Matematiikkaa logiikan avulla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikkaa logiikan avulla"

Transkriptio

1 Ralph-Johan Back Joakim von Wright Matematiikkaa logiikan avulla Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 4, Oct 2008

2

3 Matematiikkaa logiikan avulla Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Ralph-Johan Back och Joakim von Wright Lokakuussa 2008, Turku, Suomi Copyright Ralph-Johan Back and Joackim von Wright All rights reserved TUCS Lecture Notes Nr 4 IMPEd Series

4

5 Esipuhe Rakenteiset päättelyketjut ovat matemaattisten todistusten ja johtojen uusi muoto, joka rakentuu loogisen notaation käytöstä ja yksinkertaisista loogisista säännöistä argumentoinnissa. Tämä raportti esittelee menetelmää käytännössä, lukiotason käytännön logiikan kurssin muodossa. Logiikan peruskäsitteitä esitellään asteittain, yksi kerrallaan, ja havainnollistetaan lukiomatematiikan esimerkkien avulla. Tämän raportin alustavaa versiota on käytetty kurssikirjana pitkän matematiikan kursseilla Suomessa (valinnainen kurssi Logiikka ja lukuteoria ). Jokainen kappale sisätää harjoitustehtäviä. Yleiskuva Materiaali on laadittu siten, että keskeiset ainesosat rakenteisten päättelyketjujen käytöstä esitellään askel askeleelta perusteltuna tavallisilla lukiomatematiikan ongelmatilanteilla. Yksittäisten kappaleiden sisältö yksityiskohtaisemmin seuraavassa: Luku 2 esittelee lineaariset päättelyketjut. Kuvaamme, kuinka sieventäminen (laskeminen, muokkaaminen) tehdään päättelyketjujen avulla niin, että perustelut ovat mukana. Tarkoituksena on valaista periaatteita ja sääntöjä, jotka ovat sellaisten matemaattisten laskutoimitusten ja päättelyiden takana, joita tavallisesti pidetään yksinkertaisina ja itsestään selvyyksinä. Luku 3 käsittelee totuusarvoja (tosi ja epätosi) ja näiden perussääntöjä ja operaatioita. Lineaarisia päättelysääntöjä käytetään sievennettäessä aritmeettisloogisia lausekkeita eli lausekkeita, joissa on sekä lukarvoja että totuusarvoja. Luku 4 käsittelee yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemista. Yhtälön ratkaiseminen (tai epäyhtälön tai yhtälöparin) tarkoittaa lausekkeen sieventämistä loogisesti ekvivalentissa muodossa, josta saadaan ratkaisu eli mitkä arvot toteuttavat yhtälön. Luku 5 laajentaa lineaariset päättelyketjut rakenteisiksi päättelyketjuiksi esittelemällä päättelyketjujen tarkennukset. Päättelyketjun tarkennus on oma kokonaisuutensa, joka on samalla osa varsinaista päättelyketjua. Se kirjoitetaan sisennettyinä ja voidaan tarpeen mukaan piilottaa. Luku 6 nostaa esiin matematiikan keskeisen ongelma-alueen: määrittelemättömät lausekkeet. Kuten tunnettua, nollalla ei ole luvallista jakaa eikä neliöjuurta voi ottaa negatiivisesta luvusta. Toisaalta voidaan kirjoittaa lauseke muodossa 3 0 tai 1 x 2, jotka siis eivät ole määriteltyjä. Matematiikassa kierretään 3

6 yleensä kysymys, mitä tuollainen lauseke tarkoittaa välttämälla sellaisia lausekkeita päättelyssä. Tässä luvussa näemme, kuinka tämä voidaan tehdä loogisesti pitävästi. Luku 7 osoittaa, kuinka implikaatio p q eli, että lause q seuraa lauseesta p, voidaan osoittaa johtamalla. Samaa menetelmää voidaan käyttää myös osoittamaan erisuuruuksia - implikaatio p q on logiikan vastine muotoa a b oleville epäyhtälöille. Tämä yleistää ne päättelyketjut, joita on käytetty edellä osoittamaan vain yhtäsuuruuksia ja ekvivalensseja (mikä on logiikan vastine yhtäsuuruudelle). Luku 8 käsittelee kuvioiden ja graafien käyttöä matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Teksti voi selventää, mihin viitataan, kuva voi havainnollistaa todellista tilannetta, taulukkoon voidaan koota yhteen joukko tietoja jne. Graafeilla ja kuvioilla voi myös olla aktiivinen rooli ongelmanratkaisussa. Luku 9 kokoaa joukon erilaisia tapoja käydä käsiksi matemaattiseen probleemaan. Joitakin niistä on jo käytetty esimerkkien yhteydessä aikaisemmissa luvuissa, mutta toiset ovat uusia. On tärkeä oivaltaa, että yhden ja saman probleeman voi usein ratkaista monella eri tavalla ja että ratkaiseminen voi vaatia erilaisten todistusstrategioiden yhdistelmän. Luku 10 esittelee kvanttorit, sekä kaikkikvanttorin että olemassaolokvanttorin. Kvanttoreita on perinteisesti vältetty lukiomatematiikassa, mutta koska on vaikea selvitä ilman niitä, on ne piilotettu erilaisten muotoilujen taakse. Tässä luvussa kuvataan, miten ne toimivat matemaattisten ominaisuuksien esittelyssä ja kuinka niitä käytetään todistamisessa. Erittäin käyttökelpoinen menetelmä on matemaattinen induktio. Tässä luvussa käymme myös varsinaisen lukiomatematiikkaan ulkopuolella ja osoitamme kuinka kvanttoreita voidaan käyttää päättelyissä alueilla, jotka yleensä koetaan vaikeiksi, kuten jatkuvuus ja rajaarvo. Matematiikkaa logiikan avulla Tämä julkaisu on osa laajempaa sarjaa jossa esitellään rakenteisia päättelyketjuja ja niiden sovellutuksia matematiikan opetuksessa. Seuraavat julkaisut ovat toistaiseksi ilmestyneet tässä sarjassa: Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa(back, Wright [12]) Lyhyt lukuteorian kurssi (Back, von Wright [10]) Pitkän matematiikan ylioppilaskoe, kevät 2003 (Back, von Wright[11]) Johdatus rakenteisiin päättelyketjuihin (Back [2]) Logiikka ja rakenteiset päättelyketjut (Back [3]) Rakenteiset päättelyketjut yleisenä todistusmuotona (Back [4]) 4

7 Kiitossanat Työ rakenteisten päättelyketjujen kehittämiseksi ja kokeilut soveltaa menetelmää opetuksessa ovat tapahtuneet läheisessä yhteistyössä Learning and Reasoning laboratorion jäsenten kanssa. Tämä tutkimuslaboratorio on Åbo Akademin ja Turun Yliopiston yhteishanke. Erityisesti haluamme kiittää seuraavia henkilöitä monista antoisista ja mielenkiintoisista keskusteluista, koskien sekä menetelmää että ehdotuksia menetelmän kehittämisestä (lista on aakkosjärjestyksessä): Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Tapio Salakoski, ja Patrick Sibelius.Tutkimuksen on rahoittanut Suomen Akatemia, projektin Center of Excellence in Formal Methods in Programming puitteissa. Haluamme lisäksi erikoisesti kiittää Mia Peltomäkeä, joka on vastannut alkuperäisen ruotsinkielisen raportin suomennoksesta. 5

8 6

9 Sisältö 1 Johdanto 9 2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut 15 3 Totuusarvo ja ekvivalenssi 27 4 Yhtälöt loogisina lauseina 41 5 Päättelyketjun tarkennuksia ja oletuksia 51 6 Määrittelemättömien lausekkeiden käsittely 63 7 Implikaatio 71 8 Kuvioita ja muita apukeinoja 81 9 Todistusstrategioita Kvanttoreita 101 7

10 Sisältö 8

11 1 Johdanto Matematiikkaa on opetettu järjestelmällisesti useita vuosituhansia. Perinteet matematiikan opetuksessa ovat pitkiä ja vahvoja. Vuosisatojen aikana matemaattisia taitoja on siirretty sukupolvelta toiselle ja jokainen sukupolvi on lisännyt matemaattista osaamistamme ja matematiikan ymmärtämistä. Aikaisemmin matematiikkaa opetettiin laajemmin pienille ryhmille, joilla oli erityisiä matemaattisia taipumuksia ja opetusmenetelmät sovitettiin sen mukaan. Nykyään matematiikkaa pitää opettaa laajasti niin monelle oppilaalle kuin mahdollista, koska matemaattisen osaamisen ja ymmärtämisen kysyntä on lisääntynyt voimakkaasti nykyisessä tietoyhteiskunnassa. Yhä useampi toimiala nojautuu vankkoihin matemaattisiin valmiuksiin ja pysyy suljettuna niiltä, jotka eivät ole sisäistäneet matemaattista ajattelutapaa. Matematiikan opetussuunnitelma on muuttunut suomalaisessa perus- ja lukiokoulutuksessa (kuten länsimaissa yleensä) viime vuosikymmenien aikana suuntaan, joka painottaa yhä vähemmän todistamista ja tarkkaa päättelyä. Tätä on perusteltu mm. sillä, että yhä suuremman osan vuosiluokista pitää voida oppia materiaali ja että moderni teknologia heijastuu matematiikan opetuksessa. Kuten Hanna painottaa [21], on todistaminen ja tarkat väitteet kuitenkin tärkeä osa matematiikan luonnetta. Siksi Hannan, kuten monen muunkin, mielestä on tärkeätä, että todistaminen sisältyy luonnollisena osana matematiikan opetukseen ja että oppilaat oppivat ymmärtämään, kuinka matemaattisia teoreemia todistetaan. Tässä raportissa meidän tavoitteenamme on viedä eteenpäin järjestelmälliseen logiikan käyttöön perustuvaa matematiikan opetustapaa. Kantavana ajatuksena on se, että ratkaisuprosessi, ongelman muotoilusta ratkaisuun, voidaan esittää kokonaisuutena, missä on mahdollista tarkastella ja keskustella osista eri yksityiskohtien tasoilla ja huomata, kuinka osat riippuvat toisistaan ja muodostavat yhdessä kokonaisuuden. Logiikka rakentaa tässä pohjan systemaattiselle matemaattiselle merkintätavalle ja systemaattiselle tavalle ratkaista ongelmia johtamalla tai todistamalla. Logiikka on, samoin kuin matematiikka, ikivanha aine, jota jo Sokrates, Platon ja Aristoteles tutkivat. Se on perusta matematiikalle ja myös maalaisjärjellä päättelylle luvulla logiikka koki voimakkaan renesanssin, kun matematiikka suuntautui tutkimaan itseään. Matemaatikot kuten Frege, Hilbert, Cantor, Russel ja Whitehead, Gödel, Turing, Tarski ja Church ovat nostaneet esiin 9

12 1 Johdanto matemaattisen logiikan keskeisenä tutkimusalueena matematiikassa. Keskeinen ongelmanasettelu on silloin ollut matemaattiselle tiedolle asetettavat perusteet ja rajat: miten matemaattiset väitteet ja teoriat ovat rakentuneet, missä kulkee raja sille, mitä voidaan määritellä, todistaa ja laskea? Tässä raportissa tarkastelemme asiaa toisesta suunnasta ja seuraamme sen sijaan, kuinka logiikkaa voidaan soveltaa matematiikkaan ja erityisesti matematiikan opetukseen. Olemme kiinnostuneita sellaisesta käytännön logiikasta, jota voidaan käyttää lukiomatematiikan tavallisissa tehtävissä ja niiden ratkaisumalleissa. Kuinka voimme soveltaa niitä aluevaltauksia, joita on tehty matemaattisessa logiikassa viimeisten 150 vuoden aikana ja esittää lukio-opiskelijoille järjestelmällisemmän ja yksinkertaisemman matematiikan esitystavan? Oma taustamme on hieman erikoinen tässä yhteydessä. Olemme molemmat tietotekniikan tutkijoita ja erityisalueemme on ohjelmointitekniikka, erityisesti olemme tutkineet formaaleja menetelmiä ohjelmoinnissa. Formaalit menetelmät ovat ohjelmoinnissa käytettäviä matemaattisia menetelmiä, jotka varmistavat ohjelman toimivan oikein eli annettujen määritysten mukaan. Ohjelman oikeellisuuden varmistus annetaan matemaattisen todistuksen muodossa. Ohjelman todistaminen oikein toimivaksi johtaa tavallisesti suureen määrään melko yksinkertaisia matemaattisia väitteitä, jotka kaikki pitää todistaa. Tällä perusteella on matemaattisen päättelyn ja todistamisen tutkiminen saanut keskeisen osan tutkimusalueessamme. Keskeinen osa-alue on matemaattisten teoreemien todistaminen tietokoneiden avulla. Todistaminen voi tapahtua täysin automaattisesti tai sitten voimme konstruoida todistuksen interaktiivisesti tietokoneen kanssa. Molemmissa tapauksissa vaaditaan sekä matemaattisen teoreeman että todistamisen selittämistä tarkassa loogisessa muodossa. Tämä on johtanut käytännön logiikan painottamiseen ohjelmarakenteissa eli logiikka on työkaluna matematiikassa ennemmin kuin matematiikan opiskelukohteena. Lineaarisia ja rakenteisia päättelyketjuja Formaalit menetelmät ohjelmoinnissa käyttävät hyväkseen monenlaisia loogisia formalismeja, riippuen soveltamisalasta ja käyttötarpeesta. Osa loogisista formalismeista on paremmin sopivia tietokonepohjaiseen todistamiseen, kun taas toiset sopivat paremmin manuaalisiin todistuksiin. Seuraamamme tradition on pannut alulle Edsger W. Dijkstra, yksi suurista tietotekniikan tutkimuksen pioneereista. Dijkstra ja hänen kollegansa (Wim Feijen, Carel Scholten, Nettie van Gasteren) keskittyivät tekemään matemaattisista todistuksista sekä yksinkertaisia että tarkkoja. He kehittivät merkintätavan, joka tunnetaan alalla nimellä calculational derivations [15, 23, 16]. Tarkka käännös voisi olla laskennalliset päättelyketjut, mutta me olemme päättäneet kutsua niitä suomeksi lineaarisiksi päättelyketjuiksi. Tarkoitus oli, että matemaattiset todistukset ja päättelyt olisivat ikäänkuin laskujen 10

13 ratkaisemista siten kuin ratkaistaan yhtälöitä tai suoritetaan jakolasku paperilla. Tämä päämäärä voidaan saavuttaa käyttämällä hyväksi logiikkaa matemaattisen todistamisen laskusäännöissä. Huomattava joukko formaalien menetelmien tutkijoita on viimeisten vuoden aikana siirtynyt käyttämään Dijkstran tapaa matemaattisen todistuksen suorittamisessa julkaisuissaan ja menetelmän voidaan perustellusti sanoa muodostavan nykyisin standardin tutkimusalallamme. David Gries ja Fred Schneider ovat tutkineet ja propagoineet tämän menetelmän käyttämisen puolesta matematiikan opetuksessa [18, 20] ja ovat julkaisseet kirjan, kuinka menetelmää voidaan käyttää logiikan ja diskreetin matematiikan yliopisto-opetuksessa [19]. Toistaiseksi ei kuitenkaan ole kunnolla tutkituu, miten menetelmää voidaan suoraan soveltaa perusmatematiikan opetukseen alemmilla kouluasteilla (peruskoulu ja lukio). Olemme kirjassa (Back and von Wright: Refinement Calculus: A Systematic Introduction, Springer 1998[8]) kauttaaltaan hyödyntäneet Dijkstran todistustapaa lukuisissa enemmän tai vähemmän monimutkaisissa todistuksissa ohjelmointilogiikassa. Dijkstra esitteli oman logiikan lineaarisille päättelyketjuille, muunnoksen ensimmäisen kertaluvun predikaattikalkyylistä. Me olemme sen sijaan rakentaneet version, joka perustuu toiselle klassiselle peruslogiikalle, niin kutsutulle korkeamman kertaluvun logiikalle. Tämän logiikan on alunperin kehittänyt Alonzo Church [14]. Samalla olemme laajentaneet Dijkstran menetelmää niin, että sitä voidaan käyttää kuvaamaan matemaattisen probleeman koko ratkaisu eikä vain osittaisia päättelyketjuja. Tuloksena on aukoton systeemi matemaattiseen todistamiseen, joka on ekvivalentti Michael Gordonin ja Tom Melhamin kehittämän korkeamman kertaluvun logiikan todistussysteemin kanssa [17]. Kutsumme Dijkstran menetelmän edelleen kehittelyä rakenteisiksi päättelyketjuiksi. Kokemukset rakenteisten päättelyketjujen hyväksikäytöstä kirjassamme olivat hyviä ja johtivat siihen, että aloimme tutkia mahdollisuuksia käyttää rakenteisia päättelyketjuja tavallisessa matematiikan opetuksessa. Alkuperäinen impulssi tähän oli halu auttaa omia lapsiamme heidän matematiikan kouluopinnoissaan. Toinen meistä (von Wright) on sitäpaitsi tehnyt uraa matematiikan opettajana, joten askel ei ollut erityisen suuri. Osoittautui, että mahdollisuudet käyttää logiikkaa koulumatematiikassa yksinkertaistamaan ja järjestelmällistämään perusteluja ja todistuksia, oli käytännöllisesti katsoen rajaton. Se merkintätapa, jota nykyisin käytetään matematiikassa ja matematiikan opetuksessa, on hyvin perinteinen. Se on kehittynyt useiden vuosisatojen aikana eikä siihen ole mainittavasti vaikuttanut viime vuosisadan matemaattisen logiikan tutkimus. Se on johtanut siihen, että samoja loogisia käsitteitä kuvataan eri tavoilla matematiikan eri osa-alueilla. Yksinkertaisia ja perustavaa laatua olevia loogisia päättelysääntöjä kirjoitetaan tuskin koskaan selkeästi, vaan oppilaiden 11

14 1 Johdanto oletetaan ymmärtävän ja oppivan soveltamaan näitä jonkinlaisen osmoottisen prosessin kautta, missä opettajan ymmärrys siirretään oppilaille esimerkkikokoelman kautta. Lyhyesti sanottuna, nykypäivän matematiikkaa esitetään tarpeettoman monimutkaisella ja epäsystemaattisella tavalla. Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa Aloitimme kokeilemalla rakenteisia päättelyketjuja kokoelmaan ylioppilaskirjoitustehtäviä tarkistaaksemme, että menetelmä oli yleisesti käyttökelpoinen käytännössä [9, 1, 5, 7]. Olemme sen jälkeen kokeilleet menetelmää käytännössä suuremmassa tutkimusprojektissa, missä tutkijoita on ollut Åbo Akademista (Back ja von Wright), Turun yliopistosta (Tapio Salakoski ja Tanja Kavander) ja Kupittaan lukiosta Turusta (Mia Peltomäki) [13, 6]. Projektissa muokattiin lukion matematiikan kursseja siten, että materiaalin esityksessä käytettiin rakenteisia päättelyketjuja. Opiskelijat jaettiin kahteen ryhmään, joista toisessa ryhmässä opetettiin rakenteisten päättelyketjujen avulla ja toisessa perinteisellä tavalla. Seurasimme kahta ikäluokkaa koko heidän lukioaikansa eli kolme vuotta. Tulokset ovat olleet onnistuneita ja palaute rakenteisen päättelyketjujen käytöstä on ollut pääasiassa hyvää. Mia Peltomäki viimeistelee parhaillaan väitöskirjaa tästä asiasta. Keskitymme tässä raportissa lukiomatematiikkaan ja yritämme osoittaa, kuinka esitettävää materiaalia voisi parantaa käyttämällä hiukan logiikkaa. Esittämiämme menetelmiä voidaan yhtä hyvin käyttää matematiikan opetuksessa korkeakouluissa ja yliopistoissa, mutta olemme valinneet lukiomatematiikan, joka seuraa vakiintunutta opetussuunnitelmaa. Menetelmää voisi soveltaa myös ala- ja yläkoulun matematiikan opetukseen, mutta meillä ei ole kokemuksia sieltä. Raportin läpikulkeva teema on se, että matemaattiset päättelyketjut ja todistukset voidaan tehdä täsmällisemmin tekemättä niistä monimutkaisempia konstruoida - pikemmin päinvastoin. Tarkemman ja paremmin määritellyn matemaattisen syntaksin seurauksena mahdollisuudet tietokonetukeen paranevat huomattavasti. Mahdollisuudet rakentaa webbipohjaisia matematiikan kursseja ovat erittäin lupaavia, joko tukemaan luokkaopetusta, keskeisenä elementtinä virtuaalisessa kouluopetuksessa tai itseopiskelukurssina. Rakenteiset päättelyketjut mahdollistavat paljon laajemman tietokoneavun kuin mitä voidaan saada perinteistä merkintätapaa ja opetusmenetelmiä käyttäen esim. apua todistusten ymmärtämiseen, korjauksien ja ratkaisujen hallintaan sekä matemaattisten todistusten tarkistamisen tiettyjen osien mekanisointiin. Tätä raporttia voidaan käyttää yleisenä oppaana siihen, kuinka erityisesti lukion matematiikan kursseja voidaan muokata käyttämään rakenteisia pättelyketjuja materiaalin esittämisessä. Tällä tavalla Peltomäki on käyttänyt omaa materiaaliaan opetuksessa Kupittaan lukiossa. Toinen mahdollisuus on luennoi- 12

15 da raportin materiaali lukion erikoiskurssina. Toinen meistä (von Wright) on käyttänyt kaksi kertaa osaa raportista Systematisk problemlösning med logik (Järjestelmällistä ongelmanratkaisua logiikan avulla) -nimisellä matematiikan kurssilla Vaasan normaalikoulussa. Kolmas käyttötapa on nähdä raportti rakentavana puheenvuorona keskustelussa, miten matematiikan opetusta voidaan parantaa lukiossa ja konkreettisena ehdotuksena, miten logiikkaperustaisempi opetus voitaisiin rakentaa. Esimerkit ja tehtävät kattavat lukiomatematiikan eri osa-alueita, joten jos raporttia käytetään kurssimateriaalina, täytyy valita sopivat esimerkit ja tehtävät osallistujien taustatietojen mukaan. Jotkut kappaleet on merkitty tähdellä (*), mikä osoittaa, että kyseinen kappale on ylikurssia ja voidaan jättää pois ilman, että se suuremmin häiritsee lukemisen jatkamista. Mitä teemme ja mitä me emme tee Loppujen lopuksi se, mitä me yritämme saavuttaa tällä raportilla, on tiettyjen asioiden esittäminen helposti ymmärrettävässä muodossa. Mielipiteet siitä, mikä on hyvää matematiikkaa ja kuinka sitä tulisi opettaa, ovat vahvoja, sekä matemaatikkojen että matematiikan opettajien joukossa. Perinteen voima on myös suuri ja tarvitaan vahvat perusteet vanhojen tapojen muuttamiseksi. Me emme esim. esittele mitään uutta matematiikkaa. Raportti yrittää tuoda esille uuden tavan esittää ja työstää ratkaisuja matemaattisiin probleemoihin, mutta ei sisällä varsinaisesti mitään uutta matemaattisesta näkökulmasta. Esille tuomamme menetelmä, rakenteinen päättelyketju, on jo esitelty muissa julkaisuissa, lähinnä meidän kirjassamme [8]. Uutta tässä raportissa on rakenteisten päättelyketjujen soveltaminen lukiomatematiikan opetukseen. Analogia, jota joskus olemme käyttäneet, on polkupyörällä ajaminen. Yritämme opettaa oppilaita pyöräilemään, mutta emme sano, minne oppilaiden pitäisi pyöräillä, vaan ainoastaan kuinka käyttää pyörää eri tilanteissa. Raportti ei myöskään ole yritys uudelleen esitellä ns. uutta matematiikkaa eli joukko-oppia matematiikan opetuksen perustaksi. Joukko-oppi on uskomattoman elegantti ja kaunis matemaattinen teoria ja se on perusta kaikelle modernille matematiikalle. Meidän tarkoitusperämme ovat arkipäiväisempiä: haluamme näyttää, kuinka voidaan yksinkertaistaa ja yhtenäistää tavallista matemaattista merkintätapaa ja matemaattista päättelyä pienellä määrällä yksinkertaista logiikkaa. Olemme sitä mieltä, että se logiikan alue, mitä pitää opiskella, ei ole liian vaikea lukio-opiskelijoille. Logiikka on vain teoria kahdesta totuusarvosta epätosi ja tosi (tai kaksi lukua: nolla ja yksi). Jos oppilaat voivat oppia merkittävästi monimutkaisempia teorioita kokonaisluvuista, joita on äärettömän paljon tai reaaliluvuista, joita on vielä enemmän, niin logiikan ei pitäisi olla liian vaikea heille. 13

16 1 Johdanto Siksi on tarkoitus yrittää muuttaa sitä tapaa, miten matemaatikot ja matematiikan opettajat työskentelevät ja esittävät tuloksensa. Kokemuksesta tiedämme, että tämä on se vaikein pala nieltäväksi. Monilla matemaatikoilla on vahva ajatus matematiikan kauneudesta ja eleganssista ja tällaisessa kokemuksessa on matemaattisella merkintätavalla tärkeä asema. Matemaatikkojen mielestä matemaattiset todistukset yksinkertaisesti näyttävät kauniilta (erotuksena esim. ohjelmoijista, jotka eivät pidä ohjelmakoodia erityisen kauniina). Toivomme raportissa voivamme antaa riittävästi perusteita pienehköjen muutosten tekemiseen yleisessä matemaattisessa merkintätavassa siten, että looginen rakenne todistuksissa ja päättelyketjuissa tulisi yksinkertaisemmaksi konstruida ja tarkastella. Keskeinen päämäärä on myös yritys esittää matemaattisia todistuksia ja päättelyketjuja keskeisenä osana lukion matematiikan opetusta. Viime vuosikymmenien aikana lukio-opetus on mennyt suuntaan, missä vähitellen on pienennetty todistamisen osuutta opetuksessa ja nykytilanteessa se on vähentynyt lähes olemattomiin. Tämä on tehty tarkoituksena saada matematiikka helpommin lähestyttäväksi opiskelijoille, mutta me uskomme, että monessa tapauksessa tämä tekee sen vaikeammin ymmärrettäväksi. Ilman todistusta matemaattinen teoreema on lähinnä taianomainen kaava, todistuksen kanssa se on selviö. Yritämme tehdä matemaattiset todistukset helpommin lähestyttäviksi tekemällä ne tavallisten laskujen tyyppisiksi. Samoin kuin odotamme, että opiskelijat osaavat ratkaista yhtälöparin yksinkertaisilla suunnitelmallisilla menettelytavoilla, niin odotamme, että he osaavat suorittaa yksinkertaisia matemaattisia päättelyketjuja loogisilla menettelytavoilla. 14

17 2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut Aloitamme esittelemällä lineaarisia päättelyketjuja. Kuvaamme kuinka sieventäminen kirjoitetaan kommentoitujen päättelyketjujen avulla. Tarkoituksena on valaista periaatteita ja sääntöjä, jotka ovat sellaisten matemaattisten laskujen ja päättelyiden takana, joita yleensä pidetään yksinkertaisina ja itsestään selvinä. Yksinkertaiset lausekkeet, evaluointi ja päättelyketju Yksinkertainen aritmeettinen lauseke rakentuu vakioista kuten 0, π ja 1, 57 ja operaattoreista kuten + ja. Aritmeettinen tarkoittaa, että käsitellään koko ajan reaalilukuja. Esimerkki yksinkertaisesta aritmeettisesta lausekkeesta on π + 1 ja Historiallisista syistä operaattorit voidaan kirjoittaa hyvin erilaisilla tavoilla. Miinusmerkki, joka vaihtaa lausekkeen merkin, kirjoitetaan etuliitteeksi ( e, eli lausekkeen eteen) kun taas neljä yksinkertaista laskutapaa kirjoitetaan sisäliitteinä (13+14, 13 14, ja 13/14, eli lausekkeen kahden termin väliin). Joskus jakolasku kirjoitetaan murtoviivalla; potenssiin korotuksella, juuren otolla ym. on vielä monimutkaisempia kirjoitustapoja. Potenssiin korotus kuten myös kertoma, kirjoitetaan periaatteessa jälkiliitteenä, eli lausekkeen jälkeen. Jatkossa oletamme, että tavalliset aritmeettiset operaattorit ja niiden merkitykset ovat tunnettuja. Yksinkertaisen lausekkeen evaluointi tarkoittaa sen arvon laskemista. Yhtäsuuruus a = b kahden lausekkeen a ja b välillä merkitsee, että niillä on sama arvo. Lausekkeiden evaluointi- eli laskusääntöjen oletetaan olevan tunnettuja eli oletetaan, että operaatio, joka vastaa kutakin operaattoria on tunnettu (esim, että + tarkoittaa yhteenlaskua). Jos lauseke on hyvin yksinkertainen, se voidaan laskea yhdellä askeleella (päässä tai laskimella). Evaluoinnin kuvaamisessa monimutkaisemmassa lausekkeissa askel askeleelta voidaan käyttää lineaarisia päättelyketjuja eli sarjaa lausekkeita erotettuina yhtäläisyysmerkeillä. Esimerkkinä laskemme 3 3 ( 11) 2 lineaarisella päättelyketjulla: 3 3 ( 11) 2 = 27 ( 11) 2 = = 16 = 4 15

18 2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut Yhtäläisyys (=) kahden lausekkeen välillä tarkoittaa, että niillä on sama arvo. Koska yhtäsuuruus on transitiivinen (jos a = b ja b = c niin on voimassa a = c), niin päättelyketjusta seuraa, että 3 3 ( 11) 2 = 4. Tämä yhtäsuuruus on päättelyketjun tulos eli päättelyketjusta vedettävä johtopäätös. Muuttujalauseke Yleiset lausekkeet sisältävät vakioiden ja operaattoreiden lisäksi myös muuttujia. Yleensä muuttujille käytetään pieniä kirjaimia, kuten a, b, c tai x, y, z, mutta joskus voidaan myös käyttää isoja kirjaimia tai muita symboleja. Esimerkkeinä lausekkeista ovat x2 1 x+1 ja 2πrh. Jotta lausekkeen arvo voidaan laskea, täytyy jokaiselle muuttujalle lausekkeessa antaa arvo. Voimme esmerkiksi evaluoida lauseketta 2πrh antamalla arvot r = 2 ja h = 3: 2πrh = 2 π 2 3 = 12π Huomaa, että laskemme tarkoilla arvoilla. Voisimme jatkaa yhden askeleen eteenpäin ja saada 12π 37, 3 mutta tässä tapauksessa sitä on parempi pitää kommenttina. Lausekkeen arvo on 12π, mutta saadaksemme tuntuman arvon suuruudesta ilmoitetaan, että se on suunnilleen sama kuin 37, 3. Askelta, missä muuttujat korvataan niiden arvoilla, kutsutaan sijoittamiseksi ja sanotaan, että arvo sijoitetaan muuttujaan. Formalisointi Formalisointi merkitsee tilanteen kuvaamista matemaattisten (ja loogisten) symbolien avulla. Tarkoituksena on poimia tärkeimmät piirteet ja ilmaista ne lyhyesti ja yksiselitteisesti. Tällä tavalla tuotamme abstraktion eli se, mikä ei ole tärkeätä tässä tilanteessa, jätetään huomiotta. Jo se, että käytämme lukuja, on abstraktio. Kirjoittamalla 3 4 lauseen 4 yksikön pituisen ja 3 yksikön levyisen alueen pinta-ala sijaan, saamme lyhyen lausekkeen, mutta samalla menetämme paljon informaatiota. Formalisoimme ongelmatilanteen merkitsemällä tuntemattomia muuttujilla ja käyttämällä yhtälöitä tai epäyhtälöitä kuvaamaan yhteyksiä, jotka ilmenevät ongelman kuvauksesta. Otetaan esimerkiksi seuraava ongelma: Määritä suorakulmaisen alueen pituus, kun leveys on puolet pituudesta ja pinta-ala on 120 pinta-alayksikköä. Jos annamme pituudelle nimen x ja leveydelle nimen y, niin voimme esittää informaation kahdella yhtälöllä: y = 1 x ja x y = Lisäksi ongelman muotoilusta ilmenee, että haluamme saada selville muuttujan 16

19 x arvon (sitä ei näy yhtälöistä). Muokkaaminen ja sieventäminen Vaikka muuttujalauseketta ei voida laskea, se voidaan usein sieventää eli muokata yhtäsuuruuksien avulla yksinkertaisempaan muotoon. Muokkaamista ohjaavat sallitut sieventämissäännöt. Esimerkkinä on summan ja erotuksen tulo: (a + b)(a b) = a 2 b 2 (summan ja erotuksen tulo) Sääntö näyttää, miten kaava voidaan muokata toiseksi kaavaksi. Kun sääntöä käytetään, voidaan mitkä tahansa lausekkeet sijoittaa muuttujien (tässä a ja b) paikalle, mutta täytyy olla johdonmukainen (ei saa korvata erilaisilla lausekkeilla saman muuttujan eri esiintymiä). Esimerkkinä sievennämme lausekkeen (x + y)(x y) + y 2. (x + y)(x y) + y 2 = x 2 y 2 + y 2 = x 2 Tässä käytämme ensimmäisessä askeleessa summan ja erotuksen tulo -sääntöä. Jälkimmäisessä askeleessa käytämme kahta sieventämissääntöä (toinen on a+ a = 0, mikä on toinen?). Jotkut sieventämissäännöt ovat niin hyvin sisäistettyjä, että ne ovat lähes itsestään selvyyksiä, mutta on kuitenkin hyvä osata tunnistaa ne. Toinen esimerkki osoittaa, kuinka summan ja erotuksen tuloa voidaan käyttää päässälaskun tukena: = (60 + 5)(60 5) = = = 3575 Sievennyssäännöt ovat aina kaksisuuntaisia eli ne voidaan lukea vasemmalta oikealle yhtä hyvin kuin oikealta vasemmalle. Seuraavassa esimerkissä käytetään summan ja erotuksen tulon sääntöä ( eli neliöiden erotuksen sääntöä): x 2 4 x + 2 = (x + 2)(x 2) x + 2 = x 2 1 = x 2 Summan ja erotuksen tulon mukaan (x + 2)(x 2) = x Tätä käytetään ensimmäisessä askeleessa, kun muokkaamme lausekkeen x 2 4 muotoon (x + 2)(x 2). Luku 4 on muutettu muotoon 2 2 ilman erillistä osoittamista. Joitakin sievennyssääntöjä pidetään niin itsestään selvinä, että niitä voidaan käyttää ilman erityistä perustelua. Esimerkkeinä tällaisista säännöistä ovat a + 0 = a a + b = b + a 1 a = a 17

