Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen, se tekee työtä ja hiukkasen energia muuttuu. Kuten mekaniikassa, myös elektrodynamiikassa energia voidaan jakaa liike- ja potentiaalienergiaan. Sähköstaattinen energia on potentiaalienergiaa. Kun varaus q siirtyy pisteestä A pisteeseen B sähköstaattisessa kentässä, kenttä tekee työn W = B A B B F dl = q E dl = q ϕ dl = q(ϕ B ϕ A ). (4.1) A A Työn ja energian SI-yksikkö on joule (J), joka on sama kuin wattisekunti (Ws). Työ on myös varaus kertaa sähköinen potentiaali, jonka yksikkö on C tai elektronivoltti (e). Koska elektronin varaus on 1, 60 10 19 C, on 1 e = 1, 60 10 19 J. 4.1 arausjoukon potentiaalienergia arausjoukon sähköstaattisella energialla tarkoitetaan systeemin potentiaalienergiaa verrattuna tilanteeseen, jossa kaikki varaukset ovat äärettömän kaukana toisistaan. Energia saadaan laskemalla yhteen työ joka tehdään, kun kukin varaus tuodaan yksitellen paikalleen varausjoukkoon. Koska alunperin tarkasteltavassa systeemissä ei ole varauksia, ensimmäinen varaus q 1 saadaan pisteeseen r 1 ilman työtä, W 1 = 0. Toisen varauksen q tuominen merkitsee työntekoa voimaa F = q 1 r 1 /4πɛ 0 r 1 3 vastaan, joten varauksen sijoittamiseksi pisteeseen r on tehtävä työtä W = q 1q 4πɛ 0 r 1. (4.) 49
50 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA Kolmannelle varaukselle W 3 = q 3 ( q1 + q ) 4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 3 ja niin edelleen kaikille N kappaleelle varauksia. Koko systeemin sähköstaattinen energia U on N N j 1 q U = W j = j q k. (4.3) 4πɛ 0 r jk k=1 Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoon U = 1 ( N N k=1 ) q j q k, (4.4) 4πɛ 0 r jk missä merkitsee, että termit j = k jätetään pois. Energia voidaan siis ilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalin ϕ j = N k=1 q k 4πɛ 0 r jk (4.5) avulla: U = 1 N q j ϕ j. (4.6) Huom. Sähköstaattinen potentiaali ei siis ole aivan sama asia kuin potentiaalienergia. Se voidaan kuitenkin tulkita potentiaalienergiaksi yksikkövarausta kohti. Jatkossa myös staattiselle magneettikentälle ja dynaamisille sähkömagneettisille kentille tullaan johtamaan potentiaaliesityksiä ja oppimaan, että niille tällaista tulkintaa ei ole. 4. arausjakautuman sähköstaattinen energia Tarkastellaan seuraavassa jatkuvia varausjakautumia. Osa varauksista voi olla johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa olla eristeitä, mutta ne on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisilla eristeillä varaussysteemin kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin kukin varaus tuodaan äärettömyydestä tarkastelualueeseen. Suoraviivaisimmin energian lausekkeen saa yleistämällä diskreettien varausjakautumien tulokset jatkuville jakautumille eli muuttamalla summa integraaliksi: U = 1 ρ(r)ϕ(r) d. (4.7)
4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 51 Tässä ei ole kirjoitettu erikseen näkyviin mahdollisia pintavarauksia tai diskreettejä pistevarauksia. Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen, sillä niiden varaukset Q j ovat kokonaan pinnoilla S j ja kunkin johteen potentiaali ϕ j on vakio: U = 1 S j σϕ ds = 1 Q jϕ j. (4.8) arausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaan U = 1 ρϕ d + 1 Q j ϕ j, (4.9) j missä jälkimmäisessä termissä summataan yli kaikkien johdekappaleiden. Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, ei johdekappaleita summattaessa kappaleen omaa osuutta (itseisenergiaa) voida jättää huomiotta, kuten edellä tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa. Pistevarausten itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissa tarkasteluissa, mutta aikoinaan muotoiltaessa kvanttitason elektrodynamiikkaa tästä aiheutui varsin visaisia ongelmia. Kondensaattorin energia Oletamme kondensaattorit tutuiksi peruskurssilta (HT: kertaa asia, jos se on päässyt unohtumaan). Kondensaattorin varauksen ja potentiaalieron välistä suhdetta C = Q/ ϕ kutsutaan kondensaattorin kapasitanssiksi. Kondensaattorin energia voidaan ilmaista U = 1 Q ϕ = 1 C( ϕ) = 1 Q C. (4.10) 4.3 Sähköstaattisen kentän energia Edelläoleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä. Usein tunnetaan kuitenkin sähkökenttä ja halutaan määrittää sen avulla sähköstaattinen energia. Eristeissä ρ = D ja johteiden pinnalla σ = D n, jolloin U = 1 ϕ D d + 1 ϕ D n ds. (4.11) Tilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa D 0 ja pintaintegraali on summa kaikkien johteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia kirjoittamalla ϕ D = (ϕ D) D ϕ. Tässä oikean puolen S
5 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA jälkimmäinen termi on +D E ja ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan muuttaa Gaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin saadaan U = 1 S+S ϕ D n ds + 1 D E d + 1 S ϕ D n ds. (4.1) Tässä pinta S + S on koko tilavuutta rajoittava pinta, joka muodostuu johteiden pinnoista S ja tilavuuden ulkopinnasta S. Molemmissa tapauksissa n osoittaa ulospäin tilavuudesta. iimeisen integraalin n puolestaan osoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden sisään. Integraalit johdekappaleiden yli kumoavat siis toisensa. Pinnan S yli laskettava integraali häviää, kun pinta viedään kauas varausjakautumasta. Kaukana ϕ 1/r ja D(r) 1/r ja pinta-alkiolle puolestaan pätee ds r. Tällöin ϕ D n ds 1/r eli integraali katoaa r:n kasvaessa. (Huom. Tämä pätee vain staattisille kentille. Myöhemmin tutustutaan säteilykenttiin, jotka kuljettavat energiaa mukanaan äärettömyyksiin.) Energian lauseke on siis U = 1 D E d. (4.13) Tässä on koko avaruus sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E = 0. Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheys u = 1 D E. (4.14) Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaa myös u = 1 ɛe = 1 D ɛ. (4.15) Huom. Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia, niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti. HT: Laske homogeenisen varauspallon sähköstaattinen energia kolmella eri tavalla: kokoamistyöllä, energiatiheyttä integroimalla, potentiaalin ja varaustiheyden tuloa integroimalla. HT (vaikea): Kuuluuko sähköstaattinen energia hiukkasille vai kentälle? Toinen tapa johtaa tulos (4.14) on esitetty yksityiskohdittain CL:n luvussa 5.. Lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja tehdään siihen pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ δu = δρ(r)ϕ(r) d (4.16)
4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 53 ja siirtymäkenttä δd, jolle (δd) = δρ, joten osittaisintegroimalla lauseketta (4.16) saadaan (HT) δu = ( δd)ϕ d = E δd d. (4.17) Tarkastellaan sitten yksinkertaista väliainetta (D = ɛe), jolloin E δd = 1 ɛδe, (4.18) joten δu = δ 1 ɛe d = δ 1 E D d (4.19) mistä saadaan U = 1 ɛe d = 1 E D d. (4.0) Tässä on oletettu, että tarkasteltava systeemi on mekaanisesti jäykkä, joten yksinkertaisellekin väliaineelle energiatiheyden lauseke (4.14) on vain approksimaatio. Epälineaarisille väliaineille energia on laskettava suoraan lausekkeesta (4.17). Tämä liittyy jälleen hystereesi-ilmiöön. Esimerkki. Ionikiteen sähköstaattinen energia Tarkastellaan tavallista ruokasuolaa (NaCl, kuva 4.1). Kokeellisesti tiedetään, että suolan hajottaminen Na + - ja Cl -ioneiksi vaatii energiaa 7,9 e molekyyliä kohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin sähköstaattinen potentiaalienergia kaikkien muiden kiteen ionien kentässä. + + + + + + Na+ Cl + a + + + + + Kuva 4.1: NaCl-kiteen poikkileikkaus. Yhden Na + -ionin potentiaalienergia on U 1 = 1 N i=1 eq i 4πɛ 0 r i, (4.1)
54 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon sijoitetusta Na + -ionista. N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi makroskooppisille kiteille. Koska halutaan yhden molekyylin potentiaalienergia U, on laskettava summa U = U 1 : U = i=1 eq i 4πɛ 0 r i. (4.) Röntgendiffraktiokokeista tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa, jossa kuution sivun pituus a on noin, 8 10 10 m. Koska e /(4πɛ 0 a) 5, 1 e, niin suuruusluokan puolesta ollaan oikeilla jäljillä. Energian lauseke voidaan kirjoittaa summana U = e 4πɛ 0 a m,n,p= ( 1) m+n+p m + n + p, (4.3) missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaan U 1, 747 e /(4πɛ 0 a) 8, 91 e. Tämä on hieman liian suuri arvo, koska edellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä vallitsevaa poistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen tarvittavaa energiaa. Lisäksi pieni korjaus tulisi ottamalla huomioon kidevärähtelyistä johtuva liike-energia. Esimerkki. Eristekappaleen energia Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakauman ρ 0 (r) aiheuttama sähkökenttä E 0. Tuodaan avaruuteen yksinkertaisesta aineesta muodostuva eristekappale 1 (permittiivisyys ɛ 1 ) siten, että alkuperäisen kentän E 0 aiheuttava varausjakauma ei muutu. Ennen eristekappaleen tuontia sähköstaattinen energia on U 0 = 1 E 0 D 0 d, (4.4) missä D 0 = ɛ 0 E 0. Kappaleen tuonnin jälkeen energia on U 1 = 1 E D d. (4.5) Energioiden erotus U = U 1 U 0 voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (E D 0 D E 0 ) d + 1 (E + E 0 ) (D D 0 ) d. (4.6) Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E + E 0 = ϕ (Tässä ϕ ei ole fysikaalinen potentiaali vaan jokin skalaarifunktio.) Integrandiksi tulee
4.4. SÄHKÖKENTÄN OIMAAIKUTUKSET 55 osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ (D D 0 ). Tämä on nolla, koska alkuperäinen varausjakauma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energian muutos on siis U = 1 (E D 0 D E 0 ) d. (4.7) Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan 1, sillä sen ulkopuolella D = ɛ 0 E. Integrandiksi tulee siis 1 (ɛ 1 ɛ 0 )E E 0 = 1 P E 0 polarisoituman määritelmän perusteella. Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleen energiatiheys on siten u = 1 P E 0. Tuloksen avulla voidaan päätellä, mihin suuntaan kappale pyrkii liikkumaan (HT). 4.4 Sähkökentän voimavaikutukset Sähkökenttä määriteltiin alunperin operatiivisesti voimavaikutuksen kautta. Johdetaan nyt voimavaikutus sähköstaattisesta energiasta. Oletetaan eristetyn systeemin kaikki energia sähköstaattiseksi energiaksi. oiman F tekemä työ systeemin pienessä siirroksessa dr on dw = F dr. (4.8) Koska systeemi on eristetty, tämä työ on tehtävä sähköstaattisen energian U kustannuksella: dw = du. (4.9) Koska du = U r dr = U dr, voima on energian gradientin vastaluku: F = U. (4.30) Jos voima puolestaan kiertää systeemiä kulman dθ verran (vrt. väkipyörä), tehty työ on dw = τ dθ, (4.31) missä τ on vääntömomentti, joka saadaan siis energian negatiivisena gradienttina kiertymäkulman suhteen: τ = U θ. (4.3) Q Koska systeemi on eristetty, gradientit lasketaan olettaen varaus Q vakioksi. Käytännössä sähköstaattiset systeemit eivät useinkaan ole eristettyjä, vaan muodostuvat esimerkiksi johdekappaleista, jotka pidetään kiinteässä potentiaalissa ulkoisen energialähteen (pariston) avulla. Siirtyköön osa systeemistä jälleen sähköisten voimien vaikutuksesta. Nyt dw = dw b du, (4.33)
56 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA missä dw b on pariston tekemä työ. Johdekappaleille U = (1/) j ϕ jq j. Koska ulkoinen paristo pitää johdekappaleet samassa potentiaalissa, saadaan du = 1 ϕ j dq j. (4.34) j Toisaalta paristosta saatava työ on yhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan siirtämään varauksen muutos dq j nollapotentiaalista johdekappaleen potentiaaliin: dw b = ϕ j dq j = du (4.35) j eli voima on F = ( U) ϕ. (4.36) Alaindeksi ϕ viittaa siihen, että ulkoinen energialähde pitää johdekappaleiden potentiaalit vakioina siirroksen dr ajan. Huomaa merkkiero eristetyn systeemin voiman lausekkeeseen. Esimerkki. Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttava voima Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki, jonka permittiivisyys on ɛ (kuva 4.). Kondensaattorin levyjen etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin jännitteen vakiona ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää palkkia kondensaattoriin. d E F + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + L x L x Kuva 4.: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä. Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E = ϕ/d, joten sen energiasisältö on U = 1 ɛe d (4.37)
4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 57 jättämällä kondensaattorin reunavaikutukset huomiotta. Systeemin energia kuvan tilanteessa on oima U(x) = ɛ ( ϕ d ) wxd + ɛ 0 ( ) ϕ w(l x)d. (4.38) F x = U x = ɛ ɛ 0 w ( ϕ) = ɛ r 1 ɛ 0 E wd (4.39) d osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä. HT: Miten tämän voi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla? d 4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Tutustutaan lopuksi tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset jännitystensorin avulla. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinen sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa varausjakautuma ρ. Alueeseen vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan F = ρ(r)e d = f(r) d, (4.40) missä f = ρe = ɛ 0 ( E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti. Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi. Todetaan ensin, että f x = ɛ 0 ( 1 x(e x) + y (E y E x ) + z (E z E x ) E y y E x E z z E x ). (4.41) Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli E = 0, niin x E y = y E x, y E z = z E y, z E x = x E z. (4.4) Saadaan f x = ɛ 0 ( x (E x 1 E ) + y (E y E x ) + z (E z E x )) (4.43) ja vastaava tulos muille komponenteille (HT). ektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos ψ d = n ψ ds. (4.44) Tämän avulla saadaan kokonaisvoiman x-komponentiksi F x = f x (r)d = ɛ 0 (n x (Ex 1 E ) + n y E y E x + n z E z E x ) ds (4.45) S
58 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA ja koko vektoriksi F = (ɛ 0 (n E)E 1 ɛ 0nE ) ds. (4.46) S Alueeseen vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S, jonka pintatiheyden f S komponentti i on 3 fi S = T ij n j, (4.47) missä on määritelty Maxwellin jännitystensori T, jonka komponentit ovat T ij = ɛ 0 (E i E j 1 δ ije ). (4.48) oimatiheys voidaan esittää tensorin divergenssinä: 3 f i = j T ij. (4.49) oimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä, että N = r f d on sama kuin NS = S r f S ds. Laskennallisesti suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin käyttöön (HT). Jännitystensoriin palataan magnetostatiikassa analogisella tavalla ja se tulee vastaan myös liikemäärän säilymislain yhteydessä. Esimerkki. Johdepalloon vaikuttava sähköstaattinen voima Asetetaan ohut johtava pallonkuori (säde a) homogeeniseen sähkökenttään E 0. Sähkökenttä määritettiin jo luvussa. Pallon pinnalla sähkökentällä on vain radiaalinen komponentti E r (r = a) = 3E 0 cos θ. Harjoitustehtävänä on osoittaa jännitystensorin avulla tai muulla tavalla päättelemällä, että staattisessa sähkökentässä olevaan johdekappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on F = 1 σ s E ds, (4.50) S missä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S. Symmetrian perusteella pallon ylempään puoliskoon (0 < θ < π/) vaikuttava voima on z-akselin suuntainen (F + e z ) ja alempaan puoliskoon (π/ < θ < π) vaikuttava voima on F = F +. Koska pallon pinnalla σ s = ɛ 0 E r (a), niin F + = e z 1 ɛ 0Er (a)e r ds = 9ɛ 0E 0 a = 9πɛ 0a E 0 4 π 0. dφ π/ 0 dθ sin θ cos 3 θ (4.51)