Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos
|
|
- Siiri Alanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos Luentorunko. Ei ole tarkoitettu kattavaksi kokonaisuudeksi kurssin loppukuulusteluun! c Seppo PynnÄonen. Versio syyskuu 2005
2 Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. SisÄaltÄo: Ekonometrian tekniikkaa; mallin rakentamista; teorian, havaintoaineiston ja tilastollisen teorian vuorovaikutus mallin kehittäamisessäa; ekonometrisen tutkimuksen käayttäotarkoituksista; rakenneanalyysia; ennustaminen; päaäatäoksenteko. Luennot (40 tuntia) Harjoitukset (12 tuntia): RyhmittÄain Suoritustapa: Tentti. EdeltÄavÄat opinnot: Riippuvuusanalyysi Huom. Seuraa Web-sivuja: / mathdept/ / sjp/
3 SISÄALT ÄO 1 Taustaa 2 Yhden selittäajäan regressiomalli 3 Useamman selittäajäan regressiomalli 4 Poikkeamat regressio-oletuksista 5 Aikasarja- ja poikileikkausaineistot 1
4 Kirjallisuutta Dougherty, Christopher (2002). Introduction to Econometrics. 2nd ed., Oxford University Press. Ramanathan, R. (1998). Introductory Econometrics with Applications, Fourth Edition. New York: The Dryden Press. Muita: Gujarati, Damodar (1999). Essentials of Econometrics, Second Edition. Singapore: McGraw-Hill. Hill, R., Carter, William E. Gri±ths, George G. Judge (2001). Undergraduate Econometrics, 2nd ed., New York: Wiley. Maddala, G.S. (1992). Introduction to Econometrics. New York: Maxwell MacMillan. 2
5 1. Johdantoa 1.1 MitÄa onekonometria? Ekonometriassa sovelletaan tilasollisia ja matemaattisia menetelmiäa taloudellisten ilmiäoiden empiirisessäa tutkimisessa. Tarkemmin sanottuna: Ekonometria koostuu menetelmistäa, joilla talouden, liiketalouden ja muun yhteiskuntatieteiden teorioihin perustuen voidaan hyäodyntäaäa havaintoaineistoa tuottamaan optimaalisia (kvantitatiivisia) ennusteita ja selitysmalleja, sekäa testata empiirisesti itse kyseisiäa teorioita.... the object of statistical methodsisthereductionofdata. A quantity of data, which usually by its mere bulk is incapable of entering the mind, is to be replaced by relatively few quantities which shall adequately represent the whole, or which, in other words, shall contain as much as possible, ideally the whole, of the relevant information contained in the original data. R. A. Fisher, On the mathematical foundations of theoretical statistics, Phil. Trans. Royal Soc., A222, 1922, p. 309, quoted in T. C. Koopmans, Linear Regression Analysis of Economic Time Series, Netherlands Economic Institute, Haarlem,
6 Huom. Matemaattinen taloustiede ei perustu havaintoaineistoon. TÄaten se ei ole ekonometriaa. Kuitenkin teoreettista tutkimusta, jossa tutkitaan käaytettäaviäa tilastollisiamene- telmiäa kutsutaanmyäos ekonometriaksi! Raja ei suinkaan ole selväa. 4
7 Mielenkiinnon kohteina ovat: Talodellisten vuorovaikutussuhteiden tilastollinen estimointi Taloustieteiden teoreettisten mallien empiirinen testaus Ennustaminen 5
