tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin ymmärrät mitä on liikemäärämomentti L ja milloin se muuttuu ja osaat soveltaa liikemäärämomentin säilymislakia Etenevän ja pyörivän jäykän kappaleen kineettinen energia missä hitausmomentti on K = 1 2 MV2 cm + 1 2 Iω2 I = m n r 2 n = n dm r 2 jossa r on kunkin osasen kohtisuora etäisyys pyörimisakselilta. kertausta Ohutseinäisen, M-massaisen renkaan hitausmomentti, kun pyörimisakseli on renkaan tason normaalin suuntainen ja kulkee renkaan keskipisteen kautta: 1 Esimerkki I Homogeeninen, tasapaksu ympyrälevy akseloituna massakeskipisteen kautta. 2 Renkaan hitausmomentiksi päättelitte MR 2. Tulosta voidaan käyttää monimutkaisemman kappaleen hitausmomentin määrittämiseen. 3 4
Esimerkki I Massa-alkion dm massa on verrannollinen tummenetun pinta-ala-alkion pinta-alaan dm M = da A Pinta-ala-alkio on ohut suikale, jonka pituus on 2πr ja jonka paksuus on dr. Hitausmomentti I = dm = M da A = M2πrdr πr 2 = 1 2 MR2 dmr 2 = 2M R R 2 r 3 dr 0 Esimerkki II Umpinaisen M-massaisen pallon hitausmomentti voidaan määrittää käyttämällä edellistä tulosta hyväksi. Viipaloidaan umpinainen pallo infinitesimaalisen ohuiksi, dz paksuisiksi ympyrälevyiksi. Aikaisemmin määritettiin ympyrälevyn hitausmomentiksi 1 2 MR2. Nyt kunkin viipaleen massa on dm ja säde s. Näin ollen infinitesimaalisen levyn hitausmomentti on di = 1 2 dms2 Esimerkki II Viipaleen ja pallon massat ovat verrannollisia näiden tilavuuksiin dm M = dv V Viipaleen ja pallon tilavuudet ovat 5 Jos pyörimisakseli ei kulje symmetriapisteen / -akselin kautta vaikeita integraaleja. Esimerkiksi kehän pisteestä akseloitu ympyrälevy: 6 dv = πs 2 dz V = 4 3 πr3 ja viipaleen säde s 2 = R 2 z 2. Näin umpinaisen pallon hitausmomentiksi saadaan 1 1 I = di = pallo pallo 2 s2 dm = M pallo 2 s2 V dv R 3 M = 8 R 3 (R2 z 2 ) 2 dz = 2 5 MR2 R Näissä tapauksissa apuun rientää Steinerin sääntö! 7 8
Steinerin sääntö Steinerin sääntö (parallel-axis theorem) koskee tilanteita, joissa pyörimisakselia siirretään toiseen paikkaan siten, että akselin suunta ei muutu. I MKP = I A = s = r l r 2 dm s 2 dm Steinerin sääntö I A = = = s 2 dm (r 2 + l 2 2 l r ) dm r 2 dm }{{} I MKP I A = I MKP + Ml 2 + l 2 dm }{{} M 2 l rdm }{{} 0 Valitaan koordinaatiston origo levyn massakeskipisteeseen (MKP). Kuinka hitausmomentti muuttuu, kun pyörimisakseli siirretään MKP:stä pisteeseen A? Steinerin sääntö 9 Vieriminen 10 Jos ympyrälevyn akseli siirretään massakeskipisteestä pisteeseen A, on uusi hitausmomentti Steinerin säännön perusteella Yleisessä tapauksessa kappaleen massakeskipisteen liike ja sisäinen pyörimisliike ovat toisistaan riippumattomia. Nämä kuitenkin kytkeytyvät, kun kappale on vierimisliikkeessä. I A = I MKP + Ml 2 = 1 2 MR2 + MR 2 = 3 2 MR2 Lämmittelylaskareissa osoitatte, että vierivälle kappaleelle ϕ = s r ω = v r 11 12
Vieriminen Energiaperiaate vieriminen Vierivän kappaleen kineettinen energia Systeemin mekaaninen energia K = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 ) 2 E = K + U = 1 2 mv2 + 1 ( v 2 I r = 1 ( 2 m 1 + I ) mr 2 v 2 = 1 2 m effv 2 Kappaleen kineettinen on edelleen verrannollinen tekijään v 2, mutta on suurempi kuin 1 2 mv2, sillä etenemiseen liittyy vierimisen takia myös pyörimisliikettä kiinteästi. missä K sisältää etenemisen ja pyörimisen kineettisen energian. Mitä on U? Lämmittelylaskareissa osoitatte, että maanpinnan lähellä U riippuu vain kappaleen massakeskipisteen korkeudesta maanpinnasta U = mgy cm gallup 13 gallup 14 Kappaleita lähetetään vierimään samalta kohdalta kaltevaa tasoa pitkin. Mikä kappaleista on nopeiten alhaalla? Kappaleita lähetetään vierimään samalta kohdalta kaltevaa tasoa pitkin. Mikä kappaleista on nopeiten alhaalla? Kolme samanmassaista (0,90 kg) kappaletta: ohut umpinainen lieriö, avonainen lieriö ( putkenpätkä ) ja paksu umpinainen lieriö ( kiekko ). Kaksi ulkomitoiltaan,muodoiltaan ja massaltaan samanlaista kappaletta: Alumiinikiekko ja kuparirengas. 1) ohut umpinainen lieriö 2) avonainen lieriö 3) paksu lieriö 4) kaikki yhtä aikaa 5) muu vastaus 6) ei osaa sanoa 1) alumiinikiekko 2) kuparirengas 3) yhtä aikaa 4) ei osaa sanoa Oikea vastaus: muu vastaus, umpinaiset sylinterit yhtä aikaa Oikea vastaus: alumiinikiekko 15 16
gallup Kappaleita lähetetään vierimään samalta kohdalta kaltevaa tasoa pitkin. Mikä kappaleista on nopeiten alhaalla? Kolme ulkomitoiltaan samanlaista kappaletta: Muovisylinteri, muovisylinteri, jossa metallisydän ja metallisylinteri, jossa muovikuori. 1) muovisylinteri 2) metallisydäminen sylinteri 3) metallisylinteri muovikuorella 4) kaikki yhtä aikaa 5) muu vastaus 6) ei osaa sanoa Oikea vastaus: metallisydäminen sylinteri Vierivä kappale kaltevalla tasolla Systeemi: Maa ja vierivä kappale. Kiinnitetään potentiaalienergian nollakohta tason alareunaan. E = K trans + K rot + U grav + K Maa E = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 + mgh + K Maa }{{} 0 17 gallup Kappaleita lähetetään vierimään samalta kohdalta kaltevaa tasoa pitkin. Mikä kappaleista on nopeiten alhaalla? Kolme palloa: kaksi erikokoistaa umpiteräskuulaa ja tennispallo 1) pieni metallikuula 2) suuri metallikuula 3) tennispallo 4) kaikki yhtä aikaa 5) muu vastaus 6) ei osaa sanoa Oikea vastaus: muu vastaus, metallikuulat yhtäaikaa Vierivä kappale kaltevalla tasolla MKP:n korkeus h riippuu paikasta x. Jos koordinaatiston origo on tason alapäässä niin Vierimisehto tarkoittaa, että h = x sin ϕ + r/ cos ϕ ω = v r 18 Mekaaninen energia säilyy, siis palautelaskarit de dt = 0 19 20
Kulmanopeudesta... Hiukkanen ympyräradalla Hiukkanen kiertää ympyrärataa. Ympyräliikkeen kulmanopeus ω = v r Skalaarina v = ωr Nopeus v ja paikka r ovat vektorisuureita voisiko ω:n lausua myös vektorina siten, että se kertoisi pyörimisen kulmanopeuden lisäki pyörimissuunnan? Miten? Kuinka vektorisuureet r, v ja ω liittyvät toisiinsa? Ristitulo C = A B 21 gallup Minkä suuntainen on vektori 22 C A ja C B ĵ ˆk? C = AB sin ϕ 1) î 2) ĵ 3) ˆk 4) î 5) ĵ 6) ˆk 23 24
Ristitulo Ristitulo Mitä on a = î ĵ KÄSISÄÄNTÖ: a ˆk PITUUS: a = î ĵ sin π 2 = 1 î ĵ = ˆk ˆk î = ĵ ĵ ˆk = î Huomaa, että vaihdantalaki ei (yleensä) päde A B = B A Vektorin ristitulo samansuuntaisen vektorin kanssa D = A (3 A) D = 3A 2 sin 0 = 0 Ristitulo 25 Hiukkanen ympyräradalla 26 Yleisessä tapauksessa A = Ax î + A y ĵ + A zˆk B = Bx î + B y ĵ + B zˆk Ristitulo ) A B = (A x î + A y ĵ + A zˆk ( ) B x î + B y ĵ + B zˆk = ( A y B z A z B y ) î (Ax B z A z B x ) ĵ + ( Ax B y A y B x ) ˆk = î ĵ ˆk A x A y A z B x B y B z 27 Mikä / mitkä seuraavista relaatioista ovat oikein? 1) v = ω r 2) v = r ω 3) ω = r v 4) r = ω v 5) a + c 6) b + d 7) kaikki 8) muu vastaus Vast: a) 28
Hiukkanen ympyräradalla Vaihtoehto 1 on oikein. Vaihtoehto 3. ei voi olla oikein, sillä r v = rv sin(π/2) = rv = w = v r Jäykkä kappale Jäykkä kappale voidaan ajatella koostuvan joukosta hiukkasia, jotka kappaleen pyöriessä kiertävät pyörimisakselin ympäri ympyrärataa. r v on kuitenkin oikean suuntainen. Koska kyseessä ei ole yksikkövektorit, on pidettävä huolta myös vektorin pituudesta. Siis ω = C( r v) ω = Crv = v r C = 1 r 2 ω = 1 ( r v) r2 Miten kappale saadaan pyörimään? Kuinka ω muuttuu? Voiman vaikutus hiukkasen kiertoliikkeeseen 29 Dynaamiset suureet pyörimisliikeessä 30 Tarkastellaan ensin yhden hiukkasen liikettä ympyräradalla: ω = 1 1 ( r v) = ( r p) r2 mr2 Yhden hiukkasen tapauksessa: LIIKEMÄÄRÄMOMENTTI (angular momentum) d ω dt = 1 mr ( v p 2 }{{} =0 = 1 mr 2 ( r F) + r d p dt ) d dt (mr2 ω) = d dt ( r p) = r F MOMENTTI (torque) L = mr 2 ω = r m v = r p τ = r F 31 32
Dynaamiset suureet pyörimisliikeessä Pistemäisen hiukkasen kiertoliikkeestä määräytyvästä liikemäärämomentista L = r p Rataliikemäärämomentti Huomaa, ettei rataliikemäärämomentin olemassaolo liity pelkkään kiertoliikkeeseen! Esim. suoraviivaisesti, vakionopeudella etenevän hiukkasen rataliikemäärämämomentti origon suhteen: käytetään myös nimitystä RATALIIKEMÄÄRÄMOMENTTI (translational angular momentum tai orbital angular momentum) Oppikirja käyttää merkintää Ltrans Ltrans = m r v = 0 Rataliikemäärämomentti 33 Etenemis- ja pyörimisliike yksi hiukkanen 34 Rataliikemäärämomentti myös riippuu tarkastelupisteestä! ETENEMINEN p = m v d p dt = F PYÖRIMINEN L = r p d L dt = r F Ltrans,A = m r A v = 0 (Lämmittelylaskarit) 35 36