Estimointi. Otantajakauma

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Estimointi. Otantajakauma"

Transkriptio

1 Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin kuvaaja on kapeampi kuin perusjoukon kuvaaja otantajakauman avulla voidaan muodostaa tarkempia arvioita perusjoukon parametreista Yhden otoksen perusteella voidaan arvioida otantajakauman hajontaa keskivirheellä. joka otoksesta laskettuna on arvio otantajakauman keskihajonnasta. s Otoksesta se lasketaan keskiarvolle kaavalla: n Keskivirheen avulla voidaan ottaa huomioon sattuman osuus erilaisissa tilastollisissa tarkasteluissa. ts. voidaan muodostaa todennäköisyyksiä erilaisista parametrin arvoista kun huomioidaan. että erilaiset otokset ovat mahdollisia; arviot ovat tarkempia koska ne perustuvat otantajakauman käyttöön. Edellytyksenä on. että tunnetaan tai pystytään arvioimaan riittävällä tarkkuudella. mikä parametrin otantajakauma on; esim. pituudesta (cm) voidaan olettaa sen noudattavan normaalijakaumaa useimmissa perusjoukoissa Perusjoukko ja otantajakauma Otantajakauma (Huom. x-akseli on skaalattu uudelleen). Tilastomatemaattisesti näiden edellytysten voimassaolo johtaa siihen, että perusjoukon ominaisuudet periytyvät myös otantajakaumalle (esim. kesiarvon kohdalla normaalijakautuneisuus ja sama keskiarvo) Todennäköisyyden tuominen tilastollisiin tarkasteluihin tällä tavalla mahdollistaa yleistämisen estimoinnin ja hypoteesien testauksen kautta eli tilastollisen päätöksenteon (statistical inference). Erilaisista otoksista saadaan arvioitua haluttua parametria erilaisella tarkkuudella: Jos otoksessa hajonta on suurta. myös otantajakauman hajonnasta (keskivirhe) tulee suurempi Henkilö Perusjoukko, keskiarvo 7. Otosten poimiminen Otos Keskivirhe Otoskeskiarvo Otantayksiköt perusjoukossa KESKIARVON LUOTTAMUSVÄLI Taustaa - Tutkijan ongelma: Otostamisen jälkeen tutkija ei tiedä, kuinka hyvin otoksen keskiarvo vastaa perusjoukon keskiarvoa, sillä hän ei tiedä miten otantayksiöt edustavat perusjoukkoa - Hänelle yksi otos antaa parhaan arvion (estimaatin) perusjoukon keskiarvosta (ja sen keskihajonnasta), ts. se on perusjoukon keskiarvon piste-estimaatti - Tämän lisäksi hän voi arvioida välin, jolle perusjoukon keskiarvo määrätyllä varmuudella sijoittuu tuon yhden otoksen perusteella, luottamusvälin - Tässä tilanteessa oletetaan, että keskiarvo on laskettu muuttujasta, jonka jakauma perusjoukossa on normaali, sillä tällöin myös keskiarvon otantajakauma on normaali. Luottamusväli (confidence interval) voidaan siten laskea seuraavassa esitetyllä tavalla. Keskiarvon otantajakauma Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit A. Piste-estimaatit - perusjoukon parametrin arvon estimaatti on yksi lukuarvo - esim. otoskeskiarvo on perusjoukon keskiarvon pisteestimaatti B. Väliestimaatit - pyritään määrittelemään väli, jolla perusjoukon parametri sijaitsee halutulla todennäköisyydellä = luottamusväli (confidence interval, confidence limits) - mitä kapeampi väli, sitä enemmän informaatiota parametristä on saatu KESKIARVON LUOTTAMUSVÄLI Taustaa - Tutkijan ongelma: Otostamisen jälkeen tutkija ei tiedä mikä kaikista mahdollisista otoksista hänellä on käytössään ja kuinka hyvin otoksen keskiarvo vastaa perusjoukon keskiarvoa - Hänelle yksi otos antaa parhaan arvion (estimaatin) perusjoukon keskiarvosta (ja sen keskihajonnasta), ts. se on perusjoukon keskiarvon piste-estimaatti - Tämän lisäksi hän voi arvioida välin, jolle perusjoukon keskiarvo todennäköisimmin sijoittuu tuon yhden otoksen perusteella, luottamusvälin - Tässä tilanteessa oletetaan, että keskiarvo on laskettu muuttujasta, jonka jakauma perusjoukossa on normaali, jolloin todennäköisyydet voidaan määrittää käyttämällä standardoitua normaalijakaumaa, joka on tässä tapauksessa keskiarvon otantajakauma

2 Määritellään otantajakaumalta alue, jolla perusjoukon keskiarvo todennäköisimmin sijaitsee. Esim. 95% kaikista mahdollisista otoskeskiarvoista sijaitsee.96 keskihajontayksikön päässä keskiarvosta standardoidulla normaalijakaumalla.. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle Otoksesta (n=) on laskettu pituuden - keskiarvoksi 5 - keskihajonnaksi Tällöin keskiarvon keskivirhe on. Määritetään keskiarvon luottamusväli 95% luottamustasolla Ks. keskihajonnan määrittely. 95% x = Oletukset: pituus on jakautunut normaalisti, otoskoko on yli 3. Tiedetään, että standardoidun normaalijakauman kohdalla 95% luottamusväli löytyy väliltä Selvitetään, mitkä arvot muuttujan alkuperäisellä asteikolla vastaavat standardoidun normaalijakauman 95% luottamusvälin kohtia. Laskettaessa käytetään apuna keskiarvon keskivirhettä Lasketaan:.96 * = x = x = 5 5 Luottamusväli pituusmuuttujalle saadaan, kun siirretään saadut rajat oikealle kohdalle jakaumaa. Tätä varten vain otantajakauman keskiarvo tarvitsee siirtää alkuperäisen muuttujan keskiarvon kohdalle. Lopputuloksena saatiin siis, että 95% luottamusväli tämän otoksen mukaan on [49.6, 59]. Lasketaan: 5-9 = = 59 Eli: Tutkijalla on 95% luottamus siihen, että perusjoukon keskiarvo sijaitsee välillä [49.6, 59] tämän otoksen perusteella. Merkitään: CI 95% = [49.6, 59] x = x = 5 5

3 Keskiarvon 95% luottamusväli voidaan yleisesti laskea mistä tahansa muuttujasta kaavalla: x ±.96 s n Luottamusväli voidaan yleisesti laskea eri luottamustasoille kaavalla: s x ± z, n jossa z vastaa stand. normaalijakaumalta löytyviä arvoja, jolla otantajakauma peittyy haluttu luottamustaso, esim. z =.96 (95%) z =.58 (99%) z = 3.9 (99.9%) Tulkinta Perusjoukossa olevien tapausten pituudet (cm) Poimitaan tästä perusjoukosta (N = 6) kaikki erilaiset otokset, joissa kussakin on kolme tapausta (n = 3). Tällaisia otoksia on yhteensä kpl. Lasketaan näille otoksille keskiarvo ja keskiarvon luottamusväli 95 % luottamustasolla. Erilaiset mahdolliset otokset muuttujan 95% luottamusvälit Kh a b c d e f g h i j Kh k l m n o p q r s t = tapaus on mukana otoksessa (cm) Otos (keskiarvon mukaan järjestettynä) Perusjoukon keskiarvo 7. cm Alaraja Keskiarvo Yläraja Havaitaan, että lähes kaikki luottamusvälit pitävät sisällään perusjoukon keskiarvon Kuitenkin: yksi luottamusväleistä (otos ) ei sisällä perusjoukon keskiarvoa (7.) Lasketaan: / =.5, eli n. 5% Tulkinta: Koska tutkija ei tiedä otostaessaan, mikä kyseisistä otoksista on hänen otostamansa otos, hän hyväksyy 5% riskin sille, että luottamusväli ei sisällä perusjoukon keskiarvoa Luottamusvälin kohdalla Riskitaso (α) kertoo mahdollisuuden tehdä päättelyvirheen oletettaessa, että luottamusväli pitää sisällään perusjoukon keskiarvon, vaikkei näin olekaan. Sovittuja riskitasoja [Riskitaso / Luottamusväli].5 (5%) 95%. (%) 99%. (.%) 99.9% α/ α/. Toisin sanoen hän voi olla 95% varma siitä, että luottamusväli sisältää perusjoukon keskiarvon σ 95%

4 Lopuksi Tilastollinen testaus (hypoteesien testaus) Tässä luottamusväli laskettiin luottamustasolla 95% Muita luottamustasoja ovat 99% ja 99.9% luottamustasot Vastaavasti luottamustaso voidaan laskea myös muille parametreille, esim. riskisuhteelle, suhteelliselle osuudelle jne. Luottamusvälin laskennassa joudutaan kiinnittämään huomiota kunkin parametrin otantajakaumaan ja tämä aiheuttaa sen, että luottamusväli lasketaan eri parametreille erilaisilla kaavoilla Luottamusväleihin liittyy myös käsite riskitaso, joka määrittää luottamustasoa: jos riskitaso on.5, niin luottamustaso =.5 =.95 = 95% Luottamusväli: [a, b] on parametrin t luottamusväli luottamustasolla -α, jos P(a t b) = - α Riskitasoon perehdytään tarkemmin tilastollisen testauksen yhteydessä - Otantajakaumaa voidaan käyttää hyväksi, kun halutaan selvittää erityisen hypoteesin paikkansapitävyyttä tutkimusaineistossa. - Hypoteesit kuvaavat ennakko-oletusta jostakin asiantilasta, esim. Kahden ryhmän väliset keskiarvot ovat yhtä suuret. - Tilastollisessa testauksessa käytetään todennäköisyyttä apuna - Seuraavassa tarkastellaan esimerkkinä tilannetta, jossa halutaan tietää eroavatko kaksi keskiarvoa tilastollisessa mielessä toisistaan Otos (Musta) Keskiarvo 7 Keskihajonta 6 Tapauksia Tarkastelua varten joudutaan lähtökohdaksi olettamaan tietty tila keskiarvojen välille Tätä tilaa edustaa nollahypoteesissa lausuttu tila. Nimensä mukaan nollahypoteesissa oletetaan yleensä tila, että eroa ei ole: H : Keskiarvojen välillä ei ole eroa eli µ = µ eli µ -µ = Otos (Punainen) Keskiarvo 8 Keskihajonta 9 Tapauksia Keskiarvojen välillä näyttää siis otosten perusteella olevan eroa, mutta voidaanko sen perusteella sanoa, että eroa on myös perusjoukossa? Onko ero tarpeeksi selkeää kun otetaan huomioon ryhmien hajonta ja ryhmien koko? Tällöin voidaan laskea erotus ja selvittää kuinka todennäköinen keskiarvojen välinen erotus. Tarkasteltava parametri on siis keskiarvojen erotus. Määritellään myös vastakkainen tilanne, vastahypoteesi. Vastahypoteesi tulee voimaan, jos tarkastelun perusteella saadaan tarpeeksi vahvaa näyttöä, että nollahypoteesi ei pidä aineistossa paikkaansa, esim: H : Keskiarvojen välillä on eroa eli µ µ eli µ -µ Tässä oletetaan siis, ettei erotuksen mahdollista suuntaa tiedetä, joten vastahypoteesi on kaksisuuntainen. Nollahypoteesin voimassaolon todennäköisyys voidaan laskea käyttämällä hyväksi keskiarvojen erotuksen otantajakaumaa. Kun muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut, on keskiarvojen otantajakauma t-jakauma Otantajakaumalla nollahypoteesin mukaisia parametrin arvoja on eniten, ts. sellaisia keskiarvojen välisiä erotuksia, joissa tulos on nolla. Suuret parametrin arvot taas ovat harvinaisia Näin voi luonnollisesti olettaakin, jos nollahypoteesin uskotaan pitävän paikkansa. t-jakauma, vapausasteet 43 Tästä otoksesta laskettuna havaitaan, että keskiarvojen erotus on. 7-8 = - cm Jotta tarkastelu voidaan siirtää otantajakaumalle ja ottaa ryhmien hajonta ja koko huomioon, jaetaan erotus sen keskivirheellä: t-jakauma, vapausasteet t = - /.57 = -.8 t = -.8 Havaitaan, että otantajakaumalla erotus ei ole kovin harvinainen; tietokoneen sille määrittämä todennäköisyys että t = -.8 tai sitä pienempi on p = 89.