8 1.2 Otossuure ja teoreettinen suure Teoreettinen suure Otossuure Keskiarvo: µ =E(x) ¹x = 1 n n i=1 x i Varianssi: σ 2 =E(x µ) 2 s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i ¹x) 2 Keskihajonta: σ = σ 2 s = s 2 Vinous: (Skewness) ν = E (x µ)3 σ 3 ^ν = 1 n n i=1 (x i ¹x) 3 ~s 3 n 1 n (x i ¹x) 4 i=1 ~s 4 Huipukkuus: κ = E (x µ)4 ^κ = σ (Kurtosis) 4 Kovarianssi: σ xy =E(x µ x )(y µ y ) s xy = 1 n n 1 i=1 (x i ¹x) (y i ¹y) Korrelaatio: ρ xy = σ xy σ x σ y r xy = s xy s x s y 1 ρ xy 1 1 r xy 1 jossa ~s 2 = 1 n ni=1 (x i ¹x) 2. 6
9 Huom. E (g(x)) = = g(x)df (x) ni=1 g(x i )p i, kun x on diskreetti g(x)f(x)dx, kun x on jatk. jossa p i = P (x = x i ) ja g on jokin funktio. Esim. x Po(λ), λ =10. Otos: 13, 4, 10, 11, 14 (n =5) Voidaan osoittaa, ettäa µ =E(x) =λ =10ja σ 2 = Var(x) =λ =10. Nyt ¹x =10.4 ja s 2 =15.3 (varianssi hieman yliestimoi). Esim. Satunnaismuuttujat x ja y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(x) = 178, Var(x) = 100 E(y) = 170, Var(y) = 81 Corr(x,y)=0.8. 7
10 Sadan havainnon otoksesta saatiin seuraavat estimaatit: Descriptive Statistics X Y Frequency Distributions X Y Mean Bin Frequency Bin Frequency Standard Error Median Standard Deviation Sample Variance Kurtosis Skewness Range Minimum Maximum Sum Count More 2 More 5 Correlation Frequency Histogram (X) More Frequency Histogram (Y) More Scatter Plot of a Sample from a Bi-variate Normal Distribution with E(X) = 178, V(X) = 100, E(Y) = 170, V(Y) = 9, and Corr(X, Y) = y x 8
11 1.3 Malli Malli: Yksinkertistettu esitys todellisuudesta Esim. Omenien kysyntäa riippuu omenien hinnasta. Yksinkertaistus, silläa on monia muitakin tekijäoitäa, kuten muiden hedelmien hinnat, terveysnäakäokohdat, kulutustottumukset, jne. Taloustieteellinen malli: Joukko oletuksia, joiden alaisuudessa talouden ajatellaan toimivan. 9
12 Ekonometrinen malli: 1. Talouden mallia kuvaava yhtäaläoryhmäa + satunnaistekijäa. Esim. q = α + βp + u, jossa q on mäaäaräa, p hinta ja u satunnaistermi. 2. SisÄaltyykÄo havaintoihin satunnaisvirhettäa? 3. Virhetermin todennäakäoisyysjakauman mäaäarittäaminen. Esim. (jatkoa) E(u p) = 0, eri havaintojen virhetermit ovat riippumattomia, normaalisti jakautuneita varianssilla V (u p) =σ 2. 10
13 Ekonometriassa tarkastellaan usein aikasarjaaineistoja. Toisin sanoen samasta tai samoista tilastoyksikäoistäa tehdäaäan havaintoja peräakkäaisinäa ajanjaksoina. Esimerkiksi yrityksen voitto eri vuosina. Vaihtoehtona aikasarja-aineistolle on poikkileikkausaineisto, jossatietylläaajanhetkelläatehdäaäan havaintoja useista tilastoyksikäoistäa. Esimerkiksi poimitaan otos yrityksistäa ja mitataan kustakin ROE viimeiseltäa tilikaudelta. Joskus tarkastellaan myäos näaiden tapausten yhdistelmiäa: Aikasarja-poikkileikkausaineistossa (Pooled data) tarkastellaan esimerkiksi kymmenen yrityksen liikevaihtoja tietylläa ajanjaksolla. Paneeli- eli seurantaaineisto (panel data, longitudinal data) on vieläa erikoistapauus, jossa esimerkiksi poimitaan otos perheitäa ja tutkitaan heidäan tilaansa tietyn ajanjakson (yleensäa useampia vuosia). 11
14 Eityisesti aikasarja-aineistoissa mallintamisen läahtäokohdaksi on hyäodyllistäa ottaa liikeyhtäaläo. Muutos derivaatta. Esim. VÄaestÄo (BKT, tms) kasvaa 100 β-prosenttia vuosittain. Y t = β ( Y t = Y t Y t 1 ). Y t 1 SiirrytttÄaessa jatkuva-aikaiseen, saadaan differentiaaliyhtäaläo 1 dy t Y t dt = β (separoituva!), josta Y t = Ae βt, jossa A on jokin vakio. 12
15 Esim. Tulot (Y ) kulutus (C), mutta miten? C = C(Y ) a) Y C = β Y absoluuttinen muutos, β 1 b) C C = Y, %-muutos (samassa suhteesa) Y c) C C = β Y,(β 1) Y a) dc dy = β C = α + βy b) 1 C dc dy = 1 Y log C = a +logy,elic = AY c) 1 C dc dy = β 1 Y log C = a + β log Y,eliC = AY β 13
16 Jousto: y = f(x) E = lim x 0 y y x x = x dy y dx "%-muutosten suhde". = d ln y d ln x. Esim. (jatkoa) Tapauksessa (a) kulutuksen tulojousto on Y dc C dy = βy C. Jos tarkastellaan regressioyhtäaläoäa C i = α + βy + u i, voidaan jousto laskea esimerkiksi keskiarvon kohdalla. Esimerkiksi, jos ¹C = 80, ¹Y = 90 ja ^β = 0.80, niin kulutuksen tulojousto keskiarvojen kohdalla on Y ^β ¹ =9/10 = 0.90, ¹C toisin sanoen tulojen lisäaäantyessäa 10prosen- tilla lisäaäantyy kulutus 9 prosentilla (keskimäaäarin?) 14
17 1.4 Staattisuus ja dynaamisuus AikatekijÄa! Malli on staattinen. y t = βx t + t Malli y t = β 0 x t + β 1 x t 1 + t on dynaaminen. Kun x t x t +1, niin y t muuttuu väalittäomäasti mäaäaräalläa β 0. TÄaysimÄaÄarÄainen muutos on β 0 + β 1. Malli y t = αy t 1 + βx t + t, E( t )=0 on myäos dynaaminen. 15
18 Nyt y t 1 = αy t 2 + βx t 1 + t 1,jne,joten E(y t )=βx t + βαx t 1 + βα 2 x t Kun α < 1, niin etäaäalläa olevien viipeiden merkitys häaviäaäa. Esim. jolloin E(y t ) = x t = x 0, kun t<t 0 x t = x 0 +1, kun t t 0 βx 0 1 α,t<t 0 1 α t t 0+1 β + βx 0 1 α 1 α,t t 0 βx 0 1 α + β 1 α. 16
19 Graa sesti β 1 α αβ α 2 β β βx 0 1 α HÄairiÄo aiheuttaa ikuisen sopetumisen. Kuitenkin, jos α on läahelläa nollaa, tapahtuus sopeutuminen tasapainotilaan nopeasti. Sopeutuminen on hidasta, jos α on läahelläa ykkäostäa. 17
20 Kertoimet (Multipliers) EdellÄa havaittiin,ettäa yksikäon muutos x:ssäa aiheuttaa kokonaisuudessaan β 1 α = j=0 βα j suuruisen muutoksen y t :ssäa. TÄatÄa sanotaan kokonaiskertoimeksi (Total multiplier) jase saadaan x:n viipeiden kertoimien summana. Yleisemmin, jos viivekertoimia merkitäaäan δ j :lläa, niin kokonaiskerroin on δ = j=0 δ j. 18
21 J:s osakerroin (Interim multiplier) mäaäariteläaäan lukuna δ J = J j=0 δ j. Esim. (jatkoa) EdellÄa δ J = J j=0 βα j = β 1 αj+1 1 α. δ 0 :aa sanotaan sysäayskertoimeksi (Impact multiplier), joka siis ilmaisee x:ssäa tapahtuneen yksikäon muutoksen väalittäomäan vaikutuksen y:ssäa. Standardoimalla δj kokonaiskertoimella saadaan standardoitu osakeroin δ J = δ J δ. 19
22 Jos kaikki viivekertoimet ovat positiivisia, niin voidaan laskea keskiviive (mean lag), joka on muotoa j=0 jδ j ¹J =, δ joka voidaan tulkita siten, ettäa se kertoo viipeen pituuden, jos muutos x:ssäa tapahtuisi tasaisella intensiteetilläa eikäa pieneneväalläa (edelläa βα j, 0 < α < 1). Mediaaniviive kertoo sen kuinka monen periodin jäalkeen 50% sopeutumisesta on tapahtunut. Mediaaniviive saadaan laskettua kaavasta J m = J m δ m 1 δ m δ, m 1 20
23 jossa J m 1 on mediaania edeltäaväan viive, δ m 1 on mediaaniluokkaa edeltäaväa standardoitu osakerroin ja δ m on ensimmäainen standrdoitu osakerroin, jolle päatee δ m > 0.5. Esim. y t =0.2x t x t x t 4 Silloin δ 0 =0. δ = =0.7 ja ¹J = 0.7 Nyt δ 2 =0.29 ja δ 3 =0.86, joten =2.86 J m = =
24 1.6 Tilastollinen päaäattely Estimointi ja hypoteesin testaus. Hypoteesin testaus Esim. Kahden maalilajin kestäavyyden testaus asfaltoidun tien ajoratamerkkeinäa. ViivanpÄatkÄat (10 cm kukin) on tehty satunnaisessa jäarjestyksessäa ( riippumattomat otokset). 22
25 Data Paint 1 Paint
26 Hypoteesit ja testisuure: Testataan poikkeavatko kestot toisistaan Hypoteesit H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 = µ 2. Huom. Kaksisuuntainen testaus, kun ei ole etukäateisolettamusta kumpi maaleista kestäaäa pitempäaäan. Huom. Jos toinen maaleista, esim. ykkäonen, olisi täahäan asti käaytetty maali ja kakkonen olisi uusi tuote, niin silloin testattaisiin hypoteesia, ettäa onko kakkosmaali kestäaväampäaäa. Vastahypoteesi olisi silloin muotoa: H 1 : µ 1 <µ 2. 24
27 Oletetaan, ettäa molempien perusjoukkojen varianssit ovat samat (tarvittaessa testattava). Testisuure (kahden perusjouko t-testi): t = ¹x 1 ¹x 2, 1 s n n 2 jossa s on varianssien painotetun keskiarvon neliäojuuri, eli (n 1 1)s 2 1 s = +(n 2 1)s 2 2, n 1 + n 2 2 jossa s 2 j on otoksen j varianssi ja n j on vastaava otoskoko (j =1, 2). Testisuure t noudattaa t-jakaumaa vapausasteilla n 1 + n 2 2, kunh 0 on tosi. Huom. s 2 (1/n 1 +1/n 2 ) on Var(¹x 1 ¹x 2 ):n estimaattori. 25
28 Testitulokset (Excel taulukkolaskentaohjelma) t-test: (Two-Sample Assuming Equal Variances) Paint 1 Paint 2 Mean Variance (s 2 j ) Observations (n j ) Pooled Variance (s 2 ) 2.40 Hypothesized Mean Di erence 0 df 22 t-stat 2.22 P (T > t) one-tail t Critical one-tail P (T > t ) two-tail t Critical two-tail Huom. EdellÄa t-testisuuretta vastaavaa satunnaismuuttujaa on merkitty T :lläa (Excel). 26
29 Estimointi Estimaatorin hyvyyskriteerejäa Parametri θ: Esim. regressio mallin β-kerroin. Estimaattori ^θ: Otosvirhe ^θ θ. Harha B(^θ) = E(^θ) θ Estimaattoria sanotaan harhattomaksi, jos B(^θ) = 0. Muita hyvyyskriteerejäa ovat mm. tarkentuvuus (consistency), tehokkuus (e±ciency), ja tyhjentäavyys (su±ciency). 27
30 Tarkentuvuutta tarkastellaan seuraavien rajaarvokäasitteiden yhteydessäa ja tehokkuuteen palataan myäohemmin. TyhjentÄavyydellÄa tarkoitetaan heuristisesti tulkittuna, ettäa estimaattori hyäodyntäaäa kaiken parametria koskevan informaation otoksesta. 1.7 Suurten lukujen laki ja keskeinen rajaarvolause Suurten lukujen laki [The (Strong) Law of Large Numebers (SLLN)]: Olkoon ¹x otoksen x 1,...,x n keskiarvo. Silloin plim ¹x = E(¹x), jossa"plim " tarkoitaa, ettäa otoskeskiarvojen jono ¹x 1, ¹x 2,...,¹x n läahestyy (todennäakäoisyysmielessäa) raja-arvoa E(¹x), kun n läahestyy ÄaÄaretÄontÄa. TÄasmÄallisesti: Olkoon µ = E(¹x n ), silloin plim ¹x n = µ kaikilla > 0lim n P ( ¹x n µ > ) =0. 28
31 Estimaattoria sanotaan ^θ tarkentuvaksi, jos plim ^θ = θ. Esim. Olkoon x 1,...,x n otos jakaumasta, jossa E(x i )= µ, javar(¹x i )=σ 2. Silloin E(¹x) =µ ja SLLN:n perusteella, plim ¹x = µ, eli otoskeskiarvo ¹x on sekäa harhaton ettäa tarkentuva µ:n estimaattori. Vastaavasti otosvarianssille s 2 = 1 n (x n 1 i ¹x) 2 i=1 päatee: E(s 2 )=σ 2 ja SLLN:n perusteella plim s 2 = σ 2, joten otosvarianssi s 2 on σ 2 :n harhaton ja tarkentuva estimaattori. 29
32 Raja-arvolle plim päatee: Olkoon plim x n = a ja plim y n = b, silloin (i) plim (x n +y n )=plimx n +plim y n = a+b (ii) plim (x n y n )=ab (iii) Jos g on jatkuva funktion, niin plim g(x n )= g(plim x n )=g(a). Huom./Esim. Olkoon y i N(µ, σ 2 ), µ = 0 ja ¹y =(1/n) y i. Silloin plim ¹y n = µ ja ominaisuuden (iii) perusteella plim ¹y 1 = µ 1, mutta E(¹y 1 ):täa ei ole edes olemassa! 30
33 Keskeinen raja-arvolause [The Central Limit Theorem (CLT)]: Olkoon x 1,...,x n samoin jakautuneita ja riippumattomia [independent and identically distributed (iid)] satunnaismuuttujia, odotusarvona E(x i )=µ ja varianssina Var (x i )=σ 2. Silloin satunnaismuuttujan n(¹x µ) z = σ jakauma läahestyy standardoitua nomaalijakaumaa N(0, 1), kunn läahestyy ÄaÄaretÄontÄa. Huom. 1: CLT sanoo, ettäa jos satunnaismuuttuja muodostuu summana riippumattomaista satunnaismuuttujista, niin summattavien tekijäoiden ollessa "suuri", on sen jakamuma hyvin approksimoitavissa normaalijakaumalla. Huom. 2: Jos x i N(µ, σ 2 ), toisin sanoen summattavan tekijäat ovat valmiiksi jo normaalisia, niin summamuuttujan jakauma on myäos normaalinen (siis ei vain aproksimaationa). 31
Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen.
Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen
LisätiedotEkonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen.
Ekonometria: Tavoite: PerehdyttÄaÄa (empiirisen) ekonometrisen tutkimuksen periaatteisiin, mallintamiseen, tekniikkaan ja käaytäannäon toteuttamiseen. Ekonometria (STAT.2020) Syksy 2005 Seppo PynnÄonen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
Havaintoaineiston perusteella näyttää ilmeiseltä, että alkuperäisen laastin sidoslujuus on suurempi. Ero sattumasta johtuvaa? Palataan tuonnempana. Tension bond strength data for Portland Cement formulation
LisätiedotKvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä
Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen
TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotBatch means -menetelmä
S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin
LisätiedotTeema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja
Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Lisätiedot54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):
Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
LisätiedotPylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.
Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOhjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen
1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 2 KVANTITATIIVISEN TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI Sisältö: 1. Frekvenssi- ja prosenttijakaumat.2
LisätiedotHarjoittele tulkintoja
Harjoittele tulkintoja Syksy 9: KT (55 op) Kvantitatiivisen aineiston keruu ja analyysi SPSS tulosteiden tulkintaa/til Analyysit perustuvat aineistoon: Haavio-Mannila, Elina & Kontula, Osmo (1993): Suomalainen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
Lisätiedot