TAMPEREEN TEKNILLINEN KORKEAKOULU MATEMATIIKKA

Transkriptio

1 TAMPEREEN TEKNILLINEN KORKEAKOULU MATEMATIIKKA SŠhkštekniikan osasto Matematiikan ohjelmistoraportti 6 Keijo Ruohonen Laadunvalvonnan ja tarkastusotannan suunnittelu MAPLE-ohjelmistolla Tampere 99

2 Sisältöluettelo. JOHDANTO 3. MOMENTTEIHIN PERUSTUVAT SHEWHARTIN KARTAT 3. x -kartta 0. S-kartta 5.3 p-kartta 9.4 c-kartta (eli d-kartta) 3. JÄRJESTYSSTATISTIIKKAAN PERUSTUVAT SHEWHARTIN KARTAT 3. Yleistä 3 3. Integraalien numeerinen lasku R-kartta. R i -kartat. IQR-kartta. Erotuksien x (j) x (i) valvonta MR-kartta. MR i -kartat. Keskeisuureiden ( x (i) + x ( j) ) valvonta Mediaanikartta Ääriarvokartat 5 4. YKSINKERTAINEN ATTRIBUUTTIOTANTA. DODGE ROMIG-KAAVIOT 5 4. Attribuuttiotannan suunnittelu I ja II tyypin virhetodennäköisyyksien avulla Dodge Romig-kaavio (LTPD) Dodge Romig-kaavio (AOQL) 60 KIRJALLISUUTTA

3 . Johdanto Perinteiset Shewhartin laadunvalvontakarttojen * sekä tarkastusotantojen suunnittelutavat pohjautuvat taulukoiden tai approksimaatioiden käyttöön, ks. esimerkiksi viite BLAKE. Toisaalta taulukotkin on aikanaan laskettu approksimaatioita käyttäen. Järjestysstatistiikkaan perustuvien laadunvalvontakarttojen täydellinen suunnittelu vaatii niin työläitä numeerisia laskuja, että sitä ei yleensä ole lainkaan pystytty tekemään, poikkeuksena ehkä mediaanikartta parittomalle valvontaotoskoolle. Näissä tapauksissa on tyydytty kirjallisuudessa mainittuihin riittävän hyviin otoskokoihin n = 4 tai n = 5 sekä ns. kolmosrajoihin. Myöskin S-kartan täydellinen suunnittelu on työläytensä vuoksi jäänyt usein tekemättä. Tekijän mielestä on täysi syy epäillä käytettyjen approksimaatioiden riittävää tarkkuutta. Binomijakauman ja erityisesti Poisson-jakauman approksimointi normaalijakaumalla on eräissä esiintyvissä tilanteissa jo arveluttavaa, samoin usein käytetty binomijakauman Poisson-approksimaatio (tai ekvivalentti χ -approksimaatio). Joissain tilanteissa suunnittelu on herkkä pienillekin muutoksille ja approksimoinnissa pitäisi myös pyrkiä konservatiiviseen suuntaan, ts. varmistaa ainakin suunnittelun pätevyys (vaikka ehkä ei sen optimaalisuutta). Usein mainitaan menetelmät niin paljon varman päälle tehdyiksi, että ne kestävät pienet poikkeamat jakaumien muodossakin. Tätä on vaikea testata, ellei tarkkaa suunnitelmaa ole käytössä. Tekijän mielestä suunnittelu tulisi aina tehdä mahdollisimman tarkasti. Vasta käyttö osoittaa ovatko jakaumaoletukset kyllin tarkasti voimassa. Muutokset voidaan sitten tarvittaessa tehdä tarkan suunnittelun pohjalta. Viime vuosina pieniinkin koneisiin saatavilla olevat matemaattiset työympäristöt tekevät mahdolliseksi laadunvalvontakarttojen ja tarkastusotannan tarkan suunnittelun rutiinioperaationa. Näissä työympäristöissä on hyvin runsaasti erilaisia symbolisen sekä numeerisen laskennan ja grafiikan rutiineja, moninaisia tulostusmahdollisuuksia ja lisäksi yleinen ohjelmoitavuus. Sopivimmaksi tällaiseksi työympäristöksi tekijä on todennut Maplen. Periaatteena on, että käytetään vain Maplen helppokäyttöistä peruskäskystöä eikä lainkaan ohjelmointia. Maplen käytön alkeet oletetaan tässä tunnetuiksi. Myöskään minkäänlaisia approksimaatioita ei hyväksytä, vaan käytetään tarkkoja jakaumia. Maplessa ei valitettavasti (vielä) ole binomijakaumalaskuihin tarvittavaa vajaata betafunktiota, joten siihen liittyvät tehtävät on rat- * Tekijä käyttää mieluummin nimeä valvontakartta (vrt. sanan kartoitus uudempi merkitys) kuin usein esiintyvää nimeä valvontakortti. Varsinaisia laadunvalvontakorttejahan ei enää juurikaan ole käytössä. Maple is trademark of Waterloo Maple Software.

4 kaistava kokeilemalla. Kokeilu on toisaalta aika nopeaa, varsinkin kun rutiinia kertyy, ja antaa myös tuntuman suunnittelun herkkyyteen. Periaatteessa kaikki tällaiset suunnittelut voitaisiin automatisoida käyttäen Maplen ohjelmointikieltä, mutta kokeilu osoittaa, että interaktiivinen työskentely on nopeampaa. Tämä riippuu tietysti myös käytetyn koneen nopeudesta, huomattavasti tässä kokeiltaessa käytettyä konetta * nopeammalla koneella suunnittelun automatisointi olisi hyvinkin tehtävissä. Kokeiltavaksi valittiin tässä tavalliset momentteihin perustuvat Shewhartin laadunvalvontakartat (x - -kartta sekä sen eksoottisempia muunnelmia, S- kartta, p-kartta ja c-kartta) sekä erityisesti järjestysstatistiikkaan perustuvat kartat (perinteiset R-kartta ja mediaanikartta, harvinaisemmat ääriarvokartat ja vaihtelukeskipistekartta sekä eräitä muunnelmia). Tarkastusotantamenetelmistä valittiin kokeiltaviksi perinteiset Dodge Romig-tyyppiset yksinkertaiset attribuuttiotannat. Kaikki valitut suunnittelutehtävät voitiin ratkaista Maplella varsin kohtuullisella vaivalla. On vaikea sanoa johtuuko eräiden menetelmien vähäinen tai olematon käyttö tai käyttö vain lisukkeena niiden täydellisen suunnittelun suuresta työläydestä vai onko näiden menetelmien käyttöalue todella näin kapea. Joka tapauksessa ne voidaan moderneissa matemaattisissa työympäristöissä toimien nyt suunnitella täydellisesti aivan rutiininomaisesti. Samoin on nyt helppoa kokeilla ja suunnitella lukuisia muunnelmia tunnetuista menettelyistä. Grafiikan kivuton käyttö nopeuttaa kokeilua tuntuvasti. Käytössä ollut Maplen versio on Maple V Kokeilun aikana tuli esiin joitain ohjelmointivirheitä, joista valmistaja on tietoinen. Seuraavassa piakkoin ilmestyvässä ohjelmaversiossa nämä on toivon mukaan korjattu. * Macintosh IIfx, jonka kellotaajuus on 40 MHz

5 . Momentteihin perustuvat Shewhartin kartat. x -kartta Tavanomaisen x - -kartan suunnittelu on yleensä varsin helppoa eikä Maplen käytöstä ole ratkaisevaa apua. Valvottavan suureen keskiarvo ξ ja hajonta σ oletetaan tunnetuiksi, jolloin valvontaotoskeskiarvon x - odotusarvo ja varianssi ovat E(x - ) = ξ ja V(x - ) = σ n. n on valvontaotoksen koko. Ns. k-rajat (k > 0) ovat ξ ± k σ n. Jos n on vähääkään isompi usein käytännössä jo n = k Φ(k) 4,5 riittää hyvin on x - jakautunut likimain (tarkastikin, jos mitattava suure on normaalijakautunut) normaalisti yo. odotusarvolla ja varianssilla. Näin ollen saadaan todennäköisyys x - :n pysymiselle k-rajojen välillä (oheisessa taulukossa on eräitä valintoja): P x ξ < k σ n =Φ(k) Φ( k) = Φ(k). x - -kartta valvoo keskiarvon ξ siirtymää. Oletetaan, että valmistusprosessin vioittuminen ilmenee keskiarvon siirtymänä (ainakin) arvoon ξ + σ, missä on tunnettu positiivinen tai negatiivinen luku. Käytettäessä k-rajoja x - -kartassa on I tyypin virheen ( väärä hälytys ) todennäköisyys α=p x ξ k σ n = P x ξ < k σ n = Φ(k) +Φ( k) = ( Φ(k) ), joka ei riipu valvontaotoksen koosta. Laskettaessa II tyypin virheen ( ei hälytystä, vaikka pitäisi ) todennäköisyyttä β oletetaan keskiarvon olevan ξ + σ hajonnan pysyessä samana. β riippuu sekä n:stä että :sta (ja tietysti k:sta, mutta k määräytyy α:sta) 3

6 β=p x ξ < k σ n =Φ(k n) Φ( k n). x - -kartan suunnittelu annetuille α:lle ja β:lle tapahtuu seuraavasti: ) Valitaan k siten, että α = ( Φ(k)) eli k = Φ ( α ). ) Valitaan sen jälkeen n siten, että β =Φ(k n) Φ( k n) ja pyöristetään ylöspäin kokonaisluvuksi. Suunnittelu onnistuu, jos β < α, kuten tietysti yleensä on. Maple ratkaisee suunnittelutehtävän helposti: with(stats):alfa:=0.0;beta:=0.05;delta:=.5;ksii:=0.5;sigma:=.5; alfa :=.0 beta :=.05 delta :=.5 ksii := 0.5 sigma :=.5 k:=fsolve(n(kk)=-alfa/,kk); k := n:=trunc(fsolve(n(k-delta*sqrt(nn))-n(-k-delta*sqrt(nn))=beta,nn))+; n := 8 ylaraja:=evalf(ksii+k*sigma/sqrt(n));alaraja:=evalf(ksii-k*sigma/sqrt(n)); ylaraja := alaraja := oikeabeta:=n(k-delta*sqrt(n))-n(-k-delta*sqrt(n)); oikeabeta := Komento with(stats) lataa tilastopaketin, jota kautta standardinormaalijakautuman kertymäfunktio N tulee käyttöön. Yllä olevasta esimerkistä käy ilmi suunnittelun herkkyys β:n suhteen: Koska valvontaotoskoko n on kokonaisluku, voi pyöristys muuttaa oikeaa β:n arvoa huomattavasti alkuperäistä pienemmäksi (n kasvaa β:n pienetessä). Lisäksi vioittumisen aiheuttaman valvontasuureen keskiarvon muutoksen kiinnittäminen arvoon ξ + σ, vaikka poikkeama olisi suurempikin, johtaa usein liian suureen valvontaotoksen kokoon. β:n riippuvuus :sta ja n:stä voidaan saada esittää graafisesti Maplea käyttäen. Käskyt 4

7 with(stats):beta:=n(3-delta*sqrt(n))-n(-3-delta*sqrt(n)): plot3d(beta,delta=-..,n=0..0,axes=boxed); antavat kuvion n delta jossa on käytössä arvo k = 3 ( kolmosrajat ). Poikkileikkauksen, jossa n = 5, saa käskyllä 5

8 plot(subs(n=5,beta),-..); Maksimiarvo on α. Maplea käyttäen voidaan ottaa käyttöön mutkikkaampiakin x - -kartan suunnitteluja. Käsitellään esimerkkinä kaksi tällaista. ESIMERKKI. Suunnitellaan x - -kartta tapauksessa, jossa virhepoikkeamalla on jakauma, ts. se käsitetään satunnaismuuttujaksi, jolla on tunnettu tiheysfunktio f(δ). Tämä ottaa paremmin huomioon sen, että prosessin vioittuessa valvontasuuren keskiarvo ei yleensä asetu mihinkään ennalta määrättyyn tarkkaan arvoon. Kokonaistodennäköisyyskaavan nojalla tällöin β = (Φ(k δ n) Φ( k δ n))f(δ)dδ. Valitaan ensin välille [.5,] tasajakautunut, jolloin, kun.5 δ f(δ) = 0, kun δ <.5 tai δ >. Suunnittelu johtaa nyt pienempään valvontaotoksen kokoon n = 6: with(stats):alfa:=0.0;beta:=0.05;ksii:=0.5;sigma:=.5; alfa :=.0 beta :=.05 ksii := 0.5 sigma :=.5 k:=fsolve(n(kk)=-alfa/,kk); k := n:=trunc(fsolve(*int(n(k-d*sqrt(nn))-n(-k-d*sqrt(nn)),d=.5..)=beta,nn))+; n := 6 ylaraja:=evalf(ksii+k*sigma/sqrt(n));alaraja:=evalf(ksii-k*sigma/sqrt(n)); ylaraja := alaraja := oikeabeta:=*int(n(k-d*sqrt(n))-n(-k-d*sqrt(n)),d=.5..); oikeabeta := Jos :n jakauma on mutkikkaampi, ei valvontaotoskokoa n voida suoraan ratkaista, vaan se etsitään kokeilemalla. Esimerkkinä valitaan :n jakaumaksi normaalijakauma N(µ,σ ), missä µ =.8 ja σ = 0.. 6

9 with(stats):alfa:=0.0;beta:=0.05;myy:=.8;ksii:=0.5;sigma:=.5;sigmad:=0.; alfa :=.0 beta :=.05 myy :=.8 ksii := 0.5 sigma :=.5 sigmad :=. k:=fsolve(n(kk)=-alfa/,kk);n:=:fii:=diff(n(d,myy,sigmad^),d): k := evalf(int((n(k-d*sqrt(n))-n(-k-d*sqrt(n)))*fii,d=-infinity..infinity))<=beta; <=.05 n:=n+; n := 6 ylaraja:=evalf(ksii+k*sigma/sqrt(n));alaraja:=evalf(ksii-k*sigma/sqrt(n)); ylaraja := alaraja := ESIMERKKI. Toisena esimerkkinä katsotaan tapausta, jossa valvontasuureella on eksponenttijakauma, jonka tiheysfunktio on f(y) = λe λy, kun y 0 0, kun y < 0. Parametri λ on tällöin /ξ. Valvontaotokseen tulleiden arvojen x,,x n summalla on tunnetusti gammajakauma, jonka tiheysfunktio on Näin ollen x - :n tiheysfunktio on λ n y n (n )! e λy, kun y 0 0, kun y < 0. λ n n n z n g(z) = (n )! e λnz, kun z 0 0, kun z < 0. Luonnollisesti odotusarvo on ξ = /λ. x - :n varianssi on ξ /n, joten valvontarajat (k-rajat) kaksipuolisessa valvonnassa ovat 7

10 ξ + k ξ = n λ + k λ n max(0,ξ k ξ ) = n max(0, λ k λ ). n Yläpuolisessa valvonnassa otetaan vain ylempi raja käyttöön ja alapuolisessa alempi. Molempia mahdollisuuksia voi esiintyä, sillä eksponenttijakauma esiintyy tyypillisesti esimerkiksi palveluaikojen tai vioittumisaikojen jakaumana. Kaksipuolinen valvonta on kuitenkin yleensä suositeltavaa, sillä yksiparametrisena jakaumana eksponenttijakauman varianssi riippuu odotusarvosta ja valvontasuureen keskiarvon muutokset muuttavat valvontavälin leveyttä. z Kertymäfunktio G(z) = g(x)dx on lausuttavissa tunnetun Maplenkin osaaman erikoisfunktion, ns. vajaan gammafunktion γ(a,x) avulla: G(z) = 0 (n )! γ(n,λnz). I tyypin virheen todennäköisyys on nyt α= G λ + k λ n + G max 0, λ k λ n = (n )! γ ( n,n+ k n )+ (n )! γ ( n,max( 0, n k n) ). Laskettaessa II tyypin virheen todennäköisyyttä β oletetaan prosessin vioittuessa valvontasuureen keskiarvon siirtyvän arvoon ξ + ξ, missä on tunnettu luku (ja tietysti > ). Vastaavasti λ siirtyy arvoon λ/( + ) ja β= ( ) n n n z n e n λ λ +k λ n λ + z + dz (n )! max 0, λ k λ n ( ) ( ) = (n )! γ n, max 0, n k n + (n )! γ n, + n + k n. x - -kartan suunnittelu Maplella tapahtuu kokeilemalla n:n arvoja laskien annettua α:a vastaava k, sijoittamalla se β:n lausekkeeseen, laskemalla β ja vertaamalla sitä annettuun arvoon. Jos annettu arvo on pienempi, lisätään n:n arvoa yhdellä ja jatketaan. alfa:=0.0;beta:=0.05;delta:=.;ksii:=0.4;lambda:=/ksii; alfa :=.0 beta :=.05 8

11 delta :=. ksii := 0.4 lambda := n:=: k:=fsolve(gamma(n,n+kk*sqrt(n))/factorial(n-)+-gamma(n,max(0,nkk*sqrt(n)))/factorial(n-)=alfa,kk); k := evalf(gamma(n,max(0,n-k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-)- GAMMA(n,(n+k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-))<=beta; <=.05 n:=n+; n := 8 ylaraja:=evalf(ksii+k*ksii/sqrt(n));alaraja:=evalf(max(0,ksiik*ksii/sqrt(n))); ylaraja := alaraja := β:n riippuvuus :sta on hieman erilaista kuin tavallisilla x - -kartoilla. β:n kuvaaja :n funktiona, kun n = 7 ja k = ( kakkosrajat ) delta saadaan käskyillä n:=7;k:=; 9

12 n := 7 k := plot(gamma(n,max(0,n-k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-)-gamma(n,(n+ k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-),delta=-..3); Kuvaajasta huomataan, että β:n maksimiarvo on suurempi kuin α ja se saavutetaan eräällä negatiivisella :n arvolla. Maplen avulla maksipiste ja -arvo on helppo laskeakin: derivaatta:=diff(gamma(n,max(0,n-k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-)- GAMMA(n,(n+k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-),delta): maxpiste:=fsolve(derivaatta,delta,-..0); maxpiste := maxarvo:=evalf(subs(delta=maxpiste,gamma(n,max(0,n-k*sqrt(n))/(+delta))/ factorial(n-)-gamma(n,(n+k*sqrt(n))/(+delta))/factorial(n-))); maxarvo := Tämä merkitsee sitä, että negatiivisilla :n arvoilla tarvitaan suuria valvontaotoksen kokoja. (Ilmiö on tuttu luotettavuusteoriasta: vioittumisaikaa koskevien hypoteesien testaaminen johtaa paljon suurempiin otoskokoihin kuin mihin laadunvalvonnassa on tavallisesti totuttu.). S-kartta Karttasuureena on otoshajonta s. Mikäli valvontasuure on normaalisti jakautunut hajonnalla σ, on (n )s /σ tunnetusti χ -jakautunut vapausastein n, ts. sen tiheysfunktio on n 3 n g(z) = Γ( n ) z e z, kun z 0 0, kun z < 0. Vastaava kertymäfunktio on näin ollen lausuttavissa vajaan gammafunktion avulla (ks. s. 8) s:n odotusarvo ja varianssi ovat G(z) = Γ n ( ) γ n, z. 0

13 E(s) =σ ( ) ( ) Γ n Γ n n = c 4 σ ja V (s)=σ n Γ( n ) ( ) Γ n = c 5 σ. Valvontarajat (k-rajat) ovat B 5 σ = max(0,c 4 kc 5 )σ B 6 σ = (c 4 + kc 5 )σ. Alarajaa ei aina käytetä. Pelkän alarajan valvonta taas on varsin harvinaista. Kaksipuolinen valvonta on kuitenkin suositeltavaa, sillä s:n jakauma on yksiparametrinen ja valvontasuureen keskiarvon muutokset muuttavat valvontavälin leveyttä. Hajonnan pieneneminen voi toisaalta sekin olla merkki prosessin vioittumisesta ( jumiutuminen ). I lajin virheen todennäköisyys on α = P(B 5 σ < s < B 6 σ) = Γ n ( ) γ n, n B 6 + Γ n ( ) γ n, n B 5. Prosessin vioittuessa σ siirtyy (ainakin) arvoon σ + σ, missä on annettu luku (tietysti > ). Laskettaessa II lajin virheen todennäköisyyttä β ajatel-laan σ:n siirtyneen tarkastikin arvoon σ + σ: β = P(B 5 σ < s < B 6 σ) = Γ n γ n, n (+ ) B 5 Γ( n ) γ n, n (+ ) B 6. Usein S-karttaa käytetään x - -kartan kylkiäisenä hajontaa valvomassa, ellei muusta syystä, niin ainakin x - -kartan laadinnassa tehtyjen oletusten voimassaoloa seuraamassa (x - ja s ovat riippumattomat). S-kartan suunnittelu edellyttää tässä tapauksessa vain k:n arvon etsimistä ja se voidaan tehdä kiinnittämällä joko α tai β (molempiahan ei voida kiinnittää yhtaikaa). Jos kiinnitetään α, suunnitellaan kartta Maplella seuraavasti ( annetaan vain jos halutaan laskea β): alfa:=0.05;n:=6;sigma:=3.75;delta:=.95;

14 alfa :=.05 n := 6 sigma := 3.75 delta :=.95 c4:=gamma(n/)*sqrt(/(n-))/gamma((n-)/):c5:=sqrt(-c4^): b5:=max(0,c4-kk*c5):b6:=c4+kk*c5: k:=fsolve(gamma((n-)/,(n-)/*b6^)/gamma((n-)/)+-gamma((n-)/,(n- )/*b5^)/gamma((n-)/)=alfa,kk); B5:=max(0,c4-k*c5):B6:=c4+k*c5: k := alaraja:=evalf(b5*sigma);ylaraja:=evalf(b6*sigma); alaraja := ylaraja := beta:=evalf(gamma((n-)/,(n-)/*b5^/(+delta)^)/gamma((n-)/)-gamma((n- )/,(n-)/*b6^/(+delta)^)/gamma((n-)/)); beta := Joskus taas halutaan kiinnittää nimenomaan β:n arvo: beta:=0.5;n:=6;sigma:=3.75;delta:=.95; beta :=.5 n := 6 sigma := 3.75 delta :=.95 c4:=gamma(n/)*sqrt(/(n-))/gamma((n-)/):c5:=sqrt(-c4^): b5:=max(0,c4-kk*c5):b6:=c4+kk*c5: k:=fsolve(gamma((n-)/,(n-)/*b5^/(+delta)^)/gamma((n-)/)-gamma((n- )/,(n-)/*b6^/(+delta)^)/gamma((n-)/)=alfa,kk); B5:=max(0,c4-k*c5):B6:=c4+k*c5: k := alaraja:=evalf(b5*sigma);ylaraja:=evalf(b6*sigma); alaraja := ylaraja := alfa:=evalf(gamma((n-)/,(n-)/*b6^)/gamma((n-)/)+-gamma((n-)/,(n- )/*B5^)/GAMMA((n-)/)); alfa := Tuloksena on useinkin suurehko α.

15 S-karttaa ei ole käytetty kovinkaan paljon yksinään. Eräs tilanne, jossa tämä tulee kyseeseen, on esimerkiksi pohjamateriaalien paksuuden valvonta. Systemaattiset erot paksuudessa ovat käyttäjän hoidettavissa asetuksia muuttamalla, mutta suuri hajonta ei. Ellei valvontaotoskoko n ole kiinnitetty, voidaan S-kartta suunnitella samaan tapaan kuin eksponenttijakauman x - -kartta edellisen pykälän Esimerkissä. alfa:=0.05;beta:=0.08;sigma:=3.75;delta:=.95; alfa :=.05 beta :=.08 sigma := 3.75 delta :=.95 n:=: c4:=gamma(n/)*sqrt(/(n-))/gamma((n-)/):c5:=sqrt(-c4^): b5:=max(0,c4-kk*c5):b6:=c4+kk*c5: k:=fsolve(gamma((n-)/,(n-)/*b6^)/gamma((n-)/)+-gamma((n-)/,(n- )/*b5^)/gamma((n-)/)=alfa,kk); B5:=max(0,c4-k*c5):B6:=c4+k*c5: k := evalf(gamma((n-)/,(n-)/*b5^/(+delta)^)/gamma((n-)/)-gamma((n-)/,(n- )/*B6^/(+delta)^)/GAMMA((n-)/))<=beta; <=.08 n:=n+; n := 6 alaraja:=evalf(b5*sigma);ylaraja:=evalf(b6*sigma); alaraja := ylaraja := β:n kuvaaja :n ja n:n funktiona tapauksessa k = sekä sen poikkileikkaus, joka syntyy, kun n = 7, saadaan käskyillä k:=:c4:=gamma(n/)*sqrt(/(n-))/gamma((n-)/):c5:=sqrt(-c4^): B5:=max(0,c4-k*c5):B6:=c4+k*c5: plot3d(gamma((n-)/,(n-)/*b5^/(+delta)^)/gamma((n-)/)-gamma((n- )/,(n-)/*b6^/(+delta)^)/gamma((n-)/),delta=-..,n=0..0, axes=boxed); n:=7: plot(gamma((n-)/,(n-)/*b5^/(+delta)^)/gamma((n-)/)-gamma((n-)/,(n- )/*B6^/(+delta)^)/GAMMA((n-)/),delta=-..); Kuvista nähdään, että S-kartta myös käyttäytyy samaan tapaan kuin mainitussa Esimerkissä käsitelty eksponenttijakautuneen valvontasuureen x - -kartta: 3

16 n delta delta

17 .3 p-kartta p-karttaa muodostettaessa todetaan n:n suuruisista valvontaotoksista niissä esiintyvien kelvottomien tuotteiden lukumäärä D. Valmistusprosessin ollessa kontrollissa syntyy kelvottomia tuotteita tietyllä (pienellä) todennäköisyydellä θ. D:llä on silloin binomijakauma odotusarvolla nθ ja varianssilla nθ( θ). Kelvottomien tuotteiden suhteellinen osuus on p = D/n. p:n odotusarvo ja varianssi ovat E(p) = θ ja V(p) = θ( θ)/n. p-kartan valvontarajat (k-rajat) ovat max 0,θ k min,θ+k n θ( θ) n θ( θ). Alarajaa ei useinkaan käytetä, mutta sen käyttö on suositeltavaa. Muodostetaan p-kartalle I tyypin virheen todennäköisyys α ja II tyypin virheen todennäköisyys β. β:a laskettaessa oletetaan prosessin vioittuessa θ:n arvon muuttuvan arvoon θ + θ, missä on tunnettu positiivinen tai negatiivinen luku (ja tietysti < < + /θ). Silloin ja α= P θ k n θ( θ) < p <θ+k n θ( θ) = P( nθ k nθ( θ) < D < nθ+k nθ( θ) ) β=p θ k n θ( θ) < p <θ+k n θ( θ) = Pnθ ( k nθ( θ) < D < nθ+k nθ( θ) ) saadaan laskettua binomijakauman avulla, α:lle P(D = d) = n d θd ( θ) n d ja β:lle 5

