Kertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe

Transkriptio

1 Kertausluento Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe

2 Yleistä tietoa TP II -1. kurssikokeesta 1. Kurssikoe on to 7.3 klo (jossakin Exactumin auditorioista, salijako selvinnee tuolloin torstiana). Huomaa tasatunti! Kurssikokeeseen ilmoittauduttiin WebOodissa erikseen (ilmoittautumisaika kurssikokeeseen päättyi maanantaina klo 23:59) 1. kurssikokeen kurssisivu on Tulokset laitan kyseiselle sivulle. 2. kurssikoe on toukukuussa. Seuraava erilliskoe (koko kurssin käsittävä) on ke klo 16-19, johon ilmoittaudutaan WebOodissa.

3 Kurssikokeen apuvälineistä 1. kurssikokeessa sallitut apuvälineet ovat 2. laskin sekä 3. lunttilappu. (MAOL-taulukoita ei sallita.) Lunttilapun pitää olla itse laadittu ja käsinkirijotettu (eli ei tietokoneella tulostettu, kuvattu, jne.) ainoa muu rajoitus koko: yksi A4-kokoinen arkki (molemmat puolet saa käyttää).

4 Erilliskokeesta ja sen luntista Päättely II:n erilliskokeessa saa käyttää laskinta, mutta ei omaa lunttia. Korvaavassa kokeessa sallitut apuvälineet olisivat samat kuin erilliskokeessa (ja samoin säädöksin kuin erilliskokeista) johtuen käytännön rajoitteista. Erilliskokeen tehtäväpaperin ohessa on minun (Petteri) laatima käsinkirjoitettu luntti. Tämän luntin laitan ennen erilliskoetta kurssisivulle. Tämä hieman tasaa tilannetta.

5 1. kurssikokeen Koealue 1. monisteen luvut 1-3 sekä luku 4 faktorointikriteeri mukaanlukien (kalvot ja moniste). Luvun 4 lopun todistukset ja muut asiat eivät kuulu mukaan. 2. Harjoitukset 1a-4b ja harjoitus 5a 3. Kertaustehtävinä kannattaa laskea kaikki monisteen tehtävät luvuista 1-3 sekä luvun 4 monisteen tehtävät Niiden ratkaisuehdotuksiin kannattaa myös perehtyä, mutta huom. kaikki ratkaisutavat käyvät. Ei ole yhtä malliratkaisua. :)

6 Kokeen arvostelusta Käytän arvionnissa perusperiaatetta palkitse onnistumisista, älä rankaise virheistä. Tämä tarkoittaa käytännössä, että 1. vaikka tehtävän ns. lopputulos olisi näennäisesti varsin etäällä optimisuorituksen lopputuloksesta, voi pisteitä tulla silti paljon. 2. Vastaavasti vaikka lopputulos olisikin oikea, niin onnistumisia voi olla vähänkin (esim. laskin antaa suoraan vastauksen). 3. Eli: kerro aina mitä olet tekemässä tai mitä mielestäsi tulisi tehdä :-) tämä kannattaa vaikka tehtävää et osaisikaan loppuun asti.

7 Kokeen arvostelun kestosta Tämä arvostelutapa on hidas Arvostelen itse kaikki kokeet, joten aikaa menee muutama viikko arvosteluun Laitan luultavasti Presemoon väliaikatietoja, kuinka pitkällä tarkastus on milloinkin (prosentteina).

8 Mitä kokeessa EI kysytä Lauseen todistusta (mutta tulos että su-estimaattori on tarkentuva säännöllisille malleille tarvitaan kyllä :) ) Lauseen todistus (mutta tulos että su-estimaattori on asymptoottisesti normaalijakautunut säännöllisille malleille tarvitaan kyllä :) ) Luvun 4 yhteydessä ja kalvoilla olleista Raon-Blackwellin lauseesta ja Lehmannin-Scheffen lauseesta...

9 Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (1/4) Seuraavat aiheet ovat esiintyneet usein kurssikokeessa eri käsitteiden määritelmät ja selitykset tilastollisen mallin johtaminen (eli yptnf/ytf:n f Y selvittäminen) su-estimaatin tai su-estimaattorin selvittäminen perusteluineen su-estimaatti muunnokselle g(θ) kun su-estimaatti ˆθ tiedetään (invarianssiperiaate)

10 Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (2/4) Seuraavat aiheet ovat esiintyneet usein kurssikokeessa su-estimaattorin asymptoottinen jakauma Fisherin informaation tai havaitun informaation laskeminen pistemäärän laskeminen momenttimenetelmä ja sen antamien estimaattorien määrääminen

11 Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (3/4) Seuraavat aiheet ovat esiintyneet usein kurssikokeessa tyhjentävän tunnusluvun etsiminen (faktorointikriteeri) parametrin g(θ) estimaattorin T osoittaminen harhattomaksi parametrin g(θ) estimaattorin T = T (n) estimaattorin osoittaminen tarkentuvaksi estimaattorin tehokkuuden määrääminen (eli informaatioey on tärkeä tietää)

12 Ydinasioita (eli mitä olisi osattava) (4/4) Seuraavat aiheet ovat esiintyneet usein kurssikokeessa estimaattorin täystehokkuuden selvittäminen (mitä tarkoittaa täystehokkuus ja miten sen voi tarkistaa, kuten edellinen kohta) kahden estimaattorin paremmuuden vertailu (yleensä olettaen, että ne ovat harhattomia) Tämä liittyy tehokkuuteen ja keskineliövirheeseen tn-laskentaa!!

13 Jakaumista (1/3) Koska jakaumat ovat tärkeitä, niin muistin tueksi laitoin niitä tehtäväpaperin mukaan Opettele ne keskeiset jakaumat joita ei seuraavalla sivulla niin, että osaat kirjoittaa niiden ptnf:t/tf:t ja osaat johtaa sujuvasti niiden ominaisuuksia (mitä ne ovat, on jo pystyttävä arvaamaan/tietämään :)

14 Jakaumat tehtäväpaperin ohessa (2/3) Jakaumia: Satunnaismuuttuja X G(apple, ) noudattaa gammajakaumaa parametreilla apple > 0, > 0. Sen tiheysfunktio on f X (x; apple, )= apple (apple) xapple 1 e x 1{ x>0 }, odotusarvo EX = apple/ ja varianssi var X = apple/ 2. Riippumattomien gammajakautuneitten X i G(apple i, ) summa on gammajakautunut X X n G( P apple i, ). Jos X G(apple, ) ja c>0 vakio, niin cx G(apple, /c). Satunnaismuuttuja Y Exp( ) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla > 0. Tämä on gammajakauman erikoistapaus Exp( ) = G(1, ), ja sen tiheysfunktio on f Y (y; )= e y 1{ y>0 }, odotusarvo EY =1/ ja varianssi var Y =1/ 2. Eksponenttijakauman kertymäfunktio F Y (y) =(1 e y )1{ y>0 }. Satunnaismuuttuja Z 2 n noudattaa khiin neliön jakaumaa vapausasteella n>0. Tämä 2 on gammajakauman erikoistapaus n =G(n/2, 1/2) ja sen tiheysfunktio on siten odotusarvo EZ = n ja varianssi var Z =2n. f Z (z; n) = 2 n/2 (n/2) zn/2 1 e z/2 1{ z>0 }, Satunnaismuuttuja W Tas(a, b) noudattaa tasajakaumaa välillä (a, b), missä b > a. Sen tiheysfunktio on ( 1

15 F Y (y) =(1 e y )1{ y>0 }. Jakaumat tehtäväpaperin ohessa (3/3) Satunnaismuuttuja Z 2 n noudattaa khiin neliön jakaumaa vapausasteella n>0. Tämä 2 on gammajakauman erikoistapaus n =G(n/2, 1/2) ja sen tiheysfunktio on siten odotusarvo EZ = n ja varianssi var Z =2n. f Z (z; n) = 2 n/2 (n/2) zn/2 1 e z/2 1{ z>0 }, Satunnaismuuttuja W Tas(a, b) noudattaa tasajakaumaa välillä (a, b), missä b > a. Sen tiheysfunktio on ( 1 f W (w; a, b) = b a, kun a<w<b 0, muuten. Odotusarvo EW = (a + b) ja varianssi var W = 12 (b a)2. Diskreetti satunnaismuuttuja W P(µ) noudattaa Poissonin jakaumaa parametrilla µ. Sen pistetodennäköisyysfunktio on ( e µ µ w /w!, kun w =0, 1, 2,... f W (w; µ) = 0, muuten. Odotusarvo EW = µ ja varianssi var W = µ. Riippumattomien Poisson-jakautuneitten satunnaismuuttujien X i P(µ i ) summa on Poisson-jakautunut X X n P( P µ i ).

16 Kurssin arvostelu ja laskuharjoituspisteet Lisäilen kurssin laskuharjoituspisteitä jatkossa (väliaikatieto on jo sivulla) Kurssikokeen pisteet lisään kurssikokeen omalle courses-sivulle

17 Kokeen aikana (1/2) Tee laskuissa järkevyystarkistuksia: onko laskemani tn p välillä 0 p 1? (Tiedämme, että tapahtuman todennäköisyys toteuttaa tuon aina) onko laskemani varianssi tai Fisherin informaatio varmasti 0? (Varianssi on sm:n (X EX) 2 odotusarvo, joten se on aina ei-negatiivinen ja apulauseen mukaan ainakin säännöllisen mallin Fisherin informaatio on pistemääräsm:n varianssi :) ) onko laskemani ei-negatiivisen satunnaismuuttujan odotusarvo varmasti 0? (edellisen kohdan yleistys :) onko kovarianssimatriisi (esimerkiksi Fisherin informaatio) varmasti symmetrinen ja positiivisesti semidefiniitti? onko johtamani uskottavuusfunktio varmasti 0?

18 Kokeen aikana (2/2) Jos törmäät laskussa hankalaan kohtaan ja/tai joudut aikapulaan niin selosta koepaperissa, millä strategialla olet laskua laskemassa Hyvästä strategiasta voi saada suuren osan jaossa olevista pisteistä.

19 Kokeeseen valmistautumisen aikaan / kokeen jälkeen kysymyksiä voi (ja kannattaa tehdä) presemon kautta. Pidempiäkin vastauksia voin antaa (mitkä kirjoitan käsin (tai jopa LaTeXilla), laitan tiedoston sivulle ja kerron siitä presemossa)