20 2 Lauseke, yhtäsuuruus, päättelyketjut Myös itsestään selvien sääntöjen kohdalla on hyvä tietää, miten sieventäminen toimii yksityiskohtaisesti. 1 Lineaariset päättelyketjut ja kommentit Lyhyt päättelyketju voidaan kirjoittaa yhdelle riville kuten yläpuolella olevassa esimerkissä. Selkeänä ongelmana on se, että emme kirjoita näkyviin käytettyjä sääntöjä. Lukijan oletetaan ymmärtävän päättelyketjun yksityiskohdat ilman selityksiä. Pitempiä ja monimutkaisempia päättelyketjuja on paljon helpompi sekä kirjoittaa että lukea, jos kirjoitamme perustelun tai selityksen jokaiselle vaiheelle. Selityksessä voidaan kertoa esim., mitä sääntöä tässä askeleessa on käytetty. Valitsemme nyt tavan kirjoittaa päättelyketju muodossa, missä jokainen lauseke kirjoitetaan omalle rivilleen ja yhtäsuuruusmerkki kirjoitetaan omalle rivilleen aaltosulkeissa olevan selityksen kanssa. Esimerkkinä sievennetään potenssilauseke = {samankantaisten potenssien tulo a m a n = a m+n ja 2 1 = 2} = {yhteisen tekijän erottaminen 2 7 } (2 + 1) 2 7 = {yhteenlasku} Tästä lähtien on voimassa periaate, että kaikki päättelyketjut kirjoitetaan tässä muodossa selkeiden kommenttien kanssa. Myös silloin, kun askel vaikuttaa triviaalilta, on hyvä harjoituksen vuoksi kirjoittaa etenemiselle asiallinen perustelu. Sijoitussääntö Sieventämissäännön (kuten muistikaava ja samankantaisten potenssien tulo) mukaan lausekkeen muuttujiin voidaan sijoittaa mikä tahansa arvo edellyttäen, että sijoittaminen on johdonmukaista (sama arvo kaikille muuttujen esiintymille). Voimme esittää, miten sieventämissääntöä käytetään ilmoittamalla sijoituksen kommenttina: 1 Se, että joitakin sääntöjä pidetään itsestään selvyyksinä, johtuu vain osittain niiden yksinkertaisuudesta. Useimmiten pääasiallinen syy on se, että olemme tottuneet käyttämään näitä sääntöjä miettimättä yksityiskohtia. 18

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan ohjelmointi. Joakim von Wright

Matematiikan ohjelmointi. Joakim von Wright Matematiikan ohjelmointi Joakim von Wright Formaali menetelmä käytännössä miten todistetaan ohjelman oikeellisuus? miltä todistus näyttn yttää? isot ohjelmat? miljoona riviä koodia nykyajan ohjelmat? rinnakkaisuus,

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e = + = ( + ) = + = Espresso igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Johdanto Tässä luvussa esitetään perusteet lausekemuodossa esitettyjen

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

E-math - sa hko inen oppimisympa risto matematiikan opiskeluun. Ralph-Johan Back Åbo Akademi (Virtuaaliopetuksen päivät 2013)

E-math - sa hko inen oppimisympa risto matematiikan opiskeluun. Ralph-Johan Back Åbo Akademi (Virtuaaliopetuksen päivät 2013) E-math - sa hko inen oppimisympa risto matematiikan opiskeluun Ralph-Johan Back Åbo Akademi (Virtuaaliopetuksen päivät 2013) Esityksen organisointi 1. Yleisesitys E-math projektin hankkeesta ja sen tuloksista

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

4. Oheisessa 4x4 ruudukossa jokainen merkki tarkoittaa jotakin lukua. Mikä lukua salmiakki vastaa?

4. Oheisessa 4x4 ruudukossa jokainen merkki tarkoittaa jotakin lukua. Mikä lukua salmiakki vastaa? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 30.1.2015 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot