Schildtin lukio

Transkriptio

1 MAA Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut tietokoneet ja laskimet ESIM. Katkaise luku 5,7138 neljään numeroon. o Luvun pyöristäminen: tavallinen normaalipyöristys ESIM. Pyöristä luku 5,7138 neljän numeron tarkkuuteen. o Merkitsevät numerot: Kaikki muut merkitseviä paitsi nollat desimaaliluvun alussa ja kokonaisluvun lopussa Tieteellinen merkitsemistapa eli 1-potenssien käyttö ilmoittaa eti merkitsevien numeroiden määrän ESIM. LUKU , 8 374,,3,3 MERKITSEVIEN NUM. LUKUMÄÄRÄ TIETEELLINEN MERK. TAPA LIKIARVON VIRHE Luvun katkaiseminen ja pyöristäminen aieuttaa aina vireen. Jos luvun todellinen arvo on T ja likiarvo L, niin 1 luku T T L on likiarvon absoluuttinen vire ja T T L luku, T, on likiarvon suteellinen vire ilmoitetaan usein T T prosentteina 1

2 MAA Scildtin lukio ESIM. Korvataan Neperin luku e likiarvolla,71. Kuinka suuri on a absoluuttinen vire b suteellinen vire Mittaustuloksissa annetaan usein vireen yläraja ilmoittamalla mittaustulost T LIKIARVON VIRHEEN ARVIOINTI Seuraavassa keinoja, joilla selvitetään likiarvoilla tedyn laskun lopputuloksen vireen suuruutta 1. Tiedetään laskussa käytettävien lätöarvojen vire A. Maksimi-minimikeino vireen yläraja siis pain tilanne saadaan laskemalla suurimman ja pienimmän madollisen arvon erotuksen puolikas: Jos on laskulauseke, saadaan vireelle Tällöin tulos arvio: ma min. B. Virekaavojen käyttö Olkoot luvut T1 ja T, niiden likiarvot L1 ja L ja absoluuttiset vireet T1 ja T. Tällöin jos laskulauseke on summa tai erotus on järkevää käyttää absoluuttista virettä ja vire on T 1 T jos laskulauseke on tulo tai osamäärä on järkevää käyttää suteellista virettä ja vire on T T 1 1 T T jos laskulauseke on potenssi eksponenttina n, on järkevää käyttää suteellista virettä T ja vire on n T HUOM 1. Nämä kaikki perustuvat ns. kolmioepäytälöön a b a b HUOM. Vire tulee aina arvioida ylöspäin eli sitä ei saa koskaan arvioida liian pieneksi.

3 MAA Scildtin lukio. Lätöarvojen virerajoja ei tiedetä Kun tiedetään vain lätöarvot ilman niiden virettä, voidaan käyttää seuraavia perusperiaatteita: jos laskulauseke on summa tai erotus, otetaan lopputulokseen ytä monta desimaalia kuin on epätarkimmassa lätöarvossa. jos laskulauseke on tulo tai osamäärä, otetaan lopputulokseen ytä monta merkitsevää numeroa kuin on epätarkimmassa lätöarvossa. HUOM. Välituloksia ei saa pyöristää! ESIM 1. Fysiikan tunnilla on mitattu kappaleen massa m=,567±,5 kg ja siien vaikuttava vakiovoima F=,±,1 N. Määritä kappaleen kiityvyys virerajoineen a maksimi-minimikeinolla b virekaavoilla. HUOM! Joskus esim. laskimissa pyöristysvireet kumuloituvat arvaamattomasti ja laskin saattaa antaa täysin vääriä arvoja. ESIM. Tutki laskimella mitä on 1 lim. 3

4 MAA Scildtin lukio POLYNOMIEN JAOLLISUUS JA KORKEAMMAN ASTEEN POLYNOMIYHTÄLÖT RATIONAALILAUSEKKEEN SIEVENNYS Muotoa P, Q oleva lauseke on rationaalilauseke. Se pyritään sieventämään madollisimman Q yksinkertaiseen muotoon muuttamalla osoittaja ja nimittäjä tulomuotoon eli jakamalla ne tekijöiin ja sitten supistamalla. Jos rationaalilauseke ei sievene polynomiksi, se jää sievimmilläänkin murtolausekkeeksi. Tekijöiin jakaminen voidaan tedä polynomista riippuen a etsimällä polynomin yteinen tekijä b käyttämällä muistikaavoja c jakamalla polynomi tekijöiin nollakotien avulla d rymittelemällä ESIM. Sievennä rationaalilauseke POLYNOMIN JAKAMINEN JAKOKULMASSA Jos rationaalilauseke ei sievene em. keinoilla, on käytettävä polynomien jakolaskua. Polynomit jaetaan jakokulmassa samantyyppisellä jakoalgoritmilla kuin luvutkin jaetaan. ESIM. Laske jakokulmassa Onko 118 jaollinen 7:lla? 4

5 MAA Scildtin lukio ESIM. Jaa jakokulmassa POLYNOMIN JAOLLISUUS JAKOYHTÄLÖ: jaettava = jakaja osamäärä + jakojäännös eli P Q V J Tutkitaan erityisesti tilannetta missä jakaja on muotoa a. Koska jakojäännös on aina alempaa astetta kuin jakaja, tässä tilanteessa jakojäännös on vakio. Saadaan siis Jakolasku menee tasan vain kun jakojäännös c, josta seuraa: P a. Tämä tarkoittaa, että a on polynomin P nollakota jos ja vain jos jakojäännös on nolla eli P on jaollinen a :lla. 4 3 ESIM. Tutki onko polynomilla P 3 64 tekijä a b 4 5

6 MAA Scildtin lukio. ASTEEN YHTÄLÖN IMAGINAARISET RATKAISUT Toisen asteen ytälöllä a + b + c = on korkeintaan ratkaisua reaalilukujen joukossa. Ratkaisujen lukumäärän määrää diskriminantti D = b 4ac. Jos D >, niin reaalijuuria on kaksi Jos D =, niin reaalijuuria on yksi Jos D <, niin reaalijuuria ei ole Kuitenkin, jos D <, niin ytälöllä on kaksi juurta kompleksilukujen joukossa C = {a + bi; a, b R}, missä i on imaginaariyksikkö, jolle pätee i = 1. Muotoa a + bi olevia lukuja sanotaan imaginaariluvuiksi. Esim 1 Ratkaise ytälöt kompleksilukujen joukossa a + 8 = b = KORKEAMMAN ASTEEN POLYNOMIYHTÄLÖ ratkaistaan jakamalla polynomi tekijöiin eli esitetään polynomi madollisimman pieniasteisten polynomien tulona saadaan jakamalla polynomilla on juuria aina asteluvun ilmoittama määrä kompleksilukujen joukossa!, osa juurista voi olla ytä suuria, jolloin sanotaan, että ne ovat kaksin-, kolmin-, nelin-, jne. kertaisia juuria SIIS n-asteinen polynomi voidaan jakaa tekijöiin: P a 1... n, missä 1,,..., n ovat P :n nollakotia ja a on P :n korkeimman asteluvun termin kerroin. 6

7 MAA Scildtin lukio käytännössä ensimmäinen tekijä nollakota on löydettävä valistuneella arvauksella. Tätä auttaa seuraava lause: Jos polynomin kertoimet ovat kokonaislukuja, niin polynomin rationaaliset nollakodat ovat muotoa q p, missä p on vakiotermin ja q korkeimman asteen termin kertoimen tekijä. 3 ESIM. Ratkaise ytälö 5 3 YHTÄLÖN RATKAISEMINEN NUMEERISESTI Käytetään, kun tarkkaa ratkaisua ei saada tai sitä ei tarvita Menetelmä riippuu ytälön ominaisuuksista Menetelmästä riippumatta kannattaa aina tutkia ratkaisujen lukumäärää tekemällä A. teoreettista tutkimusta unktion kulku derivaatan avulla ns. Bolzanon lause: Jos suljetulla välillä jatkuvalla unktiolla on välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, niin välillä on ainakin yksi nollakota JA / TAI B. graaista esim. laskimen avulla tutki unktion kulkua graaisella laskimella taulukoi unktion arvoja 7

8 MAA Cygnaeus-lukio ESIM. Tutki kuinka monta reaalista juurta on ytälöllä =. 1. PUOLITUSMENETELMÄ Alkeellinen menetelmä ratkaista ytälö, yödyntää Bolzanon lausetta IDEA: 1. Lasketaan unktion arvo välin päätepisteissä jos erimerkkiset ratkaisu tällä välillä.. Otetaan välin keskipiste, lasketaan arvo ja katsotaan kumman alkuperäisen päätepisteen kanssa erimerkkinen ratkaisu tällä välillä. Tätä jatketaan riittävän pitkälle. 3. Jos on annettu absoluuttisen vireen raja ε, niin tutkikaan kunnes välin puolikkaan pituus on alle ε. toimii mille ytälölle taansa, mutta on yvin työläs erityisesti, jos ratkaisu alutaan tarkasti ESIM. Määritä puolitusmenetelmää käyttäen ytälön cos ratkaisujen likiarvo niin, että absoluuttinen vire on korkeintaan,5. 8

9 MAA Cygnaeus-lukio. NEWTONIN MENETELMÄ selvästi keittyneempi ja teokkaampi kuin puolitusmenetelmä, mutta edellyttää, että unktio y on derivoituva sisältää tiettyjä ongelmia, katsotaan niitä esimerkin jälkeen IDEA: 1. Tedään valistunut arvaus ratkaisusta, merkitään tämä alkuarvoksi. Piirretään kotaan tangentti:. Lasketaan tangentin nollakota: 3. Asetetaan se arvoksi 1 ja piirretään tangentti kotaan 1. Jatketaan kuten kodassa 1 ja toistetaan tätä. Näin saadaan Newtonin menetelmän ns. iteraatiokaava ESIM. Ratkaise viiden desimaalin tarkkuudella ytälö cos 3 käyttämällä Newtonin menetelmää. 9 Newtonin menetelmään liittyvät ongelmat: ttp://

10 MAA Cygnaeus-lukio 3. KIINTOPISTEMENETELMÄ iteraatiokaava yvin yksinkertainen ja yleensä varsin teokas IDEA: muutetaan ratkaistava ytälö muotoon g onnistuu aina!. Etsitään siis käyrän y g ja suoran y leikkauskotaa 1. Annetaan alkuarvo. Lasketaan g ja edelleen 1 3 g g 1,, jne SAADAAN g n 1 n Mikäli tämä jono suppenee, niin se tapatuu koti ytälön ytälön, ratkaisua. g, ja siten myös alkuperäisen ONGELMANA SUPPENEVUUS: kiintopistemenetelmää voidaan käyttää vain, jos g 1 sillä välillä, jolla tarkastelua tedään ttp://users.jyu.i/~maakio/maa1/kiintopistemenetelma.tml ESIM. Ratkaise ytälön ln kadesta juuresta suurempi käyttäen kiintopistemenetelmää. 1

11 MAA Cygnaeus-lukio 11 NUMEERINEN DERIVOINTI käytetään, jos unktio on vaikea derivoida tai unktion lauseketta ei voida määrittää esim. taulukoituja arvoja perustuu derivaatan määritelmään derivaatan arvo kodassa I lim II lim oikeanpuoleinen derivaatta lim vasemmanpuoleinen derivaatta Seuraavassa kaksi tapaa määrittää derivaatan arvo numeerisesti: 1. EROTUSOSAMÄÄRÄN KÄYTTÖ Jos erotusosamäärässä II oleva on itseisarvoltaan varsin pieni, tällä tavoin saatava sekantin kulmakerroin on varsin läellä tangentin kulmakerrointa eli tai Voidaan osoittaa, että menetelmän aieuttama vire on suoraan verrannollinen :n suuruuteen.

12 MAA Cygnaeus-lukio. KESKUSDIFFERENSSI Parempaan arvioon päästään määrittämällä sekanttien kulmakertoimet tarkasteltavan kodan molemmille puolille ja ottamalla niiden keskiarvo. Tätä kutsutaan keskusdierenssiksi. Nyt voidaan osoittaa, että vire on suoraan verrannollinen :n neliöön. ESIM. Määritä unktion e derivaatan arvo kodassa sekä erotusosamäärän että keskusdierenssin avulla :n arvolla,1. Laske molemmissa tapauksissa suteellinen vire. 1 Voidaan osoittaa, että menetelmän aieuttama vire on suoraan verrannollinen :n neliöön. Vireen suteellinen suuruus eri menetelmillä ja eri :n arvoilla: ttp://

13 MAA Cygnaeus-lukio NUMEERINEN INTEGROINTI Lasketaan määrätyn integraalin arvo, kun integraaliunktioita ei osata määrittää integroitavan unktion lauseketta ei tunneta, esim. taulukoituja arvoja MUISTA: b A d F b F a, kun a Numeerinen integrointi perustuu tään tulokseen siten, että korvataan yksinkertaisemmalla unktiolla. Seuraavassa kolme tapaa laskea määrätyn integraalin arvo numeerisesti: 1. SUORAKAIDESÄÄNTÖ: a Korvataan unktio välillä [a,b] vakiolla a Tämä antaa luonnollisesti yleensä varsin uonon likiarvon määrätyn integraalin arvolle. Miten arvioita voidaan parantaa? b jaetaan tarkasteltava väli [a,b] pienempiin osaväleiin: 13

14 MAA Cygnaeus-lukio Vastaava tulos saadaan myös laskemalla :n arvo osavälin loppupisteessä. Tämä on kuitenkin oleellisesti ytä tarkka arvio kuin sekin, kun käytetään välin alkupistettä: Oleellisesti parempaan tarkkuuteen päästään, kun lasketaan :n arvo osavälin keskipisteessä: ESIM1. Laske a alkupistettä b keskipistettä A 1 d jakamalla väli neljään osaväliin ja käyttämällä välin 14

15 MAA Cygnaeus-lukio. PUOLISUUNNIKASSÄÄNTÖ: a Korvataan unktio välillä [a,b] ensimmäisen asteen unktiolla: Asetetaan suora kulkemaan pisteiden a,a ja b,b kautta, jolloin Tämäkin antaa luonnollisesti yleensä varsin uonon likiarvon määrätyn integraalin arvolle. Miten arvioita voidaan parantaa? b jaetaan tarkasteltava väli [a,b] pienempiin osaväleiin: ESIM1. Laske a ytä jakoväliä b neljää jakoväliä A 1 d puolisuunnikassäännöllä käyttämällä 15

16 MAA Cygnaeus-lukio HUOM! Menetelmän virettä voi arvioida kaavalla E n = b a3 t 1n, jossa a < t < b 3. SIMPSONIN SÄÄNTÖ: a Korvataan unktio välillä [a,b] toisen asteen unktiolla: Asetetaan unktio siis paraabeli kulkemaan pisteiden jolloin voidaan osoittaa, että ks. s a b a b a a,, ja b, b, kautta, 16 Tuloksen tarkkuutta voidaan parantaa samoin kuin suorakaidesäännössä ja puolisuunnikassäännössä:

17 MAA Cygnaeus-lukio b Jaetaan tarkasteltava väli [a,b] parilliseen määrään pienempiä osavälejä: Nyt voidaan osoittaa, että ESIM1. Laske A 1 d Simpsonin säännöllä käyttämällä a säännön perusmuotoa b neljää osaväliä HUOM! Menetelmän virettä voi arvioida kaavalla E n = b a5 4 t 18n 4, jossa a < t < b 17