MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

Transkriptio

1 MAA7 7. Koe Jussi Tyni Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi derivaatan avulla.. a) Derivoi f ( ) Derivoi f( ) Missä kulmassa käyrät toisensa? f ( ) ja g( ) 5 6 leikkaavat 5. a) Derivoi f ( ) ( ) 5 Osoita, että funktiolla f ( ) 5 17 on ainakin yksi nollakohta välillä [, ]. Määritä nollakohdan yksidesimaalinen likiarvo haarukoimalla! 6. Määritä funktion f ( ) ( )(4 5) 6 ääriarvokohdat. 7. Peltilevy, leveydeltään 0 cm, taivutetaan suorakulmion malliseksi vesikouruksi (katso kuva 1). Miten taivutus tulee suunnitella, jotta kouru kuljettaisi mahdollisimman paljon vettä? Käännä! =>

2 MAA7 7. Koe Jussi Tyni Tölkkiin pitäisi mahtua juomaa 1 litraa ja sen pitäisi olla ympyräpohjainen suora ympyrälieriö, kuten tölkit yleensäkin ovat (Kuva ). Suunnittele tölkin mitat siten, että sen valmistamiseen kuluu mahdollisimman vähän peltiä. BONUS (+p) 6 Ratkaise murtoepäyhtälö: 0 8 Kuva 1 => Kuva

3 MAA7 7. Koe Jussi Tyni Ratkaisut: 1. a) 9 ( )( ) 6 lim lim lim 6 ( ) 1 ( 1) 1 0 lim lim lim 0 ( 1)( ) a) f ( ) f () 0 ( ) f () lim lim lim lim 1 f ( ) Derivaatan nollakohdat: f ( ) 9 1 ja Merkkikaavio: - f () f() + - Funktio on siis kasvava välillä ]-,[, eikä näin ole kaikkialla vähenevä!

4 MAA7 7. Koe Jussi Tyni a) f ( ) 1 1 f ( ) 6 ( ) (4 5 ) ( 10 )(6 11) f ( ) f ( ) 4 5 (4 5 ) (4 5 ) (4 5 ) 4. Käyrien 5. f ja g ( ) ( ) 5 6 leikkauspisteet: Käyrät siis leikkaavat -akselin pisteessä =. Käyrien leikkauskulmaa voi määrittää ainoastaan tuohon pisteeseen piirrettyjen tangenttien avulla. Määritetään derivaatan avulla käyrien tangenttien kulmakertoimet kun =: f f f ( ) ( ) () g g g ( ) 5 6 ( ) 5 () 1 Tangenttien välisen kulman voi laskea tangenttien kulmakertoimien avulla: k k ( 1) 1 kk 1 ( 1) tan tan tan tan tan 1 71,57 7 Käyrät leikkaavat siis noin 7 asteen kulmassa.

5 MAA7 7. Koe Jussi Tyni a) Funktion f ( ) ( ) 5 6. derivaatta: f 4 4 ( ) 5( ) ( ) ( ) (10 15 ) f ( ) 5 17 on määritelty koko välillä [,], joten se on jatkuva sillä välillä. Derivaatta: f ( ) 10 1 Derivaatan nollakohdat ja merkkikaavio: ( 10) ( 10) 4 ( 1) , ,4-0,09,4 f () f() + + -

6 MAA7 7. Koe Jussi Tyni Funktion f() arvo kohdassa =-0,09 ja =,4: f(-0,09)=17 ja f(,4)=-4,9 Funktio on jatkuva välillä [-0,09;,4], funktio on derivaatan mukaan aidosti laskeva välillä [-0,09;,4] ja funktio saa välin alkupäässä positiivisiä arvoja ja välin loppupäässä negatiivisiä arvoja => Funktiolla on nollakohta välillä [-0,09;,4]. Lähdetään haarukoimaan: f()= f()=-4 => näiden välissä! f(,)=0,4 f(,5)=-1.15 => näiden välissä! f(,5)=0.0 f(,44)=-0,7 => näiden välissä! Ja pyöristyy,5 ylöspäin ja,44 alaspäin, eli nollakohta =,4! 6. f ( ) ( )(4 5) 6 f 6 5 ( ) ( )(4 5) 6(4 5) 4( ) 5 (4 5) ( )(4 5) 6 4( ) 5 (4 5) (4 5) Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista: 5 (4 5) (4 5) 0 tai (4 5) ja

7 MAA7 7. Koe Jussi Tyni ja siis kysytyt -akselin ääriarvokohdat. Merkkikaaviotarkastelua ei tarvita, koska ei pyydetty määrittämään kumpi on min. ja kumpi ma. kohta. 7. Kouru kuljettaa mahdollisimman paljon vettä, kun sen poikkileikkauksen pinta-ala A on mahdollisimman laaja: A y Pinta-ala A ja suorakulmion piiri P noilla merkinnöillä: A y P 0cm y 0 y Nyt voidaan sijoittaa y pinta-alan lausekkeeseen ja saadaan funktio A(), jossa on vain yksi muuttuja ja tällöin sitä voidaan derivoida. Derivaatan nollakohdista löytyy ääriarvot, eli suurin mahdollinen pinta-ala. A( ) (0 ) 0 A ( ) 0 4 Derivaatan nollakohdat: Onko pinta-alan min. vai ma. kohta merkkikaaviosta: A () + - A()

8 MAA7 7. Koe Jussi Tyni On siis löydetty pinta-alan maksimikohta =5. Taivutuksen mitat pitää siis valita niin, että ylös kourun reunoiksi taivutetaan 5 cm levyinen pätkä metallilevyn reunasta ja kourun pohjaksi jää siis y=0cm-=0cm- 10cm=10cm levyinen pätkä kourua. 8. Merkataan ympyrälieriön pohjan sädettä r:llä ja korkeutta h:lla. 1 litra = 1 kuutiodesimetri. Nyt ympyrälieriön tilavuus V ja kuluvan pellin pinta-ala A (lieriön vaippa ja pohja plus kansi) ovat: 1 V dm r h A rh r Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä h: 1 1 dm r h h dm r. Sijoitetaan h pinta-alan lausekkeeseen: 1 r 1 A( r) r r r r r r r r r A ( r) r 4r 4r r Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista: r r 1 4 r 0 4 r r 1 r r r r r 0,76dm Tarkastellaan merkkikaaviolla, onko kyseessä min. vai ma. kohta! A () - + 0,76 0,76 + A() -

9 MAA7 7. Koe Jussi Tyni ja On siis löydetty tölkkiin kuluvan pellin min. kohta, kun r 1 0,76dm h dm dm 0,75dm r 1. 6 Tölkin mitoiksi pitää siis valita pohjan säde:,7 cm korkeus: 7,5 cm. 6 BONUS: 0 8 Merkkikaavio: jakol Epäyhtälö toteutuu, kun 6 tai