIKERTA Rengashomomorfiat Kunnista Karakteristika Kuntalaajennus Kuntatorni

6 16.9 Hieman polynomialgebraa Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa

7 1 Yleistä KRYPTOGRAFIA S (5 op) Luennoilla tutkitaan salaus-, avaimenvaihto- ja allekirjoitusjärjestelmiä sekä niiden perustana olevia matemaattisia, lähinnä ryhmä- ja lukuteoreettisia menetelmiä. Esille tulevat nopea potenssi ja diskreetti logaritmi äärellisessä syklisessä ryhmässä sovellettuna äärellisen kunnan kertolaskuryhmässä ja elliptisen käyrän yhteenlaskuryhmällä. Lisäksi tarkastellaan laskentaan ja erityisesti äärellisten kuntien laskutoimituksiin liittyviä kompleksisuusarviointeja. Edelleen johdetaan yhteenlaskukaavat projektiivisella ja affiinilla Weierstrassin elliptisellä käyrällä. Tarkasteltavia järjestelmiä ovat Diffie-Hellman avaimenvaihto sekä ElGamal salaus ja allekirjoitus äärellisessä syklisessä ryhmässä sekä edelliset sovellettuna äärellisissä kunnissa tai niiden yli määritellyillä elliptisilllä käyrillä kuten DSA, ECDSA 0-6

8 ja Massey-Omura. Testejä ja algoritmeja: Shanksin Baby step- Giant step, Elliptisen käyrän alkulukutesti, Lenstran elliptisen käyrän tekijäalgoritmi. Kurssilla käytetään kurssien Lukuteoria ja ryhmät, Renkaat, kunnat ja polynomit, Lukuteorian perusteet ja Salausmenetelmät tuloksia, joita kerrataan tarvittaessa. Lukuteorian perusteet, Salausmenetelmät 0-7

9 2 Työkaluja 2.1 Asymptoottisesti sama log = ln Neperin logaritmi, siis log e = 1. Olkoot seuraavissa määritelmissä g, f : R R reaaliarvoisia funktioita, joiden määrittelyalueet ovat M g, M f. Määritelmä 2.1. Asymptoottisesti sama: f(x) g(x) lim x f(x) g(x) = 1. (2.1) Harmooninen sarja H n = n k=1 1 k (2.2) esiintyy Eulerin gamman lausekeessa γ = lim n (H n log n) = (2.3) 0-8

10 Tuloksesta (2.3) saadaan H n log n, (2.4) sillä lim n H n log n = lim n H n log n log n + 1 = γ + 1 = 1. (2.5) Yleisemmin pätee, jos f(x) = g(x) + h(x), lim x h(x) g(x) = 0, (2.6) niin f(x) g(x). Määritelmä 2.2. Alkulukufunktio π(x) = #{p P x } (2.7) Lause 2.1. ALKULUKULAUSE π(n) n log n. (2.8) 0-9

11 Olkoon P = {p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,...} (2.9) eli p n on n:s alkuluku. Lause 2.2. p n n log n. (2.10) 2.2 ISO OO Määritelmä 2.3. O-symboli, O = ISO OO: Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. f(x) = O(g(x)) (2.11) on olemassa sellaiset vakiot B, C R +, että f(x) Cg(x), x M f M g, x B. (2.12) Asetetaan vielä f(x) O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)); (2.13) 0-10

12 ja f(x) = h(x) + O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)) (2.14) v(x)o(g(x)) = O(v(x)g(x)), v(x) > 0 x B. (2.15) HUOM: Merkintä f(x) = O(g(x)) (2.16) on hieman harhaanjohtava, sillä tarkkaan ottaen pitäisi kirjoittaa f(x) O(g(x)) = {f(x) f(x) Cg(x)}. (2.17) Mutta (2.16) on sujuvampi käyttää kuin (2.17) ja siten vakiinnuttanut asemansa. 0-11

13 Lause 2.3. Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. Tällöin f(x) < M x B f = O(1). (2.18) f g f = O(g). (2.19) f g = O(1) f = O(g). (2.20) lim x f(x) g(x) < f = O(g). (2.21) f 1 + f 2 = O max{o( f 1 ), O( f 2 )} (2.22) f 1 f 2 = O( f 1 )O( f 2 ). (2.23) f 1 = O(g), f 2 = O(g) f 1 + f 2 = O(g) f 1 f 2 = O(g 2 ) (2.24) 0-12

14 ESIM. a) 1 = O(1) (2.25) b) sin x = O(1) (2.26) c) n = O(n) (2.27) d) log n = O(n) (2.28) e) n 2 + 2n 3 5 = O(n 4 ). (2.29) f) (n+8 log n)(10n log n+17n 2 ) = O(n) O(n 2 ) = O(n 3 ). (2.30) 0-13

15 3 Kongruenssi Määritelmä 3.1. Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (3.1) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (3.2) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Huomaa, että n a b a = b+l n, jollakin l Z a b+nz = b. (3.3) Lemma 3.1. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. n): Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan (mod a b (mod n) a = b. (3.4) 0-14

16 Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (3.5) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (3.6) ab = ab. (3.7) HUOM: Usein lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). ESIM: = n = n = 0, ( 1) 1 = 1, (3.8) 2 1 = 1 2 = p + 1 2, p P p 3. (3.9) 0-15

17 3.1 Yksikköryhmä Määritelmä 3.2. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} on renkaan R yksikköryhmä (unit group). (3.10) Usein käytetään esitystä R = {u R v R : uv = 1}, (3.11) jolloin pätee u R 1 = uv, u, v R. (3.12) Jos R = K kunta, niin K = K {0}. Lemma 3.2. Joukko {a Z n a n} 0-16

18 on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (3.13) Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (3.14) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (3.15) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (3.16) Määritelmä 3.3. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). 0-17

19 3.2 Eulerin funktio Määritelmä 3.4. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (3.17) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (3.18) Lemma 3.3. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.19) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska φ(p m ) = p m ( 1 1 p ), p P, m Z +, (3.20) niin saadaan 0-18

20 Lemma 3.4. Olkoon n = p a pa k φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... k, p i P. Tällöin ) (1 1pk (3.21) eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (3.22) p 3.3 Euler-Fermat Lause 3.1. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (3.23) Lause 3.2. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (3.24) a p a (mod p), a Z. (3.25) 0-19

21 Olettaen (3.24) todistetaan (3.25): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (3.24) nojalla a p a (mod p). (3.26) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (3.27) a p a (mod p). (3.28) 3.4 Eräs kongruenssiryhmä Lause 3.3. A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) seuraa a b (mod q) (3.29) a b (mod pq). (3.30) 0-20

22 B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (3.31) seuraa a b (mod m 1 m r ). (3.32) 3.5 Kiinalainen jäännöslause Lause 3.4. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. x a r (mod m r ) (3.33) 0-21

23 ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (3.34) missä x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r, (3.35) n k M k 1 (mod m k ). (3.36) 0-22

24 4 Tuloksia ryhmistä Merkintää D H käytetään, kun ryhmä D on ryhmän H aliryhmä. Lemma 4.1. Aliryhmäkriteeri I. Olkoon H ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab 1 D, niin D on H:n aliryhmä. Lemma 4.2. Aliryhmäkriteeri II. Olkoon H äärellinen ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab D, niin D on H:n aliryhmä. 0-23

25 Olkoon A H. Joukkoa A = D A D H sanotaan joukon A generoimaksi aliryhmäksi. Käytetään myös merkintää a, b,..., c = {a, b,..., c}. Erityisesti a = {a k k Z} = a Z. Jos H on Abelin ryhmä, niin a, b = {a k b l k, l Z} = a Z b Z. 0-24

26 4.1 Syklisten ryhmien perusteita Lause 4.1. Olkoon (H, ) kertolaskuryhmä ryhmä, e = 1, α H. Ryhmän H osajoukko α = α Z = {α k k Z} H (4.1) on H:n aliryhmä. Määritelmä 4.1. Aliryhmä α = {α k k Z} on α:n generoima syklinen aliryhmä. Jos H = α, niin H on syklinen ryhmä ja α on H:n generaattori. Määritelmä 4.2. Ryhmän H kertaluku = #H ja alkion α kertaluku eli ord α = # α. (4.2) Lause 4.2. Lagrangen lause. Olkoot #D = d, #H = h <. Tällöin D H d h. (4.3) 0-25

27 Lause 4.3. Olkoon #H = h < ja α H. Tällöin ord α h. (4.4) Todistus: Lause 4.4. Olkoon H äärellinen ryhmä ja h = #H, tällöin a h = 1 a H. (4.5) Seuraus 1. Olkoon n Z +, jolloin Z n on ryhmä ja #Z n = φ(n). Siten a φ(n) = 1 a n, (4.6) josta edelleen saadaan Euler-Fermat n lause a φ(n) 1 (mod n) a n. (4.7) 0-26

28 Erikoistapauksena, jos p P, niin Z p on ryhmä ja #Z p = p 1. Siten a p 1 = 1 a p, (4.8) josta edelleen saadaan Fermat n pieni lause a p 1 1 (mod p) a p. (4.9) Lause 4.5. A. Jos ord α = n Z +, niin α = {1, α, α 2,..., α n 1 } ja α n = 1, (4.10) missä n Z + on pienin eksponentti k Z +, jolla α k = 1. B. Vice Versa. Lause 4.6. Olkoon α H, m Z +. Tällöin α m = 1 ord α m. (4.11) Esimerkki 4.1. Määrätään ryhmän H = Z 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, #H = 6 = φ(7). (4.12) 0-27

29 aliryhmät ja sykliset aliryhmät. mutta α 6 = 1, α Z 7 (4.13) 1 1 = 1, 2 3 = 1, 3 6 = 1, 4 3 = 1, 5 6 = 1, 6 2 = 1. (4.14) 1 = {1}, 2 = 4 = {2, 4, 1}, 6 = {1, 6}, (4.15) 3 = 5 = {3, 2, 6, 4, 5, 1} = Z 7. (4.16) Täten 3 ja 5 ovat Z 7 :n generaattorit. ord 1 = 1, ord 2 = ord 4 = 3, ord 3 = ord 5 = 6, ord 6 = 2, d = 1, 2, 3, 6 6 = h. (4.17) 0-28

30 Esimerkki 4.2. Määrätään ryhmän H = Z 8 = {1, 3, 5, 7}, #H = 4 = φ(8). (4.18) aliryhmät ja sykliset aliryhmät. mutta α 4 = 1, α Z 8 (4.19) 1 1 = 1, 3 2 = 1, 5 2 = 1, 7 2 = 1. (4.20) 1 = {1}, 3 = {1, 3}, 5 = {1, 5}, (4.21) 7 = {1, 7}. (4.22) Täten ryhmällä Z 8 ei ole generaattoria ja siten se ei ole syklinen. ord 1 = 1, ord 3 = ord 5 = ord 7 = 2. (4.23) 0-29

31 Esimerkki 4.3. H = Z 15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. (4.24) 4 = {1, 4}, 14 = {1, 14}. (4.25) 4, 14 = {1, 4, 14, 11}, (4.26) joka ei ole syklinen ja siten Z 15 ei ole syklinen. Lause 4.7. Olkoon H Abelin ryhmä ja olkoot α 1, α 2 H. Jos ord α 1 = e 1, ord α 2 = e 2, e 1 e 2, (4.27) niin ord (α 1 α 2 ) = e 1 e 2. (4.28) ts. # α 1 = e 1, # α 2 = e 2, e 1 e 2 (4.29) 0-30

32 # α 1 α 2 = e 1 e 2. (4.30) Lause 4.8. Olkoon H on ryhmä ja #H = p P. Tällöin τ = H τ H {1}. (4.31) Lause 4.9. I. Syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä. II. Olkoon H = β, ord β = h = #H ja d h, 2 d h 1, ld = h. Tällöin A: ord β l = d B. ja on olemassa aliryhmät H d = β l, #H d = d d h. Lause Olkoon G Abelin ryhmä ja olkoot x, y G, ord x = m, ord y = n. Tällöin löytyy alkio z G, jolle pätee ord z = [m, n] (4.32) 0-31

33 Lause Olkoon H ryhmä, τ H ja τ = 1. Tällöin ord τ = h (4.33) τ h = 1 ja τ h p i = 1, p i h, p i P. (4.34) Olkoon Todistus. Koska τ = 1, niin h 2. h = p a pa k k, p 1,..., p k P. (4.35) Lauseen 4.5 nojalla h on pienin positiivinen eksponentti k, jolla τ k = 1. Olkoon p i luvun h alkutekijä, tällöin p i 2, 1 h p i h 2 h 1, (4.36) joten τ h = 1 ja τ h p i = 1. (4.37) 0-32

34 Vastaoletus: 1 a h 1 : ord τ = a. (4.38) Mutta τ h = 1, joten Lause 4.6 a h a = p b pb k k. (4.39) Vastaoletuksen mukaan a < h, joten p j : h = p j ra; r Z +. (4.40) Koska τ a = 1 τ ar = τ h p j = 1. (4.41) Ristiriita oletuksen kanssa. Täten ord τ = h. (4.42) Esimerkki 4.4. G = Z 71, #G = 70 =

35 Valitaan τ = 7 G, jolle pätee 7 70 = 1, = 7 35 =... = 70 = 1, = 7 14 =... = 1, = 7 10 = 1, (käytä nopeaa potenssilaskentaa.) Siten ord 7 = 70 7 = Z 71. (4.43) 4.2 Sovelluksia ja esimerkkejä Lause Olkoon H ryhmä ja α H. Tällöin α = α 1. (4.44) Huom 1. Lauseen 4.11 avulla saadaan toinen todistus Lauseelle

36 Esimerkki 4.5. Olkoon H ryhmä ja α, β H sekä ord α = 5, ord β = 7 ord αβ = 35. (4.45) Todistus: Luvun h = 35 alkutekijäjoukko on {5, 7}. Lasketaan (αβ) 35 = 1; (4.46) (αβ) h/5 = α 2 = 1; (4.47) (αβ) h/7 = β 5 = 1. (4.48) Siten Lauseen 4.11 nojalla ord αβ = h = 35. (4.49) Esimerkki 4.6. Lähtemällä tuloksesta Z 13 = 2 ord 2 = 12 = φ(13), (4.50) 0-35

37 ja soveltamalla Lausetta 4.11 saadaan, että myös 2 a, a = 1, 5, 7, 11 12, (4.51) ovat generaattoreita. Osoitetaan Lauseen 4.11 avulla, että ord 2 5 = 12 = h. (4.52) Luvun h = 12 alkutekijäjoukko on {2, 3}. Tiedetään, että (2 5 ) 12 = 1; (4.53) Näytetään vielä, että (2 5 ) h/2 = 1; (4.54) Lauseen 4.11 nojalla (2 5 ) h/3 = 1. (4.55) ord 2 5 = h = 12. (4.56) 0-36

38 Edelleen, Lauseen 4.12 nojalla saadaan 2 7 = 2 7 = 2 5 = 2 ; (4.57) 2 11 = 2 1 = 2. (4.58) 4.3 Nopeaa potenssilaskentaa Lasketaan ryhmässä H alkion a H potenssi: a r, r Z +, r h = #H, r = e t 1 2 t e 0, e i {0, 1}, e t 1 = 1. (4.59) 0-37

39 Aluksi: a 1 = a a 2 = a 2 1 = a 21 a 3 = a 2 2 = a 22 (4.60) Yhteensä t 1 kertolaskua. Seuraavaksi:. a t = a 2 t 1 = a 2t 1. a r = a e t 1 t a e t 2 t 1... ae 0 1, (4.61) missä korkeintaan t 1 kertolaskua. Siten Lause Olkoon 1 r h = #H. Tällöin Potenssin a r laskemiseen tarvitaan 2t 2 2 log 2 r 2 log 2 h (4.62) ryhmän H laskutoimitusta. 0-38

40 Esimerkki 4.7. a Z p, #Z p = p 1 = h. (4.63) r p t (4.64) 4.4 Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Olkoon H äärellinen syklinen kertalukua h = #H oleva ryhmä eli H = β = {β j j = 0, 1,..., h 1} = {1, β, β 2,..., β h 1 }. (4.65) Huomaa, että β 0 = β h = β 2h =... = 1. (4.66) 0-39

41 Määritelmä 4.3. Alkion y H diskreetti logaritmi kannan β suhteen on eksponentti k {0, 1,..., h 1}, jolle pätee y = β k. Tällöin käytetään merkintää k = log β y. (4.67) Lause log β 1 = 0; (4.68) log β xy log β x + log β y (mod h); (4.69) log β x k k log β x (mod h). (4.70) Todistus: Esimerkki 4.8. H = Z 71 = 7 on syklinen ja h = φ(71) = 0-40

42 70. Lasketaan siis (mod 71) ja eksponentit (mod 70). 7 2 = 49 log 7 49 = = 59 log 7 59 = = 2 log 7 2 = 6. 7? = 33 log 7 33 =? 7 35 = 70 = 1 log 7 70 = log 7 ( 1) = = 61 log 7 61 = = 1 = 7 0 log 7 1 = Diskreetti logaritmi yhteenlaskuryhmässä Olkoon H äärellinen syklinen kertalukua #H = h < oleva additiivinen ryhmä eli H = β = {kβ k = 0, 1,..., h 1} = 0-41

