Luku 3 Kuvien ehostus tilatasossa Kuvan ehostamisessa päätavoitteena on käsitellä kuvaa siten, että saatu tulos soveltuu paremmin haluttuun käyttötarkoitukseen kuin alkuperäinen kuva. On siis sovelluskohtaista, mitä ehostamismenetelmiä kannattaa kussakin tapauksessa käyttää. Ehostusmenetelmät jaetaan tavallisimmin kahteen pääluokkaan: tila- ja taajuustason menetelmiin. Tilataso on aikaisemmista luvuista tuttu kuvan koordinaattitaso ja tässä tasossa ehostusmenetelmillä muokataan suoraan kuvan pisteiden harmaasävyarvoja. Taajuustasossa taasen käsitellään kuvan Fourier-muunnosta. Sovelluksissa voidaan yhdistellä näiden kahden luokan menetelmiä niin, että saavutetaan paras lopputulos kyseessä olevan sovelluksen kannalta. Ehostusmenetelmien käsittelyä hankaloittaa se, että ehostettaessa kuvia ihmisen katseltavaksi voidaan kuvan hyvyydelle antaa vain subjektiivisia, arvioitsijasta suuresti riippuvia, arvioita. Eri menetelmiä eitäten voi järjestää ehdottomaan paremmuusjärjestykseen käyttäen mittana kuvan hyvyyttä, vaan riippuu hyvin paljon kunkin sovelluksen ominaispiirteistä, mikä menetelmä tai menetelmien yhdistelmä antaa parhaan tuloksen. Koneellista käsittelyä varten ehostettaessa tilanne on jonkin verran helpompi. Esimerkiksi tekstintunnistussovelluksessa paras menetelmä on se, jolla saadaan paras tunnistustulos, jos hyvyyden mittana on vain oikea tulos, eikä oteta huomioon eroja esim. menetelmien laskennallisessa kompleksisuudessa. 3.1 Taustaa Tilatason ehostuksessa kuvia käsitellään kaavan g(x, y) =T [f(x, y)] mukaisesti, jossa f(x, y) onalkuperäinen kuva, g(x, y) käsitelty kuva ja T kuvan f pisteen (x, y) ympäristöön kohdistuva operaattori. Operaattori T voidaan myös kohdistaa joukkoon syötekuvia, jotka ovat keskinäisesti riippuvia ja keskenään kohdistettuja. Tavallisesti pisteen (x, y) ympäristönä käytetään neliön tai suorakulmion muotoista m n-kokoista aluetta, jota kutsutaan naapurustoksi. Naapuruston ulottuvuudet m ja n valitaan tavallisesti parittomiksi ja keskipisteenä onkäsiteltävä
18 Digitaalinen kuvankäsittely I (, ) (x, y) f(x, y) Kuva 3.1: Kuvan f(x, y) pisteen (x, y) 3 3-naapurusto. piste (x, y). Tästä on esimerkki kuvassa 3.1, jossa on pisteen (x, y) 3 3-naapurusto. Yksinkertaisimmassa tapauksessa naapuruston koko on 1 1, jolloin siihen kuuluu siis vain ainoastaan piste (x, y). Tällöin tuloskuvan harmaasävyarvo g(x, y) =s riippuu ainoastaan alkuperäisen kuvan harmaasävyarvosta f(x, y) =r kussakin kuvan pisteessä (x, y) ja operaattori T on harmaasävytason muunnosfunktio s = T (r). Jos muunnosfunktion T muoto on kuvan 3.2 vasemmanpuoleisen käyrän mukainen, venytetään harmaasävyasteikon keskiosan arvot harmaasävyarvon t läheltä laajemmalle harmaasävyvälille tuloskuvassa. Tämä on hyödyllinen operaatio, jos s = T(r) s = T(r) tumma vaalea T(r) tumma vaalea T(r) tumma t vaalea tumma t vaalea Kuva 3.2: Muunnosfunktiot kontrastin venytykselle (vas.) ja binarisoinnille (oik.).
3.2 Pisteoperaatiot 19 alkuperäisessä kuvassa harmaasävyt ovat keskittyneet arvon t lähialueelle. Tällöin tuloskuvan kontrasti on parempi kuin alkuperäisen kuvan. Tätä operaatiota kutsutaan kontrastin venytykseksi (contrast stretching). Jos harmaasävykuvasta halutaan saada binaarikuva, voidaan käyttää kuvan 3.2 oikeanpuoleista muunnosfunktiota, joka kuvaa kaikki arvoa t pienemmät arvot nolliksi ja muut ykkösiksi. Tällaista operaatiota kutsutaan kynnystämiseksi (thresholding) ja arvoa t kynnysarvoksi. Koska näille yhden pisteen naapurustoille missä tahansa kuvan pisteessä uusi harmaasävyarvo riippuu vain sen pisteen alkuperäisestä harmaasävyarvosta, käytetään kaikista tällaisista operaatioista nimitystä pisteoperaatio. Naapuruston koon ollessa suurempi, puhutaan suodatus- eli maskioperaatioista. 3.2 Pisteoperaatiot negatiivi log T(r) identiteetti Kuva 3.3: Identiteettimuunnoksen, negatoinnin ja logaritmimuunnoksen muunnosfunktiot. Kuvassa 3.3 olevat diagonaaliset suorat ovat identiteettimuunnoksen T (r) =r ja negatoinnin T (r) =L 1 r kuvaajat. Näistä ensimmäinen on esitetty vain vertailun vuoksi kuvassa, sillä identiteettimuunnos ei muunna harmaasävyjä lainkaan, vaan muunnettu kuva on identtinen alkuperäisen kanssa. Negatointi on joissakin sovelluksissa hyödyllinen muunnos ja tuottaa siis vastaavan kuvan kuin valokuvan negatiivi on valokuvalle. Erityisen hyvin se soveltuu valkoisten tai harmaiden yksityiskohtien erottuvuuden parantamiseen tummilla taustoilla, jolloin niistä tulee siis tummia yksityiskohtia vaalealla taustalla. Kuvassa 3.3 on myös logaritmimuunnos T (r) =c log a (1 + r), jossa c on skaalauskerroin. Skaalauskerroin c ja logaritmin kantaluku a valitaan sovelluskohtaisesti sellaisiksi, että tuloskuvan arvot levittäytyvät halutulle harmaasävyalueelle.logaritmimuunnos kuvaa matalat harmaasävyarvot suuremmalle harmaasävyvälille tuloskur
2 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 3.4: Kuvan Fourier-spektri (vas.) ja sen logaritmimuunnos (oik.). vassa ja korkeammat puolestaan pienemmälle. Logaritmimuunnosta käytetään kuvankäsittelyssä usein esitettäessä kaksiulotteisella diskreetillä Fourier-muunnoksella saatuja spektrikuvia. Näissä spektrikuvissa on tavallisesti arvoja nollasta jopa yli arvon 1 6. Suurin osa pisteistä on koko harmaasävyalueeseen nähden pienellä alueella lähellä nollaa. Näin ollen suurin osa pisteistä piirretään samalla tai lähes samalla tummalla harmaasävyllä, ja vain muutama suuri arvo erottuu vaaleana kuvasta. Tämä suurimpien spektriarvojen hallitsevuus kuvassa saadaan kumottua logaritmimuunnosta käyttäen, kuten kuvassa 3.4 on tehty. Useimmat Fourier-muunnoksella saadut spektrikuvat kuvankäsittelyn julkaisuissa on muunnettu juuri logaritmimuunnoksella. Fourier-muunnokseen kuvankäsittelyssä palataan tarkemmin luvussa 4. Muunnosfunktiona voidaan käyttää myös potenssilauseketta T (r) =cr γ, jossa c ja γ ovat positiivisia vakioita. Kuvassa 3.5 on vakion γ eri arvoilla saatuja käyriä. γ =.1 γ =.4 T(r) γ = 1 γ = 2.5 γ = 1 Kuva 3.5: Potenssimuotoinen muunnosfunktio T (r) =r γ muuttujan γ eri arvoilla. r
3.2 Pisteoperaatiot 21 Kun γ < 1, muunnos toimii samantapaisesti kuin logaritmimuunnos eli tummat harmaasävyt kuvautuvat alkuperäistä laajemmalle harmaasävyvälille ja vaaleammat kapeammalle (kuva vaalenee). Jos γ>1, on muunnoksen vaikutus päinvastainen vaaleiden harmaasävyjen kuvautuessa laajemmalle harmaasävyvälille tuloskuvassa (kuva tummenee). Monet kuvantamis-, tulostus- ja näyttölaitteet vääristävät kuvan likimäärin potenssifunktion mukaisesti. Tämän vääristymän korjaamista kutsutaan gammakorjaukseksi. Useimmilla monitoreilla γ on välillä [1.7, 2.7]. Näiden monitorien vaste on siis kuvassa 3.5 arvolla γ =2.5 esitetynkäyrän tietämissä janenäyttävät kuvat täten alkuperäistä tummempina. Jos monitorin gamma on esim. 2.5, niin kuva saadaan näkymään oikein, kun tehdään sille ennen näyttämistä gammakorjaus käyttäen gamman arvona monitorin gamman käänteislukua eli γ =1/2.5 =.4. Kuvassa 3.6 on ylärivissä esitetty alkuperäinen testikuva vasemmalla ja oikealla tämä kuva sellaisena kuin se näkyisi näytettäessä monitorilla, jonka γ =2.5. Alarivissä on vasemmalla alkuperäinen kuva gammakorjattuna (γ =.4) ja oikealla tämä gammakorjattu kuva sellaisena kuin se näkyisi monitorilla. Tämä viimeinen kuva on siis identtinen alkuperäisen kuvan kanssa. Kuva 3.6: Ylärivissä alkuperäinen kuva (vas.) ja se näytettynä monitorilla (γ = 2.5) (oik.), alarivissä alkuperäinen kuva gammakorjattuna (γ =.4) (vas.) ja se näytettynä monitorilla (γ = 2.5) (oik.).
22 Digitaalinen kuvankäsittely I 3.2.1 Histogrammin käsittely Histogrammioperaatiot muodostavat tärkeän pisteoperaatioiden ryhmän. Digitaalisen harmaasävykuvan histogrammi h(r k )=n k, k =, 1,...,L, on diskreetti funktio, joka esittää kuvan eri harmaasävyjen määrää. Tässä muuttuja r k [,L 1] on k:s harmaasävytaso ja n k niiden kuvan pisteiden lukumäärä, joiden harmaasävyarvo on r k. Hyvin usein histogrammi normalisoidaan jakamalla sen arvot kuvan pisteiden kokonaismäärällä n. Näin saadaan normalisoitu histogrammi p(r k ) = n k /n, k =, 1,...,L 1. Kun normalisoidun histogrammin kaikki arvot lasketaan yhteen, tulee niiden summaksi 1. Normalisoitu histogrammi on jatkuva-aikaisen tiheysfunktion diskreetti vastine ja sen arvojen voidaan ajatella olevan harmaasävytasojen esiintymistodennäköisyyksiä. Kuvassa 3.7 on esimerkki, josta voi näkee, miten sama kuva muuttuu, kun sen histogrammia muutetaan. Kunkin kuvan vieressä on esitetty sen histogrammi, jossa vaaka-akselilla ovat harmaasävyt mustasta valkoiseen ja pystyakselilla histogrammin arvot kullekin harmaasävytasolle. Kuvista ylimmässä onmelkohyvä kontrasti, minkä voi huomata myös kuvan histogrammista. Siinä piikit ovat levittäytyneet koko käytettävissä olevalle harmaasävyvälille. Jakauma on melko tasainen, mutta ei kuitenkaan tasajakauma. Tumman kuvan histogrammin piikit ovat keskittyneet harmaasävyasteikon alapäähän ja vaalean kuvan asteikon yläpäähän. Heikkokontrastisella kuvalla näkyy histogrammin keskittyminen kapealle harmaasävyvälille, mikä saa tällaiset kuvat näyttämään tylsän harmailta. Histogrammeja käytetään apuna monissa tilatason kuvankäsittelymenetelmissä. Tässä käsiteltävän kuvien ehostuksen lisäksi histogrammia voidaan käyttää mm. kuvien tiivistyksessäjasegmentoinnissa. 3.2.2 Histogrammin tasoitus Tarkastellaan aluksi jatkuva-aikaista tapausta, koska siinä nähdään havainnollisemmin, mitä histogrammin tasoitus tarkoittaa. Oletetaan, että r on jatkuva muuttuja, joka on normalisoitu välille [, 1], missä r = tarkoittaa mustaa pistettä jar =1 valkoista. Muunnosoperaatio on tuttua muotoa s = T (r) jasenpitää täyttää ehdot: 1. T (r) on yksikäsitteinen ja monotonisesti kasvava välillä r 1ja 2. T (r) 1, kun r 1. Ehdosta 1 seuraa käänteismuunnoksen T olemassaolo ja harmaasävyarvojen keskinäisen järjestyksen säilyminen. Ehto 2 puolestaan takaa, että ulostulon har-
3.2 Pisteoperaatiot 23 1 2 1 2 1 2 1 2 Kuva 3.7: Melko hyva kontrastinen kuva, tumma kuva, vaalea kuva ja heikkokontrastinen kuva seka na iden histogrammit.
24 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 3.8: Esimerkki muunnosfunktiosta. maasävyarvot ovat sallitulla vaihteluvälillä. Kuvassa 3.8 on yksi esimerkki muunnosfunktiosta, joka toteuttaa edelliset ehdot. Kuvan harmaasävyarvot voidaan jatkuvassa tapauksessa nähdä satunnaismuuttujina, jotka saavat arvoja välillä [,1]. Tällöin satunnaismuuttujilla r ja s on tiheysfunktiot p r (r) jap s (s). Jos p r (r) ja T (r) ovat tunnettuja ja T täyttää ehdon 1, niin p s (s) =p r (r) dr ds. (3.1) Kuvankäsittelyssä tärkeä muunnosfunktio on s = T (r) = r p r (w)dw, (3.2) missä w on integrointimuuttuja. Tämä muunnosfunktio on satunnaismuuttujan r kertymäfunktio, joka täyttää edellä annetut ehdot 1 ja 2, ja sille saadaan ds dt (r) = = d [ r ] p r (w)dw = p r (r). dr dr dr Sijoittamalla tämä yhtälöön (3.1) saadaan satunnaismuuttujan s tiheysfunktioksi p s (s) =p r (r) dr ds = p r(r) 1 p r (r) =1, s 1. Tästä muodosta huomataan, että p s (s) on tasajakauman tiheysfunktio tapaukselle, jossasatunnaismuuttujas kuuluu välille [, 1]. Tätenmuunnos (3.2) tuottaatasaisen histogrammin ja vieläpä niin, että p s (s) on aina tasajakautunut täysin riippumatta tiheysfunktion p r (r) muodosta. Diskreetissä tapauksessa, joka digitaalisessa kuvankäsittelyssä onkäsiteltävänä, ei päästä aivan niin ideaaliseen lopputulokseen kuin jatkuvassa. Tällöin tiheysfunktioiden sijaan käsitellään todennäköisyyksiä ja integraalien sijaan summalausekkei-
3.2 Pisteoperaatiot 25 1.75 d b T(r).5 c.25 a 64 128 192 255 r Kuva 3.9: Kaavan (3.3) mukaiset muunnosfunktiot, joilla kuvan 3.7 histogrammit voidaan tasoittaa. ta. Harmaasävytason r k esiintymistodennäköisyys on likimäärin sen arvo normalisoidussa histogrammissa eli p r (r k )= n k, k =, 1,...,L 1. n Muunnosfunktion (3.2) diskreetti vastine on s k = T (r k )= k p r (r j )= j= k j= n j, k =, 1,...,L 1. (3.3) n Tätä muunnosta kutsutaan histogrammin tasoitukseksi (equalization) tai histogrammin linearisoinniksi. Diskreetti muunnos ei yleensä tuota tasaista histogrammia, mutta levittää kuitenkin histogrammin tasaisemmin koko käytettävissä olevalle harmaasävyvälille. Kuvassa 3.9 on esitetty yhtälön (3.3) avulla saadut muunnosfunktiot, joilla kuvan 3.7 kuvien histogrammit voidaan tasoittaa. Näistä nähdään, että ylimmän kuvan muunnos (a) on lähinnä lineaarista muotoa. Kuvassa 3.1 on tasoitettu kuvan 3.7 kuvien histogrammit saatuja muunnosfunktioita käyttäen. Kolmelle alimmalle kuvalle tämä on tuonut huomattavan parannuksen kuvan visuaaliseen laatuun. Ensimmäinen kuvakin parani hieman, koska siinäkin histogrammi tasoittui. Tällä kuvalla kontrasti kuitenkin jo alkujaan oli parempi kuin muilla, joten muutos ei ole niin huomattava kuin muilla kuvilla. Vaikka kaikki tasoitettujen kuvien histogrammit eroavat toisistaan, niin kuvan 3.1 kuvat itsessään näyttävät samanlaisilta.
26 Digitaalinen kuvanka sittely I 1 2 1 2 1 2 1 2 Kuva 3.1: Histogrammin tasoituksella kuvan 3.7 kuvista saadut kuvat ja niiden histogrammit.
3.2 Pisteoperaatiot 27 3.2.3 Histogrammin määräys Histogrammin tasoitus on helppo ehostusmenetelmä, koska siihen ei tarvitse määrittää mitään parametreja vaan muunnosfunktio saadaan automaattisesti. Se on myös hyvin yksinkertainen toteuttaa. On kuitenkin sovelluksia, joissa histogrammin tasoittaminen ei ole paras tapa ehostaa kuvaa sen histogrammia muokaten. Tällöin voidaan tasoittamisen sijaan muokata histogrammi halutun muotoiseksi. Tätä operaatiota kutsutaan histogrammin määräykseksi (specification). Tarkastellaan tässäkin ensin jatkuva-aikaista tapausta samalla tavoin kuin histogrammin tasoituksen yhteydessä. Histogrammin tasoituksessahan saatiin tasainen jakauma muunnoksella s = T (r) = r p r (w)dw, missä p r (r) olialkuperäisen kuvan tiheysfunktio. Jos haluttu harmaasävyarvojen tiheysfunktio on p z (z), niin siitä päästään tasajakaumaan aivan samalla tavoin muunnoksella s = G(z) = z p z (w)dw. Muunnoksen G käänteismuunnoksella G puolestaan saadaan tasajakauman tiheysfunktio muunnettua halutuksi tiheysfunktioksi p z (z). Histogrammi voidaan siis määrätä halutunlaiseksi tekemällä sille ensin histogrammin tasoitus ja sitten käänteismuunnos G eli z = G (s) =G (T (r)). Jatkuvassa tapauksessa käänteismuunnoksen G muodostaminen voi olla hankalaa tai mahdotonta. Tätä ongelmaa ei ole diskreetissä tapauksessa, koska siinä käänteismuunnos voidaan toteuttaa taulukoimalla muunnosarvot kaikille mahdollisille harmaasävyarvoille. Diskreetissä tapauksessa histogrammin tasoitus toteutettiin kaavalla s k = T (r k )= k p r (r j )= j= k j= n j, k =, 1,...,L 1. n Samalla tavoin haluttu histogrammi p z (z i ), i =, 1,...,L 1, saadaan tasoitettua kaavalla k s k = G(z k )= p z (z i ), k =, 1,...,L 1. i= Diskreetissä tapauksessa histogrammin määräys saadaan siis toteutettua kaavalla z k = G (s k )=G (T (r k )), k =, 1,...,L 1.
28 Digitaalinen kuvankäsittely I 1 2 1 2 Kuva 3.11: Esimerkki, jossa histogrammin tasoitus toimii huonosti. Haittapuolena on sama likimääräisyys kuin tasoituksessakin eli diskreetissä tapauksessa saadaan likimain haluttu jakauma histogrammille, mutta ei täsmälleen. Tämä usein lisää käsityötä operaation yhteydessä, kun halutun histogrammin muotoa on muokattava, jotta saatu jakauma muistuttaisi paremmin alkuperäistä haluttua jakaumaa. Kuvan 3.11 ylempi kuva on esimerkki kuvasta, jossa on paljon tummia lähellä nollaa olevia pisteitä. Tällaiselle kuvalle histogrammin tasoitus ei toimi, koska se siirtää tummat pisteet harmaasävyasteikolla liian suuriin arvoihin. Tämä näkyy kuvan 3.11 alemmassa histogrammin tasoituksella saadussa kuvassa varjoisien kohtien harmautena ja tummimpien sävyjen puuttumisena kokonaan. Kuvassa 3.12 on määrätty kuvan 3.11 ylemmän kuvan histogrammi käyttäen kuvan 3.12 funktiota haluttuna histogrammin muotona. Saatu kuva on selvästi parempi kuin histogrammin tasoituksella saatu kuva. Histogrammin haluttu muoto on saatu muokkaamalla muotoa, kunnes tuloskuva on visuaaliselta laadultaan ollut toivotunlainen.
3.2 Pisteoperaatiot 29 Kuva 3.12: Haluttu histogrammin muoto ja tätäkäyttäen histogrammin määräyksellä kuvan 3.11 ylemmästä kuvasta saatu kuva ja sen histogrammi. 3.2.4 Paikallinen ehostus histogrammin avulla Edellä käsitellyt histogrammin muokkaukseen perustuvat menetelmät ovat globaaleja siinä mielessä, että niissä kuvan pisteitä muunnetaan muunnosfunktiolla, joka perustuu koko kuvan harmaasävysisältöön. Joissakin tapauksissa kuitenkin halutaan parantaa kuvan yksityiskohtien erottumista kuvan pienissä osa-alueissa eli paikallisesti. Tällaisen pienen osa-alueen pisteiden vaikutus koko kuvan histogrammiin on vähäinen, joten globaalin muunnoksen avulla ei välttämättä pystytä saamaan aikaan haluttua lopputulosta. Tällöin voidaan toteuttaa histogrammimenetelmä paikallisesti neliön tai suorakaiteen muotoisessa ikkunassa, jonka keskipisteen uusi harmaasävyarvo saadaan ikkunan pisteiden histogrammin avulla. Ikkunassa voidaan tehdä esim. histogrammin tasoitus tai määräys. Kun operaatio toistetaan kaikille kuvan pisteille, saadaan kokonainen käsitelty kuva. Kuvassa 3.13 on esimerkki, jossa kohinaisella taustalla on tumma neliö janeliön sisällä on mustaa kirjoitusta. Kirjoitus oli sävyltään niin lähellä neliön harmaasävyä ja kirjoituksen pisteiden määrä niin vähäinen koko kuvan pisteiden määrästä, että globaali histogrammin tasoitus ei tuo kirjoitusta havaittavaksi. Paikallisella histogrammin tasoituksella 7 7-ikkunaa käyttäen teksti saadaan esille. Paikallisen histogrammin tasoituksen ongelmina ovat operaation vaatima suuri laskenta-aika ja kuvan harmaasävysuhteiden vääristyminen, mikä voi johtaa luonnottomaltanäyttävään lopputulokseen.
3 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 3.13: Alkuperäinen kuva (vas.), globaalilla histogrammin tasoituksella saatu tulos (kesk.) ja paikallisella histogrammin tasoituksella 7 7-ikkunaa käyttäen saatu tulos (oik.). Paikallinen ehostus voi perustua myös joihinkin tilastollisiin suureisiin, jotka saadaan laskettua histogrammista. Tällaisia suureita ovat esim. harmaasävyjen paikallinen keskiarvo ja varianssi. 3.2.5 Aritmeettiset/loogiset operaatiot Aritmeettiset (+,,,/) ja loogiset (,, ) operaatiot suoritetaan kahden tai useamman kuvan välillä pisteittäin (poikkeuksena negaatio, jossa kuvia on yksi). Esimerkiksi laskettaessa kaksi kuvaa yhteen tuloskuvan piste kohdassa (x, y) saadaan laskemalla yhteen näiden kahden kuvan pisteiden harmaasävyarvot tässä kohdassa (x, y). Laskutoimitukset voidaan toteuttaa piste kerrallaan tai rinnakkaislaskennalla, jolloin laskuoperaatiot voidaan suorittaa kaikille kuvan pisteille samanaikaisesti. Loogiset operaatiot suoritetaan samalla tavoin pisteittäin, mutta harmaasävykuville näitä operaatioita suoritettaessa kuvan pisteiden arvoja käsitellään binaarilukujonoina. Tällöin esimerkiksi negaatio 8-bittisen kuvan mustalle pisteelle tuottaa valkoisen pisteen eli () = (11111111). Toisena esimerkkinä harmaasävyarvojen (1111) ja (111) konjunktio tuottaa harmaasävyarvon (11). Loogisten operaatioiden, ja avulla saadaan toteutettua kaikki muut loogiset operaatiot. Kuvassa 3.14 on esimerkki - ja -operaatioiden käyttämisestä kuvan osan erottamiseen ympäristöstään. -operaation tapauksessa mielenkiintoalue kuvan kokoisessa maskissa asetetaan valkoiseksi ja -operaation tapauksessa mustaksi. Näiden operaatioiden tuloksena saatavat kuvat ovat muuten samanlaiset, mutta toisessa tausta on musta ja toisessa valkoinen. Taustan erilaisuus saa erotetut osakuvat näyttämään erilaisilta simultaanikontrastin vaikutuksesta.
3.2 Pisteoperaatiot 31 Kuva 3.14: Vasemmalla on alkuperäinen kuva (ylh.), -maski (kesk.) ja edellisten kuvien konjunktio (alh.). Oikealla on alkuperäinen kuva (ylh.), -maski (kesk.) ja edellisten kuvien disjunktio (alh.).
32 Digitaalinen kuvankäsittely I Neljästä aritmeettisesta operaatiosta vähennys- ja yhteenlasku ovat tärkeimmät kuvan ehostuksessa. Kuvien f(x, y) jah(x, y) erotuskuva g(x, y) saadaan kaavalla g(x, y) =f(x, y) h(x, y). Jos kuvat f(x, y) jah(x, y) ovat 8-bittisiä harmaasävykuvia voivat erotuskuvan arvot olla välillä [ 255, 255], joten tarvitaan arvojen skaalausta, jotta myös tuloskuva saadaan esitettyä 8-bittisenä harmaasävykuvana. Tämä tehdään useimmiten toisella seuraavista tavoista: 1) Lisätään erotuskuvan jokaisen pisteen arvoon 255, jaetaan kahdella ja pyöristetään saatu tulos kokonaisluvuksi. 2) Etsitään erotuskuvasta minimiarvo (Min) ja maksimiarvo (Max). Vähennetään Min erotuskuvan jokaisen pisteen arvosta, kerrotaan luvulla 255/(Max Min) ja pyöristetään saatu tulos kokonaisluvuksi. Erotuskuvia käytetään pääasiasiassa muutosten tai liikkeen havaitsemiseen kuvasarjoista. Näin voidaan seurata esim. varjoaineen etenemistä verenkierrossa tai saadaan segmentoitua kuvasta liikkuva kohde. Erotuskuvasta voidaan tarkastella myös kuinka paljon kuvaan on tullut virhettä alkuperäiseen nähden esim. häviöllisen pakkauksen seurauksena. Virhekriteereistäpaljonkäytettyjäovatkeskivirhe (MAE, mean absolute error) eli erotuskuvan arvojen itseisarvojen keskiarvo ja keskineliövirhe (MSE, mean square error) eli erotuskuvan arvojen neliöiden keskiarvo. Kuvien yhteenlaskun tärkein käyttökohde on kohinan vähentäminen keskiarvottamalla useita samasta kohteesta otettuja kuvia. Oletetaan additiivinen kohinamalli g(x, y) =f(x, y)+η(x, y), missä kohinaη(x, y) on korreloimatonta ja nollakeskiarvoista. Jos meillä onjoukko tällaisia kohinaisia kuvia g i (x, y), i =1, 2,...,K, niin kohinan vaikutusta voidaan pienentää laskemalla näiden kuvien keskiarvokuva ḡ(x, y) = 1 K g i (x, y). K Keskiarvokuvan odotusarvo on E{ḡ(x, y)} = f(x, y) ja varianssi σḡ(x,y) 2 = 1 K σ2 η(x,y), missä ση(x,y) 2 on kohinan varianssi. Näistä nähdään, että kuvien lukumäärän K kasvaessa varianssi pienenee ja keskiarvokuva lähestyy kohinatonta kuvaa f(x, y). Kuvassa 3.15 on esimerkki kohinan vaimentamisesta keskiarvottamisella. Siinä vasemmalla olevaan alkuperäiseen kuvaan on lisätty korreloimatonta ja nollakeskiarvoista kohinaa satunnaisesti. Tämä on toistettu samalle kuvalle kymmenen kertaa. Keskellä näkyy yksi kohinaisista kuvista ja oikealla on kymmenen tällaisen kohinaisen kuvan keskiarvona saatu kuva, jossa voidaan nähdä kohinan huomattava vähentyminen. Käytännössä on yleensä vaikea saada samasta kohteesta useita kuvia ilman pientä liikettä joko kuvantamisjärjestelmässä tai kuvattavassa kohteessa. Tällöin kuvat joudutaan kohdistamaan ja virheiden mahdollisuus kasvaa. Keskiarvottaminen on kuitenkin erityisen hyödyllinen astronomiassa, jossa yksittäiset kuvat usein ovat analyysitarkoituksiin lähes käyttökelvottomia korkean kohinatasonsa vuoksi. i=1
3.3 Suodatusoperaatiot 33 Kuva 3.15: Alkuperäinen kuva (vas.), yksi kohinainen kuva (kesk.) ja kymmenen kohinaisen kuvan keskiarvo(oik.). 3.3 Suodatusoperaatiot Naapuruston koon ollessa suurempi kuin yksi piste ovat tilatason ehostusmenetelmät suodatus- eli maskioperaatioita. Tällöin käytössä on naapuruston kokoinen maski (ikkuna, templaatti, suodin). Maskin arvoja kutsutaan suotimen kertoimiksi ja yleinen tapa on indeksoida nämä kertoimet kuvan 3.16 mukaisesti riveittäin alkaen ylhäältä vasemmalta. Jos maskin koko on m n, niin kertoimet ovat w i, i = 1, 2,...,n m. Kuvaa suodatettaessa maski kulkee koko kuvan yli tavallisimmin riveittäin alkaen vasemmasta yläkulmasta. Kuvan piste kohdassa (x, y), jota ollaan suodattamassa, on yleensä maskin keskipisteen kohdalla. Maskin ollessa w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 Kuva 3.16: 3 3-maskin kertoimien indeksointi.
34 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 3.17: 3 3-kokoisen maskin alle jäävän kuva-alueen indeksointi. esim. 3 3-kokoinen jäävät sen alle kuvan pisteen (x, y) 3 3-naapuruston pisteet, joiden harmaasävyarvot ovat f(x 1,y 1),f(x 1,y),f(x 1,y +1),f(x, y 1),f(x, y),f(x, y +1),f(x +1,y 1),f(x +1,y)jaf(x +1,y + 1). Kuvassa 3.17 on esitetty maskin alle jäävän kuva-alueen indeksointi. Joskus nämä arvot indeksoidaan samaan tapaan kuin maskin arvot. Tällöin edellä olevia naapuruston pisteiden harmaasävyarvoja merkitään z 1,z 2,...,z 9 samassa järjestyksessä kuin ne edellä annettiin. Jos mille tahansa kuville f ja g sekä kertoimille a ja b on voimassa yhtälö H(af + bg) =ah(f)+bh(g), niin operaatio H on lineaarinen operaatio. Muussa tapauksessa H on epälineaarinen operaatio. Lineaarinen suodatus m n-kokoisella maskilla voidaan kirjoittaa muodossa mn z = w 1 z 1 + w 2 z 2 + + w mn z mn = w i z i, missä z on suodatun kuvan pisteen harmaasävyarvo kohdassa (x, y). Vektorinotaatiolla sama voidaan kirjoittaa muodossa z = w T z,missä w ja z ovat maskin kertoimista ja kuvaympäristöstä muodostetut pystyvektorit. Keskiarvon laskeminen on lineaarinen operaatio, joten 3 3-keskiarvosuodin voidaan kirjoittaa muodossa z = 1 9 z i, 9 missä kaikki maskin kertoimet ovat identtisiä ja arvoltaan 1/9. Yleisemmin m n- keskiarvosuodin on muotoa z = 1 mn z i. mn i=1 i=1 i=1
3.3 Suodatusoperaatiot 35 Maskioperaatioissa täytyy erikseen päättää, miten kuvan reuna-alueet käsitellään, eli miten toimitaan silloin, kun osa maskista on kuvan ulkopuolella. Yleisiä ratkaisutapoja ovat mm. seuraavat: 1) Maski kulkee kuvassa vain sen alueen, johon se mahtuu kokonaisuudessaan, jolloin suodatettu kuva on alkuperäistä kuvaa pienempi. 2) Pienennetään maskia kuvan reuna-alueilla niin, että se sisältää aina vain kuvan sisällä olevat pisteet. 3) Lisätään kuvan ulkopuolelle riittävämäärä nollia tai monistetaan tai peilataan kuvan reuna-alueelta arvoja sen ulkopuolelle. Kohta 1) on tavallisin ja yksinkertaisin ratkaisutavoista, mutta joissakin sovelluksissa kuvakoon on säilyttävä samana, jolloin käytössä ovat muut ratkaisutavat. 3.3.1 Pehmennys tilatason suodatuksella Pehmentäviä suotimiakäytetään kuvien sumentamiseen ja kohinan poistoon. Sumentamista käytetään yleensä kuvienesikäsittelyssä ennen muita operaatioita, kuten esim. estämään laskostumista kuvan pienentämisessä taivähentämään yksityiskohtien vaikutusta haluttaessa löytää suurempia kohteita kuvasta. Pehmennys voidaan toteuttaa lineaarisia tai epälineaarisia suotimia käyttäen. Aliluvussa 3.2.5 näytettiin, kuinka kohinaa voitiin poistaa piste-ehostuksella, jos on olemassa joukko kuvia samasta kohteesta. Sovelluksissa tällainen tilanne on kuitenkin harvinainen, joten kohinan poisto tavallisemmin tehdään pehmentävillä suotimilla. Keskiarvosuodin on pehmentävä suodin. Se on alipäästösuodin, joka kohinan lisäksi sumentaa kuvasta ikävä kyllä myös yksityiskohdat ja reunat. Käytetyn maskin koko määrää sumentumisen asteen; mitä suurempi maski on, sitä voimakkaampaa on sumentuminen. Kuvassa 3.18 on keskiarvosuodatettu testikuva n n-maskeilla, joissa n =3, 5, 7, 9, 15. Siinänäkyy hyvin, kuinka sumentuminen lisääntyy maskin koon kasvaessa. Kohinaisista suorakulmioista näkee, miten maskin koon kasvaessa kohina vähenee.
36 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 3.18: Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen testikuva ja keskiarvosuodatuksen tulokset n n-maskeilla, kun n =3, 5, 7, 9, 15.
3.3 Suodatusoperaatiot 37 1 2 1 1 17 2 5 2 1 2 1 Kuva 3.19: Esimerkki painotetun keskiarvon 3 3-maskista. Keskiarvosuotimessa kaikilla naapuruston pisteillä on yhtä suuri vaikutus tuloksena olevaan arvoon. Voidaan kuitenkin ajatella, että mitälähempänä suodatuksen kohteena olevaa pistettä ollaan, niin sitä suurempi pisteen harmaasävyarvon vaikutuksen pitäisi olla lopputulokseen. Tätä ajatusta toteuttaa sellainen painotettu keskiarvosuodin, jossa keskimmäinen maskin kerroin on suurin ja keskikohtaa lähempänä olevat kertoimet ovat suurempia kuin kauempana olevat. Kuvassa 3.19 on yksi esimerkki tällaisesta maskista. Tällä maskilla tuloskuvan pisteen (x, y) harmaasävyarvoksi saadaan z = 1 17 (z 1 +2z 2 + z 3 +2z 4 +5z 5 +2z 6 + z 7 +2z 8 + z 9 ). Suodatettavana olevan pisteen suurempi paino vähentää sumentumista, mutta samalla heikentää suotimen kohinanpoistokykyä. Epälineaarisista suotimista tilatason pehmennykseen sopivat mm. järjestysfunktioon perustuvat suotimet (order-statistics filters). Näissä suotimen ikkunan sisälle jäävät kuvan arvot järjestetään suuruusjärjestykseen ja tästä järjestyksestä valitaan i:s arvo. Jos i =(mn +1)/2, valitaan järjestetyistä näytteistä keskimmäinen, jolloin kyseessä on mediaanisuodin. Mediaanisuodin on hyvin suosittu suodin ja sillä saadaankin tehokkaasti poistettua impulsiivista kohinaa, jota kutsutaan myös suolapippuri kohinaksi. Nimitys tulee siitä, että tämä kohina koostuu mustista ja valkoisista pisteistä, joilla jokin prosenttiosuus kuvan pisteistä on korvattu satunnaisesti. Mediaanisuotimella suodatettaessa kuva sumentuu huomattavasti vähemmän kuin samankokoisella lineaarisella suotimella suodatettaessa. Mediaanisuodin säilyttää yksityiskohdat ja reunat paremmin kuin lineaariset suotimet, mutta poistaessaan impulsseja se poistaa myös kaikkein pienimmät yksityiskohdat kohdellen niitä kohinana. Kuvassa 3.2 on suodatettu impulsiivista kohinaa sisältävä kuvasekä3 3- mediaanilla että -keskiarvolla. Mediaanilla saatu tulos on ylivoimaisesti keskiarvolla saatua parempi. Keskiarvosuodatus on levittänyt impulssien vaikutuksen naapuripisteisiin samalla kyllä tuoden impulssin sisältävän pisteen arvon lähemmäksi muita kuvan arvoja. Mediaanisuodatus taas on poistanut suurimman osan impulsseista ja suodatustulos on miellyttävä katsella.
38 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 3.2: Impulsiivista kohinaa sisältäväkuva(vas.)sekä3 3-keskiarvosuotimella (kesk.) ja 3 3-mediaanisuotimella (oik.) saadut suodatustulokset. Vaikka mediaanisuodin on yleisimmin käytetty järjestysfunktioon perustuvista suotimista, se ei ole näistä suotimistaainoakäyttökelpoinen. Myös muut i:n arvot kuin keskimmäinen, ääritapauksina minimisuodin (i = 1) ja maksimisuodin (i = mn), ovat erilaisissa sovelluksissa käyttökelpoisia. 3.3.2 Terävöittäminen tilatason suodatuksella Kuvan terävöittämisessä tavoitteena on korostaa kuvan yksityiskohtia tai saada sumentuneen kuvan yksityiskohdat terävöitymään. Kyseessä on siis päinvastainen pyrkimys kuin edellisen aliluvun pehmennys. Terävöittämisessä korostetaan kuvan pisteiden välisiäeroja,mikä onnistuu esimerkiksi käyttämällä apuna derivaattoja. Koska digitaalisten kuvien tapauksessa käsittelyssä ovat diskreetit signaalit, käytetään derivaattojen sijaan differenssejä. Tarkastellaan ensin yksiulotteista tapausta, jossa signaali on muotoa f(x). Ensimmäisen asteen differenssin pitäisi täyttää seuraavat ehdot: 1) saa arvon nolla vakioarvoisilla alueilla ja 2) eroaa nollasta askel- jaramppireunan alussa sekä ramppireunalla. Käytetyin edelliset ehdot täyttävä ensimmäisen asteen differenssin määritelmä on df = f(x +1) f(x) dx eli signaalin peräkkäisten näytteiden erotus. Toisen asteen differenssiltä vaadittavat ominaisuudet puolestaan ovat seuraavat: 1) saa arvon nolla vakioarvoisilla alueilla ja vakiokulmakertoimisella ramppireunalla ja 2) eroaa nollasta askel- ja ramppireunan alussa ja lopussa. Käytetyin määritelmä toisen asteen differenssille saadaan toistamalla ensimmäisen asteen differenssioperaatio kaksi kertaa signaalille eli d 2 f = f(x +1) f(x) [f(x) f(x 1)] = f(x +1)+f(x 1) 2f(x). dx2
3.3 Suodatusoperaatiot 39 piste ohut viiva askel ramppi Kuva 3.21: Ylhäällä testikuva ja siitä impulssin sisältävän vaakarivin poikkileikkaus. Alla poikkileikkauksen yksinkertaistus sekä sen ensimmäisen ja toisen asteen differenssit. Kuvassa 3.21 on yksinkertainen testikuva ja sen impulssin sisältävä vaakarivi yksiulotteisena signaalina. Näiden alla on yksinkertaistus signaalista, jossa harmaasävytasojen määrääonvähennetty alkuperäisestäsekätämän signaalin ensimmäisen ja toisen asteen differenssit. Useimmissa tapauksissa toisen asteen differenssi on käyttökelpoisempi, koska sillä on voimakkaampi vaste pieniin yksityiskohtiin. Kaksiulotteisessa tapauksessa derivaatan pitäisi olla sellainen, että seonisot- rooppinen eli suunnasta riippumaton. Jatkuvassa tapauksessa yksinkertaisin isotrooppinen toisen asteen derivaattaoperaattori on Laplace-operaattori 2 f(x, y) = 2 f x + 2 f 2 y. 2 Koska derivointi on lineaarinen operaatio, niin myös Laplace-operaattori on lineaarinen.
4 Digitaalinen kuvankäsittely I Digitaalisia kuvia käsitellessä tarvitaan diskreetti approksimaatio Laplace-operaattorille. Sellainen saadaan esim. käyttämällä x- ja y-suuntiin edellä määriteltyä toisen asteen differenssiä. Tällöin x-suuntaan saadaan 2 f = f(x +1,y)+f(x 1,y) 2f(x, y) x2 ja y-suuntaan 2 f = f(x, y +1)+f(x, y 1) 2f(x, y). y2 Näiden summana saadaan diskreetiksi approksimaatioksi Laplace-operaatiolle muoto 2 f(x, y) =f(x +1,y)+f(x 1,y)+f(x, y +1)+f(x, y 1) 4f(x, y), joka voidaan toteuttaa kuvan 3.22 ylärivin vasemmanpuoleisen maskin avulla. Tällä approksimaatiolla isotrooppisuus toteutuu vain käännettäessä maskia 9 asteen lisäyksin. Jos halutaan diagonaalisuunnatkin mukaan isotrooppisuuteen, niin voidaan käyttää kuvan 3.22 ylärivin oikeanpuoleista maskia. Tällöin isotrooppisuus toteutuu 45 asteen lisäyksin. Maskit voidaan antaa myös muodossa, jossa kertoimet ovat kuvan 3.22 ylärivin maskien kertoimien vastalukuja. Nämä maskit on esitetty kuvan 3.22 alarivissä. Tällöin on kuitenkin seuraavissa kuvalle tehtävissä operaatioissa huolehdittava, että yhteenlaskun sijasta käytetään vähennyslaskua ja päinvastoin. Laplace-operaattorilla saadussa kuvassa näkyvät siis vain kuvassa esiintyvät vaihtelut eli yksityiskohdat ja reunat. Kuvan terävöittämiseksi Laplace-operaattorilla saatu tulos vähennetään alkuperäisestä kuvasta, jos on käytetty kuvan 3.22 ylärivin maskeja.jos käytössä ovat alarivin maskit, niin vähennyslaskun sijaan käytetään yhteenlaskua. Toteutettaessa on kuitenkin turhaa tehdä ensin Laplace-operaatio ja 1 1 4 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 4 8 Kuva 3.22: Laplace-operaation toteutusmaskeja.
3.3 Suodatusoperaatiot 41 5 9 Kuva 3.23: Laplace-terävöityksen toteutusmaskeja. sitten kuvien vähennys- tai yhteenlasku, koska nämä voidaan yhdistää yhdeksi operaatioksi. Tällöin käytetään jompaakumpaa kuvan 3.23 maskeista. Näistä vasemmanpuoleisessa on terävöitys vaaka- ja pystysuuntiin ja oikeanpuoleisessa näiden lisäksi myös diagonaalisuuntiin. Kuvassa 3.24 on terävöitetty vasemmalla oleva kuva kuvan 3.23 vasemmanpuoleisella maskilla. Kuva on selvästi terävöitynyt, minkä voi huomata hyvin esim. kuvassa olevasta harkkoseinästä. Yksi tapa terävöittää kuvia on vanha filmivalokuvien terävöintimenetelmä eli epäterävä maskaus. Siinä alkuperäinen kuva alipäästösuodatetaan ja tämä pehmennetty kuva vähennetään alkuperäisestä kuvasta.tällöin saadaan alkuperäistä kuvaa terävämpi ylipäästösuodatettu kuva f s (x, y) kaavalla f s (x, y) =f(x, y) f(x, y), missä f(x, y) on kuvan f(x, y) pehmennetty versio. Tätä voidaan vielä yleistää lisäämällä alkuperäiselle kuvalle positiivinen kerroin A, jolloin puhutaan korkei- Kuva 3.24: Alkuperäinen kuva (vas.) ja kuvan 3.23 vasemmanpuoleisella Laplaceterävöittäjällä terävöitetty kuva (oik.).
42 Digitaalinen kuvankäsittely I A +4 A +8 Kuva 3.25: High-boost-suodatuksen maskeja. den taajuuksien korostamisesta eli high-boost-suodatuksesta. Yhtälömuodossa voidaan kirjoittaa f hb (x, y) =Af(x, y) f(x, y) =(A 1)f(x, y)+f s (x, y), missäterävöitetty kuva f s (x, y) voi olla aikaansaatu myös Laplace-operaattorin avulla, jolloin voidaan käyttää kuvan 3.25 maskeja. Tämä ehostusmenetelmä sopiihyvin terävöittämään liian tummia kuvia. Kuvassa 3.26 on esimerkki tumman kuvan high-boost-suodatuksesta kuvan 3.25 vasemmanpuoleisella maskilla, jossa A =1.1. Kuva on vaalentunut ja terävöitynyt suodatuksella, mutta samalla tästä esimerkistä voi huomata, kuinka kuvassa oleva kohina on myös voimistunut. Kuva 3.26: Alkuperäinen kuva (ylh.) ja kuvan 3.25 vasemmanpuoleisella maskilla (A = 1.1) high-boost-suodatettu kuva (alh.).
3.3 Suodatusoperaatiot 43 Myös ensimmäisellä derivaatalla on käyttöä kuvien ehostuksessa. Sen avulla voidaan vahvistaa kuvassa esiintyviä reunoja. Gradienttivektori määritellään seuraavasti [ ] [ f ] Gx x f = = G f y y ja sen pituus on f = ( f ) 2 G 2 x + G 2 y = + x ( ) 2 f. y Laskennallisesti tämä ontyöläs operaatio toteuttaa koko kuvalle, joten tavallisesti käytetään approksimaatiota f G x + G y. (3.4) Tämä on huomattavasti yksinkertaisempi laskea ja antaa suhteellisen hyvän approksimaation. Kuten edellä Laplace-operaattorille, niin myös gradientille on diskreetissä tapauksessa käytettävä jotain sopivaa approksimaatiota. Luvun alussa annettiin yksinkertaisin määritelmäensimmäisen asteen differenssille, jonka avulla saadaan x- suuntaan G x = f(x +1,y) f(x, y) ja y-suuntaan G y = f(x, y +1) f(x, y). Muita yleisesti käytettyjä approksimaatioita ovat Robertsin ristigradientti ja Sobel-operaattorit G x = f(x +1,y+1) f(x, y), G y = f(x +1,y) f(x, y +1) G x = f(x +1,y 1) + 2f(x +1,y)+f(x +1,y+1) [f(x 1,y 1) + 2f(x 1,y)+f(x 1,y+1)], G y = f(x 1,y+1)+2f(x, y +1)+f(x +1,y+1) [f(x 1,y 1) + 2f(x, y 1) + f(x +1,y 1)]. Näiden toteuttamisessa käytettävät maskit on näytetty kuvassa 3.27 ja kuvassa 3.28 näkyy, miten reunat tulevat näkyviin Sobel-operaattoria käyttäen. Tässä kuvassa keskellä ovat kuvan 3.27 alimmilla maskeilla saadut tulokset (käänteisessä järjestyksessä) ja alimpana edellisistä kaavan (3.4) mukaisesti yhdistämällä saatu gradientti. Jos terävöitysmenetelmiä käytetään reunantunnistukseen, niin saadut kuvat tavallisimmin kynnystetään sopivalla kynnysarvolla, minkä jälkeen reunat vielä ohennetaan yhden pisteen paksuisiksi. Käytännön sovelluksissa eri ehostusmenetelmiä yhdistellään ja hyvän ehostustuloksen saamiseksi voidaan joutua suorittamaan useitakin eri operaatioita.
44 Digitaalinen kuvankäsittely I 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 Kuva 3.27: Ensimmäisen asteen differenssien (ylh.), Robertsin ristigradientin (kesk.) ja Sobel-gradientin (alh.) toteutusmaskit. Kuva 3.28: Alkuperäinen kuva (ylh.), Sobel-operaattorilla y-suuntaan (vas.) ja x- suuntaan (oik.) saatujen tulosten itseisarvot sekä näistä kaavalla (3.4) saatu Sobelgradientti (alh.).