Druden malli Tarkastellaan atomeja, joiden järjestysluku on Z a. Oletetaan, että. Metallin DC-johtavuus

Transkriptio

1 Drudn alli Tarkastllaan atoja, joidn järjstysluku on Z a. Olttaan, ttä näidn Z a lktronista Z valnssilktronia on suhtllisn hikosti sidottu atoin ytin. jäljll jäävät Z a Z ovat tiukasti sidottuja ydinlktronja cor lctrons) ja niidn rkitys kiallisissa raktioissa on vähäinn. näidn atoin kondnsoitussa talliksi ydinlktronit pysyvät sidottuina, utta valnssilktronit voivat liikkua kauas isäntäytiistään. Näitä lähs vapaita lktronja sanotaan johd-lktroniksi conduction lctrons). Johd-lktronin lukuäärätihys n on n = N V = Zρ A, issä ρ on assatihys ja A atoin assaluku atoia/ooli on Avogadron luku). Elktronitihydn ittana käyttään usin yös suurtta r s : ) 1/3 3 r s = 4πn li V N = 1 n = 4πr3 s 3. r s on siis sllaisn pallon säd, jonka tilavuudn yksi johd-lktroni ottaa. Monsti käyttään yös laadutonta suurtta r s /a 0, issä a 0 = h / on Bohrin radan säd. Mtallin johd-)lktronitihydt ovat krtalukua n 10 tai r s /a 0 3. Drudn allin olttaukst Vaikka tallin lktronitihydt ovat tuhat krtaa suurat kuin noraaliläpötilaisn ja -painisn klassisn kaasun ja huoliatta voiakkaista lktroni-lktroni- skä lktroni-ioni-vuorovaikutuksista Drudn alli käsittl tallin johd-lkronja kinttisn kaasutorian pohjalta. Mallin prusolttaukst ovat 1. Töräystnsä välillä lktroni i vuorovaikuta toistn lktronin ikä ionin kanssa. Kysssä on riippuattoin lktroni-lktroni-vuorovaikutukst) ja vapaidn lktroni-ioni-vuorovaikutukst) lktronin alli. Ulkoistn knttin vaikutuksssa lktronit liikkuvat Nwtonin lakin ukaissti.. Töräykst ovat tapahtuia, joissa lktronin nopus uuttuu äkillissti. Ainoastaan lktronin ja ionin välisillä töräyksillä on rkitystä, lktronin kskinäist töräykst voidaan unohtaa aivan oikin). 3. Töräyksn todnnäköisyys aikayksikköa kohti on 1/, ts. todnnäköisyys sill, ttä lktroni kok töräyksn infinitsiaalisna aikavälinä dt on dt/. Suurtta sanotaan rlaksaatioajaksi, töräysajaksi tai kskiääräisksi vapaaksi ajaksi. Drudn alli olttaa, ttä töräysaika on riippuaton lktronin paikasta ja nopudsta. 4. Elktronit saavuttavat trisn tasapainon ypäristönsä kanssa ainoastaan töräystn avulla. Lokaalinn trinn tasapaino saavuttaan sitn, ttä töräystn jälkisillä nopuksilla i ol itään tkistä töräystä dltävin nopuksin kanssa: lktroni läht jokaissta töräyksstä ilivaltaisn suuntaan nopudlla, jonka äärää töräyskohdassa vallitsva läpötila. Mtallin DC-johtavuus Rsistiivisyys ρ on sähkökntän E ja sn indusoian virtatihydn j välinn vrrannollisuuskrroin: E = ρj. Johtavuus σ on rsistiivisyydn kääntisarvo: σ = 1/ρ. Jos yksikkötilavuudn kaikki n lktronia varaus ) liikkuvat nopudlla v, kuljttavat nää liiksuuntaansa vastaan kohtisuoran pinnan A läpi ajassa dt kokonaisvarauksn nv dt)a. Virtatihys j on varausvirran suuntainn, j v, vktori, jonka pituus on aikayksikössä virtaa vastaan kohtisuoran yksikköpinnan läpi kulkva varaus, ts. j = nv. Mtallin jokaisssa pistssä lktronit liikkuvat kaikkiin suuntiin kaikilla nopuksilla noudattan pistssä vallitsvan läpötilan äärääää nopusjakautuaa. Nttovirtatihys sitn käyttäällä noputna v kskiääräistä noputta. Tarkastllaan lktronia, joka kok töräyksn htkllä 0. Olkoon lktronin nopus välittöästi töräyksn jälkn v 0. Oltustn ukaan lktroni voi lähtä töräyksstä saalla todnnäköisyydllä ihin tahansa suuntaan, jotn v 0 i anna kontribuutiota kskiääräisn noputn. Jos lktroniin vaikuttaa ulkoinn sähköknttä E ja jos dllisstä töräyksstä on kulunut aika t, on lktroni saanut lisänopudn Et/. Koska ajan t kskiarvo on, on jotn v avg = E, j = n ) E. Drudn allin ukaan johtavuus on siis σ = 1 ρ = n

2 Kskiääräinn vapaa atka Johtavuudn lauskksta rlaksaatioajaksi lausk = ρn. Kokllissti huonn läpötilassa rsistiivisyys riippuu voiakkaasti läpötilasta) on = s. Klassisn kinttisn kaasutorian ukaan laskin lktronin kskiääräinn nopus v 0 on krtalukua 10 5 /s. Kskiääräinn vapaa atka l = v 0 on sitn Drudn allin ukaan 1 10Å. Tää tulos on yhtnsopiva allin oltustn kanssa lktronit töräilvät ionihin, joidn väliatka tyypillisissä tallissa on krtalukua 1 10Å). Todllisuudssa vapaa atka on krtalukua 10 3 Å 1c. Elktronit ivät itsasiassa siroakaan tallin ionista. Elktronit uniforisssa ajasta riippuvassa kntässä ft) Olkoon pt) kokonaisliikäärä/lktroni. Virtatihys on silloin j = nvt) = npt) Lasktaan kokonaisliikäärä/lktroni pt + dt) htkllä t + dt: tarkastllaan htkllä t ilivaltaista lktronia. Tää kok todnnäköisyydllä dt/ töräyksn nnn htkä t + dt, jotn todnnäköisyydllä 1 dt/ s i törää; ts. kaikista lktronista niidn lktronin osuus, jotka ivät törää, on 1 dt/. jos lktroni i törää aikavälillä dt, sn liikäärä uuttuu ulkoisn kntän vaikutukssta äärällä ft) dt + Odt ). htkllä t + dt törääättöin lktronin osuus kokonaisliikäärästä/lktroni on siis 1 dt ) [pt) + ft) dt + Odt ) ]. töräävin lktronin osuus kaikista lktronista on dt/. töräyksn jälkn liikäärä on suuntautunut satunnaissti, jotn kskiäärin töräyksn koknidn lktronin liikäärä htkllä t + dt on ft) dt. kaikkiaan törännt lktronit antavat kontribuution dt/ ft) dt kokonaisliikäärään/lktroni. Krtalukuun dt saakka kokonaisliikäärä/lktroni on siis ) dt pt + dt) = pt) pt) + ft) dt. Liikäärä totuttaa siis diffrntiaaliyhtälön dpt) dt = pt) + ft). Töräyksistä aihutuva tri pt)/ vaikuttaa siis kitkan tavoin lktronin liikyhtälössä. Hall-fkti ja agntorsistanssi Tarkastllaan x-akslin suuntaista virtajohdinta z-akslin suuntaisssa uniforisssa agnttikntässä H ja x-akslin suuntaisssa sähkökntässä E x : sähköknttä aihuttaa johtin virtatihydn j x. Lorntz-voia /cv H pyrkii poikuttaaan lktronja ngatiivisn y-akslin suuntaan, jolloin lktronja kasautuu johtin runall. kasautussaan lktronit synnyttävät ngatiivisn y-akslin suuntaisn sähkökntän Hall-kntän) E y, joka puolstaan vastustaa lktronin siirtyistä runall. tasapainotilatssa Lorntz-voian ja Hall-kntän vaikutukst ovat yhtäsuurt. Määritllään agntorsistanssi ρh) ja Hall-krroin R H ρh) = E x j x R H = E y j x H. Huo. Koska E y on ngatiivinn, on Hall-krroin ngatiivinn. Jos varauksn kuljttajat olisivat positiivisia, olisi E y positiivinn kutn räillä tallilla onkin). Hall-kntän ittaus krtoo siis varauksn kuljttajin rkin. Elktronihin vaikuttava ulkoinn knttä on nyt f = E + 1c ) v H, jotn liikyhtälöksi dp dt = E + p ) c H p. Tasapainotilantssa virta on ajasta riippuaton, li issä 0 = E x ω c p y p x 0 = E y + ω c p x p y, ω c = H c on syklotronifrkvnssi agnttikntässä H ypyrärataa liikkuvan vapaan lktronin kulanopus).

3 Kun rkitään sybolilla σ 0 Drudn allin ukaista DC-johtavuutta, ts. yo. yhtälöt uotoon σ 0 = n, σ 0 E x = ω c j y + j x σ 0 E y = ω c j x + j y. Hall-knttä E y ääräytyy siitä hdosta, ttä tasapainossa poikittaisvirta j y häviää. Tällöin ωc E y = σ 0 jotn Hall-krtoiksi ) ) H j x = j x, nc R H = 1 nc. Hall-krroin riippuu siis ainoastaan varauksn kuljttajin tihydstä n. Toisaalta oltust ukaan ainoastaan valnssilktronit toiivat varauksn kuljttajina, jotn n riippuu tallin atoin valnssista. Hall-krtoin ittaus tstaa sitn tätä olttausta. Kokllissti Hall-krroin riippuu agnttikntästä. riippuu läpötilasta. riippuu tallin puhtaudsta. lähstyy hyvin puhtaissa näyttissä vakiota läpötilan lähstyssä nollaa. Suurn 1/R H nc vastaava kokllinn raja-arvo 1-valnssisill tallill on 1, utta räill - ja 3-valnssisill ngatiivinn. Ylissti sähköknttä E ja virtatihys j ivät ol yhdnsuuntaisia. Näidn välinn Hall-kula φ ääräytyy rlaatiosta tan φ = ω c. Koska ω c oli syklotronifrkvnssi ja rlaksaatioaika, ω c on vrrannollinn niidn kirrostn lukuäärään, jotka lktroni htii thdä töräystn välillä. Mtallin AC johtavuus Tarkastllaan ajasta riippuvaa koplksista sähköknttää Et) = Eω) iωt. Fysikaalista knttää kuvaa raaliosa. Liikyhtälö on nyt Sijoittaalla tää liikyhtälöön iωpω) = pω) Eω). Ratkaisalla tästä pω) ja sijoittaalla s virtatihydn lauskksn jt) = jω) iωt = npt) jω) = n Eω) 1 iω. = npω) iωt, Kun ääritllään taajudsta riippuva johtavuus σω) sitn, ttä jω) = σω)eω), nähdään, ttä σω) = σ 0 1 iω. Tässä σ 0 on Drudn allin ukainn DC johtavuus σ 0 = n AC johtavuus antaa siis nollafrkvnssirajalla korrktin DC johtavuudn. Sähköagnttisn sätilyn kulku tallissa Mallin sovltuvuutta voidaan prustlla sillä, ttä vaikka sätilykntässä vktoriin E liittyy aina sitä vastaan kohtisuorassa olva agnttiknttä H, tään kntän vaikutus johd-lktronihin on p c H, li krtalukua v/c pinpi kuin sähkökntän vaikutus. vaikka sätilyknttä E riippuu yös paikasta, tällä vaihtlulla i ol rkitystä, ikäli sätilyn aallonpituus on suuri vrrattuna lktronin kskiääräisn vapaasn atkaan l. Virtatihys pistssä r niittäin ääräytyy täysin siitä, itn sähköknttä on vaikuttanut lktronihin niidn viiisn töräyksn jälkn. Koska lktronit tnvät kskiäärin atkan l törääättä, riittää, ttä Er, t) i vaihtl rkittävästi tällä atkalla. Etsitään sätilykntän indusoitu varaustihys ρ = 0) Maxwllin yhtälöill dp dt = p E. Etsitään ratkaisua, joka on uotoa pt) = pω) iωt. E = 0 E = 1 c H = 0 H t H = 4π c j + 1 c E t

4 ratkaisua, jonka aikariippuvuus on uotoa iωt. Koska tallissa voi dllä sittyn prustlla kirjoittaa virtatihydn j sähkökntän E funktiona, saa li E) = E = iω c H = iω 4πσ c c E iω ) c E, E = ω c 1 + 4πiσ ) E. ω Kun ääritllään koplksinn dilktrisyysvakio ɛω) sitn, ttä ɛω) = 1 + 4πiσ ω, päädy aaltoyhtälöön E = ω c ɛω)e. Sijoittaalla dilktrisyysvakiolauskksn johtavuudn uodossa σω) = n 1 1 iω ɛω) = 1 4πn 1 ω i ω + 1. Jos nyt ω 1, niin ɛω) = 1 ω p ω, issä 4πn ω p = on n.s. plasafrkvnssi. Aaltoyhtälön ratkaisut ovat uotoa ±ik r olvin tasoaaltojn suprpositioita. Sijoittaalla aaltoyhtälöön nähdään, ttä aaltovktori totuttaa hdon Jos k = ω c ɛω). ɛω) on raalinn ja ngatiivinn ω p > ω), niin ratkaisufunktio vähn ksponntiaalissti li aalto i tn tallissa. ɛω) on raalinn ja positiivinn ω p < ω), niin ratkaisuna on tasoaalto li sätily voi dtä tallissa. Tällaisilla taajuuksilla talli siis tul läpinäkyväksi. Plasafrkvnssill ja vastaavall aallonpituudll voidaan johtaa lauskkt ν p = ω p π = 11.4 λ p = c ν p = 0.6 rs a 0 rs a 0 ) 3/ Hz ) 3/ 10 3 Å. Mtallin läönjohtavuus Määritllään trinn virtatihys j q sitn, ttä s on yhdnsuuntainn läpövirtauksn kanssa ja ttä sn pituus on kohtisuoran yksikköpinnan läpi aikayksikössä virtaava trinn nrgia. Läpötilagradinttin ollssa piniä trinn virtatihys noudattaa Fourir n lakia: j q = T. Vrrannollisuuskrrointa sanotaan läönjohtavuudksi. Krroin on positiivinn, sillä läpö virtaa aina vastoin läpötilagradinttia. Drudn allissa vain lktronit kuljttavat tristä nrgiaa. Tää on yhtnsopiva sn kanssa, ttä tallit ovat hyviä läönjohtita ja ristt, joissa i vapaita valnssilktronja ol, huonoja. Tarkastllaan aluksi yksiulottista allia, jossa lktronin liik on rajoitttu x-akslin suuntaisksi. Trinn virtatihys on tällöin j q = dt dx. Tarkastllaan lktronja pistssä x: Puolt pistsn x saapuvista lktronista tul johtin kylältä puollta ja puolt läpiäältä. Olkoon ET ) trinn nrgia/lktroni. Jos lktroni töräsi viiksi pistssä x, on sn trinn nrgia ET [x ]). Läpiäältä puollta saapuvat lktronit töräsivät viiksi kskiäärin pistssä x v, jotn niidn trinn nrgia on ET [x v]). Näidn kontribuutio trisn virtatihytn on siis n vet [x v]). Vastaavasti kylältä puollta saapuvin lktronin kontribuutio on n v)et [x + v]). Pistssä x trinn virtatihys on sitn j q = 1 nv[et [x v]) ET [x + v]). Olttan, ttä läpötila uuttuu hyvin vähän vapaalla atkalla l = v, voi kirjoittaa j q = nv de dt ). dt dx Tarkastllaan nyt koliulottista systiä. Olttaan, ttä läpötilagradintti on x-akslin suuntainn. Tällöin tasapainotilantssa trinn virta on yös x-akslin suuntainn, jotn virtatihydn lauskkssa v on

5 korvattava nopudn x-koponntin v x nliön kskiarvolla v x. Isotrooppisssa systissä on Oinaisläön c V v x = v y = v z = 1 3 v. n de dt = N V Trinn virtatihys on siis ääritlän ukaan on de dt = 1 V de dt = c V. j q = 1 3 v c V T ), josta voidaan luka läönjohtavuudksi = 1 3 v c V = 1 3 lvc V. Läönjohtavuudn ja sähkönjohtavuudn suhtksi 1 σ = 3 c V v n. Sijoittaalla tähän klassisn idaalikaasun suurt li c V = 3 nk B ja 1 v = 3 k BT σt = 3 σ = 3 kb kb ) T, ) 8 WΩ = K. Suur /σt on sitn tallista riippuaton univrsaalinn vakio Widann-Franzin laki). Kokllissti tään suurn arvo on n WΩ/K. Trovoia Itsasiassa lktronin nopus tallin pistssä riippuu pistssä vallitsvasta läpötilasta. Välittöästi sn jälkn, kun talli asttaan läpötilagradinttiin, virtaa lktronja läpiäästä päästä kylpään. Näin talliin indusoituu sähköknttä, joka puolstaan vastustaa npin lktronin siirtyistä. Päädytään tasapainotilantsn, jossa hyvänä aproksiaationa lktronin kskiääräinn nopus on lähs paikasta riippuaton. Syntynyt sähköknttä on tapana kirjoittaa uotoon E = Q T, issä krroin Q on niltään trovoia thropowr). Yksiulottisssa allissa voi kirjoittaa läpötilagradintista aihutuvan kskiääräisn nopudn uotoon v Q = 1 dv [vx v) vx + v)] = v dx = d dx v Koliulottisn systiin siirrytään kutn dllä, ts. v v x = 1 3 v. ). Nopus v Q voidaan kirjoittaa uotoon v Q = 6 dv T ). dt Sähkökntän aihuttaa kskiääräinn nopus on v E = E Tasapainotilantssa v Q + v E = 0, jotn Q = 1 3 d dt v = c V 3n. Trovoia on sitn riippuaton tallista. Sovltaalla jälln klassista idaalikaasua Q = k B = V K. Kokllissti trovoia on krtalukua 1µV li 100 krtaa pinpi kuin Drudn tulos. Sorfldin tallitoria Sorfld korvasi Drudn käyttään Maxwll-Boltzannin nopusjakautuan f B v) = N Fri-Diracin jakautualla ) 3/ v /k B T nk B T fv) = /h)3 4π 3 1 v / k B T 0 )/k BT + 1. Sorfldin allin tärkiät tulokst ovat ks. statistinn fysiikka): Kskiääräinn vapaa atka l = r s/a 0 ) ρ µ 9Å, issä ρ µ on rsistiivisyys yksiköissä µωc. Trinn johtavuus = 1 3 v c V, issä Fri-Diracin statistiikan ukainn vapaidn lktronin oinaisläpö on ) c V = π kb T nk B. E F Tässä E F on n.s. Fri-nrgia: E F = 50.1V r s /a 0 ). Käyttäällä Drudn johtavuutta saa σt = π 3 kb ) 8 WΩ = K, joka on lähs yhtäpitävä kokllisn arvon kanssa.

6 Trovoia Q = π 6 k B k B T E F = 1.4 k BT E F 10 4 V K, joka huonnläpötilassa on n. 100 krtaa pinpi kuin Drudn tulos Onglia vapaidn lktronin allissa Ristiriitaisuuksia kotulostn kanssa: Kokllissti Hall-krroin R H allin ukaan R H = 1/nc) riippuu skä läpötilasta ttä agnttikntästä. Tityissä tapauksissa ds rkki i ol allin ukainn. Kokllissti agntorsistanssi riippuu agnttikntästä allin ukaan i). Trolktrisn kntän E suunta on joskus päinvastainn vrrattuna vapaidn lktronin allin ukaisn knttään. Kokllissti Widann-Franzin laki pitää paikkansa korkissa 370K) ja alhaisissa 5K) läpötiloissa utta i näidn välillä. Kokllissti DC johtavuus riippuu läpötilasta. Tää riippuvuus voidaan tosin tuoda Drudn alliinkin antaalla rlaksaatioajan riippua läpötilasta utta itn?). Joissakin tallissa j i aina ol sähkökntän E suuntainn. AC johtavuudn riippuvuus frkvnssistä on paljon oniutkaispi kuin Drudn alli antaa yärtää. Vapaidn lktronin alli jättää slittäättä: Mikä äärää johd-lktronin lukuäärän? Miksi valnssilktronit käyttäytyvät tallissa kutn vapaat lktronit? Mitn ääräytyy onivalnssistn tallin si. F) johd-lktronin lukuäärä. Miksi kaikki aint ivät ol tallja? Miksi si. hiili tianttina on rist utta grafiittina johd?