LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunta Konetekniikan koulutusohjelma BK10A0401 Kandidaatintyö ja seminaari VÄÄNTÖRASITETUN RAKENNEOSAN EURONORMIIN PERUSTUVA KESTÄVYYSLASKENTAYHTÄLÖIDEN JOHTAMINEN DEVELOPMENT OF DESIGN RULES FOR MEMBERS SUBJECT TO TORSION ACCORDING TO EUROCODE Lappeenrannassa 24.9.2012 Saila Putkinen
2 SISÄLLYSLUETTELO SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLILUETTELO 1 JOHDANTO... 6 2 TAVOITE... 7 3 VÄÄNTÖMOMENTIN KAPASITEETTI... 8 3.1 Kimmotila... 8 3.2 Plastinen rajatila... 10 3.3 Väännön ja muiden voimasuureiden interaktiot... 16 3.4 Vääntöesimerkki... 20 4 TULOSTEN TARKASTELU JA VERTAILU... 31 5 YHTEENVETO... 32 LÄHTEET... 34
3 SYMBOLILUETTELO A Poikkileikkauksen pinta-ala [mm 2 ] A v Leikkauspinta-ala [mm 2 ] A f Yhden laipan pinta-ala [mm 2 ] A w Uuman pinta-ala [mm 2 ] B Ed Bi-momentti [Nmm 2 ] b Poikkileikkauksen kokonaisleveys [mm] E Kimmokerroin [MPa] F x F y X-akselin suuntainen kuormitus [N] Y-akselin suuntainen kuormitus [N] f y Myötöraja [N/mm 2 ] f yr Pienennetty myötöraja [N/mm 2 ] F z G h h f h w Z-akselin suuntainen kuormitus [N] Liukukerroin [MPa] Poikkileikkauksen kokonaiskorkeus [mm] Laippojen keskipisteiden etäisyys [mm] Uuman korkeus [mm] I v Vapaan väännön vääntöneliömomentti [mm 4 ] I w Käyristymisjäyhyys [mm 6 ] I y Neliömomentti y-akselin suhteen [mm 4 ] k Vääntökarakteristika [1/mm] L Profiilin pituus [mm] M Ed M el,rd M pl,rd m 0 R r Taivutusmomentti [Nmm] Kimmoteorian mukainen taivutuskestävyys [Nmm] Plastisuusteorian mukainen taivutuskestävyys [Nmm] Jakautunut vääntömomenttikuorma pituusyksikköä kohti [N] Isomman ympyrän säde [mm] Nurkan pyöristyssäde [mm]
4 r t r s Pisteen z-suuntainen etäisyys vääntökeskiöstä [mm] Pienemmän ympyrän säde [mm] S Sektoriaalinen staattinen momentti [mm 4 ] s Pisteen y-suuntainen etäisyys vääntökeskiöstä [mm] T Ed T t,ed T w,ed t f t w Kokonaisvääntömomentti [Nmm] Vapaan väännön vääntömomentti [Nmm] Estetyn väännön vääntömomentti [Nmm] Laipan paksuus [mm] Uuman paksuus [mm] u Käyttöaste [-] u Pituussuuntaisen paikallisen jännityksen käyttöaste [-] u, Käyttöaste Von Misesin hypoteesin mukaan [-] u Paikallisen leikkauskestävyyden käyttöaste [-] V Ed V pl,rd V pl,t,rd Leikkausvoiman mitoitusarvo [N] Leikkauskestävyyden mitoitusarvo [N] Redusoitu leikkauskestävyyden mitoitusarvo [N] W el,y Kimmoteorian mukainen taivutusvastus [mm 3 ] W pl Plastisuusteorian mukainen taivutusvastus [mm 3 ] γ M0 Poikkileikkauskestävyyden osavarmuusluku [-] η Numeerinen korjauskerroin [-] ρ Taivutusmomenttikestävyyden mitoitusarvon pienennystekijä ottaen huomioon leikkausvoiman vaikutus [-] el,rd Taivutusnormaalijännitys [N/mm 2 ] w,ed Aksiaalinen jännitys [N/mm 2 ] x,ed Pituussuuntaisen paikallisen jännityksen mitoitusarvo [N/mm 2 ] Vääntökulma [rad] 0 Yksityisratkaisu [-] Ed Paikallisen leikkausjännityksen mitoitusarvo [N/mm 2 ] t,ed Vapaan väännön aiheuttama leikkausjännitys [N/mm 2 ]
5 w,ed Estetyn väännön aiheuttama leikkausjännitys [N/mm 2 ] sektoriaalinen koordinaatti [mm 2 ]
6 1 JOHDANTO Kappaleeseen syntyy vääntörasitusta, kun kuormitus ei kohdistu poikkileikkauksen vääntökeskiöön. Väännön differentiaaliyhtälö on: jossa E on kimmokerroin, I w käyristymisjäyhyys, vääntökulma, G liukukerroin, I v vapaan väännön vääntöneliömomentti ja m 0 jakautunut vääntömomenttikuorma pituusyksikköä kohti. Yhtälön 1 ensimmäinen termi kuvaa estettyä vääntöä T w,ed ja toinen termi vapaata vääntöä T t, Ed. Estetty ja vapaa vääntö on esitetty kuvassa 1. Eurocoden mukaan voidaan yksinkertaistuksena kuitenkin estetty vääntö jättää huomioimatta suljetun putkipoikkileikkauksen tapauksessa (esim. rakenneputket) ja vapaa vääntö avointen poikkileikkausten tapauksessa (esim. I- ja H-poikkileikkaukset) (SFS-EN 1993-1-1, s. 56). Kuva 1. Sauvan vapaa vääntö (a) ja estetty vääntö (b) (Tekniikan käsikirja 1, 1973, s. 86)
7 Tutkimustyö tehdään, koska Eurocodessa ei ole muutamaa poikkeusta lukuun ottamatta selkeitä ohjeita väännön huomioonottamiselle, kun poikkileikkausta kuormitetaan muilla voimakomponenteilla. Laskennassa käytetään pääsääntöisesti Eurocoden mukaisia ohjeita, mutta niiden puuttuessa sovelletaan jotain muuta yleisesti hyväksyttyä menetelmää. Kappaleessa 3 käsitellään vääntömomenttia ja siitä aiheutuvia jännityksiä. Kappaleessa 3.1 käsitellään jännitysten laskentaa kimmotilassa ja kappaleessa 3.2 plastisessa tilassa. Väännön yhdistäminen muihin jännityksiin esitetään kootusti kappaleessa 3.3. Esityksen selventämiseksi on kappaleessa 3.4 laskuesimerkki vääntötapauksesta. Kappaleessa 4 tarkastellaan saatuja tuloksia. 2 TAVOITE Tavoitteena on selvittää vapaan väännön (St. Venantin väännön) ja estetyn väännön vaikutus I-, H-, RHS-, CHS- ja U-profiileille, kun profiilia kuormitetaan lisäksi muilla voimakomponenteilla, kuten aksiaalisella voimalla, leikkausvoimalla tai taivutusmomentilla. Laskennassa käytetään poikkileikkausluokkia 1-3 soveltuvin osin. Tavoitteena on saada poikkileikkauksen kuormituskapasiteetti mahdollisimman tarkoin hyödynnetyksi. Työn tuloksena saadaan yhtälömuotoinen ratkaisu erilaisille kuormitusyhdistelmille, kuten vääntö yhdistettynä vetoon/puristukseen tai taivutukseen. Työhön kuuluu myös lujuuslaskentaohjelman tulosten verifiointi.
8 3 VÄÄNTÖMOMENTIN KAPASITEETTI Kokonaisvääntömomentin T Ed avulla voidaan määrittää vapaan väännön T t,ed väännön T w,ed arvot seuraavasti (SFS-EN 1993-1-1, s. 56): ja estetyn Vapaa vääntö T t,ed aiheuttaa leikkausjännityksen t,ed, estetty vääntö T w,ed leikkausjännityksen w,ed ja bi-momentti B Ed aksiaalisen jännityksen w,ed (SFS-EN 1993-1-1, s. 56). Väännöstä aiheutuvat jännitykset ovat (Lehtinen, 2005, s. 68): missä t on tarkasteltavan profiilin seinämän paksuus, S ω sektoriaalinen staattinen momentti ja ω sektoriaalinen koordinaatti 3.1 Kimmotila Kappaleeseen kohdistuessa yksinään veto-, puristus- tai leikkausrasitus murtuu kappale, kun jännitys ylittää aineen veto-, puristus- tai leikkauslujuuden. Nämä lujuudet voidaan määrittää kokeellisesti. Yhdistetyssä jännitystapauksessa, kuten yhtäaikaisten normaali- ja leikkausjännityksien aiheuttamassa tasojännitystilassa, pyritään rakenteiden lujuus ja kantokyky selvittämään lujuushypoteeseilla. Yleispätevin ja siksi eniten käytetty näistä
9 hypoteeseista on vakiomuodonvääristymis-energiahypoteesi (VMVEH) eli Von Misesin hypoteesi (esim. Saarineva, 2007, luku 9.2). Yhdistämällä väännön aiheuttamat jännitykset Von Misesin hypoteesilla saadaan (SFS-EN 1993-1-1, s. 48): (6) jossa f y on myötöraja ja γ M0 poikkileikkauskestävyyden osavarmuusluku poikkileikkausluokasta riippumatta. Käyttöasteeksi u, Von Misesin hypoteesin mukaan saadaan (SFS-EN 1993-1-1, s. 48): (7) missä x,ed on pituussuuntaisen paikallisen jännityksen mitoitusarvo ja Ed paikallisen leikkausjännityksen mitoitusarvo. Pituussuuntaisen paikallisen jännityksen käyttöaste u voidaan laskea seuraavasti (SFS-EN 1993-1-1, s. 48): (8) Paikallisen leikkauskestävyyden käyttöaste u voidaan laskea seuraavasti, ellei sovelleta standardin EN 1993-1-5 mukaisia ehtoja leikkauslommahdukselle (SFS-EN 1993-1-1, s. 55): (9)
10 Kimmotilan mukaisessa mitoituksessa käyttöaste lasketaan yhtälöllä, joka tuottaa suurimman käyttöasteen. Jotta rakenne kestäisi kuormituksen, on käyttöasteen oltava pienempi kuin yksi. 3.2 Plastinen rajatila Kun lasketaan plastista leikkauskestävyyttä ja leikkausvoima sekä vääntömomentti vaikuttavat yhtä aikaa, otetaan vääntö huomioon redusoimalla leikkauskestävyys V pl,rd arvoon V pl,t,rd. (SFS-EN 1993-1-1, s. 56-57) V pl,t,rd lasketaan seuraavasti (SFS-EN 1993-1-1, s. 56-57): - I- ja H-profiileille (10) - U-profiileille (11) - Rakenneputkille (12) missä leikkauskestävyys V pl,rd lasketaan seuraavasti (SFS-EN 1993-1-1, s. 54): (13)
11 Leikkauspinta-ala A v lasketaan eri profiileille seuraavasti (SFS-EN 1993-1-1, s. 54-55): - Valssatuille I- ja H-profiileille, joita kuormitetaan uuman suunnassa (14) Kuva 2. Uuman suunnassa kuormitettujen valssattujen I- ja H-profiilien leikkauspinta-ala. - Valssatuille U-profiileille, joita kuormitetaan uuman suunnassa (15) Kuva 3. Uuman suunnassa kuormitetun valssatun U-profiilin leikkauspinta-ala. - Hitsatuille I-, H-, ja koteloprofiileille, joita kuormitetaan uuman suunnassa
12 (16) Numeerisena korjauskertoimena η Eurocodessa suositellaan käytettävän arvoa 1,20 ja lujemmille teräksille kuin S460 arvoa 1,00. Kansallisessa liitteessä voi kuitenkin olla poikkeuksia arvoihin. (SFS-EN 1993-1-5, s. 23) Suomen kansallisen liitteen mukaan numeerisena korjauskertoimena η käytetään Eurokoodissa suositeltuja arvoja, kun teräksen lämpötila on enintään 400 C, muulloin 1,00 (Kansallinen liite standardiin SFS-EN 1993-1-5, s. 2). Numeerinen korjauskerroin on varmalla puolella kun η =1,00 (SFS-EN 1993-1-1, s. 55). Kuva 4. Uuman suunnassa kuormitettujen hitsattujen I- ja H- sekä koteloprofiilien leikkauspinta-ala. - Hitsatuille I-, H-, U-, ja koteloprofiileille, joita kuormitetaan laippojen suunnassa (17)
13 Kuva 5. Laippojen suunnassa kuormitettujen hitsattujen I- H- U- ja koteloprofiilien leikkauspinta-ala. - Valssatuille suorakaiderakenneputkille, joiden ainepaksuus on vakio ja kuormitus korkeuden suunnassa (18) Kuva 6. Korkeuden suunnassa kuormitetun, valssatun ainepaksuudeltaan vakion rakenneputken leikkauspinta-ala. - Valssatuille suorakaiderakenneputkille, joiden ainepaksuus on vakio ja kuormitus leveyden suunnassa (19)
14 Kuva 7. Leveyden suunnassa kuormitetun, valssatun ainepaksuudeltaan vakion rakenneputken leikkauspinta-ala. - Pyöreille rakenneputkille, joiden ainepaksuus on vakio (20) Kuva 8. Ainepaksuudeltaan vakion pyöreän rakenneputken leikkauspinta-ala. A on poikkileikkauksen pinta-ala, b kokonaisleveys, h kokonaiskorkeus, h w uuman korkeus, r nurkan pyöristyssäde, R isomman ympyrän säde, r s pienemmän ympyrän säde, t f laipan paksuus ja t w uuman paksuus. (SFS-EN 1993-1-1, s. 55) Jotta rakenne kestäisi kuormituksen, V pl,t,rd V Ed on oltava voimassa, eli käyttöasteeksi saadaan (SFS-EN 1993-1-1, s. 56):
15 (21) Väännön vaikuttaessa leikkausvoiman vaikutus taivutusmomenttikestävyyteen voidaan jättää huomioon ottamatta, kun V Ed < 0,5*V pl,rd tai V Ed V pl,t,rd. Muulloin leikkausvoiman vaikutus taivutusmomenttikestävyyteen otetaan huomioon pienentämällä taivutusmomenttikestävyyttä käyttämällä leikkauspinta-alalle pienennettyä myötörajaa. (SFS-EN 1993-1-1, s. 57): (22) jossa taivutusmomenttikestävyyden mitoitusarvon pienennystekijä ottaen huomioon leikkausvoiman vaikutus ρ, lasketaan väännön vaikuttaessa (SFS-EN 1993-1-1, s. 57): (23) Jotta rakenne kestäisi kuormituksen, on oltava voimassa (SFS-EN 1993-1-1, s. 53): (24) missä M pl,rd on plastisuusteorian mukainen taivutuskestävyyden mitoitusarvo ja W pl plastisuusteorian mukainen taivutusvastus. Tällöin käyttöasteeksi saadaan (SFS-EN 1993-1-1, s. 53): (25)
16 3.3 Väännön ja muiden voimasuureiden interaktiot Kun kappaleeseen vaikuttaa samanaikaisesti vääntöä ja leikkausta tai vääntöä ja taivutusta, mutta ei bi-momenttia, lasketaan kuormitukset plastisessa tilassa, muulloin kuormitukset lasketaan kimmotilassa (SFS-EN 1993-1-1, s. 56-57). Taulukossa 1 on esitetty tila, jossa eri kuormitukset ja vääntö yhdistetään. Kuvassa 9 on esitetty koordinaattiakselin xyz-suunnat, joihin taulukossa 1 viitataan. Taulukko 1. Väännön yhdistäminen muihin kuormituksiin Fx Fy Fz My Mz BEd T kimmo plastinen plastinen plastinen plastinen kimmo Kuva 9. Koordinaattiakselit. Väännön yhdistäminen muihin kuormituksiin I-profiilissa: - Kun poikkileikkausta kuormitetaan väännöllä ja vedolla/puristuksella, lasketaan kuormitukset kimmoteorialla yhtälöllä 6: missä σ Fx on x-akselin suuntaisen kuormituksen aiheuttama veto/puristusjännitys ja t,ed on vapaan väännön aiheuttama leikkausjännitys. Kuvassa 10 on esitetty kyseiset jännitykset. Nuolet osoittavat kohtia, joissa jännitys on suurin.
17 Kuva 10. Vedon/puristuksen ja vapaan väännön aiheuttamat jännitykset I- poikkileikkauksessa. - Kun poikkileikkaukseen vaikuttavat leikkausvoima ja vääntö, lasketaan kestävyys plastisuusteorialla. Vääntö otetaan huomioon redusoimalla leikkauskestävyyttä yhtälön 10 mukaan (SFS-EN 1993-1-1, s. 56 57): Kuvassa 11 on esitetty Fy:n ja Fz:n aiheuttamat plastisen leikkauskestävyyden leikkausjännitykset. Punaiset nuolet osoittavat kohtia, joissa jännitys on suurin.
18 Kuva 11. Redusoidut leikkausjännitykset I-poikkileikkauksessa. - Kun poikkileikkausta kuormitetaan väännöllä ja taivutuksella, lasketaan taivutusmomenttikestävyys plastisuusteorialla yhtälön 22 mukaan soveltamalla pienennettyä myötörajaa (SFS-EN 1993-1-1, s. 57): Kun V Ed < 0,5*V pl,rd tai V Ed V pl,t,rd, ρ:n arvo on 0, muulloin ρ lasketaan yhtälöllä 23 (SFS- EN 1993-1-1, s. 57): Kuvassa 12 on esitetty My:n ja Mz:n aiheuttamat taivutusjännitykset. Nuolet osoittavat kohtia, joissa jännitys on suurin.
19 Kuva 12. Taivutusjännitykset I-poikkileikkauksessa. - Kun poikkileikkausta kuormitetaan bi-momentilla sekä estetyllä ja vapaalla väännöllä, lasketaan jännitykset kimmoteorialla, yhtälön 6 mukaan: Kuvassa 13 on esitetty bi-momentin B Ed ja estetyn väännön T w,ed aiheuttamat jännitykset ja kuvassa 10 vapaan väännön T t,ed aiheuttamat jännitykset. Nuolet osoittavat kohtia, joissa jännitys on suurin.
20 Kuva 13. Bi-momentin ja estetyn väännön aiheuttamat jännitykset I-poikkileikkauksessa. 3.4 Vääntöesimerkki Esimerkki: Tarkastellaan profiilin HEA 200 kestävyyttä, kun siihen vaikuttaa 50 kn pistemäinen kuorma laipan reunassa, palkin puolivälissä. Profiili on 5,0 m pitkä ja se on tuettu haarukkatuennalla molemmista päistä, kuvan 14 mukaisesti. Teräslaji on S355J2. Kuva 14. Palkin tuenta ja kuormitus. (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 169, muokattu)
21 F = 50kN L = 5000mm f y = 355MPa Kimmo- ja liukukerroin: E = 210000MPa G = 81000MPa Poikkileikkauskestävyyden osavarmuusluku (SFS-EN 1993-1-1, s. 48): γ M0 = 1,0 Kansallisessa liitteessä ei muutoksia (Kansallinen liite standardiin SFS-EN 1993-1-1, s. 4). HEA 200 profiilin mitat, kokonaispinta-ala ja poikkileikkauksen kimmoteorian mukainen taivutusvastus (RIL 167-3 Teräsrakenteet III, 1990, s. 157): b = 200mm h = 190mm h w = 170mm t w = 6,5mm h f = 180mm t f = 10mm r = 18mm A = 5383mm 2 W el,y = 389000mm 3 Kuva 15. HEA 200 profiili. Vääntöneliömomentti (26)
22 Käyristymisjäyhyys (27) Sektoriaalinen koordinaatti: (28) Kun r t = h f /2 ja s = b/2, sektoriaalinen koordinaatti on: Sektoriaalinen staattinen momentti: (29) Kun r t = h f /2 ja s = b/2, sektoriaalinen staattinen momentti on: Vääntökarakteristika:
23 (30) Väännön luokittelussa käytetään tuloa: kl= 7,29225*10-4 *5000 = 3,646 (31) Nyt 0,7 < kl 15, joten kyseessä on yhdistetty vääntö (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 164). Sauvan kumpaankin päähän saadaan kaksi reunaehtoa, joiden avulla integroimisvakiot vääntökulman lausekkeessa voidaan ratkaista (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 166): φ(0) = 0 φ(5000) = 0 B(0) = 0 B(5000) = 0 Integroimisvakioiksi saadaan (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 170): Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi tarvittavat yksityisratkaisut palkin päässä ja keskellä,
24 kun pistemäinen vääntömomentti T Ed on kohdassa x=2500mm, ovat φ 0 (0) = 0 ja φ 0 (2500) = 0 (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 166). Vääntökulma (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 165): (32) Vapaan väännön vääntömomentti (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 165): (33) Bi-momentti (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 165): (34) Estetyn väännön vääntömomentti (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 165): (35) Kokonaisvääntömomentti (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 165): (36) Vääntökulman ja momenttien arvot palkin päässä ja keskellä on esitetty taulukossa 2. Kuvissa 16 ja 17 on esitetty arvojen muuttuminen koko palkin pituudella.
25 Taulukko 2. Vääntökulman ja momenttien arvot. palkin päässä, x=0 palkin keskellä, x=2500 [mm] Vääntökulma, ϕ 0 0,248 [rad] Vapaan väännön momentti, Tt,Ed 1.713*10^6 0 [Nmm] Bi-momentti, BEd 0 3,254*10^9 [Nmm 2 ] Estetyn väännön momentti, Tw,Ed 0,787*10^6 2,5*10^6 [Nmm] Kokonaisvääntömomentti, TEd 2,5*10^6 2,5*10^6 [Nmm] Kuva 16. Vääntökulma, bi-momentti ja vapaan ja estetyn väännön momentti.
26 Kuva 17. Kokonaisvääntömomentti Oleelliset kohdat palkin kestävyyden tarkastelussa ovat palkin keskellä, eli voiman kohdalla ja palkin päässä. Jännitykset palkin päässä: - Bi-momentin aiheuttama aksiaalinen jännitys w,ed (0) on nolla, koska poikkipinnan käyristyminen on vapaata, eli bi-momentti B Ed (0) on tällöin nolla. - Kuvasta 10 nähdään, että suurin vapaan väännön aiheuttama leikkausjännitys syntyy laippojen pinnoille tai uuman reunalle. Koska uuma on ohuempi kuin laippa ja uuman jännitys syntyy ainoastaan vapaasta väännöstä (sektoriaalinen koordinaatti ω=0 uumassa), on jännitys koko uumassa pienempi kuin laipassa (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 172). Vapaan väännön aiheuttama jännitys laipalle saadaan yhtälöllä 3: - Kuvasta 13 nähdään, että suurin estetyn väännön aiheuttama leikkausjännitys syntyy
27 laipan keskilinjalle. Estetyn väännön aiheuttama jännitys laipoissa saadaan yhtälöllä 4: - Vapaan ja estetyn väännön aiheuttamien jännitysten yhteisvaikutus lasketaan kimmoteorialla yhtälön 6 mukaan: - Suurin käyttöaste saadaan yhtälöllä 9: - Koska palkin päässä on leikkausta, mutta ei normaalivoimaa eikä bi-momenttia, lasketaan leikkauksen vaikutus vääntöön plastisuusteorian mukaan. Uuman suunnassa kuormitetun valssatun I-profiilin leikkauspinta-ala saadaan yhtälöllä 14: - Leikkauskestävyys saadaan yhtälöllä 13:
28 - Redusoitu leikkauskestävyys I-profiilille saadaan yhtälöllä 10: - Käyttöaste saadaan yhtälöllä 21: Jännitykset palkin keskellä: - Vapaa vääntö T t,ed (2500) on nolla uumassa ja laipoissa, minkä takia leikkausjännitys τ t,ed (2500) on nolla. - Estetyn väännön aiheuttama leikkausjännitys laipan keskilinjalla saadaan yhtälöllä 4: - Kuvasta 13 nähdään, että suurin bi-momentin aiheuttama aksiaalinen jännitys syntyy laipan kärkeen. Aksiaalinen jännitys laipan kärjessä saadaan yhtälöllä 5:
29 - Poikkileikkauksen kimmoteorian mukainen taivutusvastus (Ongelin & Valkonen, 2010, s. 120): (37) - Suurin taivutusnormaalijännitys sijaitsee laipan nurkassa. M el,rd on kimmoteorian mukainen taivutuskestävyys: (38) - Laipan keskilinjalla vapaasta väännöstä aiheutuva leikkausjännitys ja bi-momentista aiheutuva aksiaalinen jännitys on nolla, eli τ t,ed (2500)=0 ja w,ed (2500)=0, jolloin jännitys koostuu ainoastaan estetyn väännön aiheuttamasta leikkausjännityksestä τ w,ed (2500), joka saadaan yhtälöllä 6. - Käyttöaste saadaan yhtälöllä 9:
30 - Palkin keskellä on vääntöä, taivutusta ja bi-momenttia, joten jännitykset lasketaan yhteen kimmoteorian mukaan. Laipan kärjessä vapaasta ja estetystä väännöstä aiheutuva leikkausjännitys on nolla, eli τ t,ed (2500)=0 ja τ w,ed (2500)=0, jolloin jännitys koostuu aksiaalisesta jännityksestä w,ed (2500) ja taivutusjännityksestä el,rd, joka saadaan yhtälöllä 6. - Suurin käyttöaste saadaan yhtälöllä 7: Palkki ei kestä kyseistä kuormitusta, koska käyttöaste on suurempi kuin 1,0. Jos esimerkin palkki olisi tuettu jäykästi molemmista päistä, saataisiin tilanne, jossa palkin pisteessä x olisi taivutusta, mutta bi-momentti olisi nolla. Tällöin jännitykset laskettaisiin pisteessä x plastisuusteorialla ja mitoituksessa tarvittaisiin lujuuden redusointikerrointa ρ (kaava 23). Kuvassa 18 on esitetty palkin piste x, jossa on taivutusmomenttia mutta bimomentti on nolla.
31 Kuva 18. Taivutusmomentti ja bi-momentti jäykästi tuetussa palkissa. Jotta palkki kestäisi kyseisen kuormituksen, tulisi taivutusmomentin mitoitusarvon M Ed täyttää ehto (SFS-EN 1993-1-1, s. 53): Jännitysten tarkastelu tässä pisteessä ei kuitenkaan ole olennaista rakenteen kestävyyttä selvitettäessä. 4 TULOSTEN TARKASTELU JA VERTAILU Esimerkissä on laskettu ainoastaan kestävyydet joissa vääntö on osana. Todellisuudessa olisi laskettava myös erikseen leikkauksen, taivutuksen, vedon/puristuksen ja näiden yhdistelmien vaikutus, sillä vääntö ei aina tuota suurinta käyttöastetta. Kyseisessä esimerkissä vääntö kuitenkin aiheuttaa suurimman käyttöasteen ja koska käyttöaste u > 1,0, ei palkki kestä 50kN kuormitusta palkin puolivälissä laipan reunalla. Maksimikuorma jonka palkki kestää kyseisessä kohdassa on 41,9kN. Tällöin käyttöasteeksi saadaan u =1,0.
32 Yhtälöt koodattiin lujuuslaskentaohjelmaan, joka on tarkoitettu käytettäväksi Femapin osana. Testattaessa ohjelman toimivuutta käytettiin sitä ilman Femapia. Tällöin täytyi valita palkin pituus, materiaali ja profiili sekä syöttää kuormat laskentakohdassa. Lujuuslaskentaohjelmalla saatiin samat käyttöasteet kuin laskentaesimerkissä. Palkin päässä vapaan ja estetyn väännön aiheuttamien jännitysten kimmoteorian mukaiseksi käyttöasteeksi saatiin 0,58 ja leikkauksen ja väännön aiheuttamien jännitysten plastiseksi käyttöasteeksi 0,09. Koska molemmat käyttöasteet ovat pienempiä kuin 1,0, ei vääntö aiheuta myötäämistä palkin päässä. Palkin keskellä estetyn väännön aiheuttaman jännityksen kimmoteorian mukaiseksi käyttöasteeksi saatiin 0,05 ja aksiaalisen jännityksen ja taivutusjännityksen kimmoteorian mukaiseksi käyttöasteeksi 1,42. Koska toinen käyttöasteista on suurempi kuin 1,0, aiheuttaa vääntö myötäämistä palkin keskellä. 5 YHTEENVETO Kun profiilia kuormitetaan väännön lisäksi muilla voimakomponenteilla, voidaan jännitykset laskea yhteen kimmotilassa tai plastisessa tilassa. Kimmotilassa jännitykset voidaan laskea Von Misesin hypoteesilla yhtälön 7 mukaan. Käyttöasteet voidaan laskea myös yhtälöiden 8 ja 9 mukaan. Jotta rakenne kestäisi, tulee jokaisen käyttöasteen olla pienempi tai yhtä suuri kuin 1,0 rakenteen jokaisessa pisteessä. Väännön sekä leikkauksen tai taivutuksen vaikuttaessa yhtä aikaa, voidaan jännitykset laskea plastisuusteoriaa käyttäen. Leikkausvoiman ja vääntömomentin vaikuttaessa samanaikaisesti, redusoidaan leikkauskestävyys V pl,rd arvoon V pl,t,rd, joka saadaan eri profiileille yhtälöillä 10, 11 ja 12. Leikkausvoiman V Ed tulee täyttää ehto V Ed / V pl,t,rd 1,0 rakenteen jokaisessa pisteessä, jotta rakenne kestäisi. Kun poikkileikkausta kuormitetaan väännöllä ja taivutuksella leikkausvoiman vaikutus voidaan jättää huomioimatta kun V Ed < 0,5*V pl,rd tai V Ed V pl,t,rd.
33 Muulloin taivutusmomenttikestävyyttä M pl,rd pienennetään käyttämällä leikkauspinta-alalle pienennettyä myötörajaa f yr = (1-ρ)*f y. Taivutusmomentin M Ed tulee täyttää ehto M Ed / M pl,rd 1,0 rakenteen jokaisessa pisteessä, jotta rakenne kestäisi. Jännitysten yhdistäminen on tehty kokonaan Eurocoden sääntöjen mukaan, minkä takia rakenteen kestävyyden laskenta on varmalla puolella. Von Misesin hypoteesi on yleispätevin lujuushypoteeseista, minkä takia sitä on laskennassa käytetty, mutta sillä ei saada optimiratkaisua kaikkiin tilanteisiin. Tämän takia voi rakenne kestää todellisuudessa laskettua kapasiteettia enemmän.
34 LÄHTEET Kansallinen liite standardiin SFS-EN 1993-1-5. Eurokoodi 3: Teräsrakenteiden suunnittelu. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt. Helsinki: Ympäristöministeriö, 2007. 6 s. Kansallinen liite standardiin SFS-EN 1993-1-5. Eurokoodi 3: Teräsrakenteiden suunnittelu. Osa 1-5: Tasomaiset levyrakenteet. Helsinki: Ympäristöministeriö, 2008. 3 s. Lehtinen, I. 2005. Hitsatut profiilit, käsikirja 2005. 2.painos. Helsinki. Rautaruukki. 279 s. Ongelin, P., Valkonen, I. 2010. Hitsatut profiilit EN 1993 käsikirja. Uudistettu 3. Painos. Keuruu. Rautaruukki. 608 s. RIL 167-3 Teräsrakenteet III. 1990. Helsinki. Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL. 199 s. Saarineva, J. 2007. Lujuusoppi: Peruskurssi. 6 uudistettu painos. Tampere. Pressus. 141 s. SFS-EN 1993-1-1. Eurokoodi 3: Teräsrakenteiden suunnittelu. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt. Helsinki: Suomen standardisoimisliitto SFS, 2005. 99 s. SFS-EN 1993-1-5. Eurokoodi 3: Teräsrakenteiden suunnittelu. Osa 1-5: Tasomaiset levyrakenteet. Helsinki: Suomen standardisoimisliitto SFS, 2006. 57 s. Tekniikan käsikirja 1, yleiset perusteet. 1973. 8. uusittu ja lisätty painos. Jyväskylä. Gummerus. 593 s.