Gettier ja perinteinen tiedon analyysi
|
|
- Jarkko Korpela
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 IV Gettier ja perinteinen tiedon analyysi Olemme jo lyhyesti tarkastelleet ns. klassista tiedonmääritelmää: (*) S tietää että p jos ja vain jos (i) S uskoo että p (ii) on totta että p (iii) S on oikeutettu uskomaan että p, missä (i) on uskomusehto, (ii) totuusehto ja (iii) oikeutusehto. Klassisen tiedonmääritelmän mukaan nämä kolme ehtoa ovat tiedolle välttämättömiä ja yhdessä ne muodostavat tiedon riittävät ehdot. Uskomusehdon tarkoituksena on selvästikin sulkea pois onnekkaan arvauksen mahdollisuus: vaikka laatisinkin tänään oikean lottorivin, olisi virheellistä sanoa, että tiesin tänään oikea lottorivin. Miksi? Koska kyseessä oli pelkkä onnekas arvaus: laatimani rivi sattui toteutumaan. Voimme sanoa, että uskomusehdon ja totuusehdon toteutumisen väliltä puuttuu tarkoituksenmukainen side. Ja yksi, perinteiseen tiedonanalyysiin sisältyvä tapa muotoilla tämä ehto on sanoa, että ensi lauantain lottoriviä koskeva uskomukseni ei ollut oikeutettu. Artikkelissaan Is Justified True Belief Knowledge (Onko tosi oikeutettu uskomus tietoa?) amerikkalainen filosofi Edmund Gettier (s. 1927) esitti vastaesimerkkejä klassiselle tiedonanalyysille. Vastaesimerkit ovat tilanteita, jossa henkilöllä on tosi ja oikeutettu uskomus, joka ei silti ole tietoa. Siis on klassisessa tiedonmääritelmässä mainitut ehdot eivät ole riittäviä: S:n uskomus että p voi olla tosi ja oikeutettu olematta silti tietoa. Gettier tekee kaksi oletusta. (i) on mahdollista että S on oikeutettu uskomaan epätoden proposition. (ii) Gettier olettaa heikon sulkuperiaatteen päteväksi.
2 1. vastaesimerkki Kuvitellaan, että Smith ja Jones ovat hakeneet erästä työpaikkaa. Smithillä on hyvät perusteet uskoa, että seuraava väite pitää paikkansa. (Gettier puhuu konjunktiivisesta propositiosta ( conjunctive proposition ); konjunktiivinen propositio on propositio, joka on yhdistetty kahdesta propositiosta konjunktion eli ja -sanan avulla. (d) Jones saa työpaikan ja Jonesilla on kymmenen kolikkoa taskussaan. Voimme esimerkiksi ajatella, että Smith on kuullut yhtiön pääjohtajalta, että Jones saa paikan ja että Smith on kymmenen minuuttia aikaisemmin laskenut Jonesin taskussa olevat kolikot. Väitteestä (d) seuraa loogisesti ( entails ): (e) Paikan saavalla henkilöllä on kymmenen kolikkoa taskussaan. Oletetaan, että Smith päättelee väitteen (e) väitteestä (d) ja hyväksyy (e):n (d):n perusteella. Koska Smith on oikeutettu uskomaan, että (d) on tosi, hän on myös oikeutettu uskomaan, että (e) on tosi (tässä Gettier käyttää heikkoa sulkuperiaatetta, jota on sovellettu oikeutettuun uskomukseen: jos S on oikeutettu uskomaan, että p ja että p:stä seuraa loogisesti q, S on oikeutettu uskomaan, että q.) Mutta kuvitellaan nyt, että Smith jostakin hänelle tuntemattomasta syystä saakin paikan ja että hänellä itsellään on tietämättään taskussaan kymmenen kolikkoa. Tässä tilanteessa väite (e) on tosi, koska Smith saa paikan ja Smithillä on kymmenen kolikkoa taskussaan, vaikka (d), josta hän päätteli proposition (e), onkin epätosi. Kuvitellussa tilanteessa seuraavat väitteet pitävät siis paikkansa: (i) (ii) (iii) (e) on tosi, Smith uskoo, että (e) on tosi, Smith on oikeutettu uskomaan, että (e) on tosi. Mutta on myös selvää, että Smith ei tiedä, että (e). (e) on tosi Smithin taskussa olevien kolikkojen lukumäärän perusteella, mutta Smith ei tiedä, kuinka monta kolikkoa hänen taskussaan on, ja hän perustaa uskomuksensa, että (e) Jonesin taskussa olevien kolikkojen lukumäärään, ja uskoo erheellisesti Jonesin saavan paikan. On siis pelkkä sattuma, että Smithin uskomus (e) on tosi.
3 2. vastaesimerkki Gettierin toinen vastaesimerkki on olennaisesti samanlainen. Myös siinä on kyse tilanteesta, jossa henkilö ( Smith ) uskoo oikeutetusti mutta virheellisesti jonkin väitteen ( Jones omistaa Fordin ), päättelee tästä jonkin toisen väitteen ( joko Jones omistaa Fordin tai Brown on Barcelonassa ), joka sattuu olemaan tosi Smithin sitä tietämättä. Tällöin jälkimmäinen uskomus on tosi (koska se sattuu olemaan tosi) ja oikeutettu (koska S on päätellyt sen oikeutetusta uskomuksesta), mutta se ei ole tietoa. Gettier-ongelma muotoillaan usein neljännen ehdon ongelmana: mikä lisäehto toden, oikeutetun uskomuksen on toteutettava, jotta se olisi tietoa? Mutta Gettier-ongelma voitaisiin ratkaista myös etsimällä sellainen ehto, joka korvaa oikeutusehdon. Kolmas vaihtoehto on väittää, että Gettierin esittämät vastaesimerkit eivät ole aitoja vastaesimerkkejä. Eräs kolmannen vaihtoehdon mukainen reaktio olisi seuraava. Gettierin esittämät vastaesimerkit perustuvat oletukseen, että S:llä voi oikeutettu uskomus, vaikka hän ei olisikaan evidentiaalisessa mielessä varma. Jos asetamme tiedolle evidentiaalisen varmuuden vaatimuksen, Gettierin esittämät vastaesimerkit eivät enää toimi. Tämän ehdotuksen mukaan S tietää, että p jos ja vain jos (i) S uskoo että p, (ii) on totta että p ja (iii) S:n evidenssi p:n puolesta sulkee pois mahdollisuuden, että S on väärässä. Smithin uskomus, että Jones saa työpaikan, perustui kumoutuvalle evidenssille. Yhtiön pääjohtajan väite, että Jones saa työpaikan, on hyvä peruste uskoa että Jones todella saa työpaikan. Mutta tietenkin tämä evidenssi voi kumoutua. Jos sanomme, että varmuus-periaate on tiedon välttämätön ehto, tästä seuraa, että Smithin uskomus Jones saa työpaikan ei ole enää oikeutettu. Silloin siitä ei myöskään voi sulkuperiaatteen nojalla päätellä, että jokin toinen uskomus olisi oikeutettu. Mutta ongelmaksi muodostuu nyt, että varmuusperiaatteen jäljiltä mikään meidän uskomuksemme tuskin enää kelpaa tiedoksi; uskomukset, joita me normaalisti kutsumme tiedoksi, perustuvat kumoutuvalle evidenssille. Eli evidentiaalisen varmuuden vaatimus näyttää asettavan tiedolle liian vahvoja ehtoja. Jos näin on, yllä kuvattu reaktio Gettier-ongelmaan ei vaikuta tarkoituksenmukaiselta. Neljännen ehdon strategia
4 Yksinkertaisin reaktio Gettierin esittämiin vastaesimerkkeihin olisi sanoa, että niissä Smith päätyy toteen ja oikeutettuun uskomukseen päättelemällä jostakin epätodesta, mutta oikeutetusta uskomuksesta. Tällaisten vastaesimerkkien eliminoiminen on kuitenkin helppoa: (iv) S:n uskomus että p ei saa perustua millekään epätodelle premissille. Sinänsä tämä vaatimus vaikuttaa aivan järkevältä. Smithin uskomus, että paikan saavalla henkilöllä on kymmenen kolikkoa taskussaan perustuu epätoteen mutta oikeutettuun uskomukseen, että Jones saa paikan ja että Jonesilla on kymmenen kolikkoa taskussaan. Voimme siis sanoa, että oikeutusehdon ja totuusehdon toteutumisen väliltä puuttuu tarkoituksenmukainen side. Ehto (iv) sulkee tämän mahdollisuuden pois tietyissä tapauksissa. Sen heikkoutena on kuitenkin, että se ottaa huomioon vain tapaukset, jossa uskomuksen oikeutus perustuu päättelyyn. Kuvitellaan seuraava tilanne: Olet ajelemassa autolla pitkin Pohjanmaata, seudulla, jolla sinun tietämättäsi on runsaasti pahvista tehtyjä latokulisseja. Kulisseja on matkan päästä mahdoton erottaa oikeista. Satut vilkaisemaan tien vasemmalle puolelle ja näet oikean ladon. Muodostat uskomuksen tuossa on lato. Uskomuksesi on oikeutettu, mutta vallitsevissa olosuhteissa kyseessä on yksi harvoista seudun oikeista ladoista tosi ja oikeutettu uskomuksesi ei ole tietoa. Ongelmana tässä on se, että uskomus tuossa on lato ei näytä perustuvan mihinkään päättelyyn vaan on havaintouskomus. (Tosin tämä väite voitaisiin kyseenalaistaa sillä perusteella, että havaintouskomukseni tuossa on lato on itse asiassa päätelty tämänhetkisestä sensorisesta tilastani.) Tämän ongelman eliminoimiseksi meidän olisi muotoiltava yleisempi ehto, joka ei koske pelkästään päättelyä. Eräs ehdotus olisi: (iv ) Ei ole mitään sellaista totta propositiota q, että jos S uskoisi, että q, hän ei olisi enää oikeutettu uskomaan, että p. Latoesimerkissä q:n virkaa toimittaa propositio, että suurin osa seudulla olevista ladoista on itse asiassa pahvikulisseja. Jos S olisi tietoinen tästä, hän ei olisi ilman lisätutkimuksia oikeutettu uskomaan havaintoväitettään tuossa on lato todeksi. Gettierin ensimmäisessä vastaesimerkissä q on propositio, että Smith itse saa työpaikan. Jos Smith uskoisi, että hän
5 itse saa työpaikan, hän ei olisi enää oikeutettu uskomaan, että paikan saavalla henkilöllä on kymmenen kolikkoa taskussaan, sillä hän ei tiedä, että hänellä itsellään on kymmenen kolikkoa taskussaan. Kysymykseksi muodostuu nyt, miten ehdossa (iv ) mainittujen propositioiden q joukkoa pitäisi luonnehtia. Ajatellaan seuraavanlaista tilannetta. Olen nähnyt kirjastossa, miten Tom Grabit sujauttaa kirjan takkinsa sisään ja poistuu paikalta. Tämä havainto oikeuttaa uskomukseni, että Tom Grabit on varastanut kirjan kirjastosta. Sattuu kuitenkin olemaan niin, että tietämättäni Tomin äiti on väittänyt, että Tom on tällä hetkellä itse asiassa tuhansien kilometrien päässä ja että Tomilla on identtinen kaksoisveli, joka on viettänyt päivän kirjastossa. Tosiasia, että rouva Grabit on kertonut nämä seikat kumoaisi oikeutukseni uskomukselle, että Tom varasti kirjan, jos olisin siitä tietoinen. Nyt sattuu kuitenkin olemaan niin, että alkuperäinen havaintoni oli aivan oikea, ja että rouva Grabit on patologinen valehtelija ja että mitään kaksoisveljeä ei ole olemassakaan. p = Uskomukseni, että Tom varasti kirjan e1 = havaintoni, että Tom varasti kirjan (tai Tomin näköinen henkilö varasti kirjan ) e2 = se tosiseikka, että rouva Grabit kertoo Tomin matkustaneen pois ja hänen identtisen kaksoisveljensä viettävän aikaa kirjastossa. e3 = Se seikka että rouva Grabit on patologinen valehtelija eikä kaksoisveljeä ole olemassakaan. Edellä kuvatussa tilanteessa e2 kumoaa e1:n, eli jos evidenssini on e1 + e2, en ole oikeutettu uskomaan, että Tom varasti kirjan. Mutta e3 kumoaa e2:n, jolloin alkuperäinen oikeutus on jälleen voimassa. Vaikka on olemassa tosi propositio, joka kumoaa oikeutukseni, tuntuu silti oikealta sanoa, että minä tiedän Tomin varastaneen kirjan, sillä on olemassa myös tosi propositio, joka kumoaa alkuperäisen oikeutukseni kumoajan ja palauttaa alkuperäisen tilanteen voimaan. Näyttää siis siltä, ettei sopivan neljännen ehdon muotoilu on yksinkertaista. Olisiko meidän sanottava, että S:n uskomus, että p on tosi, jos kaikkien p:n oikeutuksen kannalta relevanttien totuuksien isääminen S:n alkuperäisten uskomusten joukkoon ei kumoaisi S:n oikeutusta. Mutta mitä sitten ovat kaikki totuudet ja kuinka ne voitaisiin lisätä S:n alkuperäisten
6 uskomusten joukkoon? Tätä ehdotusta voi kritisoida (ainakin) psykologisen realismin puutteesta. Palataan hetkeksi relevanttien vaihtoehtojen teoriaan, jota käsiteltiin skeptisismin yhteydessä. Austinin ehdotus oli, että tieto edellyttää relevanttien vaihtoehtojen poissulkemista. Relevanssin ehdoksi Austin asetti sen, että S:llä on jotakin evidenssiä kyseisen vaihtoehdon puolesta. Tarkastellaan uudelleen latokulissitapausta. Voimme sanoa, että kuvitellussa tilanteessa S todella näkee ladon, mutta S ei tiedä, että kyseessä on lato, koska hän ei kykene sulkemaan pois vaihtoehtoa, että se on pelkkä kulissi. Mahdollisuus, että S:n havaitsema lato onkin pelkkä kulissi on kyseisessä tilanteessa relevantti vaihtoehto joka S:n pitäisi kyetä sulkemaan pois koska latokulissien esiintymistiheys kyseisellä seudulla on seikka, joka saa meidät sanomaa, että S ei tiedä, että kyseessä on lato. Näyttäisi siltä, että pelkkä tosiseikka, että valtaosa seudun ladoista on kulisseja, estää S:n uskomuksen tuossa on lato muodostamasta tietoa; olennaista tässä tilanteessa ei siis ole se, että S ei ole tietoinen siitä, että hänen ympäristönsä on episteemisesti vihamielinen vaan se tosiseikka, että hänen ympäristönsä on episteemisesti vihamielinen (mitä tulee latouskomuksiin). Vaikka S tietäisi joutuneensa tällaiselle seudulle, se muuttaisi ainoastaan hänen omaa suhtautumistaan latouskomuksiin, ei tällaisten uskomusten episteemistä luonnetta (sitä ovatko ne oikeutettuja, tietoa, jne.) Näyttää siis siltä, että vaihtoehdot voivat olla relevantteja siis sellaisia että S:n kyvyttömyys sulkea ne pois estää häntä omaamasta tietoa pelkästään sillä perusteella että S:n ympäristö on tietynlainen, riippumatta siitä, onko S:llä tätä koskevaa evidenssiä. Korvaavan kolmannen ehdon strategia: naturalistinen analyysi Muistamme, että toinen reaktio Gettierin esittämiin vastaesimerkkeihin on korvata oikeutusehto jollakin toisella ehdolla. Tämä ajatuksen mukaan oikeutus ei ole tiedon välttämätön ehto: S voi tietää, että p vaikka S ei olisikaan oikeutettu uskomaan, että p. Voimme kutsua tätä vaihtoehtoista tapaa lähestyä tiedon analyysia ja Gettier-ongelmaa korvaavan kolmannen ehdon strategiaksi. Haluamme siis, edelleen ymmärtää, mitä (propositionaalinen) tieto on, miten meidän tulisi määritellä tai analysoida se, että episteeminen agentti, S, tietää että p. Toisin kuin justifikationismista siis ajatuksessa, että oikeutus ( justifikaatio ) on tiedon välttämätön ehto emme enää tarkastele sitä, miten uskomus p suhtautuu S:n muihin uskomuksiin, joiden olisi pitänyt olla tosia, ja totuuksiin,
7 jotka S:n olisi pitänyt uskoa, jotta S:n voisi sanoa tietävän että p. Ajattelemme sen sijaan, että tiedossa on kyse totuuden rekisteröinnistä hieman samaan tapaan kuin lämpömittari rekisteröi ulkoilman lämpötilan. Kun tietoa lähestytään tällaisesta näkökulmasta, tiedon ajatellaan olevan luonnollinen seuraus moitteettomasti toimivasta episteemisestä työkalusta, siis episteemisestä agentista, jonka havainto-, muisti-, introspektio ja rationaalinen kyky ovat kunnossa eli toimivat moitteettomasti. Voisimme sanoa, että tämän ajatuksen mukaan episteeminen agentti on episteemisesti luotettava. Tällaista lähestymistapaa tiedon analyysiin kutsutaan usein naturalistiseksi analyysiksi. Olennaista siinä on se, että tiedon ehtoja etsitään joistakin luonnollisista asiaintiloista. Uskomuksen ja sen todeksi tekevän asiaintilan välillä vallitsee jokin luonnollinen suhde, joka tekee uskomuksesta toden. Tätä lähestymistapaa voidaan kehittää kahteen suuntaan: 1) Kausaalinen teoria, joka korostaa kausaation siis syy-seuraussuhteen osuutta toden uskomuksen tuottamisessa; 2) Reliabilismi, joka korostaa niiden prosessien luotettavuutta, joiden tuloksena tosi uskomus syntyy Justifikationismin näkökulma tietoon on toisenlainen. Justifikationismin näkökulmasta S, episteeminen agentti tai tiedon subjekti, on ensisijaisesti rationaalinen ja episteemisesti vastuullinen olento. Tästä näkökulmasta uskomuksen, p, olennainen ominaisuus on sen oikeutettuus, koska tämä ominaisuus kytkee p:n totuuteen. Episteemisessä vastuullisuudessa puolestaan on kyse niistä velvollisuuksista, jotka määrittelevät tiedonhankintaa, eli toimintaa, joka määrittyy viime kädessä totuuden ja epätotuuden käsitteiden kautta. Sanomme esimerkiksi, että S on oikeutettu uskomaan, että p jos ja vain jos S:n on sallittua uskoa että p, ts. ei ole niin, että S:n pitäisi olla uskomatta että p. Palaamme tähän aiheeseen, kun puhumme lisää episteemisestä oikeutuksesta (kts...) Takaisin naturalismiin... 1) Kausaalinen teoria Kausaalinen teoria syntyi reaktiona Gettier-tapauksiin. Kausaalisen teorian perusajatus on
8 yksinkertainen: kausaalinen teoria S tietää, että p jos ja vain jos p on tarkoituksenmukaisessa kausaalisessa yhteydessä S:n uskomukseen että p. Ajatellaan Gettierin ensimmäistä vastaesimerkkiä (case I). Eräs diagnoosi olisi sanoa, että niillä tosiseikoilla, jotka tekevät Smithin uskomuksista tosia ei ole mitään tekemistä sen kanssa, että hän uskoo niin. Smith uskoo, että paikan saavalla henkilöllä on kymmenen kolikkoa taskussaan, koska hän on laskenut Jonesin taskussa olevat kolikot (ja hän uskoo, että Jones saa paikan). Siis Smithin uskomus ei kytkeydy asianmukaisella tavalla siihen tosiseikkaan, joka tekee todeksi väitteen paikan saavalla henkilöllä on kymmenen kolikkoa taskussaan, nimittäin siihen tosiseikkaan, että Smithillä itsellään on kymmenen kolikkoa taskussaan. Smithin uskomuksen ja relevantin tosiseikan väliltä puuttuu siis kausaalinen yhteys (Smith ei tiedä, että hänellä on taskussaan kymmenen kolikkoa ja uskomus paikan saajalla on kymmenen kolikkoa taskussaan perustuu osaltaan siihen, että Smith on laskenut Jonesin taskussa olevat kolikot). Yksinkertaisin ja ilmeisin esimerkki määritelmässä mainitusta tarkoituksenmukaisesta yhteydestä on havainto. Havaitakseni, että edessä on lammas, on lampaan läsnäolon ja lammasta koskevan uskomukseni välillä oltava kausaalinen yhteys. Jos näen pellolla lammasta muistuttavan kiven, ja muodostan havaintoni perusteella uskomuksen pellolla on lammas, uskomukseni ei ole asianmukaisessa yhteydessä siihen tosiseikkaan, joka tekisi uskomukseni todeksi, jos se olisi tosi. Uskomukseni ei siis ole tietoa, vaikka kiven takana olisikin oikea lammas. Kausaalisen teorian ilmeisin ongelma on sen rajoittuneisuus. Jos teorian ajatellaan olevan yleinen kuvaus tiedosta, miten silloin käy esimerkiksi tulevaisuutta koskevien uskomuksieni? Entä yleisten uskomusten, sellaisten kuin kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. On ilmeistä, ettei sitä ole aiheuttanut se tosiseikka, että kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Entä sellainen tieto, jota filosofit kutsuvat aprioriseksi? Apriorinen tieto on tietoa, jonka oikeuttaminen on aistihavainnosta riippumatonta tai (a priori = edeltää aistikokemusta erotuksena aposteriorisesta tai a posteriori tiedosta, eli tiedosta, joka tulee kokemuksen jälkeen). Ajatellaan esimerkiksi sellaista uskomusta kuin että jos Joonas on pitempi kuin Kalle ja Kalle on pitempi kuin Einari, niin Joonas on pitempi kuin Einari. Tällainen uskomus ei selvästikään
9 perustu kyseisten henkilöiden parissa suoritettuihin mittauksiin (tai sen ei ainakaan tarvitse perustua niihin). Pikemminkin sanoisimme, että kyseinen uskomus on, kuten entisajan filosofit tapasivat sanoa, itsessään ilmeinen eli evidentti: jokainen joka ymmärtää, mistä uskomuksesta on kyse, siis jokainen joka ymmärtää väitteen jos Joonas on pitempi kuin Kalle ja Kalle on pitempi kuin Einari, niin Joonas on pitempi kuin Einari, tajuaa että uskomus on tosi. Ei ole luontevaa eikä ehkä mielekästäkään sanoa, että kyseinen tosiseikka aiheuttaisi kausaalisessa mielessä uskomukseni. Myös empiiristen uskomusten kohdalla kausaaliseen teoriaan liittyy vakava vaikeus. Kuvitellaan seuraavanlainen tilanne. Reino kertoo Mirjalle, että hän on juuri hetki sitten tavannut, joka oli hyvin vihainen, ja Mirja uskoo tämän väitteen todeksi. Oletetaan, että Reinon uskomus on tosi; hän on siis todella nähnyt Pirjon, joka on sättinyt Reinoa ja yrittänyt heittää tätä lähimmällä käteen osuvalla esineellä. Kuvitellaan kuitenkin, että Reino on tavallisesti hyvin epäluotettava henkilö, jonka kertomuksilla on vähän tekemistä todellisuuden kanssa, mutta Mirja ei ole tästä seikasta tietoinen. Pelkästään se tosiseikka, että Reino on yleensä epäluotettava, aiheuttaa sen, ettei Mirjan uskomus ole tietoa. Vaikka Reino tietääkin Pirjon olevan vihainen ja tietää tämän sen perusteella, että hän on nähnyt Pirjon heittelevän esineitä ympäriinsä, sättivän Reinoa, jne., hänen tietonsa ei välity minulle. Sillä Reino olisi hyvin voinut valehdella (voisimme sanoa, että Reino valehtelee on relevantti vaihtoehto kyseisessä tilanteessa). Vaikka kuvitellussa tilanteessa kausaaliset yhteydet näyttävät olevan voimassa tarkoituksenmukaisella tavalla: Pirjon käyttäytyminen synnyttää Reinossa erän uskomuksen, Reinon uskomus osaltaan aiheuttaa sen, että hän kertoo Mirjalle havainnostaan, se että hän kertoo Mirjalle saa tämän uskomaan. Mutta vaikka Reinolla on tosi, oikeutettu uskomus, että Pirjo on vihainen, Mirja ei kuitenkaan tiedä, että Pirjo on vihainen. Esimerkin opetus näyttää olevan tämä. Syy siihen, miksi Mirja ei tiedä Pirjon olevan vihainen Reinon kertomuksen perusteella, on se, että Reinon kertomus ei ole luotettava. Sen sijaan aistihavainto on normaalisti luotettava; ainakin normaalitapauksissa voimme pitää tosina uskomuksia, jotka perustuvat aistihavaintoon. Ja oletettavasti havainto on luotettava myös siinä mielessä, että sillä on taipumus tuottaa enemmän tosia kuin epätosia uskomuksia. Tuntuu siis järkevältä ymmärtää tieto luotettavalla tavalla perustetuksi todeksi uskomukseksi. 2) reliabilismi
10
2) reliabilismi. S tietää että p jos ja vain jos:
2) reliabilismi Reliabilistiset tiedonanalyysit liittävät uskomus- ja totuusehtoihin luotettavuusehdon: niiden mukaan tietoa on sellainen uskomus, jonka on synnyttänyt luotettavan prosessi tai menetelmä.
LisätiedotKarteesinen skeptisismi
Karteesinen skeptisismi Markus Lammenranta Karteesinen skeptisismi kieltää sen, että meillä olisi havaintokokemukseen perustuvaa tietoa mielemme ulkopuolella olevasta maailmasta eli ulkomaailmasta. Ensimmäisessä
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotTietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15
Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotTieteenfilosofia 1/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia
Tieteenfilosofia 1/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Tästä kurssista Molempina päivinä ohjelma on rakenteeltaan samanlainen: 1. luento-osio 9:15 10:40 keskusteluosio
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotKirjoista oppiminen. Markus Lammenranta ARTIKKELIT. Tiedon luonne
ARTIKKELIT Markus Lammenranta Kirjoista oppiminen Lammenranta, Markus, Kirjoista oppiminen [Learning from books]. Kirjastotiede ja informatiikka 10 (3): 75-79, 1991. Learning from books is not just a matter
Lisätiedot1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS
Tietoteoria klassinen tiedonmääritelmä tietoa on 1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS esim. väitteeni Ulkona sataa on tietoa joss: 1. Minulla on perusteluja sille (Olen katsonut ulos) 2. Se on tosi (Ulkona
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotJohdanto: Mitä tieto-oppi on?
I Johdanto: Mitä tieto-oppi on? Tieto-oppi eli epistemologia (kreikan sanasta episteme tieto ) tarkastelee inhimilliseen tietoon liittyviä, pääasiallisesti teoreettisia kysymyksiä. Esimerkiksi: Mitä tieto
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotLuento 4: Perusteet. Mitä perusteet ovat? perusteista (reasons). avulla.
Luento 4: Perusteet I Intentionaaliset teot ymmärretään usein teoiksi, jotka tehdään perusteista (reasons). I Joskus intentionaaliset teot yritetään myös määritellä perusteiden avulla. I Riippumatta siitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotEtiikan mahdollisuudesta tieteenä. Henrik Rydenfelt Helsingin yliopisto
Etiikan mahdollisuudesta tieteenä Henrik Rydenfelt Helsingin yliopisto Etiikka tieteenä? Filosofit ja ei-filosofit eivät pidä etiikkaa tieteenä Tiede tutkii sitä, miten asiat ovat, ei miten asioiden tulisi
LisätiedotYleinen tietämys ja Nashin tasapaino
Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010 Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä
LisätiedotMikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni?
Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Jyväskylä 31.5.2017 Petteri Niemi Relativismi ja Sosiaalinen konstruktivismi Relativismi (Swoyer 2010) Relativismi on näkemysten
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotLefkoe Uskomus Prosessin askeleet
Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotSaa mitä haluat -valmennus
Saa mitä haluat -valmennus Valmennuksen jälkeen Huom! Katso ensin harjoituksiin liittyvä video ja tee sitten vasta tämän materiaalin tehtävät. Varaa tähän aikaa itsellesi vähintään puoli tuntia. Suosittelen
LisätiedotAineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin
Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotMiina ja Ville etiikkaa etsimässä
Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotTietämisestä ja uskomisesta
Tietämisestä ja uskomisesta MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 23112016 Kasper Apajalahti Sisältö Johdanto Tietämys Arvoitus: mutaiset lapset Partitiomalli (partition model) Mutaiset
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
LisätiedotPropositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
LisätiedotMitä eroa on ETIIKALLA ja MORAALILLA?
ETIIKKA on oppiaine ja tutkimusala, josta käytetään myös nimitystä MORAALIFILOSOFIA. Siinä pohditaan hyvän elämän edellytyksiä ja ihmisen moraaliseen toimintaan liittyviä asioita. Tarkastelussa voidaan
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotTehtäväalue ulottuu kohdan 1.15 paikkeille (hiukan edemmäs, jos haluaa).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 1 / Ratkaisut Tämän harjoituksen pääaihe on käsite implikaatio ja myös sen merkitseminen kaksoisnuolella. Muistutamme erityisesti
LisätiedotTieto ja hyveet MARKUS LAMMENRANTA
Tieto ja hyveet MARKUS LAMMENRANTA Hyvetietoteoria tutkii henkilön tiedollisia ominaisuuksia eli älyllisiä hyveitä. Joko niitä pidetään perustavina tiedollisina ominaisuuksina, joiden avulla selitetään
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotTieteenfilosofia 4/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia
Tieteenfilosofia 4/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Tieteellinen selittäminen Tieteellisen tutkimuksen perustehtävä on maailmaa koskevan uuden ja totuudenmukaisen
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotHuomio kiinnitetään kielteisiin asioihin ja myönteiset puolet pyritään rajaamaan pois.
1. Suodattaminen Huomio kiinnitetään kielteisiin asioihin ja myönteiset puolet pyritään rajaamaan pois. Esim. Kiinnitän huomiota hikoiluuni ja jännittämiseeni, mutta en mieti lainkaan, onko minua kohtaan
LisätiedotKant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E
Kant Arvostelmia Informaatioajan Filosofian kurssin essee Otto Opiskelija 65041E David Humen radikaalit näkemykset kausaaliudesta ja siitä johdetut ajatukset metafysiikan olemuksesta (tai pikemminkin olemattomuudesta)
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotYmpärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia
VASTAVÄITTEET Tapio Joki Johdanto Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia K aupat syntyvät harvoin ilman vastaväitteitä. Myyjälle ratkaisevan tärkeää on ymmärtää,
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
Lisätiedot5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö
5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotLogiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )
Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat
LisätiedotT Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.
T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.
LisätiedotTieteenfilosofia 3/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia
Tieteenfilosofia 3/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Keskeisiä peruskäsitteitä Päättely on sellaista ajattelutoimintaa, joka etenee premisseistä eli oletuksista johtopäätökseen
LisätiedotT-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003
T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotMitä on totuus? Filosofisia näkökulmia totuuden käsitteeseen
Mitä on totuus? Filosofisia näkökulmia totuuden käsitteeseen Panu Raatikainen Tampereen yliopisto Mikä on totuus? - Pontius Pilatus Filosofiset totuusteoriat: Totuus tässä: ominaisuus (suhde) on tosi -
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotLaajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot
Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Totuudesta väitellään Perinteinen käsitys Tutkimuksella tavoitellaan a. On kuitenkin erilaisia käsityksiä. Klassinen tiedon määritelmä esitetään Platonin
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotSUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.
SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT
LisätiedotYhtälönratkaisu oppilaan materiaali
Yhtälönratkaisu oppilaan materiaali Nimi: Luokka: 1 1. Tosia ja epätosia väitteitä Alkupalat Kirjoita taulukkoon T, jos väite on tosi ja E, jos väite on epätosi. Väite 5 > 3 16 < 8 19 = 26 9 < 28 64 =
LisätiedotJohdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a
Lisätiedot