Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat
|
|
- Tuula Ahonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat keskenään, on selvää, että tähän saakka käyttämämme yksihiukkaskuva, ts. Schrödingerin yhtälön m ψ(r) + U(r)ψ(r) = Eψ(r) ominaisfunktioiden tulo, ei milloinkaan voi kuvata systeemiä tarkasti. Todellinen N elektronin Hamiltonin operaattori on H = m + i j i Ze e r i r j. N R r i R Tässä R summaus käy läpi Bravais n hilan pisteet, joten toinen termi kuvaa ionien aiheuttamaa periodista atraktiivista potentiaalia. Käytetään tästä termistä merkintää U ion (r) = Ze r R. R Viimeinen termi esittää elektronien välistä repulsiivista Coulombin vuorovaikutusta. Schrödingerin yhtälön HΨ = EΨ ratkaisuna on jokin hiukkasten koordinaateista r i ja spineistä s i riippuva aaltofunktio Ψ = Ψ(r s, r s,..., r N s N ). Koska monen hiukkasen Schrödingerin yhtälön tarkka ratkaiseminen on mahdotonta, etsitään likimääräisiä menetelmiä. Hartreen aproksimaatio Yritetään konstruoida yhteen elektroniin vaikuttava potentiaali U(r), joka ionien vaikutuksen U ion (r) lisäksi ottaa huomioon muiden N elektronin vaikutuksen. Eräs mahdollisuus saadaan tarkastelemalla elektronien varaustiheyttä ρ(r). Pisteessä r oleva elektroni tuntee tämän varaustiheyden potentiaalina U el (r) = e dr ρ(r ) r r. Pisteessä r elektroniin vaikuttava kokonaispotentiaali on U(r) = U ion (r) + U el (r). Yritetään pitäytyä yksihiukkaskuvassa. Tilassa i (i tarkoittaa sekä rata- että spin-kvanttilukua) olevan elektronin varaustiheys on ρ i (r) = e ψ i (r), kun oletamme aaltofunktiot ψ normitetuiksi. Kaikkien elektronien aiheuttama varaustiheys saadaan summaamalla yli kaikkien miehitettyjen yksihiukkastilojen, ts. ρ(r) = e i ψ i (r). Sijoitetaan ρ(r) efektiivisen potentiaalin U el (r) lausekkeeseen ja tämä edelleen kokonaispotentiaaliin U(r). Yksihiukkastilojen ψ i (r) on siis toteutettava yhtälö m ψ i (r) + U ion (r)ψ i (r) + e dr ψ j (r ) r r ψ i (r) j = E i ψ i (r). Tässä yhtälöryhmässä on yksi yhtälö kutakin miehitettyä tilaa kohti. Ryhmän yhtälöitä sanotaan Hartreen yhtälöiksi. Koska Hartreen yhtälöt ovat epälineaarisia, ne ratkaistaan käytännösssä iteroimalla:. Arvataan U el. Lasketaan se esim. käyttäen yhtälön m ψ i (r) + U ion (r)ψ i (r) = E i ψ i (r) ratkaisuja tai tasoaaltoja.. Ratkaistaan uudet aaltofunktiot ψ i (r) yhtälöstä m ψ i + [U ion (r) + U el (r) = E i ψ i. 3. Jos saadut aaltofunktiot poikkeavat (liikaa) entisistä, lasketaan U el (r) näitä uusia ominaisfunktioita käyttäen ja jatketaan kohdasta. Variaatioperiaate Olkoon H Hermiten operaattori. Tällöin suure F [Ψ = H Ψ = Ψ H Ψ on reaalinen, jolloin on mielekästä etsiä sen ääriarvoa kaikkien (sopivasti valittujen) funktioiden Ψ joukossa. Jotta funktionaalilla F [Ψ olisi ääriarvo argumentilla Ψ, täytyy ilmeisestikin olla voimassa F [Ψ + δψ = F [Ψ + O(δΨ ), olipa δψ mikä tahansa funktion Ψ infinitesimaalinen muutos. Oletetaan, että funktionaalilla F on ääriarvo pisteessä Ψ ja merkitään tätä arvoa kuten Määritelmän mukaan on E = F [Ψ = Ψ H Ψ. F [Ψ + δψ = Ψ + δψ H Ψ + δψ Ψ + δψ Ψ + δψ.
2 Skalaaritulojen lineaarisuutta käyttäen saadaan edelleen F [Ψ + δψ = = [ Ψ H Ψ + Ψ H δψ + δψ H Ψ + δψ H δψ + Ψ δψ + δψ Ψ + δψ δψ Ψ H Ψ + Ψ H δψ + δψ H Ψ ( Ψ δψ δψ Ψ ) +O(δΨ ) = F [Ψ + Ψ H δψ + δψ H Ψ E Ψ δψ E δψ Ψ + O(δΨ ) = F [Ψ + Ψ H E δψ + δψ H E Ψ + O(δΨ ). Minimiehdosta seuraa, että suureessa δψ lineaaristen termien täytyy hävitä. Koska δψ on mielivaltainen variaatio, on ainoa mahdollisuus, että H Ψ = E Ψ. Nähdään siis, että jokainen ominaisarvoprobleema H Ψ = E Ψ voidaan muuntaa ääriarvotehtäväksi. Ominaisfunktiot Ψ ovat nimittäin niitä funktioita, joilla suureella on stationäärinen arvo, ts. H Ψ = Ψ H Ψ H Ψ+δΨ = H Ψ + O(δΨ ). Olkoon systeemin Hamiltonin operaattori H = m i + U ion (r i ) + i j e r i r j. On suoraviivainen tehtävä osoittaa, että suureen H Ψ minimin etsintä kaikkien ortonormaalisten yksihiukkasfunktioiden tulojen, ts. muotoa Ψ(r s, r s,..., r N s N ) = ψ (r s )ψ (r s ) ψ N (r N s N ) olevien funktioiden joukossa johtaa Hartreen yhtälöihin. Hartree-Fockin aproksimaatio Tulomuotoiset aaltofunktiot eivät kuitenkaan toteuta fermioneilta vaadittavaa antisymmetrisyyttä: Ψ(r s,..., r i s i,..., r j s j,..., r N s N ) = Ψ(r s,..., r j s j,..., r i s i,..., r N s N ). Yksinkertaisin korjaus saadaan aikaan antisymmetrisoimalla tulomuotoiset funktiot: Ψ(r s, r s,..., r N s N ) = ( ) P ψ P (r s )ψ P (r s ) N! P ψ P N (r N s N ). Tässä P tarkoittaa indeksien,,..., N permutaatiota ja summaus käy yli kaikkien permutaatioiden. Determinantin määritelmästä nähdään, että voimme kirjoittaa aaltofunktion myös muotoon Ψ(r s, r s,..., r N s N ) ψ (r s ) ψ (r s ) ψ (r N s N ) = ψ (r s ) ψ (r s ) ψ (r N s N ). N!... ψ N (r s ) ψ N (r s ) ψ N (r N s N ) Tämä tunnetaan Slaterin determinantin nimellä. Tekijä / N! pitää huolen determinanttiaaltofunktioiden normituksesta olettaen, että yksihiukkasfunktiot ψ i (rs) ovat normitettuja. Yritetään nyt etsiä odotusarvon H Ψ ääriarvoa Slaterin determinanttien muodostamassa funktioavaruudessa. Suoraviivainen lasku osoittaa, että tällöin yksihiukkasosan odotusarvo on m = i i + U ion (r i ) Ψ ) dr ψi (r) ( m + U ion (r) ψ i (r). Kaksihiukkasoperaattorin odotusarvon laskemiseksi tarkastellaan siinä esiintyvää tyypillistä termiä ( ) P +P dr dr i dr j dr N ψi (r s ) ψi N (r N s N ) r i r j ψ i (r s ) ψ i N (r Ns N ). Yksihiukkasfunktioiden ortogonaalisuuden perusteella on selvää, että matriisielementin ollessa nollasta poikkeava indeksien i l ja i l täytyy olla samoja lukuunottamatta indeksipareja {i i, i j } ja {i i, i j }. Koska N indeksiä kaikista N indeksistä on samoja, on kaksi mahdollisuutta. i i = i i ja i j = i j. Indeksien permutaatiot ovat siis identtiset, eli P = P. Matriisielementtimme on tällöin + dr dr r r ψ i i (r) ψ ij (r ).. i i = i j ja i j = i i. Indeksien permutaatiot eroavat yhden parin vaihdolla, eli ( ) P +P =. Matriisielementtimme on nyt dr dr r r ψ i i (r)ψ ii (r )ψ i j (r )ψ ij (r)δ sis j,
3 koska aaltofunktiot ovat ortogoaalisia myös spin-avaruudessa. Kun nyt lasketaan kaikki kaksihiukkasoperaattoriin ja aaltofunktioihin liittyvät summat pitäen huolellisesti kirjaa indekseistä ja yhdistetään saatu tulos yksihiukkasoperaattorin odotusarvoon, päädytään lausekkeeseen H Ψ = i + i,j i,j dr ψi (r) ( ) m + U ion (r) ψ i (r) dr dr e r r ψ i(r) ψ j (r ) dr dr δ sis j e r r ψ i (r)ψ i (r )ψ j (r )ψ j (r). Varioimalla tässä funktiota ψi ns. Hartree-Fockin yhtälöt saadaan ääriarvoehdoksi m ψ i (r) + U ion (r)ψ i (r) + U el (r)ψ i (r) dr e r r ψ j (r )ψ i (r )ψ j (r)δ si s j = E i ψ i (r), j missä U el (r) = e i dr ψ i (r ) r r on sama kuin Hartreen yhtälöissäkin. Termiä, jolla Hatree-Fockin yhtälöt eroavat Hartreen yhtälöistä, sanotaan vaihtotermiksi. Hartree-Fockin yhtälöt ratkaistaan periaatteessa samanlaisella iteroinnilla kuin Hartreen yhtälötkin. Nyt kuitenkin jokaisella iteraatiokierroksella ratkaistavat yksihiukkasyhtälöt ovat muotoa m ψ(r) + U () (r)ψ(r) + dr V (r, r )ψ(r ) = Eψ(r). Tässä U () (r) tarkoittaa (efektiivistä) yksihiukkaspotentiaalia. Termi dr V (r, r )ψ(r ) on seurausta vaihtotermistä. Koska ratkaistava funktio ψ esiintyy integrandissa, kyseessä on integro-differentiaaliyhtälö. Tälläisen yhtälön ratkaiseminen on yleensä huomattavasti hankalampaa kuin tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Hartree-Fockin teoria ja vapaat elektronit Lähes ainoa tapaus, jossa Hartree-Fockin yhtälöt voidaan ratkaista eksaktisti, on silloin, kun elektroneihin vaikuttava ulkoinen ionien kenttä U ion (r) on nolla tai vakio. Ratkaisuina ovat tällöin tasoaallot ψ i (r) = V e ik i r χ i, missä χ i esittää spin-tilaa. Jokainen aaltovektori k i esiintyy kahdesti: spin-ylös- ja spin-alas-tiloissa. Osoitetaan, että tasoaallot todellakin ratkaisevat Hartree-Fockin yhtälöt: Jos elektronit ovat tasoaaltotiloissa, niin niiden todennäköisyysjakaumat ψ i (r) ovat vakioita. Indusoitunut potentiaali U el (r) on siten myös vakio. Koska elektronit ovat vapaita, kuvataan materian ioneja rakenteettomalla varausjakautumalla, ts. ionien varausjakauma on vakio ja varaustiheys itseisarvoltaan täsmälleen sama mutta vastakkaismerkkinen elektronien varaustiheyden kanssa. Tällöin siis U el + U ion = 0. Kirjoitetaan Coulombin potentiaali e / r r Fourierin sarjana kuten e r r = 4e V 4e Sijoitetaan tämä vaihtotermiin. q eiq (r r ) q dq eiq (r r ) () 3 q. Sijoitetaan tasoaallot Hartree-Fockin yhtälön vasemmalle puolelle. Huomataan että vaihtotermissä summaus ulottuu ainoastaan miehitettyjen tilojen yli eli aaltovektorissa k summaus on rajoitettu alueelle k < k F. Hartree-Fockin yhtälöiden vasen puoli on nyt h k m V k <k F = h k m 4e k k = h k m e k F F dk k <kf 4e () 3 k k ( ) k k F kertaa tasoaalto e ik r. Tässä funktio F on F (x) = + x 4x ln + x x. Yhtälöiden oikea puoli on Ee ik r. Tasoaallot siis ratkaisevat Hartree-Fockin yhtälöt ja energioiksi saadaan E(k) = h k ( ) m e k k F F. k F Huom.. Vaikka Hartree-Fockin yhden elektronin tilat ovat edelleenkin tasoaaltoja, on tilaan e ik r liittyvä energia nyt h k /m plus elektroni-elektroni-vuorovaikutusta kuvaava termi.
4 Huom.. Systeemin kokonaisenergia saadaan summaamalla kaikkien N elektronin energiat. Aaltovektorissa tämä tarkoittaa summausta yli kaikkien tilojen, joilla aaltovektori k on pienempi kuin Fermi-pinnan aaltovektori k F. Lisäksi on otettava huomioon kunkin k-tilan kaksinkertainen miehitys ( - ja -spin-tilat). Koska korjaustermi aiheutuu elektronien välisistä vuorovaikutuksista, on siitä tuleva kontribuutio edelleen jaettava kahdella, jotta kunkin elektroniparin vuorovaikutus tulisi mukaan vain yhteen kertaan. Huom. 3. Kokonaisenergia on siis E = k<k F e k F h k m k<k F [ + k F k ln k F + k kk F k F k. Nämä summat voidaan laskea muuttamalla ne integroinneiksi ja tulokseksi saadaan [ 3 E = N 5 E F 3 e k F. 4 Kun energia lausutaan Rydbergeissä (e /a 0 = Ry = 3.6eV) ja ilmaistaan tiheys muuttujan r s avulla, saadaan E N = e a 0 = [ 3 5 (k F a 0 ) 3 [. (r s /a 0 ) 0.96 (r s /a 0 ) (k F a 0 ) Ry. Huom. 4. Vapaan elektronikaasun energia osataan laskea suureen r s /a 0 potenssisarjan alimpaan kertalukuun saakka eksaktisti. Tulos on E N = [. (r s /a 0 ) 0.96 (r s /a 0 ) ln(r s /a 0 ) O(r s /a 0 ) Ry. Kaksi ensimmäistä termiä ovat täsmälleen samat kuin Hartree-Fockin teoriassakin. Hartree-Fockin tulosta korjaavia termejä nimitetään yhteisesti korrelaatioenergiaksi. Koska metalleilla on r s /a 0 = 6, ei korrelaatioenergialla ole niissä suurtakaan merkitystä. Huom. 5. Vaihtotermistä aiheutuva keskimääräinen korjaus elektronin energiaan h k /m on suureen E/N lausekkeessa oleva toinen termi: E x = 3 4 e k F = 0.96 (r s /a 0 ) Ry. Slater ehdotti, että ei-uniformisissa systeemeissä (esim. periodisessa potentiaalissa) Hartree-Fockin teorian vaihtotermi korvattaisiin termillä E x laskettuna paikallisessa tiheydessä. Tällöin päädyttäisiin sellaisiin Hartreen yhtälöihin, joissa potentiaaliin U el tulee lisättäväksi termi U x (r) =.95(a 3 0n(r)) /3 Ry. Tätä mallia on sovellettu moniin vyölaskuihin vaikkakin sen oikeellisuus on usein kyseenalaista. Huom. 6. Hartree-Fockin energian E(k) derivaatta E/ k on singulaarinen pisteessä k = k F eli juuri siellä, missä metallin ominaisuuksien kannalta tärkeimpien elektronien aaltovektorit sijaitsevat. Esim. nopeus (/ h) k E on teorian mukaan ääretön Fermi-pinnalla. Singulariteetti voidaan jäjittää Coulombin potentiaalin Fourierin muunnoksen 4e /k divergenssiin pisteessä k = 0. Osoittautuu, että ottamalla huomioon muiden elektronien vaikutukset pisteissä r ja r sijaitsevien elektronien keskinäinen efektiivinen vuorovaikutus on pehmeämpi kuin puhdas Coulombin vuorovaikutus (varjostusefekti). Aproksimatiivisesti tämä efektiivinen potentiaali on muotoa e e k0r /r (r = r r ). Koska tämän Fourierin muunnos on 4e /(k + k 0), häviää singulariteetti energian derivaatasta. Varjostus (Screening) Tarkastellaan vapaata elektronikaasua. Asetetaan siihen kiinteä positiivinen varaus. Tämä vetää puoleensa elektroneja, joiden kenttä puolestaan pienentää (varjostaa) ulospäin näkyvää positiivisen varauksen indusoimaa kenttää. Olkoon ρ ext (r) positiivisen hiukkasen varaustiheys. Tästä aiheutuva sähköinen potentiaali φ ext (r) toteuttaa Poissonin yhtälön φ ext (r) = 4ρ ext (r). Täyden fysikaalisen potentiaalin φ(r) indusoi positiivisen hiukkasen ja elektronien yhteinen varaustiheys ρ(r). Myös φ(r) toteuttaa Poissonin yhtälön φ(r) = 4ρ(r). Jos ρ ind (r) on elektronien varaustiheys positiivisen hiukkasen ollessa läsnä, on kokonaisvaraustiheys ρ(r) = ρ ext (r) + ρ ind (r). Oletetaan, että φ ja φ ext riippuvat toisistaan lineaarisesti, kuten φ ext (r) = dr ɛ(r, r )φ(r ). Tasaisesti jakautuneessa elektronikaasussa pisteessä r laskettu kokonaispotentiaalin φ(r) saama kontribuutio pisteessä r olevasta varaustiheydestä, ja siten myös siinä vallitsevasta ulkoisesta potentiaalista φ ext (r ), voi riippua ainoastaan pisteitä yhdistävästä vektorista r r. Silloin myös ɛ riippuu ainoastaan vektorista r r : ɛ(r, r ) = ɛ(r r ).
5 Ulkoinen kenttä on siis φ ext (r) = dr ɛ(r r )φ(r ). Suureen ɛ(r) Fourierin muunnosta ɛ(q) = dr e iq r ɛ(r) sanotaan (aaltovektorista riippuvaksi) metallin dielektrisyysvakioksi. Käänteismuunnoksella dq ɛ(r) = eiq r () 3 ɛ(q) päästään takaisin konfiguraatioavaruuden suureeseen ɛ(r). Määrittelemällä vastaavat Fourierin muunnokset potentiaaleille φ ja φ ext saadaan niiden välille algebrallinen relaatio φ(q) = ɛ(q) φext (q). Fourier-muunnettujen kenttien φ ja φ ext Poissonin yhtälöt kuuluvat q φ ext (q) = 4ρ ext (q) q φ(q) = 4ρ(q). Indusoituneen varaustiheyden ρ ind = ρ ρ ext aiheuttama kenttä toteuttaa siis yhtälön q 4 (φ(q) φext (q)) = ρ ind (q). Jos totaalinen kenttä φ on kyllin heikko, voidaan olettaa indusoituneen varaustiheyden riippuvan siitä lineaarisesti. Fourierin muunnoksille on silloin voimassa ρ ind (q) = χ(q)φ(q), joten q 4 (φ(q) φext (q)) = χ(q)φ(q). Tästä saadaan kentälle φ lauseke φ(q) = φext (q) 4 q χ(q). Vertaamalla aikaisempaan kenttien φ ja φ ext väliseen relaatioon ( ) nähdään, että dielektrisyysvakio voidaan kirjoittaa muotoon ɛ(q) = 4 4 ρ ind (q) χ(q) = q q φ(q). Huom. Lukuunottamatta oletusta elektronien lineaarisesta vasteesta ulkoiseen häiriöön, ρ ind (q) = χ(q)φ(q), käsittely on tähän saakka ollut eksaktia. Suureen χ laskemiseksi tarvitaan kuitenkin aproksimaatioita. ( ) Thomas-Fermin teoria Elektronien ollessa kokonaispotentiaalissa φ = φ ext + φ ind saadaan niiden varaustiheys periaatteessa ratkaisemalla Schrödingerin yhtälöstä m ψ i (r) eφ(r)ψ i (r) = E i ψ i (r) yksihiukkasaaltofunktiot ψ i (r) ja sijoittamalla nämä lausekkeeseen ρ el (r) = e i ψ i (r). Epäpuhtauden indusoima varaustiheys olisi silloin ρ ind (r) = ρ el (r) ρ 0, missä ρ 0 on alkuperäinen tasainen varausjakautuma. Thomas-Fermin mallissa oletetaan, että potentiaali φ(r) vaihtelee hyvin hitaasti paikan r funktiona: jopa niin hitaasti, että sitä voidaan Schrödingerin yhtälössä ( ) pitää vakiona. Yksihiukkasenergiat ovat tällöin E(k) = h k m eφ(r). Mallin soveltuvuusalue voidaan kvantifioida huomioimalla, että Tämän kaltainen aaltovektoria ja paikkaa tosiinsa sitova relaatio on ilmeisestikin mielekäs ainoastaan aaltopakettien yhteydessä. Koska prosesseihin osallistuvat elektronit ovat peräisin Fermi-pinnan lähistöltä, ovat niiden aaltovektorit suuruusluokkaa k F. Vastaavien elektronien muodostamat aaltopaketit ovat siten leveydeltään vähintään suuruusluokkaa /k F. Hitaastivaihtelevuus tarkoittaa siis, että φ(r) ei saa muuttua juuri lainkaan Fermi-aallonpituuden suuruusluokkaa olevilla matkoilla. Vastefunktio χ(q) voidaan Thomas-Fermin mallissa niin ollen laskea luotettavasti vain alueella q k F. Oletetaan, että elektronien energiat noudattavat relaatiota E(k) = h k m eφ(r). Elektronien lukumäärätiheydeksi saadaan silloin n(r) = dk 4 3 e β( h k /m eφ(r) µ) +. Vastaavasti tasainen häiriötön tiheys on vakio dk n 0 (µ) = 4 3 e β( h k /m µ) +. Nähdään, että n(r) voidaan kirjoittaa vakiotiheyden n 0 (µ) avulla, kuten n(r) = n 0 (µ + eφ(r)). ( )
6 Indusoitunut varaustiheys on siten ρ ind (r) = e[n 0 (µ + eφ(r)) n 0 (µ). Olettaen että φ on kyllin pieni, voimme kehittää tämän Taylorin sarjaksi ρ ind (r) = e n 0 µ φ(r). Vertaamalla vasteen χ(q) määrittelevään lausekkeeseen saadaan vastefunktioksi ρ ind (q) = χ(q)φ(q) χ(q) = e n 0 µ aaltovektorista q riippumaton vakio. Dielektrisyysvakio tulee olemaan ɛ(q) = + 4e q n 0 µ. Kun määritellään Thomas-Fermin aaltovektori k 0 siten, että k 0 = 4e n 0 µ, saadaan dielektrisyysvakio muotoon ɛ(q) = + k 0 q. Tarkastellaan ulkoista pistevarausta Q. Vastaava ulkoinen potentiaali on tai Fourier-muunnettuna Kokonaispotentiaali on nyt φ ext (r) = Q r, φ ext (q) = 4Q q. φ(q) = ɛ(q) φext (q) = 4Q q + k0. Tämän käänteismuunnoksena saadaan dq φ(r) = eiq r 4Q () 3 q + k0 = Q r e k0r. Kokonaispotentiaali φ(r) käyttäytyy siis lyhyillä etäisyyksillä kuten Coulombin potentiaali, mutta kuolee pois nopeasti etäisyyksillä, jotka ovat suurempia kuin /k 0. Tämän muotoista potentiaalia sanotaan varjostetuksi Coulombin potentiaaliksi. Estimoidaksemme aaltovektoria k 0 tarvitsemme osittaisderivaatan n 0 / µ. Vakiotiheys voidaan kirjoittaa muotoon n 0 (µ) = de g(e)f(e), missä g(e) on tilatiheys { g(e) = 3 ( n E E F ) / E F, E > 0 0, E < 0. Jos nyt on voimassa T T F, niin Fermi-funktio f(e) redusoituu askelfunktioksi θ(µ E) ja kemiallinen potentiaali on µ = E F. Nähdään siis, että Tällöin on k0 kf = 4 n 0 µ = g(e F ) = mk F h. me ( 6 h = k F 3 ) /3 ( rs a 0 ), josta saadaan aaltovektorille k 0 lauseke ( ) / rs.95 k 0 = 0.85k F = a 0 (r s /a 0 ) / Å. Koska metalleilla r s /a 0 on välillä 6, häiriöt varjostuvat etäisyyksillä, jotka ovat kiteen atomien välimatkan suuruusluokkaa. Lindhardin teoria Palataan Schrödingerin yhtälöön ( ) m ψ i (r) eφ(r)ψ i (r) = E i ψ i (r). Vastefunktio χ(q) määritelmänsä ρ ind (q) = χ(q)φ(q) mukaan kertoo, millainen on indusoituneen varaustiheyden lineaarinen riippuvuus kokonaispotentiaalista φ. Koska tiheys puolestaan saadaan yksihiukkasaaltofunktioista, riittää että aaltofunktioissa otetaan huomioon vain lineaarinen riippuvuus potentiaalista φ. Ratkaistaan yo. Schrödingerin yhtälö korjaamalla häiriöttömän (φ(r) = 0) yhtälön ratkaisuja kertalukuun φ saakka tavanomaisella häiriölaskulla. Lopputuloksena saadaan dk f χ(q) = e k q f k+ q 4 3 h m k q. Tässä f k tarkoittaa tasapainojakaumaa f k = e β( h k /m µ) +. Jos q on pieni verrattuna aaltovektoriin k F, voidaan vastefunktion lausekkeen integrandin osoittajassa kehittää termit sarjaksi f k± q = f k ± h k q m f k µ + O(q ). Saatava integraali voidaan laskea suljetussa muodossa lämpötilassa T = 0, jolloin saadaan ( ) [ χ(q) = e mkf h + x ln + x 4x x.
7 Tässä x = q/k F. Kun x = 0, saadaan Thomas-Fermin tulos. Pisteessä q = k F (x = ) ei χ(q), eikä siis myöskään ɛ(q) = 4χ/q, ole analyyttinen. Tästä johtuen varjostettu potentiaali φ käyttäytyy suurilla etäisyyksillä, kuten φ(r) r 3 cos k F r. Tiheysfunktionaalimenetelmä Käytännössä Hartree-Fock-tyyppisten yhtälöiden tarkka ratkaisu epähomogeenisissa systeemeissä käy mahdottomaksi termodynaamisella rajalla. Tällä rajalla relevantti systeemin perustilassa olevia elektroneja kuvaava suure on niiden lukumäärätiheys n(r) = Ψ δ(r r i ) Ψ = N dr... dr N [Ψ (r,..., r N )δ(r r ) Ψ(r,..., r N ), missä Ψ(r, r,..., r N ) on perustilan (antisymmetrinen) aaltofunktio. Itse asiassa sen sijaan että yrittäisimme ratkaista Schrödingerin yhtälöstä tai sen johdannaisista aaltofunktiota, voisimme yritää formuloida teorian suoraan tiheyden n(r) laskemiseksi. Osoittautuu nimittäin, että perustilan tiheys määrää täysin perustilan ominaisuudet, mm. sen aaltofunktion. Elektroneja kuvaava monen hiukkasen Hamilton on yleisesti muotoa H = m i + e N r i r j + U(r i ) = T + U ee + U, i j missä T on kineettinen energia, U ee elektronien keskinäistä vuorovaikutusta kuvaava termi ja U ionien, epäpuhtauksien, yms. aiheuttama ulkoinen potentiaali. Huomaamme, että termit T ja U ee ovat universaaleja eli riippuvat ainoastaan elektronien lukumäärästä ja ovat niin ollen määrättävissä kun tunnetaan elektronien lukumäärätiheys n(r) (ja tilavuus), ulkoinen potentiaali U sen sijaan riippuu myös systeemin spesifisistä ominaisukksista kuten hilarakenteesta, epäpuhtauksista, jne. Näemme siis, että erilaisten systeemien Hamiltonit eroavat toisistaan ainoastaan ulkoisen potentiaalin osalta. Näytämme nyt, että Perustilan tiheys n(r) määrää additiivista vakiota lukuunottamatta yksikäsitteisesti elektronien tunteman ulkoisen potentiaalin U (Hohenberg ja Kohn, 964). Tod. Oletetaan, että on olemassa kaksi samaan tiheyteen n(r) johtavaa potentiaalia U (r) ja U (r). Olkoot H ja H näitä potentiaaleja vastaavat Hamiltonin operaattorit sekä Ψ ja Ψ vastaavat perustilat. Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme tässä, että molemmat perustilat ovat degeneroitumattomia. Jos nyt tilat Ψ ja Ψ ovat samoja, ts. niin saamme eli H Ψ = E Ψ H Ψ = E Ψ, (H H )Ψ = (U U )Ψ = (E E )Ψ U (r) U (r) = E E = vakio, joten potentiaalit eroavat toisistaan vain additiivisella vakiolla. Oletetaan nyt, että potentiaalit eroavat aidosti toisistaan, ts. U (r) U (r) vakio. Tällöin siis myös tiloille on voimassa Ψ Ψ. Koka nyt Ψ ei ole Hamiltonin H perustila, meillä on E = Ψ H Ψ < Ψ H Ψ, mistä edelleen näemme, että E < Ψ H Ψ + Ψ H H Ψ = E + Ψ U U Ψ. Viimeisen lausekkeen jälkimmäinen termi on muotoa Ψ f Ψ = dr... dr N [Ψ (r,..., r i,..., r N )f(r i ) Ψ(r,..., r i,..., r N ). Aaltofunktioiden antisymmetrisyydestä johtuen muuttujien r ja r i yhtäaikainen vaihto niissä säilyttää integrandin ennallaan. Vaihtamalla nyt integrointimuuttujat r ja r i keskenään saamme Ψ f Ψ = dr f(r ) dr... dr N [Ψ (r,..., r i,..., r N ) Ψ(r,..., r i,..., r N ) = N dr n(r)f(r). Näemme siis, että perustilojen energiat toteuttavat epäyhtälön E < E + dr n(r)[u (r) U (r).
8 Toistamalla tämä päättely Hamiltonille H saamme vastaavasti epäyhtälön E < E + dr n(r)[u (r) U (r), sillä oletuksen mukaan molemmat ulkoiset potentiaalit johtavat samaan tiheyteen n(r). Laskemalla epäyhtälöt puolittain yhteen saamme E + E < E + E, mikä on ilmeisestikin ristiriitaista. Oletuksemme kahden eri potentiaalin yhteisestä perustilan tiheydestä on siis väärä eli Hohenbergin ja Kohnin väite on oikea. Oletetaan, että tunnemme materiaalin elektronitiheyden n(r). Koska elektronisysteemin kineettinen ja vuorovaikutusenergia ovat universaaleja tiheydestä riippuvia funktionaaleja T [n ja U ee [n ja Hohenbergin ja Kohnin lauseen perusteella perustilan tiheys määrää yksikäsitteisesti (additiivista vakiota lukuunottamatta) ulkoisen potentiaan, ts. myös potentiaalin U(r) voidaan ajatella olevan tiheyden funktionaali U[n, voimme itse asiassa kirjoittaa systeemin koko Hamiltonin H ja siten myös koko energian E tiheyden funtionaalina E[n = T [n + U[n + U ee [n. Oletetaan nyt, että tunnemme tiheysfunktionaalin E[n. Kun Hamiltonin H perustila on Ψ 0 ja n 0 siihen liittyvä tiheys, niin tiheysfunktionaalin E[n määritelmän mukaan perustilan energia on E[n 0, ts. Tällöin HΨ 0 = E[n 0 Ψ 0. perustila Ψ 0 minimoi odotusarvon Ψ H Ψ, jos n on mikä tahansa muu tiheys, niin siihen liittyy Hohenbergin ja Kohnin lauseen mukaan jokin toinen Hamiltonista H poikkeava Hamilton H, jonka perustila Ψ poikkeaa todellisesta perustilasta Ψ 0, joten E[n 0 = Ψ 0 H Ψ 0 < Ψ H Ψ = E[n eli perustilan tiheys n(r) minimoi tiheysfunktionaalin E[n. Kun määritellään F HK [n = T [n + U ee [n voimme kirjoittaa tiheysfunktionaalin eksplisiittisesti muotoon E[n = dr n(r)u(r) + F HK [n. Funktionaali F HK [n ei riipu ulkoisesta potentiaalista U(r), on sama universaali funktionaali kaikille systeemeille, joiden tiheys on n(r). Jos siis tuntisimme sen, voisimme ratkaista kaikki monen kappaleen probleemat kaikilla mahdollisilla ulkoisilla potentiaaleilla U. Edellä oletimme systeemin perustila olevan degeneroitumaton ja implisittisesti jokaista (kuviteltavissa olevaa) tiheyttä vastaten olevan olemassa ulkoisen potentiaalin. Luovutaan nyt näistä oletuksista ja tarkastellaan mielivaltaista tiheyttä n(r). Käytetään merkintää Ψ n tarkoittamaan sitä, että aaltofunktioon Ψ liittyy tiheys n. Määritellään nyt funktionaali F [n odotusarvon Ψ T + U ee Ψ miniminä yli tälläisten aaltofunktioiden, ts. F [n = min Ψ n Ψ T + U ee Ψ. Tämä raja-arvo on hyvin määritelty, sillä (kuten voidaan osoittaa) aaltofunktioiden Ψ n joukko ei ole tyhjä. Tämä määritelmä ei myöskään riipu lainkaan siitä, onko olemassa tiheyteen n liittyvää ulkoista potentiaalia. Perustilan energia E 0 löydetään esim. minimointiprobleeman min Ψ Ψ T + U + U ee Ψ ratkaisuna. Voimme jakaa tämän probleeman osiin, kuten E 0 = min Ψ T + U + U ee Ψ Ψ [ = min min Ψ T + U + U n ee Ψ Ψ n [ = min min Ψ T + U n ee Ψ + Ψ n [ = min F [n + dr U(r)n(r) n = min E[n. n Tiheysfunktionaali E[n on siis hyvin määritelty riippumatta siitä, onko perustila degeneroitunut vai ei, dr U(r)n(r) liittyykö tiheyteen ulkoista potentiaalia vai ei, ja perustilan energia on aina energiafunktionaalin minimi. Thomas-Fermi-tiheysfunktionaaliteoria Yksinkertaisin aproksimaatio tiheysfunktionaalille saadaan kirjoittamalla tasaisesti jakautuneen elektronikaasun energia tiheyden funktiona ja soveltamalla tätä lauseketta ulkoisten kenttien aiheuttamaan vaihtelevaan paikalliseen tiheyteen. Lasketaan ensin homogeenisen elektronikaasun kineettinen kokonaisenergia T : dk h k T = V 4 3 m = V h m dk k 4 k<k F k<k F = V h kf 5 m5 = V h 3 m 5 (3 ) /3 n 5/3,
9 missä olemme käyttäneet relaatiota n = k3 F 3. Käsitellään vuorovaikutusenergia Hartree-Fock-mallin mukaisesti. Koska elektronitiheys on nyt vaihteleva, eivät ionipotentiaali U ion ja vuorovaikutuksen suoratermi U el enää kumoa toisiaan eksaktisti. Joudumme siis ottamaan energiaan mukaan myös termin dr dr e r r ψ i(r) ψ j (r ) i,j = e n(r )n(r ) dr dr. r r Vaihtotermille laskimme jo vapaiden elektronien tapauksessa lausekkeen E x = N 3 e k F 4 = V 3 4 ( ) /3 3 e n 4/3. Thomas-Fermi-teorian mukaisesti käytämme näitä lausekkeita, vaikka tiheys ei olisikaan enää vakio. Kineettinen kokonaisenergia vaihtelevassa tiheydessä n(r) on tällöin T [n = ja vaihtoenergia E x [n = dr h 3 m 5 dr 3 4 ( 3 ) /3 n 5/3 (r) ( ) /3 3 e n 4/3 (r). Kokonaisuudessaan energiafunktionaali on nyt E[n = h 3 ( 3 ) /3 dr n 5/3 (r) m 5 + dr U ion (r)n(r) + e n(r )n(r ) dr dr r r 3 ( ) /3 3 e dr n 4/3 (r). 4 Tiheysfunktionaaliteorian mukaisesti perustilan energia ja tiheys määräytyvät energiafunktionaalin minimistä. Varioimme siis funktionaalia E[n tiheyden n(r) suhteen. Määrittelemme funktionaalisen derivaatan δe[n/δn siten, että δe[n(r) = δe[n(r) δn(r), δn(r) missä δn(r) on funktion n(r) infinitesimaalinen variaatio. Suoraviivainen lasku näyttää, että energian funktionaalinen derivaatta on δe δn = h ( 3 ) /3 n /3 (r) + U ion (r) m +e dr n(r ) r r ( ) /3 3 e n /3 (r). Huomioidaan hiukkasluvun N = dr n(r) vakioisuus energian minimoinnissa lisäämällä siihen termi λ(n dr n(r)), missä λ on Lagrangen kerroin. Minimiehto on silloin δe δn λ = 0. Toisaalta, koska kemiallinen potentiaali on määritelmän mukaan µ = δe/δn, on minimointiprobleeman Lagrangen kerroin identifioitavissa kemialliseksi potentiaaliksi. Funktionaalin minimissä toteuttaa tiheys siis Thomas-Fermi-yhtälön +e h ( 3 ) /3 n /3 (r) + U ion (r) m dr n(r ) r r ( ) /3 3 e n /3 (r) = µ, josta perustilan tiheys n(r) on ratkaistavissa. Thomas-Fermi-teoria toimii kohtuullisella tarkkuudella vain tapauksissa, missä elektronitiheys on likimain vakio. Kohn-Sham-yhtälö Kokemus on osoittanut, että Hartree-Fock-lasku antaa useimmissa tapauksissa riittävän tarkan lähtökohdan kiinteiden aineiden ominaisuuksien selvittämiseen, Hartree-Fock-lasku on varsin työläs, Thomas-Fermi-yhtälö on epätarkka, Thomas-Fermi-yhtälön numeerinen ratkaisu on nopea. Siksipä Kohn ja Sham risteyttivät molemmat metodit saadakseen aikaan riittävän tarkan mutta silti numeerisesti kohtuullisen menetelmän. Thomas-Fermi-mallin heikkous voidaan jäljittää sen kineettisen energian lausekkeeseen sillä T [n = dr h 3 m 5 ( 3 ) /3 n 5/3 (r) se huomioi kyllä korrektisti Paulin kieltosäännön eli tiheyden kasvaessa elektronit joutuvat korkeammille energiatiloille eli energia T kasvaa, mutta se ei huomioi sitä, että kineettiseen energiaan vaikuttavat huomattavasti myös aaltofunktioiden gradientit, sillä korrekti kineettinen energia on T [n = i h m ( ψ i). Kohn ja Sham korvasivat Thomas-Fermi-mallin kineettisen energian korrektilla kineettisellä energialla ja ilmaisivat tiheyden aaltofunktoiden avulla muodossa n(r) = ψ i (r).
10 Kun näin saatu kokonaisenergia minimoidaan varioimalla aaltofunktion ψi suhteen päädytään Kohnin ja Shamin yhtälöön m ψ i (r) [ + U ion (r) + = E i ψ i (r). dr e n(r ) r r + δex (n) ψ i (r) δn Vaihtoenergiafunktionaaliksi E x [n on olemassa lukuisia ehdotelmia. Yksi näistä on Thomas-Fermi-teoriassakin käytetty muoto E x [n = dr 3 4 ( ) /3 3 e n 4/3 (r), joka johtaa Kohn-Sham-yhtälöön [ m ψ i (r) + U ion (r) + dr e n(r ) r r e ( 3 n(r) ) /3 ψ i (r) = E i ψ i (r).
T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
LisätiedotVaihdetaan ryhmässä (1) summausindeksiksi K, jolloin saadaan (E E 0 k K 1
Heikot periodiset potentiaalit Useiden metallien (alkuaineryhmissä I, II, III ja IV) johde-elektronit liikkuvat heikossa kiteen ionien muodostamassa potentiaalissa, sillä näillä metalleilla on s- tai p-elektroni
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLaskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka
Laskennalinen kemia Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka Molekyyligeometria ja elektronirakenteet Empiiriset menetelmät (Hückel, Extended Hückel) Semi-empiiriset
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2015 165 MNQT, sl 2015 166 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
Lisätiedot(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi?
Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia.
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
Lisätiedot