Katsaus virtauslaskennan kehitykseen. Seppo Laine lentotekniikan emeritusprofessori. CFD-päivä, Hanasaari 2013

Transkriptio

1 Katsaus virtauslaskennan kehitykseen Seppo Laine lentotekniikan emeritusprofessori 2013 CFD-päivä, Hanasaari 2013

2 Sisältö Virtauksen laskeminen: eri menetelmiä menetelmien kehitys Transitio Automaattinen muodon suunnittelu

3 Mitä on laskennallinen virtausdynamiikka? CFD ei vain Navier-Stokesin yhtälöiden numeerista ratkaisua vaan yleensä virtausta kuvaavien yhtälöiden numeerista ratkaisua yhdistettynä mahdollisesti lämmönsiirtoon, liikkuviin seinämiin jne. Ei aina tarvitse käyttää täydellisiä virtausyhtälöitä riittävän tarkkuuden saavuttamiseksi. Approksimoinnissa tarvitaan virtausmekaniikan osaamista luvulta alkaen lento- ja avaruusteollisuus on integroinut CFD-tekniikan lentokoneiden ja suihkumoottorien tutkimukseen ja tuotekehitykseen. Myöhemmin menetelmiä on sovellettu polttomoottorien, kaasuturbiinien, polttokattiloiden, pumppujen jne. suunnitteluun. Lopullinen tavoite CFD:n kehittämisessä: tarjota kyky, joka verrattavissa muihin tietokoneavusteisen suunnittelun (CAE) työkaluihin, kuten jännitysanalyysikoodeihin.

4 Suora simulointi Suora simulointi: Nykyisillä superkoneilla, joiden on nopeus Teraflopsia, voidaan periaatteessa laskea muutamassa tunnissa kanavavirtausta suoralla simuloinnilla, kun virtauksen Reynoldsin luku tai pienempi. Vielä 40 vuotta sitten sen aikaisilla tietokoneilla ja menetelmillä olisi sama laskenta kestänyt miljardeja vuosia. Suoraa simulointia on käytetty: - virtauksen transitiotutkimuksissa - turbulenssin tutkimuksissa Kolmiulotteiset tutkimukset esimerkiksi spektraalimenetelmillä, kaksiulotteiset (laminaaria virtausta koskevat) differenssimenetelmillä 1970-luvun alussa. I321402/07 I

5 Täydelliset Navier-Stokesin yhtälöt Rajakerrosyhtälöt Differenssimenetelmä Kitkaton virtaus Isojen pyörteiden simulointi, LES Reynoldsin yhtälöt Linearisoitu nopeuspotent. yhtälö Paneelimenetelmä Transsooninen pienten häiriöiden nopeuspot. yhtälö Differenssimenetelmä Täydellinen nopeuspotentiaalin yhtälö Differenssimenetelmä Eulerin yhtälöt Kontrollitilav./ elementtimenet. Karakteristikoiden menetelmä ylisoon. virtaukselle

6 Ensimmäinen tietokoneella tehty virtauskentän numeerinen ratkaisu Z. Kopal, MIT, 1947 tiivistysaalto Ma 1 = 2 β ω Θ=10 0 p c paine p ω 0 Kartio ylisoonisessa virtauksessa. Virtaussuureet kulman ω funktioita.

7 Karakteristikoiden menetelmä Soveltuu vain ylisooniseen kitkattomaan virtaukseen Aluksi laskettu vain 2-ulotteisia virtauksia. Ensimmäinen sovellutus: ylisoonisen tuulitunnelin suutinvirtaus, laskettu käsin (L. Prandtl ja A. Busemann, 1929) Myöhemmin menetelmä lavennettiin myös kolmiulotteisen virtauksen laskentaan TKK:ssa oli käytössä RAXBOD-ohjelma pyörähdyssymmetristen kappaleiden ohi tapahtuvan virtauksen laskentaan

8 [John D. Anderson, 2003]

9 Ludwig Prandtl ( )

10 Adolf Busemann ( )

11 Linearisoitu nopeuspotentiaalin φ : ali- ja ylisoonisessa virtauksessa n yhtälö φ φ φ (1 Ma ) + + = x y z missä häiriönopeuspotentiaali φ määritellään seuraavasti: u φ =, v x φ =, w y 2 φ = z Tässä u, v ja w ovat häiriönopeuskomponentit. Lineaarisuudesta johtuen superpositioperiaate on voimassa. Voidaan ratkaista lähteiden (nielujen), kaksoislähteiden ja/tai pyörteiden avulla. Paneelimenetelmä eli reunaelementtimenetelmä Käytetty 60-luvulta alkaen menestyksellisesti lentokoneiden suunnittelussa. Myöhemmin myös sisäpuolisten virtausten, kuten pumppujen ja puhaltimien laskennassa. Laskennan tarkkuutta voidaan parantaa ottamalla huomioon kitkan vaikutus painejakautumaan rajakerroslaskujen avulla. TKK:lla oli useita paneelimenetelmiä käytössä.

12 Ohuen siiven panelointi pyörteillä: pinnalla sidotut pyörteet, jättövirtauksessa vapaat pyörteet. [J.Katz and A. Plotkin, 1991]

13 F-18:n nostovoimakerroin kohtauskulman funktiona paneelimenetelmällä. [J. Katz and A. Plotkin, 1991]

14 Paneelimenetelmän paneelijako ja laskettu painejakautuma (Turbovinha / Redigo) Aerodynamiikan laboratorio/tkk

15 Epästationaari potentiaalivirtaus Ajasta riippuvia virtauksia, joissa seinämän liike kytkeytyy virtaukseen, ryhdyttiin myös laskemaan nopeuspotentiaalin yhtälöön pohjautuen 1960-luvun lopulta. Tällaisia probleemoja esiintyy esimerkiksi lentokoneen joutuessa värähdysliikkeeseen puuskan takia jne. Puhutaan aeroelastiikasta. Aeroelastiikan laskut ali- ja ylisoonisessa nopeusalueessa onnistuvat ajasta riippuvalla paneelimenetelmällä ja siihen kytketyllä lentokoneen elastisella mallilla. Tulivat käyttöön 1970-luvulla. Sen sijaan transsoonisen virtauksen laskeminen, mikä olisi lentotekniikassa tärkeää, ei onnistu tällä keinolla. Yleensäkin transsoonisen potentiaalivirtauksen laskeminen on epäluotettavaa, sillä rajakerrosvirtauksen ja tiivistysaaltojen vuorovaikutus on merkittävä.

16 Rajakerrosvirtauksen laskenta differenssimenetelmällä Yhtälöt parabolista tyyppiä. Laskenta etenee pitkin pintaa myötävirtaan. Voidaan helposti ottaa huomioon lämmönsiirto. Menetelmiä 60-luvulta alkaen; aluksi laskettiin laminaareja rajakerroksia. virtaus rajakerroksen paksuus x i alkuarvot seinä Rivin i+1 arvot voidaan laskea rivien i ja i-1 arvojen avulla.

