rakenteiset päättelyketjut.
|
|
- Pirkko Katajakoski
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jämsänkosken lukion ensimmäisen lukioluokan matemaatikko Janne Järvinen laskemassa taululle kotilaskua käyttäen rakenteiset päättelyketjut-formaattia. Rakenteiset päättelyketjut Mauri Toivonen, vanhempi lehtori, Jämsänkosken lukio Lukiomatematiikka rämpii epätäsmällisyyden heikoilla hangilla Lukiomatematiikan rooli täsmällisenä oppiaineena on kadonnut. Laskut lasketaan ylimalkaisesti, perustelematta, todistukset on unohdettu lähes tyystin. Oppikirjoissa on valtava määrä tehtäviä. Opettajalle ja opiskelijoille tulee ahdistava olo, kun tehtäviin ei ehditä paneutua. Jokaisen lukion matematiikan opettajan olisi syytä olla huolestunut asiantilasta. Opettajat nostakaa tuntosarvet koholle, haistelkaa matemaattista ilmaa. Lukioon ja myös yläkouluun on pyrkimässä ylivertainen matemaattinen opetusmenetelmä, rakenteiset päättelyketjut. Tällä hetkellä se hapuilee marginaaleissa, katujen varjoisilla kujilla, se on nouseva sieltä, tämä matematiikan pedagokiikan menninkäinen ei päivänvaloa pelkää. Rakenteiset päättelyketjut (Structured derivations)- menetelmän ovat kehittäneet Ralph-Johan Back ja Joachim von Wright. Menetelmän kehittämisyksikkö on Learning and Reasoning Laboratory (Åbo Akademi, Turun Yliopisto ja Imped). Tämän menetelmän opetusmateriaalia, ohjelmistotukea ja lisäinformaatiota löytyy Imped- sivustoilta, jonne pääsee esim. Googlen avustuksella. Menetelmän tueksi D i m e n s i o 1/
2 Matemaattisten opettajien syyspäivät järjestettiin Naantalin lukion ja kylpylän tiloissa, kuvassa Naantalin kylpylän julkisivua. on kehitetty ja edelleen kehitetään matemaattista LYX-tekstinkäsittelyohjelmaa, jota päivitetään jatkuvasti paremmaksi. LYX-ohjelma on ladattavissa ilmaiseksi esim. IMPED-sivuilta. Tätä menetelmää on kokeiltu lukion pitkän matematiikan opetuksessa Turun Kupittaan lukiossa. Kokeilun toteuttaja on Mia Peltomäki, jonka artikkeli rakenteisista päättelyketjuista oli vuoden 2009 Dimensiossa numero 6. Hänen vetämänsä pitkän matematiikan opetusryhmä menestyi merkittävästi paremmin kuin vastaava verrokkiryhmä jokaisessa pitkän matematiikan kurssissa sekä pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa. MAOL- syyspäivät Naantalissa Syyspäivät alkoivat dramaattisesti, avauspuheessa ilmoitettiin Naantalissa sattuneesta tulipalosta, jossa menehtyi mm. Naantalin lukion oppilaita, yksi heistä piti olla narikassa meitä syyspäivien osallistujia varten. Esko Valtaoja sen sijaan valoi kuulijoihin yltiöoptimistiaan ja väitti 1900-luvun olleen onnellisin vuosisata ihmiskunnan historiassa, myös 1940-luvulla, ja onnellisuus kasvaa vääjäämättömästi eksponenttifunktion mukaisesti. Syyspäivillä matemaattisista marginaaleista kömpi esille myös Ralph-Johan Back luennoimaan rakenteisista päättelyketjuista. Samana päivänä oli samasta aiheesta työpaja, vetäjänä oli Petri Sallasmaa, Ralph-Johan Backin kisällipoika. Rakenteisen päättelyketjun vallankumous ei vielä alkanut, sillä kuulijoita oli vain 2 kappaletta. Matemaattisten aineiden opettajat eivät vielä tiedä, että marginaaleissa asustaa matematiikan pedagogiikan prinsessa. Siksi minä tämän artikkelini kirjoitin. Tutustukaa tähän kauniiseen prinsessaan, tuokaa se päivänvaloon. Rakenteiset päättelyketjutformaatti Tämä marginaaleissa asustava rakenteiset päättelyketjut- formaatti pakottaa opiskelijan ajattelemaan. Matemaattisen tehtävän ratkaisu 28 D i m e n s i o 1/2010
3 Kuvassa Petri Sallasmaa, joka toimi Naantalin syyspäivillä rakenteiset päättelyketjut- formaatin työpajan vetäjänä. etenee loogisesti askel askeleelta formaatin mukaisesti ja formaattiin kuuluu, että jokainen askel on perusteltava. Jos oppilas ei pysty perustelemaan ottamaansa askelta, niin perustelukohtaan aaltosulkeiden sisään jää tyhjä paikka aivan kuin Gogolin Nenä - novellissa novellin päähenkilö heräsi aamulla ja huomasi nenänsä kohdalla tyhjän paikan. Tällöin sekä opiskelija että opettaja huomaavat milloin ollaan eksyksissä, milloin pallo on hukassa. Perinteisesti oppilaan perustelut ovat epämääräisiä, siellä täällä paperia ja opettaja etsii niitä suurennuslasilla ja hyväntahtoisesti yrittää ymmärtää oppilaan ajatuksenkulkua. Tämä uusi formaatti pakottaa selkeyteen ja johdonmukaiseen etenemiseen. Formaatti on kuin kainalosauvat, sokean valkea keppi, joka johtaa opiskelijan matematiikan ratkaisujen ymmärryksen iloihin. Loogisen johdonmukaisuutensa vuoksi formaatin kiinteänä osana on logiikka, sen loogiset konnektiivit sekä kvanttorit Ralph-Johan Back (Professor of Computer Science, Abo Akademi) luennoimassa Naantalin syyspäivillä rakenteisista päättelyketjuista., joita käsitellään syventävässä MAA 11 kurssissa. Formaatissa on alipäättelyitä, jotka tekstissä ja tietokoneen kuvaruudulla ovat sisennyksinä. Jos alipäättely tuntuu selviöltä, se voidaan piilottaa yhdellä näppäimen painalluksella ja näin ohittaa alipäättely ja jatkaa varsinaista päättelyä. Tämä on keino nopeuttaa tehtävän käsittelyä, piilottamalla alipäättelyt, mutta tarvittaessa voimme palata alipäättelyyn ymmärryksen syventämiseksi. Olen laatinut MFKA:lle koepaketin MAA 2 rakenteiset päättelyketjut formaatilla. Koepaketin loppuun on lisätty kysymyslomake, johon toivon jokaisen koepakettiin tutustuneen vastaavan. Vastaamisenne on tärkeää rakenteiset päättelyketjut-formaatin edelleen kehittämiselle. Tämän koepaketin tekemiseen käytin matemaattista LYX-tekstinkäsittelyohjelmaa, jolla juuri voidaan piilottaa ja uudelleen esiin tuoda alipäättelyt. LYX-ohjelman voi ladata ilmaiseksi Imped- sivustoilta. D i m e n s i o 1/
4 Tämä esimerkki on ratkaistu täydellisenä alipäättelyineen. 2 + = = 4 2 = ( 21) ( 0) ( 11) ( ) 1 (2 ) 2 = (4 ) (4 0 ( 21 ) 0) ( 11) ( ) 0, 21 (2 2 2 = ) 2 0 (4 0 a 2 = a ( 0) ( (8 ) 2 = (21 ) 2 ( 0) ( 21 (4 = ) 0 (4 8 4 (8 = 21 ) 0 (16 ) (8 = 21 ) 0) (16 ) T 0 (8 ) 2 = (21 ) 2 (8 0 (T p) p (21 0) 0) (16 ) ( 0) ( 0) ( 21 (8 0) (21 0) 0) (16 ) ( 0) (8 0) (21 0) 0) (16 ) ( 0) ( 21) ( 0) ( 11) ( ) 1 = ( 146) ( 146) ( = = 1)... ( = = 1) ( 0) ( 21 = 1 (8 2 2 = () 2 ) ( 0) ( 21 ( = = 1)} = 1 (8 2 2 = () 2 (8 2 2 = () 2 a 2 = a 64 ( ) = = a 2 + b + c = 0 ( = 0 = ( 146) + ( 146) Tähän LYX-ohjelmaan on tulossa 0, 21 parannuksia, se huomauttaa, jos emme ole kurinalaisia ( 0) (formaatin 21 suhteen ja vielä enemmän; suunnitteilla on, että ohjelma pystyy itse ratkaisemaan joitakin matemaattisia tehtäviä, n = a (ab) tämä n b n olisi ensimmäinen koneellinen matemaattinen (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 tehtävien ratkaisumenetelmä. ( = = 1)} 30 D i m e n s i o 1/2010 ( 21 ) 0) ( 11) ( )... (8 ) 2 = (21 ) 2 ( 0) ( 21 (8 2 2 = () 2 ) ( 0) ( 21 (8 2 2 = () 2 Esimerkkitehtävä Esimerkkinä ratkaisemme yhtälön rakenteisilla päättelyketjuilla. Yhtälön ratkaisu etenee ekvivalenssiketjuna, jossa kaarisulkeiden sisällä perustelemme jokaisen ekvivalenssiaskeleen. Jos oppilaamme ei pysty askelta perustelemaan, hän on eksyksissä, ja mikä tärkeintä, hän itse sen myös tietää ja voi vetää siitä tarvittavat johtopäätökset. Juuri tässä on eräs formaattimme hienous. Ratkaisussa jouduimme tilanteeseen, jossa meidän on ratkaistava useiden epäyhtälöiden kon-
5 Tässä esimerkissä alipäättelyt on piilotettu. 2 + = = 4 (8 2 2 = () 2 ) ( 0) ( 21 ( = = 1)... ( = = 1) ( 0) ( 2 = 1 2 = 4 = 1 (2 ) 2 = (4 ) (4 0 (2 2 2 = ) 2 0 (4 0 a 2 = a (4 = ) 0 (4 8 4 (8 = 21 ) 0 (16 ) (8 = 21 ) 0) (16 ) T 0 p) p (T (8 ) 2 = (21 ) 2 (8 0 (21 0) ( 0) (16 ) ( 0) ( 0) ( (8 ) 2 = (21 ) 2 ( 0) ( 21 junktio. Tätä konjunktioryhmää on työläs kuljettaa koko tehtävän ajan mukana, joten ratkaisemme sen alipäättelyllä. Alipäättely on esimerkissämme sisennetty. Jos emme halua tai tarvitse alipäättelyä, me voimme piilottaa sen yhdellä näppäimen lyönnillä ja jatkaa ekvivalenssiketjuamme. Jos taas haluamme nähdä epäyhtälöryhmän ratkaisun yksityiskohtaisesti, voimme palata alipäättelyyn. Näin voimme tehdä, kun olemme matemaattisen LYXohjelmiston sisällä. Dimensiossa oleva versio on PDF-tuloste, jossa alipäättelyitä ei voi piilottaa. Juuri tämän takia olen tehnyt dimensioon esimerkkiratkaisun kahdella tavalla, ilman alipäättelyitä ja alipäättelyiden kanssa täydellisenä ratkaisuna. Näin ollen tämän artikkelin lukija saa paremman käsityksen alipäättelyiden merkityksestä. Myöhemmin, kun esimerkkimme ekvivalenssiketju etenee joudumme ratkaisemaan yhtälön Tämän yhtälön ratkaisun olemme tehneet myös alipäättelyssä, joten tarpeemme mukaan voimme sen ohittaa tai katsoa se läpi yksityiskohtaisesti ymmärryksen syventämiseksi. Alipäättelyiden ohittaminen on keino nopeuttaa tehtävän ratkaisua esimerkiksi koululuokassa kertausten yhteydessä. Silloin meidän ei tarvitse eksyä yksityiskohtien viidakkoon, vaan voimme kulkea pääteitä pitkin nopeasti perille, pysymme juonessa mukana, mutta jos näyttää, että opiskelija ei ymmärrä, palaamme kiireen vilkkaa alipäättelyn kauniille sivupolulle. Tämä esimerkki on tehty ehkä tarpeettomankin yksityiskohtaisesti. Rakenteiset päättelyketjut sallii kyllä yksinkertaisten lausekkeiden sieventämisen ja itsestäänselvyyksien ohittamisen kevyemmin. Aaltosulkeissa perusteluna voisimme mainita vain {ratkaise yhtälö } tai {sievennä lauseke }. Esimerkissämme käytimme ekvivalenssiketjua, joten yhtä hyvin yhtälön ratkaisu olisi pätevä myös alhaalta ylöspäin eli tehtävän lopusta alkuun. Rakenteiset päättelyketjut voi käyttää yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisuissa ekvivalenssimerkin sijasta myös implikaatiota ( ), jolloin ratkaisu ei toimi lopusta alkuun. Lausekkeiden sieventämisessä ekvivalenssimerkin sijasta käytämme yhtäsuuruusmerkkiä sekä tie- D i m e n s i o 1/
6 tysti kaarisulkuja askeleiden perustelemisessa. Logiikan konnektiiveja ( ) käyttäen voimme Implikaatio rakenteisilla päättelyketjuilla. 2 = 1 = 1 myös luontevasti suorittaa matemaattisia 2 = 1 = 1 todistuksia ekvivalens- (p q) (p q) simerkintää käyttäen. Esimerkiksi ( 2 = 1) ( = 1) voimme ottaa logiikan eväspussistamme epäsuoran todistusme- netelmän. Kun meidän on todistettava, ( = 1 = 1) ( = 1) että, todistam- (p q) p q mekin ekvivalentin todistuksen (( = 1) ( = 1)) ( = 1) Lopuksi pohdimme väitteen jos = 1, niin ² = 1 totuutta käyttäen logiikan eväspussimme = 1 tautologiaa. Viereisestä implikaatioesimerkistämme ilmenee, että väite on tosi kaikilla reaaliluvuilla paitsi luvulla 1. Jämsänkoskella oppikirjojen puute. Menetelmä vaatisi myös avuksensa tietokonetta ja dessa, silloin oppikirjojen tekemi- saa kannatusta opettajien keskuu- Minä olen myös jonkun verran käyttänyt Jämsänkosken lukion ensimmäisen luokan opetuksessani rakenteiset päättelyketjut- formaattia. Oma kokemukseni on, että se auttaa oppilaita ymmärtämään paremmin matemaattisia tehtäviä sekä myös perustelemaan tehtävät johdonmukaisemmin ja selkeämmin. Ongelmana on tällä menetelmällä tehtyjen mallilaskujen ja videotykkiä, joita ei läheskään joka koulussa ole tarjolla matematiikan opetukseen. Mutta uskon, että kun opettajat huomaavat rakenteiset päättelyketjut- formaatin ylivertaisuuden matematiikan pedagogiikassa, niin ongelmat ovat ratkaistavissa ja oppikirjakustannusyhtiötkin innostuvat asiasta. Heitä asia kiinnostaa vasta, kun menetelmä nen on taloudellisesti kannattavaa. Toivoisin, että oppikirjakustantajilla olisi riskinottokykyä ja näkemystä, mutta tähän mennessä sitä ei ole ollut. Matematiikan prinsessa, kutsun sinut päivänvaloon pimeistä marginaaleista luomaan matemaattisen täsmällisyyden kauneutta. Mustat lampaat Tähtitietelijä, fyysikko ja matemaatikko olivat matkalla Skotlannin nummilla. Nummella laidunsi joukko mustia lampaita. Tähtitieteilijä: Kaikki lampaat Skotlannissa ovat mustia! Fyysikko: Ei, näinhän emme voi sanoa. Voimme sanoa, että vain nämä lampaat, jotka nyt näemme, ovat mustia. Matemaatikko: Eihän se nyt ihan noinkaan ole. Varmuudella voimme sanoa ainoastaan, että noiden lampaiden tänne tielle näkyvät puoliskot ovat mustia. 32 D i m e n s i o 1/2010
Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi
Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat
LisätiedotE-math - sa hko inen oppimisympa risto matematiikan opiskeluun. Ralph-Johan Back Åbo Akademi (Virtuaaliopetuksen päivät 2013)
E-math - sa hko inen oppimisympa risto matematiikan opiskeluun Ralph-Johan Back Åbo Akademi (Virtuaaliopetuksen päivät 2013) Esityksen organisointi 1. Yleisesitys E-math projektin hankkeesta ja sen tuloksista
LisätiedotMatematiikan opetuksen kehittäminen avoimen lähdekoodin ohjelmistojen avulla Petri Salmela & Petri Sallasmaa
Matematiikan opetuksen kehittäminen avoimen lähdekoodin ohjelmistojen avulla 21.04.2010 Petri Salmela & Petri Sallasmaa Tutkimusorganisaatio Åbo Akademin ja Turun yliopiston tutkimusryhmät Pitkä yhteistyötausta
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotNäkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin
Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Tietotekniikka oppiaineeksi peruskouluun Ralph-Johan Back Imped Åbo Akademi & Turun yliopisto 18. maaliskuuta 2010 Taustaa Tietojenkäsittelytieteen professori, Åbo
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotKesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotLauselogiikka Tautologia
Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden
LisätiedotMatematiikkaa logiikan avulla
Ralph-Johan Back Joakim von Wright Matematiikkaa logiikan avulla Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 4, Oct 2008
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
Lisätiedot5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö
5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme
Lisätiedot2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista
2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista Tunnin rakenne: - Esimerkki (min) - Tehtävä -, jokerit tarvittaessa (2 min) - Loppukoonti ja ryhmäarviointi ( min) Tunnin tavoitteet: - Analysoidaan ja pohditaan valmiiksi
LisätiedotMatematiikan didaktiikka, osa II Algebra
Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
Lisätiedot4.2 Sulkuyhtälöt ja joustavuus
4.2 Sulkuyhtälöt ja joustavuus Oppitunnin rakenne: - Kertaus ja kotitehtävät ( min) - Esimerkki 1 (10 min) - Tehtävät (2min) - Koonti ja ryhmäarviointi ( min) Oppitunnin tavoitteet - Analysoidaan ja tuotetaan
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi. 1. Kurssikerta ( )
Matemaattisen analyysin tukikurssi 1. Kurssikerta (16.9.2019) Yleistä Tukikurssista - 1. periodi: maanantaisin klo 14:15-15:45 huoneessa SH2 yht. 5 kertaa. Tenttiviikolla ei tukikurssia. 2. periodin ajat
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
Lisätiedotportfolion ohjeet ja arviointi
2015 portfolion ohjeet ja arviointi EIJA ARVOLA (5.10.2015) 2 Sisällysluettelo 1. TYÖPORTFOLIO (ei palauteta opettajalle)... 3 2. NÄYTEPORTFOLIO (palautetaan opettajalle)... 3 3. NÄYTEPORTFOLION SISÄLLÖN
LisätiedotKysely etäopetustuntien valvojille toukokuussa 2011 (vastauksia 13)
Kysely etäopetustuntien valvojille toukokuussa 2011 (vastauksia 1) Olen saanut riittävästi perehdytystä etätuntien valvojana toimimiseen kyllä en en tiedä 8 % Mistä asiasta/asioista olisit kaivannut lisää
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotAineenopettajien erikoistyö Sisällönsuunnittelu, kevät 2010
Aineenopettajien erikoistyö Sisällönsuunnittelu, kevät 2010 Peter Hästö ja Marko Leinonen 1. joulukuuta 2009 Matemaattisten tieteiden laitos Aineenopettajien erikoistyö, 10 op yo tehtävien tarkistus, 3
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotMitä taitoja tarvitaan tekstin ymmärtämisessä? -teorian kautta arkeen, A.Laaksonen
Mitä taitoja tarvitaan tekstin ymmärtämisessä? -teorian kautta arkeen, A.Laaksonen Lukemisen taitoja Tulisi kehittää kaikissa oppiaineissa Vastuu usein äidinkielen ja S2-opettajilla Usein ajatellaan, että
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotKimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela
Olipa kerran köyhä maanviljelijä Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela 1 1 Johdanto Tässä raportissa esittelemme ratkaisukeinon ongelmalle, joka on suunnattu 7 12-vuotiaille oppilaille
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotLataa Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät - Usko Lahti. Lataa
Lataa Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät - Usko Lahti Lataa Kirjailija: Usko Lahti ISBN: 9789523185586 Sivumäärä: 200 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 38.51 Mb Kuvitteellinen prof. Corvus Adamas
LisätiedotTasapainotehta via vaakamallin avulla
Tasapainotehta via vaakamallin avulla Aihepiiri Luokka-aste Kesto Tarvittavat materiaalit / välineet Asiasanat Lausekkeet ja yhtälöt 7.-8. luokka 20 30 minuuttia Piirtoheitin, 2 kalvoa, erimuotoisia paloja
LisätiedotTOIMINNALLINEN ESIOPETUS HENNA HEINONEN UITTAMON PÄIVÄHOITOYKSIKKÖ TURKU
TOIMINNALLINEN ESIOPETUS HENNA HEINONEN UITTAMON PÄIVÄHOITOYKSIKKÖ TURKU Toiminnallinen esiopetus on: Toiminnallinen esiopetus on tekemällä oppimista. Vahvistaa vuorovaikutus- ja yhteistyötaitoja, sekä
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotÖljysäiliö maan alla
Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö
LisätiedotRAPORTTI. Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014. Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa
RAPORTTI Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014 Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa Johdanto Työpajatoiminta matemaattisissa aineissa kurssiin kuului työskentely SciFest-tapahtumassa. Itse en päässyt
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotNimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä.
1 Lapsen nimi: Ikä: Haastattelija: PVM: ALKUNAUHOITUS Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. OSA
LisätiedotMiten säästän uuteen käännykkään? Kuinka paljon rahaa tarvitsemme luokan juhlaan? Miten hankimme rahaa luokkaretkeen?
Miten säästän uuteen käännykkään? Kuinka paljon rahaa tarvitsemme luokan juhlaan? Miten hankimme rahaa luokkaretkeen? Talousasioiden tuntemus ja ymmärtäminen eivät ole itsestäänselvyys nykypäivän lapsille
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotLataa Matikka 3 - Tuula Pesonen. Lataa
Lataa Matikka 3 - Tuula Pesonen Lataa Kirjailija: Tuula Pesonen ISBN: 9789526320618 Sivumäärä: 48 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 22.32 Mb Timanttivihko on tehty niille oppilaille, jotka haluavat perehtyä
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotJohdatus matematiikkaan Tero Kilpeläinen
Tero Kilpeläinen Syksy 2011 Mitä matematiikka on? Tällä kurssilla jutellaan, mitä sattuu mieleen tulemaan. Kurssin suoritusta (ja muuta oppimista) varten on syytä tutustua Petri Juutisen kirjoittamaan
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
LisätiedotMatematiikan ohjelmointi. Joakim von Wright
Matematiikan ohjelmointi Joakim von Wright Formaali menetelmä käytännössä miten todistetaan ohjelman oikeellisuus? miltä todistus näyttn yttää? isot ohjelmat? miljoona riviä koodia nykyajan ohjelmat? rinnakkaisuus,
LisätiedotKeskustelu luokissa. Ohjeen työstänyt: Leena Pöntynen Kuntaliitto, Jaakko Salo OAJ ja Ulla Siimes Vanhempainliitto
Keskustelu luokissa Ohjeen työstänyt: Leena Pöntynen Kuntaliitto, Jaakko Salo OAJ ja Ulla Siimes Vanhempainliitto Ohjeistus koululle ennen vanhempainiltaa 1. Päättäkää missä tilassa ryhmäosuus pidetään.
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotLogiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )
Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat
Lisätiedot2.3 Virheitä muunnosten käytössä
2.3 Virheitä muunnosten käytössä Esimerkissä 1 yhtälönratkaisuprosessi näytetään kokonaisuudessaan. Yhtälön rinnalla ovat muunnokset ja sanallinen selitys, johon oppilaat täydentävät esimerkissä käytetyt
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
LisätiedotLuku 1 Johdatus yhtälöihin
Luku 1 Johdatus yhtälöihin 1.1 Mikä on yhtälö? Tunnin rakenne: - Yhtälön rakenne ja tunnistaminen (tehtävä 1) ja yhtälön ja lausekkeen vertailua (n. 10min) - Yhtälö väitteenä Jokeri 3 (n. 30 min) - Tunnin
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotMiina ja Ville etiikkaa etsimässä
Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotPalautuskansio moduuli, ja sen vuorovaikutukset tehtävien annossa!
Palautuskansio moduuli, ja sen vuorovaikutukset tehtävien annossa! - Elikkä tässä ohjeessa näet kuinka voit tehdä peda.net palveluun koti/etätehtäviä tai vaikka kokeitten tekoa, tapoja on rajattomasti.
LisätiedotPeruskoulun matematiikkakilpailu
Peruskoulun matematiikkakilpailu 6.11.2013 Työskentelyaika 50 minuuttia. Laskinta ei saa käyttää. Muista perustelut! Perustele tehtävät 3-8 laskulausekkeella, piirroksella tai selityksellä. Tehtävät 1-3
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotOsoite. Kansalaisuus Äidinkieli. Vanhempien / huoltajan luona Jos vain toisen huoltajan luona, kumman? Yksin omassa asunnossa Muuten, miten?
TULOHAASTATTELULOMAKE Tämän lomakkeen tarkoituksena on helpottaa opiskelusi aloitusta ja suunnittelua. Luokanvalvojasi keskustelee kanssasi lomakkeen kysymyksistä ja perehdyttää Sinut ammatillisiin opintoihin.
LisätiedotMatematiikka sähköisessä yo-kokeessa
Matematiikka sähköisessä yo-kokeessa phasto.wordpress.com Peter Hästö 7. lokakuuta 2017 Kaksi mainosta Muista täyttää Shemun kyselylomake: tarkoitus verrata suomalaisten ja namibilaisten opettajien käsityksiä.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotMatemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe
Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen yhdeksännen luokan matematiikan koe 2014-2015 MFKA-Kustannus Oy Asememiehenkatu 4, 00520 HELSINKI, puh. 010 322 3162 http://www.mfka.fi
LisätiedotA. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla
1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotJoomla pikaopas. Yksinkertainen opas, jossa neuvotaan esimerkkisivuston teko Joomla julkaisujärjestelmällä vaihe vaiheelta.
Joomla pikaopas Yksinkertainen opas, jossa neuvotaan esimerkkisivuston teko Joomla julkaisujärjestelmällä vaihe vaiheelta. Paavo Räisänen www.ohjelmoimaan.net Tätä opasta saa vapaasti kopioida, tulostaa
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotPITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit
13 PITKÄ MATEMATIIKKA Suoritusohje: Pakolliset kurssit suoritetaan numerojärjestyksessä, poikkeuksena kurssi MAA6, jonka voi suorittaa jo kurssin MAA2 jälkeen. Syventävien kurssien suoritusjärjestys mainitaan
LisätiedotAkateemiset taidot. Tapaaminen 13 Matematiikan kirjoittaminen
Akateemiset taidot Tapaaminen 13 Matematiikan kirjoittaminen Tutustu tekstiin ja pohdi itseksesi Mieti miten teksti on kirjoitettu. Missä kohdissa matemaattinen ilmaisu on hyvää ja missä kohdissa tekstiä
LisätiedotAjatukset - avain onnellisuuteen?
Ajatukset - avain onnellisuuteen? Minna Immonen / Suomen CP-liiton syyspäivät 26.10.2013, Kajaani Mistä hyvinvointi syntyy? Fyysinen hyvinvointi Henkinen hyvinvointi ja henkisyys Emotionaalinen hyvinvointi
LisätiedotJoustava yhtälönratkaisu Oulun yliopisto/ OuLUMA Riikka Palkki
Joustava yhtälönratkaisu Oulun yliopisto/ OuLUMA 1.6.2015 Riikka Palkki Projektin työryhmä: Peter Hästö, Juha Jaako, Virpi Kostama, Riikka Palkki, Dimitri Tuomela 1. Mitkä ovat hankkeen tavoitteet? Kehitetään,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
Lisätiedot5 asiaa, jotka sinun on hyvä tietää sinun aivoista
5 asiaa, jotka sinun on hyvä tietää sinun aivoista VILMA HEISKANEN 26.11.2014 Lähde: http://powerofpositivity.com/5-things-must-know-mind/ Puhu parin kanssa Lue parin kanssa aivoista Mitä ajattelet? Oletko
LisätiedotE-kirjan kirjoittaminen
1 E-kirjan kirjoittaminen Ohjeet e-kirjan kirjoittamiseen Tämän ohjeistuksen tavoitteena on auttaa sinua luomaan yksinkertainen e-kirja (pdftiedosto) asiakkaallesi. Kirja näyttää hänelle kuinka hyvin ymmärrät
LisätiedotLaskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0!
MAA YO K0 ja symbolinen laskin Ratkaisut laati JuLe/LYLL Tämä tutkielma on tehty, jotta selviäisi, mikä merkitys symbolisella laskimella on pitkän matematiikan yo- tehtävien ratkaisussa tällä hetkellä.
LisätiedotOPPITUNTIMATERIAALIT MEDIAKASVATUS Netiketti Säännöt
OPPITUNNIN KUVAUS OPPITUNNIN NIMI Sisältö Luokka-aste Suositeltu ohjelmiston kokemustaso Tavoitteet Kesto Tarvikkeet Tehtävän sanastoa Petra s Planet for Schools -ohjelmiston pelisäännöt Käydään läpi netikettiä
LisätiedotJeesus parantaa sokean
Nettiraamattu lapsille Jeesus parantaa sokean Kirjoittaja: Edward Hughes Kuvittaja: Janie Forest Sovittaja: Ruth Klassen Kääntäjä: Anni Kernaghan Tuottaja: Bible for Children www.m1914.org BFC PO Box 3
LisätiedotMatematiikka sähköisessä yo-kokeessa
Matematiikka sähköisessä yo-kokeessa phasto.wordpress.com Peter Hästö 26. marraskuuta 2017 Alkusanat Henkilökohtaisesti en näe erityistä hyötyä matematiikan kokeen tekemisestä tietokoneella toisaalta,
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
LisätiedotLukuvuosi Luonnontiede- ja matematiikkaluokka
Mertalan koulun LuMa-luokka Lukuvuosi 2017-2018 Luonnontiede- ja matematiikkaluokka LuMa-luokka tarjoaa ylöspäin eriyttävää opetusta matematiikassa, fysiikassa ja kemiassa vahvan pohjan perusopinnoissa
Lisätiedot