SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

Transkriptio

1 SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka

2 Aaltojohdot Siirtolinjat Rakenteita, joilla aaltoa ohjataan kutsutaan aaltojohdoiksi. Aaltojohtojen perustyyppiä kutsutaan siirtolinjaksi. Se koostuu johdinparista: 2

3 Koaksiaalikaapeli Siirtolinjayhtälöt Siirtolinjalle on ominaista, että SMG-aalto voi edetä TEM-moodissa (eli sekä H että E ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden). 3

4 Tarkastellaan siirtolinjaa, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta levystä, joiden välissä kulkee TEM aalto. Oletetaan, että levyt johtavat äärettömän hyvin, ja jätetään huomioimatta levyjen reunoilla tapahtuvat kentän vääristymiset. Olkoon levyjen välissä olevan aineen materiaaliparametrit ɛ ja µ. y z x w d 4

5 Jos levyt johtavat äärettömän hyvin, niin kun y = 0 ja y = d pätee E:n ja B:n rajapintaehdot: E:n tangentiaalikomponentti on nolla B:n normaalikomponetti on nolla, jotka toteutuvat, jos E x = E z = 0 ja B y = 0 H y = 0. D:n ja H:n rajapintaehtojen mukaan n D = ρ (pintavaraustiheys; +, -) (1) n H = κ (pintavirrantiheys). (2) y z x E

6 Maxwellin yhtälöiden mukaan E = jωµh, (3) H = jωɛe. (4) Toisaalta E = u y E y = u y E 0 e γz ja H = u x H x = u x E 0 η e γz, joten saadaan E y z = jωµh x (5) H x z = jωɛe y. (6) Mutta, voimme tulkita saman myös jännitteen ja virran avulla, sillä jännite on suoraan verrannollinen E y :hyn tässä tapauksessa: v(z) = E y (z) d, (7) 6

7 missä d on siis levyjen välinen etäisyys, joten E y z = 1 d v z. (8) Vastaavasti virta i riippuu suoraan H:n x-komponentista missä w on levyjen leveys. Täten i(z) = H x (z) w, (9) H x z = 1 w i z. (10) Tällöin saamme, että v z = jωµ d i w = jωli, (11) i z = jωɛw v d = jωcv, (12) 7

8 missä induktanssi pituusyksikköä kohti on L = µ d [H/m], (13) w kapasitanssi pituusyksikköä kohti on C = ɛ w d [F/m]. (14) Parametreilla L ja C on sama yksikkö kuin induktanssilla ja kapasitanssilla paitsi, että ne ovat pituusyksikköä kohti. Yhtälöitä (11) ja (12) kutsutaan siirtolinjayhtälöiksi. Tulkinta: siirtolinjaa voidaan pisteittäin kuvata ekvivalenttisella L:n ja C:n kytkennällä. 8

9 induktanssi: L z kapasitanssi:c z Hyvin lyhyt, z:n pituinen pätkä ideaalista siirtolinjaa ja vastaava ekvivalenttinen piirikytkentä. 9

10 Yhtälöistä (11) & (12) voidaan kehittää toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 v(z) z 2 = ω 2 LCv(z), (15) 2 i(z) z 2 = ω 2 LCi(z). (16) Yhtälöille on ratkaisut (+z-suuntaan menevä aalto) missä etenemiskerroin β = ω LC = ω ɛµ. v(z) = V 0 e jβz (17) i(z) = I 0 e jβz (18) Eräs olennainen suure on siirtolinjan karakteristinen impedanssi: Z 0 = v(z) i(z) = V 0 L = I 0 C, (19) joka siis kyseisessä tapauksessa on vakio. 10

11 Ei ideaalinen siirtolinja Käytännössä levyjen johtavuus ei ole ääretön, joten varaukset eivät ole levyjen pinnalla (tunkeutumissyvyys 0), joten levyissä tapahtuu pyörrevirtahäviöitä. Jos taas eristeellä johtavuus ei ole nolla, niin myös siihen voi indusoitua magnettikenttää vaimentavia virtoja. Näistä tekijöistä johtuen täytyy ottaa huomioon levyjen resistanssi ja eristeen konduktanssi, jotka yleistävät siirtolinjayhtälöt myös häviöllisille aineille. 11

12 L z R z C z G z Hyvin lyhyt, z:n pituinen pätkä ei ideaalista siirtolinjaa ja vastaava ekvivalenttinen piirikytkentä. 12

13 Yllä olevat tekijät voidaan tulkita seuraavasti: L z kuvaa magnettista energiaa C z kuvaa sähköistä energiaa R z kuvaa ohmisia häviöitä johteessa G z kuvaa lämpöhäviöitä eristeessä. Tällöin V:hen ja I:hin liittyy vaimennustekijä vastaavasti, kuten tasoaalloille johteissa. Kuorman sovitus Jännitteelle ja virralle siirtolinjassa pätevät yhtälöt V (z) = V + 0 e γz + V 0 eγz (20) I(z) = I + 0 e γz + I 0 eγz, (21) 13

14 missä γ = α + jβ ja ( V I ) z=0 = V 0 + I 0 + = Z 0. (22) Äärettömän pituisille johdoille toiset termit häviävät, sillä tällöin ei heijastusta tapahdu. Tarkastellaan seuraaavaksi tapausta, jossa äärellisen pituinen (l) siirtolinja on kytketty kuormaan, jonka impedanssi on Z L. Jos linjan päässä on siis kuorma Z L, virran ja jännitteen suhde ei voi olla ( ) V = Z L (23) I ilman heijastuvaa aaltoa. z=l Mutta jos Z l = Z 0 niin heijastuvaa aaltoa ei ole ja sanotaan, että kuorma on sovitettu siirtolinjaan. 14

15 Heijastuskerroin kuvaa sovituksen onnistumista ja se on määritelty Γ = Z L Z 0 Z L + Z 0 (24) (huomaa samankaltaisuus tasoaaltojen yhteydessä määritettyyn heijastuskertoimeen). Kun äärellisen pituinen siirtolinja on terminoitu impedanssilla, joka on yhtä suuri kuin sen oma karakteristinen impedanssi, ei heijastumista tapahdu. 15

16 Aaltoputket Kun taajuudet kasvavat useampaan GHz:iin, siirtolinjat tulevat epäkäytännöllisiksi, koska vaimenemisvakio tulee hyvin suureksi. Tästä syystä suuremmilla taajuuksilla käytetään nk. aaltoputkia. Ontto metalliputki ja valokuitu ovat käytännön esimerkkejä aaltoputkista. ɛ 2 µ, ɛ ɛ 1 ɛ 1 > ɛ 2 16

17 Tarkastellaan jatkossa aaltoputkea, jonka poikkileikkaus on vakio. Putken sisällä täytyy toteutua Helmhotzin aaltoyhtälöt: 2 E + k 2 E = 0 (25) 2 H + k 2 H = 0. (26) Aalto etenee +z-suuntaan, joten se on muotoa joten E(x, y, z, t) = Re { E o (x, y)e jωt γz}, ] 2 E z 2 = γ2 E. Täten voidaan kirjoittaa ( 2 = 2 xy + 2 z 2 ) merkitään jatkossa h 2 = k 2 + γ 2. 2 xye + (k 2 + γ 2 )E = 0 (27) 2 xyh + (k 2 + γ 2 )H = 0, (28) 17

18 Toisaalta E ja H kytkeytyvät toisiinsa Faradayn ja Ampèren lakien kautta eli yhteensä kuusi yhtälöä ja kuusi tuntematonta (eli H:n ja E:n komponentit). Yhtälöryhmää voidaan manipuloida siten, että sekä H:n x- ja y-komponentit että E:n x- ja y-komponentit voidaan lausua H:n ja E:n z-komponenttien avulla. Idea: ratkaistaan ensin 2 xye z + (k 2 + γ 2 )E z = 0 (29) 2 xyh z + (k 2 + γ 2 )H z = 0, (30) ja kun E z ja H z on saatu ratkaistua, käytetään muita yhtälöitä, jotta muut komponentit saadaan tunnetuiksi. 18

19 TEM aallot Tässä tapauksessa E z ja H z ovat nollia, joten muutkin komponentit ovat nollia, jollei h 2 = 0 ja siis γ T EM = jk = jω µɛ. (31) Todetaan vielä, että yksijohtimisessa aaltoputkessa ei TEM aalto voi kuitenkaan edetä, sillä tällöin sähkö ja magneettikentät olisivat samassa tasossa ja seurauksena Amperen ja Faradayn laeista kentät olisivat nollia. TM aalto TM aallossa magneettikentällä ei ole lainkaan komponenttia aallon etenemissuunnassa. 19

20 Helmholtzin aaltoyhtälöllä 2 xye z + (k 2 + γ 2 )E z = 0 annetuilla reunaehdoilla ei ole ratkaisuja kaikilla h:n arvoilla. Niitä arvoja, joilla ratkaisu löytyy, kutsutaan karakteristisiksi tai ominaisarvoiksi. Näiden hakeminen edellyttää reuna-arvojen määrittämistä ODY:lle. Yleisesti voidaan kuitenkin sanoa muutamia asioita. Ensinnäkin eli γ = 0, kun h 2 = ω 2 µɛ, ts. kun γ = h 2 k 2 = h 2 ω 2 µɛ f c = h 2π µɛ. Tätä taajuutta kutsutaan rajataajuudeksi (cutoff frequency). 20

21 Olkoon f taajuus, jolla operoidaan. Sen ja rajataajuuden välille saadaan γ = h 1 (f/f c ) 2 ja nyt γ:lla on selvästi kaksi vyöhykettä. 1. (f/f c ) 2 > 1 eli f > f c. Tällä alueella h 2 < ω 2 µɛ ja γ on imaginäärinen. Joten γ = jβ = jk 1 (h/k) 2 = jk 1 (f c /f) 2 ja etenemisvakio β = k 1 (f c /f) (f/f c ) 2 < 1 eli f < f c. Tällöin γ = α = h 1 (f/f c ) 2, eli γ on reaalinen eli aalto vaimenee eksponentiaalisesti putken sisällä. 21

22 Toisin sanoen, aaltoputki on ylipäästösuodin. Kutakin moodia vastaa rajataajuus, jonka alapuolella aalto ei voi edetä. Rajataajuuden alapuolella aaltoimpedanssi on pelkästään reaktiivinen, mikä tarkoittaa, että vaimenevan aallon mukana ei siirry tehoa. TE aalto Kyseisessä tapauksessa siis E z = 0 ja kentät saadaan ratkaistuksi yhtälön 2 xyh z + hh z = 0 Vastaavasti, kuten TM-aallolle yhtälö toteutuu ainoastaan tietyillä h:n arvoilla. 22

23 Suorakulmainen aaltoputki Etsitään mahdollinen ratkaisu suorakulmaiselle aaltoputkelle, jota ympäröivät metalliseinät. b y z a x Tarkastellaan ensiksi TM-aaltoa, jolloin H z = 0 ja E z (x, y, z) = E 0 z(x, y)e γz (32) ja ratkaistavaksi jää seuraava osittaisdifferentiaaliyhtälö ( 2 x y 2 + h2 )E 0 z(x, y) = 0. (33) 23

24 Yhtälö voidaan ratkaista esimerkiksi separoimalla muuttujat ja ratkaisu on ( mπ ) ( nπ ) Ez(x, 0 y) = E 0 sin a x sin b y. (34) E:n loput komponentit ja H voidaan laskea Maxwelllin yhtälöiden avulla. Parametrit m ja n ovat kokonaislukuja ja vastaavat erilaisia, mahdollisia kenttäjakaumia aaltoputkessa ja TM muodoille pätee, että n, m 1. TE muodoille vastaava ratkaisu on ( mπ ) ( nπ ) Hz 0 (x, y) = H 0 cos a x cos b y ja TE muodoille pätee, että n + m 1. (35) 24

25 Tarkastellaan, mitä ominaisuuksia ratkaisu sisältää. Ensinnäkin x-suunnassa pätee, että ja y-suunnassa E 0 z(0, y) = 0 (36) E 0 z(a, y) = 0, (37) E 0 z(x, 0) = 0 (38) E 0 z(x, b) = 0. (39) Lisäksi pätee ( mπ ) 2 ( nπ ) 2 h 2 = a x + b y, (40) jolloin katkotaajuudeksi saadaan (f c ) mn = 1 2 µɛ (m a ) 2 + ( n b ) 2. (41) 25

26 Vastaavasti aallonpituudelle saadaan (λ c ) mn = ( m a 2 ) 2 ( + n ). (42) 2 b 26

27 Esimerkki: Kaupallisen S alueen (tutkatekniikassa käytetyn koodauksen mukaan S alueella tarkoitetaan taajuuskaistaa 2-4 GHz) aaltoputken poikkileikkauksen mitat ovat a = 7, 21 cm ja b = 3, 40 cm. Mitkä aaltomuodot etenevät putkessa, kun taajuus on 3 GHz (vapaan tilan aallonpituus 10 cm), 6 GHz (vapaan tilan aallonpituus 5 cm)? Katkotaajuus on siis (f c ) mn = 1 2 µɛ Putki on ilmaeristeinen, joten (m a ) 2 + ( n b ) 2. (43) 1 2 µɛ [m/s]. (44) Lasketaan nyt eri muotojen rajataajuudet tällä kaavalla. Muista, että TM 11 on alin aaltomuoto TM muodoille, mutta TE muodoille 27

28 on olemassa myös TE 10. Rajataajuudet TE 10 : f katko =2.08 GHz TE 20 : f katko =4.16 GHz TE 30 : f katko =6.24 GHz TE 11 /TM 11 : f katko =4.88 GHz TE 01 : f katko =4.41 GHz TE 02 : f katko =8.82 GHz TE 21 /TM 21 : f katko =6.06 GHz. Rajataajuuksista voidaan nyt päätellä, että taajuudella 3 GHz vain TE 10 etenee, mutta 6 GHz:llä putkessa etenee peräti viisi aaltomuotoa:te 10, TE 20, TE 11, TM 11 ja TE

29 Resonaattorit Resonaattori on laite, johon varastoituu sähkömagneettista energiaa. Energia värähtelee sähköisen ja magneettisen muodon välillä ja kyseessä on siten resonanssi-ilmiö. Onteloresonaattori Tarkastellaan suorakulmaista aaltojohtoa, jonka päät on suljettu johtavilla levyillä. Onteloresonaattori saadaan siis aikaan, kun metallisen aaltoputken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen sisään syötetään tehoa. 29

30 a b d syöttö Oikealle etenevä aalto heijastuu putken loppupäästä, jolloin syntyy z-suuntaan etenevä aalto. Tämä aalto taas heijastuu putken alkupäästä. Jos resonaattorin mitat ovat sopivat, sen sisälle syntyy seisova aalto, joka jää värähtelemään resonaattorin sisälle, vaikka syöttö katkaistaisiin. Kyseessä on resonanssitila, jossa energia värähtelee sähkö- ja magneettikentän välillä. 30

31 Resonaattoreita käytetään korkeilla taajuuksilla piirikomponentteina, taajuusmittauksiin, suodatukseen ja kuorman sovittamiseen. Kenttien ratkaiseminen resonaattorissa voidaan tehdä vastaavasti kuin aaltoputken tapauksessa. Eri muotoihin liittyvä resonanssitaajuus saadaan kaavasta f mnp = 1 (m ) 2 ( n ) 2 ( p ) (45) µɛ a b d 31

32 Esimerkiksi, T E 101 -moodille a b c kuutiossa, on vain kolme nollasta poikkeavaa kentän komponenttia: E y = jωµa ( π ) ( π ) π H 0sin a x sin d z (46) H x = a ( π ) ( π ) d H 0sin a x cos d z (47) ( π ) ( π ) H z = H 0 sin a x sin d z (48) Suorakulmaisen ontelon resonanssimuoto herätetään tavallisimmin joko koaksiaalikaapelin keskijohdinta venyttämällä suoraksi tai silmukaksi (antenni) taikka seinässä olevan aukon kautta aaltoputkesta. Olennaista, että syöte on sellaista, että se sopii herätettävään aaltomuotoon. 32

33 Esimerkki: Suorakulmainen onteloresonaattori on valmistettu messingistä, jonka johtavuus on σ = [S/m]. Ontelon mitat ovat a b d = cm 3. Mikä on tyhjän ontelon alin resonanssimuoto ja resonanssitaajuus? Alin resonanssimuoto on joku TE mnp tai TM mnp muodoista. Resonanssi taajuus saadaan siis kaavasta f mnp = 1 (m ) 2 ( n ) 2 ( p ) (49) µɛ a b d Alimmat mahdolliset muodot ovat TE 011, TE 101 ja TM

34 Lasketaan resonanssitajuudet seuraaville muodoille: TE 011 :f 011 5,83 GHz TE 101 :f 101 4,80 GHz TM 110 :f 110 6,25 GHz. Kuten huomataan, näistä alin resonanssimuoto on TE 101 (joka on myös niin sanottu perusmuoto). 34