HBL10110 Yleismatematiikka Edition 009 010 Versio 1.5, 16.8.008 Vesa Korhonen vesa.korhonen@jamk.fi 0400 451 75 Sisältö 0. Johdanto... 1. Laskennan välineet ja työjärjestys... 1.1 Laskennan koneelliset apuvälineet... 1. Laskujärjestys... 1. Murtoluvut... 4 1.4 Polynomit... 7 1.5 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä... 8 1.6 Tehtäviä... 1. Vastauksen esittäminen ja tuloksen arviointi... 14.1. Pyöristyssäännöistä... 14.. Tuloksen tarkkuus... 15.. Vastauksen suuruusluokka... 18.4. Ratkaisun kirjoittamisesta... 18.5. Tehtäviä... 0. Potenssit, juuret ja logaritmit... 1.1 Potenssi... 1. Juuri.... Logaritmit....4 Tehtäviä... 4 4. Funktioiden käyttö ja kuvaajien tulkinta... 5 4.1. Funktio?... 5 4.. Funktion kuvaaja... 6 4.. Tehtäviä... 0 5. Prosenttilaskentaa ja sen sovelluksia... 1 5.1 Prosenttiarvo... 1 5. Lisätty / vähennetty arvo... 5. Muutosprosentti... 5.4 Perusarvon tunnistaminen... 4 5.5 Kaavamaisesti... 5 5.7 Prosenttiyksikkö... 5 5.8 Tehtäviä... 7 6. Korkolaskua... 9 6.1 Koronlaskun perustilanteita... 9 6. Korkolaskutapoja... 40 6. Kaavamaisesti... 41 6.4 Peruskaavojen sovelluksia... 41 6.5 Kasvanut pääoma... 4 6.6 Tehtäviä... 44
HBL10100 Yleismatematiikka (44) 0. Johdanto Yleismatematiikka on viiden opintopisteen (5 op) laajuinen matematiikan peruskurssi ammatillista väylää koulutukseen tulleille. Opintojakson aikana kerrataan muutamia matematiikan osa-alueita, joiden hyvä hallinta helpottaa jatko-opintoja. Tarve näille taidoille tulee välittömästi tämän opintojakson jälkeen ja osin jo sen aikana. Toisaalta, vähänkään matemaattisemmin suuntautunut opiskelija saattaa osata käsiteltävät asiat jo ennestään, joten opintojakson suorituskokemus (ja opintopisteen vaatima työmäärä!) saattaa vaihdella hyvin paljon. Opintojakso on jaettu pienempiin, melko itsenäisiin mutta jonkin verran ajallisesti toisistaan riippuviin osakokonaisuuksiin. Opintojaksokuvauksen mukaisesti nämä ovat Laskennan välineet ja työjärjestys, Laskentatarkkuus Vastauksen esittäminen ja tuloksen arviointi Funktioiden käyttö ja kuvaajien tulkinta Potenssi, logaritmi Prosenttilaskentaa ja sen sovelluksia Opintojakson toteutuksessa näitä aihealueita on hieman tiivistetty suuremmiksi kokonaisuuksiksi. Jokaiseen osakokonaisuuteen liittyy opintojakson materiaalissa -4 kappaletta alkutehtäviä. Niiden avulla voit arvioida kuinka paljon aikaa sinun tulee panostaa ko. osakokonaisuuteen. Jos alkutehtävät tuntuvat erittäin helpoilta, osaat todennäköisesti asiat jo hyvin. Päinvastaisessa tapauksessa sinun tulee kiinnittää erityistä huomiota esitettyihin asioihin perehtymiseen. Opintojakso on mahdollista suorittaa näyttökokeella, joka järjestetään opintojen alussa heti sopivan ajan löytyessä. Käy siis heti opintojakson alussa koko materiaali nopeasti läpi (esim. em. alkutehtävien avulla), ja mieti olisiko hyödyllistä yrittää suorittaa opintojakso näyttökokeena. Näyttökokeen suoritus ei vaikuta millään tavalla muuhun kurssisuoritukseen, jos haluatkin sitten jatkaa opintojakson suorittamista tavalliseen tapaan (tai jos sinun on pakko...). Tällä opintojaksolla pyritään tarttumaan asioihin käytännön ongelmien kautta. Kurssin aihepiiristä johtuen nämä saattavat olla joskus hieman liiankin arkisia, mutta tämä kuvastanee myös sitä, miten paljon itse asiassa matematiikkaa käytämme ja tarvitsemme. Luvussa 5 käsiteltävä prosenttilasku tulee vahvasti esille myös kauppamatematiikan osuudessa, mutta asian tärkeyden takia sitä on sisällytetty melko paljon myös tämän opintojakson vaatimuksiin. Luvun 6 korkolaskut ovat tärkeä prosenttilaskun sovellus. Prosenttilaskun esityksessä on muutamissa kohdissa esitetty useita eri tapoja saman tehtävän suorittamiseksi. Tämä voi tuntua aluksi sekavalta, mutta ne havainnollistavat sitä, että asioita voidaan tarkastella hieman eri tavalla. Tavoite on aluksi, että opiskelija suoriutuu tehtävistä yhdellä laskutavalla. Kokemuksen karttuessa hän toivottavasti pystyy huomaamaan yhteydet eri tapojen välillä, ja tunnistaa tilanteet joissa jokin tietty tapa on kätevin.
HBL10100 Yleismatematiikka (44) 1. Laskennan välineet ja työjärjestys Alkutehtävä 1: Jos tehtävä on laskea 8-4, niin tuleeko siitä 60 vai 16? Vai jotakin ihan muuta? Alkutehtävä : Onko sinulla laskin? Jos on, pystyykö sillä laskemaan nämä:, 5 ja log 100? Jos et, niin pystytkö laskemaan nuo päässäsi? Alkutehtävä : Osaatko laskea kymmenen luvun summan ja niiden keskiarvon käyttäen taulukkolaskentaohjelmaa? Paljonko tulee summaksi ja keskiarvoksi, jos luvut ovat, 4,, 4,,, 5,, 1,. 1.1 Laskennan koneelliset apuvälineet Laskin on käytännössä välttämätön apuväline opiskelijalle lähes millä tahansa koulutusalalla. Liiketalouden alalla ei tosin tarvita ultracoolia titaanikuorista grafiikkalaskinta vaaleataustaisella näytöllä, vaan ruokakaupan casio on aivan riittävä väline. Alkaen 9,95. Aina tarvittavien neljän peruslaskutoimituksen (+, -, *, /) lisäksi on hyvä, jos tarjolla ovat potenssiinkorotus (x y ), juuren otto ( x ja y x ) sekä logaritmien käsittely ( lg( x),ln( x),log y ( x) ). Sen sijaan esimerkiksi trigonometrisiin funktioihin täällä ei juuri törmää (ellei niitä itse aktiivisesti ala etsiä). Laskimen ominaisuuksien määrää tärkeämpää on se, että osaat käyttää niitä ominaisuuksia, joita tarvitset. Tässä materiaalissa laskimen näppäilyjä on merkitty hieman erilaisella kirjasinlajilla tähän tyyliin: 1 + = Merkintä tarkoittaa sitä, että laskimen käyttäjä on näppäillyt ykkösen, plussan, kakkosen ja lopuksi = -merkin, jolloin laskin antaa tuloksen. Jakolaskua useissa laskimissa esittää symboli, jota käytetään siten myös tässä materiaalissa jakolaskun merkkinä. Toisaalta, joissakin kohdissa (esimerkiksi murtolukuja käsiteltäessä) myös symboli : saattaa tarkoittaa jakolaskua. Tietokoneohjelmista taulukkolaskenta (Excel tai vaikkapa OpenOfficen Calc) tulee opiskelun aikana varmasti tutuksi kaikille. Se on myös hyvä laskin matematiikan tehtäviin. Tämän opintojakson tehtävissä tulee olemaan joitakin, joiden vastauksena palautetaan taulukkolaskennan laskentataulukko. 1. Laskujärjestys Tarkastellaan kurssin varsinaisen asian aluksi paria laskutoimitusten suorittamiseen liittyvää asiaa. Miten tulisi toimia, kun eteen tulee seuraavankaltainen laskutoimitus: 4-8 Ei ole aivan samantekevää missä järjestyksessä laskutoimitukset suorittaa. Toimintaperiaate on seuraava:
HBL10100 Yleismatematiikka 4(44) 1. Kerto- ja jakolaskut suoritetaan ensin (vasemmalta oikealle). Sen jälkeen suoritetaan yhteen ja vähennyslaskut (myös vasemmalta oikealle) Tämä voidaan sanoa myös niin, että kerto- ja jakolaskuoperaatiot sitovat vahvemmin kuin yhteenja vähennyslasku. Lasku suoritetaan siis näin: 4-8 = 8-4 = -16 Jos on epäselvyyden vaaraa, voidaan (ja tulee!) käyttää sulkeita: ( 4) - (8 ) Nyt sulut kertovat, että ensin lasketaan 4 = 8 ja sitten lasketaan 8 = 4, ja lopuksi tehdään vähennyslasku 8-4 eli vastaukseksi tulee -16. 1. Murtoluvut Vaikka laskimen kanssa toimittaessa käsitellään yleensä desimaalilukuja, on hyvä olla perillä myös murtolukujen laskutekniikoista. Murtolukujahan ovat esimerkiksi seuraavat: 18 56 9 11 Jos murto-osaan liittyy myös kokonaisosa, puhutaan sekaluvusta: Liiketalouden matematiikassa joutuu murtolukuja käsittelemään ainakin osavuoden korkoa laskiessaan. Murtoluvuilla laskeminen Murtoluvuilla yksinkertaisin laskutoimitus on usein kertolasku. Kahden murtoluvun kertolaskussa niiden yläkerrat eli osoittajat kerrotaan keskenään ja alakerrat eli nimittäjät kerrotaan myös keskenään. Näin: 4 5 4 5 8 15 Kahden murtoluvun jakolasku voidaan muuttaa kertolaskuksi kääntämällä jakaja: 1 : 4 4 1 4 1 8 Tarkastellaan seuraavaa toteamusta: Tässä on jo kaksi kolmasosaa oppitunnista mennyt. Nyt vauhtia, enää ei ole montaa minuuttia jäljellä!
HBL10100 Yleismatematiikka 5(44) Kuinka monta niitä minuutteja sitten on jäljellä? Tiedetään, että tunti on 60 minuuttia ja oppitunti on 45 minuuttia. Toisaalta, jos / on mennyt, niin on 1/ jäljellä. Minuutteja on siis vielä 1 45 45 = = 15 Tässä siis murtoluvun ja kokonaisluvun kertolasku tehdään kertomalla osoittaja kokonaisluvulla. Nimittäjä ei muutu mihinkään. Lopputulosta voi sitten siistiä suorittamalla murtolukua vastaavan jakolaskun. Edellä jako meni tasan, ja tulos oli yksi, siisti kokonaisluku. Entä kun tilanne muuttuu: He, saatiinkin yksi ja yksi kolmasosa oppitunti lisäaikaa. Nyt on taas minuutteja jäljellä. Tässä yksi ja yksi kolmasosa voidaan kirjoittaa murtolukuna tai sekalukuna: 1 1 45 = 4 45 = 60 Tästä saadaan sääntö sekaluvun ja murtoluvun muunnoksiin: Sekaluvusta saadaan murtoluku kertomalla kokonaisosa (yllä 1) nimittäjällä (yllä ) ja lisäämällä se osoittajaan (yllä ensin 1 ja laskun jälkeen 4). Aikaisemmin esitettyä esimerkkiä käyttäen: = 11 = Tai jos on käsillä murtoluku, jonka osoittaja on suurempi kuin nimittäjä, saadaan siitä sekaluku jakamalla osoittaja nimittäjällä ja ottamalla kokonaisosa eteen ja jättämällä jakojäännös osoittajaan. 1 1 = 5, jakojäännös 1, jolloin vastaava sekaluku on 5. 4 4 48 1 = 5, jakojäännös, jolloin vastaava sekaluku on 5 (eli 5 ). 9 9 Murtoluvut ja laskin Katsotaan, miten edellisen kohdan viimeisen tehtävän voi laskea laskimella: 48 9 = 5. Tästä saadaan kokonaisosa 5. Jakojäännös löytyy näin: 5. - 5 = 0. 0. * 9 =
HBL10100 Yleismatematiikka 6(44) Eli kun vähennetään tuloksesta saatu kokonaisosa (5) ja kerrotaan jäljelle jäänyt luku jakajalla (9), jää jäljelle jakojäännös. Monissa laskimissa (esimerkiksi open uskollinen Casio fx-115ms ja sen kaikki sisarmallit) on myös erityinen murtolukunäppäin, tyyliin a b/c Sen avulla murtolukuja voidaan syöttää suoraan laskimeen. Annetaan laskimen muuttaa murtoluku sekaluvuksi: a b/c a b/c = 4 1 Jokaisen murtoluvun osan (kokonaisosa, osoittaja, nimittäjä) jälkeen painetaan siis a b/c - näppäintä. =-näppäimen painallus sieventää murtoluvun. Fiksummat laskimet osaavat näyttää murtoluvun näköisenä, mutta karvahattumallit käyttävät erottimena. Yllä saatu vastaus on siis 4 1, kuten pitikin. -merkkiä (tai jotakin vastaavaa) osien 1 Lasketaan laskimella hankala jakolasku :. Kun kokonaisosaa ei ole annettu (luku ei ole 4 sekaluku), ei sitä tarvitse syöttää, vaan aloitetaan suoraan osoittajasta: a b/c a b/c a b/c 1 a b/ 4 = Laventaminen ja supistaminen Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku vaatii, että murtoluvut ovat samannimisiä, ts. niillä on yhtä suuret osoittajat ja nimittäjät. Jotta sellaiseen tilanteeseen päästäisiin, tulee osata supistaa ja laventaa murtolukuja. Esimerkki laventamisesta: Laske 1 4 Nyt nimittäjät ovat erisuuret, joten ei voida laskea suoraan. Mutta aika nopeasti huomataan, että jos ensimmäinen murtoluku kerrotaan neljällä (sekä yläkerta että alakerta erikseen) ja toinen kolmella (ylä- ja alakerta), niin molemmat päätyvät kahdestoistaosiksi, jotka voidaan sitten laskea yhteen. Näin: 1 4 = 4 4 1 = 4 8 1 1 11 = 1 Samalla luvulla kertominen ei vaikuta murtoluvun suuruuteen, voit vaikka kokeilla laskimella: 8 1 0,666... Eli alkuperäinen ja lavennettu murtoluku ovat yhtä suuria.
HBL10100 Yleismatematiikka 7(44) Supistaminen puolestaan voi tulla tarpeeseen tämänlaisessa tilanteessa: Laske 6 9 6. Tässä voidaan turvautua jakolaskuun. Jos ensimmäisen murtoluvun molemmat kerrokset jaetaan kolmella ja toisen murtoluvun molemmat kerrokset jaetaan kahdella, saadaan molemmista kolmasosia, jolloin lasku voidaan tehdä: 6 / 9 / / 6 / 1 1. Pizzamatematiikkaa. Murtolukujen loppuun vielä pieni ruokatuntiesimerkki, jossa samalla katsotaan miten murtolukuja voi tavallisessa tekstissä kirjoittaa myös vähän joustavamman näköisesti. (Huomasithan, miten yllä tekstin joukossa olevat murtoluvut sotkivat rivivälin vähän epäesteettisen näköiseksi.) Lounasaikaan Arska ja Veke kävivät hakemassa läheisestä kotipizzasta itselleen evästä (alla vegetariana ja frutti di pollo). Pizzantekijä leikkasi molemmat lätyt kahdeksaan osaan. Hemmot maistelivat toistensa pizzoja, ja jälkeenpäin Arska väitti syöneensä 5/8 omasta pizzastaan ja 4/8 Veken pizzasta, kun taas Veke väitti syöneensä 5/8 omastaan ja /8 Arskan pizzasta. Voiko olla? Tutkitaanpas tilannetta: Alussa pizzoja oli, eli yhteensä 16/8 oli saatavilla. Yhteensä miehet olivat syöneet 5/8 + 4/8 + 5/8 + /8 = 16/8 eli kaksi kokonaista pizzaa, joka periaatteessa täsmää ostosten kanssa. Entä pizzakohtaisesti: Arskan pizzasta oli syöty 5/8 + /8 ja Veken pizzasta 4/8 + 5/8. Edellisestä tulee 7/8 ja jälkimmäisestä 9/8 eli 1 1/8. Mutta molemmista pitäisi tulla tasan 8/8 eli 1 kokonainen, jotta pizzat olisivat riittäneet ja molemmat olisivat tulleet syödyiksi. Joku siis muistaa jotakin väärin, mutta kaikki on ilmeisesti kuitenkin tullut syötyä... 1.4 Polynomit Polynomit ovat matemaattisia olioita, joissa lukujen rinnalle tuodaan kirjainsymbolit eli ns. muuttujat. Polynomien käsittelyn taito auttaa, kun yksinkertaistetaan monimutkaisia laskutoimituksia helpommin näppäiltäviksi. Jossakin vaiheessa opiskelija törmännee alennuksella myytäviin kottikärryihin, joka on suorastaan klassinen esimerkki siitä, miten lausekkeen yksinkertaistaminen on suorastaan välttämätöntä sen ratkaisemiseksi. Polynomeja voidaan nimetä niiden liikkuvien osien määrän mukaan. Monomissa on yksi osa: x Binomissa on kaksi osaa: x - x Trinomissa on kolme osaa: x - x + 4x Tätä laajempia polynomeja kutsutaan vain polynomeiksi. Toinen polynomeihin liittyvä (ja ehkä vielä tärkeämpi) käsite on niiden asteluku. Asteluku on yhtä kuin korkein polynomissa esiintyvä potenssi. (Potenssista kerrotaan hieman myöhemmin hieman enemmän.)
HBL10100 Yleismatematiikka 8(44) x asteluku = 1 (koska x on sama kuin x 1 ) x - x asteluku = x - x + 4x asteluku =... Polynomeja voidaan muokata yhdistelemällä samaa astelukua olevia termejä. Lasketaan yhteen trinomi x - x + 4x ja binomi x + 4x. (Huomaa sulkujen käyttö laskun selventäjänä!) (x - x + 4x ) + (x + 4x ) = x + x + (-x ) + 4x + 4x = 5x - x + 8x Näin pyritään saamaan polynomi mahdollisimman tiiviiseen muotoon. Tätä operaatiota kutsutaan sieventämiseksi. Seuraavassa muita esimerkkejä polynomien muokkauksesta: x(-x + 5) = x (-x ) + x 5 = -x + 15x (x - ) = (x - )(x - ) = x x + x(-) + (-)x + (-)(-) = x -x -x + 4 = x -4x + 4 Huomaa, että usein kertomerkki jätetään kirjoittamatta silloin kun sen poisjättäminen ei aiheuta sekaannusta. Esimerkiksi x kirjoitetaan yleensä muotoon x. Sekä sulkulausekkeiden että yksittäisten polynomin termien edessä ja sisällä esiintyvät etumerkit tulee huomioida tarkasti laskuissa. Esimerkiksi kahden ensimmäisen asteen binomin vähennyslasku: -(x - 1) - (-8x + 6) = -x + 1 + 8x - 6 = -x + 8x +1-6 = 6x - 5 Ensin siis käsiteltiin etumerkit. -(x -1) muuttui muotoon -x + 1 ja - (-8x + 6) muuttui muotoon +8x - 6. Sitten järjestettiin yhteenlaskettavat termiparit peräkkäin, ts. ensin äxälliset termit -x ja +8x ja äxättömät termit +1 ja - 6. Ja lopuksi tehtiin laskutoimitukset, -x + 8x on 6x ja +1-6 on - 5, joten vastaus on 6x - 5. 1.5 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä Yhtälö on asioiden välinen riippuvuus, joka usein on ilmaistavissa polynomin avulla. Esimerkkiä kehiin: Kännykän käyttö maksaa kiinteän hinnan 0,69 kuukaudessa ja lisäksi 0,1 jokaiselta puhutulta minuutilta. Kuinka iso lasku tulee, jos puhun 100 minuuttia? Tässä erikoistapauksessa saadaan (päässälaskulla) hinnaksi 0,69 + 100 0,1 = 1,69. Mutta entä jos haluttaisiin ilmaista puhemäärän ja laskun suuruus matematiikan kielellä, yhtälönä. Merkitään ensin (matematiikan perinteitä seuraten) kysyttyä laskun suuruutta symbolilla y ja olkoon puhuttujen minuuttien märän merkkinä x. Nyt voidaan kirjoittaa yhtälö:
HBL10100 Yleismatematiikka 9(44) y = 0,1 x + 0,69 Tämä on yhden muuttujan ensimmäisen asteen yhtälö, jonka oikea puoli on 1. asteen polynomi. Nyt voimme sijoittaa minkä tahansa minuuttimäärän x:n paikalle, ja laskea siitä puhelun hinnan. Siis kun x = 100, niin y = 1,69. Erityisen kätevää tämä on, jos ja kun yhtälön pystyy kirjoittamaan taulukkolaskentaohjelmaan, kuten Exceliin. Kuten kuvassa 1: Kuva 1 Puhelinlasku Excelissä Kuukausimaksun hinta on siis syötetty soluun B, minuuttihinta soluun B ja puhutut minuutit soluun B4. Solussa B5 on laskukaava, joka kertoo B:n ja B4:n sisällöt keskenään ja lisää siihen B:n sisällön. Muuttamalla puhuttua minuuttimäärää on nyt helppo kokeilla mitä laskuksi tulee jos viihtyy puhelimessa tietyn ajan. Tai jos operaattorin hinnoittelu muuttuu, voi tällä laskentataulukolla tutkia laskunsa kehittymistä ja tarvittaessa vaihtaa liittymää... Hienoisia ongelmia tulee, jos tietomme asiasta ovat jollakin tapaa erilaiset. Esimerkki (perustuu tositapahtumiin): Kännykän käyttö maksaa kiinteän hinnan 0,69 kuukaudessa ja lisäksi 0,1 jokaiselta puhutulta minuutilta. Kuinkahan paljon olen puhunut, kun laskuni on euroa 1 senttiä...? Nytkin tuntematon asia on minuuttien määrä, joten merkitään sitä x:llä. Sen sijaan y:tä ei nyt tarvita, koska sitä vastaava arvo tunnetaan (,1 ). Kirjoitetaanpa yhtälö samaan tapaan kuin yllä:,1 = 0,1 x + 0,69
HBL10100 Yleismatematiikka 10(44) Tästä pitäisi saada selville millä x:n arvolla näin on. Se onnistuu, kun suoritamme kaksi toimenpidettä: Ensin vähennetään yhtälön molemmilta puolilta luku 0,69. Koska = -merkki kertoo, että molemmat puolet ovat samanarvoisia, ei saman luvun vähentäminen tai lisääminen molemmille puolille muuta yhtälön totena oloa. Siispä suoritetaan vähennys (huomaa oikealla oleva pystyviivamerkintä, joka kertoo seuraavaksi suoritettavan operaation):,1 = 0,1 x + 0,69-0,69,1 0,69 = 0,1 x + 0,69 0,69 1,44 = 0,1 x Tästä muodosta nähdään, että puhutuista minuuteista aiheutunut kustannus on 1,44 euroa. Niinpä minuuttien määrä saadaan jakamalla kustannus minuuttihinnalla. Matemaattisesti tämä tehdään jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla 0,1: 1,44 0,1 x : 0,1 1,44 0,1 x 0,1 0,1 1 x Tämä on jo ratkaisu, mutta se näyttää fiksummalta jos vaihdetaan oikea ja vasen puoli keskenään: x = 1 Yllä tulivat jo esille yhtälönratkaisun peruskeinot: Lisätään (vähennetään) sama luku yhtälön molemmille puolille (puolilta). Jaetaan (kerrotaan) samalla luvulla yhtälön molemmat puolet. Tavoite on siis saada yhtälön toiselle puolelle jäämään vain tuntematon x, jolloin toinen puoli kertoo vastauksen. Jos olet saanut muodostettua yhtälön, jossa x on heti valmiiksi yksin jommalla kummalla puolella = -merkkiä, olet hyvin todennäköisesti muodostanut väärän yhtälön. Joten tarkista asia vielä kerran. Edellä esitetyissä kahdessa puhelunhintaesimerkissä ratkaisu perustui siihen, että tiedetään millä tavalla asiat riippuvat toisistaan. Tämä pätee kaikkeen matematiikkaan yleisesti ja erityisesti vaikkapa prosentti- ja korkolaskuihin. Kun tietää, miten asiat ovat yhteyksissä toisiinsa ja merkitsee puuttuvia tietoja kirjainsymboleilla kuten x, pääsee tehtävässä aina eteenpäin. Ennakkoluulottomuutta tässä vaatii se, että x voi tehtävänannosta riippuen tulla eri paikkaan. Joissakin tilanteissa saattaa tulla ratkaistavaksi myös epäyhtälö, eli = -merkin sijasta onkin > tai < - merkki ( suurempi kuin tai pienempi kuin ). Näin voi käydä esimerkiksi etsittäessä kriittistä pistettä katetuottolaskelmassa. Arska nakkiputka myy nakkeja, joiden katetuotto on / kpl. Kiinteät kulut ovat (tiettävästi) 500 / kk. Kuinka suuren kuukausimyynnin on oltava, jotta toiminta on kannattavaa?
HBL10100 Yleismatematiikka 11(44) Tuntematon suure, x, on nyt kuukausimyynti. Toiminta on kannattavaa silloin, kun katetuotto on suurempi kuin kiinteät kulut. Epäyhtälönä (ratkaisuineen): x > 500 : x > 50 Eli kuukaudessa on saatava yli 50 nakkia myytyä, jotta jotakin jääkin. (Yksinkertaisen) epäyhtälön ratkaisu ei eroa tavallisen (yksinkertaisen) yhtälön ratkaisusta. Ainut poikkeustilanne syntyy, jos yhtälön molemmat puolet joudutaan kertomaan tai jakamaan negatiivisella luvulla. Tällöin epäyhtälömerkin suunta on vaihdettava (eli >:sta tulee <, tai päinvastoin). Nämä tilanteet ovat kuitenkin tämän kurssin aihealueen ulkopuolella.
HBL10100 Yleismatematiikka 1(44) 1.6 Tehtäviä Tehtävä 1.1. Laske (käsin tai koneella...): a) 1 : - 4 b) 1 4 1 : Tehtävä 1.. Sievennä seuraavat luvut supistamalla: 1 4 a) b) c) 0 6 88 91 d) 49 Tehtävä 1.. Laske: a) 5-10 1 b) 1 1/9-1 1/10, c) 1 /7 - ( 1 -/) Tehtävä 1.4. Laske lukujen 1, 1 ja 4 1 keskiarvo. Tehtävä 1.5. Paljonko on yhteensä aikaa jäljellä, kun 4/5 annetusta kahden tunnin määräajasta on käyttämättä, ja lisäaikaa tulee kolmasosatunti? Tehtävä 1.6. Ilmoita paljonko 95 minuuttia on tunteina (sekalukumuodossa). Tehtävä 1.7. Muuta minuuteiksi 6 5 tuntia. Tehtävä 1.8. Sievennä: a) 9x + - (5x - ) b) x + x - x ( x 1) c) x Tehtävä 1.9. Verottoman kilometrikorvauksen arvo vuonna 008 on 0,4 euroa/km. Tee Excellaskentataulukko, johon voi syöttää kilometrien määrän ja antaa tuloksena kilometrikorvauksen suuruuden. Tehtävä 1.10. Jatkoa edelliseen. Jokaisesta mukana kuljetettavasta matkustajasta. ns. lisähenkilöstä, kilometrikorvauksen hintaa korotetaan senttiä. Eli jos mukana on kuskin lisäksi yksi matkustaja, on hinta 0,44 euroa/km. Jos kaksi matkustajaa, niin hinta on 0,46 /km, jne... Täydennä laskentataulukkoasi niin, että siihen voi antaa lisähenkilöiden määrän ja laskenta ottaa lisähenkilöt huomioon. Tehtävä 1.11. Leila ja Annukka kävivät torilla ostamassa omenoita. Heidän ostoksensa maksoivat yhteensä 14 euroa. Mikä oli omenoiden kilohinta, kun Leila osti.0 kg ja Annukka 1.5 kg. Tehtävä 1.1. Marja-Terttu säilöi marjoja ja jakoi 5,5 l marjasosetta kahteen eri astiaan käyttäen ammentimena tuntemattoman kokosta törppöä. Toiseen astiaan meni 4 törpöllistä ja toiseen 7. Kuinka suuria olivat astiat ja Marja-Tertun törppö?
HBL10100 Yleismatematiikka 1(44) Tehtävä 1.1. Opettaja remontoi olohuonetta. Hän ehti tehdä työtä joka ilta kolme tuntia, jolloin korjaus valmistui päivässä. Kuinka kauan urakka olisi kestänyt.5 tunnin päivittäisellä työllä? Tehtävä 1.14. Luvun x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen 0 ja x erotus. Mikä x on? Tehtävä 1.15. Ammatillisen opettajakorkeakoulun 15 oppilasta lähtivät Rajakadulta tutustumiskäynnille Mankolaan. Kuinka monta linja-autoa on tilattava, kun yhteen mahtuu 65 oppilasta? Tehtävä 1.16. Daltonin muorin maatila jaettiin kolmen perillisen (Joe, Jack, William) kesken siten, että yksi sai puolet, toinen neljäsosan ja kolmas 17 ha. Laske tilan alkuperäinen koko. (Averell sai Sweetien.)
HBL10100 Yleismatematiikka 14(44). Vastauksen esittäminen ja tuloksen arviointi Alkutehtävä 1: Jos,45 pitää pyöristää yhden desimaalin tarkkuuteen, niin voiko siitä tulla,5? Alkutehtävä : Jos ratkaistavana on sanallisesti annettu tehtävä, niin onko fiksua kirjoittaa vastaukseksi x = 5? Alkutehtävä : Jos lähtötiedot ovat kokonaisia metrejä, niin onko oikein antaa vastaus millimetrin tarkkuudella? Alkutehtävä 4: Jos 10 000 euron lainaa maksetaan takaisin niin, että kerran vuodessa maksetaan 1000 euroa joka kattaa sekä koron että lyhennyksen, niin meneekö lainan loppuun maksamiseen yli vai alle kymmenen vuotta?.1. Pyöristyssäännöistä Monta kertaa tulee tilanne, että pitää pyöristää vastaus johonkin tiettyyn tarkkuuteen. Tyypillinen tilanne on korkolasku: Jos talletus on vuoden keräämässä korkoa,5 % nettokorkokannan mukaisesti, tulee korkoa 0,05 = 0,75. Mutta tuollaista rahasummaa ei ole olemassa, koska kymmenesosasenttejä ei pankkitilin saldossa näy. Niinpä pankki tekee pyöristyksen ja maksaa korkoa 0,75. Pyöristyksen perussäännöthän ovat seuraavat: 1. Jos viimeinen pois jätettävä numero on pienempi kuin 5, pyöristetään alaspäin.. Jos viimeinen pois jätettävä numero on suurempi kuin 5, pyöristetään ylöspäin.. Jos viimeinen pois jätettävä numero on 5, niin toimitaan seuraavasti: (a) Jos 5:n jälkeen ei ole muita nollasta eroavia numeroita, pyöristetään parilliseen numeroon. (b) Jos 5:n jälkeen on muita numeroita, pyöristetään ylöspäin. Tutkitaan esimerkkeinä näiden sääntöjen käytöstä muutamia pyöristämisiä perusteluineen: Pyöristä 0,70710 kolmen desimaalin tarkkuuteen. Nyt pois on jäämässä 10, jonka ensimmäinen numero on 1 eli pyöristetään alaspäin. Siis vastaus on 0,707. Pyöristä 0,70710 kahden desimaalin tarkkuuteen. Nyt pois on jäämässä 710, jonka ensimmäinen numero on 7 eli pyöristetään ylöspäin. Siis vastaus on 0,71. Pyöristä 5,501 kokonaisluvuksi. Pois on jäämässä desimaaliosa 501. Koska ensimmäinen pois jätettävä numero on 5 ja sen jälkeen tulee nollasta eroava 1, pyöristetään ylöspäin. Vastaus on 6.
HBL10100 Yleismatematiikka 15(44) Pyöristä 5,500 kokonaisluvuksi. Pois on jäämässä desimaaliosa 500. Ensimmäinen pois jätettävä numero on 5 ja sen jälkeen tulee vain nollia, joten pyöristetään parilliseen. Vastaus on 6. Pyöristä 4,500 kokonaisluvuksi. Pois on jäämässä desimaaliosa 500. Ensimmäinen pois jätettävä numero on 5 ja sen jälkeen tulee vain nollia, joten pyöristetään parilliseen. Vastaus on 4. Aikaisemmin on joissakin yhteyksissä opetettu pyöristämään pois jäävä 5 aina ylöspäin. Jos pyöristyksiä kuitenkin tehdään suureen lukujoukkoon voi tästä seurata virhettä lukujen tilastolliseen jakaumaan. Pyöristämällä välillä ylös ja välillä alas (periaatteessa satunnaisesti), ei tämäntyyppistä virhettä synny. Aina ylöspäin pyöristäminen on niin vakiintunut käytäntö, että sitä ei voi pitää virheenä, joten tällä opintojaksolla hyväksytään sekä parilliseen että ylöspäin pyöristäminen... Tuloksen tarkkuus Laskin ja taulukkolaskenta ovat siitä salakavalia vempaimia, että ne hyvin helposti antavat vastaukseen esimerkiksi kahdeksan desimaalia. Kaikkia näitä ei aina kuitenkaan kannata kertoa vastauksessa. Esimerkki: Matematiikanopettaja lykkää kesällä työnnettävällä kelaleikkurilla pihanurmikkoa, jonka toinen sivu on on noin 0 metriä ja toinen on,5 metriä. Opettajan 5-vuotias tyttö laski näppärästi äitinsä taskulaskimella, että koko urakan pinta-ala on 1005 neliömetriä. Edellä tulos on otetut suoraan laskimesta. Mutta koska toinen lähtötiedoista oli noin -arvo, on vastauksen esittäminen näin tarkasti harhaanjohtavaa. Jos pitempi sivu todellisuudessa onkin 1 metriä, olisi vastaus 108,5 neliömetriä. Tai jos se olisikin vain 9 metriä, olisi vastaus 971,5 neliömetriä. (Luku,5 metriä on ilmeisesti tarkka arvo, liekö sitten mitattu ihan oikeasti.) Tässä tapauksessa voidaan ajatella, että lähtötieto 0 m on annettu yhdellä merkitsevällä numerolla. Karkeasti voisi sanoa, että arvo on 0 kymmenen metrin tarkkuudella. Se siis on varmasti enemmän kuin 0 m ja varmasti vähemmän kuin 40 m. Lähtötiedossa,5 m vaikuttaisi olevan kolme merkitsevää numeroa. Tässä tilanteessa vastaus tulee antaa epätarkemman lähtötiedon tarkkuudella, eli yhdellä merkitsevällä numerolla. Fiksu vastaus olisi siis 1000 neliömetriä. Selkeä poikkeus tästä tilanteesta on rahasummien (yleisemmin valuuttojen) käsittely: Rahassa on aina mukana kaksi desimaalia. Ja laskennan aikana kaikki esimerkiksi pankkitilille päätyvät rahasummat pyöristetään aina kahteen desimaaliin. Esimerkki: Arskalla oli ollut vuoden ajan 1000 pankissa,7 % korolla, josta menee 8 % lähdevero. Miten korkoon liittyvät tapahtumat näkyvät Arskan tiliotteella? Bruttokorko Arska talletukselle on 0,07 1000 =,70. Tämä todennäköisesti näkyy tiliotteella panona sellaisenaan. Mutta seuraava tapahtuma on otto, ts. lähdeveron tilitys. Veron suuruus on 0,8,70 = 0,756 = 0,76.
HBL10100 Yleismatematiikka 16(44) Verottajalle ei tilitetä 75,6 senttiä, vaan 76 senttiä. Ei ole olemassa kymmenesosasenttejä (ainakaan pankkitilillä). Niinpä Arskan tilin saldo kasvaa,70-0,76 = 1,94. Taulukkolaskennassa solun muotoilu rahasummaksi huolehtii desimaalien määrästä ja pyöristyksestä. Muilla suureilla taulukon laatijan tulee asettaa solulle sopiva muotoilu. Katsotaan taas esimerkkiä Veke rakensi Arskalle terassin, jonka mitat ovat 850 mm x 4540 mm. (Rakennuspiirustuksissa mitat annetaan millimetreinä.) Arska yritti Excelin avulla laskea montako neliömetriä terassin koko on. Jos ajatellaan, että Veke on saanut mitat kohdilleen senttien tarkkuudella, on annetuissa mitoissa molemmissa kolme merkitsevää numeroa. Tähän viittaa jo sekin, että viimeiset numerot ovat nollia. Nyt jos nämä syötetään Exceliin, voi tulos olla tämä: Kuva Arskan terassin pinta-ala, ennen Jotta pinta-ala -vastauksessa olisi sopiva määrä merkitseviä numeroita, tulisi sille asettaa vain yksi desimaali näkyviin. Napsauttamalla laskusolun päällä hiiren oikealla näppäimellä ja valitsemalla valikosta Muotoile solut, päästään asiaan vaikuttamaan:
HBL10100 Yleismatematiikka 17(44) Kuva Solun desimaalien asetus Nyt laskentataulukko näyttää jo paremmalta. Ei olisi myöskään kovin väärin sanoa pinta-alan olevan 9 neliömetriä. Kuva 4 Arskan terassin pinta-ala, jälkeen
HBL10100 Yleismatematiikka 18(44).. Vastauksen suuruusluokka Matematiikan opettajaa eniten vievät ennenaikaisen haudan suuntaan ratkaisut, joissa vastaus ei ole missään järkevässä mittakaavassa lähtötilanteen kanssa. Jos vaikkapa 5000 euron lainaa maksetaan viisi vuotta takaisin kerran vuodessa, ja vuosittaisen hoitoerän suuruudeksi on saatu 0,96, niin jokin on varmasti pielessä. (Rautalangasta: Viidessä vuodessa saataisiin 5 0,96 eurolla eli vajaalla viidellä eurolla hoidettua 5000 euron laina...!) Tämäntyyppisen virheen syynä voi olla ajatusvirhe, näppäilyvirhe tai jopa molemmat yhtä aikaa. Tehtävää ratkaistessa on hyväksi miettiä, mitä suuruusluokkaa vastauksen tulisi olla. Jos ollaan maksamassa tuhansien eurojen lainaa muutamassa vuodessa, tulisi vastauksen varmasti olla mieluummin yli kuin alle tuhannen euron. (Korkohan tietysti lisätään vielä lyhennysten jatkoksi.) Vaikkapa juuri korkolaskuissa voi karkealla päässälaskulla toimia näin: Jos Arska lainaa 46 seitsemän prosentin korolla, niin vuodessa korkoa menee lähes kymmenesosa pääomasta, eli 4,60. Tämä arvio on tietysti yläkanttiin, koska todellisen 7 % sijasta käytettiin päässälaskussa helpompaa kymmentä prosenttia. Mutta jos laskimen näytössä on,46, niin on syytä epäillä virhettä laskutoimituksessa. Tai jos kännykkäoperaattori lähettää viime kuulta 600 laskun kun liittymän minuuttiveloitus on alle 0,10, niin laskun saaja pystynee melko helposti muistamaan onko hän roikkunut puhelimessa yli 6 000 minuuttia eli sata tuntia, ts. reilut neljä vuorokautta....4. Ratkaisun kirjoittamisesta Matemaattisten tehtävien ratkaisujen esittämisessä on hyvä noudattaa muutamaa perussääntöä. 1. Tutki aina tehtävänanto tarkasti, sanotaanko siinä jotain ratkaisun esittämisestä.. Ellei muuta ohjeisteta, kirjoita aina laskujen välivaiheet näkyviin.. Jos tehtävänanto on sanallinen, niin kirjoita myös vastaus sanallisesti. 4. Sanalliset selvitykset ratkaisun lomassa eivät muutenkaan (kohtuullisesti käytettynä) ole pahasta. 5. Käytä laskujen aikana mahdollisimman montaa desimaalia. Vasta vastaukseen muista pyöristää tulos järkevään tarkkuuteen. Muista erityisesti rahasummien käsittelytapa! Esimerkki tehtävästä ja vastauksen esittämisestä: Tehtävä: Rankan metsäpäivän jälkeen Leila ja Annukka tutkailivat puolukkasaalistaan. Leilalla oli 1 litran ämpäri ¾ täynnä ja naisilla oli yhteensä 14 litraa marjoja. Kuinka monta litraa kummallakin oli? Ratkaisu: Leilan marjojen määrä 1 6 1 9 4 4 4 Merkitään Annukan marjojen määrä = x 9 + x = 14-9 9 + x 9 = 14 9 x = 5
HBL10100 Yleismatematiikka 19(44) Vastaus: Leilalla oli 9 litraa ja Annukalla 5 litraa puolukoita. Useissa paikoissa on myös kehotettu alleviivaamaan numeerisen tehtävän vastaus. Vaikkapa näin: Tehtävä: Ratkaise yhtälö 9 + x = 14 Ratkaisu: 9 + x = 14-9 9 + x 9 = 14 9 x = 5 (Siis sama yhtälö kuin edellä...) Koska tehtävässä ei nyt ole sanallista osuutta, riittää vastaukseksi viimeisellä rivillä oleva x = 5. Se on kuitenkin hyvä alleviivata yhdellä tai kahdella viivalla, jolloin vastaus on tehtävää lukevan (opettajan) helpompi huomata.
HBL10100 Yleismatematiikka 0(44).5. Tehtäviä Tehtävä.1. Pyöristä seuraavat luvut kokonaisluvuiksi: a) 0.5 b) 0.51 c) 1.5 d) 1.51 e) -0.5 f) -1.5 g) -1.51 h) -1.49 Tehtävä.. Laske seuraavat laskut ja mieti miten esittäisit vastauksen a) m 001mm b) kg 0.05 /kg c) Tuo sähkölinja männee tästä tämän meijän mehtäpalstan läpi. Se on voemayhtiön mukaan kakskytäviis ja puol metriä levvee ja tästä kohen tämä ala on kilometrin pitune. Vie se akea paljon pinta-alloo, vae mitä? Tehtävä.. Arska mittaili pellosta nostamiaan uusia perunoita. Keskimääräinen mukula on 50 mm pitkä ja paksuutta sillä on toiseen suuntaan 0 mm ja toiseen 5 mm. Mitä näiden tietojen perusteella voi sanoa a) yhden perunan tilavuudesta? (Kuinka paljon se on vähintään ja enintään?) b) sadan perunan tilavuudesta? Mahtuvatko ne kaikki yhteen 5 litran ämpäriin?
HBL10100 Yleismatematiikka 1(44). Potenssit, juuret ja logaritmit Alkutehtävä 1: Miten kirjoitat laskun 5 auki kertolaskun avulla? Alkutehtävä : Onko enemmän vai vähemmän kuin 1,5? Alkutehtävä : Montako kertaa viitonen pitää kertoa itsellään, että saadaan 15?.1 Potenssi Potenssi on kertolaskun lyhennysmerkintä. Tämä laatikko on kuution muotoinen, eli jokainen sen sivu on yhtä pitkä. Kuinka monta sivua minun tarvitsee mitata, että saan laskettua sen tilavuuden? Kolmiulotteisen kappaleen tilavuushan saadaan kertomalla kaikki sen mitat keskenään. Jos merkitään kuution sivuja symboleilla a, b ja c (pituus, leveys, korkeus), niin tilavuus on periaatteessa a b c. Mutta jos tiedetään, että a = b = c, niin lasku voidaan kirjoittaa muotoon a a a. Matemaatikoilla on aina halu ja himo esittää asiat mahdollisimman tiiviisti, joten tälle on kehitetty oma lyhennysmerkintänsä: a a a = a Tätä merkintätapaa sanotaan potenssiksi. Siinä a on korotettu. potenssiin. Yleisesti muoto on a n Tässä a on kantaluku ja n on eksponentti. Eksponentti voi olla myös negatiivinen. Silloin se tulkitaan näin: 1 1 8 (koska = 8). Potenssien käsittelyyn on muutamia käteviä laskusääntöjä: (a b) n = a n b n esim. ( ) = = 4 9 = 6 a b a b n n esim. 4 9 (a m ) n = a mn esim. ( ) = = 6 = 64 a m a n = a m+n esim. = + = 5 =
HBL10100 Yleismatematiikka (44) a b m n a m n 4 4 esim. 4. Juuri Juuren otto on eräänlaista takaperin tehtyä potenssilaskua. Kuinka pitkä pitää neliön sivun olla, että sen pinta-ala on 4 neliömetriä? Kokeillaan hieman. Jos sivu on 1 m, on pinta-ala 1 1 = 1 m. Jos sivu taas on m, on neliön pintaala m m = 4 m, eli juuri se mitä haettiin. Kaksi potenssiin kaksi on neljä, jolloin sanotaan, että toinen juuri eli neliöjuuri neljästä on. Merkitään näin: 4 Voidaan määritellä myös korkeampia juuria: Kuinka pitkä pitää kuution sivun olla, että sen tilavuus on 7 kuutiometriä? Kuution tilavuus saadaan kertomalla jotakin kolme kertaa itsellään, eli korottamalla sen sivun pituus kolmanteen potenssiin. Kolmas juuri eli kuutiojuuri kertoo silloin tunnettua tilavuutta vastaavan yhden sivun pituuden. Helposti huomataan, että 7 Huomaa juuren astelukua kuvaava pikku kolmonen. Neliöjuureen voidaan kirjoittaa vastaavasti pikku kakkonen näkyviin, mutta yleensä se jätetään pois. Asteluku voi olla myös kolmosta suurempi, mutta sellaisilla juurilla on vähemmän käytännön sovelluksia. Juurenoton ja potenssinkorotuksen välillä on myös seuraava yhteys: 1 n a a n esim. 15 15 5 1. Logaritmit Jos jostain syystä tunnetaan kantaluku ja potenssilaskun tulos mutta eksponentti on hukassa, tulee turvautua logaritmiin. Logaritmi vastaa kysymykseen monenteenko potenssiin luku a on korotettava, jotta saadaan luku y. Alkutehtävän tapauksessa voidaan kysyä, että monenteenko potenssiin luku 5 pitää kertoa, jotta saadaan 15. Vastaus on (koska 5 5 5 = 15), joka voidaan muotoilla niin, että 5-kantainen logaritmi luvusta 15 on. Matemaattisesti: log y x, jos y = a x esim. log 5 15, koska 15 = 5. a
HBL10100 Yleismatematiikka (44) Kantalukuna a voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Joillekin kantaluvuille käytetään omia vakiintuneita merkintöjään: Kymmenkantainen logaritmi: log 10 100 lg100 log100, Ns. luonnollinen logaritmi: log e 100 ln 100 4, 605, Pikku e tarkoittaa Neperin lukua, jonka likiarvo on,7. Logaritmien laskusäännöistä mainitaan tässä yhteydessä seuraavat kaksi: log y m mlog y esim. log100 log100 4 log ab log a log b esim. log 500 log100 log 5 0,699, 699 Laskinkäytössä joudutaan usein käyttämään pientä vippaskonstia. Jos, edelleen, halutaan 5- kantaista logaritmia luvusta 15, niin sitä ei välttämättä saa suoraan laskimesta. Mutta koska log y x ln x ln y lg x lg y niin voidaan näppäillä ln 15 ln 5 = tai yhtä hyvin lg 15 lg 5 =. Tai jos halutaan 6-kantainen logaritmi 00 eurosta (eli yritetään laskea ), niin todetaan, että log 6 00 ln 00 ln 6 ja sitten näppäillään ln 00 ln 6 =.1841611 Logaritmiasiaan saattaa oikeasti törmätä tilanteessa, jossa tiedetään pääoma, korkokanta ja kertynyt korko euroina, mutta korkojaksojen määrä on hukassa. Vähän etupainotteinen esimerkki viimeksi mainitusta: Jos 1000 on 5 % mukaan kasvanut korkoa 157,6, niin koron laskennassa on täytynyt tehdä 1000 (1,05) x = 1157,6, josta jaksojen määrää (x) ei tunneta. Tuosta saadaan edelleen selvitettyä, että (1,05) x = 1157,6 /1000 = 1,1576. Nyt tarvitaan x:n selvittämiseksi siis 1,05-kantainen logaritmi luvusta 1,1576, joten näppäillään ln 1,1576 ln 1,05 =.00008856 = eli kolmessa vuodessa ehtii ko. korko kertyä. (Senttipyöristykset hieman sotkevat asiaa, joten laskusta ei saatu tasan kolmea vuotta. Tämä näkyy, kun asia tarkistetaan: 1000 (1,05) = 1157,65 = 1157, 6, kuten pitikin.)
HBL10100 Yleismatematiikka 4(44).4 Tehtäviä Tehtävä 4.1 Tämä pöydänkansi on neliön muotoinen. Miten voin laskea sen pinta-alan ja merkitä laskutoimituksen näkyviin? Montako sivua minun tarvitsee mitata? Tehtävä 4.. Laske a) 5 b) 16 5 c) 16 5 Tehtävä 4.. Ratkaise millä x:n arvolla seuraavat toteutuvat: a) x 4 = 16 b) x = 1000 c) x x = Tehtävä 4.4. Ratkaise millä x:n arvolla seuraavat toteutuvat: a) 10 x = 10000 b) 6 x = 400 c) 1,15 x =
HBL10100 Yleismatematiikka 5(44) 4. Funktioiden käyttö ja kuvaajien tulkinta Alkutehtävä 1: Onko funktion kuvaajaa esitettäessä yleensä x-akseli pystysuorassa ja y-akseli vaakasuorassa, vai päinvastoin? Alkutehtävä : Jos tarkoitus on piirtää kuva funktiosta, joka kertoo lainan koron euromäärän, niin mikä suure tulee x-akselille ja mikä suure y-akselille? Alkutehtävä : Jos asia a riippuu suoraan asiasta b, niin voiko ilmiötä esittävän funktion kuvaaja olla käyrä? 4.1. Funktio? Funktio on kahden asian välinen riippuvuus. Fysiikassa usein käytetään esimerkkinä kuluneen ajan ja kuljetun matkan välistä yhteyttä, kun tutkittavana on vaikkapa pyöräilijä. (Perusasteella ja toisen asteen alussa porukoilla ei yleensä ole vielä ajokorttia, joten ajoneuvo on valittu sillä perusteella.) Tuossa tilanteessa on yksi lähtötieto (aika), jonka perusteella lasketaan toinen asia (aika). Jos pyöräilijän nopeus on 5 m/s, niin tämä voitaisiin kirjoittaa vaikkapa näin: f(t) = 5t Tässä t-symbolilla on merkitty aikaa ja funktiota on merkitty symbolilla f. Funktion avulla voidaan todeta, että kun on ajettu vaikkapa 10 sekuntia, niin matkaa on taittunut 5 m/s 10 s = 50 m, eli f(10) = 50. Liiketalouden alalla tyypillinen esimerkki funktiosta on koron kertyminen lainalle. Siinä tilanteessa lähtötietoja on periaatteessa useita (pääoma, korkokanta, aika), joista saadaan ulos yksi tieto (koron euromäärä). Mutta monta kertaa pääoma ja korkokanta voidaan odottaa muuttumattomaksi, ja funktion ns. argumentiksi (se suluissa oleva asia) jää vain aika. Esimerkiksi: Arska on lainannut 1000 korkokannalla 5,5 % ja luvannut maksaa sen korkoineen joskus takaisin. Miten Arskan maksuvelvoite etenee ajan funktiona? Kehitetään funktio, joka kertoo korkopäivien perusteella paljonko Arska joutuu maksamaan. Kun ei yllä muuta mainita, niin oletetaan englantilainen koronlaskutapa (todelliset päivät joka paikassa). t f(t) = 0,055 1000 1000 65 (Koronlaskutavoista tulee myöhemmin enemmän, mutta todettakoon tässä sen verran, että tämä funktio ei vuotta pitemmillä ajoilla oikein toimisi jos käytettäisiin jotakin muuta kuin englantilaista tapaa. Ja nytkin se, tarkasti ottaen, kosahtaa ensimmäiseen karkausvuoteen... Mutta joka tapauksessa tuloksen suuruusluokka on oikein (virhe korkeintaan noin 0, %), eli esimerkiksi budjetin laadinnassa tämä funktio on aivan käyttökelpoinen.)
Maksuerä [ ] HBL10100 Yleismatematiikka 6(44) Nyt voitaisiin laittaa t:n paikalle Arskan korkopäivien määrä, ja saada tuloksena maksettava summa. Käytetään jälleen taulukkolaskentaa apuna. Seuraavassa kuvassa on yksikertainen laskentataulukko, jonne on sijoitettu em. funktion kiinteät arvot ja lisäksi sen argumentille t on varattu oma solunsa, johon kuvan tilanteessa on syötetty 0 päivää. Taulukosta nähdään, että jos Arska maksaa lainansa 0 päivän kuluttua, on maksettavaa yhteensä (pääoman lyhennys + kertynyt korko) 1004,5. Kuva 5 Arskan lainan laskenta Laskimen käyttäjä voisi näppäillä saman laskutoimituksen näin: 0 65 * 0,055 * 1000 + 1000 = 1004,5 Laskimen käyttäjälle jää siis sen verran enemmän vastuuta, että hänen tulee muistaa muuntaa 5,5 % desimaalikertoimeksi 0,055. Muuten tulos on liian suuri ollakseen järkevä (vrt. kohta. tässä materiaalissa!). 4.. Funktion kuvaaja Funktioita tarkastellaan usein niiden kuvaajien avulla. Vaikkapa edellä käsitelty lainaesimerkki voidaan esittää kuvaajana, josta on nähtävissä maksuerän kehittyminen kun korkopäivät kuluvat. 1 005,00 Maksu 1 004,00 1 00,00 1 00,00 1 001,00 1 000,00 0 5 10 15 0 5 0 Korkopäivät [kpl] Kuva 6 Arskan lainanmaksufunktion kuvaaja
HBL10100 Yleismatematiikka 7(44) Näin syntynyt kuvaaja on suora, koska koron kertyminen riippuu suoraan, ts. lineaarisesti, korkopäivien lukumäärästä. Samalla tavalla toimii aikaisemmin esitetty kännykkälaskun kertyminen, paitsi että siinä on aina mukana kuukausimaksu 0,69. Silloin kuvaaja ei lähde nollasta, vaan hieman sen yläpuolelta. Näin: Kuva 7 Puhelinlaskun kertyminen Toisaalta, jos vaikkapa Arska lähtee taksilla viikonlopun viettoon, niin tästä prosessista on löydettävissä monia funktion tyyppisiä riippuvuuksia. matka Kuva 8 Arskan kulkema matka ajan funktiona aika Tässä on useampia eri pätkiä, joissa ajan ja paikan yhteys on suunnilleen vakio. Funktio on paloittain lineaarinen. Todellisuudessahan tietysti esimerkiksi auton nopeus on harvoin niin tasainen, että kuvaaja oikeasti olisi suora, mutta kohtuullisen lähelle sitä kuitenkin päästään. Monessa paikassa taas funktio kertoo mittaustuloksesta, kuten luonnonilmiöstä:
HBL10100 Yleismatematiikka 8(44) Kuva 9 Ilman lämpötila Tikkakoskella..-.7.008 (lähde: www.fmi.fi) Tässä funktio on ns. röpelöinen, toisin sanoen mittauksessa on pientä huojuntaa koko ajan. Se saattaa johtua esimerkiksi tuulen ja pilvisyyden vaihteluista. Tai mittalaitteen antamassa lukemassa saattaa olla pientä normaalia vaihtelua, ns. kohinaa. Liiketalouden opiskelija törmännee ensimmäiseksi funktioon ja sen kuvaajaan katetuottolaskennan yhteydessä. Siinä tarkastellaan usein kahta kuvaajaa samassa kuvassa: Kustannukset on esitetty yhdellä kuvaajalla ja tuotot toisella. Jossakin kohdassa on sitten kriittinen piste, jossa tuotot ylittävät kustannukset eli toiminta on kannattavaa. Kuva 10 Katetuoton kuvaajat