Johdanto: Mitä tieto-oppi on?

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdanto: Mitä tieto-oppi on?"

Transkriptio

1 I Johdanto: Mitä tieto-oppi on? Tieto-oppi eli epistemologia (kreikan sanasta episteme tieto ) tarkastelee inhimilliseen tietoon liittyviä, pääasiallisesti teoreettisia kysymyksiä. Esimerkiksi: Mitä tieto on? Mitä me tiedämme? Milloin uskomus on oikeutettu? Mitkä uskomuksistamme ovat oikeutettuja? Tiedon lajeja On olemassa monenlaista tietoa. Kun yritämme vastata kysymykseen Mitä tieto on?, meidän on ensin oltava selvillä millaisesta tiedosta on kysymys (Lammenranta, s. 72). Tietoteoreetikot l. epistemologit ovat tavallisesti kiinnostuneet propositionaalisesta tiedosta: 1. Tiedän, että Helsinki on Suomen pääkaupunki. 2. Tiedän, että = Tiedän Riston peruuttaneen vastaanottonsa tältä päivältä. Propositionaalinen tieto ilmaistaan että -lauseen (1. ja 2.) tai partitiivirakenteen (3.) avulla. Voimme valita edellisen tapauksen standardiksi: (*) Propositionaalinen tieto: S tietää, että p, missä S on tiedon subjekti, eli henkilö joka tietää ja p:n paikalle sijoitetaan indikatiivilause. Termi propositio on filosofien ammattisanastoa. Tällä kurssilla voimme suomentaa termin propositio väitteeksi tai väitesisällöksi. Se on se mitä väitämme jossakin tietyssä tilanteessa. Esimerkiksi vastaukseksi kysymykseen. Tällainen tietää -sanan käyttö esiintyy myös epäsuorien kysymysten yhteydessä: 4. Tiedän, kuka voitti 5000 metrin juoksun olympiakultaa Los Angelesissa vuonna 1932

2 5. Komisario Palmu tietää, kuka murhasi rouva Skrofin. Tapaukset 4. ja 5. eivät edusta itsenäistä tiedonlajia. Ne ilmaisevat, että jollakulla henkilöllä (minulla, komisario Palmulla) on propositionaalista tietoa, mutta eivät ilmoita tiedon sisältöä (Lauri Lehtinen voitti 5000 metrin juoksun olympiakullan Los Angelesissa vuonna 1932; taiteilija Kurt Kuurna murhasi rouva Skrofin). Propositionaalista tietoa kutsutaan usein faktatiedoksi. Voimme ajatella tiedon kohdistuvan johonkin faktaan eli tosiseikkaan, esimerkiksi siihen faktaan, että Helsinki on Suomen pääkaupunki. 6. Tiedän Ilkka Niiniluodon. 7. Marcus Grönholm tietää, miten autoa ajetaan. Filosofit puhuvat usein tuttuustiedosta. Sillä tarkoitetaan jonkin asian, ihmisen, tms. tuntemista. Suomen kielessä onkin luontevampaa puhua Ilkka Niiniluodon tuntemisesta kuin tietämisestä (vrt. engl. I know him/her, joka kääntyy luontevimmin ilmauksella tunnen hänet.) Filosofit puhuvat usein myös praktisesta l. käytännöllisestä tiedosta. Suomen kielessä tätä ilmaistaan luontevimmin osata -verbin avulla; sanoisimme siis, että Marcus Grönholm osaa ajaa autoa. Kyseessä on siis tietty taito (joskus puhutaan taitotiedosta ). Lauseet 6. ja 7. voidaan toki tulkita toisinkin. Marcus Grönholmilla voi olla propositionaalista tietoa siitä, miten autoa ajetaan (riippumatta siitä, osaako hän ajaa autoa eli onko hänellä tietty taito). Lause 6. on puolestaan luontevinta tulkita heikommin kuin tuttuustiedoksi ( Kyllä minä tiedän Ilkka Niiniluodon. Hänhän on Helsingin yliopiston rehtori. Mutta en minä häntä tunne.) Kysymys: Ovatko tuttuustieto ja praktinen tieto l. taito aidosti tiedon lajeja? Entä miten ne suhtautuvat propositionaaliseen tietoon? Tietäminen ja uskominen Useimmat filosofit olettavat, että tietääkseen p:n (jonkin tosiseikan) S:n (tiedon subjektin) on hyväksyttävä tai uskottava kyseinen tosiseikka (että asiat ovat tietyllä tavalla). Tietoon

3 näyttää siis liittyvän uskomusehto. Kysymys: Edellyttääkö tietäminen aina uskomista? Minä tiedän, että Tarja Halonen on Suomen presidentti, mutta en usko sitä. Tässä lauseessa on jotakin omituista. Mitä? En minä tiedä sitä, minä vain uskon sen. Usein uskominen ja tietäminen muodostavat vastakohtaparin. Puhumme uskosta silloin kun tieto ei riitä ( en väitä tietäväni, että maapallolla vierailee muukalaisia, mutta uskon siihen ). Tai sanomme, ettei käsityksemme jostakin asiasta ole uskoa vaan tietoa. Tämä kontrasti uskon ja tiedon välillä ei kuitenkaan tunnu olevan ristiriidassa uskomusehdon kanssa, vaan se voidaan selittää viittaamalla kielenkäytön pragmatiikkaan A: Tiedätkö millainen ilma ulkona on? B: Uskon että ulkona sataa/tiedän että ulkona sataa. Tieto ja totuus Tietoon liittyy myös totuusehto. Jos ei ole totta että p, ei voi tietää että p. Meillä on siis ainakin kaksi ehtoa tietämiselle: S tietää että p, jos ja vain jos (1) S uskoo että p (2) on totta että p Tieto ja oikeutus Jos uskomusehto ja totuusehto toteutuvat, tietääkö S silloin että p? Filosofit ovat yleensä vastanneet tähän kysymykseen kieltävästi. Tosi uskomus että p voi olla pelkkä onnekas arvaus. Jos kirjoitan tänään tiistaina paperille (tai mieluummin lottoruudukkoon) ensi lauantain lottoarvonnan oikean rivin siis sen rivin joka toteutuu emme kuitenkaan sanoisi, että minä tiesin oikean rivin. Kyseessä on pelkkä arvaus, joka sattuu pitämään paikkansa (jonka sisältö vastaa tosiseikkoja eli sitä miten asiat ovat). Perinteinen ajatus siis on, että tarvitsemme uskomus- ja totuusehdon lisäksi myös oikeutusehdon, joka erottaa tiedon

4 pelkästä onnekkaasta arvauksesta: (*) S tietää että p jos ja vain jos (i) S uskoo että p (ii) on totta että p (iii) S on oikeutettu uskomaan että p Tätä määritelmää kutsutaan klassiseksi tiedonmääritelmäksi. Klassisen tiedonmääritelmän mukaan tieto on siis tosi, oikeutettu uskomus. On tärkeätä erottaa toisistaan oikeutus toimintana ja oikeutus ominaisuutena, joka uskomuksella on tai joka siltä puuttuu. Oikeutuksesta toimintana on kyse silloin, kun pyrimme oikeuttamaan jonkin uskomuksen eli selitämme, mitkä perusteet tai mikä todistusaineisto tukee uskomustamme. Tällaisen toiminnan tarkoituksena on vakuuttaa joku kenties uskoja itse siitä, että kyseinen uskomus on tosi. Uskomuksemme voi olla oikeutettu, vaikka emme olisikaan oikeuttaneet sitä. Esimerkiksi uskomuksemme, että olemme tällä hetkellä Bulevardin 18:n seminaarihuoneessa 5 on täysin oikeutettu, vaikka emme olekaan sitä oikeuttaneet. On mahdollista, että S:llä ei ole aavistustakaan siitä, miten jokin uskomus, p, oikeutetaan, vaikka S olisikin oikeutettu uskomaan p:n. Esimerkiksi, miten oikeuttaisit uskomuksen, että olet olemassa? Vaikka et kykenisikään esittämään oikeutusta kyseiselle uskomukselle, vaikuttaa järkevältä sanoa, että olet oikeutettu uskomaan olevasi olemassa. Se että uskomus on oikeutettu ei siis tarkoita, että S kykenisi perustelemaan uskomuksensa: (*) Oikeutus perustelu toimintana Oikeutus Mitä oikeuttaminen sitten tarkoittaa? Milloin S:n uskomus että p on oikeutettu?

5 Klassinen ehdotus on kytkeä oikeutus varmuuteen: Varmuusperiaate: S tietää, että p jos ja vain jos S varma siitä, että p. Entä mitä tarkoitetaan varmuudella? Seuraavassa kaksi ehdotusta: S on varma siitä, että p jos ja vain jos 1) S ei epäile sitä että p (psykologinen varmuus) 2) S :n evidenssi p:n puolesta sulkee pois mahdollisuuden, että S on väärässä (evidentiaalinen varmuus) Jälkimmäisessä tapauksessa sanomme, että S:n evidenssi p:n puolesta on kumoutumatonta (engl. indefeasible ). Kuvitellaan, että Reino ostaa R-kioskilta yhden lottorivin. Todennäköisyys, että Reinon rivi toteutuu on 1/ Todennäköisyys, että Reino ei saa seitsemän oikein -tulosta, on siis hyvin korkea. Mutta olisi väärin sanoa, että Reino tietää, ettei hän saa seitsemää oikein. Niin kauan kuin on mahdollista, että Reinon rivi toteutuu, Reino ei tiedä, että hän ei voita (olipa todennäköisyys voittaa miten pieni hyvänsä). Edellä sanottu näyttää sopivan uskomuksiimme aivan yleisestikin: useimpien tavallisten uskomusten kohdalla ei ole mielekästä sanoa, että mahdollisuus olla väärässä olisi poissuljettu. Meillä voi olla erittäin hyvää evidenssiä jonkin tavallisen uskomuksen, p, puolesta ja siten erittäin hyvät perusteet uskoa p. Mutta siitä huolimatta on mahdollista, että p on epätosi. Ajatellaan, että Reino on matkannut R-kioskille pyörällä ja palaa nyt lottoamisen jälkeen takaisin kotiin ja jättää pyöränsä samaan paikkaan, mihin hän aina muulloinkin sen jättää. Tuntuu ensi silmäyksellä luontevalta sanoa, että paraikaa kotona istuva Reino tietää, missä hänen pyöränsä tällä hetkellä on. Mutta polkupyöriä varastetaan joka päivä, ja on ilmeisen mahdollista, että Reinon pyörä on hetkeä aikaisemmin joutunut varkauden kohteeksi. On siis mahdollista, että Reino uskoo hyvin perustein pyöränsä olevan jossakin tietyssä paikassa, mutta hänen uskomuksensa on virheellinen. Reino ei siis voi olla evidentiaalisessa mielessä varma, että polkupyörä on tällä hetkellä siellä, minne hän sen jätti palatessaan kotiin.

6 Tämä näyttää soveltuvan myös uskomuksiin, jotka ovat psykologisessa mielessä varmoja (epäilyksettömiä). Katson eteeni ja näen edessäni jotakin valkoista. Olen psykologisessa mielessä varma tai vakuuttunut siitä, että uskomukseni näen nyt edessäni jotakin valkoista on tosi. Mutta hiven mielikuvitusta auttaa meitä keksimään sellaisen tarinan, jonka ollessa tosi uskomukseni olisi virheellinen. Fallibilismi Virheetön matemaattinen todistus voisi olla esimerkki kumoutumattomasta evidenssistä. Mutta useimmiten hallussamme oleva evidenssi on kumoutuvaa (engl. defeasible ). Esimerkiksi Reino katsoo ikkunasta ulos takapihalle ja vakuuttuu siitä, että hänen pyöränsä on siinä, mihin hän sen jättikin. Mutta Reinon tietämättä on käynyt niin että Ovela Pyörävaras on vienyt Reinon pyörän ja korvannut sen pahvikuvalla, jota kauempaa katsottuna ei pysty erottamaan oikeasta pyörästä. Reinolla on siis näköhavaintoon perustuvaa evidenssiä uskomuksen polkupyöräni on talon takapihalla puolesta, mutta jos Reino vaivautuisi ulos, hän voisi nopeasti hankkia uutta evidenssiä, joka kumoaa vanhan. Henkilöä, joka hylkää evidentiaalisen varmuuden periaatteen kutsutaan fallibilistiksi. Fallibilisti siis hyväksyy sen mahdollisuuden, että tieto voi perustua kumoutuvaan evidenssiin. Varmuusperiaate puolestaan sanoo, että S tietää p:n vain jos hänen hallussaan oleva evidenssi on maksimaalisen hyvää. Skeptisismi Varmuusperiaate on perinteinen filosofisen skeptisismin lähde. Filosofinen skeptikko on erotettava sekä patologisesta inttäjästä että arkielämän epäilijästä. Patologinen inttäjä on henkilö, joka ei perusta skeptisismiään argumenttiin, vaan vastaa jokaiseen väitteeseen Mistä tiedät olevasi oikeassa? ja toistaa kysymyksensä jokaisen perustelun kohdalla. Filosofinen skeptikko eroaa siis patologisesta inttäjästä, koska hänellä on esittää argumentti epäilynsä tueksi. Mutta kaikenlainen argumentoitu epäily ei edusta filosofista skeptisismiä. Arkielämän epäilijä on henkilö, joka suhtautuu epäillen jotakin tiettyä tyyppiä oleviin

7 väitteisiin ja jolla on esitettävänään perusteita väitteensä tueksi. Esimerkiksi ympäristöskeptikko (engl. environmental sceptic ) suhtautuu epäillen väitteisiin, joiden mukaan ilmaston lämpeneminen on ihmisen aikaansaannosta. Moderni skeptisismi on kriittisen tutkimuksen soveltamista epätavallisiin tai ns. paranormaalia koskeviin väitteisiin, jotka ovat usein ristiriidassa tieteellisen tiedon kanssa. (Skepsis ry:n Kysy ja kyseenalaista -kalvosarjan esittelystä). Arkielämä epäilyssä on kyse sellaisesta johonkin uskomukseen kohdistuvasta epäilystä, joka on mahdollista osoittaa perusteettomaksi (taiperustelluksi) samantyyppisellä evidenssillä kuin mihin kyseinen uskomus perustuu. Kuvitellaan esimerkiksi että Reino ja Mirja ovat sienimetsällä, ja Mirja sanoo näkevänsä edessään suppilovahveroita. Reino suhtautuu epäillen skeptisesti Mirjan havaintoon, esimerkiksi seuraavilla perusteilla: 1. Sienten väri ei ole suppilovahveroille tyypillinen. 2. Sienten kasvupaikka ei ole suppilovahveroille tyypillinen. Reino toteaa esimerkiksi, että hänestä sienet ovat liian keltaisia ollakseen suppilovahveroita. Mutta tällaisen epäilyn perusteet ovat periaatteessa kumottavissa. Mirja voi esimerkiksi muistuttaa Reinoa siitä, että suppilovahveroiden joukossa tavataan, joskin harvinaisina, yksilöitä, jotka puuttuvan väripigmentin vuoksi ovat kauttaaltaan keltaisia normaalin keltaisenruskean tai tumman/harmaanruskean sijasta. Mutta oletetaan, että Mirja kertoo Reinolle nähneensä suppilovahveroita ja Reino asettaa Mirjan väitteen kyseenalaiseksi sillä perusteella, että aistihavainto ei ole luotettava tiedonlähde. Tai sillä perusteella, että Mirja ei kykene sulkemaan pois sitä vaihtoehtoa että koko sieniretki on pelkkää unennäköä. Tässä tapauksessa Reino on muuttunut arkipäivän epäilijästä esimerkiksi henkilöstä, joka kenties hyvin, mutta silti periaatteessa kumottavissa olevin perustein epäilee sienihavainnon paikkansapitävyyttä filosofiseksi skeptikoksi. Skeptisismin lajeja A) Pyrrhonilainen skeptisismi B) Akateeminen skeptisismi

8 Pyrrhonilainen skeptisismi juontaa juurensa elisläisestä Pyrrhonista (n ekr.). Pyrrhonilainen skeptismi merkitsee mielipiteistä pidättäytymistä ; pyrrhonisti pidättäytyy ottamasta kantaa jokaiseen sellaiseen kysymykseen, josta voi vallita useita mielipiteitä, mukaan lukien kysymys siitä, voiko meillä olla tietoa. Toisin sanoen pyrrhonisti vaatii, että meidän tulisi lakata muodostamasta mielipiteitä todellisuudesta. Pyrrhonille itselleen skeptisismin merkitys näyttää olleen praktinen l. käytännöllinen: skeptinen johtopäätös ( jokaiselle käsitykselle, p, ja sen kiellolle, ei-p, on olemassa perustelu ) mahdollistaa mielenrauhan saavuttamisen. [Sekstos Empeirikos] esitti lukuisia argumentteja sen puolesta, että meidän pitäisi pidättäytyä muodostamasta uskomuksia asioiden todellisesta luonteesta, koska siitä on aina olemassa yhtä todennäköisiä vastakkaisia mielipiteitä. Esineet näyttävät erilaisilta eri etäisyyksiltä, erilaisissa havainto-olosuhteissa, eri aistien välityksellä, eri mielentiloissa, erilaisilta sairaista kuin terveistä ihmisistä, erilaisilta eläimistä kuin ihmisistä, erilaisilta unessa kuin herättäessä ja niin edelleen. Asioiden todellisesta laidasta on siis aina yhtä hyviä vastakkaisia mielipiteitä. [...] Johdonmukainen pyrrhonisti ei kuitenkaan puolusta mitään väitettä, ei edes normatiivista väitettä siitä, pitäisikö meidän uskoa tai olla uskomatta johonkin. Pyrrhonismi onkin enemmän elämäntapa kuin oppijärjestelmä. Sekstos määrittelee skeptisismin kyvyksi tai asenteeksi vastustaa jokaista väitettä yhtä vahvalla vastaväitteellä. Tuloksena on aluksi mielipiteistä pidättäytyminen (epokhe) ja sitten tyyneys ja mielenrauha (ataraksia) (Lammenranta, s ) Nimitys akateeminen skeptikko tulee Platonin akatemiasta, jonka johtajia Sekstos Empeirikos (n ) kutsui akateemikoiksi (Arkesilaos n ekr.; Karneades (n ekr.). Esimerkin sille tarjosi Sokrates, jonka Delfoin oraakkeli sanoi olevan kaikkia muita viisaampi, koska hän ei kuvittele tietävänsä mitään sellaista, mitä hän ei tiedä. Akateeminen skeptisismi kieltää tiedon tai oikeutetun uskomuksen olemassaolon tai mahdollisuuden ja on sitä skeptisismiä, josta tietoteoreetikot ovat yleensä olleet kiinnostuneita. Akateemista skeptisismiä kutsutaan myös karteesiseksi skeptisismiksi René Descartesin ( ) mukaan (lat. Renatus Cartesius); Descartes ei kuitenkaan ollut skeptikko siinä mielessä kuin antiikin akateemikot (tai pyrrhonistit) Lokaalinen globaalinen skeptisismi

9 Lokaalisen skeptisismin mukaan meillä on tai ainakin voi olla tietoa tai oikeutettuja uskomuksia mutta on olemassa sellaisia alueita, jotka muodostavat poikkeuksen; esimerkkejä voisivat olla uskonnollinen ja moraalinen tieto. Globaalinen skeptisismi puolestaan sanoo, että meillä ei ylipäänsä ole tai voi olla tietoa tai oikeutettuja uskomuksia, eli mitkään uskomuksemme eivät kelpaa tiedoksi tai eivät ole edes oikeutettuja. Tietoskeptisismi oikeutusskeptisismi Joskus ajatellaan, että skeptisismissä on kyse ainoastaan varmuus-periaatteesta. Näyttää siltä, että varmuusperiaatteen hyväksymisestä seuraa skeptisismi: tilanteet, joissa S :n evidenssi p:n puolesta sulkee pois mahdollisuuden, että S on väärässä, on äärimmäisen harvinaista. Erotetaan kolme episteemisesti haluttavaa tai episteemisesti suotuisaa tilaa: 1. Kaikkein vaativin episteeminen tila on sellainen, jossa S:llä on kumoamaton todistus p:n puolesta. Jotkut filosofit ovat ajatelleet, että sana tieto soveltuu kuvaamaan vain tällaisia tiloja. 2. Vähemmän vaativa episteeminen tila on sellainen, jonka fallibilisti ajattelee olevan tietoa. Jos S on tässä tilassa, silloin p on tosi, mutta se ei vaadi, että S:llä on kumoutumatonta evidenssiä p:n puolesta. 3. Vähiten vaativa episteeminen tila on sellainen, jossa S:llä on perusteltu tai järkevä uskomus, että p. Oletetaan nyt että skeptikko tulee episteemisen optimistin luokse varustautuneena varmuusperiaatteella ja julistaa, että meillä ei ole ehdottoman varmaa tietoa että p. Mitä tästä seuraa? Episteeminen optimisti (tai ei-skeptikko) voi aina turvautua siihen, että on olemassa muitakin tiedollisesti haluttavaa tai tiedollisesti suotuisaa tilaa kuin sellainen, jossa S:llä on kumoamaton todistus p:n puolesta. Skeptisismi käy mielenkiintoiseksi ja filosofista mielenrauhaa häiritseväksi jos skeptikolla on tarjottavanaan argumentteja, jotka asettavat kyseenalaiseksi sen, voimmeko episteeminen agentti saavuttaa vähemmän vaativia episteemisesti suotuisia tiloja. Esimerkiksi argumentit, jotka pyrkivät osoittamaan, että meillä ei voi olla oikeutettuja uskomuksia mielemme ulkopuolisesta maailmasta, kuuluvat tähän joukkoon.

10 II Descartes ja skeptiset argumentit Ensimmäinen ja toinen metafyysinen mietiskely Descartes toteaa aluksi, että hän on varhaisesta iästä alkaen ottanut monia epätosia asioita todesta ja miten näiden epätotuus vaikuttaa kaikkeen siihen, mikä niiden varaan on rakennettu. Kerran elämässäni minun siis piti perin pohjin kaataa kumoon kaikki ja aloittaa uudelleen ensimmäisistä perusteista, jos halusin koskaan saada tieteissä aikaan jotain lujaa ja pysyvää. Monet Descartesin uskomuksista perustuvat aistikokemukseen. Kaikki mitä toistaiseksi olen pitänyt kaikkein eniten totena, on nimittäin saatu aisteista tai aistien kautta. Mutta olen huomannut niiden toisinaan pettävän. Sitten hän muistaa, miten hän on unessa kokenut samanlaisia asioita kuin valveilla ollessaankin. Nukkuessani kokemukset ovat johtaneet harhaan ja olen luullut olevani hereillä. Descartes väittää, ettei uni- ja valvetilaa voi erottaa toisistaan millään varmoilla tuntomerkeillä. Unta koskevat tarkastelut antavat syyn epäillä kaikkia aistihavaintoihin perustuvia uskomuksia. On kuitenkin joukko uskomuksia, jotka edelleen jäävät epäilyn ulkopuolelle. Sillä valveilla ja unessa kaksi ja kolme ovat yhteensä viisi, eikä neliöllä ole enempää kuin neljä sivua. Ja tuntuu siltä ettei näin selkeitä totuuksia voisi epäillä epätosiksi. Mutta sitten Descartesin mieleen muistuu vanha ajatus, että on olemassa Jumala, joka voi mitä tahansa. Ehkä Jumala on luonut Descartesin sellaiseksi, että hän aina erehtyy uskomuksissaan. Ehkä tämä on kuitenkin mahdotonta. Jos Jumala on täysin hyvä, voisiko hän pettää Descartesia tai ketä tahansa muuta tällä tavalla.

11 Sitten Descartes tuo kuvaan mukaan ilkeän demonin hypoteesin. Joka tapauksessa on mahdollista, että jokin äärimmäisen mahtava ja viekas paha henki on käyttänyt kaiken tarmonsa pettääkseen [Descartesia]. Nykyaikainen versio tästä hypoteesista on tietysti ilkeä tiedemies: Olen altaassa ravinneliuoksessa elävät aivot, johon ilkeä tiedemies on kytkenyt elektrodit a jonka hän tehokkaalla tietokoneellaan saa virheellisesti uskomaan todellisuudesta monia asioita, muun muassa että istun tuolillani tietokonettani näppäillen. Tämä hullu tiedemies irrotti aivoni pääkopastani ollessani puoli vuotta sitten sairaalassa umpilisäkkeen poistoa varten. Kaikki tapahtui ollessani syvässä narkoosissa niin nopeasti, etten ehtinyt huomata mitään. Tämän jälkeen hän on tuottanut kaikki kokemukseni ja uskomukseni itsestäni ja todellisuudesta ilman, että olisin huomannut mitään tavallisuudesta poikkeavaa. Uskon itse asiassa, että leikkaus onnistui hyvin ja että olen toipunut siitä normaalisti. Olen jälleen päässyt kiinni normaaliin työhöni ja kirjoittelen parhaillani tietoteorian oppikirjaa. (Lammenranta, s ). Toisessa mietiskelyssä Descartes pohtii, onko mahdollista löytää mitään uskomuksia, joihin hän voisi luottaa vaikka olisikin niin, että ilkeä demoni pettää häntä. Jos näin on, on kenties mahdollista saavuttaa epäilyksetön perusta, jonka varaan voidaan rakentaa. Uniargumentti Ollessani unessa olen toisinaan luullut olevani hereillä. Kun siis olen unessa, en kykene erottamaan, olenko unessa vai hereillä. Vaikka olisin hereillä, en kykene erottamaan, olenko unessa vai hereillä. Ja kuitenkin nyt tajuan valppain silmin tämän paperin, liikutan päätäni eikä se ole unessa, ojennan käteni tahallani ja tietoisesti aistin sen. Nukkuvalla tämä ei voisi olla niin tarkkaa. Tähän Descartes itse vastaa:

12 Ikään kuin en siis muistaisi, että samankaltaiset ajatukset ovat usein johtaneet minut harhaan unissa! Kun ajattelen tätä huolellisemmin, näen selvästi, ettei valvetilaa voi erottaa unesta millään varmoilla tuntomerkeillä. Kaikki mahdolliset kokemukset ovat sellaisia, että vaikka ne tuntuisivatkin osoittavan että olen hereillä, voisin itse asiassa kokea täsmälleen samanlaiset kokemukset, vaikka näkisin unta. Kokemuksessani ei siis voi olla mitään sellaista, minkä perusteella voisin erottaa unitilan valvetilasta. Descartesin argumentti voidaan esittää seuraavasti: 1. Kun olen unessa, en kykene erottamaan, olenko unessa vai hereillä. 2. Jokainen kokemus on sellainen, että se voidaan myös uneksia. On siis mahdollista, että olen unessa ja että minulla on kaikki ne kokemukset, jotka minulla juuri nyt ovat. 3. Vaikka olisin hereillä, en kykene erottamaan, olenko unessa vai hereillä. En siis voi tietää, että en näe unta juuri nyt vaikka olisikin totta, että en näe unta juuri nyt. 4. Jotta voisin tietää jotakin ulkomaailmasta aistieni perusteella, minun on tiedettävä, että en ole unessa. Jos en tiedä, olenko unessa vai hereillä, kuinka voin luottaa aistieni antamaan todistukseen? 5. En siis voi tietää mitään ulkomaailmasta aistikokemuksen perusteella. Descartesin argumentin pointti näyttää siis olevan mahdollisimman yleinen. Sen mukaan meillä ei voi olla tietoa ulkomaailmasta siis meitä ympäröivästä maailmasta. Kysymyksiä Kysymys 1: Jos näen unta että p, seuraako tästä, etten tiedä, että p? Kysymys 2: Onko minun välttämätöntä tietää, etten ole unessa, voidakseni tietää jotakin ulkomaailmasta havainnon perusteella? Kysymys 3: Onko mahdollista tietää, ettei ole unessa?

13 En voi tietää, etten ole unessa, koska kokemukseni ei takaa sitä, etten ole unessa. Fallibilismi: S:n on mahdollista tietää, että p, vaikka S:n evidenssi ei takaisikaan sitä, että p. Voin tietää, etten ole unessa, koska paras selitys tämänhetkiselle aistikokemukselleni on se, että havaitsen ympärilläni olevan maailman. Siksi minulla on hyvät perusteet uskoa, että olen hereillä. (Miksi tämä on paras hypoteesi/selitys?) On ilmiselvää, etten ole unessa. Kysymys 2: Onko todella niin, että tosiseikkojen tietäminen ulkomaailmasta edellyttää, että tiedän, etten ole unessa? Myönteistä vastausta tähän kysymykseen on perusteltu seuraavasti. Tietääkseni, että p minun on suljettava pois vaihtoehtoiset selitykset, jotka ovat yhteensopimattomia p:n kanssa. Näen ovensuussa miehen, ja minulla on perusteet olettaa että hän on joko Mikko, Kalle tai Erkki. Epäilen, että ovensuussa seisoja on Mikko, mutta heikon näkökykyni, valaistuksen, etäisyyden jne. vuoksi en voi olla asiasta vakuuttunut. En siis tiedä, että Erkki seisoo ovensuussa, koska en kykene sulkemaan pois toisia vaihtoehtoja. Sulkuperiaatteet Kun filosofi sanoo, että tieto on loogisiin seurauksiinsa nähden suljettu, tämä tarkoittaa seuraavaa: jos S tietää että p ja q seuraa loogisesti p:stä, S tietää että q. Kun filosofi sanoo, että tieto on tiedettyihin loogisiin seurauksiinsa nähden suljettu, tämä tarkoittaa seuraavaa: jos S tietää, että p ja S tietää että q seuraa loogisesti p:stä, S tietää että p. Interludi: Mitä tarkoittaa looginen seuraus? Mitä sitten tarkoittaa looginen seuraus? Meille riittää seuraava luonnehdinta: (*) Looginen seuraus: väite q seuraa loogisesti väitteestä p jos ja vain ei ole loogisesti mahdollista että p on tosi ja q on epätosi

14 Esimerkki loogisesti pätevästä päätelmästä: Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Sokrates on ihminen. Sokrates on kuolevainen. Esimerkissä väitteet kaikki ihmiset ovat kuolevaisia ja Sokrates on ihminen ovat premissejä eli oletuksia ja Sokrates on kuolevainen on konkluusio eli johtopäätös. Kun ratkomme kysymystä, seuraako johtopäätös premisseistä, emme ole kiinnostuneet väitteiden tosiasiallisesta totuusarvosta (siitä ovatko ne tosia vai epätosia); filosofien kielellä lausuttuna: emme ole kiinnostuneet niiden totuusarvosta aktuaalisessa maailmassa. Meitä kiinnostaa se, takaako premissien totuus johtopäätöksen totuuden. Eli oletamme että premissi tai premissit ovat tosia ja katsomme mitä tästä oletuksesta seuraa johtopäätöksen totuusarvon kannalta. Eli edellisessä esimerkissä oletamme, että kaikki ihmiset ovat kuolevaisia ja että Sokrates on ihminen. Näemme että sitoudumme tällöin myös väitteen Sokrates on kuolevainen totuuteen. Miksi? Siksi että kyseisessä päätelmässä premissien hyväksyminen ja johtopäätöksen hylkääminen olisi ristiriitaista. Siis premissien eli oletusten totuus takaa johtopäätöksen totuuden: jos premissit ovat tosia, niin johtopäätöksen on myös oltava tosi. Koska olen ihminen, en kykene edes hetkellisesti saavuttamaan 100 kilometrin tuntinopeutta juoksemalla. Tämä on fysiologisesti mahdotonta. Sen sijaan se on loogisesti mahdollista, koska ei ole ristiriitaista kuvitella henkilön juoksevan sadan kilometrin tuntinopeudella. Tämän vuoksi Olen ihminen En kykene juoksemaan 100 km/h ei ole pätevä päätelmä: premissi ei takaa johtopäätöksen totuutta sanan takaa loogisessa merkityksessä (aktuaalisessa maailmassa voimme kyllä olla varmoja siitä, että jos x on ihminen, x ei juokse 100 km/h; tarkastellessamme päätelmän loogista pätevyyttä emme kuitenkaan ole kiinnostuneita (yksinomaan) aktuaalisesta maailmasta vaan kaikista loogisesti mahdollisista maailmoista. Jos siis on ristiriidattomasti ajateltavissa, että väite p on tosi ja väite q on epätosi, niin q ei seuraa loogisesti p:stä. Esimerkki jälkimmäisestä:

15 Kaikki kalat elävät meressä. Delfiinit elävät meressä. Delfiinit ovat kaloja. Tässä päätelmässä sekä premissit että johtopäätös ovat tosia (siis tosia aktuaalisessa maailmassa). On kuitenkin mahdollista, että jokin elää meressä olematta silti kala (delfiinit ovat juuri tällainen esimerkki). Siksi em. päätelmä ei ole loogisesti pätevä. Takaisin sulkuperiaatteeseen... Kahdesta yllämainitusta sulkuperiaatteesta ensimmäinen ei ole uskottava: tiedän jonkin matemaattisen totuuden ja kyseisestä totuudesta voidaan loogisesti johtaa jokin toinen matemaattinen totuus, mutta en välttämättä tiedä tätä toista totuutta. Sen sijaan jälkimmäinen, heikompi periaate vaikuttaa ainakin ensi silmäyksellä uskottavalta; jos esimerkiksi tiedän, että Erkki on paraikaa juoksemassa maratonia, ja tiedän, että tästä seuraa loogisesti, ettei hän ole kuollut, niin näytän myös tietävän, ettei Erkki ole kuollut. Descartesin argumentin idea on seuraava. Olkoon p = istun nyt tietokoneeni ääressä ja q = olen aivot altaassa. q on vaihtoehtoinen selitys tämänhetkisille kokemuksilleni. Jos tiedän, että p, tiedän myös, että q ei ole tosi; voin siis sulkea vaihtoehtoisen selityksen pois. Mutta en pysty sulkemaan vaihtoehtoista selitystä pois. Siis en tiedä, että p. Jos hyväksymme heikon sulkuperiaatteen, meidän on myös hyväksyttävä seuraava päättely: jos tiedän, että istun nyt tietokoneeni ääressä, tiedän etten ole aivot ammeessa. Oletetaan että tiedän istuvani tietokoneeni ääressä. Se että istun nyt tietokoneeni ääressä on yhteensopimatonta sen kanssa, että olen aivot altaassa. Siis siitä että istun tietokoneeni ääressä seuraa etten ole altaassa elävät aivot. On helppo vakuuttua tästä. Tiedän siis, että, jos istun tietokoneeni ääressä, en ole aivot altaassa. Tästä seuraa sulkuperiaatteen nojalla, että tiedän myös, että en ole altaassa elävät aivot. Mutta minulla näyttää myös olevan hyviä syitä olettaa, että en tiedä, etten ole aivot altaassa. Minulla ei näytä olevan eikä minulla voisikaan olla minkäänlaista evidenssiä sen puolesta, etten ole aivot altaassa. Kaikki kokemukseni ja uskomukseni olisivat täsmälleen

16 samanlaiset riippumatta siitä, olenko aivot altaassa vai istunko tietokoneeni ääressä kirjoittamassa. Mutta jos hyväksymme tämän, meidän on myös hyväksyttävä skeptinen johtopäätös. Skeptikon strategia on siis seuraava: 1. En voi sulkea pois mahdollisuutta, että olen aivot altaassa, tai ilkeän demonin pettämä tai... jotka kaikki ovat mahdollisuuksia, jotka ovat yhteensopimattomia p:n kanssa. 2. Voin tietää, että p vain jos kykenen sulkemaan pois kaikki tuntemani p:n vaihtoehdot. 3. Siis en tiedä, että p. Skeptikon strategiana on esittää vaihtoehtoisia hypoteeseja sille, että todella tiedämme, mitä väitämme tietävämme, ja vaatia, että meidän olisi nämä asiat tietääksemme myös tiedettävä, että nämä hypoteesit eivät pidä paikkaansa (Lammenranta, s. 65) Usein skeptisismin ongelma muotoillaan paradoksina puhutaan skeptisistä paradokseista: 1. En tiedä, että skeptinen hypoteesi (SH) ei ole tosi. 2. Jos en pysty sulkemaan pois (SH):ta, en tiedä, että p [missä p on jokin ulkomaailmaa koskeva väite]. 3. Tiedän monia ulkomaailmaa koskevia väitteitä. Nämä kolme väitettä eivät ole keskenään yhteensopivia, vaikka niistä jokainen vaikuttaa yksinään tarkasteltuna uskottavalta; siksi puhumme paradoksista. Skeptikon vastaus paradoksiin on yksinkertainen: koska meidän on hyväksyttävä 1. ja 2., meidän on hylättävä 3. Siitä skeptinen johtopäätös. Anti-skeptikon, siis filosofin, joka hylkää skeptisen ratkaisun, on hylättävä joko 1. tai 2. Ratkaisua, joka hylkää 1.:sen, voimme kutsua terveen järjen vastaukseksi skeptiseen paradoksiin. Toinen mahdollisuus on hylätä 2. Tämä voidaan tehdä useammallakin tavalla. Seuraavassa tarkastelemme terveen järjen vastauksen lisäksi yhtä tapaa hylätä 2. Kutsumme sitä relevanttien vaihtoehtojen teoriaksi. III

17 Vastausstrategioita skeptiseen argumenttiin Tarkastelemme kahta mahdollista vastausta skeptiseen argumenttiin (nämä eivät ole ainoat mahdollisuudet): 1. Skeptinen hypoteesi ei ole relevantti vaihtoehto 2. Terveen järjen strategia 1. Skeptinen hypoteesi ei ole relevantti vaihtoehto Eräs lähtökohta anti-skeptiselle argumentaatiolle on väite, että skeptikko asettaa tiedolle epätavalliset kriteerit ja että hän sen vuoksi tiedosta puhuessaan puhuu itse asiassa jostakin muusta asiasta kuin siitä, mitä tiedolla tavallisesti tarkoitetaan. Sen vuoksi ei ole ihme, jos se mikä tavallisesti kelpaa tiedoksi ei skeptikon mukaan ole tietoa. Tällaista kantaa voi perustella mm. relevanttien vaihtoehtojen teorialla. Edellä todettiin, että skeptikko esittää vaihtoehtoisen hypoteesin väitteelle p (tai ainakin sille, että tiedän, että p). Olen vakuuttunut siitä, että istun tällä hetkellä tietokoneeni ääressä. Tämänhetkinen kokemukseni on sellainen, että se saa minut uskomaan, että tämä väite pitää paikkansa. Mutta skeptikko sanoo, etten voi tietää, ettei jokin vaihtoehtoinen hypoteesi selitä tämänhetkistä kokemustani aivan yhtä hyvin. Esimerkiksi se, että olen aivot altaassa ja ilkeä tiedemies tuottaa aivoissa uskomuksen, että istun tietokoneeni ääressä (olkoon tämä propositio q 1 ). Tai että Descartesin ilkeä demoni tekee aivoilleni saman tempun (q 2 ). Tai että näen tällä hetkellä unta siitä, että istun tietokoneeni ääressä kirjoittamassa (q 3 ). q 1, q 2 ja q 3 tarjoavat siis jokainen vaihtoehtoisen selityksen uskomukselleni, että istun nyt tietokoneeni ääressä (p). Ja jos en pysty sulkemaan näitä vaihtoehtoisia selityksiä pois, en tiedä, että p. Ajatus, että tiedolla on jotakin tekemistä vaihtoehtoisten selitysten poissulkemisen kanssa vaikuttaa ainakin ensi silmäyksellä järkevältä. Palataan Reinon ja Mirjan sieniretkelle. Mirja sanoo näkevänsä suppilovahveroita, mutta Reino suhtautuu havaintoon skeptisesti. Reinolla on perusteita epäilylleen, sillä hän kykenee esittämään perusteltuja vaihtoehtoja Mirjan väitteelle. Tällaisessa tilanteessa Mirjan tulisi kyetä sulkemaan vaihtoehtoiset selitykset pois,

18 ennen kuin hänen voidaan sanoa tietävän, että sienet ovat suppilovahveroja. Toisaalta tuntuu järkevältä, että myös Reinon skeptisten väitteiden tulee olla tietynlaisia. Reino voisi esimerkiksi sanoa epäilevänsä sienihavaintoa, koska sienten kasvupaikka ja väri eivät täsmää sen kanssa, mitä suppilovahveroista yleisesti tiedetään. Mutta mitkä vaihtoehdot Mirjan tulee kyetä sulkemaan pois? Ajatellaan skeptistä hypoteesia, että Mirja itse asiassa on aivot altaassa. On järkevää väittää, että jos Mirja tietää näkevänsä suppilovahveroita, hän tietää, ettei hän ole aivot altaassa. Ainakin Mirjan on helppo vakuuttua tämän paikkansapitävyydestä (ravintoliuoksessa kelluvat aivot eivät käy sienimetsällä). Mutta onko oikein sanoa, että skeptinen hypoteesi relevantteja vaihtoehto Mirjan sienihavainnolle? Relevanttien vaihtoehtojen teoreetikko sanoo, että tietääkseen p:n S:n ei tarvitse sulkea pois kaikkia p:n vaihtoehtoja eikä edes kaikkea sitä, mitä hän tietää p:n vaihtoehdoiksi, vaan ainoastaan ne vaihtoehdot, jotka ovat kyseisessä tietämistilanteessa relevantteja. Mikä sitten tekee vaihtoehdosta relevantin? Brittifilosofi John L. Austin ( ) ehdotti, että ollakseen relevantti vaihtoehdon on oltava sellainen, että S:llä on jotakin evidenssiä vaihtoehtoisen selityksen puolesta tai joitakin syitä ajatella, että kyseinen vaihtoehtoinen selitys saattaisi päteä kyseisessä tilanteessa. Esimerkiksi jos Reino on vienyt Mirja aamuvarhaisella sienimetsään ja Mirja on vielä unen ja valveen rajamailla, Mirja voi epäillä sienihavaintoaan sillä perusteella, että hän ei ehkä ole vielä kunnolla herännyt, joten hänen aistinsa eivät toimi luotettavasti. Tässä tilanteessa sienihavainnon relevantti vaihtoehto on se, että Mirja on vielä unessa, jolloin Mirjan on kyettävä sulkemaan tämä vaihtoehto pois ennen kuin hän voi sanoa tietävänsä, että hän havaitsee suppilovahveroita. Descartesin vahvempi vaihtoehto: Tietääkseen mitään ulkomaailmasta S:n on kyettävä sulkemaan pois se vaihtoehto, että hän näkee unta. Austinin heikompi vaihtoehto: Jos S:llä on jotakin erityisiä syitä olettaa, että hän on unessa, univaihtoehto on relevantti ja S:n on kyettävä sulkemaan se pois; muussa tapauksessa ei. Lisäksi Austin esittää, että vahvempi vaihtoehto itse asiassa vääristää tavanomaiset tiedolle asetetut kriteerit tai standardit. Miksi? Koska normaalitilanteissa olisi sopimatonta tai epäasianmukaista ( inappropriate ) kyseenalaistaa toisen henkilön esittämä väite

19 vetoamalla johonkin sellaiseen mahdollisuuteen kuin unennäkö. Jos Reino epäilee Mirjan väitettä sillä perusteella, että kyseiset sienet eivät näytä tyypillisiltä suppilovahveroilta, tällainen epäily on OK voimme olettaa, että Reinolla on perusteet epäilylleen. Jos hän sen sijaan reagoi väitteeseen sanomalla, Mistä tiedät, että ne ovat suppilovahveroita? Saattaahan koko sieniretkemme olla silkkaa unta, hän toimii tavalla, jonka voi sanoa olevan sopimaton tai epäasianmukainen sienimetsässä tai sanokaamme siententunnistuskilpailussa. Ei kuitenkaan ole selvää, että Austinin esittämä vastaus kelpaa yleisesti. Meidän on erotettava toisistaan kaksi asiaa: mikä on kirjaimellisesti totta jossakin tilanteessa mitä jossakin tilanteessa on sopivaa tai asianmukaista väittää Usein nämä kaksi asiaa kulkevat käsi kädessä. Mutta eivät aina. On tilanteita, joissa jokin väite voi olla tosi, mutta sen lausuminen ei olisi sopivaa tai asianmukaista. Ajatellaan, että Mirja paiskii töitä toimistossa. Jos on totta, että Mirja paiskii töitä toimistossa, silloin on myös totta, että Mirja paiskii töitä toimistossa tai on kotona nukkumassa. Oletetaan, että Reino tietää tämän. Jos pomo nyt kysyy Reinolta, tietääkö tämä, missä Mirja on, Reinon ei olisi asianmukaista vastata. Hän on joko toimistossa paiskimassa töitä tai kotona nukkumassa, vaikka tämä väite olisikin kirjaimellisesti ottaen tosi kyseisessä tilanteessa. Esittämällä kyseisen väitteen Reino antaa pomon ymmärtää, että hän ei tiedä onko Mirja toimistossa vai kotona nukkumassa. Toisinaan voi olla tarkoituksenmukaista väittää jotakin, joka ei kirjaimellisesti ottaen ole tosi. Sanomme esimerkiksi, että kiitorata on tasainen tai jääkaappi on tyhjä, vaikka nämä väitteet eivät tiukasti ottaen olekaan tosia; siitä huolimatta tällaisten ilmausten käyttö on usein aivan tarkoituksenmukaista. Austin siis perustelee väitettään sanomalla, että normaalisolosuhteissa ei ole asianmukaista kyseenalaistaa S:n väitettä että p sillä perusteella, että hän ei ole sulkenut pois jotakin vaihtoehtoa. Skeptikko voi kuitenkin vastata tähän muistuttamalla, että se mikä on tarkoituksenmukaista ei aina ole totta. Vaikka jonkin vaihtoehdon huomiotta jättäminen olisikin jossakin tilanteessa tarkoituksenmukaista ja sen mainitseminen epätarkoituksenmukaista tai asiatonta, voi silti olla niin, että tämä vaihtoehto on relevantti

20 sen kannalta, onko oikein sanoa että S tietää että p. Kun S toteuttaa Austinin esittämän heikomman ehdon, voi olla järkevää tai asianmukaista sanoa hänen tietävän että p ja epäasianmukaista kieltää hänen tietävän että p mutta tästä huolimatta voi olla niin, että ei ole totta että S tietää että p. Voi olla niin, väittää skeptikko, että meillä on usein hyviä käytännön syitä sanoa S:n tietävän jotakin, vaikka S ei olekaan sulkenut pois kaikkia relevantteja vaihtoehtoja.

21 Lentokone-esimerkki Kone A x y z Kone B x y w Kone C x y z v Kuvitellaan, että sota-aikana ilmavalvontaa suorittavat siviilit opetetaan erottamaan toisistaan tyyppiä A ja B olevat lentokoneet; nämä eroavat toisistaan piirteen z/w suhteen. Sen sijaan heille ei kerrota, että on olemassa konetyyppi C, joka eroaa A:sta piirteen v perusteella, joka A:lta puuttuu. C-tyypin koneet ovat kenties harvinaisia tai suhteellisen vaarattomia tai ne lentävät harvoin kotirintaman yläpuolella, joten niiden erottaminen A-tyypin koneista ei ole relevanttia (vaikka sellainen joskus kotirintaman ylle sattuisikin). Kun nyt siviili erottaa koneessa piirteet x, y ja z, hän päättelee tietojensa pohjalta, että kone on tyyppiä A. Tässä tilanteessa siviili toimii tarkoituksenmukaisesti muodostaessaan uskomuksen, että hän on havainnut tyyppiä A olevan lentokoneen ja toimiessaan sen mukaisesti (ilmoittaessaan sotilasviranomaisille havainnostaan); näin on siitä huolimatta, että kone olisi saattanut tosiasiallisesti olla tyyppiä C. Jos yli lentänyt kone todella oli tyyppiä A eikä tyyppiä C, voimme jopa sanoa, että kyseisissä olosuhteissa siviili tiesi, että yli lentänyt kone oli tyyppiä A. Silti ulkopuolinen tarkkailija, joka tuntee kaikki asiaan vaikuttavat faktat, on oikeassa, että siviili ei tiennyt, että kone oli tyyppiä A. Skeptikko voi nyt väittää, että me olemme tiedon suhteen samanlaisessa tilanteessa kuin lentokoneita tarkkaileva siviili. Voi olla hyviä käytännön syitä jättää tiettyjä vaihtoehtoja huomiotta, vaikka nämä vaihtoehdot olisivatkin tiukasti ottaen relevantteja siis relevantteja silloin kun ratkaistavana on kysymys, tiedämmekö me että... Jos skeptikon vastaus on oikea, emme voi sanoa, että skeptikko vääristää meidän tiedon käsitteemme tai että hän asettaa tiedolle epätavanomaiset kriteerit. Skeptikko pelkästään myöntää sen, että usein on järkevää tai tarkoituksenmukaista sanoa, että S tietää tai että S on oikeutettu uskomaan (ja toimimaan tietonsa/evidenssinsä nojalla), vaikka tämä ei olekaan oikea teoreettinen kuvaus kyseisestä tilanteesta. 2. Terveen järjen strategia

22 Monet filosofit ovat nykyään valmiit hylkäämään skeptisismin yksinkertaisesti sillä perusteella, että se on ristiriidassa terveen järjen kanssa. Terveen järjen mukaan tiedämme monia asioita aineellisesta maailmasta, muun muassa ihmisten mentaalisista tiloista, menneisyydestä ja niin edelleen. Jos joku kiistää meidän tietävän nämä asiat, hänen täytyy olla väärässä. Eihän mikään ole niin varmaa kuin se, että tiedämme nämä asiat. (Lammenranta, s. 41) Eli terveen järjen strategia on kieltää skeptisen paradoksin ensimmäinen väite, se että episteeminen agentti tiedä, että skeptinen hypoteesi (SH) ei ole tosi. Tarkastellaan seuraavia kahta väitettä: A: Tiedän, että en ole aivot altaassa. B: Tiedän, että istun tällä hetkellä tietokoneeni ääressä. Moore on yhtä mieltä skeptikon kanssa siitä, että jos A on epätosi, myös B on epätosi. Skeptikko esittää nyt seuraavan päätelmän: (S) Jos en tiedä, että en ole aivot altaassa, en tiedä, että istun tällä hetkellä tietokoneeni ääressä. En tiedä, että en ole aivot altaassa. En tiedä, että istun tällä hetkellä tietokoneeni ääressä. Moorelainen vastaus skeptikon argumenttiin on sen sijaan väittää, että tiedän varmasti sellaisia asioita kuin että istun juuri nyt tietokoneeni äärellä. Ja koska tästä seuraa, että tiedän, että en ole aivot altaassa, tiedän, että en ole aivot altaassa.

23 (M) Jos en tiedä, että en ole aivot altaassa, en tiedä, että istun tällä hetkellä tietokoneeni ääressä. Tiedän, että istun ny tietokoneeni ääressä. Tiedän, että en ole aivot altaassa. Moorelainen terveen järjen vastaus siis kääntää skeptikon päättelyn ylösalaisin. Tarkemmin sanoen, Moore väittää että skeptikon alkuperäinen argumentti Oletus-1 Oletus-2 Skeptinen johtopäätös voidaan kääntää argumentiksi yhtä skeptikon premissiä vastaan: Oletus-1 Skeptisen johtopäätöksen kielto Oletus-2:n kielto Minä yksinkertaisesti tiedän sellaisia totuuksia kuin että istun tällä hetkellä tietokoneeni ääressä (skeptisen johtopäätöksen kielto); koska tästä seuraa, että minä tiedän myös, etten ole aivot altaassa (oletus-1), minä tiedän, että en ole aivot altaassa (oletus-2:n kielto). Eli tiedän, että p. Mutta en voisi tietää, että p, jos periaatteet, joihin skeptikko päätelmänsä nojaa, olisivat tosia. Siis skeptikon periaatteet ainakin yksi niistä on epätosi. Jos S väittää tietävänsä jonkin väitteen todeksi ja joku katsoo asiakseen epäillä S:n väitettä, paras vastaus epäilijälle näyttää olevan todistus, että kyseinen väite on tosi. Esitelmässään Ulkomaailman olemassaolon todistus Moore esitti todistuksen väitteelle, että ulkopuolellamme on olioita. Oliot, joista Moore keskustelee, ovat olioita, jotka ovat tavattavissa avaruudessa. Esimerkkejä ovat minun ruumiini, muiden ihmisten ruumiit, eläinten ruumiit, kaikenlaiset kasvit, kivet, vuoret, aurinko, kuu, tähdet ja planeetat, talot ja muut rakennukset, kaikenlaiset keinotekoiset tuotteet tuolit, pöydät, paperinpalat jne.. Nämä kaikki ovat olioita, joita filosofit ovat tavanneet kutsua fysikaalisiksi objektit. Muitakin esimerkkejä löytyy. Ulkopuolellamme olevat oliot ovat siis olioita, jotka ovat tavattavissa avaruudessa. On ilmeistä, miksi Moore on kiinnostunut tällaisten olioiden

24 olemassaolosta. Karteesinen skeptisismi koskee tyypillisesti juuri tällaisia olioita koskevaa tietoa. Jos siis Moore voi esittää hyväksyttävän todistuksen väitteelle, että tällaisia olioita on olemassa, silloin hän on ilmeisesti osoittanut, että tiedämme tällaisia olioita olevan olemassa. Itse todistus on yksinkertainen: [M]inusta näyttää, että voin tällä hetkellä esittää suuren määrän erilaisia todistuksia, joista jokainen on täysin sitova, ja että monta kertaa muulloin minä olisin voinut esittää monia muita. Voin tällä hetkellä esimerkiksi todistaa, että on olemassa kaksi ihmisen kättä. Miten? Kohottamalla molemmat käteni ja sanomalla samalla kun teen jonkin eleen oikealla kädelläni: Tässä on käsi, ja lisäämällä, kun teen jonkin eleen vasemmallani: Ja tässä on toinen. Jos olen siten itse asiassa todistanut ulkomaailman olioiden olemassaolon, näette, että voin tehdä sen myös monilla muilla tavoilla. Ei tarvittane lisää esimerkkejä. (Moore, s. 109). Mooren mukaan tämä todistus on moitteeton: Väitän että esittämäni todistus oli täysin sitova ja että on ehkä mahdotontakin esittää mitään parempaa tai sitovampaa todistusta. (s. 110) Todistus on siis seuraavanlainen: Tässä on oikea käsi. Premissi 1 Tässä on vasen käsi. Premissi 2 Kädet ovat ulkomaailman olioita. Premissi 3 Siis on olemassa ainakin kaksi ulkomaailman oliota.johtopäätös Tämä ei itse asiassa ole Mooren ainoa todistus. Hän todistaa myös väitteen, että ulkomaailman olioita on ollut menneisyydessä olemassa (s. 112). Ollakseen vakuuttava todistusten on täytettävä kolme ehtoa (Moore, s. 110): (I) Premissin tai premissien, joihin todistus nojautuu, on erottava siitä johtopäätöksestä, jonka todistamiseksi ne esitetään. (II) Meidän on tiedettävä todistuksen premissit tosiksi. (III) Johtopäätöksen täytyy todella seurata premisseistä. Mooren mukaan hänen esittämänsä todistus todella täyttää nämä kolme ehtoa. Siksi Moore

25 voi sanoa todistaneensa ulkomaailman olioiden olemassaolon. Kohtien (I) ja (III) osalta Mooren väite on kiistaton. Sen sijaan ehto (II) näyttää ongelmallisemmalta. Skeptikko pyrkii argumenteillaan esim. aivot altaassa -argumentilla osoittamaan, että emme tiedä sellaisia asioita kuin että tässä on oikea käsi ja tässä on vasen käsi. Mooren todistus näyttää sanovan ainoastaan, että me tiedämme tosiksi monia tällaisia väitteitä. Eikö Moore siis vain dogmaattisesti väitä sitä, mitä skeptikko on argumentillaan pyrkinyt asettamaan kyseenalaiseksi? Miten Moore sitten perustelee väitteensä, että todistus toteuttaa ehdon (II)? Varmasti tiesin äsken sen, minkä ilmaisin yhdistämällä eräitä eleitä sanojen Tässä on käsi, ja tässä on toinen lausumiseen. Tiesin, että oli olemassa käsi siinä paikassa, jonka osoitin yhdistämällä erään eleen toiseen lausumaani sanaan tässä ja että oli toinen käsi eri paikassa, jonka osoitin yhdistämällä erään eleen toiseen lausumaani sanaan tässä. Kuinka järjetöntä olisikaan väittää, etten sitä tiennyt, vaan että ainoastaan uskoin siihen tai ettei se kenties pitänytkään paikkaansa! Voisitte aivan yhtä hyvin väittää, etten tiedä, että seison ja puhun tällä hetkellä että kenties loppujen lopuksi en seiso enkä puhu, tai ettei ole varmaa, että teen niin! (s ) Moore itse on hyvin selvillä siitä, että hänen todistuksensa ei todennäköisesti onnistu hälventämään kaikkia asiaan liittyviä epäilyjä. [T]oinen syy siihen, että jotkut ajattelijat olisivat tyytymättömiä todistukseeni, ei ymmärtääkseni ole vain se, että he haluavat todistettavan eräitä seikkoja, joita en ole todistanut. Heidän mielestään esittämäni todistukset eivät ole edes sitoviakaan, ellen voi esittää tällaisia lisätodistuksia. Ja tämä on nähdäkseni selvä erehdys. He sanoisivat: Jollette voi todistaa premissiänne, että tässä on käsi ja tässä toinen, silloin ette tiedä sitä todeksi. Mutta olette itse myöntänyt, että ellette tietänyt sitä todeksi, silloin todistuksenne ei ollut sitova. Siispä todistuksenne ei ollut sitova, vaikka sanoitte sen sitä olleen! (s. 115) Tätä lainausta ja sitä seuraavaa lyhyttä keskustelua voi pitää Mooren todistuksen avainkohtana. Moore itse vastaa edelliseen kritiikkiin: Tämä käsitys, että voin tämäntapaisia seikkoja tietää todeksi vain jos olen ne todistanut,

26 esiintyy luullakseni tämän luennon alussa lainaamassani Kantin lauseessa. Siinä hän sanoo muun muassa, että niin kauan kuin meillä ei ole mitään todistusta ulkomaailman olioiden olemassaolosta, niiden olemassaolo täytyy hyväksyä pelkän uskon varassa. Ymmärtääkseni hän tarkoittaa, että ellen voi todistaa, että tässä on käsi, minun on hyväksyttävä se pelkän uskon asiana etten voi sitä tietää. [...] tällainen käsitys [...] voidaan ymmärtääkseni osoittaa vääräksi joskin vain käyttämällä premissejä, joita ei tiedetä todeksi, ellei ulkomaailman olioiden olemassaoloa tiedetä. Voin tietää seikkoja, joita en voi todistaa; ja niiden seikkojen joukossa, jotka tiesin, vaikken voinut (käsitykseni mukaan) niitä todistaa, olivat kahden todistukseni premissit. Sanoisin siksi, että niillä, jotka ovat tyytymättömiä näihin todistuksiini, [...] ei ole mitään kunnon perustetta tyytymättömyyteensä pelkästään siitä väitetystä syystä, etten tiennyt niiden premissejä (s ). Miksi tällainen todistus ei ole mahdollinen? Jotkut ihmiset ymmärtävät ulkomaailman olemassaolon todistamiseen sisältyvän asioita, joita en ole yrittänyt todistaa enkä siitä syystä todistanutkaan. [...] jos olisin todistanut ne väitteet, joita käytin kahden todistukseni premisseinä, silloin he kenties myöntäisivät, että olen todistanut ulkomaailman olioiden olemassaolon. [...] en usko että läheskään kaikissa tapauksissa mikään todistus on mahdollinen. Kuinka minun on nyt todistettava, että Tässä on toinen käsi ja tässä toinen? En usko, että voin sitä todistaa. Kuten Descartes huomautti, minun pitäisi tämän todistamiseksi todistaa se seikka, etten näe unta. Mutta miten voin todistaa, etten näe unta? Minulla on epäilemättä sitovia todisteita väittää, etten tällä hetkellä näe unta; minulla on sitovia todisteita siitä, että olen hereillä; mutta tämä on aivan eri asia kuin kyetä se todistamaan. (s. 115) Mooren ajatus näyttää kaikessa yksinkertaisuudessaan olevan seuraavanlainen (Moorea on tulkittu monella eri tavalla, mutta kysymys siitä, mitä Moore todella tarkoitti, ei kuulu tällä kurssilla tarkasteltavien kysymysten joukkoon). Me olemme vakuuttuneempia terveen järjen uskomusten paikkansapitävyydestä kuin minkään filosofisen väitteen tai argumentin oikeellisuudesta. Terveen järjen puolustuksen ydin ei ole dogmaattinen väite, että Moore tietää todeksi tämän tai tuon proposition. Sen ydin on pikemminkin eräs uskottavuusvertailu, jonka perusteella väite tässä on käsi on varmempi/uskottavampi/vakuuttavampi kuin yksikään filosofinen argumentti, jonka skeptikko voi esittää. Tästä ei seuraa, että terveen järjen väitteen ovat kumoamattomia. Terveen järjen väite voi kyllä osoittautua erheelliseksi:

27 esimerkiksi väite tässä on ihmiskäsi voi osoittautua vääräksi tilanteessa, jossa käy ilmi, että Moorella on oikean käden sijasta tekokäsi. On luontevaa ajatella, että terveen järjen väitteisiin ei kuulu ainoastaan sellaisia väitteitä kuin tässä on käsi vaan myös väitteet, että me tiedämme tällaisia väitteitä, siis esim. väite tiedän että tässä on oikea käsi ja tiedän, että tässä on vasen käsi. Olennaista tässä on se, että Moore ei väitä tietävänsä tosiksi eräitä väitteitä sen perusteella, että ne ovat terveen järjen väitteitä. Sen sijaan Moore tietää todeksi väitteen tässä on oikea käsi havainnon perusteella. Skeptikon väite, että kyseisen proposition tietäminen edellyttää todistusta on terveen järjen vastainen, ei siksi, että tässä on oikea käsi on terveen järjen väite, vaan siksi, että on terveen järjen mukaista sanoa, että kyseinen väite tiedetään todeksi havainnon eikä argumentin perusteella.

Karteesinen skeptisismi

Karteesinen skeptisismi Karteesinen skeptisismi Markus Lammenranta Karteesinen skeptisismi kieltää sen, että meillä olisi havaintokokemukseen perustuvaa tietoa mielemme ulkopuolella olevasta maailmasta eli ulkomaailmasta. Ensimmäisessä

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS

1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS Tietoteoria klassinen tiedonmääritelmä tietoa on 1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS esim. väitteeni Ulkona sataa on tietoa joss: 1. Minulla on perusteluja sille (Olen katsonut ulos) 2. Se on tosi (Ulkona

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8

Lisätiedot

Gettier ja perinteinen tiedon analyysi

Gettier ja perinteinen tiedon analyysi IV Gettier ja perinteinen tiedon analyysi Olemme jo lyhyesti tarkastelleet ns. klassista tiedonmääritelmää: (*) S tietää että p jos ja vain jos (i) S uskoo että p (ii) on totta että p (iii) S on oikeutettu

Lisätiedot

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä.

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. 1 Lapsen nimi: Ikä: Haastattelija: PVM: ALKUNAUHOITUS Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. OSA

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

LOGIIKKA johdantoa

LOGIIKKA johdantoa LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni?

Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Jyväskylä 31.5.2017 Petteri Niemi Relativismi ja Sosiaalinen konstruktivismi Relativismi (Swoyer 2010) Relativismi on näkemysten

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot

Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Totuudesta väitellään Perinteinen käsitys Tutkimuksella tavoitellaan a. On kuitenkin erilaisia käsityksiä. Klassinen tiedon määritelmä esitetään Platonin

Lisätiedot

Saa mitä haluat -valmennus

Saa mitä haluat -valmennus Saa mitä haluat -valmennus Valmennuksen jälkeen Huom! Katso ensin harjoituksiin liittyvä video ja tee sitten vasta tämän materiaalin tehtävät. Varaa tähän aikaa itsellesi vähintään puoli tuntia. Suosittelen

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

2) reliabilismi. S tietää että p jos ja vain jos:

2) reliabilismi. S tietää että p jos ja vain jos: 2) reliabilismi Reliabilistiset tiedonanalyysit liittävät uskomus- ja totuusehtoihin luotettavuusehdon: niiden mukaan tietoa on sellainen uskomus, jonka on synnyttänyt luotettavan prosessi tai menetelmä.

Lisätiedot

Kant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E

Kant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E Kant Arvostelmia Informaatioajan Filosofian kurssin essee Otto Opiskelija 65041E David Humen radikaalit näkemykset kausaaliudesta ja siitä johdetut ajatukset metafysiikan olemuksesta (tai pikemminkin olemattomuudesta)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Predikaattilogiikkaa

Predikaattilogiikkaa Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat

Lisätiedot

Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia

Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia VASTAVÄITTEET Tapio Joki Johdanto Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia K aupat syntyvät harvoin ilman vastaväitteitä. Myyjälle ratkaisevan tärkeää on ymmärtää,

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 3/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Keskeisiä peruskäsitteitä Päättely on sellaista ajattelutoimintaa, joka etenee premisseistä eli oletuksista johtopäätökseen

Lisätiedot

IHMISOIKEUSKASVATUS Filosofiaa lapsille -menetelmällä

IHMISOIKEUSKASVATUS Filosofiaa lapsille -menetelmällä Pohdi! Seisot junaradan varrella. Radalla on 40 miestä tekemässä radankorjaustöitä. Äkkiä huomaat junan lähestyvän, mutta olet liian kaukana etkä pysty varoittamaan miehiä, eivätkä he itse huomaa junan

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Kokemuksen kuvaaminen ja tuttuustieto

Kokemuksen kuvaaminen ja tuttuustieto Kokemuksen kuvaaminen ja tuttuustieto Tero Vaaja Jyväskylän yliopisto Kokemuksen tutkimus, Oulu 26.4.2013 Onko mahdollista tietää, millaista on olla toinen ihminen? Nagel (1974): What Is It Like to Be

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Eettisten teorioiden tasot

Eettisten teorioiden tasot Eettisten teorioiden tasot ETENE 7.12.2010 Olli Loukola Käytännöllinen filosofia, Politiikan & talouden tutkimuksen laitos, Helsingin yliopisto 1 MORAALIN OSA-ALUEET eli moraali sosiaalisena instituutiona

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot

Ajatukset - avain onnellisuuteen?

Ajatukset - avain onnellisuuteen? Ajatukset - avain onnellisuuteen? Minna Immonen / Suomen CP-liiton syyspäivät 26.10.2013, Kajaani Mistä hyvinvointi syntyy? Fyysinen hyvinvointi Henkinen hyvinvointi ja henkisyys Emotionaalinen hyvinvointi

Lisätiedot

Vastaoletuksen muodostaminen

Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset

Lisätiedot

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko. SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT

Lisätiedot

Löydätkö tien. taivaaseen?

Löydätkö tien. taivaaseen? Löydätkö tien taivaaseen? OLETKO KOSKAAN EKSYNYT? LÄHDITKÖ KULKEMAAN VÄÄRÄÄ TIETÄ? Jos olet väärällä tiellä, et voi löytää perille. Jumala kertoo Raamatussa, miten löydät tien taivaaseen. Jumala on luonut

Lisätiedot

Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).

Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

KIRJALLISUUTTA 1. Tieteen etiikka KIRJALLISUUTTA 3 KIRJALLISUUTTA 2 KIRJALLISUUTTA 4 KIRJALLISUUTTA 5

KIRJALLISUUTTA 1. Tieteen etiikka KIRJALLISUUTTA 3 KIRJALLISUUTTA 2 KIRJALLISUUTTA 4 KIRJALLISUUTTA 5 KIRJALLISUUTTA 1 Tieteen etiikka 11 Tieteellinen maailmankatsomus I: maailmankatsomusten aineksia Clarkeburn, Henriikka ja Arto Mustajoki, Tutkijan arkipäivän etiikka, Vastapaino, Tampere 2007. Hallamaa,

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

Luento 10. Moraalia määrittävät piirteet Timo Airaksinen: Moraalifilosofia, 1987

Luento 10. Moraalia määrittävät piirteet Timo Airaksinen: Moraalifilosofia, 1987 Luento 10 Neljä moraalia määrittävää piirrettä & Moraaliteorioiden arvioinnin standardit & Analyyttisen etiikan peruskysymykset Moraalia määrittävät piirteet Timo Airaksinen: Moraalifilosofia, 1987 Kun

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

3. Ryhdy kirjoittamaan ja anna kaiken tulla paperille. Vääriä vastauksia ei ole.

3. Ryhdy kirjoittamaan ja anna kaiken tulla paperille. Vääriä vastauksia ei ole. 1 Unelma-asiakas Ohjeet tehtävän tekemiseen 1. Ota ja varaa itsellesi omaa aikaa. Mene esimerkiksi kahvilaan yksin istumaan, ota mukaasi nämä tehtävät, muistivihko ja kynä tai kannettava tietokone. Varaa

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

OSA 1 SISÄINEN VOIMA. Oma mieli on ihmisen vallassa ei se mitä ympärillä tapahtuu. Kun tämän ymmärtää, löytää vahvuuden.

OSA 1 SISÄINEN VOIMA. Oma mieli on ihmisen vallassa ei se mitä ympärillä tapahtuu. Kun tämän ymmärtää, löytää vahvuuden. OSA 1 SISÄINEN VOIMA Oma mieli on ihmisen vallassa ei se mitä ympärillä tapahtuu. Kun tämän ymmärtää, löytää vahvuuden. Marcus Aurelius HERÄÄT TUNTEESEEN, ETTÄ TEHTÄVÄÄ ON LIIKAA. Et jaksa uskoa omiin

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 4/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 4/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 4/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Tieteellinen selittäminen Tieteellisen tutkimuksen perustehtävä on maailmaa koskevan uuden ja totuudenmukaisen

Lisätiedot

Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä.

Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä. elämä alkaa tästä 2008 Evangelism Explosion International Kaikki oikeudet pidätetään. Ei saa kopioida missään muodossa ilman kirjallista lupaa. Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä. Asteikolla

Lisätiedot

Kuka on arvokas? Liite: EE2015_kuka on arvokas_tulosteet.pdf tulosta oppilaiden lomakkeet tehtäviin 1 ja 2.

Kuka on arvokas? Liite: EE2015_kuka on arvokas_tulosteet.pdf tulosta oppilaiden lomakkeet tehtäviin 1 ja 2. Kuka on arvokas? Jotta voisimme ymmärtää muiden arvon, on meidän ymmärrettävä myös oma arvomme. Jos ei pidä itseään arvokkaana on vaikea myös oppia arvostamaan muita ihmisiä, lähellä tai kaukana olevia.

Lisätiedot

Kleopas, muukalainen me toivoimme

Kleopas, muukalainen me toivoimme Luukas 24 : 13-35 16 18 : Mutta heidän silmänsä olivat pimitetyt, niin etteivät he tunteneet häntä. Ja hän sanoi heille: "Mistä te siinä kävellessänne puhutte keskenänne?" Niin he seisahtuivat murheellisina

Lisätiedot

Keskustelukokouksista ja niiden johtamisesta.

Keskustelukokouksista ja niiden johtamisesta. aina Keskustelukokouksista ja niiden johtamisesta. Tärkeä olisi että naiset enemmän kuin tähän asti pakottaisivat itsensä puhumaan kokouksissa. Alottakoot pienissä ryhmissä kodeissaan tahi keskustelukursseja

Lisätiedot

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Etiikan mahdollisuudesta tieteenä. Henrik Rydenfelt Helsingin yliopisto

Etiikan mahdollisuudesta tieteenä. Henrik Rydenfelt Helsingin yliopisto Etiikan mahdollisuudesta tieteenä Henrik Rydenfelt Helsingin yliopisto Etiikka tieteenä? Filosofit ja ei-filosofit eivät pidä etiikkaa tieteenä Tiede tutkii sitä, miten asiat ovat, ei miten asioiden tulisi

Lisätiedot

Mihin teoreettista filosofiaa tarvitaan?

Mihin teoreettista filosofiaa tarvitaan? Mihin teoreettista filosofiaa tarvitaan? Puhe virtaa virtaavassa maailmassa, puhe virtaa virtaavassa maailmassa ja sinun täytyy itse tietää miltei kaikki. Paavo Haavikko TIETÄMISEN HAASTEET TIETOYHTEISKUNNASSA

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet

DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25

Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25 1 Eikev 5. Moos 7: 12-11: 25 Hepreankielisessä sanassa eikev on hyvin paljon tarkoitusta. Ensimmäinen tarkoitus on: johdonmukainen, askel askeleelta eteenpäin. Sana eikev tarkoittaa myös kantapäätä. Kaikkivaltias

Lisätiedot

ANNA JA ALEKSI SETELINVÄÄRENTÄJIEN JÄLJILLÄ

ANNA JA ALEKSI SETELINVÄÄRENTÄJIEN JÄLJILLÄ EURO RUN -PELI www.uudet-eurosetelit.eu ANNA JA ALEKSI SETELINVÄÄRENTÄJIEN JÄLJILLÄ - 2 - Anna ja Aleksi ovat samalla luokalla ja parhaat kaverit. Heillä on tapana joutua erilaisiin seikkailuihin. Taas

Lisätiedot

ANNA JA ALEKSI SETELINVÄÄRENTÄJIEN JÄLJILLÄ

ANNA JA ALEKSI SETELINVÄÄRENTÄJIEN JÄLJILLÄ EURO RUN -PELI www.uudet-eurosetelit.eu ANNA JA ALEKSI SETELINVÄÄRENTÄJIEN JÄLJILLÄ Anna ja Aleksi ovat samalla luokalla ja parhaat kaverit. Heillä on tapana joutua erilaisiin seikkailuihin. Taas alkaa

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE MALLIVASTAUKSET

PSYKOLOGIAN VALINTAKOE MALLIVASTAUKSET PSYKOLOGIAN VALINTAKOE 7.6.2010 MALLIVASTAUKSET Mallivastauksissa lueteltujen tietojen hallitsemisen lisäksi arvostelussa on otettu huomioon esseen selkeys ja LAAJA ESSEEKYSYMYS (yhdistele ja erittele

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Toimiva työyhteisö DEMO

Toimiva työyhteisö DEMO Toimiva työyhteisö DEMO 7.9.6 MLP Modular Learning Processes Oy www.mlp.fi mittaukset@mlp.fi Toimiva työyhteisö DEMO Sivu / 8 TOIMIVA TYÖYHTEISÖ Toimiva työyhteisö raportti muodostuu kahdesta osa alueesta:

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot