4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen"

Transkriptio

1 MAT Todennäköisyyslaskenta Laskuharjoituksia / Periodi 2 / Peruskäsitteitä 1. Totea Venn-diagrammien avulla oikeaksi demorganin lait A B = A B, A B = A B Jos otosavaruus on ihmiset sekä joukko A = 'miehet' ja B = 'autonomistajat', niin keitä henkilöitä kuuluu em. lauseissa oleviin joukkoihin? 2. Olkoot tapahtumat A = 'kortti on musta', B = 'kortti on hertta' ja C = 'kortti on kuvakortti tai ässä'. Lausu seuraavat tapahtumat joukkojen A,B ja C sekä joukko-operaatioiden avulla a) Kortti on musta kuvakortti tai musta ässä b) Kortti on ruutu c) Kortti ei ole ruutu, mutta se on kuva tai ässä d) Kortti on joko punainen tai se on arvoltaan 2-10, mutta ei molempia 3. Heitetään rahaa. Tulosvaihtoehdot ovat 'kruunu'=r ja 'klaava'=l. Tutkitaan seuraavia tilanteita. a) Heitetään kolikkoa kolme kertaa peräkkäin. Alkeistapauksia ovat nyt siis kolmen heiton sarjat. Mikä on otosavaruus? Mitkä ovat joukkoina tämän otosavaruuden tapahtumat A='1. ja 3. heitto ovat samat' B='sekä 1. ja 3. heitolla että 2. ja 3. heitolla saadaan eri tulos.' b) Heitetään kolme kolikkoa samanaikaisesti (kolikoita ei voida yksilöidä ja niillä ei ole järjestystä). Mikä on nyt otosavaruus? Mitkä ovat joukkoina tämän otosavaruuden tapahtumat C='Klaavoja on enemmän kuin kruunuja' D='Klaavoja ja kruunuja on yhtä paljon.' c) Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan 1. kruunu. Nyt alkeistapaukset ovat heittosarjoja. Mikä on otosavaruus? Mitkä ovat joukkoina tämän otosavaruuden tapahtumat E='Saadaan enintään 3 klaavaa ennen 1. kruunua.' F ='Tarvitaan ainakin 4 heittoa.' 1.2 Tilastollinen ja klassillinen todennäköisyys 4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen n-toistokoetta n:n arvoilla 10, 10, 50, 50, 100, 100, 150, 150, 200, 200 ja kruunun esiintymismääriksi saatiin 6, 3, 22, 25, 51, 40, 70, 62, 90, 88. Arvioi kruunun todennäköisyys. 5. Heitetään kahta noppaa. Olkoot x 1 ja x 2 noppien silmäluvut. Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja x = x 1 + x 2. Mikä on x:n otosavaruus? Ovatko alkeistapaukset symmetrisiä? Mitä on P (6 x 1 + x 2 8)? 6. Valmistetaan 4 kuution muotoista noppaa A, B, C ja D, joiden sivut numeroidaan seuraavasti: A: 3, 3, 3, 3, 3, 3 B: 2, 2, 2, 2, 6, 6 C: 1, 1, 1, 5, 5, 5 D: 0, 0, 4, 4, 4, 4 Laske todennäköisyydet seuraaville tapahtumille, kun heitetään pareittain kahta eri noppaa ja suuremman silmäluvun saanut voittaa. a) Noppa A voittaa B:n b) Noppa B voittaa C:n c) Noppa C voittaa D:n Noppien 'paremmuusjärjestys' näyttäisi selvältä. Mutta laske vielä myös todennäköisyys d) Noppa D voittaa A:n. 7. Ryhmä, jossa on 10 poikaa ja 10 tyttöä jaetaan satunnaisesti kahteen osaan. Millä todennäköisyydellä molemmissa ryhmissä on 5 tyttöä ja 5 poikaa? Oikea vastaus =

2 8. Tarkastellaan jonoja, joissa on kahdeksan kappaletta merkkejä nolla tai yksi (esim ). a) Montako erilaista jonoa on olemassa? b) Kuinka monessa jonossa on viisi nollaa ja kolme ykköstä? c) Kuinka monessa jonossa on ainakin viisi nollaa? 9. Tikka heitetään tavalliseen tikkatauluun siten, että se osuu johonkin numeroista 1-10 ja osumiskohta on täysin satunnainen. a) Millä todennäköisyydellä saadaan numero 7,8 tai 9 b) Millä todennäköisyydellä saadaan kahdella tikalla tulos 17. Oikea vastaus: a) 0.15, b) Nostetaan korttipakasta 5 korttia. Millä todennäköisyydellä a) kaikki kortit ovat herttoja? b) kaikki kortit ovat samaa maata? c) kolme korttia on ässää ja kaksi kuningasta? d) kortit muodostavat kasvavan numerosuoran? Oikea vastaus: a) , b) , c) , d) Leipomossa on jäljellä 5 munkkia ja 7 viineriä. a) Kuinka monella tavalla näiden joukosta voidaan valita 2 munkkia ja 2 viineriä? b) Millä todennäköisyydellä saadaan yhtä monta munkkia ja viineriä ostettaessa puolet tuotteista, kun tuotteet valitaan umpimähkään? Oikea vastaus: a) 210, b) Kuinka monta erilaista sanaa saat järjestämällä sanan TEEK- KARI kirjaimet? Millä todennäköisyydellä sana alkaa T-kirjaimella? 13. Toisen asteen polynomin ax 2 + bx + c kertoimet a, b, c valitaan nopanheitolla. Millä todennäköisyydellä polynomilla on reaalisia nollakohtia? Oikea vastaus = Todennäköisyyslaskennan aksiomat 14. Millä todennäköisyydellä 200 hengen joukosta ainakin yhdellä on tänään syntymäpäivä? Oikea vastaus: Tiedetään, että P (A) = 0.9 ja P (B) = 0.8. Määritä pienin ja suurin mahdollinen arvo todennäköisyyksille a) P (A B) b) P (A B) 16. Korttipakasta nostetaan umpimähkään takaisinpanematta viisi korttia. Millä todennäköisyydellä joukossa on ainakin yksi ässä ja ainakin yksi kuvakortti? Vihje: Komplementtitapahtumat, De Morgan (teht. 1) Oikea vastaus: Todista kolmen tapahtuman yhteenlaskusääntö P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 2 A 3 ) +P (A 1 A 2 A 3 ) 18. N = 20 munkin joukossa on m = 5 eilistä. Millä todennäköisyydellä n = 8 munkin otoksessa (a) ei ole yhtään eilistä (b) on kaksi eilistä? (c) Millä todennäköisyydellä eilisten munkkien olemassaolo paljastuu? Oikea vastaus. a) 0.051, b) 0.397, c) n tupsulakkista teekkaria heittää lakkinsa huoneeseen. Jokaiselle teekkarille palautetaan täysin satunnaisesti lakki. Laske todennäköisyys sille, että ainakin yksi teekkareista saa oman tupsulakkinsa. Arvioi tätä todennäköisyyttä kun n on suuri. Oikea vastaus:

3 Vihje: A i =i:s saa omansa, ( n ) n P A i = P (A i ) P (Ai A } {{ } j ) } {{ } i=1 i=1 i<j 1/n 1/n(n 1) + ( n ) P (Ai A j A k ) + ( 1) n+1 P A i } {{ } i<j<k i=1 1/n(n 1)(n 2) } {{ } 1/n! e 1 ( 1) i = i! i=0 20. Todista vähennyslaskusääntö A B P (B \ A) = P (B) P (A) ja sen seurauksena epäyhtälö: A B P (A) P (B) 21. Osoita oikeiksi Boolen epäyhtälö (Boole's inequality) P (A 1 A 2 A n ) P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) ja Bonferronin epäyhtälö (Bonferroni's inequality) P (A 1 A 2 A n ) 1 P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n ) 22. Viisi komponenttia on kytketty sarjaan ja yksityinen komponentti viottuu aikavälillä t todennäköisyydellä Arvioi millä todennäköisyydellä systeemi lakkaa toimimasta aikavälillä t. Oikea vastaus: Ehdollinen todennäköisyys 23. Korttipakka jaetaan tasan 4 pelaajan kesken. Mikä on todennäköisyys, että jokainen saa yhden ässän? Oikea vastaus: Todennäköisyys, että A katsoo TV-ohjelmaa on 0.50 ja todennäköisyys, että B katsoo TV-ohjelmaa on Todennäköisyys, että A katsoo ohjelmaa ehdolla, että B katsoo ohjelmaa on Millä todennäköisyydellä a) molemmat A ja B katsovat ohjelmaa b) B katsoo ohjelmaa ehdolla, että A tekee niin c) ainakin toinen katsoo ohjelmaa Oikea vastaus: a) 0.42, b) 0.84, c) Tiedetään, että P (A) = 0.30, P (B A) = 0.40 ja P (B A) = Laske a) P (A B) b) P (B) c) P (A B) d) P (A B) e) P (A B) f) P (A \ B) Oikea vastaus: a) 0.12, b) 0.47, c) 0.65, d) 0.26, e) 0.34, f) P (B A) = 0.60 ja P (A B) = Mitä on P (B)? Oikea vastaus: Tuotteessa voi olla materiaalivika (A) tai käsittelyvika (B). Olkoon P (A) = 0.100, P (B) = ja P (A B) = Millä todennäköisyydellä a) satunnaisesti valittu tuote on viallinen? b) tuotteessa on materiaalivika, jos siinä on tarkalleen yksi vika Oikea vastaus: a) 0.155, b) Kaksi pelaajaa heittää rahaa vuorotellen. Millä todennäköisyydellä pelin aloittaja saa ensimmäisenä kruunun? Oikea vastaus:

4 1.5 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava 29. Tuotetta valmistetaan kolmella koneella K1, K2 ja K3. Koneiden osuudet kokonaistuotannosta ovat K1: 31%, K2: 47% ja K3: 22%. Koneiden valmistamista tuotteista on virheellisiä K1: 0.2%, K2: 0.1% ja K3: 0.4%. Kaikki valmistetut tuotteet sekoitetaan. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tuote on virheellinen? b) Entä millä todennäköisyydellä virheelliseksi todettu satunnaisesti valittu tuote on tehty koneella K3? Oikea vastaus: a) , b) Tietokoneita valmistava yritys tilaa mikrolastuja kolmelta alihankkijalta A 1, A 2 ja A 3. Alihankkijan A 1 osuus tilauksesta on 40 %, A 2 :n osuus 25 % ja A 3 :n osuus 35 %. Alihankkijan A 1 tuotteista 90 % on virheettömiä, A 2 :n tuotteista 95 % ja A 3 :n tuotteista 88 % Toimitetut mikrolastut sekoitetaan. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu lastu on virheetön? b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu lastu on alihankkijalta A 2 ehdolla, että lastu on virheetön. Oikea vastaus: a) 0.906, b) Kokemuksesta tiedetään, että tuotteen akuista yksi tuhannesta rikkuu takuuaikanaan. Tehtaalla akkuja testataan menetelmällä, jolla huono akku löydetään 99%:n varmuudella. Testauksessa on kuitenkin huomattu, että testi osoittaa huonoksi myös yhden sadasta todellisuudessa hyvästä akusta. Testi on osoittanut akun huonoksi. Millä todennäköisyydellä se on todellisuudessa huono? Oikea vastaus: Monivalintakokeessa on 6 vaihtoehtoista vastausta. Todennäköisyys, että vastaaja tietää oikean vastauksen on 1/3. Kun vastaaja ei tiedä oikeaa vastausta, hän arvaa oikean vastauksen todennäköisyydellä 1/6. Tehtävään on vastattu oikein. Millä todennäköisyydellä vastaaja on tiennyt oikean vastauksen? Oikea vastaus: Herra C unohtaa sateenvarjonsa kauppaan todennäköisyydellä 0.3. Eräänä päivänä hän kävi kolmessa kaupassa ja huomasi kotiin tultuaan sateenvarjonsa unohtuneen. Millä todennäköisyydellä se unohtui toiseen kauppaan? Oikea vastaus: Kolmesta samanlaisesta kortista yksi on kokonaan musta, yksi kokonaan punainen ja yksi toiselta puolelta musta, toiselta puolelta punainen. Satunnaisesti valittu kortti laitetaan pöydälle siten, ettei sen toista puolta nähdä. Mikä on todennäköisyys, että a) näkyvä puoli on punainen. b) jos näemme päällä punaisen, niin myös alla on punainen. 1.6 Tapahtumien riippumattomuus 35. Heitetään noppaa kahdesti. Määritellään tapahtumat A = 'ensimmäisellä heitolla tulee 3, 4 tai 5 ' B = 'ensimmäisellä heitolla tulee 1, 2 tai 3 ' C = ' summa on 5 '. Mitkä tapahtumista ovat pareittain riippumattomia? Entä ovatko kaikki kolme riippumattomia? 36. Olkoon P (A) > 0 ja P (B) > 0. Osoita, että a) A ja B eivät voi olla erillisiä, jos ne ovat riippumattomia b) A ja B eivät voi olla riippumattomia, jos ne ovat erillisiä 37. Laite ja sen kanssa samanlaiset varalaitteet pysyvät ehjinä todennäköisyydellä 0.8. Varalaite käynnistyy varsinaisen laitteen rikkoonnuttua, varalaitteella on oma varalaitteensa jne. Järjestelmän tulisi toimia 99.9%:n todennäköisyydellä. Kuinka monta varalaitetta pitää olla, kun eri laitteiden vioittumiset ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia. Oikea vastaus: 4 varalaitetta, siis yhteensä 5 laitetta. 4

5 38. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia ja yhtä todennäköisiä. Mitä on P (A), kun a) P (A B) = 0.25 b) P (A B) = 0.36 c) P (A B) = P (A B). Oikea vastaus: a) 0.50, b) 0.20, c) 0 tai P (A) = 0.40 ja P (A B) = Mitä on P (A B), kun a) A ja B ovat erillisiä b) A ja B ovat riippumattomia Oikea vastaus: a) 0.40, b) Osoita: Jos A ja B ovat saman otosavaruuden riippumattomia tapahtumia, niin A ja B ovat myös riippumattomia. 41. Tiedetään, että P (A) = 0.60, P (B A) = 0.40 ja P (B A) = a) Laske P (A B). b) Voivatko A ja B olla riippumattomia tapahtumia? Oikea vastaus: a) 0.80, b) eivät ole 42. Jos laitteen kaksi samanlaista, toisistaan riippumatonta komponenttia A ja B ovat molemmat viallisia, laite ei toimi. Jos ainakin toinen on ehjä, laite toimii normaalisti. On todettu, että 5% uusista laitteista ei toimi johtuen juuri viallisista komponenteista A ja B. Tärkeälle asiakkaalle halutaan toimittaa vain sellaisia laitteita, jossa molemmat komponentit A ja B ovat ehjiä. Kuinka monta tällaista laitetta keskimäärin löytyy 1000 kpl laite-erästä? Oikea vastaus: Empiirisen otoksen kuvailua 43. Noppaa heitettiin 20 kertaa, jolloin saatiin tulokset: Laske havaintojen keskiarvo ja keskihajonta. Muodosta frekvenssitaulukko, jossa on eri arvojen frekvenssit ja summafrekvenssit, sekä tavalliset että suhteelliset. Piirrä histogrammi. 44. Osoita varianssille laskukaava: ( n ) s 2 = 1 x 2 i nx 2 n Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma i=1 45. Heitetään kahta noppaa. Satunnaismuuttuja x on pienempi tuloksista. Jos noppien tulokset ovat samat, x on saa tämän yhteisen arvon. Määritä satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Piirrä tiheys- ja kertymäfunktioiden kuvaajat tuotteen joukossa on 3 viallista tuotetta. Valitaan palauttamatta näistä 10 tuotteesta 5 tuotetta ja olkoon x='viallisten lukumäärä'. Määritä otosavaruus ja laske pistetodennäköisyydet jokaiselle otosavaruuden alkeistapaukselle. 47. Diskreetin satunnaismuuttujan x otosavaruus ja tiheysfunktio ovat f(x) = c, x Ω = {1, 2, 3, 4, 5} x a) Määritä vakio c b) Laske todennäköisyys P (x 3 x > 1) Oikea vastaus: b) 50/77= Tiedetään, että satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on muotoa f(x) = c, kun x = 1, 2,... x2 missä c on tietty vakio. a) Määrää vakio c. b) Mitä on P (x 3)? c) Mitä on P (x > 2)? Vihje: i=1 1 = π2 i 2 6 Oikea vastaus: b) 0.827, c)

6 49. Pelissä on 5 A-korttia, 3 B-korttia ja 2 C-korttia, yhteensä 10 korttia. A-kortilla voittaa 10 pistettä, B-kortilla 50 pistettä ja C-kortti on rosvokortti, jolla menettää kaikki siihen mennessä saadut pisteet. Pelissä valitaan yksitellen palauttamatta satunnaisesti kaksi korttia ja lasketaan pisteet korttien valintajärjestyksessä. Olkoon x='kokonaispistemäärä'. Mikä on x:n otosavaruus ja tiheysfunktio f(x). Ilmoita f(x) luettelemalla kaikkien alkeistapausten pistetodennäköisyydet. 2.3 Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma 50. Tarkastellaan funktiota f(x) = kx välillä x [2, 4]. a) Millä k:n arvolla f(x) on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio? b) Laske P (2 x 3). c) Laske P (x = 2.5) d) Laske P (2.45 x < 2.55). 51. Elektronisen komponentin kestoikä t (vuosissa) noudattaa eksponenttijakaumaa Exp(3), jonka tiheysfunktio on f(t) = 3e 3t, kun t 0. Laske todennäköisyys, että komponentti kestää a) enintään kolme kuukautta b) vähintään vuoden. Oikea vastaus: a) 0.528, b) Olkoon komponentin elinaika t eksponentiaalisesti jakautunut, t Exp(λ) tiheysfunktionaan f(t) = λe λt, t 0. Osoita, että komponentilla on unohtuvaisuusominaisuus: 53. Ilmoita kertymäfunktion F (x) avulla todennäköisyydet P (x 5), P (x < 3), P (x = 2), P (x 2), P (x > 2.5), P (2.5 < x 5.5), kun satunnaismuuttuja x on a) diskreetti, Ω = {1, 2, 3,...} b) jatkuva, Ω = R 54. Cauchy-jakautuneen satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = c 1 + x 2, kun < x < missä c on tietty vakio. a) Mikä on c? b) Laske P ( 1 x 1). Oikea vastaus: b) 1/2 55. Mikä on muuttujan x Tas(a, b) kertymäfunktio? Piirrä tiheys- ja kertymäfunktion kuvaajat. Jos x Tas(1, 4), niin laske kertymäfunktion avulla todennäköisyydet P (x < 3), P (x > 1.5), P (2 < x < 6). 56. Jatkuvan satunnaismuuttujan x kertymäfunktio on 0, kun y < a F (y) = P (x y) = 1 10 (y2 + y 2), kun a y b 1, kun y > b Määritä a) x:n otosavaruus Ω = [ a, b ], b) x:n tiheysfunktio f(x) P (t > t 1 + t 2 t > t 1 ) = P (t > t 2 ) eli jos komponentti on pysynyt ehjänä ajan t 1, niin todennäköisyys että se pysyy ehjänä vielä ainakin ajan t 2 on sama kuin käyttämättömällä komponentilla. 6

7 57. Olkoon tutkimuskohteena lentokentälle saapumisen ja lentokoneeseen astumisen välinen odotusaika. Valittiin 200 matkustajan otos ja saatiin oheinen luokiteltu frekvenssijakauma. aika (min) frekvenssi Kuvaillaan odotusaikaa jatkuvalla satunnaismuuttujalla t. Frekvensseistä saadaan aikavälien todennäköisyydet, jotka välillä min. pienenevät likimain lineaarisesti. Sopiva t:n tiheysfunktio on siis muotoa f(t) = a + bt, kun 30 t 90 (ja = 0 muulloin) a) Määrää odotusajan t tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Laske b) P (t 60), c) P (40 t 60) ja d) P (t > 60). Oikea vastaus: b) 3/4, c) 4/9, d) 1/4 58. Jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio f(x) on välillä [ 2, 2] alla olevan kolmion muotoinen ja muualla f(x) = 0. a) Määritä tiheysfunktio. b) Millä a:n arvolla on P (x a) = 1 4? Oikea vastaus: b) Jatkuvan satunnaismuuttujan x mediaani M d(x) on luku, joka toteuttaa ehdon P (x Md(x)) = 1 2. Laske Md(x), kun Oikea vastaus: ln(2) λ x Exp(λ), f(x) = λe λx, x > 0, λ > Mikä on jatkuvan satunnaismuuttujan x mediaani M d(x) (mediaanin määritelmä, ks. edellinen tehtävä), kun x:n kertymäfunktio on 0, kun y < a F (y) = P (x y) = y 2 + y 2, kun a y b 1, kun y > b Oikea vastaus: Perustele myös, miksi ei voi olla ratkaisu. 2.4 Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta 61. Satunnaisen tikanheiton tuloksen tiheysfunktioksi on saatu aikaisemmissa harjoituksissa f(x) = 21 2x, x = 1, 2,..., Laske odotusarvo ja varianssi. Oikea vastaus: E(x)=3.85 ja var(x)= Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2 x 3, kun x 1 (ja = 0 muulloin, Pareton jakauma). Totea, että E(x) on olemassa, mutta var(x) ei. Oikea vastaus: E(x) = 2, var(x) =, ei siis (äärellisenä) olemassa 7

8 63. Eksponenttijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan t tiheysfunktio on f(t) = λe λt, kun t 0 Parametri λ > 0. Laske satunnaismuuttujan odotusarvo. Vihje. Osittaisintegrointi ja l'hospitalin sääntö Oikea vastaus: E(t) = 1/λ 64. Tietokilpailussa on kaksi kysymystä A ja B, joihin oikein vastaamalla saa 200 e (kysymys A) ja 100 e (B). Vastaaja saa päättää, kumpi kysymys esitetään ensin ja hän saa yrittää vastata toiseen kysymykseen vain, jos ensimmäinen vastaus oli oikein. Vastaaja kokee osaavansa kysymyksen A todennäköisyydellä 0.60 ja kysymyksen B todennäköisyydellä Vastaukset ovat riippumattomia. Kumpi kysymys kannattaa valita ensin? Laske voittosumman odotusarvo tapauksessa a) vastaaja yrittää ensin kysymystä A b) vastaaja yrittää ensin kysymystä B Oikea vastaus: a) 168 e, b) 176 e 65. Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 3 x 4, kun x 1 (ja = 0 muulloin). Laske a) E(x) ja b) var(x). Oikea vastaus: a) 3/2, b) 3/4 66. Osoita, että satunnaismuuttujan x Tas(a, b) odotusarvo ja varianssi ovat E(x) = a + b (b a)2 ja var(x) = Kulhossa on 3 mustaa ja 2 valkoista palloa. Henkilö valitsee palloja yksitellen palauttamatta niitä takaisin, kunnes saa ensimmäisen valkoisen pallon. Olkoon x=nostettujen pallojen lukumäärä. a) Mikä on x:n otosavaruus ja tiheysfunktio f(x)? b) Laske E(x) ja var(x). Oikea vastaus: E(x)=2 ja var(x)= Satunnaismuuttujan x otosavaruus Ω = {0, 1, 2} ja todennäköisyydet ovat P (x = 0) = 0.5, P (x = 1) = 0.3 ja P (x = 2) = 0.2. Suoritetaan kaksi satunnaismuuttujan x riippumatonta koetta x 1, x 2 ja muodostetaan uusi satunnaismuuttuja y = x 1 + x 2. a) Laske P (y = 2). b) Laske E(y). c) Piirrä y:n kertymäfunktion F (y) kuvaaja. Laita kuvaajan akseleille kaikki kuvaajan kannalta oleelliset numeroarvot. Oikea vastaus: a) 0.29, b) Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo 69. Jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 3 16 x , kun 0 x 2 (ja = 0 muulloin). a) Laske E(x) b) Olkoon x neliön sivun pituus. Mikä on neliön pinta-alan odotusarvo? c) Määritä kertymäfunktio määrittelyjoukkonaan koko R. Oikea vastaus: a) 3/4, b) 4/5 70. Satunnaismuuttujalle x E(x) = µ ja var(x) = σ 2. Esitä E(ax 2 + bx + c) lukujen µ, σ ja a, b, c R avulla. Oikea vastaus: aσ 2 + aµ 2 + bµ + c 71. Osoita, että satunnaismuuttujan x odotusarvolla on ominaisuus E(ag(x) + bh(x)) = ae(g(x)) + be(h(x)) 8

9 72. Tehtävässä 57 saatiin lentokentälle saapumisen ja koneeseen astumisen väliselle odotusajalle t (min) tiheysfunktio f(t) = 1 20 t, kun 30 t Laske odotusajan a) odotusarvo, b) varianssi ja c) keskihajonta. Oikea vastaus: a) 50, b) 200, c) Osoita, että diskreetille tasaisesti jakautuneelle satunnaismuuttujalle x Tasd(1, n) E(x) = n Vihjeitä: var(x) = E(x 2 ) [E(x)] 2, n k = k=1 n(n + 1), 2 ja var(x) = n n k 2 = k=1 n(n + 1)(2n + 1) Osoita: Jos jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio f(x) on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin E(x) = a. Vihje: Tutki ensin satunnaismuuttujaa y = x a, jonka tiheysfunktio on symmetrinen suoran y = 0 suhteen, ts. f( y) = f(y). Integroi paloittain ja käytä toisessa integraalissa sijoitusta z = y. 2.6 Tsebysevin epäyhtälö 75. Tuotteen kestoikä t (vuosissa) on satunnaismuuttuja, jonka odotusarvoksi oletetaan 4.8 ja varianssiksi a) Määrää alaraja todennäköisyydelle, että tuote pysyy ehjänä ainakin kolme vuotta. b) Entä jos voidaan olettaa, että t:n jakauma on symmetrinen odotusarvon suhteen? Oikea vastaus: a) 0.901, b) Tulitikkurasiassa on keskimäärin 45 tulitikkua varianssin ollessa 5. Arvioi Tsebyshevin epäyhtälön avulla todennäköisyyttä, että satunnaisesti valitussa rasiassa on vähintään 41 mutta enintään 49 tulitikkua. Oikea vastaus: P Olkoon satunnaismuuttuja x Tas(1, 5). a) Laske todennäköisyys P ( x µ < 1.6σ). b) Laske Tsebyshevin epäyhtälön antama arvio Oikea vastaus: a) 0.924, b) P Momentit generoiva funktio 78. Diskreetin satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 1, kun x = 1, 2,... 2x a) Osoita että x:n momentit generoiva funktio M(t) = et 2 e t. b) Määrää x:n odotusarvo ja varianssi. Oikea vastaus: b) E(x) = 2, var(x) = Ns. χ 2 -jakaumaa ('khii toiseen'- jakauma) noudattavan satunnaismuuttujan x momentit generoiva funktio on M(t) = (1 2t) n/2 a) Määrää tämän avulla satunnaismuuttujan odotusarvo ja varianssi. b) Määritä satunnaismuuttujan y = 3x + 2 momentit generoiva funktio Oikea vastaus: a) E(x) = n, var(x) = 2n. 9

10 2.8 Binomijakauma 80. Satunnaismuuttuja x Bin(20, 0.2). Laske P ( x µ σ). Oikea vastaus: Lentoyhtiö tietää kokemuksesta, että 5% paikan varanneista matkustajista jää saapumatta. Siksi yhtiö myy 260 lippua koneeseen, johon mahtuu 255 matkustajaa. Millä todennäköisyydellä jokainen koneeseen saapuva saa paikan. Oikea vastaus: Ampumahiihtäjän tauluunosumistodennäköisyys on p. Mikä on todennäköisyys, että viidestä laukauksesta ainakin 4 osuu tauluun? Oikea vastaus: 5p 4 4p Oletetaan, että syntymäpäivät ovat jakautuneet tasaisesti vuoden eri päiville (365 päivää). Laske millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun 200 hengen joukossa tänään on syntymäpäivä a) ei kenelläkään, b) vain 1 henkilöllä, c) 2 henkilöllä, d) yli 2 henkilöllä. Oikea vastaus: a) 0.578, b) 0.317, c) 0.087, d) Diskreetin satunnaismuuttujan x tiheysfunktio ja otosavaruus Ω ovat f(x) = x2, x Ω = {1, 2, 3, 4} 30 Jos valitaan 10 toisistaan riippumatonta, tällaista jakaumaa noudattavaa lukua, niin millä todennäköisyydellä luvuista vähintään 3 on paritonta? Oikea vastaus: a) Lentoyhtiöllä on 2- ja 4-moottorisia lentokoneita. Lentokone pystyy lentämään, jos ainakin puolet sen moottoreista toimii. Yksi moottori toimii todennäköisyydellä p = 0.60 ja moottorien toiminta on toisistaan riippumatonta. Kumpi konetyyppi lentää varmemmin? Perustele laskemalla molempien konetyyppien lentotodennäköisyydet. b) Jos yhden moottorin toimintatodennäköisyys olisi p = 0 tai p = 1, molemmat konetyypit olisivat toiminnaltaan yhtä varmoja. On olemassa myös muu arvo p, jolloin 2- ja 4-moottoriset koneet lentävät yhtä varmasti. Mikä on tämä arvo? Oikea vastaus: a) 2-moottorinen, todennäköisyydet 0.84 ja 0.82, b) 2/3 2.9 Poisson jakauma 86. Tietyllä alueella liikenneonnettomuustiheys on 0.02 onnettomuutta /neliökilometri/kuukausi. Millä todennäköisyydellä kyseiseltä alueelta valitulla 100 neliökilometrin suuruisella alalla kahden kuukauden aikana enintään kolme liikenneonnettomuutta? Oikea vastaus: Arpajaisissa joka kymmenennellä arvalla voittaa 20 euroa. Arvan hinta on 2 euroa. Henkilö ostaa arpoja 100 eurolla. Millä todennäköisyydellä hänen ostamiensa arpojen voittosumma on vähintään 100 euroa. Laske Poisson-approksimaatiolla saatu arvo. Oikea vastaus: Arvioi tehtävän 81 todennäköisyyttä korvaamalla poisjäävien lukumäärän jakauma sopivalla Poisson-jakaumalla. Oikea vastaus: Satunnaismuuttuja x Poi(λ) a) Tiedetään, että tapahtumat {x = 0} ja {x = 1 tai x = 2} ovat yhtä todennäköiset. Mikä on parametrin λ arvo? b) Entä, jos tapahtumat {x = 0} ja {x > 0} ovat yhtä todennäköiset? Oikea vastaus: a) 3 1 = 0.732, b) ln(2 ) =

11 90. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on Laske todennäköisyys, että 100 laukauksella osutaan maaliin ainakin kolme kertaa. Laske tarkka arvo ja Poisson-approksimaatiolla saatu likiarvo. Osumiset ovat toisistaan riippumattomia. Oikea vastaus: molemmissa tapauksissa 91. Osoita että x=0 λ x x! e λ = 1. Vihje : e t = 92. Tekstiin tulee satunnaisesti painovirheitä, keskimäärin 30 tunnissa. Mikä on todennäköisyys sille, että tietyllä 6 minuutin aikavälillä a) ei tule yhtään painovirhettä, (b) tulee ainakin 2 painovirhettä. Oikea vastaus: a) , b) Osoita käyttäen satunnaismuuttujan x Poi(λ) momentit generoivaa funktiota M(t) = e λ e λet että E(x) = λ ja var(x) = λ Normaalijakauma 94. Tehtaan valmistamien tiivisterenkaiden sisähalkaisija x (mm) on jakautunut normaalisti x N(12.70, ). Tuote katsotaan vialliseksi, jos se on toleranssirajojen mm ja mm ulkopuolella. Montako % tehtaan tuotteista on viallisia? Oikea vastaus: 12.4% 95. Laitteen kestoikä x on normaalijakautunut satunnaismuuttuja. Laitetta on tyyppiä A ja B. Tyypin A kestoiän odotusarvo 27 kk ja tyypin B 30 kk. Toisaalta A-tyypin kestoiän keskihajonta on 5 kk ja B-tyypin 2 kk. a) Kumpaa tyyppiä kannattaa käyttää, jos laitetta pitäisi voida käyttää vähintään 30 kk? b) Entäs jos sitä pitäisi voida käyttää vähintään 36 kk? x=0 t x x! Normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktion arvoja Φ(x)=P(z x) x

12 96. Tuote hylätään, jos eräs siitä mitattava normaalijakautunut testisuure ei osu välille [9.0, 11.0]. Ylärajalta hylättyjä tuotteita on 1.4% ja alarajalta hylättyjä 2.1%. Mikä on silloin testisuureen odotusarvo µ ja varianssi σ 2? Oikea vastaus: µ =9.960, σ 2 = Pallon säde r N(2.0, 0.01). Mikä on pallon pinta-alan (= 4πr 2 ) odotusarvo? Oikea vastaus: Viisasten kerhoon pääseen jäseneksi, jos älykkyysosamäärä on korkeampi kuin 98 prosentilla ihmisistä. Mikä älykkyysosamäärä jäseniltä vähintään vaaditaan, kun älykkyyden jakaumaksi oletetaan N(100, 16 2 )? Oikea vastaus: Olkoon x N(0.800, ). a) Laske P ( x µ < 2σ) b) Minkä arvion Tsebyshevin epäyhtälö antaa todennäköisyydelle? Oikea vastaus: a) 0.954, b) P Laske P (1 x E(x) < 2), kun a) x Tas(0, 3), b) x Poi(2), c) x N( 2, 9). Oikea vastaus: a) 0.167, b) 0.180, c) Diskreetin satunnaisvektorin jakauma 101. a) Määritä vakio c siten, että funktio f(x, y) = c(x + y) on satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio, kun tiedetään, että x:n otosavaruus on Ω = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}. b) Laske todennäköisyydet tapahtumille A = {(x, y) 0 < y x} ja B = {(x, y) x = 1} 102. Laatikossa on 3 uutta, 2 käytettyä ehjää ja 3 rikkinäistä tuotetta. Valitaan satunnaisesti 4 tuotetta. Olkoon x="uusien lukumäärä" ja y="käytettyjen ehjien lukumäärä" tässä otoksessa. a) Mikä on satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio? b) Laske todennäköisyys, että 4 tuotteen otoksessa on enintään 2 käyttökelpoista tuotetta. Oikea vastaus: b) 1/ Rahapussissa on 4 kpl euron kolikoita, 2 kpl 50 sentin kolikoita ja 3 kpl vanhoja markkoja (tässä tehtävässä arvottomia). Otetaan satunnaisesti 3 kolikkoa. Merkitään x = eurojen lkm, y= 50 s kolikoiden lkm ja z=markkojen lkm tässä otoksessa. a) Millä todennäköisyydellä näiden 3 kolikon yhteenlaskettu arvo on vähintään 2 euroa. Miten kuvaisit tämän tapahtuman satunnaismuuttujien x, y, z avulla? b) Millä todennäköisyydellä 3 kolikon joukossa on markkoja vähintään yhtä monta kuin 50 sentin kolikoita. Miten kuvaisit tämän tapahtuman satunnaismuuttujien y, z avulla? Oikea vastaus: a) 19/42, b) 65/ Jatkuvan satunnaisvektorin jakauma 104. Tarkastellaan funktiota f(x, y) = 1/x kolmiossa 0 < y < x < 1. a) Osoita, että f on satunnaisvektorin (x, y) yhteisjakauman tiheysfunktio. b) Laske P (x 0.5, y 0.25) c) Laske P (x > 0.5, y > 0.25) Oikea vastaus: b) 0.423, c) a) Määritä vakio c siten, että funktio f(x, y) = cx, kun 0 < y < x < 1 on satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio. b) Laske todennäköisyys P (x < 1/2, y < 3/4). Oikea vastaus: b) 1/8 12

13 106. Olkoon satunnaisvektorin x = (x 1, x 2 ) otosavaruus Ω = {x : x 1 [0, 1], x 2 > 0} ja tiheysfunktio on muotoa f(x 1, x 2 ) = cx 1 e x 2, kun x Ω a) Määritä c ja b) Laske P ( 1 2 < x 1 3 4, 1 < x 2 2 ). Oikea vastaus: b) Talossa on järjestelmä, joka asukkaiden poissa ollessa sytyttää ja sammuttaa valot satunnaisesti kerran tunnissa. Olkoon x aika, jolloin valot sytytetään ja y aika, jolloin ne sammutetaan. Ajat lasketaan joka tunnin alusta. Systeemi on suunniteltu niin, että (x, y) noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on f(x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1 a) Laske todennäköisyys, että valot syttyvät puolen tunnin kuluessa ja sammuvat sitten vartin sisällä. b) Millä todennäköisyydellä valot palavat yhdellä kertaa ainakin puoli tuntia? Oikea vastaus: a) 0.115, b) Marginaalijakaumat 108. Olkoon satunnaisvektorin x = (x 1, x 2 ) otosavaruus Ω = {x : x 1 [0, 1], x 2 > 0} ja tiheysfunktio on muotoa f(x 1, x 2 ) = 2x 1 e x 2, kun x Ω a) Määrää satunnaisvektorin komponenttien marginaalijakaumien tiheysfunktiot. Laske b) P ( 1 2 < x 1 1 ) c) P (x 2 2) Oikea vastaus: b) 0.750, c) Tarkastellaan satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktiota f(x, y) = 1/x kolmiossa 0 < y < x < 1. a) Muodosta marginaalijakaumien tiheysfunktiot. Laske b) P (x 0.5) c) P (y 0.25) Oikea vastaus: b) 0.50, c) Diskreetti satunnaisvektori (x, y) on tasaisesti jakautunut otosavaruuteensa Ω = {(x, y) x, y Z +, 3 < x + 2y 7}. Määrää marginaalijakaumien tiheysfunktiot Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = 3x, kun 0 < y < x < 1. a) Laske marginaalijakaumien tiheysfunktiot b) Laske odotusarvot E(x) ja E(y). Oikea vastaus: b) E(x)=3/4 ja E(y)=3/ Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = 3x, kun 0 < y < x < 1. Laske ehdollinen todennäköisyys P (x 1 2 y 1 3 ) Vihje: tehtävä 111. Oikea vastaus: Satunnaismuuttujien riippumattomuus 113. Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio f(x, y) = 1 2 (x2 y + x 2 + y + 1), kun 0 x 1, 0 y 1 a) Ovatko satunnaismuuttujat x ja y riippumattomia? b) Laske P (x < y). Oikea vastaus: b)

14 114. Satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = x3 y 3, kun 0 x 2, 0 y 2 16 a) Määrää marginaalijakaumat. b) Ovatko satunnaismuuttujat x ja y riippumattomat? 115. Olkoon laitteen elinaika (vuosia) satunnaismuuttuja x 1 Exp(1) tiheysfunktionaan f(x 1 ) = e x 1. Jos laite rikkoontuu, käynnistyy varalaite, jonka elinaika x 2 noudattaa samaa jakaumaa, merkitään x 2 Exp(1). Laitteiden eliniät oletetaan toisistaan riippumattomiksi. Laske todennäköisyys, että järjestelmä toimii vähintään 2 vuotta, eli laske P (x 1 + x 2 2) Oikea vastaus: Bussi A tulee pysäkille aina 30 minuutin välein, bussi B 20 minuutin välein ja bussien saapumiset ovat toisistaan riippumattomia. Henkilö tulee satunnaisesti pysäkille. a) Millä todennäköisyydellä bussi A tai B (tai molemmat) saapuu 10 min. kuluessa b) Millä todennäköisyydellä bussi A tulee ennen B:tä? c) Bussilla A pääsee määränpäähän 10 minuutissa ja bussilla B 15 minuutissa. Millä todennäköisyydellä A:lla pääsee perille ennen B:tä. Oikea vastaus: a) 2/3, b) 1/3, c) 1/ a) Osoita, että tehtävän 108 satunnaisvektorin komponentit ovat riippumattomia. b) Laske tehtävän 106 b)-kohta P ( 1 2 < x 1 3 4, 1 < x 2 2 ) käyttäen hyväksi tehtävän 108 tulosta ja riippumattomuutta. yhteisjakauma, kun oletetaan, että autojen valinnat perheissä ovat riippumattomia tapahtumia Matematiikan opettaja valitsee yhtälön x 2 + ax + b = 0 toisistaan riippumattomat kertoimet a ja b satunnaislukugeneraattorilla eli a Tas(0, 1) ja b Tas(0, 1). Hän valitsee 4 tällaista yhtälöä koetehtäviksi. Millä todennäköisyydellä ainakin kolmella näistä yhtälöistä on kompleksijuuret? Oikea vastaus: Henkilö A saapuu lounaalle satunnaisesti jollakin hetkellä klo eli saapumisaika = x Tas(11, 13). Hänen lounaansa kestoaika tunneissa = y noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio [ 1 f(y) = 6y, y 3, 2 ] 3 Henkilö B puolestaan saapuu lounaalle aina klo ja syö lounasta aina 1 2 tuntia. Millä todennäköisyydellä A ja B kohtaavat lounaalla? x ja y oletetaan riippumattomiksi. Oikea vastaus: Satunnaismuuttujien funktion odotusarvo 121. Olkoot muuttujat x i N(µ i, σi 2 ), i = 1, 2 riippumattomia. Mitä on E(x 1 x 2 2 )? 122. Satunnaismuuttujat x ja y ovat riippumattomia. Osoita, että tulon varianssille on voimassa var(xy) = E(x 2 )E(y 2 ) (E(x)E(y)) Tietyn alueen perheistä 15%:lla ei ole autoa, 50%:lla on yksi auto ja 35%:lla on kaksi autoa. Autoista 40% on diesel-autoja ja 60% on bensamoottoriautoja. Olkoon x='diesel-autojen lukumäärä perheessä' ja y='bensa-autojen lukumäärä perheessä'. Muodosta satunnaisvektorin (x, y) 14

15 123. Satunnaismuuttujat x ja y ovat riippumattomia ja E(x) = 1, E(y) = 2, var(x) = 4 ja var(y) = 9. Laske satunnaismuuttujan z = (2x + 1)(y 2) odotusarvo ja varianssi. Vihje: edellinen tehtävä. Oikea vastaus: E(z)=0 ja var(z)= Tehtävässä 107 oli valojärjestelmän syttymisajan x ja sammumisajan y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1 Laske kuinka kauan valot keskimäärin ovat päällä yhden tunnin aikana. Oikea vastaus: 16 min. 3.6 Riippumattomien satunnaismuuttujien summa 125. Satunnaismuuttujat x N(1, 4), y N(1, 4) ja z N(3, 7) ovat riippumattomia. a) Miten on jakautunut w = z 1 2 (x + y)? b) Laske P (w > 0). Oikea vastaus: b) Todista: Jos riippumattomat satunnaismuuttujat x 1 Poi(λ 1 ) ja x 2 Poi(λ 2 ) niin x 1 + x 2 Poi(λ 1 + λ 2 ) a) Pakkauksen painoksi on ilmoitettu 100 g ja tutkittaessa pakkauksia on painon x jakaumaksi todettu N(102, 1). Alle 100 g:n painoiset pakkaukset hylätään jo tuotannossa. Kuinka monta prosenttia pakkauksista hylätään? b) Hävikin pienentämiseksi kaksi a)-kohdan pakkausta yhdistetään tuplapakkaukseksi, jonka painoksi ilmoitetaan 200 g. Kuinka monta prosenttia tuplapakkauksista hylätään eli mikä osuus näistä pakkauksista on alle 200 g painoisia? Eri pakkausten painot ovat riippumattomia. Oikea vastaus: a) 2.3%, b) 0.23% 128. Tehtaan valmistamien akselitappien ja näitä vastaavien holkkien halkaisijat D a ja D h ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka ovat jakautuneet normaalisti D a N(1.269 cm, cm 2 ), D h N(1.271 cm, cm 2 ) Otetaan satunnaisesti akseli ja holkki. Millä todennäköisyydellä akseli mahtuu holkkiin? Vihje: Tarkastele muuttujaa D = D h D a. Oikea vastaus: Tehdas valmistaa sähkövastuksia kytkemällä sarjaan kaksi osavastusta. Toinen otetaan valmiste-erästä, joka on normaalinen N(150Ω, 9Ω 2 ) ja toinen erästä, joka on normaalinen N(200Ω, 16Ω 2 ), mittaustarkkuus on 1Ω. Tuote katsotaan kelvolliseksi, jos sen kokonaisvastus (osavastusten summa) on välillä [340Ω, 360Ω], muutoin vialliseksi. Montako viallista vastusta on odotettavissa 200 kappaleen näyte-erässä. Oikea vastaus: Kovarianssi, korrelaatio, summan varianssi 130. Monisteen esimerkissä laskettiin satunnaisvektorille x = (x 1, x 2 ) tiheysfunktionaan f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, kun 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 odotusarvot E(x 1 ) = E(x 2 ) = 7 12 ja E(x 1x 2 ) = 1 3. Marginaalijakaumien tiheysfunktoiksi saatiin f 1 (x 1 ) = x ja f 2(x 2 ) = x Laske satunnaisvektorin komponenttien a) kovarianssi, b) korrelaatio. Oikea vastaus: a) , b)

16 131. Diskreetti satunnaisvektori x = (x, y) on tasaisesti jakautunut otosavaruuteen Ω = {(4, 2), (1, 1), (1, 1), (4, 2)}. a) Laske cov(x, y) b) Ovatko x ja y riippumattomia? Oikea vastaus: cov(x,y)= Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = 3x, kun 0 < y < x < 1. Laske a) cov(x, y) ja b) corr(x, y). c) Ovatko x ja y riippumattomia? Tehtävässä 111 on jo laskettu odotusarvot E(x), E(y) ja marginaalijakaumien tiheysfunktiot. Oikea vastaus: a) , b) Satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio f(x, y) = 2, kun 0 x y 1. Laske a) cov(x, y) ja b) corr(x, y). c) Ovatko x ja y riippumattomia? Oikea vastaus: a) 1/36, b) 1/ Jos riippumattomat satunnaismuuttujat y i Bin(1, p), niin satunnaismuuttuja x = y 1 + y y n Bin(n, p). Käyttäen tätä tietoa osoita, että var(x) = np(1 p). Älä käytä todistuksessa lausetta Luvut a, b, c, d R ja a > 0, c > 0. Osoita, että. corr(ax + b, cy + d) = corr(x, y) 3.8 Otoskeskiarvon jakauma 136. On suoritettu 10 sadan heiton sarjaa kolikolla, jonka kruunutodennäköisyys p on tuntematon. Saatiin tulokset (kruunujen lukumäärä): 53, 57, 48, 64, 51, 44, 50, 50, 55, 57. Estimoi tulosten perusteella p:tä muodossa otoskeskiarvo ± keskiarvon keskivirhe. Oikea vastaus: 52.9 ± Liuoksen ph:n määrittämiseksi suoritettiin ph-mittaus 10 kertaa: 7.56, 7.47, 7.52, 7.55, 7.54, 7.46, 7.50, 7.50, 7.55, Määritä estimaatit ph:n odotusarvolle ja keskiarvon keskivirheelle. Oikea vastaus: ± Oletetaan, että TTY:n DI-opiskelijan älykkyysosamäärä noudattaa normaalijakaumaa N(112, 49). Erään koulun kurssilla mitattiin 25 opiskelijan ÄO ja saatiin otoskeskiarvoksi x = 109. Laske todennäköisyys, että TTY:n 25 henkilön kurssin ÄO:n keskiarvo olisi alle 109. Onko todennäköisesti kyse TTY:n kurssista vai ei? Oikea vastaus: todennäköisyys = Henkilö heittää satunnaisesti 5 tikkaa, heitot oletetaan toisistaan riippumattomiksi. Yhden tikan heiton tuloksen odotusarvoksi ja varianssiksi on laskettu tehtävässä 61 E(x) = 3.85 ja var(x) = Laske Tsebyshevin epäyhtälön avulla, mikä on yläraja todennäköisyydelle, että 5 tikan yhteistulos on ainakin 30 pistettä. Oikea vastaus: P Olkoon x 1, x 2,..., x n otos satunnaismuuttujasta x, jonka odotusarvo on µ. Todista että n (x i x) 2 = i=1 n (x i µ) 2 n(x µ) 2 i=1 Vihje: (x i x) 2 = ((x i µ) (x µ)) 2 16

17 141. Satunnaismuuttujan x varianssi on σ 2. a) Määrää N 1 :n ja N 2 :n kappaleen riippumattomista otoksista laskettujen otoskeskiarvojen x 1 ja x 2 varianssit. b) Määrää näiden otoskeskiarvojen keskiarvon 1 2 (x 1 + x 2 ) varianssi. c) Määrää otoskeskiarvojen painotetun keskiarvon N 1 x 1 + N 2 x 2 N 1 + N 2 (1) varianssi. Huomaa että (1) on yhdistetyn otoksen (otoskoko N 1 + N 2 ) otoskeskiarvo. d) Osoita, että c)-kohdan varianssi on aina pienempi tai yhtäsuuri kuin b)-kohdan varianssi. 3.9 Keskeinen raja-arvolause 142. Viisisataa (riippumatonta) desimaalilukua pyöristetään lähimpään kokonaislukuun ja lasketaan yhteen. Olkoon pyöristysvirhe jakautunut tasaisesti välille [ 0.5, 0.5). Arvioi keskeistä raja-arvolausetta käyttäen (normaaliapproksimaatiolla) millä todennäköisyydellä saatu summa eroaa oikeasta summasta enemmän kuin 2. Oikea vastaus: Noppaa heitetään 120 kertaa. Arvioi keskeistä raja-arvolausetta käyttäen (normaaliapproksimaatiolla) millä todennäköisyydellä saatu silmälukujen summa S on välillä [400, 450]. Oikea vastaus: tai jos lasketaan todennäköisyys, että summa on välillä [399.5, 450.5], niin oikea vastaus = Olkoon x 1, x 2,..., x n otos muuttujasta x Tas(0, 1). a) Mikä on otoskeskiarvon x n = 1 n (x 1 + x x n ) normaaliapproksimaatio? b) Mitä on P ( x )? Oikea vastaus: b) Satunnaisen tikanheiton tuloksen x odotusarvoksi on tehtävässä 61 laskettu E(x) = 3.85 ja varianssiksi var(x) = Kun heitetään 30 heiton sarja, niin millä todennäköisyydellä sarjan keskiarvo on yli 5? Oikea vastaus: todennäköisyys = Tehtaan tuotteista on 5 % viallisia. Laske binomijakauman normaaliapproksimaatiota käyttäen todennäköisyys, että 800 kappaleen erässä on enintään 32 viallista. Oikea vastaus: Erään tuottajan munista on 10 % pilaantuneita. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valitun 200 munan erässä on korkeintaan 10 pilaantunutta? Oikea vastaus: Opettaja tietää kokemuksesta, että 40% tenttiin ilmoittautuneista opiskelijoista ei saavu paikalle. Tenttiin on ilmoittautunut 200 opiskelijaa. Laske kuinka suuri sali tarvitaan, että kaikki paikalle tulevat saavat 99% :n todennäköisyydellä istumapaikan. Oikea vastaus: a) Tehtaan valmistamista tuotteista on 5 % viallisia. Siksi jokaiseen 4 tuotteen pakkaukseen lisätään yksi ylimääräinen tuote ja ostajalle luvataan, että hän saa palauttaa pakkauksen, jos pakkauksessa ei ole vähintään 4 ehjää tuotetta. Jos pakkauksessa on täsmälleen 4 ehjää tuotetta, tehdas saa voittoa 4 e. Jos pakkauksessa on 5 ehjää tuotetta, tehtaan voitto on 3 e. Jos pakkaus palautetaan (alle 4 ehjää tuotetta), tehtaan voitto on 1 e (palautuskulut). Mikä on voiton odotusarvo? b) Laske normaaliapproksimaatiota käyttäen todennäköisyys, että 1000 pakkauksen erästä 30 pakkausta tai enemmän palautetaan tehtaalle. Oikea vastaus: a) 3.11 e, b) tai

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia. Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot