Luento JOHDANTO

Transkriptio

1 1 1 JOHDANTO Luento Tilastotiede menetelmätiede, joka käsittelee - tietojen hankinnan suunnittelua otantamenetelmät koejärjestelyt kyselylomakkeet - tietojen keruuta - tietojen esittämistä kuvailevaa tilastotiedettä - tietojen analysointia johtopäätelmien tekoa analysointimenetelmien avulla

2 2 Ks. tarkemmin tilastotiede Soveltajat käyttävät tilastotieteilijöiden kehittämiä menetelmiä - tietoaineiston keruuseen - kuvailuun - analysointiin Tilastotiedettä käytetään hyväksi aina, kun käsitellään empiiristä tietoaineistoa. Tietotekniikka ja matematiikka apuvälineitä.

3 3 Tilastollinen analyysi voidaan karkeasti jakaa - kuvailevaan analyysiin kuvataan tietoaineistoa, graafiset esitykset, tunnusluvut, taulukot - tilastolliseen päättelyyn johtopäätelmät aineiston (otoksen) perusteella, todennäköisyyslaskentaan perustuvien tilastollisten testien ja analysointimenetelmien avulla MTTTP1 - aineiston hankintaa - aineiston sisältämän tiedon esittäminen - tilastollisen testauksen alkeita

4 4 2 TILASTOLLINEN TUTKIMUS JA SEN TYÖVAIHEET Populaatio tutkimusobjektien muodostama joukko, johon tilastollinen tutkimus kohdistuu Tilastoyksikkö eli havaintoyksikkö populaatio yksikkö Esim. Henkilö, kunta, valtio, ruokakunta, kirja, auto, liikenneonnettomuus, www-sivu tilastoyksiköitä Empiirinen tutkimus tehdään lähes aina käyttäen vain osaa populaatiosta, otosta. Otoksen perusteella tehdään päättelyt koko populaatiosta.

5 5 Tilastoyksikön ominaisuudet tilastollisia muuttujia Esim. Henkilön ikä ja sukupuoli, kunnan asukasluku, valtion sijainti, auton väri muuttujia Yleisesti merkitä x, y, z,..., x 1, x 2, x 3,... Empiirinen havaintoaineisto (data) saadaan mittaamalla tilastoyksiköiden ominaisuuksia. Tilastolliset analyysimenetelmät ovat välineitä havaintoaineiston tutkimiseksi sekä johtopäätelmien tekemiseksi populaatiosta aineiston perusteella.

6 6 Esim Opintojaksolle ilmoittautuminen tilastoyksikkö opiskelija muuttujia pääaine/koulutusohjelma/tutkinto-ohjelma sukupuoli harjoitusryhmätoive opintojen aloitusvuosi Esim Opintojakson tenttiin osallistujat tilastoyksikkö opiskelija populaatio esim. kaikki opintojakson opiskelijat muuttujia esim. opiskelijan tutkinto-ohjelma, tenttipisteet

7 7 Esim a) Populaationa Suomen kunnat tilastoyksikkö kunta muuttujia esim. kunnan asukasluku, asuntojen keskikoko, lääni, jossa kunta sijaitsee b) Populaationa (tai otoksena) Eduskunta 2011 tilastoyksikkö kansanedustaja muuttujia edustajan ikä, puolue, äänimäärä, ammatti

8 8 Esim Tapahtuma tilastoyksikkönä - synnytys - liikenneonnettomuus - työtapaturma - jääkiekko-ottelu

9 9 Tilastollisen tutkimuksen työvaiheet 1 Suunnittelu tutkimuskohteen & aiheen valinta tilastoyksikkö muuttujat tutkimuksen suorittamisen suunnittelu kyselylomake otantamenetelmä koejärjestely jne. 2 Aineiston hankkiminen ja tallennus analysointia varten suunnitellun havaintoaineiston hankinta tallennus ja muokkaus analysointia varten

10 3 Aineiston kuvailu kuvailevan tilastotieteen keinoin aineiston sisältämän tiedon esittely ja tutkiminen 4 Tilastolliset mallit ja testaukset populaatiosta tehtyjen väittämien testaukset aineiston (otoksen) perusteella todennäköisyysteoriaan perustuvien tilastollisten mallien sovittaminen havaintoaineistoon 5 Raportointi johtopäätelmien teko ja niiden esittäminen ja tulkinta 10 Ks. Harjoitustyön ohjeet /ohjeet.html

11 11 Avainkäsitteet: Populaatio Otos Tilastoyksikkö Muuttuja Havaintoaineisto Tilastollinen tutkimus

12 1 KERTAUSTA Luento Populaatio tutkimusobjektien muodostama joukko, johon tilastollinen tutkimus kohdistuu, koko N Populaation yksikkö tilastoyksikkö, havaintoyksikkö Otos populaation osajoukko, koko n Tilastoyksikön ominaisuudet tilastollisia muuttujia

13 Esim Tapahtuma tilastoyksikkönä ko.pdf#page=6 a) tilastoyksikkö: synnytys muuttujia: äidin ikä, onko äidin 1. synnytys, syntyneiden lasten lukumäärä, 1. lapsen syntymäaika, 1. lapsen sukupuoli, 1.lapsen paino, 1. lapsen pituus, d) tilastoyksikkö: jääkiekko-ottelu muuttujia: yleisömäärä, joukkueet, kotijoukkueen jäähyt, vierasjoukkueen tehdyt maalit, vierasjoukkueen jäähyt, jäähyjen yhteismäärä, 2

14 3 Empiirinen havaintoaineisto (data) saadaan mittaamalla tilastoyksiköiden ominaisuuksia Tilastolliset analyysimenetelmät välineitä havaintoaineiston tutkimiseksi ja johtopäätelmien tekemiseksi Tilastollinen analyysi kuvailevaa analyysia tilastollista päättelyä

15 4 3 HAVAINTOAINEISTO JA HAVAINTOMATRIISI Aineiston hankinta otantatutkimus, päättely populaatiosta, tehdään satunnaisesti populaatiosta tehdyn otoksen (satunnaisotoksen) perusteella kokonaistutkimus, harvoin mahdollista

16 Esim Päättelytilanteita uentorunko.pdf#page=8 a) Puolueen kannatuksen arviointi, esim. Taloustutkimuksen tekemiä tutkimuksia ( > Tuotteet ja palvelut > Puolueiden kannatusarviot). Muodostetaan luottamusväli todelliselle kannatukselle. b) Halutaan arvioida suomalaisten naisten keskipituutta. Lasketaan otoksesta keskipituus ja arvioidaan virhettä, joka liittyy päättelyyn. Tässä voidaan muodostaa keskipituudelle luottamusväli. 5

17 Otantamenetelmät (tapoja satunnaisotoksen tekemiseen) yksinkertainen satunnaisotanta YSO systemaattinen otanta SO ositettu otanta OO ryväsotanta RY runko.pdf#page=8 6

18 7 Analysoitavassa aineistossa n tilastoyksikköä, a 1, a 2, a 3,..., a n p muuttujaa, x 1, x 2, x 3,..., x p Havaintomatriisi on n x p taulukko, jossa muuttujien arvot jokaiselta tilastoyksiköltä muodossa: x 1 x 2 x j x p a 1 x 11 x x 1j... x 1p a 2 x 21 x x 2j... x 2p.. a i x i1 x i2... x ij... x ip. a n x n1 x n2... x nj... x np Havaintomatriisissa n riviä ja p saraketta, sarake muodostaa kyseisen muuttujan jakauman.

19 8 Esim. Esim. CTESTI-aineisto, muuttujien kuvaukset muuttujienkuvaus.pdf PULSSI-aineisto ntorunko.pdf#page=98 ( > luento 11.9.) Esim HOTDOG-aineisto ntorunko.pdf#page=97 Kilohinta-muuttuja 1 unssi = 28,35 g, 1 dollari = 0,77 euroa, Kilohinta = ($/oz)x0,77/0,02835.

20 uentorunko.pdf#page=12 Esim Myytyjä kiinteistöjä ntorunko.pdf#page=11, käyttökelpoisia muunnoksia Eurohinta = 0,77 x P x 1000, Neliöt = 0,0929 x S x 1000 (1 square foot = 0,0929 m 2 ), Neliöhinta = Eurohinta/Neliöt 9

21 10 Esim Tampereella 12 kuukauden aikana myytyjä kerrostaloasuntoja, otos , aineisto Tre_myydyt_asunnot_2012.sav sivulla Tutkimusongelmia? ( > luento 11.9.)

22 11 4 MITTAAMINEN Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. Mittausvirhettä mittari epätarkka häiriötekijät Mittarin reliabiliteetin alhainen toisistaan riippumattomat, samalle tilastoyksikölle tehdyt mittaukset antavat huomattavasti poikkeavia tuloksi

23 12 Mittarin ei validi ei mittaa sitä ominaisuutta, mitä tarkoitus mitata (mittari huonosti laadittu) Suoraan mitattavissa ja tulkittavissa olevia muuttujia Esim. Henkilön pituus, paino, kunnan asukasluku, lasten lukumäärä perheessä Eivät suoraan mitattavissa olevia muuttujia, määrittely ei yksikäsitteistä Esim. Henkilön älykkyys, musikaalinen lahjakkuus, uskonnollisuus, asenne johonkin; www-sivun käytettävyys

24 13 Esim. Henkilön uskonnollisuutta voidaan mitata kirkossa käyntien määrällä, uskonnollisen kirjallisuuden lukemisella, (nk. indikaattorimuuttujien avulla). Esim. Asenne-/mielipidemittauksissa asennetta/mielipidettä peilaavia väitteitä Vastaaja valitsee esimerkiksi vaihtoehdoista täysin samaa mieltä jokseenkin samaa mieltä ei osaa sanoa jokseenkin eri mieltä täysin eri mieltä

25 14 Muuttujia voidaan luokitella monella tavalla: 1) 2) 3) 4) kategorisiin eli kvalitatiivisiin numeerisiin eli kvantitatiivisiin mitta-asteikkojen perusteella jatkuva ei-jatkuva selitettävä selittäjä

26 1) Kvalitatiivinen (kategorinen) muuttuja jakaa tilastoyksiköt tarkasteltavan ominaisuuden suhteen luokkiin Esim. Henkilön siviilisääty, opiskelijan koulutusohjelma, kaupungin sijaintikunta, vaatteiden kokoluokitus Kvalitatiiviset muuttujat voidaan koodata numeerisesti, MUTTA numeroarvoilla ei määrällistä tulkintaa; ovat vain luokkien nimiä tai kuvaavat luokkien "suuruusjärjestyksen". 15

27 16 Kvantitatiivinen (numeerinen) muuttuja, muuttujan arvo mitattaessa reaalinen, mitataan lukumäärää tai mittaus mittayksikköä käyttäen Esim. Henkilön pituus, opiskelijan ikä, kaupungin asukasluku, vaatteen hinta

28 17 2) Muuttujien mitta-asteikot Luokittelu- eli laatuero- eli nominaaliasteikko kvalitatiivinen muuttuja, jonka luokkia ei voida asettaa järjestykseen (esim. paremmuus, suuruus, kovuus) Esim. Henkilön siviilisääty, opiskelijan koulutusohjelma, kaupungin sijainti Järjestys- eli ordinaaliasteikko kvalitatiivinen muuttuja, jonka luokat voidaan asettaa mielekkääseen järjestykseen mitattavan ominaisuuden suhteen

29 Esim. Asennekysymykset, vaatteiden kokoluokitus Suhdeasteikko numeerisen muuttuja, jonka arvo nolla vastaa tarkasteltavan ominaisuuden häviämistä, absoluuttista nollapistettä Esim. Henkilön paino (kg) ja pituus (cm), henkilön 100 m juoksuaika (s), asunnon vuokra ( ), urheilijan harjoitteluun käyttämä aika päivässä (min) Intervalliasteikko numeerisen muuttuja, jonka nollakohta ei suhdeasteikon tapaan määritelty Esim. Huoneen lämpötila Celsius-asteina. 18

30 19 Absoluuttinen asteikko suhdeasteikollinen, jossa mittaus kiinnitetyllä mittayksiköllä Esim. Asunnon huoneiden lukumäärä, perheessä lasten lukumäärä Mitta-asteikko vaikuttaa tilastollisen menetelmän valintaan. Numeeristen muuttujien yhteydessä lähes samat menetelmät ja tunnusluvut käyvät kaikille kolmelle mitta-asteikolle. Suhdeasteikolla muuttujan arvojen suhteilla on mielekäs tulkinta. Intervalliasteikolla voidaan vertailla arvojen eroja, mutta ei suhteita.

31 20 Esim Esim. Liikuntamäärien mittaus uentorunko.pdf#page=15 ( > luento 11.9.) CTESTI-aineiston muuttujien mitta-asteikot, muuttujien kuvaukset I_muuttujienkuvaus.pdf ( > luento 11.9.)

32 21 5 EMPIIRISET JAKAUMAT 5.1 Yksiulotteinen jakauma Havaintomatriisin sarakkeilla on muuttujien x 1, x 2, x 3,..., x p jakaumat Frekvenssijakauma Esim. Opintojaksolle ilmoittautuneet n=323, 4.9. Opiskelijat yksiköittäin (%) SIS 50 JKK 43 Muut 7 Ensimmäisen vuoden opiskelijoita 18 % Matematiikan ja tilastotieteen opiskelijoita 9 % Tietojenkäsittelytieteiden opiskelijoita 36 % Uusien tutkinto-ohjelmien opiskelijoita 75 %

33 Esim Lepopulssin jakauma 14/luentorunko.pdf#page=16 ( > luento 11.9.) Esim & Luokkarajat, luokkakeskus, luokan pituus, summafrekvenssi. ( > luento 11.9.) Esim Lepopulssin jakauma miehillä ja naisilla 14/luentorunko.pdf#page=19 ( > luento 11.9.) 22

34 Esim Yritykset toimialoittain 14/luentorunko.pdf#page=17 ( > luento 11.9.) 23 Esim. Tampereelle 2009 myytyjä pieniä (alle 35 m²) asuntoja, aineisto Tre_myydyt_asunnot_2009.sav sivulla frekvenssijakaumia. ( > luento 11.9.)

35 24 Avainkäsitteet: Havaintomatriisi Muuttujan jakauma Otantamenetelmät Mittaaminen Kvalitatiivinen muuttuja Kvantitatiivinen muuttuja Mitta-asteikot Frekvenssijakauma

36 1 KERTAUSTA Luento ) Havaintomatriisi Tilastoyksiköt: a 1, a 2, a 3,..., a n Muuttujat: x 1, x 2, x 3,..., x p Havaintomatriisissa n riviä ja p saraketta x 1 x 2 x j x p a 1 x 11 x x 1j... x 1p a 2 x 21 x x 2j... x 2p.. a i x i1 x i2... x ij... x ip. a n x n1 x n2... x nj... x np

37 2 Esim Sivun aineisto: Tre_myydyt_asunnot_2012.sav, Tampereella 12 kuukauden aikana myytyjä kerrostaloasuntoja, otos ) Mitta-asteikot Nominaaliasteikko Järjestysasteikko Intervalliasteikko Suhdeasteikko Absoluuttinen asteikko Ks. teikko

38 Esim Liikuntamäärien mittaus #page=15 mitta-asteikot. Esim. CTESTI-aineiston muuttujien mitta-asteikot, muuttujien kuvaukset ienkuvaus.pdf 3

39 4 5 EMPIIRISET JAKAUMAT 5.1 Yksiulotteinen jakauma Havaintomatriisin sarakkeilla on muuttujien x 1, x 2, x 3,..., x p jakaumat Frekvenssijakauma Esim Yritykset toimialoittain 014/luentorunko.pdf#page=17 Esim Lepopulssin jakauma 014/luentorunko.pdf#page=16

40 5 Esim & Mittaustarkkuus, pyöristetyt luokkarajat, todelliset luokkarajat, luokkakeskus, luokan pituus, frekvenssi, summafrekvenssi Esim Miesopiskelijoiden pituus. summa- luokka- todelliset frekv. frekv. keskus luokkarajat ,5-160, ,5-167, ,5-174, ,5-181, ,5-188,5 Mittaustarkkuus 1, luokan pituus 7

41 6 Ehdolliset frekvenssijakaumat, tarkastellaan frekvenssijakaumaa toisen muuttujan mukaan ryhmiteltynä. Esim Lepopulssin jakauma miehillä ja naisilla 014/luentorunko.pdf#page=19. Esim Maisterin tutkinnosta 2012 valmistuneiden työelämään sijoittuminen, työtilanne koulutusaloittain vuosi valmistumisen jälkeen nat/maisterit/index/sijoittumisseuranta% pdf (s. 15)

42 Esim. Tampereelle 2009 myytyjä pieniä (alle 35 m²) asuntoja, aineisto Tre_myydyt_asunnot_2009.sav sivulla frekvenssijakaumia. 7

43 8 Esim. Aineisto Tre_myydyt_asunnot_2012.sav, huoneiden lukumäärä alueittain. Huoneiden lukumäärä Huoneiden lukumäärä * Sijainti Crosstabulation Sijainti Total Hervanta Kaleva Keskusta Tesoma Count % within 16,4% 19,5% 27,4% 9,3% 20,3% Sijainti Count % within 41,4% 55,8% 40,2% 25,9% 41,6% Sijainti Count % within 32,8% 19,5% 25,0% 35,2% 27,7% Sijainti Count % within 9,4% 5,2% 7,3% 29,6% 10,4% Sijainti Count Total % within Sijainti 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

44 Frekvenssijakaumien graafiset esitykset Piirakkakuvio Pylväs-, vaakapylväs-, janadiagrammi Frekvenssihistogrammi Esim. Aineisto Tre_myydyt_asunnot_2012.sav, muuttujien sijainti, huoneiden lukumäärä, neliöhinta graafiset esitykset ovat piirakkakuvio tai vaakapylväsdiagrammi, pylväsdiagrammi tai janadiagrammi, frekvenssihistogrammi. Neliöhintaa voidaan tarkastella myös sijainnin mukaan ehdollistettuna samoin huoneiden lukumäärää.

45 Sijainnin jakauma, piirakkakuvio 10

46 Sijainnin jakauma, vaakapylväsdiagrammi 11

47 Huoneiden lukumäärän jakauma, pylväsdiagrammi 12

48 Neliöhinnan jakauma, frekvenssihistogrammi 13

49 Neliöhinnan ehdolliset histogrammit 14

50 Huoneiden lukumäärä sijainnin mukaan, summapylväsdiagrammi 15 Grafiikan valinnasta esimerkkejä ks. alinnasta.pdf

51 5.1.3 Yksiulotteisen jakauman tunnuslukuja 1 Luento Tunnusluvut kuvataan jakaumaa muuttujan arvoista lasketulla (tai arvojen avulla määritellyllä) luvulla kuvataan jakauman sijaintia, vaihtelua, vinoutta, huipukkuutta, jne. mitta-asteikko määrittää tunnusluvun valinnan 1) Sijainnin tunnuslukuja Keskilukuja moodi (Mo) mediaani (Md), järjestysasteikollisuus keskiarvo, kvantitatiivisuus

52 2 Muita sijainnin tunnuslukuja ala- ja yläkvartiili, muut fraktiilit, järjestysasteikollisuus laatikko-jana kuvio muodostetaan kvartiilien avulla 2) Vaihtelua mittaavia tunnuslukuja varianssi, keskihajonta, kvantitatiivisuus variaatiokerroin, suhdeasteikollisuus 3) Muita tunnuslukuja erilaisia vinous- ja huipukkuuskertoimia

53 3 1) Sijainnin tunnuslukuja Keskilukuja pdf#page=24 Moodi (Mo) Esim Sisarusten lukumäärä runko.pdf#page=33, Mo=0 Mediaani (Md), vaaditaan järjestysasteikollisuus Esim Tenttipistet: 95, 86, 78, 90, 62, 73, 89 runko.pdf#page=24, Md=86

54 Esim Sisarusten lukumäärä Md = 1. Keskiarvo, kaava (1) runko.pdf#page=95, vaaditaan kvantitatiivisuus Esim. Etäisyydet, joista lepakot löysivät hyönteisiä, ks. Selityksiä ja esimerkkejä kaavoihin kit_kaavoihin.pdf Esim Keskiarvo tenttipisteistä runko.pdf#page=25 4

55 Esim Lepopulssin keskiluvut runko.pdf#page=25 Esim Sisarusten lukumäärän keskiarvo, keskiarvo frekvenssijakaumasta Keskiarvoon liittyviä ominaisuuksia Keskistäminen ntorunko.pdf#page=25 Lineaarinen muunnoksen vaikutus keskiarvoon ntorunko.pdf#page=26 5

56 6 Ryhmäkeskiarvot ntorunko.pdf#page=26 Esim Lepopulssin keskiarvo miehillä ja naisilla, luentorunko.pdf#page=26 Esim Voidaanko sadon määrää selittää käytetyllä viljelymenetelmällä? satomäärä = selitettävä eli riippuva muuttuja (y) viljelymenetelmä = selittävä, riippumaton muuttuja (x) entorunko.pdf#page=27

57 Esim Voidaanko neliöhintaa selittää sijainnilla? y = neliöhinta x = sijainti entorunko.pdf#page=29 7 Esim Keskiluvut symmetristen ja vinojen jakaumien tapauksessa,

58 Muita sijainnin tunnuslukuja ko.pdf#page=28 Ala- ja yläkvartiili, muut fraktiilit Laatikko-jana kuvio muodostetaan kvartiilien avulla Esim Neliöhinta sijainnin mukaan, Esim Lepopulssi miehillä ja naisilla, 8

59 2) Vaihtelua mittaavia tunnuslukuja pdf#page=31 Varianssi, kaava (2) ko.pdf#page=95 Mittaa muuttujan arvojen keskittymistä keskiarvon ympärille, sallittu kvantitatiivisen muuttujan yhteydessä. Keskihajonta, kaava (3) Esim Keskihajonnat neliöhinnasta alueittain, ko.pdf#page=32 9

60 Esim. Etäisyydet, joista lepakot löysivät hyönteisiä, ks. Selityksiä ja esimerkkejä kaavoihin _kaavoihin.pdf ( > luento 18.9.) Esim Varianssin laskeminen tenttipisteistä ko.pdf#page=33 ( > luento 18.9.) Lineaarinen muunnoksen vaikutus keskihajontaan ko.pdf#page=35 ( > luento 18.9.) Muuttujan standardointi ko.pdf#page=35 ( > luento 18.9.) 10

61 11 Esim Normaalijakauma Esim. Laskuri jossa keskiarvon ja varianssin lasku ( > luento 18.9.)

62 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento Tunnusluvut 1) Sijainnin tunnuslukuja Keskilukuja moodi (Mo) mediaani (Md) keskiarvo, kaava (1) Muita sijainnin tunnuslukuja ala- ja yläkvartiili, muut fraktiilit

63 2 2) Vaihtelua mittaavia tunnuslukuja Varianssi ja keskihajonta, kaavat (2) ja (3) 3) Muita tunnuslukuja Voidaan mitata esim. jakauman vinoutta ja huipukkuutta

64 Esim. Sivulta aineisto Toyota.sav, jossa Toyota Avensis -farmariautoja vuosilta , oikotie.fi -sivustolta

65 4

66 5

67 Taulukosta laskettuna: Md = 2,0, Mo = 2,0, keskiarvo (1, , , ,2 17 )/102 = 1,965. 6

68 7

69 Hopeisia on eniten (54,4 %). 8

70 Esim. Etäisyydet (cm), joista lepakot löysivät hyönteisiä, olivat 62, 52, 68, 23, 40. Näistä s = 18, ks. Selityksiä ja esimerkkejä kaavoihin avoihin.pdf Esim Varianssin laskeminen tenttipisteistä pdf#page=33 9

71 Lineaarinen muunnoksen vaikutus keskihajontaan pdf#page=35 Muuttujan standardointi pdf#page=35 Esim. Laskuri jossa keskiarvon ja varianssin lasku 10

72 Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi Esim. Auton hinta ja ajetut kilometrit, aineistona Audi A6 henkilöautoja sivulla

73 12 Esim. Auton huippunopeus ja teho, aineistona auto94.sav (mikroluokissa)

74 13 Esim. Lumilaudan hinta ja pituus, aineistona Lumilaudat.sav sivulla

75 14 Esim Tehdyt kalusteet ja työntekijän kokemus, o.pdf#page=38 Esim Esim

76 Ristiintaulukko Esim. Miesten, naisten ja lasten lumilaudat valmistusmaittain, aineistona Lumilaudat.sav sivulla

77 16 Esim Automallien koot valmistusmaittain, o.pdf#page=39 Ristiintaulukko yleisesti o.pdf#page=40 Tutkitaan y:n riippuvuutta x:stä vertaamalla y:n ehdollisia prosenttijakaumia. Esim Markkinointisuunnitelma tavaratalon koon mukaan, o.pdf#page=40

78 Esim. Miesten, naisten ja lasten lumilaudat valmistusmaittain, aineistona Lumilaudat.sav sivulla 17

79 18 Esim. Asunnon kunto sijainnin mukaan, aineistona Tre_myydyt_asunnot_2010 sivulla Onko tässä korjattavaa?

80 Kaksiulotteisen jakauman tunnuslukuja ( > luento 23.9.) Mitataan kahden muuttujan välistä riippuvuuden voimakkuutta Ristiintaulukosta kontingenssikerroin Kvantitatiivisista muuttujista lineaarisen riippuvuuden voimakkuuden mittari korrelaatiokerroin (r) Järjestysasteikollisilla muuttujilla järjestyskorrelaatiokertoimet

81 20 Korrelaatiokerroin r Mittaa kahden kvantitatiivisen muuttujan välistä lineaarista riippuvuutta, sen voimakkuutta. Mittaa sitä, miten tiiviisti pisteet ovat sijoittuneet pisteparveen sovitetun suoran ympärille. Esim. Pisteparvia ja korrelaatiokertoimia: luentomonisteen esimerkit 5.2.8, , , , entorunko.pdf#page=43,

82 Esim. Pisteparvia ja arviot korrelaatiokertoimista 21

83 Korrelaatiokertoimen ominaisuudet o.pdf#page=42 Korrelaatiomatriisi, esimerkki o.pdf#page=47 Korrelaatiokertoimen laskukaava o.pdf#page=42 Kaavakokoelma kaava (4), ks. myös kaavoihin.pdf 22

84 23 Lineaarisen muunnoksen vaikutus korrelaatiokertoimeen o.pdf#page=45 Korrelaatiokerroin ehdollisena o.pdf#page=46 Osittaiskorrelaatiokerroin o.pdf#page=47

85 24 6 AIKASARJOISTA Määritelmä o.pdf#page=49 Graafinen esitys o.pdf#page=40 Esimerkkejä luentomonisteen esimerkeissä

86 Harjoitustyön riippuvuustarkastelut Ks. 3.pdf#page=3 Riippuvuustarkastelu 1 Tarkastelu, jossa y (selitettävä) on kvantitatiivinen ja x (selittäjä) kvalitatiivinen. Menetelminä laatikko-jana-kuvio, ryhmäkeskiarvot, muut tarvittavat tunnusluvut sekä päättely riippumattomien otosten t-testi avulla (käytetään näitä jokaista). Jos ryhmiä enemmän kuin kaksi, niin t-testissä voi tarkastella niistä kahta tai yhdistellä ryhmiä sopivasti. Ks. luentomonisteen esimerkit , , , 7.7.9, ,

87 26 Riippuvuustarkastelu 2 Tarkastelu, jossa sekä y että x kvalitatiivisia (kvantitatiiviset voi myös luokitella), selitettävä muuttuja eri kuin riippuvuustarkastelussa 1. Menetelmänä ristiintaulukko ja χ 2 riippumattomuustesti. Ks. luentomonisteen esimerkit 7.7.6, 7.7.7,

88 1 Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

89 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko)

90 3 Esim Markkinointisuunnitelma tavaratalon koon mukaan Suunnitelma on ei yht. Henkilöstö- alle määrä yli Markkinointisuunnitelman olemassaolon ehdolliset prosenttijakaumat (koon mukaan) Suunnitelma on ei Henkilöstö- alle ,6 43,5 määrä ,0 40,0 yli ,2 15,8

91 Ristiintaulukko yleisesti 4

92 Kaksiulotteisen jakauman tunnuslukuja Mitataan kahden muuttujan välistä riippuvuuden voimakkuutta Ristiintaulukosta kontingenssikerroin Kvantitatiivisista muuttujista lineaarisen riippuvuuden voimakkuuden mittari korrelaatiokerroin (r) Järjestysasteikollisilla muuttujilla järjestyskorrelaatiokertoimet

93 6 Korrelaatiokerroin r Mittaa kahden kvantitatiivisen muuttujan välistä lineaarista riippuvuutta, sen voimakkuutta. Mittaa sitä, miten tiiviisti pisteet ovat sijoittuneet pisteparveen sovitettavan suoran ympärille. Esim. Pisteparvia ja korrelaatiokertoimia: luentomonisteen esimerkit 5.2.8, , , , runko.pdf#page=43

94 Esim. Pisteparvia ja arviot korrelaatiokertoimista 7

95 8 Korrelaatiokertoimen ominaisuudet Korrelaatiomatriisi, esimerkki Korrelaatiokertoimen laskukaava Kaavakokoelma kaava (4), ks. myös Lineaarisen muunnoksen vaikutus korrelaatiokertoimeen Korrelaatiokerroin ehdollisena Osittaiskorrelaatiokerroin

96 9 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa? Ovatko kaupungissa eri alueilla myynnissä olevien asuntojen neliöhinnat samoja? Riippuuko myytävän asunnon kunto sijainnista? Miten päättely populaatiosta otoksen perusteella tehdään?

97 10 Otos Populaatio otoskeskiarvo populaation keskiarvo, odotusarvo µ otosvarianssi s 2 populaation varianssi 2 otoshajonta s populaation hajonta %-osuus otoksessa p %-osuus populaatiossa Otoksesta määritellyt, s 2, s, p ovat otossuureita, joiden käyttäytymistä voidaan arvioida todennäköisyysjakaumien avulla. Näitä jakaumia käytetään hyväksi päättelyssä.

98 Satunnaisilmiö ja tapahtuma Esim Rahanheitto, nopanheitto, lottoaminen. Satunnaisilmiö (satunnaiskoe) useita tulosmahdollisuuksia, epävarmuus tuloksesta Perusjoukko (E) kaikki mahdolliset tulokset Tapahtuma (A) perusjoukon osajoukko

99 12 Esim Rahanheitto E ={kruunu, klaava} tapahtumia A = {kruunu} B = {klaava} Nopanheitto E ={1, 2, 3, 4, 5, 6} tapahtuma A = {saadaan parillinen} = {2,4,6}

100 Klassinen todennäköisyys Tapahtuman A todennäköisyys P(A) = k/n, n satunnaisilmiön perusjoukon tulosten lukumäärä k tapahtumaan A liittyvien tulosten lukumäärä Esim Rahanheitto A = {kruunu} P(A) = 1/2

101 14 Nopanheitto A = {saadaan parillinen} = {2,4,6} P(A) = 3/6 B = {1}, P(B) = 1/6 D = {suurempi kuin 4} = {5,6}, P(D) = 2/6. Tapahtumien A ja B riippumattomuus

102 7.3 Satunnaismuuttuja ja todennäköisyysjakauma ( > luento 25.9.) 15 Esim Nopanheitto X = saatu silmäluku P(X=1) = P(X=2) = = P(X=6) = 1/6 Esim Heitetään kolikkoa neljä kertaa, X = klaavojen lukumäärä heittosarjassa. P(X=0) = 1/16, P(X=3) = 4/16, P(X=1) = 4/16, P(X=4) = 1/16, P(X=2) = 6/16.

103 Esim Kahden alkion otokset luvuista 1, 2, 3, 4, 5, 6 systemaattisella otannalla ovat {1, 4}, {2, 5}, {3, 6}, joista keskiarvot 2,5; 3,5 ja 4,5, joten P( =2,5) = P( =3,5) = P( =4,5) =1/3. 16 Diskreetin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma P(X=x 1 ) = p 1, P(X=x 2 ) = p 2 p 1 + p 2 + = 1

104 17 Jatkuvan muuttujan X todennäköisyysjakauma jatkuva funktio f(x), jolle f(x) 0 ja f(x):n ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on yksi. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x).

105 18 Esim Esimerkki erään jatkuvan muuttujan tiheysja kertymäfunktiosta Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) =, varianssia Var(X) = 2, keskihajonta Muuttujien summat ja erotukset satunnaismuuttujia Satunnaismuuttujien riippumattomuus

106 1 Luento KERTAUSTA Satunnaisilmiö (satunnaiskoe) useita tulosmahdollisuuksia, epävarmuutta tuloksesta Perusjoukko kaikki mahdolliset tulokset, joita n kappaletta Tapahtuma (A) perusjoukon osajoukko, tuloksia k kappaletta

107 2 Klassinen todennäköisyys P(A) = k/n Tapahtumien riippumattomuus toisen tapahtuminen tai tapahtumatta jääminen ei vaikuta toisen todennäköisyyteen

108 3 7.3 Satunnaismuuttuja ja todennäköisyysjakauma Esim Nopanheitto X = saatu silmäluku P(X=1) = P(X=2) = = P(X=6) = 1/6 Esim Heitetään kolikkoa neljä kertaa, X = klaavojen lukumäärä heittosarjassa. P(X=0) = 1/16, P(X=3) = 4/16, P(X=1) = 4/16, P(X=4) = 1/16, P(X=2) = 6/16.

109 Esim Kahden alkion otokset luvuista 1, 2, 3, 4, 5, 6 systemaattisella otannalla ovat {1, 4}, {2, 5}, {3, 6}, joista keskiarvot 2,5, 3,5 ja 4,5, joten P( =2,5) = P( =3,5) = P( =4,5) =1/3. 4 Satunnaismuuttuja funktio, joka liittää yksikäsitteisen reaaliluvun jokaiseen tarkasteltavan satunnaisilmiön perusjoukon tulokseen

110 5 Diskreetin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma P(X=x 1 ) = p 1, P(X=x 2 ) = p 2 p 1 + p 2 + = 1 Jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma jatkuva funktio f(x), jolle f(x) 0 sekä f(x):n ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on yksi. Funktiota f(x) kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = P(X x).

111 6 Esim Esimerkki erään jatkuvan satunnaismuuttujan tiheys- ja kertymäfunktiosta

112 Esim. Erään tiheysfunktion kuvaaja. 7

113 8 Todennäköisyysjakaumien tunnuslukuja odotusarvo E(X) = µ varianssi Var(X) = σ 2, keskihajonta σ. Satunnaismuuttujien summat, erotukset, suhteet, jne. ovat myös satunnaismuuttujia. Satunnaismuuttujien riippumattomuus määritellään vastaavalla tavalla kuin tapahtumien riippumattomuus.

114 9 7.4 Normaalijakauma Esim Vaahteraliigan pelaajien pituusjakauma. Kuvaan on piirretty normaalijakauman, jonka odotusarvo 183,35 ja varianssi 6,142 2, tiheysfunktio.

115 10 Normaalijakauma määritellään parametrein µ ja σ 2, merkitään X ~ N(µ, σ 2 ), tiheysfunktion kuvaajia maalijakauma Jos odotusarvo on nolla ja varianssi yksi, kyseessä standardoitu normaalijakauma, merkitään Z ~ N(0, 1). Tällöin P(Z z) = Φ(z), standardoidun normaalijakauman kertymäfunktiota merkitään Φ(z):lla.

116 11 Esim N(0, 1) jakauman tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Standardoidun normaalijakauman kertymäfunktion Φ(z) arvoja taulukoitu, o.pdf#page=96

117 Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 12

118 Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 13

119 14 Esim z 0,05 = 1,6449 z 0,01 = 2,3264 z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96

120 Standardoitu normaalijakauman symmetrinen nollan suhteen 15

121 16 Esim Olkoon Z ~ N(0, 1). P(Z 2,3264) = 0,01, P(Z -2,3264) = 0,01, P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025 P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05

122 Satunnaisotos, otossuure ja otantajakauma Päätelmät populaatiosta otoksen perusteella puolueen kannatus kynttilöiden keskimääräinen palamisaika asuntojen keskimääräiset neliöhinnat keskustassa ja lähiössä Miten päättely tehdään? Miten tulosten luotettavuutta voidaan arvioida?

123 18 Päättely satunnaisotoksen perusteella. Satunnaismuuttujajono X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos Xi:t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Esim. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Tällöin jokainen X i noudattaa normaalijakaumaa parametrien µ, σ 2 ja X i :t ovat toisistaan riippumattomia. Otossuure on satunnaisotoksen perusteella määritelty funktio.

124 Otoskeskiarvon on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden tml Viallisten prosenttiosuus otoksessa (p) on otossuure, jonka jakauma on likimain normaalijakauma. Otosjakauma (otantajakauma) on otossuureen todennäköisyysjakauma. Otossuureiden jakaumia käytetään päättelyyn liittyvien tulosten luotettavuuden arvioinnissa. 19

125 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden tml

126 2 Olkoon populaatiossa % tietyn tyyppisiä alkioita ja p = tietyn tyyppisten alkioiden % -osuus otoksessa. Tällöin p ~ N(, (100- )/n), likimain, kaava (7). Viallisten prosenttiosuus otoksessa (p) on otossuure, jonka jakauma on likimain normaalijakauma. Otossuureiden jakaumia käytetään päättelyyn liittyvien tulosten luotettavuuden arvioinnissa.

127 3 7.6 Piste-estimointi ja luottamusvälejä Esim. Vuonna 2010 suomalaisen miesten keskipituuden arvioitiin olevan 181 cm, naisten 167,5, otos vuonna 1983 ja jälkeen syntyneistä espoolaisista, kipituus_eri_maissa

128 4 Esim. Jalkapalloilijat 2006, jalkapalloilijoiden keskipituuden arviointi.

129 Esim. Puolueen kannatusarviot, den_kannatusarviot/puolueiden-kannatusarviot-2014/ 5

130 6 Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla (piste-estimointi) Estimaattori otossuure, jolla estimoidaan tuntematonta parametria Estimaatti estimaattorin arvo (tehdyn otoksen perusteella laskettu) Estimaattorin keskivirhe estimaattorin hajonta

131 7 Estimoitava Esti- Estimaattorin Estimoitu parametri maattori keskivirhe keskivirhe µ σ/ s/ p σ s Esim Puolueen kannatuksen arviointi p = 18 %, n = 100. Esim Kannatuksen estimoitu keskivirhe = 3,8. Esim Kerrostalohuoneistojen keskimääräisen neliöhinnan estimointi, =2398, s = 408, joten estimoitu keskivirhe on 408/ = 40,2.

132 Myös nk. luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria, tällöin kyse väliestimoinnista, edellä esillä piste-estimointi. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä, nk. luottamustasolla. Luottamusväli on satunnaisväli, joka sisältää estimoitavan parametrin todennäköisyydellä 1 -. Valitaan esim. 0,05 tai 0,01. Tällöin kyse 95 %:n tai 99 %:n luottamusvälistä. 8

133 Prosenttiosuuden luottamusväli Kaava (8), 100(1 - ) %:n luottamusväli prosenttiosuudelle / 2 p z p(100 p)/n 95 %:n luottamusväli, = 0,05, z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96 99 %:n luottamusväli, = 0,01, z 0,01/2 = z 0,005 = 2,5758

134 10 Esim Satunnaisesti valituista 100 henkilöstä puoluetta kannatti 18 %. Puolueen kannatuksen 95 %:n luottamusväli 18 1,96 ( ,5 Arvioidaan kannatuksen olevan välillä 10,5 25,5. Virhemarginaali ±7,5 %-yksikköä. Esim. Puolueen kannatusarviot ja virhemarginaali, den_kannatusarviot/puolueiden-kannatusarviot-2014/

135 Esim Yritys valvoo tuotantoaan. Virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, jossa 28 komponenttia osoittautui virheellisiksi. Onko tuotanto keskeytettävä? ( > luento 2.10.) 95 %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 5,6 1,96 5,6(100 5,6)/ Virheellisten osuuden arvellaan olevan välillä 3,6 % - 7,6 %, joten vaihtelu on sallituissa rajoissa, koska 4 % kuuluu luottamusvälille.

136 Esim. Kahvin myyjä väittää, että 15 % kahvin juojista valitsee kahvimerkin hinnan perusteella. Tutkitaan myyjän väitettä. Tehdään tutkimus, jossa 250 kahvin juojalta kysytään kahvimerkin valintaan vaikuttavia tekijöitä. Vastanneista 25 valitsi kahvinsa hinnan perusteella. Uskotko myyjän väitteen? 12 Nyt n = 250, p = /250 = %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 10 1,96 10(100 10)/ ± 3,7. Koska 15 ei kuulu luottamusvälille, ei uskota väitettä.

137 13 99 %:n luottamusväli 10 2, (100 10)/ ± 4,9, sama päättely.

138 Populaation odotusarvon luottamusväli Esim Arvioidaan poikien keskimääräistä syntymäpituutta, siis poikapopulaation keskiarvoa. Otoksessa 65 pojan syntymäpituuden keskiarvo 50,95 cm ja keskihajonta 1,97 cm. Arvio populaation odotusarvon luottamusvälin avulla, määrittämisessä käytetään otoskeskiarvoa ja otoshajontaa. Poikien keskipituuden arvellaan olevan välillä 50,5 cm 51,4 cm. SPSS-tulos:

139 15 Kaava (9), 100(1 - ) %:n luottamusväli odotusarvolle X t n s / / 2; 1 n

140 Studentin t-jakauman taulukkoarvot t,df ja t /2,df 16

141 17

142 18 Esim Tiedetään, että eräs kirjailija käyttää tuotannossaan virkkeitä, joiden keskipituus on 32 sanaa. Tutkija lukee erään tekstin, jossa on 30 virkettä. Näiden 30 virkkeen keskipituus on 35,0 sanaa ja keskihajonta 6,8 sanaa. Voisiko teksti olla peräisin kyseisen kirjailijan tuotannosta? Muodostetaan odotusarvon 95 %:n luottamusväli. Nyt t 0,05/2;30 1 =2,045 ja luottamusväli 35,5 2,045 6,8/ 30. Saadaan väliksi 32,5 37,5, jolle 32 ei kuulu. Päätellään, että teksti ei ole kyseisen kirjailijan tuotantoa.

143 Esim Poikien keskimääräinen syntymäpituus esimerkissä 7.6.6, luottamusväli laskettu 50,95±2 1,972/ 65, (t 0,05/2;65 1 2). ( > luento 2.10.) 19

144 Esim Esimerkin kovuusindeksien erotukset -5, 1, -2, -5, 2,-7, -1, -7, 1, 0, joista keskiarvo -2,3 ja keskihajonta 3,4. Odotusarvon 95 %:n luottamusväli -2,3±2,262 3,4/ 10-2,3±2,4. Lisäaineilla ei eroja, koska nolla kuuluu luottamusvälille. 20 ( > luento 2.10.)

145 Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. kaavoihin.pdf ( > luento 2.10.) 21

146 Kahden populaation odotusarvon erotuksen luottamusväli Esim o.pdf#page=76 ( > luento 2.10.)

147 1 Luento KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä, nk. luottamustasolla.

148 2 Olkoon populaatiossa % viallisia. Nyt :n 100(1 - ) %:n luottamusväli kaava (8) on p z p(100 p) / / 2 n

149 Esim. Rahapelin pitäisi antaa voitto 20 %:lle pelatuista peleistä. Pelaat peliä 200 kertaa ja voitat 32 kertaa. Voitko uskoa, että 20 % peleistä voittaa? Muodostetaan 95 %:n luottamusväli prosenttiosuudelle. Nyt = 0,05, z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96, n = 200, p = 16, luottamusväli 16 1, ,1 Koska 20 kuuluu luottamusvälille, päätellään pelin toimivan luvatulla tavalla. 3

150 Esim Yritys valvoo tuotantoaan. Virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, jossa 28 komponenttia osoittautui virheellisiksi. Onko tuotanto keskeytettävä? 95 %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 5,6 1,96 5,6(100 5,6)/ Virheellisten osuuden arvellaan olevan välillä 3,6 % - 7,6 %, joten vaihtelu on sallituissa rajoissa, koska 4 % kuuluu luottamusvälille.

151 5 Populaation odotusarvon µ 100(1 - ) %:n luottamusväli kaava (9) on X t n s / / 2; 1 n Esim. Eräs tehdas valmistaa tiiliä, joiden keskipaino pitkän aikavälin seurannassa on ollut 2,000 kg. Erään päivän tuotannosta valittiin satunnaisesti 16 tiiltä. Näiden keskipainoksi saatiin 1,972 kg ja keskihajonnaksi 0,054 kg. Onko keskipainossa tapahtunut muutosta? Muodostetaan odotusarvon 95 %:n luottamusväli. Nyt t 0,05/2;16 1 =2,131 ja luottamusväli 1,972 2,131 0,054 / 16. Saadaan väliksi 1,972 ± 0,029. Koska 2,000 kuuluu välille, päätellään ei muutosta.

152 6 Esim Poikien keskimääräinen syntymäpituus esimerkissä 7.6.6, otoksessa 65 pojan syntymäpituuden keskiarvo 50,95 cm ja keskihajonta 1,97 cm, luottamusväli laskettu 50,95±2 1,972/ 65, (t 0,05/2;65 1 2). Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. kaavoihin.pdf

153 Esim Esimerkin kovuusindeksien erotukset -5, 1, -2, -5, 2,-7, -1, -7, 1, 0, joista keskiarvo -2,3 ja keskihajonta 3,4. Odotusarvon 95 %:n luottamusväli -2,3±2,262 3,4/ 10-2,3±2,4. Lisäaineilla ei eroja, koska nolla kuuluu luottamusvälille. 7

154 Kahden populaation odotusarvon erotuksen luottamusväli Esim o.pdf#page=76 Esim o.pdf#page=76

155 9 7.7 Hypoteesien testausta Tutkimusongelmia: Puolueen kannatus? Väite: = 18 % Virheellisten komponenttien osuus tuotannossa? Väite: = 4 % Kynttilöiden keskimääräinen palamisaika? Väite: µ = 20 h

156 10 Asuntojen keskimääräiset neliöhinnat keskustassa ja lähiössä? Väite: µ 1 = µ 2 Painon ja pituuden välinen lineaarinen riippuvuus? Väite: = 0 Opintosuunnan vaikutus kurssiarviointiin? Väite: ei riippuvuutta

157 11 Tilastollinen hypoteesi on väite populaatiosta, usein populaation jakauman parametrista. Esim. H0: = 0 H0: µ = µ 0 Hypoteesin testaus on väitteen tutkimista otoksen perusteella. Käytetään sopivaa otossuuretta (testisuuretta), jonka jakauma tunnetaan, kun H0 tosi.

158 12 Esim. H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi. H 0 : = 0 Z p ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H 0 tosi.

159 13 Otossuureen (testisuureen) arvon perusteella H 0 hyväksytään tai hylätään. Jos testisuureen arvoa pidetään tavanomaisten arvojen joukkoon kuuluvaksi, niin H 0 hyväksytään. Jos arvoa pidetään harvinaisten arvojen joukkoon kuuluvaksi, niin H 0 hylätään. Mikä on harvinaista? Mihin H 0 :n hylkääminen johtaa?

160 14 Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 vaihtoehtoinen hypoteesi Z likimain p 0 ~ N(0,1) 100 ) / n 0 ( 0, kun H 0 tosi. Nyt harvinaisiksi arvoiksi katsotaan suuret arvot, suuremmat kuin z. Tällöin merkitsevyys- eli riskitaso on. Usein = 0,05, 0,025, 0,01 tai 0,001.

161 Jos H 0 hylätään, niin H 1 hyväksytään. 15

162 16 Miten H 1 asetetaan? Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 (yksisuuntainen testi) tai H 1 : > 0 (yksisuuntainen testi) tai H 1 : 0 (kaksisuuntainen testi) Kaksisuuntaisessa testissä harvinaisten arvojen joukko on jakauman hännillä.

163 17 Esim. H 0 : = 0 H 1 : 0 (kaksisuuntainen testi) Päättely p-arvon perusteella, p-arvo on pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä.

164 18 Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 Jos p-arvo on pienempi kuin valittu riskitaso, niin H 0 hylätään.

165 19 Testisuureita H 0 : = 0 Z p ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H0 tosi. Esim /luentorunko.pdf#page=79 ( > luento 7.10.) Esim /luentorunko.pdf#page=80 ( > luento 7.10.)

166 H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi. Esim /luentorunko.pdf#page=82 ( > luento 7.10.) Esim /luentorunko.pdf#page=82 ( > luento 7.10.) Esim /luentorunko.pdf#page=83 ( > luento 7.10.) 20

167 1 KERTAUSTA TESTAUKSESTA Luento Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo.

168 Kiinnitetään riskitaso (eli todennäköisyys, että tosi H 0 hylätään). Määritetään testisuureen harvinaisten arvojen joukko. 2 Hylätään H 0, jos saatu arvo kuuluu harvinaisten arvojen joukkoon, muulloin hyväksytään. H 0 :n hylkääminen johtaa H 1 :n hyväksymiseen.

169 Päättely voidaan myös tehdä p-arvon perusteella, p-arvo on pienin riskitaso, jolla H 0 voidaan hylätä. Jos p-arvo on valittua riskitasoa pienempi, niin H 0 hylätään, muulloin hyväksytään. 3

170 4 p-arvo tulos tilastollisesti < 0,05 melkein merkitsevä < 0,01 merkitsevä < 0,001 erittäin merkitsevä

171 Prosenttiosuuden testaus H 0 : = 0 Z p ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H 0 tosi. Esim entorunko.pdf#page=79 Esim entorunko.pdf#page=80

172 Esim. Kahvin myyjä väittää, että 15 % kahvin juojista valitsee kahvimerkin hinnan perusteella. Tutkitaan myyjän väitettä. Tehdään tutkimus, jossa 250 kahvin juojalta kysytään kahvimerkin valintaa vaikuttavia tekijöitä. Vastanneista 25 valitsi kahvin hinnan perusteella. Uskotko myyjän väitteen? 6

173 Odotusarvon testaus H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi. Esim /luentorunko.pdf#page=82 Esim /luentorunko.pdf#page=82

174 Esim /luentorunko.pdf#page=83 Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. imerkit_kaavoihin.pdf 8

175 χ 2 riippumattomuustesti ( > luento 9.10.) Kahden muuttujan välinen riippuvuustarkastelu ristiintaulukon perusteella. H0: ei riippuvuutta H1: on riippuvuutta Esim entorunko.pdf#page=85 Esim entorunko.pdf#page=86

176 Esim entorunko.pdf#page=87 Oletuksen testin käyttöön liittyen runko.pdf#page=85 10

177 Odotusarvojen yhtäsuuruuden testaaminen t-testillä ( > luento 9.10.) Tutkitaan kahden populaation odotusarvojen yhtäsuuruutta riippumattomien otosten t-testillä, asetetaan H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Esim /luentorunko.pdf#page=88

178 Esim /luentorunko.pdf#page=89 Esim /luentorunko.pdf#page=90 Oletukset testin käyttöön liittyen runko.pdf#page=88 12

179 Lineaarinen riippuvuus ( > luento 9.10.) Populaation korrelaatiokertoimen testaus H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 runko.pdf#page=91

180 1 Luento χ 2 riippumattomuustesti Kahden muuttujan välinen riippuvuustarkastelu ristiintaulukon perusteella, kaava (12), hypoteesit H0: ei riippuvuutta H1: on riippuvuutta Esim entorunko.pdf#page=87

181 2 Esim. Tre_myydyt_kolmiot_2010, yt_kolmiot_2010.sav

182 3 Esim entorunko.pdf#page=85 Esim entorunko.pdf#page=86 Oletuksen testin käyttöön liittyen runko.pdf#page=85

183 Odotusarvojen yhtäsuuruuden testaaminen t-testillä Tutkitaan kahden populaation odotusarvojen yhtäsuuruutta riippumattomien otosten t-testillä, kaava (12), hypoteesit H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Esim /luentorunko.pdf#page=88

184 5 Esim /luentorunko.pdf#page=90 Esim /luentorunko.pdf#page=89 Esim. Tre_myydyt_kolmiot_2010, myydyt_kolmiot_2010.sav, keskimääräiset neliöhinnat alueittain, keskimääräiset koot alueittain, eroja näissä joidenkin alueiden välillä.

185 6 Oletukset t-testin käyttöön liittyen runko.pdf#page= Lineaarinen riippuvuus Populaation korrelaatiokertoimen testaus H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 runko.pdf#page=91

186 7 KERTAUSTA Olennaisimmat kaavat esimerkkeineen iset_kaavat.pdf