2.4 Korkeamman asteen yhtälö

Transkriptio

1 .4 Korkeamman asteen yhtälö.4.1 Eräitä erikoistapauksia Korkeamman asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on a x + a x + a x + + a x + a x + a = n n n 1 n 1 n n... 1 o 0 (*), missä kertoimet an, an-1,..., a1 ja ao ovat reaalilukuja, yleensä rationaalilukuja ja näin opintojen alkupuolella ehkäpä useimmiten kokonaislukuja ja missä vasempana puolena olevan polynomin asteluku on vähintään kolme. Tätä polynomia voidaan merkitä lyhemminkin, jolloin yhtälö (*) saa muodon Pn(x) = 0, missä alaindeksi n viittaa polynomin astelukuun. Korkeamman asteen yhtälöille ei johdeta ratkaisukaavoja, kuten meneteltiin toisen asteen yhtälön tapauksessa. Vähintään viidettä astetta olevalle yhtälölle ei ratkaisukaavaa voida johtaakaan. Niinpä keskeisintä on pitää mielessä tulon nollasääntö ja taito jakaa polynomi alkutekijöihin; näillä konsteilla pärjää. Alkutekijöihin jakamisen taitoon sisältyy kyky jakaa polynomi toisella polynomilla jakokulmassa. Kun yhtälössä (*) oikea puoli on nolla, ja jos sen vasen puoli on onnistuttu jakamaan enintään toista astetta oleviin tekijöihin, niin yhtälön juuret saadaan kirjoittamalla vasemman puolen jokainen tekijä vuorollaan nollaksi ja ratkaisemalla näin saadut yhtälöt. Tämä seuraa yksinkertaisesti siitä, että tulo = nolla täsmälleen silloin, kun jokin sen tekijöistä on nolla. Esim. 1 Ratkaise yhtälö (x )(x + 5)(x ) = 0. Annettu yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun jokin seuraavista yhtälöistä toteutuu: x = 0 V x + 5 = 0 V x = 0 x = V x = 5 V x = x = V x = ½ V x = Vx =

2 Esim. Ratkaise yhtälö x x x = 0. Kun vasen puoli jaetaan tekijöihin (huom. ei vielä alkutekijöihin) ottamalla yhteinen tekijä, saadaan x(x x ) = 0, josta edelleen tulon nollasääntöä soveltaen x = 0 tai x x = 0 ± 4 4 1( ) x = 0 tai x = ± 4 x = 0 tai x = x = 0 tai x = tai x = 1. Korkeamman asteen yhtälöä ei tietenkään aina anneta normaalimuodossa, ts. kaikki tavara vasemmalla x:n alenevien potenssien mukaan järjestettynä. Tämä merkitsee sitä, että yhtälön kummallakin puolen on jotakin, ja jos koira on haudattu, sama tekijä. Esim. (x )P(x) = (x )Q(x). Tässä tekee kovasti mieli jakaa yhtälö puolittain (x ):lla, eikä tahdo oikein muistaa, että nollalla ei saa jakaa. Tietysti nollalla tulee jaetuksi vain siinä tapauksessa, että x =, mutta tämä on varsin tärkeä erikoistapaus, sillä kolmonen toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Jos näet sijoitat kolmosen, näet heti, että yhtälön kummallakin puolella olevat tekijät, (x ), menevät nolliksi. Varminta on siirtää kaikki termit vasemmalle puolelle ja jakaa tekijöihin: (x )P(x) (x )Q(x) = 0 (x )[P(x) Q(x)] = 0 x = 0 V P(x) Q(x) = 0 Hyvin rutinoitunut laskija osaa toimia niin, että jakaa yhtälön puolittain (x ):lla ja muistaa merkitä tämän tekijän nollaksi. Tietysti hän päätyy näin samaan lopputulokseen kuin se, joka tyhjentää oikean puolen ja jakaa vasemman puolen tekijöihin.