17 Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisu 2-ulotteisessa, puristumattomassa laminaarissa virtauksessa Ensimmäiset ratkaisut koskivat 2-ulotteista laminaaria virtausta, ja yleensä vielä pienehköllä Reynoldsin luvulla. Menetelmäkehitystä tehtiin mm. Yhdysvalloissa Los Alamosin laboratoriossa. Eräs tällöin käytetty tapa (J.E. Fromm 1965) laminaarin, puristumattoman, 2-ulotteisen virtauksen laskemiseksi oli muuttaa yhtälöt muotoon, missä muuttujina ovat virtafunktio ψ ja pyörteisyys ω. Tällä tavalla saadaan vain kaksi muuttujaa kolmen muuttujan (u, v ja p) asemasta. Virtaus voi olla ajasta riippuva. Tällaisia laskuja tehtiin myös TKK:ssa 1970-luvun alkupuolelta alkaen. Ongelma on se, että suurilla Reynoldsin luvuilla kuljetustermien katkaisuvirhe tuottaa kitkatermiin verrattavaa virhettä, joka voi olla suurempi kuin kitkatermi. Lääkkeenä käytettiin 4. kertaluvun diskretointia sekä tutkittiin probleemoja, joissa virtaus lähes hilaviivojen suuntaista tai joissa Re-luku pieni. Ongelma ei ole niin merkittävä, jos virtaus on turbulentti, koska tällöin kitkatermi voi olla jopa tuhatkertainen viskositeetin synnyttämään kitkatermiin nähden ja siis katkaisuvirhe ei niin vaikuttava.

18 Puristumaton 2-ulotteinen kitkallinen virtaus primitiivimuuttujia käytettäessä Tällöin paineen ratkaiseminen tuottaa ongelmia, sillä jatkuvuusyhtälö ei ole siinä muodossa kuin kuljetusyhtälöt luvun lopulla käytettiin kahta eri keinoa puristumattoman virtauksen ratkaisemiksi differenssimenetelmällä. -Näennäispuristuvuuskeino (A. Chorin 1967) -Painekorjausmenetelmä (MAC, Los Alamos, F.H. Harlow ja J.E. Welch) josta myöhemmin SIMPLE-menetelmä (limitetty hila) SIMPLE käy myös transienttiin laskentaan (ajan suhteen integroitaessa)

19

20 Puristuva kitkallinen virtaus Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisumenetelmien kehitystä Venäläinen Sergei Godunov (1959) ehdotti moniulotteisten puristuvien virtausten ratkaisemiseksi Riemannin probleeman ratkaisun käyttämistä vuon laskennassa laskentakopin seinämille. Godunovin ehdottama menettely oli kuljetustermien ylävirtapainotteinen 1. kertaluvun diskretointi, jolloin saadaan mahdollinen tiivistysaalto tarkasti. Godunovin mukaan lineaarisista numeerisista menetelmistä vain 1. kertaluvun menetelmä toteuttaa tarkasti Riemannin probleeman ratkaisun. Tämä tarkoittaa sitä, että vain 1. kertaluvun lineaarisella menetelmällä on sellainen ominaisuus, että se ei generoi uusia (epäfysikaalisia) ääriarvoja. Olisi ollut tuhoisaa laskennan vaatimalle tarkkuudelle, jos olisi tyydytty käyttämään vain 1. kertaluvun menetelmiä.

21 Bernhard Riemann ( )

22 Sergei Godunov (1929-)

23 Puristuva virtaus Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisumenetelmiä Peter Laxin artikkeli (1954) tärkeä menetelmien kehittelyssä: osoitettiin, että virtauksessa mahdolliset tiivistysaallot, epäjatkuvuuskohdat, voidaan kuvata ns. heikkona ratkaisuna, kun differentiaaliyhtälöt diskretoidaan säilymismuodossa. esitettiin, kuinka lineaaristen yhtälöiden differenssimenetelmän konvergenssi voidaan osoittaa. Aluksi käytettiin differenssimenetelmiä; 60-luvun puolivälistä alkaen kokeiltiin myös elementtimenetelmiä, aluksi vaatimattomin tuloksin. Tavallisesti virtausta laskettiin epästationaareja Navier-Stokesin yhtälöitä käyttäen, integroimalla yhtälöitä ajansuhteen, vaikka virtaus olisikin stationaari. Yksi tunnettu menetelmä oli R.W. MacCormackin kehittämä menetelmä vuodelta Siinä integrointi ajan suhteen oli eksplisiittinen, jolloin aika-askel oli rajoitettu. Uudessa MacCormackin menetelmässä vuodelta 1981 käytettiin implisiittistä aikaintegrointia, jolloin laskenta-aika lyheni lähes tuhannesosaan. Näin siis jo 70-luvulla tehtiin huomattavaa kehitystä menetelmien nopeuttamiseksi.

24 Peter Lax (1926-)

25 Turbulenttien virtausten laskenta Turbulenssin mallittaminen eli Reynoldsin jännitysten huomioon ottaminen alkoi 1970-luvulla. Jo 60-luvun puolella oli esitetty k-ε-malli (F.H. Harlow ja P.I. Nakayama 1967). Ensimmäisiä yrityksiä yksinkertaisten virtaustapauksien laskemiseksi tehtiin esim. Imperial College issa kehitetyllä Phoenics-ohjelmistolla. (S. Patankar ja B. Spalding) Tuolloisessa ohjelmaversiossa kuitenkin alueen reuna kuvattiin epätarkasti olettaen sen noudattelevan suorakulmiohilan muotoja. Siitä huolimatta ohjelmaa yritettiin soveltaa käytännön virtauskoneiden suunnittelussa. Hilapisteiden lukumäärät yleensä alle Suomessa Phoenics-ohjelmistolla laskettiin esimerkiksi syklonien tai virtauskoneiden virtausta. (VTT hankki 1983 Phoenicsin Ydinvoimatekniikan laboratorioon, Tampereen TKK:lle ohjelma tuli 1984.)

26 Suhas V. Patankar (1941-)

27 Brian Spalding (1923-)

28 Kuljetustermien ylävirtapainotteinen diskretointi Kuljetustermien diskretoinnin tarkkuuden parantamiseksi (verrattuna 1. kertaluvun menetelmään) kehitettiin useita eri keinoja: 1. Vuovektorin ositus (flux-vector splitting), (J. L. Steger and R. F. Warming 1979, Bram van Leer 1981) 2. Approksimatiivinen Riemann-ratkaisija (flux-difference splitting) (Philip Roe 1981) 3. TVD (Total variation diminishing) (Ami Harten 1983) Jos virtauksessa on suuria gradientteja, yllä esitettyjen menetelmien yhteydessä on tarpeen käyttää vuon rajoitinta (limiter) vaimentamaan epäfysikaalisia heilahteluja. Erilaisia rajoittimia on käytössä (van Leer, van Albada jne.).

29 Bram van Leer

30 Philip Roe

31 Monihilamenettely Iteratiivisen ratkaisun konvergenssia kiihdytetään monihilamenettelyssä laskemalla ratkaisun korjauksia eri hilatasoilla (eri hilatiheyksillä), jolloin ns. pitkäaaltoisimmat häiriöt saadaan vaimenemaan harvimmalla hilalla. Menetelmää kehittivät ensin venäläiset R.P. Fedorenko (1962) ja N.S. Bahvalov (1966) ja sitten israelilainen A. Brandt (1977). Englantilais-yhdysvaltalainen A. Jameson esitti, että menetelmää voitaisiin soveltaa myös Euler-yhtälöihin (1983) ja (1985). Monihilamenettely merkitsi huomattavaa nopeutumista laskuissa. Ennen 1980-lukua, Euler-koodilla tarvittiin askelta konvergenssiin, mutta monihilamenettelyllä askelmäärä supistui 1990-luvulla URANS-laskuissa monihilamenettelyn käyttö ei antanut oleellista parannusta. (J. Hoffren, TKK)

32 R.P. Fedorenko ( ) N.S. Bahvalov ( )

33 Achi Brandt (1938-)

34 Antony Jameson (1934-)

35 Boeing-matkustajalentokoneiden suunnittelun CFD-työkaluja ja siiven tuulitunnelimallien lukumäärä [D.N. Ball, 2003] PANAIR paneelimenetelmä, FLO 22 nopeuspotentiaaliyhtälön ratkaisu, TRANAIR nopeuspotentiaaliyhtälön ratkaisu + rajakerros, TLNS3D RANS-koodi, ohut-kerros appr., OVERFLOW RANS-koodi

36 A. Jamesonin käsitys CFD:n tilasta ja kehitystarpeista CFD:llä on ollut tasannevaihe viimeisten 15 vuoden aikana. 2. kertaluvun tarkat menetelmät RANS-yhtälöille lähes universaalisti käytettyjä kaupallisissa ja tutkimuslaitosten koodeissa, joilla voidaan laskea monimutkaisia konfiguraatioita. Näillä menetelmillä ei voi laskea luotettavasti monimutkaisia irronneita, epästationaareja ja pyörteiden dominoivia virtauksia. Käynnissä olevat edistysaskeleet sekä numeerisissa algoritmeissa että tietokoneissa ja niiden ohjelmistoissa tulevat edistämään LES:n käyttöä teollisuussovellutuksissa nähtävissä olevassa tulevaisuudessa. Tutkimuksen pitäisi keskittyä korkeamman kertaluvun menetelmiin, joissa on minimaalinen numeerinen dissipaatio rakenteettomille hiloille, jotta kyetään laskemaan komplekseja konfiguraatioita. Mahdollisesti DNS voi tulla käyttökelpoiseksi suurten Reynoldsin lukujen virtauksille.ja toivottavasti pienemmällä tehon kulutuksella kuin tuulitunneli.

37 LES = Large Eddy Simulation eli Suurten pyörteiden simulointi Fysikaalinen pohja Suurten pyörteiden simuloinnille on Kolmogorovin ideat pyörteistä. Kolmogorov in mukaan (1941) pyörteet voidaan jakaa kolmeen ryhmään: Suurimmat pyörteet ovat samaa suuruusluokkaa kuin geometrian pituusskaalat, esimerkiksi rajakerroksen paksuus, ja ne riippuvat virtauksen ulkoisista olosuhteista. Nämä pyörteet sisältävät suurimman osan pyörteiden energiasta. Kaikkein pienimmät pyörteet eli Kolmogorovin skaalat, määrittää viskositeetti ja dissipaationopeus. Näiden mittakaavojen pyörteissä kineettinen energia dissipoituu lämmöksi ja paikallinen Reynoldsin luku on luokkaa yksi. Kahden edellisen välillä on olemassa joukko eri kokoisia pyörteitä, joilla paikallinen Reynoldsin luku on suuri, ja ne ovat riippumattomia viskositeetistä.

38 Turbulentissa virtauksessa erikokoisia pyörteitä, eri skaaloja Isoja pyörteitä Pieniä pyörteitä

39 Andrei Kolmogorov ( )

40 LES:n periaate Lasketaan virtauskenttä ajasta riippuvana, ajan suhteen tarkasti, lukuun ottamatta hilakoon suuruisia pyörteitä. Turbulenssin synnyttämät näennäiset jännitykset tulevat automaattisesti laskettua. Suodatetaan liikeyhtälöt siten, että muodostetaan tasoitettu arvo integroimalla tarkasteltavan kopin ja naapurikoppien yli käyttäen jotain painokerrointa. Hilakoon suuruusluokkaa olevien pyörteiden vaikutus jännityksiin mallinnetaan (alihilajännitys): Alihilajännitys voidaan yrittää laskea Boussinesq approksimaatiota käyttäen

41 Smagorinsky (1963) ehdotti pyörreviskositeetille lauseketta missä parametria C s kutsutaan Smagorinskyn vakioksi, Δ on pituusmittakaava ja ja Pituusmittakaava riippuu koppikoosta ja valitaan esimerkiksi seuraavasti: = 3 V missä V on kopin tilavuus. Smagorinskyn vakion arvo näyttää riippuvan virtaustapauksesta: C s = 0,08 0,23 Lisäksi lähellä seinämää vakion arvon täytyy pienentyä C s s0 + ( 1 exp( / 25) ) = C z

42 Joseph Smagorinsky ( )

43 Joseph V. Boussinesq ( )

44 LES:in etuja 1. Mallitus koskee vain pienen mittakaavan pyörteitä (lähes isotrooppisia) 2. Menetelmä sallii epästationaarien 3-ulotteisten virtausten laskennan LES:n haittapuolia 1. On kallis, erityisesti seinämään rajoittuvissa virtauksissa verrattuna RANS-laskentaan 2. Numeerisen diskretoinnin virhe voi vaikuttaa tuloksiin voimakkaasti

45 Vertailu LES:n ja RANS:in välillä Tasolevyllä turbulentti rajakerrosvirtaus, johon osuu tiivistysaalto heijastuen siitä LES RANS Kuvassa lämpötilajakautumat T/T

46 DNS:n ja LES:n vertailu Tarvittava koppimäärä kanavirtauksen laskemiseksi Uh/ν u τ h/(2ν) N DNS N LES ,7x10 6 6,1x ,0x10 7 3,0x ,5x10 8 1,0x ,1x10 9 1,0x10 8 LES: isot pyörteet tulee kuvattua ja pienet mallitetaan LES vie 5 % -10 % CPU aikaa verrattuna DNS:än Lähde: Rogallo and Moin 1984

47 Transitio: laminaarista turbulentiksi Kriteerejä putkivirtauksen muuttumisesta laminaarista turbulentiksi tutki O. Reynolds Rajakerroksen muuttumista laminaarista turbulentiksi yritettiin tutkia pienten, rajakerrosvirtaukseen superponoitujen harmonisten nopeushäiriöiden kasvua/vaimentumista seuraamalla (Orr-Sommerfeldin yhtälöt 1907, 1908). Vasta 1929 ratkaisu tasolevylle (W. Tollmien) ja 1932 painegradientin tapauksessa (H. Schlichting). Kun Reynoldsin luku tarpeeksi suuri, harmoniset nopeusheilahtelut kasvavat eräästä kohdasta (neutraalikohta) myötävirtaan kulkiessaan Tollmien-Schlichting aallot. Luultiin että teorian ennustama neutraalikohta eli kriittinen kohta olisi lähellä transitiokohtaa. Näin ei kuitenkaan yleensä ole, vaan esim. tasolevyn rajakerroksen transitiokohdassa Re x 3*10 6 kun neutraalikohdassa Re x 10 5, jos tulovirtauksen turbulenssiaste on pieni.

48 Osborne Reynoldsin putkivirtauskoe 1883

49 Osborne Reynolds ( )

50 Hermann Schlichting ( )

51 Rajakerroksen transitio Kehitetty erilaisia neutraalikohdan ja transitiokohdan välisen etäisyyden määrittäviä keinoja. Etäisyys riippuu ulkoisen virtauksen painegradientista ja ulkoisen virtauksen turbulenssiasteesta. Yksinkertaisimmilla menetelmillä transitiokohdan Re θ on funktio paikallisesta λ:sta ja turbulenssiasteesta. 2 θ du λ = ν ds Lentokoneen siiven transitiokohdan määrittämiseen on käytetty tarkempia menetelmiä, joista e n -menetelmä on todettu parhaaksi. Suora simulointi on ainoa tarkka tapa, mutta se ei ole käyttökelpoinen muuta kuin tutkimuksessa. Aivan liian raskas.

52 Menterin ja Langtryn menetelmä Estetään turbulenssin kineettisen energian tuotto laminaarissa alueessa. Tuottotermi kerrotaan turbulenssin ajoittaisuudella (intermittency) γ. Transitioalueessa γ kasvaa 0 1 Transitioalue alkaa kun Re θ > Re θc (kriittinen eli neutraalikohdan Reynoldsin luku) Kriittinen Re θ -luku on funktio parametrista λ ja turbulenssiasteesta 2 θ du λ = ν ds Reynoldsin luku Re θ voidaan laskea likikaavasta Re θ = 2 ρy u max( ) µ y 2,193

53 Menterin ja Langtryn menetelmä, jatkoa Perustuu kahden kuljetusyhtälön integrointiin: - Yhtälö turbulenssin ajoittaisuudelle γ - Transition alkaminen liikemääräpaksuuteen referoidun Re θt -luvun perusteella missä muuttuu rajakerroksen sisällä ja on rajakerroksen ulkopuolella = Re θt Re θt on funktio λ:sta ja turbulenssiasteesta. Käytetyt yhtälöt eivät yritä mallittaa fyysisiä transitioprosesseja vaan muodostavat keinon implementoida transitiokorrelaatioita yleiskäyttöisiin CFD-koodeihin. Käytetään vain paikallisia muuttujan arvoja. ( ) ( ) = + j f t j j j x x E P E P x U t γ σ µ µ ρ ργ γ γ γ γ ( ) ( ) ( ) + + = + j t t t j t j t j t x x P x U t θ θ θ θ θ µ µ σ ρ ρ e R ~ R ~ e R ~ e R ~ e θt

54 Osa tuuliturbiinin siipiprofiilin laskentahilasta

55 Langtry Tuuliturbiinin siipiprofiilin transitiokohta eri kohtauskulmilla. Xfoil on paneelimenetelmää ja rajakerrosteoriaa käyttävä siipiprofiilien laskumenetelmä

56 Langtry Tuuliturbiinin siipiprofiilin vastuskerroin eri kohtauskulmilla

57 Automaattinen muodon suunnittelu, muodon optimointi Tulossa tärkeäksi osaksi suunnitteluprosessia. Tämä on nyt käytännössä mahdollista, koska laskentakapasiteetti on riittävästi kehittynyt. Perinteinen suunnittelu: lasketaan virtaus valitulle geometrialle ja reunaehdoille, ja järkeillään tulosten perusteella, mitä pitäisi tehdä. Nyt perinteisen yrityksen ja erehdyksen menetelmän asemasta voidaan muodon optimointi automatisoida.

58 Yksinkertaisin optimointimenettely Määritellään muoto suunnitteluparametrien joukolla, jotka voivat olla painokertoimia α i, joita sovelletaan muotofunktioihin b i (x): α i f ( x) = b ( x) i Käytetään jotain sakkofunktiota, esimerkiksi lentokoneen tapauksessa vastuskerrointa, joka on parametrien α i funktio. Sakkofunktion avulla saadaan selville, mihin suuntaan muotoa on muutettava eri laskentakierroksilla. Sakkofunktio I voisi olla esimerkiksi vastuskerroin annetulla nostovoimakertoimella. I on siten α i :n funktio: I I( α i + δα i) I( α i ) = α i δαi Gradienttivektoria I/ α voidaan nyt käyttää määrittämään parannuksen suunta. Tehdään askel negatiiviseen suuntaan α = α λ α n + 1 n I Tämä menettely voi kuitenkin tulla liian työlääksi.

59 Käänteinen ongelma Valitaan jonkin virtaussuureen arvo ja haetaan sitä vastaavaa geometriaa. Puhutaan käänteisprobleemasta. Aerodynamiikassa valitaan esimerkiksi painejakautuma ja haetaan sitä vastaava geometria. Suunnittelija usein tietää, mikä on hyvä painejakautuman muoto. Valitettavasti valittua painejakautumaa vastaavaa fyysistä muotoa ei välttämättä ole. Ongelma voidaan kiertää siten, että käänteisprobleema formuloidaan optimointiprobleeman erikoistapauksena. Sakkofunktiona I olisi tällöin I = S ( p p d ) 2 ds missä p d on valittu painejakautuma, p löydettyä muotoa vastaava paine ja S on kappaleen pinta-ala. Haittapuolena tässä on se, että nyt tulee lisää optimointiprosessista johtuvaa laskentatyötä.

60 Säätöteorian soveltaminen optimointiongelmaan (Adjoint based optimisation) Kolmas ja ilmeisesti tehokkain tapa on säätöteorian soveltaminen muodon optimointiprosessiin. Kehittäneet mm. O. Pironneau (1974) ja A. Jameson (1988). Menetelmässä muodostetaan virtausyhtälöille liittoyhtälöt, joiden kertoimet riippuvat virtaussuureista. Liittofunktion ratkaisu antaa sakkofunktion herkkyyden pinnan normaalin suuntaiseen siirtymään nähden eli sakkofunktion gradientin kussakin pinnan hilapisteessä. Gradientin arvon perusteella siirretään seinämää ja saadulle uudelle kappaleelle lasketaan virtaus sekä jälleen liittofunktio ja gradientti. Iteraatiota jatketaan kunnes gradientti 0.

61 ), ( F w I I = Olkoon sakkofunktio I missä w on virtausmuuttuja ja F hilamuuttuja R(w,F) = 0 on virtausyhtälöt Määritellään liittofunktio ψ siten että w I w R T = ψ jolloin F F R F I I T δ ψ δ = kertoo pinnan hilan muutoksen herkkyyden sakkofunktioon

62

63 Adjoint based optimisation, jatkoa Menettelyä on sovellettu kokonaisen lentokoneen muodon optimointiin sekä kitkattomassa että kitkallisessa virtauksessa. Esimerkiksi tavoitteena on ollut vastuksen minimointi matkalentotilanteessa, jossa nostovoimakerroin kiinnitetty. Lisäksi reunaehtoina on ollut tiettyjä vaatimuksia siiven paksuudelle. Muita sovellutuksia auton aerodynamiikka (esim. C. Othmer 2006) sisäpuolisissa virtauksissa: kanavan muodon optimointi kanavavirtauksessa tavoitteena pienet häviöt ja tasainen nopeusjakautuma kanavan ulosvirtauksessa.

64 Siiven painejakautuma 3 eri optimointikierroksella (0, 10 ja 20) [A. Jameson, 2001]

65 Auton pinnan eri kohtien siirtymien herkkyys auton ilmanvastukseen. Punainen väri vastaa voimakkainta herkkyyttä. [C. Othmer, 2006]

66 [C. Othmer, 2006] Virtaus auton keulan ohitse.

67 Auton etuosan pinnan eri kohtien siirtymien herkkyys auton ilmanvastukseen. Nuolen suunta kertoo siirtymän suunnan ja pituus gradientin suuruuden. [C. Othmer, 2006]

68 Lähteitä 1. John D. Anderson, Modern Compressible Flow With Historical Perspective, 3. edition, McGraw-Hill, Douglas N. Ball, Supercomputing at Boeing Commercial Airplanes. Past Successes and Future Challengers, SC 2003 Conference, High End Computing Revitalization Task Force (HECRTF), Nov Michael B. Giles et al., Algorithm Developments for Discrete Adjoint Methods, AIAA Journal, Vol. 41, No. 2, pp , Antony Jameson, A perspective on computational algorithms for aerodynamic analysis and design. Progress in Aerospace Sciences, Vol 37, No 2, pp , Antony Jameson, Advances in Aerodynamic Shape Optimization, ICCFD3 Toronto, Canada, July 14, Antony Jameson, Computational Fluid Dynamics and Airplane Design: Its Current and Future Impact, Int. Aero. Sci. and Eng. Workshop, Hong Kong, Antony Jameson, Reflections on Four Decades of CFD A Personal Perspective, San Diego, CA, Joseph Katz and Allen Plotkin, Low-Speed Aerodynamics, McGraw-Hill, R.B. Langtry and F.R. Menter, Transition Modeling for General CFD Applications in Aeronautics, 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, Carsten Othmer, CFD Topology and shape optimization with adjoint methods, VDI Fahrzeug- und Verkehrstechnik, 13. Internationaler Kongress, Berechnung und Simulation im Fahrzeugbau, Würzburg, September 2006.