18 P(D = d) = n d (θ + θ)d ( θ θ) n d. p-kartan valvontaotoskoko on yleensä huomattavasti suurempi kuin esimerkiksi x - -kartan. Usein valvontaotoskoko n on ennalta määrätty (tarkastetaan kokonaan tietty tuote-erä). Kartta suunnitellaan tällöin käyttämällä ensin normaaliapproksimaatiota ja korjaamalla sitten tarvittaessa suunnitelmaa kokeilemalla lähistöllä olevat k:n arvoyhdelmät. * (Useimmiten korjaamista on vähän tai ei lainkaan.) Approksimatiivisesti nimittäin α ( Φ(k)) ja β Φ k θ nθ k θ nθ Φ (+ )( θ θ) (+ )( θ θ). Kun n:n arvo on kiinteä, k:lle riittää tällöin katsoa arvoja nθ( θ) :n välein. Mikäli α:n arvo on annettu ja samoin valvontaotoskoko n, suunnitellaan p-kartta Maplea käyttäen seuraavalla tavalla ( :a ei anneta, ellei haluta laskea β:n arvoa): with(stats):alfa:=0.0;n:=60;theta:=0.04;delta:=3.5; alfa :=.0 n := 60 theta :=.04 delta := 3.5 k:=fsolve(n(kk)=-alfa/,kk); k := a:=max(0,trunc(n*theta-k*sqrt(n*theta*(-theta)))+);y:=min(n,trunc(n*theta +k*sqrt(n*theta*(-theta)))); a := 0 y := 6 -sum(binomial(n,d)*theta^d*(-theta)^(n-d),d=a..y)<=alfa; <=.0 k:=k+/sqrt(n*theta*(-theta)); k := * Valitettavasti Maplessa ei ainakaan toistaiseksi ole valmiina suunnitteluun erityisen hyvin sopivaa työkalua, nimittäin ns. vajaata betafunktiota. 6

19 k:=k-/sqrt(n*theta*(-theta)); beta:=sum(binomial(n,d)*(theta*(+delta))^d*(-theta*(+delta))^(n-d),d=a..y); beta := alaraja:=max(0,theta-k*sqrt(theta*(-theta)/n));ylaraja:=min(,theta+ k*sqrt(theta*(-theta)/n)); alaraja := 0 ylaraja := α:n arvo sovitetaan mahdollisimman tarkasti sovittua pienemmäksi. Tässä piti korjata k:n arvoa ylöspäin α:n pienentämiseksi. Jos taas on annettu β:n arvo ja otoskoko n, suunnitellaan p-kartta Maplella seuraavasti: with(stats):beta:=0.0;n:=60;theta:=0.04;delta:=3.5; beta :=.0 n := 60 theta :=.04 delta := 3.5 k:=fsolve(n((kk*sqrt(-theta)-delta*sqrt(n*theta))/sqrt((+delta)*(-theta- delta*theta)))-n((-kk*sqrt(-theta)-delta*sqrt(n*theta))/sqrt((+delta)*(- theta-delta*theta)))=beta,kk); k := a:=max(0,trunc(n*theta-k*sqrt(n*theta*(- theta)))+);y:=min(n,trunc(n*theta+k*sqrt(n*theta*(-theta)))); a := 0 y := 6 sum(binomial(n,d)*(theta*(+delta))^d*(-theta*(+delta))^(n-d),d=a..y) <=beta; <=.0 k:=k+/sqrt(n*theta*(-theta)); k:=k-/sqrt(n*theta*(-theta)); alfa:=-sum(binomial(n,d)*theta^d*(-theta)^(n-d),d=a..y); alfa := alaraja:=max(0,theta-k*sqrt(theta*(-theta)/n));ylaraja:=min(,theta+ k*sqrt(theta*(-theta)/n)); alaraja := 0 ylaraja := Tässä k:n arvoa ei tarvinnut muuttaa. Ellei valvontaotoskokoa n ole annettu, saattaa p-kartan suunnittelu olla varsin työlästä. Normaaliapproksimaatiota voidaan käyttää, mutta se aina välttämättä osu kovinkaan hyvin kohdalleen. Kokeilemalla saatujen k:n ja n:n arvojen lähistöllä olevia arvoja löytyy sentään p-kartta, joka täyttää asetetut vaati- 7

20 mukset. Seuraavassa Maplella toteutettuna eräs tapa etsiä käypä suunnitelma: with(stats):alfa:=0.05;beta:=0.05;theta:=0.075;delta:=.85; alfa :=.05 beta :=.05 theta :=.075 delta :=.85 k0:=fsolve(n(kk)=-alfa/,kk):k:=k0; k := n:=trunc(fsolve(n((k*sqrt(-theta)-delta*sqrt(nn*theta))/sqrt((+delta)*(- theta-delta*theta)))-n((-k*sqrt(-theta)-delta*sqrt(nn*theta))/ sqrt((+delta)*(-theta-delta*theta)))=beta,nn))+; n := 35 a:=max(0,trunc(n*theta-k*sqrt(n*theta*(-theta)))+);y:=min(n,trunc(n*theta +k*sqrt(n*theta*(-theta)))); a := 0 y := 7 -sum(binomial(n,d)*theta^d*(-theta)^(n-d),d=a..y)<=alfa; <=.05 k:=k+/sqrt(n*theta*(-theta)); k := k:=k-/sqrt(n*theta*(-theta)); sum(binomial(n,d)*(theta*(+delta))^d*(-theta*(+delta))^(n-d),d=a..y) <=beta; <=.05 n:=n+;k:=k0; n := 43 k := otoskoko:=n;alaraja:=max(0,theta-k*sqrt(theta*(-theta)/n));ylaraja:= min(,theta+k*sqrt(theta*(-theta)/n)); otoskoko := 43 alaraja := 0 ylaraja := On huomattava, että k:n arvon kertalisäys ja -vähennys riippuu n:n arvosta ja on sitä pienempi mitä suurempi n:n arvo on. α:n arvo jää pienemmäksi kuin vaadittu Otoskokoa edelleen kasvattamalla löytyy mahdollisesti parempikin suunnittelu. 8

21 .4 c-kartta (eli d-kartta) c-karttaa muodostettaessa otetaan otokseen yksi tuote ja etsitään siinä olevien vikojen (tai virheiden) lukumäärä c. Valmistusprosessin ollessa kontrollissa c:llä on Poisson-jakauma parametrillä λ, ts. P(c = l) = λl l! e λ (l = 0,, ) c:n odotusarvo ja varianssi ovat kumpikin λ. c-kartan k-rajat ovat max( 0,λ k λ ) λ+k λ. (mahdollisesti kokonaisluvuiksi pyöristettyinä, alaraja ylöspäin ja yläraja alaspäin). Alarajaa ei useinkaan käytetä. Satunnaisia virheitä voidaan kuitenkin joskus tuottaa tarkoituksellisestikin vaikkapa koristelutarkoituksiin (esimerkiksi roiskemaalauksessa), jolloin sekä alaraja että yläraja ovat tärkeitä. Kaksipuolinen valvonta on yleensäkin suositeltavaa, kuten aina yksiparametrisille kartoille. Muodostetaan c-kartalle I tyypin virheen todennäköisyys α ja II tyypin virheen todennäköisyys β. β:a laskettaessa oletetaan prosessin vioittuessa λ:n arvon muuttuvan arvoon λ + λ, missä on tunnettu positiiviluku (harvoin negatiivinen, jolloin tietysti > ). Silloin ja α = P(λ k λ < c < λ + k λ ) β = P(λ k λ < c < λ + k λ ) saadaan laskettua Poisson-jakauman avulla. β:a laskettaessa P(c = l) = (λ + λ)l l! e λ λ (l = 0,, ). Tunnetusti Poisson-jakauman kertymä voidaan lausua vajaan gammafunktion (ks. s. 8) avulla muodossa m λ l e λ = γ (m +, λ). l! m! l=0 9

22 c-karttaa suunniteltaessa voidaan approksimatiivisesti käyttää vajaata gammafunktiota jatkuvin muuttujin: β ( ) Γλ+k ( λ + ) γλ+k λ +, λ α ( ) Γλ+k ( λ + ) γλ+k λ +, λ+ λ ( ) Γλ k ( λ + ) γ λ k λ +, λ + ( ) Γλ k ( λ + ) γ λ k λ +, λ+ λ (arvot ovat tarkat, jos λ±k λ ovat kokonaislukuja). Molempia todennäköisyyksiä α ja β ei voida kiinnittää yhtaikaa, koska otoskoko on aina.. Mikäli α:n arvo on annettu, suunnitellaan c-kartta Maplea käyttäen seuraavalla tavalla ( :a ei anneta, ellei haluta laskea β:n arvoa): alfa:=0.05;lambda:=49.6;delta:=0.65; alfa :=.05 lambda := 49.6 delta :=.65 k:=fsolve(-gamma(lambda+kk*sqrt(lambda)+,lambda)/gamma(lambda+ kk*sqrt(lambda)+)+gamma(lambda-kk*sqrt(lambda)+,lambda)/gamma(lambdakk*sqrt(lambda)+)=alfa,kk,0..5); k := alaraja:=max(0,trunc(lambda-k*sqrt(lambda))+); ylaraja:=trunc(lambda+k*sqrt(lambda)); alaraja := 36 ylaraja := 63 oikeaalfa:=-sum(lambda^j/factorial(j),j=alaraja..ylaraja)*exp(-lambda); oikeaalfa := beta:=sum((lambda*(+delta))^j/factorial(j),j=alaraja..ylaraja)*exp(- lambda*(+delta)); beta := Jos on annettu β:n arvo, suunnitellaan c-kartta seuraavasti: beta:=0.08;lambda:=49.6;delta:=0.65; beta :=.08 lambda := 49.6 delta :=.65 k:=fsolve(gamma(lambda+kk*sqrt(lambda)+,lambda*(+delta))/gamma(lambda+ kk*sqrt(lambda)+)-gamma(lambda-kk*sqrt(lambda)+,lambda*(+delta))/ GAMMA(lambda-kk*sqrt(lambda)+)=beta,kk,0..5); 0