43 {0, β, 2β,..., (h 1)β}. (4.71) Huomaa, että monikerta kβ vastaa potenssia β k. Määritelmä 4.4. Olkoon H äärellinen syklinen additiivinen ryhmä. Alkion y H diskreetti logaritmi kannan β suhteen on luku k {0, 1,..., h 1}, jolle y = kβ. Merkitään k = log β y. (4.72) EX2c: Olkoon nyt β = 7, jolloin H = Z 71 = 7. Tällöin 07 = 0 log 7 0 = 0 17 = 7 log 7 7 = 1.?7 = 33 log 7 33 =?. 707 = 7 = 64 log 7 64 =

44 4.6 Ryhmät Z n Primitiivijuuret Määritelmä 4.5. Olkoon n Z 2. Luku b {1, 2,..., n 1} on primitiivijuuri (mod n), jos Z n = b eli b generoi ryhmän Z n. Käytetään myös merkintää ind b y = log b y. Lause Z n on syklinen n = 2, 4, p l, 2p l, l Z +, p P 3. (4.73) Todistus: Lukuteoria A Siten Primitiivijuuri (mod n) n {2, 4} P Z+ 3 2PZ+ 3. Huomaa, että Z n = b ord b = φ(n). (4.74) 0-43

45 4.7 Diskreetin logaritmin ongelma D.L=Diskreetin logaritmin ongelma. Olkoon H = β, #H = h, missä β ja h tunnetaan. Valitaan y H vapaasti. Määritä tällöin log β y, kun h=iso. ESIM: Valitaan h , 1 r h 1. Tällöin r = e t 1 2 t e 0, t Potenssin a r laskemiseen tarvitaan ainoastaan 2000 laskutoimitusta (Lemma 4.13), kun taas diskreetin logaritmin log β y määrääminen vaatii jopa laskua H:ssa. Eli D.L sanoo sen, että käytännössä potenssiinkorotus on nopeaa ja logaritmin määrittäminen :n hidasta. Huom = 1024 = 10 3 log 2 log 10 = = 3 10 = 0.300

46 log = 10 log 10 = Huom 3. D.L ongelman vaikeus riippuu valitusta ryhmästä: (a) (H, ) = (Z n, +), missä Z n = β = {k1 k Z} = {0, 1, 2,..., n 1}. Tässä D.L on HELPPO. (b) (H, ) = (Z n, ), n = p l, 2p l, p P 3. Tässä D.L on yleensä VAIKEA. (c) (H, ) = (F q, ) eli äärellisen kunnan kertolaskuryhmä, missä D.L on yleensä VAIKEA. (d) (H, ) = (E, +) eli elliptisen käyrän yhteenlaskuryhmä, missä D.L on yleensä VAIKEA. 4.8 Osittaisinfoa Olkoon x = log β α β x = α (4.75) 0-45

47 ryhmässä Z p = β, p P 3, ord β = p 1. (4.76) Koska Z p on kunta, niin toisen asteen polynomiyhtälöllä on korkeintaan 2 juurta. Siten yhtälöllä x 2 = 1 (4.77) on vain ratkaisut x = ±1 Z p. Toisaalta, jos merkitään z = p 1 2 Z +, (4.78) niin (β z ) 2 = β p 1 = 1 (4.79) eli β z toteuttaa yhtälön (4.77). Siten β z = 1 tai β z = 1, mutta ordβ = p 1 > z, joten β p 1 2 = 1. (4.80) 0-46

48 Niinpä α z = (β x ) z = (β z ) x = ( 1) x. (4.81) Lasketaan siis α p 1 2 = 1 2 x 1 2 x, (4.82) jolloin saadaan diskreetin logaritmin parillisuus selville. ESIM: Olkoot Z 71 = 7, ord 7 = 70 (4.83) ja α = 2. Lasketaan α p 1 2 = 2 35 = = ( 7) =... = 1, (4.84) joten Yleisemmin Pohlig-Helmann algoritmi. 2 log 7 2. (4.85) 0-47

49 5 Kryptausjärjestelmiä "Yksisuuntaisella funktiolla" tarkoitetaan operaatiota f, joka on nopea (helppo) suorittaa, mutta käänteisoperaatio f 1 on tiettävästi hidas (vaikea). Esimerkki 5.1. a) f 1 (p, q) = p q = n; p, q P. p, q ja f 1 1 (n) = (p, q). Tässä lukujen kertominen on nopeaa, mutta luvun n tekijöihinjako on hidasta. b) f 2 (x) = β x = y, x Z h. H = β, h = ord β, h = f 1 2 = log β y = x. Potenssien lasku on nopeaa mutta diskreetin logaritmin määrittäminen hidasta. Aluksi sanoma koodataan lukujonoksi viesti= m R =ryhmä, rengas,... Käyttäjän U (U = A, B.C,...) salaus- eli kryptausfunktio 0-48

50 E U on injektio: E U : R S = ryhmä, rengas,... ja dekryptaus- eli avausfunktio D U on E U :n käänteisfunktio: D U : S R. (D U (E U (m)) = m, E U (D U (k)) = k.) Julkisessa salauksessa E U on jokin yksisuuntainen funktio, joka julkaistaan A) Avaimien vaihdot. Jos lisäksi D U :ssa on tuntee, niin trapdoor salaportti jonka vain U B) Julkiset kryptojärjestelmät. C) Allekirjoitukset. 0-49

51 5.1 A. Diffie-Hellman avaimenvaihto Tarkastellaan järjestelmää yleisessä syklisessä ryhmässä H = β, h = #H. Siis ryhmä H sen generaattori β ja kertaluku h ovat kaikkien käyttäjien U = A, B, C,... tiedossa. Jokainen käyttäjä U = A, B, C,... valitsee salaisen avaimen m U =eksponentin, jonka avulla U laskee luvun k U = β m U, joka julkaistaan. Olkoot a = m A, b = m B,... (5.1) salaisia avaimia ja k A (= β a ), k B (= β b ),... (5.2) julkisia. Tällöin käyttäjä A laskee luvun k A,B = (k B ) a (5.3) 0-50

52 ja vastaavasti käyttäjä B laskee luvun k B,A = (k A ) b. (5.4) Nyt k A,B = (k B ) a = (β b ) a = (β a ) b = (k A ) b = k B,A eli saadaan yhteinen avain. (5.5) U salainen avain= x julkinen k U (= β x ) A a k A B b k B C c k C

53 U Yhteinen avain k U,Y = (k Y ) x A k A,B k A,C B k B,A k B,C C k C,A k C,B. missä k X,Y = k Y,X X, Y {A, B, C,...} ja käyttäjien X ja Y yhteinen avain on vain X:n ja Y :n tiedossa. Kahden käyttäjän kaavio: salaisia julkisia A a k A H = β B b k B h = ord β Esimerkki 5.2. Olkoon ryhmänä Z 71 = 7, (5.6) 0-52

54 ja julkisina avaimina k A = 59, k B = 62. (5.7) Laskee A: Salainen eksponentti a = 3. k A,B = (k B ) a = 62 3 = 52. (5.8) Toisaalta B: Salainen eksponentti b = 17. Laskee k B,A = (k A ) 17 = = 52. (5.9) Siten saadaan yhteinen avain 52. Järjestelmän turvallisuus perustuu Diffie-Hellman ongelma D.H=Diffie-Hellman ongelma. Määrää β ab luvuista β, β a, β b, h (a, b salaisia). 0-53

55 Yleisesti oletetaan, että D.H D.L. Perustelua: Olkoot y = β a, z = β b. Tehdään yritelmiä: 1) a = log β y, b = log β z ab β ab, mutta pitäisi laskea logaritmit. 2) yz = β a+b y z = βa b a + b = log β (yz) a b = log β ( y z ) ab, mutta jälleen tarvitaan logaritmit. a, b 3) Jotain muuta...? Siten, vaikka käyttäjä C tietää luvut k A ja k B, niin C = A, B ei voi päätellä ilman logaritmeja A:n ja B:n yhteistä avainta k A,B. 0-54

56 5.2 B. ElGamal kryptausjärjestelmä Nyt R = H, S = H H ja E : H H H. Tässäkin jokainen käyttäjä U = A, B, C,... valitsee salaisen avaimen m U =eksponentin, jonka avulla U laskee luvun k U = β m U, joka julkaistaan. Seurataan miten käyttäjä A kryptaa viestin m ja lähettää sen käyttäjälle B. Julkiset avaimet k A = β a, k B = β b. (5.10) A: Määrittää yhteisen avaimen k A,B = k a B (5.11) 0-55

57 ja laskee luvun v A = mk a B = mk A,B. (5.12) salaisia julkisia A a m k A E A (m) = (k A, v A ) H = β B b k B h = ord β Nyt käyttäjä B dekryptaa saadun sanoman: B: Laskee aluksi yhteisen avaimen eli k B,A = k b A = k A,B (5.13) ja jakaa v A k B,A = mk A,B k A,B = m. (5.14) 0-56

58 TURVALLISUUDESTA: 1. Avain a on vaihdettava jokaisen käyttökerran jälkeen, sillä jos C on saanut tiedon aikaisemmasta viestistä m 1, niin v 1 = m 1 k B,A m 2 = v 2 m 1. (5.15) v v 2 = m 2 k 1 B,A 2. Muutoin järjestelmän turvallisuus perustuu D.H. ongelmaan. Esimerkki 5.3. Jatketaan Esimerkin 5.2 parametreilla. Olkoon lähetettävä viesti m = 41. Nyt A kryptaa: v A = mk A,B = = 2. (5.16) B dekryptaa v A = 2 k A,B 52 = 41. (5.17) Esimerkki 5.4. Jatketaan Esimerkkien 5.2 ja 5.3 parametreilla. Merkitään m 1 = 41 ja v 1 = 2 ja olkoon uusi viesti m 2 = 3, 0-57

59 jolloin v 2 = 14. Jos C tietää aikaisemman viestin m 1 = 41, niin laskemalla m 1 v 2 v 1 = = 3 (5.18) käyttäjä C saa selville uuden viestin m 2 = C. Allekirjoituksista Olkoon viestiavaruusblokki = R = H = ryhmä, missä #H = h ja esimerkiksi [H = F q, Z n, E(F q )], missä m h = 1 H. Viesti m 1... m n H n, viesti(pala)= m i H. Avain a, b,... Z q. Kryptausfunktiot E, D : H H, H = β ovat muotoa E(x) = β x, x {a, b,...} tai H 2 H, E(x, m) = mβ x. A: 1. salaa viestin m kryptotekstiksi E B m. 2. muodostaa allekirjoituksen E B D A m. 0-58

60 Salainen julkinen, avoin A D A m E A (E B m, E B D A m) B D B E B (E B m, E B D A m) B: 3. avaa kryptotekstin D B E B m = m. 4. varmistaa allekirjoituksen laskemalla E A D B E B D A m = m. Jos nyt m = m, niin viesti m on A:lta. Perustelu: Vain A tietää D A :n, jolle E A D A = Id, joten B varma, että viesti m on A:lta ja muuttumaton ElGamal allekirjoitussysteemi Käytetään aikaisempia merkintöjä eli H = β on kertalukua h = ord β oleva syklinen ryhmä ja 0-59

61 A:n salaiset avaimet a, a Z h. (5.19) A:n julkiset avaimet k A = β a, r = k A = β a (5.20) sekä kryptoteksti v A = mk A,B (5.21) Valitaan vielä ρ : H Z h, (5.22) joka on tunnettu funktio (esim. Hash-funktio) ja oletetaan, että ρ(r) Z h, (5.23) jota tarvitaan Lauseen 5.1 osan todistuksessa. ALLEKIRJOITUSYHTÄLÖ: ρ(m) = aρ(r) + a s Z h. (5.24) 0-60

62 Tällöin A:n allekirjoitus SALATULLE VIESTILLE m on: (r, s). (5.25) Käyttäjä A lähettää viestin m kryptattuna allekirjoituksella (r, s) seuraavasti: A: 1. määrää s:n yhtälöllä s = s A = 1 (ρ(m) aρ(r)) (5.26) a 2. Kanavaan lähetetään nelikko (r, s, k A, v A ). (5.27) SALATTU VERSIO: Salaisia Julkisia A a a m k A H = β B (r, s, k A, v A ) h = ord β ρ 0-61

63 B: 3. dekryptaa ElGamal-järjestelmän mukaisesti sanomasta (k A, v A ) viestin m. 4. laskee luvut α = β ρ(m), γ = k ρ(r) A rs. (5.28) SALAAMATON VERSIO: Salaisia Julkisia A a a k A H = β B (r, s, k A, m) h = ord β VARMENNUS: Viesti m hyväksytään A:lta tulleeksi α = γ. (5.29) Perustelu varmennukselle saadaan Lauseesta 5.1. Huom 4. Tässä k A = β a, r = β a, α = β ρ(m), m, γ = k ρ(r) A rs H (5.30) 0-62

64 ja eksponentit a, a, ρ(m), ρ(r), s Z h = {0,..., h 1}. (5.31) Lause 5.1. Allekirjoitus on A:lta α = γ. (5.32) H. Huomaa, että perustuu (DL) ongelmaan ryhmässä Todistus.. Allekirjoitus on A:lta, jolloin γ = k ρ(r) A rs = β aρ(r) β a s = β aρ(r)+a s = 5.24 β ρ(m) = α.. Olkoon α = γ. Vain A tietää luvun k A = β a eksponentin a = log β k A. (5.33) Oletetaan vielä, että C tietää viestin m tai sen tiivisteen ρ(m). 0-63

65 Olkoon C tehnyt allekirjoituksen (r, s) eli r = β c, ρ(m) = cρ(r) + c s. (5.34) Nyt α = γ (5.35) β ρ(m) = k ρ(r) A rs = k ρ(r) s 5.34 A βc = k ρ(r) A βρ(m) cρ(r) (5.36) k ρ(r) A = βcρ(r) β aρ(r) = β cρ(r) (5.37) eli C:n pitäisi arvata a = log β k A β a = β c c = a (5.38) Siten D.L. ongelmasta saadaan, että C=A. mot. 0-64

66 Huom 5. Jos viesti on salattu ja C ei tiedä arvoa ρ(m), niin hyökkäyksestä tulee vielä vaikeampi. Esimerkki 5.5. Jatketaan Esimerkkien 5.2, 5.3 ja 5.4 parametreilla. Olkoot A:n salaiset avaimet a = 3, a = 9 Z 70, h = 70. (5.39) Edelleen olkoon m = 41 ja ρ : Z 71 Z 70, ρ(x) = x. (5.40) Tällöin k A = 59, k A = 7 9 = 47, r = ρ(k A ) = 47. (5.41) A: määrää luvun s = 1 a (ρ(m) aρ(r)) = 1 ( ) = 20. (5.42)

67 Lähetettävä kryptattu viesti allekirjoituksella (r, s, k A, v A ) = (47, 20, 59, 2). (5.43) B: Suorittaa dekryptauksen ja laskee luvut α = β ρ(m) = 7 41, γ = k ρ(r) A rs = =... = α. (5.44) HAPPY! Hash-funktio Olkoon lähetettävä bittijono H n, n Z +. Hash-funktio H on yksisuuntainen tiivistefuntio H : H n J, [J H]. Esimerkiksi perinteinen salasanan varmistus: Operaattorin tiedostossa kunkin käyttäjän A salasanasta a on Hash-arvo H A. Kone laskee annetun salasanan a Hash-arvon H(a), jota ver- 0-66

68 rataan talletettuun arvoon H A. Jos H(a) = H A, niin käyttäjätunnus A saa käyttöluvan. Seuraavassa keinotekoinen esimerkki. Esimerkki 5.6. H = Z 101 a. H A (a) = 7 a (mod 19), H A : Z 101 Z DSA/FIPS Digital Signature Algorithm Merkinnät 1) p P, l(p) = L {k 1024 k = 1, 2, 3}. 2) q P, q p 1, l(q) = 160, ) D q = β ; #D q = q, D q Z p. 0-67

69 4) σ : Z p Z q, σ(x) x (mod q), x {1,..., p 1}. 5) H : Z n p Z q Hash-funktio. (Kts. standardit standardit) Matemaattinen perusta 1) Alkuluku q generoidaan esimerkiksi Miller-Rabinin testin 3 avulla. 2) Samoin p generoidaan s.e p = 1 + k q Huom 6. Alkulukulauseen nojalla #{q P 159 < l(q) 160} = ( ) 1 log 2 joten ehdokkaita on riittävästi. = log 2 = , 0-68

70 3) Olkoon h Z p p 1 sellainen, että β = h q = 1. Tällöin β generoi kertalukua q olevan syklisen aliryhmän D q eli β = D q, #D q = q. Todistus. a) β q = h p 1 = 1. b) Koska q P, niin ainoa q:n alkutekijä on q, jolle lisäksi pätee β q q = β = 1. Siten Lauseen 4.11 nojalla ord β = q. mot. Huom 7. Välttämättä h ei ole Z p :n generaattori! 4) Huomaa tässä, että β a D q, a Z, mutta välttämättä ei β a Z q. Edelleen, olkoon x = β a Z p, jolloin σ(x) x (mod q) eli σ(x) Z q. HUOMAA vielä, että σ : D q Z q EI yleensä ole injektio. DSA: Julkisia ovat parametrit p, q, h ja Hash-funktio H. Käyttäjä A valitsee salaiset avaimet a, a Z q ja laskee luvut 0-69

71 1) H(m) Z q 2) k A = β a, k A = βa Z p 3) r = σ(k A ) Z q. 4) s = 1 a (H(m) + ar) Z q. A:n julkinen avain = k A = β a. A:n viesti m B:lle lähtee allekirjoitettuna sanomana a) (r, s, m) (5.45) tai salattuna sanomana b) (r, s, k A, v A ), (5.46) missä (r, s) on allekirjoitus. Vastaanottaja B laskee luvun v = σ(β 1 s H(m) k A 1 s r ). 0-70

72 Varmennus: Viesti m hyväksytään A:lta tulleeksi, jos v = r. Yleisesti perusteluna varmennukselle pidetään lausetta 5.2. Huom 8. k A, k A, v = β 1 s H(m) k A 1 s r D q Z p, mutta r = σ(k A ), v = σ(β 1 s H(m) k A 1 s r ) Z q. Lause 5.2. Allekirjoitus on A:lta v = r. Todistus. Oletetaan, että (r, s) tulee A:lta, joten v = σ(β 1 s H(m) β 1 s ar ) = σ(β 1 s (H(m)+ar) ) = 4) σ(β a ) = r. HUOMAA: Jos yritetään todistaa, niin tällöin oletetaan, että v = r eli σ( v) = σ(k A ). Mutta σ : D q Z q ei ole injektio. Joten voi olla, että v = k A. 0-71

73 Siten EI voida varmasti päätellä, että lähettäjä on A. Jos kuitenkin olisi v = k A, niin (D.L.) ongelman perusteella voitaisiin päätellä, että lähettäjä on A. Turvallisuus: -Pohlig-Hellman ei tepsi. -MUTTA edellä esitetyn nojalla ON KYSEENALAISTA, että turvallisuus perustellaan D.L. ongelmalla D q :ssa (tai Z p :ssä) DSA2 jossa samat parametrit kuin DSA:ssa. A: Salaiset avaimet a, a, d. r = σ(β a ), s = (H(m) + ar)d, t = a d B: Varmistus w = t s, u 1 = H(m)w, u 2 = rw. r = σ(β u 1 k A u 2 ) allekirjoitus A:lta 0-72

74 5.3.5 GOST 1) p P, l(p) [509, 512] [1020, 1024]. 2) q P, l(q) [254, 256] ja q p 1. 3) β Z p {1}, joten ord β = q, β q = 1 4) σ : Z p Z q, σ(x) x (mod q). 5) Hash-funktio H: Z n p Z q. Jos H(m) = 0, niin asetetaan H(m) = 1. A: Salaiset avaimet a, a. r = σ(β a ) Z q, s = ar + a H(m) Z q, ja (r, s) on allekirjoitus. B: Laskee v = H(m) q 2, z 1 = sv, z 2 = (q r)v = rv, Varmistus: u=r. u = σ(β z 1 k A z 2 ) Z q 0-73

75 Huom 9. H(m) q 2 = H(m)

76 6 Äärelliset kunnat 6.1 Äärellisten kuntien teoriaa Olkoon F = F q = {α 1 = 0, α 2 = 1, α 3,..., α q }, #F = q 2 (6.1) äärellinen kunta, jonka kertolaskuryhmä F = F {0}. Tällöin Lemman 4.4 nojalla α q 1 = 1, α F α q = α, α F. (6.2) Lemma 6.1. Polynomirenkaassa F q [x] pätee x q x = (x α 1 )... (x α q ) = (x α). α F q Lemma 6.2. Olkoon K kunta F q K ja α K. Tällöin α F q α q = α. (6.3) 0-75

77 Lemma 6.3. Olkoon H = {ne n Z}, e = 1 F = F q. Tällöin H on kunnan F q alikunta ja H = Z/pZ jollakin p P. Lemman 6.3 nojalla H F q ja H = Z p = F p, joten samaistetaan H, F p ja Z p. Siten F p on kunnan F q alikunta eli F p F q. Edelleen voidaan osoittaa, että F q on F p - kertoiminen lineaariavaruus, jonka dimensio dim Fp F q = n eli [F q : F p ] = n. Yhteenvetona esitetään Lause 6.1. Olkoon F q äärellinen kunta. Tällöin #F q = p n P Z+, q = p n, char F p n = p, (6.4) F p F p n, [F p n : F p ] = n. (6.5) Lause 6.2. Äärellisen kunnan F = F q kertolaskuryhmä (F, ) on syklinen eli F = β, (6.6) 0-76

78 missä β F on generaattori. Määritelmä 6.1. Äärellisen kunnan kertolaskuryhmän F generaattori β on kunnan F primitiivialkio. Ominaisuudet lyhyesti: F q = β = {1, β, β 2,..., β q 2 } ord β = q 1 = p n 1. (6.7) γ q 1 = 1, γ F q γ pn = γ, γ F q. (6.8) Huomaa, että kunnan Z p primitiivialkio saadaan primitiivijuuresta (mod p) ja vice versa. 0-77

79 ESIM: Kunnassa Z 71 alkio 7 on primitiivijuuri eli Z 71 = {0, 1, 7, 7 2,..., 7 69 }. (6.9) Lemma 6.4. Olkoon char F = p P. Tällöin (α + β) pd = α pd + β pd, (6.10) ja α, β F, d Z +. Lemma 6.5. Olkoon K kunta ja x l 1, x m 1 K[x]. Tällöin x l 1 x m 1 l m. Lause 6.3. Olkoon [F : F p ] = n. Tällöin, jos E F ja d = [E : F p ], niin d n ja, jos d n, niin! E s.e. E F ja [E : F p ] = d. Merkitään siis F = F q = GF (p n ); aina, kun p n = q. Galois field. Esimerkki 6.1. Tarkastellaan Galois n kunnan GF (2 12 ) kuntatornia. Jossa esimerkiksi F 8 F

80 Määritelmä 6.2. Olkoon K L. (Kuntalaajennus.) Olkoon γ L. Tällöin γ:n minimipolynomi kunnan K suhteen on alinta astetta= m oleva K[x]:n polynomi M(x) = x m + a m 1 x m a 0, jolle M(γ) = 0. Merkitään M = M γ. Olkoon nyt K = F p, L = F q=p n. Määritelmä 6.3. Olkoon γ = β primitiivinen alkio. Tällöin M β on primitiivinen polynomi. Lause 6.4. x pn x = d n P d (x) = tulo kaikista F p [x]:n jaottomista alkioista P d (x), joiden aste deg P d (x) = d n. Määritelmä 6.4. Olkoot F q M. Kuvaus ω : M M, ω(x) = x q on Frobeniuskuvaus eli Frobeniusautomorfismi. 0-79

81 Lemma 6.6. Frobeniuskuvaus ω on F q -automorfismi. 6.2 Kuntalaajennukset Määritelmä 6.5. Olkoon R rengas ja = I R. Tällöin I on R:n ideaali, jos 1) (I, +) (R, +) a b I, a, b I. 2) Ra I ja ar I, a I. ra I ja ar I r R, a I. Edelleen ideaali M R on R:n maksimaalinen ideaali, jos M I R ja I on R:n ideaali, niin I = R. Lemma 6.7. Olkoon R ykkösellinen kommutatiivinen rengas ja M R maksimaalinen ideaali. Tällöin tekijärakenne R/M = {a = a + M a R}, 0 = M, 1 = 1 + M on kunta. 0-80

82 Määritelmä 6.6. Kanoninen homomorfismi K K : R R/M, K(a) = a = a + M. Esimerkki 6.2. a) R = Z, p P. M = p = pz = {p : llä jaolliset kokonaisluvut} Z K 1 Z/ p = Z/pZ = Z p = F p. K 1 (a) = a = a + pz, K(p) = p = 0 = pz. Olkoon D = {a α R a α = a β, α = β} R = jäännösluokkien a α edustajisto. Lemma 6.8. Kanonisen homomorfian rajoittuma K D eli K : D R/M on bijektio. Esimerkki 6.3. a) D = {0, 1,..., p 1} {0, 1,..., p 1} = Z p. Täten tehdään samaistus Z p = {0, 1,..., p 1}. Lemma 6.9. Olkoon K-kunta ja g(x) K[x] jaoton polynomi. Tällöin pääideaali g(x) = K[x]g(x) on K[x]:n maksimaalinen ideaali. 0-81

83 Lause 6.5. Olkoon g(x) K[x] jaoton. Tällöin K[x]/ g(x) on kunta. Lause 6.6. Olkoon h(x) K[x]. Tällöin kunta L ja α L s.e. K L ja h(α) = 0. Tod: Olkoon g(x) h(x), g(x) K[x] jaoton. Asetetaan L = K[x]/ g(x) ja f = deg g(x), jolloin L = {s(x) s(x) K[x]}, missä s(x) = s(x)+ g(x) = {s(x)+k(x)g(x) k(x) K[x]} on s(x):n jäännösluokka (mod g(x)). Ex: g(x) = 0(x) = g(x). Koska (JA):n nojalla s(x) = l(x)g(x)+r(x), missä deg r(x) < deg g(x) = f, niin L = {r(x) r(x) = f 1 i=0 a i x i ; a i K}. 0-82

84 Merkitään α = x, a i = a i, (vakiot samaistetaan, koska K = K = {vakiopolynomit}), joten f 1 L = { i=0 a i α i a i K}. Siis joukko {1, α,..., α f 1 } = B virittää lineaariavaruuden L. Huomaa, että nolla-alkio 0 = 0(x) = g(x) ). Asetetaan nyt a a 1 α a f 1 α f 1 = 0 eli t(α) = 0, missä t(x) = a a f 1 x f 1 K[x]. Täten t(x) = 0(x) = g(x) t(x) = g(x) k(x) K[x] : t(x) = k(x)g(x). Tässä deg t(x) f 1 < deg g(x) = f, joten k(x) = 0(x) t(x) = 0(x) 0-83

85 ja siten a 0 = a 1 =... = a f 1 = 0. Täten B on lineaarisesti vapaa/k ja #B = f, joten B on L:n kanta ja [L : K] = dim K L = f. Huom 10. Nyt g(α) = g(x) = g(x) = 0 L!, missä α L. Esimerkki 6.4. a) R = R[x], g(x) = x R[x]/ x 2 +1 = C, missä x 2 +1 = x = 0, x = i, joten i 2 = Äärellisten kuntien konstruointi Erityisesti, kun K = F p = Z p, niin saadaan f -asteisia F p :n laajennuksia kunhan löydetään jaottomia polynomeja F p [x]. Lause 6.7. Olkoon f Z +. Tällöin jaoton g(x) Z p [x] ja deg g(x) = f. 0-84

86 Lause 6.8. Jokaista p P ja f Z + kohti on olemassa Galois n kunta GF (p f ) = F q, q = p f. Tällöin R = Z p [x], M = g(x) = g(x)z p [x] = g(x):llä jaolliset. deg g(x) = f Z p [x] K 2 Z p [x]/ g(x) = F q. K 2 (s(x)) = s(x) = s(x) + g(x). Esimerkki 6.5. b) Polynomi x 2 + x + 1 F 2 [x] on jaoton. Mutta kunnassa GF (2 2 ) = F 4 : α 2 + α + 1 = 0, jolloin 0, 1, α F 4 : α 2 = 1 + α α 3 = α + α 2 = α α = 1. 0 = α 1 = α α = α 2 = α α 0-85

87 Laskutaulut: Summataulu: α 1 + α α α α 1 + α α α 1 0 Kertotaulu: 1 α 1 + α α 1 + α α 1 α 0-86

88 Vertaa laskutaulut renkaassa Z 4 = Z/4Z : Z 4 EI ole kunta. Esimerkki 6.6. c) x 2 + x + 2 F 3 [x], jaoton. Tällä on nollakohta α F 9 = GF (3 2 ), missä a 2 + α + 2 = 0. Nyt F 3 F 9, joten 0, 1, 2, α F 9. Koska F 9 on kunta, niin 0-87

89 α 2 F 9 α 2 = α 2 = 2α + 1 F 9 α 3 = α α 2 = 2α 2 + α = 4α α = 2α + 2 F 9... α 8 = α + α 2 = α α = α 1 = α α α α α 2 α α α α 4 2 α 5 α 6 α 7 2 α α α α 8 1 Logaritmit: esimerkiksi log α (2 + 2α) =

90 + 0 α 0 α α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 0 α 0 α 4 α 7 α 3 α 5 α 1 α 2 α 3 Tässä laskettiin α + α 2 = α α = α 2 = α = α 3 = 2 + 2α 1 + α 3 = α = 2α = α 5 Ei samaa samalle riville 0-89

91 F 9 α 0 α 1 α 2 α 7 α 0 α 0 α 1 α 7 α 1 α 1 α 2 α 0 α 2 α 2 α 3 α 4 α 0 α 1 = Z/8Z Siis (F 9, ) = (Z/8Z, +). d) K = Z 3. g(x) = x 3 + 2x + 1 Z 3 [x] on jaoton. L = Z 3 [x]/ g(x) = GF (3 3 ) Nyt g(x) = 0. Merkitään siis α = x, jolloin α 3 + 2α + 1 = ja siten kunnassa F 27 saadaan α 3 = α + 2. Lemmasta

92 saadaan, että α = F 27 = {1 = α 0, α 1,..., α 25 }; #F 27 = 26. Siten α on primitiivialkio ja koska M α (x) = x 3 + 2x + 1, niin g(x) = x 3 + 2x + 1, on primitiivipolynomi. Huomaa vielä F 3 = Z 3 F

93 Otetaan vielä yhteenvetona: K : R R/I = {a a R}. K(a) = a. I = M =maksimaalinen ideaali R/M on kunta. Z K 1 Z/ p = Z p = F p, p P. Z p [x] K 2 Z p [x]/ g(x) = F q, g jaoton, deg g(x) = n, q = p n. Q[x] Q[x]/ f(x) = Q(α), f jaoton, deg f(x) = n, α n asteen algebrallinen luku. Esimerkki 6.7. Laskutoimituksista: Esimerkin d) kunnassa. Olkoot β 1 = 2 + α + α 2, β 2 = 2 + 2α 2 F 27, jossa β i = β i (α) Z 3 [α]. (YL) β 1 + β 2 = α + 3 α 2 = 1 + α. 0-92

94 (KL) β 1 β 2 = ( )α + ( )α 2 + ( )α α 4 = 1 + 2α + 2α 3 + 2α 4 = p(α). (J.A.) p(x) = q(x)g(x)+r(x), deg r(x) 2, g(α) = 0. p(α) = q(α)g(α) + r(α) = r(α) = 2α 2 + 2α + 2. (JL) β 1 β 2 = β 1 β 2 1, β 1 = β 1 (α), β 2 = β 2 (α) = 0. (EA) a(x), b(x) Z 3 [x] s.e. 1 = a(x)β 2 (x)+b(x)g(x) 1 = a(α)β 2 (α)+b(α)g(α) 1 = a(α)β 2 eli β 1 2 = a(α) = α 2 + 2α + 1 Z 3 [α] β 1 β 2 = β 1 (α)a(α) (KL) =... = r (α) F 27. Yleensäkin F q :ssä (q = p f ) (YL) Yhteen- ja vähennyslaskut Z f p :ssä. (KL) Kertolaskut polynomien Z[α] kertolaskuilla +(JA) + (Y L). 0-93

95 (JL) Jakolaskut: (EA) + (KL). 0-94

96 7 Lisää polynomeista Polynomeista K[x], missä K kunta, esimerkiksi K = Q, R, C, joilla chark = 0 tai K = F q=p f, char K = p. Olkoon p(x) = p 0 + p 1 x p n x n K[x], deg p(x) = n, ja sen nollakohtien lukumäärä N 0 (p) = #{x i K p(x i ) = 0} n. Tiedetään, että kompleksilukukunnassa C pätee N 0 (p) = n, n Z +, ja muutoin 0 N 0 (p) n. Voidaan todistaa, että x α p(x) p(α) = 0, L[x] missä α L, jossakin kunnan K laajennuskunnassa L. Edelleen, jos p(x) = p n n i=1 (x α i ), α i L 0-95

97 jossakin kunnan K laajennuskunnassa L, niin (olkoon p n = 1) tällöin p 0 = ( 1) n p 1 =. n α i i=1 n ( 1) n 1 j=1 p n 1 = n i=1 n i =j, i=1 Esimerkki 7.1. p(x) = x 3 + Ax 2 + Bx + C = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ), joten α i α i A = (α 1 + α 2 + α 3 ), B = α 2 α 3 + α 1 α 3 + α 1 α 2, C = α 1 α 2 α

98 Määritelmä 7.1. Olkoon p(x) K[x] jaoton. Tällöin N(α) = n α i, i=1 missä α = α j, on α:n normi ja T r(α) = n i=1 α i on α:n jälki. Siten saadaan, että N(α), T r(α) K. Määritelmä 7.2. Polynomin p(x) = p n x n +...+p 0 K[x] diskriminantti on Δ p = p 2n 2 n 1 i<j n (α i α j ) 2. Lemma 7.1. Olkoot chark = 0 ja p n = 0. Tällöin Δ p = 0 α i = α j i = j. (7.1) 0-97

99 Lemma 7.2. Jos f(x) = x 3 + ax + b, niin ( (a ) ( ) ) 3 2 b Δ f =

100 8 Affiinit ja projektiiviset tasokäyrät 8.1 Affiinit avaruudet Määritelmä 8.1. Olkoon K-kunta, K = K {0} ja n Z +. Pistejoukko A n (K) = K n = {x = (x 1,..., x n ) x i K} (8.1) on n-ulotteinen affiini avaruus ja A 2 (K) = K 2 = {(x, y) x, y K} (8.2) on affiini taso ja on affiini suora kunnan K yli. A 1 (K) = K (8.3) Luvut x i, i = 1,.., n ovat pisteen x = (x i ) affiinit koordinaatit ja piste 0 = (0,..., 0) on origo. Huom 11. Affiiniin avaruuteen ei välttämättä liitetä lineaariavaruuden laskutoimituksia. 0-99

101 8.2 Projektiiviset avaruudet Huom 12. Esimerkiksi Elliptisen käyrän yhteenlaskuryhmään tarvitaan ns. äärettömyyspisteitä kuten laajennetun reaalisuoran R = R { }, / R (8.4) tapauksessa. Merkitään nyt tx = (tx 1,..., tx n+1 ), t K, x A n+1 (K) (8.5) ja olkoon w x t K : w = tx (8.6) aina, kun x, w B = A n+1 (K) {0}. (8.7) Tällöin on ekvivalenssirelaatio joukossa B, jolloin saadaan 0-100

102 tekijärakenne B/ = {[x] x B}, (8.8) missä [x] = {w B w x} (8.9) on alkion x määräämä ekvivalenssiluokka. Merkintään vielä [x] = [x 1,..., x n+1 ] = (x 1 : x 2 :... : x n+1 ) (8.10) jota sanotaan pisteeksi. Määritelmä 8.2. Pistejoukko P n (K) = {[x 1,..., x n+1 ] (x 1,..., x n+1 ) B} on n-ulotteinen projektiivinen avaruus ja (8.11) P 2 (K) = {[x, y, z] (x, y, z) K 3 {0}} (8.12) on projektiivinen taso ja P 1 (K) = {[x, y] (x, y) K 2 {0}} (8.13) 0-101

103 on projektiivinen suora kunnan K yli. Pisteen [x 1,..., x n+1 ] homogeeniset koordinaatit ovat x 1,..., x n+1. Huom 13. 1) Usein pisteet x ja [x] samaistetaan ja homogeeniset koordinaatit voidaan korvata uusilla edustajilla tx 1,..., tx n+1, t K. 2) Ainakin yksi homogeeninen koordinaatti x j = 0. 3) Projektiiviseen avaruuteen ei voi määritellä yhteenlaskua ainakaan tavanomaisen koordinaattien yhteenlaskun kautta, koska tällöin laskutoimitus ei ole hyvin määritelty. Siten ei saada lineaariavaruusrakennetta ja normaali dimension käsite ei myöskään päde Projektiivisen tason geometrisia tulkintoja Olkoon nyt n = 2, jolloin projektiivisen tason P 2 (K) pisteitä ovat [x] = [x, y, z] = {t(x, y, z) t K }, (8.14) 0-102

104 missä (x, y, z) = 0. A. Ensimmäinen tulkinta: Olkoon c = 0, tällöin [a, b, c] = [a/c, b/c, 1]. (8.15) Siten pisteet voidaan jakaa kahteen luokkaan: 1). [x, y, 1], z = 1. (8.16) Tehdään samaistus A 2 (K) (x, y) [x, y, 1] P 2 (K). (8.17) 2). [x, y, 0], z = 0, (8.18) koska (x, y, z) = 0, niin tässä (x, y) = (0, 0). Siten tehdään samaistus P 1 (K) [x, y] [x, y, 0] P 2 (K). (8.19) 0-103

105 1)+2): P 2 (K) = A 2 (K) P 1 (K), (8.20) missä ( on "erillinen unioni"). 2.1). Edelleen P 1 (K):n pisteet jaetaan kahteen luokkaan: [x, 1], y = 1. (8.21) Samaistus A 1 (K) x [x, 1] P 1 (K). (8.22) 2.2). joten tässä x = 0 ja siten [x, 0], y = 0 (8.23) [x, 0] = [1, 0] P 1 (K). (8.24) 0-104

106 Merkitään [1, 0] =, joka on projektiivisen suoran äärettömyyspiste. 2.1)+2.2) P 1 (K) = A 1 (K) { }. (8.25) Nyt saadaan geometrinen tulkinta (katso viimeinen sivu) vaikkei välttämättä olekaan K = R. Ensinnäkin kohdista 2.1) + 2.2)saadaan, että Projektiivinen suora P 1 (K) on affiini suora A 1 (K) unioni "äärettömyyspiste" Vertaa laajennettu R eli [1, 0] / A 1 (K). (8.26) R = R { }. (8.27) Edelleen kohtien 1) + 2) nojalla projektiivinen taso muodostuu affiinista tasosta A 2 (K) = K K ja tähän kuulumattomasta projektiivisesta suorasta P 1 (K). Joten voidaan tulkita, että tämä projektiivinen suora sijaitsee horisontissa ja muodostaa ns

107 äärettömyyspisteiden joukon projektiiviselle tasolle P 2 (K). B. Toinen tulkinta: Olkoon nyt n = 2, jolloin projektiivisen tason P 2 (K) pisteitä ovat [x] = [x, y, z] = {t(x, y, z) t K }, (8.28) missä (x, y, z) = 0, eli piste [x] on origon kautta kulkeva K 3 :n suora, josta on poistettu origo. Siten piste [x] voidaan samaistaa suuntaparin x, x K 3 kanssa. Toisaalta projektiivisen suoran P 1 (K) pisteitä ovat [x, y] = {t(x, y) t K }, (x, y) = 0. Siten piste P = [x, y] on origon kautta kulkeva K 2 :n suora {0}. Edelleen piste P = [x] voidaan samaistaa suuntaparin x, x K 2 {0} kanssa. (Tästä saadaan toinen geometrinen tulkinta.) 0-106

108 8.3 Algebralliset joukot, tasokäyrät Olkoon R = K[x 1,....x n ] n. muuttujan polynomien rengas. Olkoon p(x) = p(x 1,..., x n ) R polynomi, jonka arvo pisteessä α A n (K) on p(α) = p(α 1,..., α n ) K. Määritelmä 8.3. Polynomin p R nollajoukko on Z(p) = {α A n (K) p(α) = 0} ja polynomi-osajoukon T R nollajoukko on Z(T ) = {α A n (K) p(α) = 0, p T } ja osajoukko Y A n on algebrallinen joukko, jos T R s.e. Y = Z(T ). (Tällöin voidaan määritellä Zarinski topologia.) Määritelmä 8.4. Olkoon R = K[x, y] = 2. muuttujan polynomijoukko ja d Z +. Astetta d oleva algebrallinen käyrä 0-107

109 C p (K) on astetta d olevan polynomin p(x, y) R nollajoukko C p (K) = {(α, β) K 2 p(α, β) = 0}. (8.29) Astetta d = 1 oleva algebrallinen käyrä on suora L = {(x, y) K 2 Ax + By + C = 0}, (8.30) p(x, y) = Ax + By + C, deg p(x, y) = 1 (A, B) = (0, 0). (8.31) Astetta d = 2 oleva algebrallinen käyrä on kartioleikkaus H = {(x, y) K 2 Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0} (8.32) p(x, y) = Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F, deg p(x, y) = 2 (A, B, C) = (0, 0, 0). (8.33) 0-108

110 Kartioleikkauksia ovat mm. paraabeli, ellipsi, ympyrä, hyperbeli ja ristikkäiset suorat (asymptootit). Kolmannen asteen algebrallisista käyristä saadaan mm. elliptisen käyrän affiini esitys = E, joka on polynomin w(x, y) = y 2 + a 1 xy + a 3 y f(x) K[x, y], f(x) = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 (8.34) nollajoukko (eräillä lisäehdoilla) eli E = {(x, y) K 2 w(x, y) = 0} (8.35) lisättynä ns. nolla-alkiolla, joka on eräs projektiivisen tason P 2 (K) äärettömyyspiste O := [0, 1, 0]. Määritelmä 8.5. Polynomi F K[x 1,..., x n+1 ] on astetta 0-109

111 d oleva homogeeninen polynomi eli muoto, jos F (λx 1,..., λx n+1 ) = λ d F (x 1,..., x n+1 ), λ K. (8.36) Tällöin voidaan määritellä projektiivisen avaruuden P n (K) algebralliset joukot ja käyrät. Määritelmä 8.6. Olkoon S d K[x, y, z] kolmen muuttujan astetta d olevien homogeenisten polynomien joukko, d Z +. Astetta d oleva projektiivisen tason algebrallinen käyrä C F (K) on homogeenisen polynomin F (x, y, z) S d nollajoukko C F (K) = Z(F ) = {[α, β, γ] F (α, β, γ) = 0}. (8.37) Huom 14. Koska [tα, tβ, tγ] = [α, β, γ], (8.38) 0-110

112 niin pitää olla F (tα, tβ, tγ) = 0 t K. (8.39) Näin on, koska jos F S d, niin F (tα, tβ, tγ) = t d F (α, β, γ) = 0 t K. (8.40) Siten on syytä oletetaa polynomien homogeenisuusehto. Edelleen projektiivinen käyrä C F (K) voidaan jakaa kahteen osaan: 1) F (α, β, 1) = 0; (α, β) A 2 (K). 2) F (α, β, 0) = 0; [α, β] P 1 (K). Siten 1) määrittää affiinin käyrän polynomin p(x, y) = F (x, y, 1) K[x, y] (8.41) nollajoukkona ja 2) määrittää ne äärettömyyspisteet, jotka [α, β, 0] C F (K). (8.42) 0-111

113 Toisaalta, olkoon C p = {(x, y) A 2 (K) p(x, y) = 0}, deg p(x, y) = d, (8.43) affiini tasokäyrä. Muodostetaan C p :n projektiivinen sulkeuma C p asettamalla F (x, y, z) = z d p( x z, y z ) F S d, (8.44) jolloin C p = C F = {[x, y, z] F (x, y, z) = 0.} (8.45) Nyt 1) F (x, y, 1) = p(x, y) 2) F (x, y, 0) = z d 0 i+j d p i,j ( x z ) i ( y z ) j z=

114 Esimerkki 8.1. d = 1. Affiini suora L : p(x, y) = ax + by + c = 0; (a, b) = (0, 0). (8.46) Projektiivinen suora L : F (x, y, z) = ax + by + cz = 0; (a, b, c) = (0, 0, 0). (8.47) Tässä L on affiinin suoran L projektiivinen sulkeuma, koska F (x, y, z) = ax+by+cz = z(a( x z )+by z +c) = zp(x z, y z ). (8.48) 1) [x, y, 1] eli z = 0, jolloin saadaan affiini osa L = {(x, y) K 2 ax + by + c = 0}. (8.49) 2) [x, y, 0] eli z = 0, jolloin saadaan äärettömyysosat Ä1 = {[ b, a]}, jos (a, b) = (0, 0); (8.50) Ä2 = P 1 (K), jos (a, b) = (0, 0); (8.51) 0-113

115 Perustellaan nämä. Olkoon ensin (a, b) = (0, 0) ja [x, y] L ax + by = 0. Jos a = 0 [x, y] = [ax, ay] = [ by, ay] = [ b, a], (8.52) sillä nyt y = 0. Vastaavasti b = 0... [x, y] = [ b, a]. (8.52) Siten Ä1 = {[x, y] P 1 (K) ax + by = 0, (a, b) = (0, 0)} = {[ b, a]} (8.52) 0-114

116 Olkoon seuraavaksi (a, b) = (0, 0), jolloin saadaan c = 0 ja siten z = 0. Täten Ä2 = {[x, y] P 1 (K)} = P 1 (K). (8.52) Huomaa, että Ä1 = {[ b, a]} on piste, joka vastaa suoran ax + by + c = 0 suuntavektoria ( b, a) ja Ä2 = P 1 (K), on projektiivinen suora horisontissa. Esimerkiksi olkoon L : y = 2x 2x + ( 1)y = 0 (a, b) = (2, 1), (8.52) jolloin [x, y] = [ b, a] = [1, 2]. (8.52) 0-115

117 Siten L = L {[1, 2]}. Esimerkki 8.2. d = 2. Tarkastellaan hyperbeliä H : x 2 y 2 = 1, (8.53) jonka projektiivinen sulkeuma on H : x 2 y 2 = z 2. (8.54) 1) Pisteet [x, y, 1] H määräävät affiinin osan H : x 2 y 2 = 1 (8.55) 2) äärettömyyspisteet [x, y, 0] H eli {[x, y] P 1 (K) x 2 = y 2 } = {[1, 1], [ 1, 1]} (8.56) vastaavat hyperbelin H asymptoottien y = ±x suuntavektoreita (1, 1) ja ( 1, 1)

118 9 Elliptiset käyrät Elliptiset käyrät ovat 3. astetta olevien algebrallisten käyrien erikoistapauksia. Esimerkki 9.1. d = 3. Käyrän E : y 2 = x 3 + 1, (9.1) projektiivinen sulkeuma on E : y 2 z = x 3 + z 3. (9.2) 1) Ratkaisupisteet [x, y, 1] E (9.3) määräävät affiinin osan E ja 2) Äärettömyydessä olevat ratkaisupisteet ovat {[x, y, 0] P 2 (K) y 2 0 = x x = 0} = {[0, 1, 0]}. (9.4) 0-117

119 Yleisemminkin projektiivinen Weierstrassin käyrä C W (K) = {[x, y, z] P 2 (K) W (x, y, z) = (9.5) y 2 z +a 1 xyz +a 3 yz 2 x 3 a 2 x 2 z a 4 xz 2 a 6 z 3 = 0} koostuu affiinista osasta W (x, y, 1) = 0 (9.6) ja pisteestä joka sijaitsee äärettömyydessä. O = [0, 1, 0], (9.7) Määritelmä 9.1. Piste P = [α, β, γ] P 2 (K) on funktion F : P 2 (K) K singulaaripiste, jos osittaisderivaatat F (x, y, z), x F (x, y, z), y F (x, y, z) z ovat nollia, kun [x, y, z] = [α, β, γ] = P. Edelleen, jos F (x, y, z) S d, niin tällöin algebrallinen käyrä C F (K) on singulaarinen, muutoin C F (K) on sileä eli säännöllinen, 0-118

120 Määritelmä 9.2. Elliptinen käyrä E = E(K) on sileä projektiivinen Weierstrassin käyrä C W (K) eli polynomin W (x, y, z) nollajoukko E(K) = {[α, β, γ] P 2 (K) W (α, β, γ) = 0}, (9.8) missä ainakin yksi polynomin W (x, y, z) osittaisderivaatoista = 0 pisteessä P = [α, β, γ]}. Huom 15. Usein tarkastellaan affiinia elliptistä käyrää E : y 2 +a 1 xy +a 3 y = x 3 +a 2 x 2 +a 4 x+a 6, a i K, (9.9) varustettuna nolla-alkiolla O = [0, 1, 0] ja merkitään O E = E(K). Huom 16. Sanotaan, että käyrä F (x, y, z) = 0 on määritelty kunnan K yli, kun F (x, y, z) K[x, y, z]. Kuitenkin voidaan tutkia käyrän C F pisteitä projektiivisessä ava

121 ruudessa P 2 (L), missä L on kunnan K laajennuskunta, jolloin merkitään C F (L) = {[x, y, z] P 2 (L) F (x, y, z) = 0}. (9.10) Vastaavasti merkitään E(L) = C W (L). 9.1 Tapaus char K = 2, 3 Olkoon nyt a 1 = a 2 = a 3 = 0, a 4 = a, a 6 = b, (9.11) jolloin W (x, y, z) = y 2 z x 3 axz 2 bz 3. (9.12) Tällöin saadaan Elliptinen käyrä E : y 2 z = x 3 + axz 2 + bz 3 ; a, b K, (9.13) 0-120

122 jonka affiini osa on E : y 2 = x 3 + ax + b = f(x). (9.14) Määritelmä 9.3. Elliptisen käyrän E diskriminantti on 16Δ, missä Δ = 4a b 2. (9.15) Lause 9.1. Käyrä E on sileä Δ = 0. Tällöin määritelmän 9.2 "erikoistapauksena"asetetaan. Määritelmä 9.4. Olkoon char K = 2, 3; a, b K L ja W (x, y, z) = y 2 z x 3 axz 2 bz 3, Δ = 4a 3 +27b 2 = 0. Tällöin nollajoukko (9.16) E(L) = {[α, β, γ] P 2 (L) W (α, β, γ) = 0} (9.17) on elliptinen käyrä kunnan K yli