ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016
Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)
Tasoaallon polarisaatio Homogeenisen tasoaallon polarisaation määrittelee sähkökenttävektorin E piirtämä ura kiinteässä paikassa ajan funktiona. Lineaarinen polarisaatio Ympyräpolarisaatio Elliptinen polarisaatio vasenkätinen oikeakätinen (kun aalto tulee kohti) 3 (18)
Tasoaallon polarisaatio Tasoaalto etenee +z-suuntaan häviöttömässä aineessa. Sähkökenttäosoitin voidaan tällöin yleisessä tapauksessa kirjoittaa muodossa ) Ẽ = ( x E x0 + ŷ E y0 e jkz = ( ) E re + j E im e jkz, missä kertoimet E x0, E y0 ovat kompleksilukuja ja vektorit E re, E im ovat reaalisia ja ẑ. Tapauksesta riippuen voi olla näppärämpää tutkia joko x- ja y-komponenttien välistä vaihe- ja amplitudieroa tai reaali- ja imaginaariosien välistä kulma- ja amplitudieroa. 4 (18)
Lineaarinen polarisaatio Jos x- ja y-komponentit ovat samassa tai vastakkaisessa vaiheessa saadaan lineaarinen polarisaatio. Yleinen +z-suuntaan etenevä tapaus voidaan kirjoittaa muodossa Ẽ = ( x cos ψ + ŷ sin ψ ) E 0 e jφ e jkz missä polarisaation suunta (kulma ψ positiivisesta x-akselista) on erotettu kentän amplitudista E 0 ja vaiheesta φ. (Entä jos tarkastellaan E re ja E im?) 5 (18)
Ympyräpolarisaatio Tasoaalto on ympyräpolarisoitunut, jos E re = E im, E re E im. Tutkitaan tarkemmin oikeakätisesti ympyräpolarisoitunutta (RHC) prototyyppiaaltoa: Ẽ = ( x j ŷ ) E 0 e jkz (E 0, k > 0) { ) E = Re ( x j ŷ E0 e jkz e +jωt} = E 0 Re {( x j ŷ ) [ cos(ωt kz) + j sin(ωt kz) ]} ] = E 0 [ x cos(ωt kz) + ŷ sin(ωt kz) Magneettikenttäosoitin saadaan tasoaaltoyhtälöllä H = 1 η k Ẽ. 6 (18)
Ympyräpolarisaatio Sähkö- ja magneettikenttä xy-tasolla (z = 0) ajan funktiona: ωt = 0 y ωt = π 4 y ωt = π 2 y H E x H E x H E x Sekä E että H piirtävät ympyrää vastapäivään. Aalto tulee kohti (+z-suuntaan), joten tämä on tosiaan oikeakätinen polarisaatio. Vastaava vasenkätinen polarisaatio saadaan osoitinmuodossa vaihtamalla ( x j ŷ) ( x + j ŷ). 7 (18)
Elliptinen polarisaatio Vasenkätinen elliptinen polarisaatio akselisuhteella 2 Ẽ = ( 2 x + j ŷ ) E 0 e jkz, H = ( 2ŷ j x ) E 0 η e jkz Polarisaatioellipsin piirtäminen on helppoa, jos E re E im : y H E im E re x Kiertosuunta saadaan kääntämällä E im E re lyhyintä tietä. H:n piirtämä ellipsi on samanmuotoinen, mutta 90 käännettynä. E H aina ja kaikkialla, kun väliaine on häviötön. 8 (18)
Virranahtoilmiö 9 (18)
Johtimen resistanssi Tarkastellaan a-säteisestä johtimesta l-pituinen pala, jonka johtavuus on σ. R dc = l (πa 2 )σ Tasajännite V aiheuttaa tasaisen sähkökentän E ja virrantiheyden J = σ E. Vaihtovirtatapauksessa muuttuva E muuttuva J muuttuva H ja B indusoitunut smv ja virta, joka vastustaa J:n muutosta. Virranahtoilmiö: Vaihtovirta (riittävän korkealla taajuudella) kulkee pääosin lähellä johtimen pintaa. 10 (18)
Tasoaaltomalli H Ẽ x J(z) σ z Paikallisesti johtimen pinta voidaan approksimoida tasolla, jolla E- ja H-kentät ovat kuten johtimen sisälle pyrkivällä tasoaallolla. (Miksi?) Ẽ(z) = xe 0 e αz e jβz Virrantiheyden amplitudi vaimenee siis eksponentiaalisesti syvyyden funktiona J = J 0 e αz = J 0 e z/δ s. Approksimoidaan tasaisella virrantiheydellä J 0 syvyyteen δ s, koska: J 0 J 0 e z/δ s dz = J 0 δ s J 0 δ s z
Vaihtovirtaresistanssi Jos johtimen säde a δ s, voidaan approksimoida oikea virtajakauma tunkeutumissyvyyden paksuisella pintakerroksella, jossa on tasainen virtajaukauma. (Vaaditaan, että johtimen paksuus tai säde on vähintään 5 δ s.) Tällä tavalla saadaan vaihtovirtaresistanssiksi R ac l (2πaδ s )σ = l 2πa R s, R s = 1 δ s σ = α σ. Kuparille δ s 9 mm, kun f = 50 Hz ja δ s 0.9 µm, kun f = 5 GHz. 12 (18)
Pintaimpedanssi Jos äskeisessä virrantiheyden tunkeutumisessa huomioidaan vaimennuskertoimen α = 1/δ s lisäksi etenemiskerroin β α, voidaan johtaa hyvän johteen pintaimpedanssiksi Z s = 1 + j σ δ s, mikä on sama kuin hyvän johteen väliaineimpedanssi η c. Pintaimpedanssi on johtimen impedanssi, kun johtimen pituus on sama kuin sen leveys. Toisaalta pintaimpedanssi toimii reunaehtona kenttien tangentiaalikomponenteille Ẽ tang = Z s n H, n = pinnan ulkonormaali. 13 (18)
Tehotiheys ja Poyntingin vektori 14 (18)
Poyntingin vektori Reaalinen ajasta riippuva Poyntingin vektori S = E H mittaa sähkömagneettisen kentän hetkellistä tehovirtausta. (Vertaa P(z, t) = v(z, t)i(z, t) siirtojohdossa.) Usein kiinnostavampi suure on kuitenkin Poyntingin vektorin aikakeskiarvo eli keskimääräinen etenevä tehotiheys S av. Huomaa: Sähkö- ja magnetismi -kurssissa S av = S av kulki nimellä intensiteetti eli irradianssi. 15 (18)
Poyntingin vektori aikaharmonisessa tapauksessa Kompleksiluvulle z = a + jb pätee Re [ z ] = 1 2 ( z + z ), missä z = a jb. Tämän avulla Poyntingin vektori voidaan esittää muodossa S = E H = Re [Ẽ ] [ e jωt Re H e jωt] = 1 (Ẽ e jωt + Ẽ e jωt) 1 ( H e jωt + H e jωt) 2 2 = 1 1 (Ẽ H e j2ωt + Ẽ H + Ẽ H + Ẽ H e j2ωt) 2 2 = 1 [Ẽ 2 Re H ] + 1 [Ẽ }{{} 2 Re H e j2ωt] S av (Vertaa P av = 1 2 [Ṽ Re Ĩ ] siirtojohdossa.) 16 (18)
Tasoaalto häviöttömässä aineessa Keskimääräinen etenevä tehotiheys S av = 1 [Ẽ 2 Re H ] = 1 ( )] 1 [Ẽ 2 Re η k Ẽ = 1 [ k (Ẽ 2η Re Ẽ ) ( Ẽ Ẽ k)] Ẽ 2 = k 2η Ṽ (Vertaa P av = 2Z 0 2 siirtojohdossa.) 17 (18)
Tasoaalto häviöllisessä aineessa Häviöllisessä tapauksessa Ẽ = x E 0 e αz e jβz, E 0, α, β > 0, pitää vaimennuskertoimen lisäksi ottaa huomioon kompleksinen väliaineimpedanssi η c = η c e jθ η. Keskimääräinen etenevä tehotiheys on tällöin Ẽ 2 [ ] 1 S av = k 2 Re η c = ẑ E2 0 2 η c e 2αz cos θ η. Vaimennustekijän e 2αz lisäksi saatiin siis E- ja H-kenttien välisen vaihe-eron takia tehokerroin cos θ η. 18 (18)