23 k :=.7609 alaraja:=max(0,trunc(lambda-k*sqrt(lambda))+); ylaraja:=trunc(lambda+k*sqrt(lambda)); alaraja := 3 ylaraja := 68 oikeabeta:=sum((lambda*(+delta))^j/factorial(j),j=alaraja..ylaraja)*exp(- lambda*(+delta)); oikeabeta := alfa:=-sum(lambda^j/factorial(j),j=alaraja..ylaraja)*exp(-lambda); alfa :=

24 3. Järjestysstatistiikkaan perustuvat Shewhartin kartat 3. Yleistä Valvontaotosta x,,x n vastaa järjestetty otos x (),,x (n), ts. otosalkiot suuruusjärjestyksessä muodostavat jonon x () x (n). Laadunvalvontakartoissa käytetään yksittäisten x (i) :iden (esimerkiksi MAX-kartta, MIN-kartta ja mediaanikartta parittomalle n:n arvolle) lisäksi myös erotuksia x (j) x (i) (j > i; esimerkiksi R-kartta) ja keskeissuureita (x (i) + x ( j) ) (esimerkiksi MR-kartta sekä mediaanikartta parilliselle n:n arvolle). Mikäli valvottavan suureen tiheysfunktio on f(y) ja kertymäfunktio F(y), niin x (i) :n tiheysfunktio on tunnetusti (ks. esimerkiksi viite STUART ORD) f (i) (y) = i n i F(y)i ( F(y)) n i f(y). Erikoistapauksissa i = ja i = n saadaan otosminimin ja otosmaksimin tiheysfunktiot f MIN (y) = n( F(y)) n f(y) ja f MAX (y) = nf(y) n f(y). Jos f(y) tunnetaan, saadaan sitä käyttäen (numeerisesti) integroimalla laskettua muotoa E(x (i) ), E(x (j) x (i) ) sekä E (x (i) + x ( j) ) olevat valvontakeskiarvot ja -varianssit V(x (i) ). Edelleen x (i) :n ja x (j) :n (j > i) yhteisjakauman tiheysfunktio on f (i)(j) (y,z) = i(i + ) n j j i + F(y)i (F(z) F(y)) j i ( F(z)) n j f(y)f(z), kun z y ( ja 0 muuten). Erikoistapauksissa i =, j = n ja i = r, j = r + saadaan otosminimin ja otosmaksimin yhteistiheysfunktio f MINMAX (y,z) = n(n )(F(z) F(y)) n f(y)f(z) (kun z y) sekä peräkkäisten otosalkioiden x (r) ja x (r + ) yhteistiheysfunktio f (r)(r + ) (y,z) = r(r + ) n r + F(y)r ( F(z)) n r f(y)f(z) (kun z y).

25 Muunnoksella M = (x (i) + x ( j) ) D = x (j) x (i) saadaan tavalliseen tapaan (x (i) + x ( j) ):n sekä x (j) x (i) :n yhteistiheysfunktioksi f MD (m,d) = i(i + ) n j j i + F(m d/)i (F(m + d/) F(m d/)) j i ( F(m + d/)) n j f(m d/)f(m + d/), kun d 0 (ja 0 muuten). Symmetrisessä erikoistapauksessa j = n i + saadaan f MD (m,d) = i n i i i F(m d/) i (F(m + d/) F(m d/)) n i ( F(m + d/)) i f(m d/)f(m + d/) (d 0). Yhteistiheysfunktiota f MD käyttäen saadaan edelleen (numeerisella) integroinnilla laskettua valvontavarianssit V (x (i) + x ( j) ) sekä V(x (j) x (i) ). Siirrytään tapaukseen, jossa valvottava suure on normaalijakautunut keskiarvolla ξ ja hajonnalla σ, ja muodostetaan kartan suunnitteluun tarvittavat tilastolliset lausekkeet kaikille mainituille karttatyypeille. Silloin F( y) =Φ σ ( y ξ) ja f ( y) = σ φ σ ( y ξ). Aloitetaan x (i) -kartasta ja muodostetaan ensin x (i) :n odotusarvo: E(x (i) ) = σ i n yφ i σ ( y ξ) i Φ n i σ ( y ξ) φ σ ( y ξ) dy = ξ + σi n uφ(u) i i ( Φ(u) ) n i φ(u) du =ξ+e (i) σ. 3

26 Luvut e (i) eivät riipu ξ:stä eikä σ:sta. Huomattakoon, että jos n = r + ja i = r +, niin kyseessä on otosmediaani ja e (i) = 0. Muodostetaan edelleen x (i) :n varianssi: V (x (i) ) = σ i n ( y ξ e i (i) σ) Φ σ ( y ξ) i Φ n i σ ( y ξ) φ σ ( y ξ) dy =σ i n u i Φ(u) i ( Φ(u) ) n i φ(u) du e (i) σ = e(i) σ. Jälleen luvut e (i) eivät riipu ξ:stä eikä σ:sta. x (i) -kartan valvontarajat (k-rajat) ovat E (i) = ξ + e (i) σ ke (i) σ E (i) = ξ + e (i) σ + ke (i) σ. Prosessin vioittuessa oletetaan ξ:n siirtyvän arvoon ξ + σ, missä on tunnettu luku, σ:n pysyessä samana. Näin saadaan lausekkeet x (i) -kartan I ja II tyypin virheille: ja α= σ i n i = i n i = i n i E (i) E (i) Φ σ ( y ξ) i Φ n i σ ( y ξ) φ σ ( y ξ) dy e (i) +ke (i) Φ(u) i Φ(u) e (i) ke (i) n i l=0 ( ) l l+i ( ) n i φ(u) du ( ) n i l Φ(e (i) + ke (i) )l+i Φ(e (i) ke (i) ) l+i β= σ i n i = i n i E (i) E (i) Φ σ ( y ξ σ) i Φ n i ( y ξ σ) σ φ ( y ξ σ) σ dy e (i) +ke (i) Φ(u) i Φ(u) e (i) ke (i) ( ) n i φ(u) du 4

27 = i n i n i l=0 ( ) l l+i ( ) n i l Φ(e (i) + ke (i) )l+i Φ(e (i) ke (i) ) l+i. x (i) -kartta valvoo (heikosti) myös σ:n siirtymää, erityisesti ellei e (i) ole nolla. Jos prosessin vioittuessa ξ pysyy samana, mutta sen sijaan σ siirtyy arvoon σ + σ (missä > ), niin β= i n i ( + e (i) +ke (i) ) + e (i) ke (i) ( ) n i φ(u) Φ(u) i Φ(u) ( ) Erityisen yksinkertaiset lausekkeet α:lle ja β:lle saadaan, kun i = n, mutta myös, kun i = : du. α = (( Φ(e () ke () )) n ( Φ(e () + ke () )) n ) ja β = (( Φ(e () ke () )) n ( Φ(e () + ke () )) n ). x (j) x (i) -kartan valvontasuureen odotusarvo on E(x (j) x (i) ) = E(x (j) ) E(x (i) ) = (e (j) e (i) )σ = d (i)(j) σ. Yhteistiheysfunktion f MD avulla saadaan lauseke x (j) x (i) :n varianssille. Otetaan ensin tarkasteltavaksi keskineliö: E ((x ( j) x (i) ) ) = σ i(i + ) n j d j i + Φ i (m d ξ) σ 0 Φ (m + d ξ) σ Φ j i (m d ξ) σ Φ n j (m + d ξ) σ φ (m d ξ) σ φ (m + d ξ) σ dm dd =σ i(i + ) n j r j i + Φ(u r) i Φ(u) Φ(u r) 0 ( ) j i ( Φ(u) ) n j φ(u r)φ(u)du dr = (d (i)( j) + d 3(i)( j) )σ. 5

28 Näin ollen kysytty varianssi on d 3(i)( j) σ. x (j) x (i) -kartan valvontarajat (k-rajat) ovat D (i)(j) σ = max(0,d (i)(j) kd 3(i)(j) )σ D (i)(j) σ = (d (i)(j) + kd 3(i)(j) )σ. Prosessin vioittuessa oletetaan σ:n siirtyvän arvoon σ + σ (missä luonnollisesti > ). x (j) x (i) -kartan I ja II tyypin virheiden todennäköisyyksille saadaan tällöin laskukaavat: α= i(i + ) n j j i + D (i)( j) D (i)( j) Φ(u r) i ( Φ(u) Φ(u r) ) j i ( Φ(u) ) n j φ(u r)φ(u)du dr ja β=i(i + ) n j j i + + D (i)( j) + D (i)( j) ( ) j i Φ(u r) i Φ(u) Φ(u r) ( Φ(u) ) n j φ(u r)φ(u)du dr. Soveltamalla binomikaavaa ja integroimalla kertaalleen r:n suhteen saadaan lausekkeet, joissa on vain yksinkertainen integrointi: ja α= i(i + ) n j i j Φ(u) j i + ( ) n j ( ) φ(u) l+ j i l+i l l=0 Φ(u D ( (i)( j) ) l+i Φ(u D (i)( j) ) l+i )Φ(u) j i l du β=i(i + ) n j j i + ( Φ(u) ) n j φ(u) j i ( ) l+ l=0 l+i j i l Φ u + D l+i (i)( j) Φ u + D l+i (i)( j) Φ(u) j i l du. 6

29 Erityisen yksinkertaiset nämä integraalit ovat, jos i =, j = i + tai j = n. Tapauksessa i = saadaan ja α= jn Φ(u) Φ(u D j ()( j) ) ( ) j ( Φ(u) Φ(u D ()( j) )) j ( Φ(u) ) n j φ(u)du β= j n j Φ(u) Φ u j + D ()( j) Φ(u) Φ u j + D ()( j) Tapauksessa j = i + saadaan ja α= (i + ) n Φ(u D i + (i)(i+) ) i Φ(u D (i)(i+) ) i ( ) ( Φ(u) ) n j φ(u)du. ( Φ(u) ) n i φ(u)du β=(i + ) n i + Φ u + D i (i)(i+) Φ u + D i (i)(i+) Tapaus j = n on symmetrinen tapauksen i = kanssa: ( Φ(u) ) n i φ(u)du. ja α= i(i + ) n i + D (i)(n) D (i)(n) Φ(u) i Φ(u + r) Φ(u) ( ) n i φ(u)φ(u + r)du dr = i n Φ(u + D i ( (i)(n) ) Φ(u) ) n i Φ(u + D (i)(n) ) Φ(u) ( ) n i Φ(u) i φ(u)du 7

30 β=i(i + ) n i + + D (i)(n) + D (i)(n) ( ) n i φ(u)φ(u + r)du dr Φ(u) i Φ(u + r) Φ(u) = i n Φ u + n i i + D (i)(n) Φ(u) Φ u + n i + D (i)(n) Φ(u) Φ(u) i φ(u)du. Vielä otetaan tarkasteltavaksi (x (i) + x ( j) ) -kartta. Sen odotusarvo on E (x (i) + x ( j) ) = E(x (i) ) + E(x ( j) ) =ξ+ (e (i) + e ( j) )σ=ξ+e (i)( j) σ. Huomattakoon, että symmetrisessä tapauksessa j = n i + (esimerkiksi otosmediaani) e (i)(j) = 0. (x (i) + x ( j) )-kartan varianssi saadaan yhteisjakaumasta: V (x (i) + x ( j) ) = σ i(i + ) n j (m ξ e j i + (i)( j) σ) Φ i (m d ξ) σ 0 Φ (m + d ξ) σ Φ j i (m d ξ) σ Φ n j (m + d ξ) σ φ (m d ξ) σ φ (m + d ξ) σ dm dd =σ i(i + ) n j u j i + Φ(u r ) i ( Φ(u + r ) Φ(u r ) ) j i 0 ( ) n j φ(u r )φ(u + r )du dr e (i)( j) Φ(u + r ) σ = e (i)( j) σ. (x (i) + x ( j) )-kartan valvontarajat (k-rajat) voidaan näin ollen asettaa: E (i)(j) = ξ + e (i)(j) σ ke (i)(j) σ E (i)(j) = ξ + e (i)(j) σ + ke (i)(j) σ. 8

31 Valvottavan prosessin vioittuessa oletetaan ξ:n muuttuvan arvoon ξ + σ, missä on annettu luku. (x (i) + x ( j) )-kartan I ja II tyypin virheiden todennäköisyydet ovat α= σ i(i + ) n j j i + 0 E (i)( j) Φ i (m d ξ) σ E (i)( j) Φ (m + d ξ) σ Φ j i (m d ξ) σ Φ n j (m + d ξ) σ φ (m d ξ) σ φ (m + d ξ) σ dm dd = i(i + ) n j ja vastaavasti β=i(i + ) n j e (i)( j) +ke (i)( j) j Φ(u r ) i + i Φ(u + r ) Φ(u r ) 0 e (i)( j) ke (i)( j) ( ) j i ( Φ(u + r ) ) n j φ(u r )φ(u + r )du dr e (i)( j) +ke (i)( j) j Φ(u r ) i + i Φ(u + r ) Φ(u r ) 0 e (i)( j) ke (i)( j) ( ) j i ( Φ(u + r ) ) n j φ(u r )φ(u + r )du dr. x (i) -kartan tapaan (x (i) + x ( j) )-karttakin valvoo myös σ:n siirtymää, erityisesti jos e (i)(j) 0, vaikkakin heikosti. Jos σ:n arvo siirtyy prosessin vioittuessa arvoon σ + σ (missä > ) ja ξ pysyy samana, saadaan II tyypin virheen todennäköisyydeksi ( ) β=i(i + ) n + e (i)( j) +ke (i)( j) j Φ(u r ) j i + i Φ(u + r ) Φ(u r ) 0 ( + e (i)( j) ke (i)( j) ) ( ) j i ( Φ(u + r ) ) n j φ(u r )φ(u + r )du dr. Kuten x (j) x (i) -kartalle, voidaan myös (x (i) + x ( j) )-kartan α ja β kirjoittaa muotoon, jossa on vain yksinkertainen integrointi. Ensin tehdään muunnos 9

32 s = u + r/, käytetään binomikaavaa ja integroidaan sitten u:n suhteen. Näin saadaan α:lle lauseke α= i(i + ) n j = i(i + ) n j min(e (i)( j) +ke (i)( j),s) j i + Φ(u s) i Φ(s) Φ(u s) e (i)( j) ke (i)( j) e (i)( j) ke (i)( j) j i + e (i)( j) ke (i)( j) Φ min(e (i)( j) + ke (i)( j), s) s ( ) j i ( Φ(s) ) n j φ(s)φ(u s)du ds ( Φ(s) ) n j φ(s) j i l=0 ( ) l l+i ( ) l+i Φ( (e (i)( j) ke (i)( j) ) s) l+i ja β:lle lauseke j i l Φ(s) j i l ds β=i(i + ) n j j i + e (i)( j) ke (i)( j) Φ min(e (i)( j) + ke (i)( j), s) s ( Φ(s) ) n j φ(s) j i l=0 ( ) l l+i j i l ( ) l+i Φ( (e (i)( j) ke (i)( j) ) s) l+i Φ(s) j i l ds. Jälleen tapaukset i =, j = i + ja j = n johtavat jonkin verran yksinkertaisempiin lausekkeisiin. Tapauksessa i = saadaan α:lle ja β:lle lausekkeet ja α= jn Φ(s) j e ()( j) ke ()( j) ( ) n j φ(s) Φ(s) Φ( (e ()( j) ke ()( j) ) s) ( ) j ( ) j Φ(s) Φ( min(e ()( j) + ke ()( j), s) s) ds β= j n Φ(s) j ( ) n j φ(s) Φ(s) Φ (e ()( j) ke ()( j) ) s e ()( j) ke ()( j) ( ) ( ) j ( ) j Φ(s) Φ( min(e ()( j) + ke ()( j), s) s) ds. 30

33 Tapauksessa j = i + saadaan α= (i + ) n i + e (i)(i+) ke (i)(i+) Φ( min(e (i)(i+) + ke (i)(i+), s) s) i Φ( (e (i)(i+) ke (i)(i+) ) s) i Φ(s) ( ) n i φ(s)ds ja β=(i + ) n i + e (i)(i+) ke (i)(i+) Φ( min(e (i)(i+) + ke (i)(i+), s) s) i Φ( (e (i)(i+) ke (i)(i+) ) s) i Φ(s) ( ) n i φ(s)ds. Tapaus j = n on symmetrinen tapauksen i = kanssa. Ensin tehdään muunnos s = u r/. Näin saadaan α= i(i + ) n i + e (i)(n) +ke (i)(n) e (i)(n) +ke (i)(n) Φ(s) i ( Φ(u s) Φ(s) ) n i max(e (i)(n) ke (i)(n),s) φ(s)φ(u s)du ds e (i)(n) +ke (i)(n) = i n Φ (e i ( ( (i)(n) + ke (i)(n) ) s) Φ(s) ) n i ( Φ( max(e (i)(n) ke (i)(n), s) s) Φ(s) ) n i Φ(s)i φ(s)ds ja β=i n i e (i)(n) +ke (i)(n) Φ (e ( ( (i)(n) + ke (i)(n) ) s) Φ(s) ) n i ( Φ( max(e (i)(n) ke (i)(n), s) s) Φ(s) ) n i Φ(s)i φ(s)ds. Näiden karttatyyppien suunnittelussa kokeillaan valvontaotoskokoja n arvoista tai 3 alkaen. k:n arvoa ei useinkaan saada numeerisesti ratkaistua, vaan sekin on etsittävä kokeilemalla. Järjestysstatistiikkaan perustuvissa kartoissa karttatarkkuus on x (i) -kartoille ja x (j) x (i) -kartoille sama kuin valvottavan 3

34 suureen mittaustarkkuus ja (x (i) + x ( j) )-kartalle puolet siitä, mikä helpottaa kokeilua. Huomattakoon, että sen sijaan esimerkiksi x - -kartalle karttatarkkuus on /n valvottavan suureen mittaustarkkuus (vrt. myös p-kartta). 3. Integraalien numeerinen lasku Kuten edellisestä havaitaan, sekä kartan suunnittelussa tarvittavien valvontakeskiarvojen ja -varianssien että I ja II tyypin virhetodennäköisyyksien laskeminen edellyttää hankalahkoa numeerista integrointia. Monet integraaleista ovat vielä kaksinkertaisia epäoleellisia integraaleja, joiden integrointialueet on numeerisesti laskettaessa typistettävä äärellisiksi. Vaikka Maplen periaatteessa pitäisi pystyä laskemaan kaksinkertaiset epäoleelliset integraalit numeerisesti suoraankin, se joko ei sitä tee (antaa virheilmoituksen) tai sitten lasku kestää liian pitkään. Ilmeisesti tarvittavien algoritmien implementointi on vielä kesken ja/tai niissä on virheitä. Typistämällä integrointialueet äärellisiksi ja käyttämällä erikseen ladattavaa adaptiivista Newton Cotes-menetelmää sekä kohtuullista tarkkuutta saadaan integraalit kuitenkin lasketuksi. Typistysvirhettä arvioitaessa kannattaa tällöin arvioida integrandia ylöspäin korvaamalla kertymälausekkeet F(y), F(y) ja F(z) F(y) arvolla, jolloin saadaan i:stä, j:stä sekä n:stä riippumaton yläraja typistysvirheelle, sillä karttoja suunniteltaessa nämä muuttuvat. Laskettaessa numeerisesti x (j) x (i) -kartan tilastollisia suureita typistetään muotoa 0 oleva integraali muotoa U 0 R U olevaksi ja valitaan R, U ja U niin suuriksi, että typistysvirhe on kyllin pieni. Typistysvirhe tulee alla olevan kuvion mukaisesti kolmelta alueelta A, A ja A 3. A r R A 3 A U U u Merkitään Z:lla satunnaismuuttujaa, jolla on normaalijakauma keskiarvolla r/ ja varianssilla /. Silloin A :n osalta typistysvirhe on pienempi kuin 3

35 = π π A r l e 4 r u r du dr = π R r l e 4 r P(Z > U )dr R r l e 4 r ( Φ( (U r ) ))dr π Φ (U R) 0 0 ( ( )) r l e 4 r dr. Arvolla l = 0 saadaan todennäköisyyksiä ja arvolla l = varianssi. Huomaa, että (u r) u = 4 r u r. A :n osalta typistysvirhe on pienempi kuin R 0 π A r l e 4 r u r du dr = π r l e 4 r dr. R Edelleen A 3 :n osalta typistysvirhe on pienempi kuin π = π A 3 r l e 4 r u r du dr = π R r l e 4 r P(Z U )dr R r l e 4 r Φ( ( U r ) )dr R π Φ( U ) rl e r dr. Vastaavasti typistetään laskettaessa numeerisesti (x (i) + x ( j) )-kartan tilastollisia suureita. Todetaan ensin, että u r u + r = 4 r u ja merkitään nyt W:llä satunnaismuuttujaa, jolla on normaalijakauma keskiarvolla 0 ja varianssilla. Silloin A :n osalta ja symmetriasyistä myös A 3 :n osalta, kun valitaan U = U = U typistysvirhe on pienempi kuin u l e 4 r u du dr = π R e 4 r dr π u l e u du A 0 U = P(0 < W R) u l e u du π = Φ( R ) u l e u du π U U ja A :n osalta pienempi kuin 33

36 π u l e 4 r u du dr = π A R e 4 r dr u l e u du = P(W > R) π u l e u du = Φ(R ) ( ) π u l e u du. Mikäli halutaan typistysvirhe pienemmäksi kuin ε, jaetaan se tasan eri alueille A, A ja A 3 sekä etsitään (pienet) sellaiset R:n ja U:n arvot että virheet jäävät pienemmäksi kuin ε/3. Etsitään Maplea käyttäen R:n sekä U:n arvot näille kahdelle karttatyypille, kun halutaan, että typistysvirhe on enintään 0 5. Aloitetaan x (j) x (i) -kartasta sekä l:n arvosta l = 0. with(stats): R:=trunc(fsolve(int(exp(-r^/4),r=R..infinity)//sqrt(Pi)=0.0000/3))+; R := 7 R:=int(exp(-r^/4),r=0..R)//sqrt(Pi): U:=trunc(fsolve(N(-sqrt()*U)*R=0.0000/3,U,..0))+; U := 4 U:=trunc(fsolve((-N(sqrt()*(U-R/)))*R=0.0000/3,U,..0))+; U := 7 Siirrytään sitten arvoon l =. with(stats): R:=trunc(fsolve(int(r^*exp(-r^/4),r=R..infinity)//sqrt(Pi)=0.0000/3))+; R := 8 R:=int(r^*exp(-r^/4),r=0..R)//sqrt(Pi): U:=trunc(fsolve(N(-sqrt()*U)*R=0.0000/3,U,..0))+; U := 4 U:=trunc(fsolve((-N(sqrt()*(U-R/)))*R=0.0000/3,U,..0))+; U := 8 Kokeillaan laskemalla koko todennäköisyysmassa: with(stats):readlib(`evalf/int`):n:=7;i:=3;j:=6; n := 7 i := 3 j := 6 kerroin:=i*(i+)*binomial(n,j)*binomial(j,i+); kerroin := 60 fii:=diff(n(u),u): 34

37 int:=n(u-r)^(i-)*(n(u)-n(u-r))^(j-i-)*subs(u=u-r,fii): int:=(-n(u))^(n-j)*fii: `evalf/int`(int*int(int,r=0..7),u=-4..7,7,_ncrule)*kerroin; (x (i) + x ( j) ) -kartan typistysrajat saadaan vastaavasti, ensin arvolle l = 0 with(stats): U:=int(exp(-u^),u=-infinity..infinity): R:=trunc(fsolve((-N(R/sqrt()))/sqrt(Pi)*U=0.0000/3,R,..0))+; R := 7 U:=trunc(fsolve((N(R/sqrt())-/)/sqrt(Pi)*int(exp(-u^),u=U..infinity) =0.0000/3,U,..0))+; U := 4 ja sitten arvolle l = with(stats): U:=int(u^*exp(-u^),u=-infinity..infinity): R:=trunc(fsolve((-N(R/sqrt()))/sqrt(Pi)*U=0.0000/3,R,..0))+; R := 7 U:=trunc(fsolve((N(R/sqrt())-/)/sqrt(Pi)*int(u^*exp(-u^),u=U..infinity)= /3,U,..0))+; U := 4 Kokeillaan jälleen laskemalla koko todennäköisyysmassa: with(stats):readlib(`evalf/int`):n:=7;i:=3;j:=6; n := 7 i := 3 j := 6 kerroin:=i*(i+)*binomial(n,j)*binomial(j,i+); kerroin := 60 fii:=diff(n(u),u): integrandi:=n(u-r/)^(i-)*(n(u+r/)-n(u-r/))^(j-i-)*(-n(u+r/))^(nj)*subs(u=u-r/,fii)*subs(u=u+r/,fii): `evalf/int`(int(integrandi,r=0..7),u=-4..4,7,_ncrule)*kerroin; Kuten 3.:ssa todettiin, x (j) x (i) -karttaan ja (x (i) + x ( j) ) -karttaan liittyvien tavallisten todennäköisyyksien laskeminen palautuu yksinkertaisten (epäoleellisten) integraalien numeeriseen laskuun. Maplella laskettaessa ei tällöin typistystä tarvitakaan. Toisaalta Maplella voi laskea myös mutkikkaampia yhteistodennäköisyyksiä, jolloin typistys tarvitaan. 35

38 3.3 R-kartta. R i -kartat. IQR-kartta. Erotuksien x (j) x (i) valvonta Valvottava suure oletetaan tässä normaalijakautuneeksi keskiarvolla ξ ja hajonnalla σ, joista σ tarvitaan R-kartan laadinnassa. R-kartan karttasuureena on valvontaotoksen otosvaihteluväli R = max(x,,x n ) min(x,,x n ) = x (n) x (). Käskyillä with(stats): fii:=diff(n(u),u): tihf:=proc(d) 7*(7-)*evalf(int((N(u)-N(u-d))^(7-)*fii*subs(u=u-d,fii),u=- 4..7)) end; tihf := proc(d) 4*evalf(int((N(u)-N(u-d))^5*fii*subs(u = u-d,fii),u = )) end plot(tihf,0..5); piirretään R:n tiheysfunktion kuvaaja, kun σ = ja n = 7: :stä saadaan R-kartan suunnittelussa tarvittavat kertoimet 36

39 d ()(n) = d = n u Φ(u) n Φ(u) (itse asiassa d = e (n) ) ja ( ( ) n ) φ(u)du. d 3()(n) = d 3 = n(n ) r 0 ( Φ(u) Φ(u r) ) n φ(u r)φ(u)du dr d. Lasketaan Maplella * esimerkiksi d ja d 3, kun n = 7: with(stats):readlib(`evalf/int`):n:=7; n := 7 fii:=diff(n(u),u): d:=evalf(n*int(u*(n(u)^(n-)-(-n(u))^(n-))*fii,u=-infinity..infinity)); d := int:=r^*(n(u)-n(u-r))^(n-)*subs(u=u-r,fii): d3:=sqrt(`evalf/int`(fii*int(int,r=0..8),u=-4..8,7,_ncrule)*n*(n-)-d^); d3 := R-kartan valvontarajat ovat D σ = max(0,d kd 3 )σ D σ = (d + kd 3 )σ. I tyypin virheen ja II tyypin virheen todennäköisyydet ovat silloin ja (( ) n ( Φ(u) Φ(u D )) n ) α= n Φ(u) Φ(u D ) φ(u)du β=n Φ(u) Φ u n + D Φ(u) Φ u n + D φ(u)du. * Tässä d :ta laskettaessa, samoin kuin muissa vastaavissa integroinneissa, käytetään inerttiä integrointiaint, sillä tavallinen integrointi int antoi väärän tuloksen. Ilmiö esiintyi jo.:n Esimerkissä. Kyseessä lienee jokin error-funktiota koskeva pieni ohjelmointivirhe, jonka valmistaja on luvannut korjata seuraavaan ohjelmistoversioon. 37

40 S-kartan tavoin R-karttaa käytetään usein x - -kartan kylkiäisenä hajontaa valvomassa, jolloin valvontaotoskoko n määräytyy x - -kartan suunnittelusta. Tämä on hyvin perusteltua, sillä x - ja R ovat riippumattomat. Katsotaan esimerkkinä tapausta, jossa x - -kartasta saatu valvontaotoskoko on n = 7. Tällöin luonnollisesti vain toinen todennäköisyyksistä α tai β voidaan kiinnittää. R:n jakauma on kyllin lähellä normaalijakaumaa (kuten edellä olevasta tiheysfunktion kuvaajastakin voi nähdä), jotta alkuarvaus k:n arvolle kannattaa etsiä sitä kautta: k Φ ( α ). Valvontamittaustarkkuus ε on samalla karttatarkkuus ja pienin arvo, jolla kd 3 σ:n arvoa kannattaa muuttaa. R-kartan suunnittelu Maplella tapahtuu kokeilemalla alkuarvauksen lähistöllä olevia k:n arvoja ε/(d 3 σ):n välein. Tavalliseen tapaan k:n arvon kasvattaminen pienentää α:a ja kasvattaa β:a. Otetaan ensin tapaus, jossa on annettu α = 0.05, σ = 3.8 ja ε = 0.. d ja d 3 on tässä laskettu edeltä *. annetaan vain, jos tarvitaan myös β:n arvo. with(stats):alfa:=0.05;n:=7;sigma:=3.8;delta:=.0;epsilon:=0.; alfa :=.05 n := 7 sigma := 3.8 delta :=.0 epsilon :=. fii:=diff(n(u),u): k:=fsolve(n(kk)=-alfa/,kk); k := D:=max(0,d-k*d3);D:=d+k*d3; D := D := n*evalf(int(((n(u)-n(u-d))^(n-)-(n(u)-n(u-d))^(n-))*fii,u=-infinity.. infinity))<=alfa; <=.05 k:=k-epsilon/d3/sigma; k := k:=k+epsilon/d3/sigma; * Laskettaessa tässä sekä tämän luvun muissa tehtävissä todennäköisyyksien α ja β arvoja antoi Maple toisinaan virheilmoituksen, jossa se ilmoitti löytäneensä integrointiväliltä singuläriteetin, jota se ei voinut poistaa. Näin tapahtui myös, kun integrandi ilmoitettiin jatkuvaksi, ja myös kun integrointiväli typistettiin äärelliseksi. Maple laski kuitenkin todennäköisyyden, kun käsky toistettiin. Kyseessä on ilmeisesti tämän tyyppiseen integrandiin liittyvä ohjelmointivirhe. 38

41 alaraja:=d*sigma;ylaraja:=d*sigma; alaraja := ylaraja := beta:=n*evalf(int(((n(u)-n(u-d/(+delta)))^(n-)-(n(u)-n(u-d/(+delta))) ^(n-))*fii,u=-infinity..infinity)); beta := k:n arvoa piti tässä pienentää alkuarvauksesta kertaalleen. Katsotaan toiseksi tapaus, jossa onkin annettu β = 0.5 (ja ). Alkuarvauksen k:n arvolle voi etsiä ratkaisemalla yhtälöstä β = Φ(k n) Φ( k n), mutta se voi olla kaukanakin oikeasta. with(stats):beta:=0.5;n:=7;sigma:=3.8;delta:=.0;epsilon:=0.; beta :=.5 n := 7 sigma := 3.8 delta :=.0 epsilon :=. fii:=diff(n(u),u): k:=fsolve(n(kk-delta*sqrt(n))-n(-kk-delta*sqrt(n))=beta,kk); k := D:=max(0,d-k*d3);D:=d+k*d3; D := 0 D := n*evalf(int(((n(u)-n(u-d/(+delta)))^(n-)-(n(u)-n(u-d/(+delta)))^(n- ))*fii,u=-infinity..infinity))<=beta; <=.5 k:=k-epsilon/d3/sigma; k:=k+epsilon/d3/sigma; k:=k-0*epsilon/d3/sigma; k := k := k:=k+0*epsilon/d3/sigma; alaraja:=d*sigma;ylaraja:=d*sigma; alaraja := 0 ylaraja := alfa:=-n*evalf(int(((n(u)-n(u-d))^(n-)-(n(u)-n(u-d))^(n-))*fii,u=infinity..infinity)); alfa := k:n arvoa jouduttiin pienentämään alkuarvauksesta peräti 7 kertaa. 39

42 Jos valvontaotoskoko on, niin S-kartta ja R-kartta ovat oleellisesti samat (tällöin nimittäin s = R/ ). Suunniteltaessa yleisesti R-karttaa kokeillaan otoskokoja arvosta n = 3 alkaen, lasketaan d ja d 3, etsitään haluttua α:n arvoa vastaava k ja lasketaan sitten II lajin virheen todennäköisyys kuten yllä. Ellei tämä ole pienempi tai (suunnilleen) yhtä suuri kuin haluttu β, kasvatetaan n:n arvoa yhdellä. Tätä toistetaan kunnes saadaan haluttu tulos. Suunnitellaan Maplella R-kartta, kun vaaditaan, että α = 0.0 ja β = 0.0 (lisäksi on annettu σ = 3.5, =.0 sekä ε =.0): alfa:=0.0;beta:=0.0;sigma:=3.5;delta:=.0;epsilon:=.0; alfa :=.0 beta :=.0 sigma := 3.5 delta :=.0 epsilon :=.0 with(stats):readlib(`evalf/int`):fii:=diff(n(u),u):n:=3:k0:=fsolve(n(kk)=- alfa/,kk):k:=k0; n := 3 k := d:=evalf(n*int(u*(n(u)^(n-)-(-n(u))^(n-))*fii,u=-infinity..infinity)); d := int:=r^*(n(u)-n(u-r))^(n-)*subs(u=u-r,fii):d3:=sqrt(`evalf/int`(fii* Int(int,r=0..8),u=-4..8,7,_NCrule)*n*(n-)-d^); d3 := D:=max(0,d-k*d3);D:=d+k*d3; D := D := n*evalf(int(((n(u)-n(u-d))^(n-)-(n(u)-n(u-d))^(n-))*fii,u=-infinity.. infinity))<=alfa; <=.0 k:=k-epsilon/d3/sigma; k:=k+epsilon/d3/sigma; n*evalf(int(((n(u)-n(u-d/(+delta)))^(n-)-(n(u)-n(u-d/(+delta))) ^(n-))*fii,u=-infinity..infinity))<=beta; <=.0 n:=n+;k:=k0; n := 5 k := alaraja:=d*sigma;ylaraja:=d*sigma; alaraja := ylaraja :=

43 k:n arvoja ei tässä tarvinnut korjata, n:n arvoa sen sijaan piti korottaa kahdesti. On huomattava, että R-kartan valvontaotoskoko n ei saisi olla suuri, mikäli mittaustarkkuus on vaatimaton (eli ε on iso ). Usein laskettaessa kannattaa laskea d :n ja d 3 :n arvot etukäteen ja tallettaa ne Mapleen taulukkona. R-kartta on hyvin herkkä satunnaisille reippaasti väärille mittauksille. (Samoin on S-kartta.) Toisinaan tuotannossa myös sallitaan tietty määrä susikappaleita, jotka eivät sovi kunnollisia tuotteita ajatellen tehtyyn valvontakarttaan ja jotka käyttöön otettaessa kuitenkin välittömästi havaitaan ja hylätään. R-kartta ei voi sellaisenaan valvoa tällaisen tuotannon hajontaa. Susikappaleiden poistaminen valvontaotoksesta lisää työtä ja pienentää otoskokoa. Lisäksi joissain tapauksissa rajanveto voi olla vaikeaa. Jos mittausvirheet tai susikappaleet johtavat aina liian suureen otosmaksimin arvoon, voidaan R-kartan sijasta käyttää x (n ) x -karttaa. Vastaavasti, jos tuloksena on aina liian pieni otosminimin arvo, voidaan käyttää x (n) x () - karttaa. Edelleen, jos valvontaotoskoko on suuri, saattaa otokseen tulla kaksikin poikkeavaa tuotteita, jolloin voidaan käyttää x (n ) x -karttaa tai vastaavasti x (n) x (3) -karttaa, jne.. Jos taas mittausvirheet tai susikappaleet voivat aiheuttaa (useita) poikkeamia kumpaankin suuntaan, voidaan käyttää kvasivaihteluvälikarttoja. Ns. h:s kvasivaihteluvälikartta eli R h -kartta on x (n h + ) x (h) -kartta. Ensimmäinen kvasivaihteluvälikartta on siis juuri R-kartta. Mikäli valvontaotoskoko on muotoa n = 4r +, on r + :s kvasivaihteluvälikartta eli R r + -kartta ns. kvartiilivälikartta eli IQR-kartta. (IQR-kartta voitaisiin määritellä muutakin muotoa olevalle valvontaotoskoolle, mutta tähän tarvitaan useamman kuin kahden järjestetyn otoksen suureen yhteisjakauma. Esimerkiksi muotoa n = 4r + 3 olevalle arvolle kvartiiliväli on (x (r+) + x (r+) ) (x (n r) + x (n r ) ).) IQR-kartta on itse asiassa suurille valvontaotoksille suositeltavampi kuin R-kartta. Nämä kartat suunnitellaan samaan tapaan kuin R-kartta. Otetaan esimerkiksi R -kartan suunnittelu. Tarvittavat kertoimet ovat d ()(n ) = d = n(n ) uφ(u) Φ(u) (itse asiassa d = e (n ) ) ja ( ) φ(u)du ( ) Φ(u) n 3 ( Φ(u) ) n 3 4