3 Yleisesti ottaen on tarkoin pidettävä mielessä, että yhtälön saa kertoa tai jakaa vain nollasta eroavalla luvulla tai lausekkeella. Edellisissä esimerkeissä yhtälö on tullut jaetuksi nollalla niillä x:n arvoilla, joilla jakaja on saanut arvon nolla. Tällainen menettely erittäin usein vie yhtälön toteuttavia juuria meren syvyyteen. Hieman vastaavaa tapahtuu rationaalilausekkeita sisältävien yhtälöiden nimittäjien poistossa, jolloin yhtälö tulee kerrotuksi nollalla. Jos murtoyhtälössä jonkin lausekkeen nimittäjänä on ollut vaikkapa binomi x 1, niin tätä nimittäjää poistettaessa yhtälö on kerrottu ainakin (x 1):llä ja siis nollalla, kun x = 1. Sievennetyn yhtälön ratkaisuksi voidaan saada x = 1 ainakin siinä tapauksessa, että tehtävän laatija on ollut ovela ja koettelee kokelaiden taidot. Yhteenvetona kaikesta tästä voidaan sanoa, että kerrottaessa yhtälöä tuntematonta sisältävällä lausekkeella, saattaa juuria tulla liikaa ja toisaalta jaettaessa yhtälö tuntematonta sisältävällä lausekkeella, saattaa juuria hävitä. Näin tapahtuu, mikäli on tullut kerrotuksi nollalla. Tällaista ei tietenkään tapahdu silloin, kun yhtälö kerrotaan tai jaetaan sellaisella tuntematonta sisältävällä lausekkeella, joka on identtisesti erisuuri kuin nolla. Yhtälön saa huoletta kertoa esimerkiksi (x + 1):llä, joka on aina vähintään ykkönen eikä siis milloinkaan saa arvoa nolla..4. Yleistä teoriaa Korkeamman asteen yhtälön yleistä normaalimuotoa merkitään siis lyhyesti P n (x) = 0, missä vasemmalla puolella olevan, reaalikertoimisen polynomin asteluku on vähintään kolme. Norjalainen matemaatikko Niels Abel ( ) todisti vuonna 184, ettei viidettä ja korkeampaa astetta oleville yhtälöille voida johtaa algebrallisia, termien kertoimista riippuvia ratkaisukaavoja. Huomaat, että Abel oli todistuksen esittäessään melko nuori! Mistään kovin yksinkertaisesta asiasta ei ollut kyse, sillä tätä ennen matemaatikot kautta maailman olivat lähes kolmesataa vuotta yrittäneet etsiä ratkaisua viidennen asteen yhtälölle. Jo 1545 oli pystytty johtamaan kolmannen ja neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavat, jotka tosin eivät kuulu lukion oppimäärään. Saksalainen Karl Gauss oli vuonna 1799 todistanut seuraavan lauseen:

4 LAUSE : Algebran peruslause: Jokaisella yhtälöllä P n (x) = 0, missä P n (x) on reaalikertoiminen (taikka kompleksikertoiminen) polynomi (n > 1), on ainakin yksi juuri, reaalinen tai kompleksinen. Lauseen todistus ei kuulu koulukurssiin ja on siksi sivuutettava, mutta kannattaa panna mieleen, että juuren ei tarvitse olla reaaliluku. Tiedäthän jo, kokemuksesta, että edes kaikilla toisen asteen yhtälöillä ei ole ratkaisua, pitäisi kai sanoa, ei ole reaalista ratkaisua. Kuitenkin jokaisella toisen asteen yhtälöllä algebran peruslauseen nojalla on juuri, mutta ei-reaalisten juurien etsintä jää opintojen myöhempiin vaiheisiin. LAUSE : Jos x = r on yhtälön P n (x) = 0 juuri, niin polynomi P n (x) on jaollinen (x r):llä (tuntemattoman ja juuren erotuksella) ja kääntäen, jos polynomi P n (x) on jaollinen (x r):llä, niin x = r on yhtälön P n (x) = 0 juuri. Tod.: 1o Oletetaan ensin, että x = r on yhtälön P n (x) = 0 juuri. Oletetaan edelleen, että polynomi P n (x) on jaettu (x r):llä. Jos jako ei ole mennyt tasan, jakojäännös on alempaa astetta kuin jakaja ja tässä tapauksessa vakio k. Voidaan siis kirjoittaa, koska jaettava = jakaja kertaa osamäärä + jakojäännös: Pn (x) = (x r)qn 1(x) + k Sijoitetaan yllä olevaan kehitelmään x = r. Koska tämä x:n arvo on yhtälön P n (x) = 0 juuri, niin P n (r) = 0, joten ( r r)qn 1(r) + k = Pn (r) = 0, mistä nähdään, että k = 0. Jakolasku P n ( x) x r on siis mennyt tasan.

5 o Oletetaan nyt kääntäen, että polynomi Pn(x) on jaollinen (x r):llä ja että jakolaskun tulos on polynomi Qn 1( x). Tällöin on siis Pn (x) = (x r)qn 1(x) Sijoitetaan yllä olevaan kehitelmään x = r: Pn (r) = (r r)qn 1(r) = 0 joten x = r on polynomin Pn(x) nollakohta eli toteuttaa yhtälön P n (x) = 0. Lauseen tulos on melko tärkeä. Jos nimittäin jollakin ihmeen keinolla onnistutaan löytämään normaalimuotoiselle korkeamman asteen yhtälölle yksi juuri, niin vasempana puolena oleva polynomi on aina jaollinen tuntemattoman ja juuren erotuksella. Näin vasenta puolta onnistutaan jakamaan alemman asteen tekijöihin ja päästään käyttämään tulon nollasääntöä. Jos siis x 1 on yhtälön P n (x) = 0 juuri, niin yhtälö voidaan kirjoittaa oikein suoritetun jakolaskun jälkeen muotoon ( x x1 )Pn 1(x) = 0. Tulon nollasäännön soveltaminen johtaa nyt yhtälöön Pn 1( x) = 0, missä vasemmalla puolella on nyt astelukua (n 1) oleva reaalikertoiminen polynomi, jolla on algebran peruslauseen nojalla (ainakin) yksi juuri, olkoot se x. Jos tämä on jollakin ihmeellisellä tavalla onnistuttu vielä löytämäänkin, niin oikein suoritetun jakolaskun jälkeen voidaan kirjoittaa alkuperäinen yhtälö muotoon ( x x1)( x x ) Pn ( x) = 0, missä Pn ( x) on astelukua (n ) oleva polynomi. Tulon nollasäännön soveltaminen johtaa yhtälöön

6 Pn ( x) = 0, jolla algebran peruslauseen nojalla on (ainakin) yksi juuri... Kun esitettyä menettelyä toistetaan n kertaa, niin yhtälö Pn x anx n n 1 ( ) = + an 1x a1x + ao = 0 on saatu kirjoitetuksi muotoon ( x x1)( x x )...( x xn 1)( x xn ) Po ( x) = 0, missä Po( x) on polynomi, jonka korkeinta astetta oleva termi on anx n n = an, eli vakio. On siis voimassa kehitelmä Pn ( x) = anx n a1x + ao = an ( x x1)( x x )...( x xn ) Tästä tuloksesta, joka tapauksessa n = on entuudestaan tuttu, nähdään, että jokainen astelukua n oleva polynomi voidaan jakaa ensiasteisiin tekijöihin. Kehitelmä ei kuitenkaan ole välttämättä voimassa reaalilukualueella, mutta liikuttaessa kompleksilukujen joukossa se on aina voimassa, vieläpä polynomin kertoimetkin voivat olla kompleksilukuja. Jos vieläkin muistellaan tulon nollasääntöä, voidaan kirjoittaa LAUSE 4: Jos Pn ( x) = 0 on astelukua n > 1 oleva yhtälö, niin sillä on täsmälleen n kpl juuria, joista osa tai vaikkapa kaikkikin voivat olla kompleksilukuja. Osa juurista tai vaikkapa kaikkikin voivat olla keskenään yhtä suuria. Jos keskenään yhtäsuuria juuria ei pidetä eri tapauksina, voidaan todeta, että korkeamman asteen yhtälöllä on enintään astelukunsa ilmoittama määrä juuria.

7 Esim. 4 Ratkaise yhtälö x + x 10x + 8 = 0, kun tiedetään, että yksi sen juurista on x = 1. Sijoittamalla muuttujan paikalle ykkönen nähdään, että yhtälö todellakin toteutuu: = = 0. Lauseen. nojalla yhtälön vasen puoli on nyt jaollinen tuntemattoman ja juuren erotuksella eli siis binomilla (x 1): x + x 8 x 1 x + x 10x + 8 x x x 10x x x 8x + 8 8x + 8 Jakolaskun perusteella voidaan kirjoittaa x + x 10x + 8 = (x 1)(x + x 8) = 0. Tulon nollasäännön soveltaminen johtaa yhtälöön x + x 8 = 0 x = ± ( 8 ) = x ± 6 eli x = V x = 4. Vastaus: x = 1 V x = V x = 4. Kun ratkaistavaksi on annettu vähintään kolmatta astetta oleva yhtälö, jonka ratkaisemisessa ei voida käyttää mitään oikotietä, kuten tekijöihin jakoa, yksi juuri on löydettävä kokeilemalla. Tällä ei tietenkään tarkoiteta lukujoukkojen systemaattista läpikäymistä, mihin ihmiskunnan ikäkään ei riittäisi. On kuitenkin johdettavissa tulos, joka rajaa yhtälön rationaalijuurien lukumäärän ja tämä tulos riippuu yksinkertaisella (?) tavalla polynomin Pn(x) vakiotermistä ao ja korkeinta astetta olevan termin kertoimesta an.

8 Yhtälön (x 1)(x )(x ) = 0 juuriksi nähdään heti ykkönen, kakkonen ja kolmonen. Tämä tosiasia ei ole kuitenkaan yhtä selvästi nähtävissä samasta, normaalimuotoon saatetusta yhtälöstä x 6x + 11x 6 = 0, joka voidaan kirjoittaa myös muotoon x 6x + 11x 1 = 0. Yhtälön kaikki juuret ovat tässä kokonaislukuja ja vakiotermin tekijöitä. Jos ajatellaan vastaavankaltaista yleistä kolmannen asteen yhtälöä ( x x1)( x x )( x x) = 0 sen vasen puoli polynomiksi kirjoitettuna, niin tämän korkeinta astetta oleva termi on x ja vakiotermi x1xx. Tässä yleisessäkin tapauksessa yhtälön kaikki juuret sisältyvät vakiotermiin sen tekijöinä ja ovat kokonaislukuja, mikäli korkeinta astetta olevan termin kerroin on ykkönen. Yhtä selvästi nähdään heti, että yhtälöllä (x + 4)(5x x + 11) = 0 on ainakin yksi rationaalijuuri x = 4. Saatetaan tämäkin yhtälö normaalimuotoon, ja tarkastellaan sen kertoimia: (x + 4)(5x x + 11) = 15x + 17x +9x + 44 = 0 5 x + 17x + 9x = 0 Huomaat nyt, että yhtälön juuren x = 4 osoittaja 4 on vakiotermin tekijä ja juuren nimittäjä on korkeinta astetta olevan termin kertoimen tekijä. Tulos voidaan yleistää: LAUSE 5: Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä anx n n 1 + an 1x a1x + ao = 0 on rationaalijuuri x = p, missä p ja q ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja, niin p on ao:n tekijä ja q on an:n tekijä. Todistus q sivuutetaan.

9 Esim. 5 Ratkaise yhtälö x + x + x = 0. Tässä on an = ja ao =. Kertoimen an = tekijät ovat ± 1 ja±. Vakiotermin tekijät ovat ± 1 ja ±. Jos siis yhtälöllä on rationaalijuuri x p =, niin aivan varmasti tiedetään, että p on jokin luvuista q ± 1 tai ± ja vastaavasti q on jokin luvuista ± 1 tai ±. Lauseen.5 nojalla voidaan ilmoittaa, että jos yhtälöllä on jokin rationaalinen (siis kokonais- tai murtolukujuuri), niin se on jokin luvuista ± 1, ±, ± 1 tai ±. Jos näistä mikään ei yhtälöä toteuta, sillä ei ole rationaalijuuria. Merkitään nyt P(x) = x + x + x ja kokeillaan tarvittaessa vaikka kaikki juuriehdokkaat vuorollaan. Tässä tietysti nähdään heti, että x = 1 ja x = eivät missään tapauksessa toteuta yhtälöä (kolme positiivista kokonaislukutermiä ja näistä kakkonen pois ei voi olla nolla) P( 1) = ( 1) + ( 1) 1 = = 5 0, ei käy. P( ) = ( ) + ( ) = = 4 0, ei käy. P( 1 ) P( 1 ) P( ) 4 ( 1 ( 1 = ) + ) + 1 = 1 0, ei käy = ( ) + ( ) = 0, ei käy. = ( ) + ( ) + = = 0, käy Kun merkitään P(x) = P(x) = x + x + x, niin voidaan kirjoittaa edelleen, jotta P(x) = (x )P (x) ja kun P(x) jakokulmassa jaetaan (x ): lla, niin saadaan P(x) = ( x )( x + x + ) = ( x )( x + x + 1) Alkuperäinen yhtälö on siis yhtäpitävä yhtälön (x )(x + x + 1) = 0 kanssa. Yhtälön x + x + 1 = 0 diskriminantti D = = < 0, alkuperäisellä yhtälöllä ei ole muita reaalijuuria. Vastaus: x =

10 ***************************************************************** SEURAUSLAUSE 5.1: Jos yhtälöllä n n 1 x + an 1x a1x + ao = 0, missä kertoimet ovat kokonaislukuja, on rationaalijuuri, niin tämä on kokonaisluku ja ao:n tekijä. ***************************************************************** Esim. 6 Ratkaise yhtälö x4 x x + 4x = 0. Jos tällä yhtälöllä on rationaalijuuri, niin se on seurauslauseen nojalla kokonaisluku ja miinus-kakkosen tekijä eli jokin luvuista ± 1 tai ±. 4 Merkitään P4(x) = x x x + 4x P4(1) = = 0, kelpaa! P4(x) on nyt jaollinen (x 1):llä, ja kun jako suoritetaan, saadaan osamäärän määritelmän nojalla P4(x) = (x 1)(x x x + ) Merkitään P(x) = x x x + Jos yhtälöllä P(x) = 0 on rationaalijuuri, niin se on jokin luvuista ± 1 tai ±. P() = = 0, ei käy. P( ) = ( ) ( ) ( ) + = = 6 0, ei käy. P(1) = = 0, käy!!!!! Sattui erikoinen tapaus, ykkönen on ns. kaksoisjuuri. (Vrt. toisen asteen yhtälössä diskriminantin meno nollaksi). Kun edelleen P(x) jakokulmassa jaetaan (x 1):llä, niin jako menee tasan ja voidaan kirjoittaa P4(x) = (x 1)(x 1)(x ) = 0.

11 Soveltamalla tulon nollasääntöä viimeiseen tekijään, saadaan vielä kaksi juurta lisää: x = tai x = Vastaus: x = 1 V x = V x =. Koska YTL korostaa kuinka hyväksyttävästä suorituksesta tulee näkyä, miten suoritus on ajateltu, niin täydelliseen korkeamman asteen yhtälön ratkaisuun ehdottomasti kuuluu se, että lauseen 5 teorian mukaisesti kaikki rationaalijuuriehdokkaat kirjoitetaan selvästi näkyviin. Kannattaa huomata, että lause 5 ei puhu mitään niistä keinoista, joilla yhtälölle voitaisiin etsiä irrationaalisia juuria. Viimeksi käsitellyn esimerkin kaksi viimeksi selville saatua juurtahan olivat irrationaalisia. Tällaisten löytämismahdollisuuksiin ei koulukurssissa puututa. Esim. 7 Erikoistapaus korkeamman asteen yhtälöistä on ns. bikvadraattinen yhtälö. Se on neljättä astetta, mutta siitä puutuvat kolmannen ja ensiasteen termit. Tämä ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisu-kaavalla ottamalla uudeksi tuntemattomaksi x ja ratkaisemalla ensin tämä. Olkoot ratkaistava yhtälö x4 9x + 0 = 0. Merkitään tässä x = y, jolloin saadaan ensiksi yhtälö y 9y + 0 = 0, 9 ± josta ratkaisukaavalla y = = ±, ts. y = 5 V y = 4. Kun tiedetään, että y = x, palataan alkuperäiseen muuttujaan ja saadaan yhtälöt x = 5 V x = 4, joilla on ratkaisut x = ± 5 V x = ± Vastaus: x = 5 V x = 5 V x = V x =. Hyvin rutinoituneen laskijan ei tietenkään tarvitse mitään aputuntemattomia ottaa. Hän voi suoraan ratkaista x:n toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. x4 9x + 0 = 0 (x) + 9x + 0 = 0 9 ± x = jne. 0