5 Koska vastahypoteesi oli kaksisuuntainen, täytyy määrittää myös tilanne, että testisuureen arvo olisi ollut positiivinen; tästä syystä havaittu todennäköisyys lasketaan tilanteelle: t -.8 ja t.8 Tällöin p = 89 / =.44. Tutkimustilanteita varten on määritelty kolme tasoa, jolla todennäköisyyksiä pidetään merkitsevänä:.5 Melkein merkitsevä. Merkitsevä. Erittäin merkitsevä t-jakauma, vapausasteet t = -.8 Tässä p >.5, joten päätellään, että ei ole syytä hylätä nollahypoteesia. Mahdollisia hypoteeseja painoesimerkin testauksessa H : µ = 74 eli perusjoukon keskiarvo on (edelleen) 74 kg. H : µ > 74 eli perusjoukon keskiarvo on suurempi kuin 74 kg. Tässä tilanteessa tiedetään, että jos paino ei ole 74 kg, niin ainoa mahdollisuus on, että se on tätä suurempi H : µ = 74 eli perusjoukon keskiarvo on (edelleen) 74 kg. H : µ 74 eli perusjoukon keskiarvo ei ole 74 kg. Tässä tilanteessa oletetaan ainoastaan, että jos nollahypoteesi hylätään, voi paino olla joko suurempi tai pienempi kuin 74kg. Vastahypoteesi on rajattava ennen aineiston tarkastelua ja rajaamisen yksisuuntaiseksi tulee olla perusteltua. Tilastollinen testaus yleisemmin - on olemassa ennakkokäsitys tarkasteltavan parametrin mahdollisesta arvosta - selvitetään pitääkö ennakkokäsitys paikkansa - testaukseen liittyy ongelma otostamisesta; jos perusjoukosta voidaan muodostaa otos eri tavoin, on mahdollista, että tämä aiheuttaa parametrin (esim. keskiarvon) laskemiseen epätarkkuutta, johtuen siitä että tutkija ei voi tietää mikä mahdollisista otoksista hänellä on käytössään Esim. Aikaisempien tutkimusten perusteella on määritelty painon keskiarvoksi 75-vuotiaiden jyväskyläläisten miesten keskuudessa 74kg (keskihajonta kg). Uuden otoksen perusteella lasketaan painon keskiarvoksi 8kg (keskihajonta kg). Tarkoitus on selvittää sopivan tilastollisen testin perusteella ovatko otoksesta havaitut arvot sopusoinnussa nollahypoteesin mukaisen parametrinarvon kanssa satunnaisvaihtelun puitteessa, vai onko jokin muu parametrin arvo todennäköisempi Voidaan määrittää riski sille, että otoksesta tehty päätelmä olisikin virheellinen Tilastollisen testauksen vaiheet:. hypoteesien määrittäminen. testisuureen valinta, oletusten tarkistaminen 3. riskitason valinta 4. testisuureen laskeminen ja p-arvon määrittäminen 5. nollahypoteesin hyväksyminen tai hylkääminen 6. tulosten raportointi Järjestys on tärkeä Onko keskipaino muuttunut? Hypoteesit Tutkimuksen alkuvaiheessa on määritelty tutkimuskysymys ja siitä edelleen tutkimushypoteesit. Tilastollista testausta varten määritellään testaushypoteesit: nollahypoteesi ja vastahypoteesi H : nollahypoteesi - kuvaa ennakko olettamusta, josta luovutaan vasta kun sitä vastaan saadaan tarpeeksi vahvoja todisteita - nimensä mukaan kuvaa yleensä nollatilannetta, eli esim. kahden parametrin arvot ovat yhtä suuret (=) eli eroja ei ole; vaikutusta ei ole; riippuvuutta ei ole; jne. H: vastahypoteesi (vaihtoehtohypoteesi) - kuvaa tilannetta, joka on tutkimustilanteessa nollahypoteesille vastakkainen olotila - tulee voimaan, jos nollahypoteesi hylätään - esim. kahden parametrin arvot ovat erisuuret ( ), tai toinen on suurempi kuin toinen (> tai <); vaikutusta on; riippuvuutta on; jne. Hypoteesit Vastahypoteesi voi olla kaksisuuntainen tai yksisuuntainen - Kaksisuuntaisen hypoteesin kohdalla ei etukäteen pystytä sanomaan, kumpaan suuntaan mahdollinen vaikutus esiintyy, esim. ei tiedetä kumpi kahdesta vertailtavasta keskiarvosta on suurempi, ( µ 74 ) - Yksisuuntaiselle hypoteesille vaikutuksen suunta tiedetään, esim. tiedetään, että jos eroa kahden keskiarvon välillä on, niin se voi esiintyä vain niin, että ensimmäisen ryhmän keskiarvo on suurempi kuin jälkimmäisen ( µ > 74 ) Testauksen hypoteeseista toinen on tutkimushypoteesin mukainen, ts. samalla testillä voidaan esim. testata sitä ovatko kaksi keskiarvoa yhtä suuria vai onko niiden välillä eroa; ennen testauksen suorittamista ei siis tiedetä kumpi hypoteeseista pitää paikkansa, mutta testauksen kannalta oletetaan tilapäisesti, että H pitäisi paikkansa.

6 Testisuure ja p-arvo - Esim. kun halutaan tarkastella keskiarvon välistä erotusta vertailuarvosta, ei riitä että otetaan huomioon vain keskiarvon erotuksen, vaan on myös huomioitava muuttujan hajonta ja otoskoko - Tämä tehdään käyttämällä sopivaa testisuuretta, esim. keskiarvojen kohdalla voidaan käyttää t-testisuuretta - Testisuureen otantajakaumasta voidaan ilmoittaa esim. kuinka todennäköinen jonkun yksittäinen otoksen keskiarvojen erotus vertailuarvosta on, kun pidetään nollahypoteesia totena. - p-arvo ilmoittaa tarkan todennäköisyyden havaita itseisarvoltaan yhtä suuri tai suurempi testisuureen arvo, kun nollahypoteesia pidetään totena, eli se on todennäköisyys että tutkija on väärässä, kun hän sanoo nollahypoteesin olevan voimassa. - Tällöin suuret arvot (p on lähellä oleva arvo) tukevat nollahypoteesia ja pienet arvot (p on lähellä nollaa) tukevat nollahypoteesin hylkäämistä Testisuure ja p-arvo - Esim. kun halutaan tarkastella keskiarvon välistä erotusta vertailuarvosta, ei riitä että otetaan huomioon vain keskiarvon erotuksen, vaan on myös huomioitava muuttujan hajonta ja otoskoko - Tämä tehdään käyttämällä sopivaa testisuuretta, esim. keskiarvojen kohdalla voidaan käyttää t-testisuuretta - Testisuureen otantajakaumasta voidaan ilmoittaa esim. kuinka todennäköinen jonkun yksittäisen otoskeskiarvon erotus vertailuarvosta on, kun pidetään nollahypoteesia totena. - p-arvo ilmoittaa tarkan todennäköisyyden havaita itseisarvoltaan yhtä suuri tai suurempi testisuureen arvo, kun nollahypoteesia pidetään totena, eli se on todennäköisyys että tutkija on väärässä, kun hän sanoo nollahypoteesin olevan voimassa. - Tällöin suuret arvot (p on lähellä oleva arvo) tukevat nollahypoteesia ja pienet arvot (p on lähellä nollaa) tukevat nollahypoteesin hylkäämistä Testisuure ja p-arvo - Esim. kun halutaan tarkastella keskiarvon välistä erotusta vertailuarvosta, ei riitä että otetaan huomioon vain keskiarvon erotuksen, vaan on myös huomioitava muuttujan hajonta ja otoskoko - Tämä tehdään käyttämällä sopivaa testisuuretta, esim. keskiarvojen kohdalla voidaan käyttää t-testisuuretta - Testisuureen otantajakaumasta voidaan ilmoittaa esim. kuinka todennäköinen jonkun yksittäisen otoskeskiarvon erotus vertailuarvosta on, kun pidetään nollahypoteesia totena. Esimerkiksi on havaittu testisuureen arvo -.5. Todennäköisyys havaita tämä arvo tai sitä pienempi on n..7% Frekvenssi p = 7 p = Siis todennäköisyys tehdä virhe, kun hylätään nollahypoteesi tässä tilanteessa on p = 7 p ~ - p-arvo ilmoittaa tarkan todennäköisyyden havaita itseisarvoltaan yhtä suuri tai suurempi testisuureen arvo, kun nollahypoteesia pidetään totena, eli se on todennäköisyys että tutkija on väärässä, kun hän sanoo nollahypoteesin olevan voimassa. - Tällöin suuret arvot (p on lähellä oleva arvo) tukevat nollahypoteesia ja pienet arvot (p on lähellä nollaa) tukevat nollahypoteesin hylkäämistä -4-4 Testisuureen arvo = -.5 Nollahypoteesin mukainen tilanne Testisuureen arvot Tilastolliseen päätöksen tekoon liittyy riski tehdä virhepäätelmä: Riskitaso Todellinen asiaintila H on tosi H on epätosi Testin tulos H on tosi H on epätosi Oikein Väärin α Väärin Oikein β - Riskitaso on todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa - Sopimuksenvaraisesti on määritelty riskitasoja, joilla nollahypoteesi hylätään, näitä ovat: α =.5 α =. α =. Tyypin I virhepäätelmä: Hylätään nollahypoteesi, kun se on tosi. Tyypin II virhepäätelmä: Hyväksytään nollahypoteesi, kun se on epätosi. Todennäköisyys tehdä tyypin I virhepäätelmä, on p-arvon suuruinen, tyypin II virhepäätelmää mitataan testin tehokkuudella (power).

7 Testin tulos voidaan määrittää kahdella tavalla suhteessa riskisuhteeseen ja testisuureeseen: ) Määritetään kriittinen testisuureen arvo x k eli arvo, jonka itseisarvoa suurempia ovat otantajakauman havainnoista riskitason määrittelemän osuuden verran parametrin harvinaisimpia arvoja. Tällöin, jos x on otoksesta laskettu testisuureen arvo, pätee seuraava: Riskitaso =.5 Kriittinen arvo = ±.96 Kaksisuuntainen vastahypoteesi Hyväksymisalue Jos x > x k, nollahypoteesi hylätään. Jos x < x k, nollahypoteesi jää voimaan. ) Helpommin riskitasoa voi käyttää suoraan määrittämään otantajakaumalta katkaisukohdan p-arvolle. Tällöin pätee seuraava: Jos p > α, nollahypoteesi jää testin perusteella voimaan. Jos p < α, hylätään nollahypoteesi testin tuloksena. α/ α/ -4-4 Testisuureen arvot Hylkäämisalue Jos testin perusteella nollahypoteesi hylätään, sanotaan tulosta tilastollisesti merkitseväksi. Riskitasoihin liittyen merkitsevyyksiä on nimetty seuraavasti:.5 Tilastollisesti melkein merkitsevä (*). Tilastollisesti merkitsevä (**). Tilastollisesti erittäin merkitsevä (***) Kun testiä lähdettiin suorittamaan, ei tiedetty kumpi hypoteeseista pitää paikkansa, mutta oletettiin nollahypoteesi paikkansa pitäväksi. Testisuure ja oletukset Tilastollinen testaus suoritetaan testisuureen avulla, jolla on oma otantajakaumansa ja siten omat oletuksensa. Jotta testin tulos olisi tulkittavissa oikein, tulee näiden oletusten olla voimassa. Esim. normaalijakaumaan ja keskiarvoihin liittyvät testit perustuvat olettavat tarkasteltavien muuttujien olevan normaalisti jakautuneita, jatkuvia muuttujia, ja lisäksi oletetaan otostamisen onnistuneen. Jos jonkin muuttujan kohdalla kaikki suunnitellun testin oletukset eivät täyty, joudutaan testaus suorittamaan jollakin vaihtoehtoisella testillä tai muuttujia voidaan yrittää muuntaa jollakin sopivalla muunnosfunktiolla. Seuraavassa esitellään joitain yleisiä testien oletuksia. Normaalijakautuneisuus () Histogrammi R AIR 5 CHOLESTEROL Normaalijakautuneisuus () Kvantiilikuvio (Q-Q-plot) Normal Q-Q Plot of R AIR 5 Normal Q-Q Plot of CHOLESTEROL Frequency 3 Std. Dev = 3,8 Mean =,6 N = 88, 7,5 7,5 7,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 R AIR 5 Histogrammi Jyväskyläläisten 75- vuotiaiden naisten muuttujalle "air conducted pure tone thresholds, db, 5 Hz, right ear". Frequency 3,,5,,5,,5, 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, 4,5 4, CHOLESTEROL Histogrammi Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolille. Std. Dev =,37 Mean = 6,89 N = 89, Expected Normal Observed Value Kvantiilikuvaaja kuulomuuttujalle. Expected Normal Observed Value Kvantiilikuvaaja kolesterolimuuttujalle.

8 Normaalijakautuneisuus (3) Varianssien yhtä suuruus Kolmogorov-Smirovin testi: H: Muuttuja on normaalisti jakautunut perusjoukossa. H: Muuttuja ei ole normaalisti jakautunut perusjoukossa. Jos muuttuja on normaalisti jakautunut testin p-arvo on suuri, suurempi kuin valittu riskitaso, esim..5. Kun verrataan usean ryhmän keskiarvoa, oletetaan ryhmien hajonnan olevan yhtä suurta. Tämän oletuksen voimassaoloa testataan Levenen testillä: H: Varianssit ovat yhtä suuret eli s = s = s n. H: Ainakin yhden ryhmän varianssi on erisuuri kuin muut. Normaalistijakautunut Ei normaali Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Statistic df Sig. NC63 CHOLESTEROL,53 85,* NC84 R AIR 5,98 85, *This is a lower bound of the true significance. a Lilliefors Significance Correction. Esim. (nc6) siviilisäätyryhmissä (4 kpl) Varianssit yhtä suuret Test of Homogeneity of Variances NC6 HEIGHT Levene Statistic df df Sig., ,53

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1 Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Ilman Ruotsia: r = 0.862 N Engl J Med 2012; 367:1562-1564. POIKKEAVAN HAVAINNON VAIKUTUS PAIRWISE VAI LISTWISE? Kun aineistossa on muuttujia, joilla

Lisätiedot

Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauman käyttö päättelyssä Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

RISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja:

RISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja: RISKITASO Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden testattaessa Todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa Käytettyjä

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.

Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. 9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas TEOREETTISISTA JAKAUMISTA Usein johtopäätösten teko helpottuu huomattavasti, jos tarkasteltavan muuttujan perusjoukon jakauma noudattaa

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

Luottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan

Luottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5 MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti

1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025

7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025 26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Otoskoon arviointi. Tero Vahlberg

Otoskoon arviointi. Tero Vahlberg Otoskoon arviointi Tero Vahlberg Otoskoon arviointi Otoskoon arviointi (sample size calculation) ja tutkimuksen voima-analyysi (power analysis) ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisiä kysymyksiä

Lisätiedot

POPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).

POPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus

Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus Tärkeä päättelyn osa-alue on tilastollinen merkitsevyystestaus, johon päästään luontevasti edellisen teeman aiheista: voidaan kysyä, menevätkö kahden vertailtavan

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua 2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

1. Tilastollinen malli??

1. Tilastollinen malli?? 1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

pisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä

pisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä 806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot