1 1. YLEISTÄ MAGNETISMISTA Magneetin aiheuttama vetovoima on ollut tunnettu jo vuosituhansia. Jo kreikkalainen filosofi Thales (n. 600 ekr) tiesi, että tietyillä rautamalmeilla on kyky vetää puoleensa pieniä rautakappaleita. Magnetismin historiaan palataan tuonnenpana. Jos pieni magneettineula (esim. kompassineula) pääsee liikkumaan vapaasti vaakatasossa, se asettuu likimain pohjois-eteläsuuntaan. Neulan pohjoiseen osoittavaa päätä sanotaan pohjoiskohtioksi (N), toista eteläkohtioksi (S). Jos magneettineula jollakin alueella hakeutuu tiettyyn suuntaan, sanotaan, että siellä on magneettikenttä. Havaintojen mukaan Maata ympäröi magneettikenttä. voimakkaampi kenttä on. Magneettikentän suunta on määritelty suunnaksi, johon vapaasti liikkuvan magneettineulan N-kohtio osoittaa, kun neula on kentässä. Kenttä havainnollistetaan kenttäviivoilla, jotka piirretään siten, että ne osoittavat kentän suunnan. Kenttäviivan tangentti tietyssä pisteessä on samansuuntainen kuin pisteeseen asetetun pienen magneettineulan suunta. Kenttäviivat piirretään sitä tiheämpään, mitä
2 N S S N N S N S Sauvamagneetin navat (kohtiot) N = North; pohjoiskohtio S = South; eteläkohtio Erimerkkiset kohtiot vetävät toisiaan puoleensa ja samanmerkkiset karkottavat toisiaan Kohtisuoraan kenttää vastaan asetetun pinta-alayksikön läpi kulkevien kenttäviivojen lukumäärä ilmaisee magneettikentän vuon tiheyden, jonka symboli on B. Kokeelliset mittaukset ovat osoittaneet, että magneettikenttää vastaan kohtisuorasti liikkuvaan varaukseen vaikuttaa voima, joka on kohtisuorassa sekä kentän suuntaan että varauksen liikesuuntaan nähden. Jos voiman suuruus on F, varaus Q ja sen vauhti v, on voimassa: F = QvB
3 B = F/Qv (1) Alemmasta yhtälöstä saadaan magneettivuon tiheyden yksiköksi: N/As/(m/s) = N/Am = Vs/m 2, josta käytetään nimitystä Tesla (T), siis: T = Vs/m 2 = N/Am. Geomagneettiset kentät ovat heikkoja, ja tavallisesti käytetään yksikköä nanotesla (nt), 1 nt = 10-9 T. Maan magneettikenttä on Suomen alueella tyypillisesti 50 000 nt = 50 µt = 50 10-6 T. Vanhempi pois käytöstä jäänyt yksikkö (cgsjärjestelmässä) on Gaussi (Gs tai Γ). Sen yhteys teslaan on: 1 Gs = 10-4 T. Maan magneettikentän tyypillinen arvo on siis myös 0.5 Gs. Tavallisen "hevosenkenkämagneetin" synnyttämä vuontiheys voi olla tuhansia kertoja maan kenttää suurempi. Auringonpilkuissa vallitseva magneettikenttä on luokkaa 10 000 Γ. Aiemmin käytettiin myös yksikköä gamma (γ), jolle pätee: 1γ = 10-5 Gs = 1 nt. MAGNEETTIKENTÄN YKSIKÖT Magneettivuon tiheys B on vektorisuure. Siihen liittyy suunta ja voimakkuus. Sen yksikkö on Tesla [B] = 1 T = 1 Vs/m2 = 1 N/Am Vaikka magneettikentän voimakkuus on fysikaalisesti eri asia kuin magneettivuon tiheys, tavallisesti (kun ei ole erehtymisen vaaraa) käytetään nimitystä magneettikentän voimakkuus synonyyminä suureelle magneettivuon tiheys. Maapallon magneettikentän vuon tiheys Etelä-Suomessa on tyypillisesti
4 50 000 nt = 50 µt 1 nt = 10-9 T; 1 µt = 10-6 T Maapallon globaalisen magneettikentän hidas muutos (sekulaarimuutos) on keskimäärin - 30 nt/vuosi: magneettikenttä siis heikkenee keskimäärin. Magneettisten myrskyjen aikana kentän muutos voi olla ±20 nt/s ja kenttä voi pienetä pysyvästä arvostaan 1-10 % tilapäisesti muutaman tunnin ajan. Sinimäisen vuorokausivaihtelun amplitudi on keskim. 10-50 nt vuodenajasta ja auringonpilkkujakson vaiheesta riippuen. Suurimmat magneettikentät maailmankaikkeudessa ovat neutronitähdissä (magnetar), joiden magneettikentät ovat jopa miljardimiljardia (10 18 ) kertaa suuremmat kuin Maan kenttä. Tesla on SI-järjestelmän mukainen yksikkö. Käytössä on myös cgs-järjestelmän mukainen yksikkö gaussi (Gs tai Γ) 1 Gs = 10-5 T eli 50 µt = 0.5 Gs Auringonpilkkujen magneettikenttä voi olla jopa 10000 Gs. Magneettivuo (Φ) on aikaisemman määritelmän mukaan: Φ = BA, missä A on kohtisuora pinta. Φ:n yksikkö on Weber (Wb); 1 Wb = 1 Vs. Magneettikenttä B on vektorisuure: siihen liittyy voimakkuus ja suunta. Geomagnetismissa B:n mittaukset tehdään maanpinnalla, joten luonnollinen komponenttijako on maanpinnan suhteen vaakasuora ja pystysuora komponentti, H ja Z. Näille vektorikomponenteille pätee:
5 B = H + Z; B 2 = H 2 + Z 2 (2) (Tekstissä lihavoidut kirjaimet ovat vektoreita ja ei-lihavoidut niiden skalaarisuureita). Maanpintaan kiinnitetyn xyz-koordinaatiston origo on maanpinnalla, x-akseli osoittaa kohti maantieteellistä pohjoista, y-akseli itään ja z-akseli alas kohti Maan keskipistettä (Kts. Kuva 1). Tässä koordinaatistossa vaakakomponentti (horisontaalikomponentti) H jaetaan pohjoiskomponenttiin (X) ja itäkomponenttiin (Y), siis H = X + Y; H 2 = X 2 + Y 2 (3) H:n suunta on sama kuin kompassineulan suunta eli paikallinen magneettinen pohjoissuunta. X H True North East Y Down B Kuva 1. Magneettikenttävektorin B komponenttiesitys Z H:n poikkeama maantieteellisestä pohjoissuunnasta (x-akselin suunnasta) on deklinaatio eli eranto, joka ilmoitetaan tavallisesti asteina (0 360 ) tai piiruina (0 v 6000 v ). Jälkimmäistä yksikköä käytetään Suomen topografikartoissa. Merikartoissa kompassieranto on ilmoitettu asteina kompassiruusukuviossa. Deklinaatiokulma on positiivinen itään ja negatiivinen länteen. Kuvan 2 mukaan helposti nähdään, että
6 tan D = Y/X; cos D = X/H; sin D = Y/H (4) Pohj.suunta (x) X H Maanpinta I H D Z B Y Itäsuunta (y) Alas (z) Kuva 2. Maan magneettikentän horisontaalivektorit Kuva 3. Magneettikenttävektorin inklinaatio I. Vektorin B kallistuskulma vaakatasoon nähden on inklinaatio (I). I > 0, jos B.n kärki osoittaa maanpinnasta alas, I < 0, jos kärki on ylöspäin. Kuvasta 3 saadaan yhtälö tan I = Z/H (5)
7 Tehtävä 1.1. Johda seuraavat yhtälöt X = B cos I cos D Y = B cos I sin D Z = B sin I Tehtävä 1.2. Etelä-Suomessa Maan magneettikentän tyypillinen arvo on B = 50 000 nt, I = 73 ja D = 5 E. Laske muut komponentit. 1.1 Sähkövirran aiheuttama magneettikenttä Kokeellisesti on havaittu, että liikkuvat sähkövaraukset, esim. sähkövirta johtimessa, synnyttävät magneettikentän. Magneettiset ilmiöt voidaan siten aina palauttaa sähköisiin ilmiöihin. Havainnon teki ensimmäisenä tanskalainen fyysikko Hans Christian Örsted (1777-1851) vuonna 1820. Tässä kokeessa suoran virtajohdon kanssa samansuuntainen magneettineula muuttaa suuntaansa, kun virta kytketään päälle. Vaikka koejärjestely on yksinkertainen, se merkitsi uuden fysiikan ilmiömaailman, sähkömagnetismin, keksimistä, millä on ollut mullistava vaikutus paitsi itse fysiikan perustutkimukseen niin myös erilaisten sähkömagnetismia hyödyntävien teknologisten laitteiden (lennätin, puhelin, radio, TV jne.) kehittämiselle (vrt. luento 17.1.2008). Suorassa sähköjohtimessa kulkeva virta (J) aiheuttaa magneettikentän B, jonka skalaariarvo saadaan yhtälöstä (kts. Kuva 4) B = (µ o /4π) 2J/R (6)
8 eli magneettikenttä heikkenee kääntäen verrannollisena etäisyyteen. Yhtälössä (6) µ o /4π on SI-järjestelmään kuuluva laatuvakio. µ o on ns. magneettinen vakio (tyhjiön permeabiliteetti), jonka lukuarvo on µ o = 4π 10-7 Tm/A (7) Viivavirta J! h R Z B Maanpinta! H Kuva 4. Korkeudella h maanpinnasta kulkevan virran J aiheuttama magneettikenttä B. etäisyydellä R. Virran suunta on paperin tasoa vastaan kohtisuora ulospäin.
9 Kuvassa 4 on hahmoteltu tilannetta, jossa virta J kulkee korkeudella h maanpinnasta ja aiheuttaa maanpinnalla etäisyydellä R magneettikentän B. Tällaisia virtoja kulkee Maan ionosfäärissä noin 100 km korkeudella ja siitä ylöspäin. Esim. revontuliin Lapin taivaalla liittyy voimakkaita viivamaisia sähkövirtoja suuruusluokaltaan 10 5 10 6 A. Kuvan 4 esittämästä piirroksesta voidaan johtaa (johda) vektorin B komponenteille H ja Z lausekkeet H = B cos α Z = B sin α (8) Tehtävä 1.3. Laske B, H ja Z, kun viivavirta J = 100 000 A ja h = R = 100 km. Osoita, että Z B ja H 0, kun R ja Z 0 ja H B, kun α 0. Suoran virtajohtimen magneettikentän johtaminen (joka tässä siis on sivuutettu) on suhteellisen yksinkertainen. Johdinjärjestelmän muodon ollessa monimutkaisempi, on myös magneettikentän lausekkeen johto vaikeampi. Yleisessä tapauksessa, johdinjärjestelmän ollessa mielivaltainen ja sähkövirran tiheyden muuttuessa paikan funktiota, magneettikenttä voidaan laskea käyttämällä Amperén-Laplacen yhtälöä.
10 Ympyrävirtasilmukan aiheuttamalle magneettikentälle saadaan yksinkertainen ratkaisu tarkastelupisteen sijaitessa ympyrän keskipisteen kautta kulkevalla suoralla, joka on kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden. Jos ympyrän sädettä merkitään symbolilla a, on etäisyydellä R magneettikenttä B B = 2 µ o Ja 2 (a 2 + R 2 ) -3/2 (9) eli silmukan aiheuttama magneettikenttä heikkenee etäisyyden kasvaessa olennaisesti nopeammin kuin suoran johtimen tapauksessa. Yhtälöstä (9) nähdään, että B = 2 µ o Ja 2 R -3, jos R >> a (9')
11 Toisin sanoen magneettikenttä heikkenee kääntäen verrannollisena etäisyyden kuutioon. Esimerkki 1. Maapallon ytimen pinnalla ekvaattorin tasossa voidaan kuvitella kulkevan sähkövirta, joka aiheuttaa maanpinnalla havaitun magneettikentän. Laske tämä virta, kun ytimen säde on 3 500 km ja magneettikenttä (B) pohjoisnavalla on 60 µt ja Maan säde 6 370 km. Sähkövirta J voidaan suoraan ratkaista yhtälöstä 9: J = 0.5 Ba -2 (a 2 + R 2 ) 3/2 /µo = 3.0 10 9 J = 3.0 GA. Edellä on todettu, että sähkövirta synnyttää magneettikentän. Tämän käänteisilmiötä sanaotaan induktioksi. Täsmällisemmin: on havaittu, että magneettivuon muutos (dφ) suljetussa virtapiirissä synnyttää jännitteen (V) ja induktiovirran. Tämä virta taas synnyttää uuden magneettikentän. Lenzin lain mukaan uuden ns. indusoituneen magneettikentän suunta on sellainen, että pyrkii vastustamaan alkuperäistä muutosta. Ajassa dt muodostuva indusoitu jännite saadaan yhtälöstä: V = dφ/ dt (10)
12 jossa miinusmerkkiin sisältyy Lenzin laki. Vuon muutos voi johtua siitä, että silmukka tai sen osat liikkuvat tai B:n aikariippuvuudesta. 1.2 Materian magneettisista ominaisuuksista Tietyt aineet, esim. rautakappale, magnetoituvat, kun niihin kohdistuu ulkoinen magneettikenttä, ns. magnetoiva kenttä H (jota ei tule sekottaa magneettivuon tiheyden horisontaalikomponenttiin). Magneettivuon tiheys, jonka ko. kappale aiheuttaa on B = µ o (H + M), (11) missä M on magnetoituma. H:n laatu on A/m 2. Aineille, joille magnetoituminen on pieni, on M = kh (11') missä k on aineen suskeptibiliteetti ja siis magnetoituma on suoraan verrannollinen ulkoiseen kenttään H. Yhdistämällä tulokset (11) ja (11'), saadaan B = µ o (H + kh) = µ o (1 + k)h = µh, jossa µ = µ o (1 + k) = µ o µ r µ on aineen magneettinen permeabiliteetti. Magnetoituma M voidaan jakaa kahteen osaan: pysyvään (remanenssi) ja indusoituneeseen, joka muuttuu ulkoisen kentän vaihdellessa.
13 Aineet voidaan magneettisuutensa suhteen jaotella kolmen pääryhmään riippuen suskeptibiliteettikertoimen k arvosta: diamagneettiset aineet (k < 0; µ r < 1) paramagneettiset aineet (k > 0; µ r > 1) ferromagneettiset aineet (k >> 0; µ r >>1) Diamagnetismia on periaatteessa kaikilla aineilla, koska se johtuu ulkoisen magneettikentän aiheuttamasta ko. aineen elektronien rataliikkeen muutoksesta. Diamagneettinen aine heikentää ulkoista kenttää. Tyypillisiä diamagneettisia aineita ovat esim. kvartsi, grafiitti, hopea ja sinkki sekä monet suolat. Ilmiö on heikko, tyypillinen k diam 10-5. Paramagnetismi on myös aineen elektronirakenteeseen liittyvä ilmiö. Se esiintyy aineilla, joissa on pariton määrä elektroneja niin, että elektroneihin liittyvät alkeismagneetit (ns. spin) eivät kumoa toisiaan, vaan ulkoisen kentän vaikutuksesta aine magnetoituu kentän suuntaiseksi vahvistaen sitä. Ilmiö on hieman voimakkaampi kuin diamagnetismi, jonka vaikutus peittyy paramagnetismin alle. Tyypillinen k param 10-4. Kun ulkoinen kenttä poistetaan, aineen paramagneettisuus katoaa ja atomien lämpöliike pian sekoittaa alkeismagneettien suuntauksen satunnaiseksi. Paramagneettisia aineita ovat mm. kromi, platina ja alumiini. Ferromagnetismi on kahden edellisen ryhmän erikoistapaus. Se vahvistaa ulkoista kenttää voimakkaasti. Ilmiö johtuu aineen kiderakenteesta siten, että ferromagneettisen aineen atomien alkeismagneetit ovat sisäisen vuorovaikutusvoiman vaikutuksesta kytketty samansuuntaisiksi makroskooppisen laajalla alueella. Kytkentä säilyy, vaikka ulkoinen kenttä poistetaan ja aine jää silloin kestomagneetiksi. Tyypillisiä ferromagneettisia aineita ovat rauta, nikkeli ja koboltti. Ferromagneettisella aineella suskeptibiliteetti voi vaihdella laajoissa rajoissa välillä 10-2 100 ja vielä niin, että se on ulkoisen kentän funktio. Lämpötilan kohotessa yli tietyn lämpötilan (ns. Curie-piste) lämpöliike rikkoo atomien välisen vuorovaikutuksen, jolloin alkeismagneettien koherentti
14 suuntaus katoaa ja aine muuttuu paramagneettiseksi. Raudalla Curie-piste on 770 C. 1.3. Magneettikentän mittaamisesta Vanhin tyyppi magneettikentän mittauslaitteita ovat erilaiset mekaaniset magnetometrit, joissa mittaus perustuu suoraan Maan kentän magneettineulaan kohdistamaan voimaan tai vääntömomenttiin. Ensimmäinen tällainen mittausmenetelmä oli Gaussin kehittämä laite horisontaalikomponentin määrittämiseksi vuodelta 1832. Seuraavassa Gaussin menetelmän periaatteet lyhyesti (kts. myös oheinen kuvio). Mittaus on kaksivaiheinen. Ensin magneetti ripustetaan langan varaan ja mitataan sen heilahdusaika T. Se riippuu magneettikentästä ja magneetin voimakkuudesta (ns. dipolimomentti, M) siten, että T = 2π(K/MH) 1/2 (12) missä K on heilahtelevan magneetin hitausmomentti, joka voidaan laskea magneetin massasta ja dimensioista. Tuntemattomaksi jää tulo MH, joten kenttävoimakkuutta ei voida määrätä pelkillä heilahdushavainnoilla. Kylläkin eri kenttien suhteelliset voimakkuudet saadaan selville heilahdusaikojen suhdeluvuista.
15 MAGNEETTIKENTTÄ JA HEILAHDUSAIKA Heilurin heilahdusaika (T), kun pistemäinen massapiste (m) heilahtelee l-pituisen langan varassa vertikaalitasossa T = 2!! l g missä g on painovoiman kiihtyvyys. Jos heilahteleva massa on magnetoitunut ja sillä on pistemäisyydestä poikkeavat dimensiot, on (horisontaalitasossa) heilahdahdusaika magneettikentän (H) vallitessa: T = 2!! K MH missä K on heilahduskappaleen hitausmomentti (riippuu massasta ja massajakauman geometriasta) ja M magneetin magneettinen momentti. Tähän perustuu alkeellinen Maan magneettikentän mittalaite, joka antaa magneettikentän (H) suhteelliset arvot eri paikoissa mitattuna: H 1 H = T 2 2! 2 T 1 2 missä alaindeksit (1, 2) tarkoittavat tietyssä paikassa vallitsevia heilahdusajan ja magneettikentän arvoja. Esimerkkinä voi todeta sen, että magneetin heilahdusaika pienenee tekijällä "2 H:n kasvaessa paikasta 1 paikkaan 2 kaksinkertaiseksi (esim. Helsingistä päiväntasaajalle). H.N-a 26.9.2005 Tarvitaan siis vielä toinen mittaus. Siinä magneetilla A poikkeutetaan toista magneettia B siten, että A sijoitetaan kiskolle tunnetun etäisyyden (r) päähän B:stä ja sitä vastaan kohtisuoraan. Magneetti B:n suuntakulman muutos A:sta johtuen on α, joka saadaan yhtälöstä
16 Gaussin menetelmässä magneetilla (1) poikkeutetaan pientä magneettia (2), jonka poikkeutuskulma (α) mitataan teodoliitin kaukoputkella asteikolta. sin α = (µo/4π) 2M/Hr 3 (13) jossa siis suureet α ja r (on magneettien 1 ja 2 välinen etäisyys) on mitattavissa. Tulokseksi saadaan suhde M/H. Heilahdushavainnoista lasketusta tulosta MH ja poikkeutushavainnoista saadusta suhteesta M/H voidaan ratkaista sekä magneettikenttä H että magneetin dipolimomentti M. Gaussin menetelmä on varsin työläs ja hidas suorittaa ja lisäksi tarvitaan koko joukko erilaisia korjaustekijöitä (mm. lämpötila). Parhaimmissa tapauksissa voidaan yltää n. 5 nt tarkkuuteen. Mittauksen suorittaminen kokeneelta havaitsijalta vie noin puoli tuntia. Esimerkkinä modernista magnetometrista esitellään magneettivuon tiheyden skalaarikomponenttia mittaava protonimagnetometri. Muita laajassa käytössä olevia magnetometerejä ovat flux-gate ja absorptiomagnetometri. Vuonna 1953 amerikkalaiset Varian ja Packard keksivät uuden, ydinfysikaaliseen protonien prekessioilmiöön perustuvan magnetometrin, jonka toimintaperiaate on seuraava. Nestesäiliössä, joka sisältää paramagneettista vettä tai alkoholia, protonien alkeismagneetit (spin) ovat asettuneet maan kentän suuntaan (kts. oheinen kuvio). Nesteellä on siten pieni magneettinen
17 dipolimomentti maan kentän suuntaan (kuvassa vaihe a). Jos nyt aikaansaadaan nestesäiliön ympärille asetulla induktiokelalla voimakas lisäkenttä B p (vaihe b), esim 50 kertaa maan kenttä B ja sitä vastaan kohtisuorassa, protonien alkeismagneetit kääntyvät tähän suuntaan. Kun ulkoinen kenttä äkillisesti poistetaan, alkeismagneetit palaavat alkuperäiseen suuntaansa, mutta tehden ensin hyrrä- eli prekessioliikettä maan kenttävektorin B ympärillä (vaihe d). Prekessioliikkeen kulmataajuus ω on verrannollinen kenttään B ω = γb, (14) jossa γ on luonnonvakio, protonin gyromagneettinen suhdeluku. Protonien prekessioliike synnyttää induktiokelaan vaihtojännitteen, jonka taajuus on sama ω ja voidaan helposti mitata. Näin kenttä B voidaan laskea taajuuden ω = 2πf avulla B = 2πf/γ = gf, (14') jossa g = 23.487 nt/hz. Mittaus palautuu siis tarkaksi taajuuden mittaukseksi. Nykyaikaisilla protonimagnetometreillä päästään helposti 0.1 nt tarkkuuteen, joten edistys Gaussin menetelmään on melkoinen. Mittausteknisesti
18 protonimagnetometrin operointi on ns. napin painamista, kun taas Gaussin menetelmän hallitseminen vaatii pitkällistä harjaannusta magneettisen teodoliitin käyttöön. Gaussin laite on tänä päivänä historiallinen kurioisiteetti. Protonimagnetometrilla voidaan mitata suoraan kenttävektorin horisontaali- ja vertikaalikomponentti, jos anturipullo sijoitetaan kahden toisiaan kohtisuorassa olevan ison induktiokelan keskelle, joilla vuoronperään kompensoidaan osa magneettikentästä. Tällaista laitetta kutsutaan vektoriprotonimagnetometriksi.
Flux-gate magnetometri 19!V mitattava jännite syöttövaihtojännite f ferriittisauva Ho mitattava magn.kenttä kela kela Oikeanpuolisesta kelasta syötetään vaihtojännite (kulmataajuudella f) ferriittisauvaan. Sinimäisesti muuttuva magneettikenttä ferriittisauvassa synnyttää vasemman puoleiseen kelaan vaihtojännitteen (!V), joka on!v = CHo 2 sin(2ft), missä Ho on mitattava ulkoinen magneettikenttä ja C kojevakio. Flux-gate magnetometri antaa siis ferriittisauvan suuntaisen magneettikenttäkomponentin vuontiheyden jatkuvasti ajan (t) suhteen
20 Nurmijärven observatoriossa käytössä oleva magneettinen teodoliitti suunnan (D ja I) määrityksiä varten. Flux-sensori on läpinäkyvässä kotelossa kaukoputken päällä. 2. Dipolin aiheuttama magneettikenttä Yksinkertaisin magneettikenttä on dipolikenttä, jollainen syntyy sauvamagneetin ympärille, kun ollaan riittävän kaukana magneetista. Magnetismissa sähköistä alkeisvarausta (q) vastaa napavoimakkuus. Seuraavalla sivulla olevan kuvan mukaan dipolikentän kenttäviivat ovat sulkeutuvia käyriä, jotka lähtevät magneetin N-kohtiosta ja päättyvät sen S-kohtioon."Magneettiset alkeisvaraukset" m esiintyvät aina pareittain + ja -, yksittäisiä magneettisia alkeisvarauksia (monopoleja) ei tunneta. Maan pyörimisakselin suuntaisen maapallon keskipisteeseen sijoitetun dipolin aiheuttama magneettikenttä maanpinnalla saadaan lausekkeista:
21 Z = 2(µ o /4π)mR -3 cosθ = 2(µ o /4π)mR -3 sinφ H = (µ o /4π)mR -3 sinθ = (µ o /4π)mR -3 cosφ (2.1) B= (µ o /4π)mR -3 (1 + 3 cos 2 θ ) 1/2 = (µ o /4π)mR -3 (4-3 sin 2 φ) 1/2 missä θ on kolatitudi (napakulma), joka lasketaan pohjoisnavalta (= 0 ) päiväntasaajan (= 90 ) kautta etelänavalle (= 180 ), φ on maantieteellinen leveysaste siten, että φ = 90 θ. m on dipolimomentti, joka kuvaa magneetin voimakkuutta. Sen laatu on Am 2. Magneettikenttävektorin B inklinaatio I on tan I = Z/H = 2 cotθ = 2 tanφ (2.2) MAAPALLON DIPOLIKENTTÄ Pohj.napa H B Z Päiväntasaaja m S "! R N +m Etelänapa Kuva 2.1 Maapallon dipolikenttä, jossa kentän aiheuttava dipoli on suunnistettu Maan pyörimisakselin suuntaiseksi pohjoisnavalta etelänavalle
22 josta havaitaan, että inklinaatio ei lainkaan riipu dipolin voimakkuudesta eikä etäisyydesta R, vaan ainoastaan napakulmasta θ tai leveysasteesta φ. Ilmeistä on, että deklinaatio on kaikkialla = 0, koska dipolinavat ja maapallon pyörimisnavat yhtyvät. Jos tarkastelupiste on navalla, joko pohjoisnavalla tai etelänavalla, yhtälöistä 2.1 ja 2.2 nähdään, että H = 0; B = Z = ± 2(µ o /4π)mR -3 ; I = ±90 (2.3) missä + liittyy maantieteelliseen pohjoisnapaan ja etelänapaan. Eli navoilla magneettikenttä on pystysuorassa, mutta vastakkaissuuntainen maanpinnan suhteen. Jos taas tarkastellaan kenttää päiväntasaajalla, on voimassa Z = 0; B = H = (µ o /4π)mR -3 ; I = 0 (2.3') eli magneettikenttä on nyt vaakasuorassa. Magneettivuon tiheyksien suhteelle navoilla ja päiväntasaajalla on B(θ = 0, 180 ) /B(θ = 90 ) = 2 (2.4) eli dipolikentän vuontiheys on navoilla kaksi kertaa niin voimakas kuin päiväntasaajalla. Jos magneettikenttätarkasteluissa rajoitutaan vakioetäisyydelle maan säteen (R = 6372 km) etäisyydelle keskipisteestä, on tietyllä ajanhetkellä lauseke M = (µ o /4π)mR -3 (2.5) vakio. Sen lukuarvo vuodesta 1980 lähtien on ollut M(t = 1980.0) = 30.0 µt
23 M(t = 1990.0) = 29.8 µt M(t = 2000.0) = 29.6 µt eli muutos johtuu dipolimomentin m aikariippuvuudesta. Dipolikentän voimakkuus siis pienenee n. 1 /v eli n. 20 nt vuodessa. Huomioimalla 2.5, saadaan dipolikentälle pallomaiseksi oletetun maapallon pinnalla seuraavat yksinkertaiset lausekkeet: Z = 2Mcosθ = 2Msinφ H = Msinθ = Mcosφ (2.6) B= M(1 + 3 cos 2 θ ) 1/2 = M(4-3 sin 2 φ) 1/2 Käytännössä voidaan maanpinnalla (tai jonkin muun taivaankappaleen) tehdyistä mittauksista laskea suure M ja sitä kautta magneettikentän dipolimomentti. Helposti nähdään yhtälöistä 2.6 (johda tämä), että M = [H 2 + (1/4)Z 2 ] 1/2 (2.7) Tehtävä 2.1. Laske maan dipolimomentti, kun tietyssä paikassa H = 15 µt ja Z = 49 µt. Tehtävä 2.2. Osoita, että dipolikentälle pätee B= M(4 3 sin 2 θ ) 1/2 Tehtävä 2.3. Millä leveysasteella dipolikentässä H = Z? Tässä kuvattua maapallon magneetikentän dipolimallia kutsutaan aksiaaliseksi dipolikentäksi (Axial Geomagnetic Dipole Field, AGDF). Magneettikenttämittaukset eri puolilla maapalloa ovat osoittaneet, että dipolikenttä sopii havaintoihin paremmin, jos dipolia kallistetaan niin, että sen
24 pyrstöpuoli kääntyy n. 11 Grönlannin luoteisrannikon suuntaan likimain meridiaanin 290 kohdalla Kuvan 2.2 osoittamalla tavalla. Kuvan 2.2. esittämässä tilanteessa magneettikenttä saadaan seuraavista lausekkeista, jotka vastaavat yhtälöitä 2.1: H = M sinθ Z = 2M cosθ (2.8) missä Θ on napakulma laskettuna dipolinavasta. Kulmaa 90 Θ sanotaan geomagneettiseksi leveyasteeksi. Tässä tapauksessa dipolikentän deklinaatio 0, koska magneettinen ja maantieteellinen napa on eri paikassa. MAAPALLON DIPOLIKENTTÄ Kallistettu dipoli Pohj.napa Geomagn.pohjnapa H Päiväntasaaja!# S "! B R Z N Geomagn.etelänapa Etelänapa
25 Kuva 2.2. Maan dipolikenttä, ns. kallistetun dipolin tapaus, jossa dipolin suunta poikkeaa n. 11 maan pyörimisakselin suunnasta. Kallistetun dipolin määräämän suoran ja maanpinnan leikkauspiste on dipolinapa (tai geomagneettinen napa, engl. dipole pole or geomagnetic pole). Puhutaan pohjoisesta dipolinavasta, kun se sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla, vaikka itse dipolissa kyseessä on S-kohtio. Vuodesta 1980 lähtien pohjoinen dipolinapa on ollut paikassa: t = 1980.0 φ = 78.8 N; λ = 289.4 E t = 1990.0 φ = 79.1 N; λ = 288.9 E t = 2000.0 φ = 79.5 N; λ = 288.4 E mistä nähdään, että dipoli on liikkeessä: se kiertyy vuosittain länteenpäin keskimäärin 0.05 ja kääntyy lähemmäs pyörimisakselin suuntaa 0.04 nopeudella. -68.0 1920 1900 Pituusaste ( E) -69.0-70.0 Maapallon dipolinavan paikkakoordinaatit pohjoisella pallonpuoliskolla 1900-2005 1960-71.0 1980 2000-72.0 10.0 10.4 10.8 Leveysaste ( N) 11.2 11.6 Maapallon dipolinavan liike pohjoisella pallonpuoliskolla 1900-2005.
26 Dipole field on the Equator (nt) 32000 31000 8.2x10 22 8.0 Dipole moment (Am 2 ) 30000 7.8 1900 1920 1940 1960 1980 2000 Year Kallistettu dipoli (inclined dipole) kuvaa koko maapallon magneettikentästä n. 80 %, mutta tietyllä alueella magneettikentän arvot saattavat poiketa suurestikin dipolikentän ennustamista lukemista. Seuraava esimerkki on Nurmijärven magneettisesta observatoriosta. Allaoleva taulukko osoittaa kallistetun dipolin ja aksiaalisen dipolin avulla lasketut kentän arvot (X, Y, Z ja D komponentit) verrattuna paikan päällä mitattuihin. Taulukko 2.1. Dipolikenttä verrattuna Nurmijärvellä (v. 1980) mitattuihin magneettikentän arvoihin Nurmijärvi (θ = 29.49 ; λ = 24.66 E) X Y Z D Lähde 14 769 nt 0 nt 52 228 nt 0 Aks.dip. 15 272 5 934 51 659 21.2 Kall.dip. 15 153 +1 120 49 042 +4.2 Havaittu Taulukosta havaitaan heti, että kallistetun dipolin tapauksessa deklinaatio ja itäkomponentti poikkeavat merkittävästi havaituista arvoista. Y:n osalta ero on n. 7 000 nt. Muissa komponenteissa se on pienempi. Johtopäätös on siis: Suomessa (pätee yleensä Skandinaviassakin) magneettikentän deklinaatio on anomaalinen ja poikkeaa (kallistetun) dipolin ennustamasta suunnasta tyypillisesti n. 25 astetta itäänpäin. Kuva 2.3 havainnollistaa tilannetta horisontaalivektorin osalta.
27 Kuvan 2.3 mukaan havaittu horisontaalikomponentti (H) koostuu kahden vektorin summasta: dipolikentän osuudesta (H d ) ja jäännös(anomalia)- komponentista (H a ) siten, että H = H d + H a (2.9) Anomaliakomponentti syntyy samassa lähdealueessa kuin dipolikenttäkin, siis maapallon nesteytimessä, mutta sellaisten virtajärjestelmien tuotta- Hd Pohj.suunta (X) H D H = H d + H a ; H a = H - H d H a 2 = H d 2 + H 2-2H d H H a = H d 2 + H 2-2H d Hcos(! + D) cos(! a ) = H 2 + H a 2 - H d 2 2HH a!!a Itäsuunta (Y) Ha Kuva 2.3. Horisontaalikenttä Suomessa keskimäärin. Havaittu kentän (H) suunta poikkeaa paljon dipolikentän (Hd) ennustamasta suunnasta, mikä johtuu anomaalisesta häiriökentästä (Ha), joka kääntää kompassineulat pois dipolinavan suunnasta.
28 Liite: Dipoliyhtälön johto Kuvassa yllä +p ja -p ovat magneettisia "alkeisvarauksia", napoja (-p = S; +p = N) etäisyydellä 2d toisistaan. Tarkastelupisteessä r paikkavektori tekee kulman Φ katkoviivalla merkityn vaaka-akselin kanssa. Kahden navan systeemin magneettinen potentiaali on osapotentiaalien summa: V = µ op 4! ( 1 r + 1 r ) = µ op 4! (r r + r + r )
29 Jos r >> 2d on voimassa likimäärin r +! r d sin " r! r + d sin "!' "! jolloin etäisyyksien erotus ja tulo ovat: r r +! d (sin " + sin "') = 2d sin " r + r! r 2 d 2 sin 2 "! r 2 Sijoittamalla nämä potentiaalin lausekkeeseen saadaan: V = µ o 4! (2dp) r 2 = µ o 4! m sin " r 2 missä tulo 2dp = m on dipolimomentti Magneettisesta potentiaalista saadaan derivoimalla H (= B Φ ) ja Z (= -B r ): H = dv/rdφ = (µ o /4π)mr -3 cos Φ Z = -dv/dr = 2(µ o /4π)mr -3 sin Φ