MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
|
|
- Juho Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 206, periodi II
2 Kurssin järjestelyt Luennot ma ja pe klo 0 2 Luennoitsija: Lasse Leskelä Vastaanotto ma 4 Y242a Harjoitukset viikoittain 2 x 2h + STACK-tehtävät Pääassistentti: Sami Helander sami.helander@aalto.fi
3 Suorittaminen Kaksi vaihtoehtoa: (a) Tentti 60% + harjoitukset 40% (b) Tentti 00% Harjoituspisteet ovat voimassa ja tenteissä.
4 Kurssikirja Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Sheldon M Ross. Academic Press sivua. E-kirja (Aallon verkosta):
5 Kurssimateriaalia verkossa Päämateriaali Luentokalvot Esimerkkikokoelmat Harjoitustehtävät Tilastolliset taulukot Lisämateriaalia S M Ross. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Academic Press 204. I Mellin. Todennäköisyyslaskenta. I Mellin. Tilastolliset menetelmät.
6 Osaamistavoitteet Kurssin suorittanut: osaa laskea yhdistelmätapahtumien todennäköisyyksiä hyödyntämällä joukko-opin operaatioita tuntee tärkeimmät diskreetit ja jatkuvat todennäköisyysjakaumat sekä tunnistaa tilanteita, joita niillä voi mallintaa osaa yhteisjakauman perusteella laskea satunnaisvektorin tunnuslukuja sekä tunnistaa, milloin kaksi satunnaismuuttujaa ovat stokastisesti riippumattomat tuntee menetelmiä tilastollisten mallien parametrien estimoimiseen osaa laskea yksinkertaisen mallin posteriorijakauman annetusta priorijakaumasta ja havaitusta datasta osaa selittää, millaisia johtopäätöksiä voi ja ei voi tehdä valittuun tilastolliseen testiasetelmaan liittyvän p-arvon pohjalta
7 Työmäärä Osallistuminen luennoille 24 h (4 h/viikko) Osallistuminen harjoituksiin 24 h (4 h/viikko) Viikottainen itsenäinen opiskelu 72 h (6 2 h/viikko) Osallistuminen ja valmistautuminen kokeisiin 4 40 h Yhteensä h 5 op
8 Luentorunko (alustava) LA Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt LB Satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat L2A Satunnaismuuttujien odotusarvot ja muunnokset L2B Satunnaismuuttujien keskihajonta ja korrelaatio L3A Satunnaismuuttujien summien normaaliapproksimaatio L3B Datajoukkojen empiiriset jakaumat ja tunnusluvut L4A Datalähteen stokastinen malli ja parametrien estimointi L4B Bayesläinen tilastollinen päättely L5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus I L5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus II L6A Tilastollisten estimaattien luottamusvälit L6B Lineaarinen regressio
9 Mitä tämän kurssin jälkeen?
10 Stochastics and Statistics Courses MS-C2 - S TOKASTISET PROSESSIT Periodi I, 5 op. Luennoitsija: Kalle Kytölä Esitiedot: MS-A000X Matriisilaskenta MS-A00X Differentiaali- ja integraalilaskenta MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kurssilla tutustutaan stokastisten prosessien eli ajasta riippuvien MS-E600 - P ROBABILITY THEORY satunnaisilmiiden teoriaan ja opitaan analysoimaan ja mallintamaan mm. luonnontieteiden ja tekniikan populaatiomalleja Markovprosessien avulla, ennakoimattomia tapahtumahetkiä Poisson-prosessin avulla, sekä yksinkertaisia uhkapelejä ja sijoitusstrategoioita martingaalien avulla. MS-E992 - A SYMPTOTIC STATISTICS Periods I II, 0 cr. Lecturers: Pauliina Ilmonen & Lasse Leskelä Esitiedot: MS-C540 Euklidiset avaruudet (or equivalent) MS-C204 Tilastollisen analyysin perusteet (or equivalent) MS-E600 Probability theory (only recommended) This is an introduction to the field of asymptotic statistics, which provides tools for analyzing the accuracy of estimators and test statistics computed from large data samples. We will start with fundamental topics such as likelihood inference, U-statistics, and rank procedures, and then proceed to selected more advanced topics. This year the course is organized as a reading seminar with weekly meetings. MS-C228 E NNUSTAMINEN JA AIKASARJA - ANALYYSI Periodi II, 5 op., BSc Luennoitsija: Lauri Viitasaari Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, MS-A02XX Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 MS-C2 Stokastiset prosessit "Ennustaminen on vaikeaa, varsinkin tulevaisuuden" Period III, 5 cr. Lecturer: Kalle Kytöä Prerequisites: MS-C540 Euklidiset avaruudet This course is about the mathematical foundations of randomness. Probability theory is relied on in virtually any advanced topic in stochastics. The basic constructions are identical to measure theory, but there are a number of distinctly probabilistic features such as independence, notions of convergence of random variables, information contained in a sigma-algebra, conditional expectation, characteristic functions and generating functions, laws of large numbers and central limit theorems. MS-C203 KOESUUNNITTELU JA TILASTOLLISET MALLIT Periodi III, 5 op., BSc\Msc Luennoitsija: Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kurssilla esitellään tavallisimpia koejärjestelyitä sekä menetelmiä tilas- tollisen analyysin tekemiseen. Tavoitteena on oppia valitsemaan sopiva koejärjestely tilastollisen testin toteuttamiseksi, suorittamaan testi ja analysoimaan tulokset. Kurssi kattaa regressioanalyysin perusteet, varianssianalyysin sekä valikoituja koejärjestelyitä, kuten lohkoasetelmat, faktorikokeet sekä vastepintamenetelmän. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. MS-E602 - L ARGE RANDOM SYSTEMS Period IV, 5 cr. Lecturer: Kalle Kytölä Prerequisites: MS-E600 Probability theory Many interesting random systems contain a large number of simpler constituents interacting with each other. This course covers both mathematical techniques for the study of such systems, and important probabilistic models of a range of different phenomena. The theory focuses on tightness and weak convergence of probability measures. Examples include random walk and Brownian motion, percolation, Curie-Weiss model and Ising model, and voter model and contact process. -Niels Bohr MS-E22 M ULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS MS-E990 H OW TO LIE WITH STATISTICS Period II, 5 cr., MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: At least one MSc statistics/probability course This course is an advanced course in statistics. Despite the name, the goal is not to learn to lie with statistics, but to learn to spot if there is something fishy in a statistical analysis. The ultimate goal is to learn to tell the truth with statistics. Majority of the lectures, instead of traditional lecturing, consists of discussions. Students will find problematic data examples themselves and their findings and ideas for improving data analyses are discussed during the lectures. Students will also learn to defend their ideas and discoveries by participating in a debate. MS-E998 I NTRODUCTION TO R- PROGRAMMING Period II (Sat and Sun ), cr., BSc\MSc Lecturer: Niko Lietzén Prerequisites: none This intensive course is an introduction to R-programming. The goal is to learn the basic commands required to work with R. Students are not expected to have any prior experience with R-programming. Note that, in order to complete the course, it is mandatory to attend all the lectures. The lectures are from 8:5 to 6:00 on Saturday 29.0 and from 8:5 to 6:00 on Sunday this course. The topics of the course are multivariate location and scatter, principal component analysis, bivariate correspondence analysis, multivariate correspondence analysis, canonical correlation analysis, discriminant analysis, classification, and clustering. Cor(x,y) = 0.02 y Periods III IV, 5 cr., MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: At least one statistics/probability course and one matrix algebra course This course is an introduction to multivariate statistical analysis. The goal is to learn basics of common multivariate data analysis techniques and to use the methods in practice. Software R is used in the exercises of x MS-C204 I NTRODUCTION TO S TATISTICAL I NFERENCE Periods III IV, 5 cr., BSc\MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: MS-A05XX First Course in probability and statistics MS-A00x Matrix algebra This course is an introduction to statistical analysis and statistical inference. Course topics include estimation, simple parametric and nonparametric tests, statistical dependence and correlation, linear regression analysis and analysis of variance. Software R is used in this course. Histogram of x Frequency Jos tietyt matemaattiset oletukset täyttyvät, voidaan tehdä käyttökelpoisia ennusteita historiallisten aikasarja-aineistojen perusteella. Kurssin tavoitteena on oppia, kuinka aikasarjoja analysoidaan ja miten niiden avulla laaditaan ennusteita. Kurssi kattaa yleisimmät mallit, kuten ARIMAmallit ja dynaamiset regressiomallit, mutta myös muita tulosten kannalta oleellisia asioita, kuten diagnostiikan ja mallin valinnan. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. x MS-E997 - R ANDOM MATRICES Period V, 0 cr. Lecturer: Christian Webb Prerequisites: MS-A030X Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi (MS-C300 Kompleksianalyysi) The theory of random matrices has been a rich source of exciting mathematics with connections to many areas of mathematics and other disciplines such as number theory, combinatorics, the theory of orthogonal polynomials, physics, and statistics. Random matrices also have important engineering applications in image and signal processing and wireless communication. This course will cover the basic theory of random matrices and time permitting discuss applications such as compressed sensing, modelling sample covariance matrices, Anderson localization, and properties of random graphs.
11 Kysyttävää järjestelyistä? Luennot ma ja pe klo 0 2 Luennoitsija: Lasse Leskelä Vastaanotto ma 4 Y242a Harjoitukset viikoittain 2 x 2h + STACK-tehtävät Pääassistentti: Sami Helander sami.helander@aalto.fi
12 MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 206, periodi II
13 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
14 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
15
16 Todennäköisyyden käsite Reaalimaailmassa todennäköisyys ilmenee monin eri tavoin: Huomenna sataa todennäköisyydellä 5 %. CERN on löytänyt uuden alkeishiukkasen todennäköisyydellä %. Auer vangittiin todennäköisin syin epäiltynä murhasta. Todennäköisyyden yleispätevä tieteellinen määrittely kaikkia konteksteja tyydyttävällä tavalla on vaikeaa: Subjektiivinen tulkinta Frekventistinen tulkinta (Matemaattinen todennäköisyysteoria kuitenkin soveltuu filosofisesta tulkinnasta riippumatta!) D Aldous: Annotated list of contexts where we perceive chance
17 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
18 Satunnaisilmiö Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka realisaatiota ei varmuudella tunneta. Realisaatio on satunnaisilmiön mahdollinen toteuma. Perusjoukko S sisältää satunnaisilmiön kaikki realisaatiot. Tapahtumia ovat perusjoukon S osajoukot A S. Tulkinta Tapahtuma A sattuu, kun satunnaisilmiön realisaatio s A. Täysi osajoukko S on varma tapahtuma. Tyhjä osajoukko on mahdoton tapahtuma.
19 Esim. Noppa Realisaatio i = nopan silmäluku Perusjoukko S = {, 2,..., 6} Tapahtumia ovat S:n osajoukot, esim. A = silmäluku on parillinen = {2, 4, 6}. B = silmäluku on suurempi kuin neljä = {5, 6}.
20 Esim. Kaksi noppaa Realisaatio on pari (i, j), missä i on ensimmäisen ja j toisen nopan silmäluku. Perusjoukko on S = {(, ), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, ), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Tapahtumia ovat S:n osajoukot, esim. A = silmäluvut ovat samat = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. B = ensimmäisen nopan silmäluku on = {(, ), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6)}.
21 Esim. Huomisen sademäärä Otaniemessä (mm) Realisaatiot ovat reaalilukuja x 0. Perusjoukko S = {x R : x 0}. Tapahtumia ovat esim. A = huomenna sataa yli 0 mm = (0, ) B = huomenna ei sada = {0}
22 Tapahtumien yhdisteleminen Perusjoukon tapahtumista voidaan muodostaa uusia tapahtumia loogisin päättelysäänöin: A ja B sattuvat A tai B sattuu A ei satu B sattuu mutta A ei Todennäköisyyslaskentaa varten tapahtumat tulee ilmaista joukko-opin kielellä.
23 Tapahtumien leikkaus Tapahtuma A ja B sattuvat sisältää ne realisaatiot, jotka kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B: A B = {s S : s A ja s B}. Esim (Noppa) A = Silmäluku on > 3 = {4, 5, 6} B = Silmäluku on parillinen = {2, 4, 6} A B = Silmäluku on > 3 ja parillinen = {4, 6}
24 Tapahtumien yhdiste Tapahtuma A tai B sattuu sisältää ne realisaatiot, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B: A B = {s S : s A tai s B}. Esim (Noppa) A = Silmäluku on > 3 = {4, 5, 6} B = Silmäluku on parillinen = {2, 4, 6} A B = Silmäluku on > 3 tai parillinen = {2, 4, 5, 6}
25 Tapahtuman vastakohta Tapahtuma A ei satu sisältää ne realisaatiot, jotka eivät kuulu joukkoon A: A c = {s S : s A}. Esim (Noppa) A = Silmäluku on suurempi kuin 3 = {4, 5, 6} A c = Silmäluku ei ole suurempi kuin 3 = Silmäluku on korkeintaan 3 = {, 2, 3}
26 Tapahtumien erotus Tapahtuma B sattuu mutta A ei sisältää ne realisaatiot, jotka kuuluvat joukkoon B mutta eivät joukkoon A: B \ A = {s S : s B ja s A}. Esim (Noppa) A = Silmäluku on > 3 = {4, 5, 6} B = Silmäluku on parillinen = {2, 4, 6} B \ A = Silmäluku on parillinen ja 3 = {2}
27 Toisensa poissulkevat tapahtumat Tapahtumat A ja B poissulkevat toisensa, jos vain toinen niistä voi sattua, eli A B =. Tapahtumat A, A 2,... poissulkevat toisensa, jos vain yksi niistä voi sattua, eli A i A j = aina kun i j. Esim (Noppa) A = Silmäluku on parillinen, B = Silmäluku on kolme tai viisi Tapahtumat A ja B poissulkevat toisensa. A i = Silmäluku on i. Tapahtumat A, A 2,..., A 6 poissulkevat toisensa.
28 Tapahtumien yhdisteleminen Yhteenveto Tulkinta Varma tapahtuma Mahdoton tapahtuma A sattuu A ja B sattuvat A tai B sattuu A ei satu B sattuu mutta A ei A ja B poissulkevat toisensa Joukko-opin lauseke S A A B A B A c B \ A A B =
29 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
30 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyysjakauma eli todennäköisyysmitta perusjoukolla S on kuvaus, joka liittää jokaiseen tapahtumaan A S luvun P(A), ja toteuttaa: (i) Varman tapahtuman S todennäköisyys on P(S) =. (ii) Jokaiselle tapahtumalle A pätee 0 P(A). (iii) Mille tahansa äärelliselle tai äärettömälle jonolle toisensa poissulkevia tapahtumia A, A 2,... pätee P(A A 2 ) = P(A ) + P(A 2 ) + Näitä ominaisuuksia kutsutaan aksioomiksi, koska niistä voidaan johtaa muut todennäköisyyden laskusäännöt.
31 Todennäköisyyden perussäännöt Yleinen summasääntö: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Poissulkevien summasääntö: P(A B) = P(A) + P(B), kun A B =. Vastakohdan ja erotuksen todennäköisyys: P(A c ) = P(A), P(B \ A) = P(B) P(A B). Monotonisuus: P(A) P(B), kun A B. Nämä säännöt voidaan johtaa todennäköisyyden aksioomista.
32 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
33 Todennäköisyys ja kombinatoriikka Jos äärellisen perusjoukon S jokainen realisaatio on yhtä todennäköinen, on tapahtuman A S todennäköisyys P(A) = #A #S = tapahtuman A realisaatioiden lkm kaikkien realisaatioiden lkm. Suuressa perusjoukossa voi lukumäärien #A ja #S laskeminen olla vaikeaa, ellei jopa mahdotonta. Kombinatoriikka on tämäntyyppisiin ongelmiin keskittynyt matematiikan osa-alue. Esim (Vaikea kombinatorinen ongelma) Millä todennäköisyydellä 0 8 askeleen itseään välttävä satunnaiskulku päättyy etäisyydelle 0 6 lähtöpisteestään?
34 Listojen lukumäärä (toistojen kanssa) Montako PIN-koodia voidaan numeroista {0,, 2,..., 9} muodostaa? Muodostetaan kaikki PIN-koodit neljässä vaiheessa:. Valitaan ensimmäinen PIN-koodin numero: 0 tapaa 2. Valitaan seuraava PIN-koodin numero: 0 tapaa 3. Valitaan seuraava PIN-koodin numero: 0 tapaa 4. Valitaan seuraava PIN-koodin numero: 0 tapaa = Yhteensä 0 4 = 0000 tapaa 0000, 000, 0002, 0003, 0004, 0005, 0006, 0007, 0008, 0009, 000, 00, 002, 003, 004, 005, 006, 007, 008, 009, 0020, 002, 0022, 0023, 0024, 0025, 0026, 0027, 0028, 0029, 0030, 003, 0032, 0033, 0034, 0035, 00, 0037, 0038, 0039, 0040, 004, 0042, 0043, 0044, 0045, 0046, 0047, 0048, 0049, 0050, 005, 0052, 0053, 0054, 0055, 0056, 0057, 0058, 0059, 0060, 006, 0062, 0063, 0064, 0065, 0066, 0067, 0068, 0069, 0070, 007, 0072, 0073, 0074, 0075, 0076, 0077, 0078, 0079, 0080, 008, 0082, 0083, 0084, 0085, 0086, 0087, 0088, 0089, 0090, 009, 0092, 0093, 0094, 0095, 0096, 0097, 0098, 0099, 000, 00, 002, 003, 004, 005, 006, 007, 008, 009, 00, 0, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 020, 02, 022, 023, 024, 025, 026, 027, 028, 029, 030, 03, 032, 033, 034, 035, 0, 037, 038, 039, 040, 04, 042, 043, 044, 045, 046, 047, 048, 049, 050, 05, 052, 053, 054, 055, 056, 057, 058, 059, 060, 06, 062, 063, 064, 065, 066, 067, 068, 069, 070, 07, 072, 073, 074, 075, 076, 077, 078, 079, 080, 08, 082, 083, 084, 085, 086, 087, 088, 089, 090, 09, 092, 093, 094, 095, 096, 097,..., 9983, 9984, 9985, 9986, 9987, 9988, 9989, 9990, 999, 9992, 9993, 9994, 9995, 9996, 9997, 9998, 9999
35 Listojen lukumäärä (ilman toistoja) Monellako tapaa on mahdollista jakaa mitalisijat SM-liigan 8 kärkijoukkueen (IFK, JYP, KÄR, LUK, PEL, SAI, TAP, TPS) kesken? Muodostetaan kaikki mitalisijakombinaatiot kolmessa vaiheessa:. Valitaan sijalle jokin joukkue: 8 tapaa 2. Valitaan sijalle 2 jokin vielä sijoittamaton joukkue: 7 tapaa 3. Valitaan sijalle 3 jokin vielä sijoittamaton joukkue: 6 tapaa = Yhteensä = 3 tapaa (IFK,JYP,KÄR) (IFK,JYP,LUK) (IFK,JYP,PEL) (IFK,JYP,SAI) (IFK,JYP,TAP) (IFK,JYP,TPS) (IFK,KÄR,JYP) (IFK,KÄR,LUK) (IFK,KÄR,PEL) (IFK,KÄR,SAI) (IFK,KÄR,TAP) (IFK,KÄR,TPS) (IFK,LUK,JYP) (IFK,LUK,KÄR) (IFK,LUK,PEL) (IFK,LUK,SAI) (IFK,LUK,TAP) (IFK,LUK,TPS) (IFK,PEL,JYP) (IFK,PEL,KÄR) (IFK,PEL,LUK) (IFK,PEL,SAI) (IFK,PEL,TAP) (IFK,PEL,TPS) (IFK,SAI,JYP) (IFK,SAI,KÄR) (IFK,SAI,LUK) (IFK,SAI,PEL) (IFK,SAI,TAP) (IFK,SAI,TPS) (IFK,TAP,JYP) (IFK,TAP,KÄR) (IFK,TAP,LUK) (IFK,TAP,PEL) (IFK,TAP,SAI) (IFK,TAP,TPS) (IFK,TPS,JYP) (IFK,TPS,KÄR) (IFK,TPS,LUK) (IFK,TPS,PEL) (IFK,TPS,SAI) (IFK,TPS,TAP) (JYP,IFK,KÄR) (JYP,IFK,LUK) (JYP,IFK,PEL) (JYP,IFK,SAI) (JYP,IFK,TAP) (JYP,IFK,TPS) (JYP,KÄR,IFK) (JYP,KÄR,LUK) (JYP,KÄR,PEL) (JYP,KÄR,SAI) (JYP,KÄR,TAP) (JYP,KÄR,TPS) (JYP,LUK,IFK) (JYP,LUK,KÄR) (JYP,LUK,PEL) (JYP,LUK,SAI) (JYP,LUK,TAP) (JYP,LUK,TPS) (JYP,PEL,IFK) (JYP,PEL,KÄR) (JYP,PEL,LUK) (JYP,PEL,SAI) (JYP,PEL,TAP) (JYP,PEL,TPS) (JYP,SAI,IFK) (JYP,SAI,KÄR) (JYP,SAI,LUK) (JYP,SAI,PEL) (JYP,SAI,TAP) (JYP,SAI,TPS) (JYP,TAP,IFK) (JYP,TAP,KÄR) (JYP,TAP,LUK) (JYP,TAP,PEL) (JYP,TAP,SAI) (JYP,TAP,TPS) (JYP,TPS,IFK) (JYP,TPS,KÄR) (JYP,TPS,LUK) (JYP,TPS,PEL) (JYP,TPS,SAI) (JYP,TPS,TAP) (KÄR,IFK,JYP) (KÄR,IFK,LUK) (KÄR,IFK,PEL) (KÄR,IFK,SAI) (KÄR,IFK,TAP) (KÄR,IFK,TPS) (KÄR,JYP,IFK) (KÄR,JYP,LUK) (KÄR,JYP,PEL) (KÄR,JYP,SAI) (KÄR,JYP,TAP) (KÄR,JYP,TPS) (KÄR,LUK,IFK) (KÄR,LUK,JYP) (KÄR,LUK,PEL) (KÄR,LUK,SAI) (KÄR,LUK,TAP) (KÄR,LUK,TPS) (KÄR,PEL,IFK) (KÄR,PEL,JYP) (KÄR,PEL,LUK) (KÄR,PEL,SAI) (KÄR,PEL,TAP) (KÄR,PEL,TPS) (KÄR,SAI,IFK) (KÄR,SAI,JYP) (KÄR,SAI,LUK) (KÄR,SAI,PEL) (KÄR,SAI,TAP) (KÄR,SAI,TPS) (KÄR,TAP,IFK) (KÄR,TAP,JYP) (KÄR,TAP,LUK) (KÄR,TAP,PEL) (KÄR,TAP,SAI) (KÄR,TAP,TPS) (KÄR,TPS,IFK) (KÄR,TPS,JYP) (KÄR,TPS,LUK) (KÄR,TPS,PEL) (KÄR,TPS,SAI) (TPS,TAP,PEL) (TPS,TAP,SAI)
36 Listojen lukumäärä Yhteenveto Fakta Järjestettyjä k alkion listoja voidaan n alkion joukosta muodostaa: toistojen kanssa n k kappaletta, ilman toistoja n(n ) (n k + ) kappaletta. Esim (PIN-koodit) Järjestettyjä k = 4 numeron listoja (toistojen kanssa) voidaan n = 0 numeron joukosta muodostaa 0 4 kappaletta Esim (SM-liigan mitalisijat) Järjestettyjä k = 3 joukkueen listoja (ilman toistoja) voidaan n = 8 kärkijoukkueen joukosta muodostaa 8(8 ) (8 3 + ) = = 3 kappaletta
37 Järjestysten lukumäärä Monellako tapaa voidaan SM-liigan kaikki 5 joukkuetta asettaa paremmuusjärjestykseen? Järjestettyjä k = 5 joukkueen listoja voidaan n = 5 liigajoukkueen joukosta muodostaa n(n ) (n k + ) eli 5 4 kappaletta Fakta n alkiota voidaan järjestää listaan n! = n(n ) tavalla. Esim (SM-liigan sarjataulukko) SM-liigan 5 joukkuetta voidaan asettaa paremmuusjärjestykseen 5! tavalla.
38 Osajoukkojen lukumäärä Kuinka monta 5 pelaajan ykkösylivoimaketjua voidaan Suomen jääkiekkomaajoukkueen 20 kenttäpelaajan joukosta muodostaa? 20 pelaajan joukosta voidaan muodostaa 5 eri pelaajan järjestettyjä listoja = kappaletta. 5 pelaajan ketju on sama huolimatta siitä, miten sen pelaajat järjestää. = Jokaista 5 pelaajan ketjua vastaa 5! = 20 järjestettyä 5 eri pelaajan listaa 5 pelaajan ylivoimaketjujen lukumäärä on ! = = 5 504
39 Osajoukkojen lukumäärä Yleistys Fakta Järjestämättömiä k alkion osajoukkoja voidaan n alkion joukosta muodostaa kappaletta. n(n ) (n k + ) k(k ) = n! k!(n k)! =: ( ) n k
40 Esim. Lottoarvonta Mikä on todennäköisyys saada 7 oikein yhdellä lottorivillä? Veikkaus Oy:n lottoarvonnan perusjoukko on S = 7:n alkion osajoukot joukosta {,..., 39} ja sen koko on #S = ( 39 7 ). Tapahtuma A = valitulla lottorivillä 7 oikein sisältää täsmälleen yhden realisaation, joten #A =. Symmetrian perusteella lottoarvonta on tasajakautunut, joten P(A) = #A #S = ( 39 7 ) =
41 Esim. Kolmoset pokerissa Mikä on todennäköisyys saada kolmoset viidellä kortilla? kolmoset = 5 kortin (järjestämätön) joukko, jossa esiintyy 3 arvoa: yksi kolmesti ja muut kerran. Muodostetaan kaikki kolmosia vastaavat korttiviisikot:. Valitaan kolmesti esiintyvä arvo a kaikista arvoista: 3 tapaa 2. Valitaan kerran esiintyvien arvojen (järjestämätön) joukko käyttämättömistä arvoista: ( 2 2 ) = 66 tapaa 3. Valitaan kolmen kortin joukko arvon a korteista: ( 4 3) = 4 tapaa 4. Valitaan yhden kortin joukko pienempää kerran esiintyvää arvoa olevista korteista: ( 4 ) = 4 tapaa 5. Valitaan yhden kortin joukko suurempaa kerran esiintyvää arvoa olevista korteista: ( 4 ) = 4 tapaa = P( kolmoset ) = 3( )( ) 2 3)( )( ) = %. ( 52 5
42 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
43 Ehdollinen todennäköisyys Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys tapahtuman B sattuessa määritellään kaavalla P(A B) = P(A B), P(B) 0. P(B) Mikäli P(B) = 0, jätetään P(A B) määrittelemättä.
44 Esim. Eduskunta Eduskunnan 200 kansanedustajasta naisia on 83. SDP:llä on 34 kansanedustajaa, joista 2 on naisia. Satunnaisesti valittu kansanedustaja on SDP:n jäsen todennäköisyydellä P( SDP ) = = 0.7. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu naiskansanedustaja on SDP:n jäsen? P( SDP ja nainen ) P( SDP nainen ) = P( nainen ) = 2/200 83/
45 Yleinen tulosääntö Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä voidaan johtaa: Laskusääntö Aina kun P(A) 0, pätee yleinen tulosääntö P(A B) = P(A) P(B A). Tulkinta Yhteistapahtuman sekä A että B sattuvat todennäköisyys saadaan kertomalla tapahtuman A todennäköisyys tapahtuman B ehdollisella todennäköisyydellä A:n sattuessa.
46 Monen tapahtuman tulosääntö Laskusääntö Aina kun P(A A k ) 0, pätee yleinen tulosääntö P(A A k ) = P(A ) P(A 2 A ) P(A 3 A A 2 ) P(A k A A k ). Tulkinta Yhteistapahtuman jokainen tapahtumista A,..., A k sattuu todennäköisyys saadaan kertomalla keskenään: A :n todennäköisyys, A 2 :n ehdollinen tn tapahtuman A sattuessa, A 3 :n ehdollinen tn tapahtumien A ja A 2 sattuessa,... A k :n ehdollinen tn tapahtumien A, A 2,..., A k sattuessa.
47 Tulosääntö Esimerkki Nostetaan korttipakasta palauttamatta 3 korttia. Millä todennäköisyydellä kaikki ovat patoja? A i = i:s kortti on pata A = A A 2 A 3 Yleisen tulosäännön perusteella P(A) = P(A ) P(A 2 A ) P(A 3 A A 2 ) = Vaihtoehtoinen kombinatorinen tapa: S = kolmen kortin järjestämättömät osajoukot, #S = ( ) Tapahtuman A realisaatiot vastaavat kolmen kortin osajoukkoja patojen joukosta. Näitä on #A = ( ) 3 3 kpl. Symmetrian nojalla satunnaisilmiö on tasajakautunut, joten P(A) = #A #S = ( 3 3 ) ( 52 3 ) =
48 Stokastinen riippuvuus ja riippumattomuus Tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomat, jos P(A B) = P(A) P(B). Kokoelma tapahtumia {A i, i I } on riippumaton, jos kaikilla i, i 2,..., i k I. P(A i A ik ) = P(A i ) P(A ik ) Esim Tilanteita, joissa riippumattomuus on intuitiivisesti selvää: Perättäiset kolikonheitot, kunhan kolikkoa heitetään riittävän korkealle. Otanta palauttaen: nostetaan korista arpalippuja niin, että nostettu lippu palautetaan koriin ja sen jälkeen kori sekoitetaan hyvin.
49 Riippumattomuus ja ehdollinen todennäköisyys Fakta Kun P(A) 0 ja P(B) 0, ovat seuraavat yhtäpitävät: A ja B ovat riippumattomat. P(A B) = P(A). P(B A) = P(B). Tulkinta Jos P(A B) P(A), niin tieto B:n sattumisesta sisältää informaatiota, jota voidaan hyödyntää A:n todennäköisyyden määrittämiseen.
50 Esimerkki: Korttipakka Nostetaan pakasta satunnainen kortti. A = kortti on pata B = kortti on ässä Ovatko A ja B riippuvat vai riippumattomat? Tarkastetaan laskemalla, päteekö P(A B) = P(A) P(B). P(A) = 3 52 = 4. P(B) = 4 52 = 3. P(A B) = P( kortti on pataässä ) = 52. Koska P(A B) = P(A) P(B), ovat A ja B toisistaan riippumattomat.
51 Osituskaava Perusjoukon S ositus on kokoelma toisensa poissulkevia tapahtumia B,..., B n, joiden yhdiste on S. Laskusääntö Jos B,..., B n muodostavat perusjoukon osituksen ja P(B i ) 0 kaikilla i, niin n P(A) = P(B i ) P(A B i ). i=
52 Todistus. Tapahtumat C i = A B i poissulkevat toisensa ja niiden yhdiste on A. Poissulkevien summasäännöstä ja yleisestä tulosäännöstä P(A B i ) = P(B i ) P(A B i ) seuraa ( n ) P(A) = P C i = i= n P(C i ) = i= = n P(A B i ) i= n P(B i ) P(A B i ). i=
53 Osituskaava: Esimerkki Oletetaan tunnetuksi, että naisista 75%:lla ja miehistä 5%:lla on pitkät hiukset. Teekkareista naisia on arviolta 27%. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti ohikulkevalla teekkarilla on pitkät hiukset? H = { ohikulkijalla on pitkät hiukset } N = { ohikulkija on nainen } M = { ohikulkija on mies } Toistensa vastakohtina N ja M muodostavat perusjoukon osituksen. Osituskaavan avulla P(H) = P(N) P(H N) + P(M) P(H M) = ( 0.27) 0.5 = 3.2%.
54 Bayesin kaava Kun tunnetaan P(A B) sekä P(A) 0 ja P(B) 0, voidaanko määrittää käänteinen ehdollinen todennäköisyys P(B A)? Laskusääntö (Bayesin kaava) P(B A) = P(A B) P(B). P(A) Todistus. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä P(B A) = P(A B) P(A) = P(A B) P(B) P(B) P(A) = P(A B)P(B) P(A).
55 Bayesin kaava: Esimerkki Oletetaan tunnetuksi, että naisista 75%:lla ja miehistä 5%:lla on pitkät hiukset. Teekkareista naisia on arviolta 27%. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti ohikulkeva pitkähiuksinen teekkari on nainen? H = { ohikulkijalla on pitkät hiukset } N = { ohikulkija on nainen } M = { ohikulkija on mies } Tiedetään: P(H N) = 0.75 P(N) = 0.27 P(H) = 0.32 (edellinen esimerkki) Bayesin kaavaa käyttämällä P(N H) = P(H N) P(N) P(H) = %.
56 Esimerkki: Tehtaan laadunvalvonta Samaa tuotetta valmistetaan kahdella tuotantolinjalla. Valmiit tuotteet sekoitetaan ja pakataan laatikoihin. Linjalta valmistuu 3 tuotetta/min, joista 2% on viallisia. Linjalta 2 valmistuu 5 tuotetta/min, joista 9% on viallisia. Tarkastetaan satunnaisesta laatikosta satunnaisesti valittu tuote. Millä todennäköisyydellä tarkastettava tuote on linjalta? Millä todennäköisyydellä vialliseksi havaittu tuote on linjalta?
57 Esimerkki: Tehtaan laadunvalvonta Ratkaisu Linjalta valmistuu 3 tuotetta/min, joista 2% on viallisia. Linjalta 2 valmistuu 5 tuotetta/min, joista 9% on viallisia. Tunnetut todennäköisyydet: L = Tuote on linjalta, P(L ) = 3/8 L 2 = Tuote on linjalta 2, P(L 2 ) = 5/8 V = Tuote on viallinen, P(V L ) = 0.02, P(V L 2 ) = 0.09 Tapahtumat L ja L 2 muodostavat perusjoukon osituksen, joten osituskaavalla P(V ) = P(V L ) P(L ) + P(V L 2 ) P(L 2 ) = = 6.375%, ja Bayesin kaavalla P(L V ) = P(V L ) P(L ) P(V ) = / %.
58 Esimerkki: Tehtaan laadunvalvonta Yhteenveto Samaa tuotetta valmistetaan kahdella tuotantolinjalla. Valmiit tuotteet sekoitetaan ja pakataan laatikoihin. Linjalta valmistuu 3 tuotetta/min, joista 2% on viallisia. Linjalta 2 valmistuu 5 tuotetta/min, joista 9% on viallisia. Tarkastettavan tuotteen alkuperän prioritodennäköisyydet ovat: Tuote on linjalta tn:llä 3/8 = 37.5 % Tuote on linjalta 2 tn:llä 5/8 = 62.5 % Tarkastettavan tuotteen alkuperän posterioritodennäköisyydet (sen jälkeen kun tuote on havaittu vialliseksi) ovat: Tuote on linjalta tn:llä.8% Tuote on linjalta 2 tn:llä 88.2%
59 Todennäköisyyden laskusäännöt Yhteenveto Summasääntö P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) (jos A ja B poissulkevat toisensa) Tulosääntö P(A B) = P(A) P(B A) = P(A) P(B) (jos A ja B riippumattomat) Osituskaava P(A) = i P(B i ) P(A B i ) (jos B i :t muodostavat osituksen) Bayesin kaava P(B A) = P(A B) P(B) P(A)
60 Sisältö Johdanto Satunnaisilmiön tapahtumat Todennäköisyyden laskusäännöt Todennäköisyys ja kombinatoriikka Ehdollinen todennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreetit satunnaismuuttujat
61 Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja X on suure, jonka arvo määräytyy satunnaisilmiön realisaatiosta: Sattuma määrää satunnaisilmiön realisaation s S Realisaatio s määrittää satunnaismuuttujan arvon X (s) X :n arvo on a on tapahtuma {X = a} := {s S : X (s) = a} Satunnaismuuttujan X jakauma on taulukko, vektori tai funktio, josta voidaan määrittää X :n mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet. Matemaattisesti (MS-E600 Probability theory): Satunnaismuuttuja on mitallinen kuvaus X : S S Tapahtuman {X B} todennäköisyys on luku P(A), missä A = X (B) on joukon B alkukuva
62 Esim. Kaksi noppaa Heitetään kahta noppaa yksi kerrallaan ja merkitään: X = nopan silmäluku X 2 = nopan 2 silmäluku M = suurin silmäluku Satunnaisilmiön realisaatiot ovat kahden alkion järjestetyt listat s = (s, s 2 ), missä s i {,..., 6} Perusjoukko S on näiden listojen kokoelma. X, X 2, M ovat perusjoukolla S määriteltyjä satunnaismuuttujia: X (s) = s, X 2 (s) = s 2, M(s) = max{s, s 2 }. Huom Jos satunnaisilmiön realisaatio tunnetaan, niin tunnetaan kaikkien siihen liittyvien satunnaismuuttujien arvot.
63 Satunnaismuuttuja: Tulkinta Satunnaismuuttuja on funktio X : S S, joka liittää jokaiseen satunnaisilmiön realisaatioon s S arvon X (s) S. Satunnaismuuttujat ovat satunnaisilmiöstä havaittavia suureita Jos satunnaisilmiön realisaatio s S tiedetään tarkasti, niin tiedetään kaikkien siihen liittyvien satunnaismuuttujien arvot. Todennäköisyyslaskennassa tutkitaan satunnaismuuttujien arvojen todennäköisyyksiä, kun satunnaisilmiötä kuvaava perusjoukon S todennäköisyysjakauma P tunnetaan. Tilastotieteessä pyritään havaittujen satunnaismuuttujien arvojen perusteella tekemään johtopäätöksiä perusjoukon S tuntemattomasta todennäköisyysjakaumasta P.
64 Satunnaismuuttujan jakauma Satunnaismuuttujan X jakauma on taulukko tai funktio, josta voidaan määrittää X :n mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet: ((S, P), X ) X :n jakauma X :n mahdolliset arvot X :n todennäköisyydet X :n tilastolliset tunnusluvut Samaan satunnaisilmiöön liittyvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma on taulukko tai funktio, josta voidaan määrittää parin (X, Y ) mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet. ((S, P), X, Y ) X :n ja Y :n yhteisjakauma X :n jakauma Y :n jakauma (X, Y ):n tilastolliset tunnusluvut
65 Noppien maksimin jakauma M = max(x, X 2 ), missä X ja X 2 ovat kahden nopan tulokset. P(M = k) = P(M k) P(M k ) = P(X k, X 2 k) P(X k, X 2 k ) ( ) k 2 ( ) k 2 = 6 6 = 2k. Satunnaismuuttujan M jakauma: k P(M = k)
66 Ensimmäisen nopan ja noppien maksimin yhteisjakauma k < i = P(X = i, M = k) = 0 k = i = P(X = i, M = k) = P(X = i, X 2 i) = k k > i = P(X = i, M = k) = P(X = i, X 2 = k) = Satunnaismuuttujien X ja M yhteisjakauma: M X
67 Yhteisjakauman rivi- ja sarakesummat M X Yht Yht 3 5 Rivisummista saadaan X :n jakauma Sarakesummista saadaan M:n jakauma
68 Ensimmäisen ja toisen nopan yhteisjakauma P(X = i, X 2 = j) = P(X = i) P(X 2 = j) = X 2 X Yht Yht
69 Seuraavalla luennolla jatketaan satunnaismuuttujien tarkastelua ja puhutaan jatkuvista jakaumista...
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6B Kertaus ja yhteenveto Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 1A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 1A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kalle Kytölä, Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Osaamistavoitteet
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 12. syyskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Kevät 2016, periodi III Stochastics and
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMS-A0504 First course in probability and statistics
MS-A0504 First course in probability and statistics Week 6 Statistical dependence and linear regression Heikki Seppälä Department of mathematics and system analysis School of science Aalto University Spring
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 6 Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen regressio Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.990 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. maaliskuuta 209 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.9 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.93 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. helmikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.96 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. syyskuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotTodennäköisyys (englanniksi probability)
Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
Lisätiedot1. Matkalla todennäköisyyteen
1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1
LisätiedotUEF Statistics Teaching Bulletin, Fall 2017
UEF Statistics Teaching Bulletin, Fall 2017 The minor subject of statistics offers methodological courses to all students of the university. In Fall 2017, we offer the following basic courses in Finnish:
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotA. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
LisätiedotMS-C2111 Stokastiset prosessit
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos toimisto: Y241, vastaanotto: pe 13:30-14:30 2017, periodi I KURSSIN JÄRJESTELYT Kurssin järjestelyt Luennot ja harjoitusryhmät Luennot tiistaisin
Lisätiedot031075P MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II 5,0 op
031075P MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II 5,0 op Kurssin jokaiseen kolmeen välikokeeseen on ilmoittauduttava erikseen WebOodissa (https://weboodi.oulu.fi/oodi/). Huom! Välikoeilmoittautuminen on PAKOLLINEN.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotLiite B. Suomi englanti-sanasto
Liite B Suomi englanti-sanasto Alla tässä monisteessa esiintynyttä sanastoa englanniksi käännettynä. Monet tähän aihepiiriin liittyvät termit eivät kuitenkaan ole täysin vakiintuneita kummassakaan kielessä.
Lisätiedot031075P MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II 5,0 op
031075P MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II 5,0 op Kurssin jokaiseen kolmeen välikokeeseen on ilmoittauduttava erikseen WebOodissa (https://weboodi.oulu.fi/oodi/). Huom! Välikoeilmoittautuminen on PAKOLLINEN.
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
LisätiedotOpiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3
Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä
ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Esa Ollila Aalto University, Department of Signal Processing and Acoustics, Finland esa.ollila@aalto.fi http://signal.hut.fi/~esollila/ Kevät 2017 E. Ollila
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.
Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)
Lisätiedot031010P MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I 5,0 op
031010P MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I 5,0 op Kurssin jokaiseen kolmeen välikokeeseen on ilmoittauduttava WebOodissa (https://weboodi.oulu.fi/oodi/etusivu.html). Huom! Välikoeilmoittautuminen on PAKOLLINEN.
LisätiedotVarma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen
Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen Kesä 2016 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1 Klassinen todennäköisyys............................ 3 1.2 Kombinatoriikkaa................................ 6 1.2.1 Tuloperiaate...............................
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotTilastotieteen aihehakemisto
Tilastotieteen aihehakemisto hakusana ARIMA ARMA autokorrelaatio autokovarianssi autoregressiivinen malli Bayes-verkot, alkeet TILS350 Bayes-tilastotiede 2 Bayes-verkot, kausaalitulkinta bootstrap, alkeet
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta - tehtävät
Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
Lisätiedot