Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä voisivat olla esimerkiksi massa6heys tai varaus6heys paikan funk6ona tai korkeus kar@akoordinaaien funk6ona Esim: funk6o f(x,y) kertoo mus6en pallojen 6heyden kentällä. Pac- Man liikuu käyrää pitkin pisteestä a pisteeseen b ja syö palloja. Kuinka monta palloa Pac- Man syö? Vastaus on (suunnilleen) viivaintegraali f(x,y) ds (ds on ääre@ömän pieni pala käyrää) a y ds b x

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Tämä tulkinta au@aa hahmo@amaan, mistä on kyse, mu@a ei vielä varsinaises6 auta laskemaan integraalia. Kuvasta nähdään kuitenkin suoraan yksi keskeinen asia: Viivaintegraalin arvo (Pac- Manin syömien pallojen lukumäärä) riippuu yleisessä tapauksessa alku- ja loppupisteiden lisäksi myös integroin6rei6stä. f(x,y) ds f(x,y) ds 1 2 a y 2 b 1 x

"Perinteisempi" tulkinta: 1D Funk6o f(x):n kuvaaja on käyrä. f(x):n arvo x:n eri pisteissä kuvataan pylväinä oheisessa kuvassa. Integraalin f(x)dx tulkinta: käyrän alle jäävä pinta- ala. Voidaan ajatella e@ä alue jaetaan (ääre@ömän kapeisiin) siivuihin, joiden pinta- ala lasketaan yhteen. f(x)dx

2D f(x,y) ds Funk6o f(x,y):n arvo pisteessä x,y kuvataan myös pylvään korkeutena (vasen kuva). Funk6on kuvaaja on siis pinta. Käyrä kulkee x,y tasossa. Jokaisessa :n pisteessä f(x,y):llä on jokin arvo nämäkin voidaan piirtää pylväinä/siivuina siivuina kuten oikeanpuoleisessa kuvassa. Viivaintegraali käyrällä summaa siivujen pinta- alat ("aidan pinta- alan") aivan kuten "tavallinen" integroin6kin Tavallinen integraali on ikään kuin viivaintegraali käyrällä y=0.

Viivaintegraalin laskeminen (1) Viivaintegraalin laskeminen edelly@ää yleensä integraalin muuntamista "tavallisten" integraalien mutoon. Tähän on monta vaihtoehtoa. Oppikirjassa esitellään yleinen (joskin käytännössä usein työläs) kikka, jossa ds muunnetaan Pythagoraan lauseen avulla y:n ja x:n funk6oksi (huom: merkinnän kanssa tulee olla varovainen; (dy) 2 /(dx) 2 ei tarkoita toista derivaa:aa): ds 2 = dx 2 + dy 2 ds = dx 2 + dy 2 = dx 2 (1+ (dy)2 (dx) 2 ) = (1+ (dy)2 ) dx= (1+ (dy 2 (dx) dx )2 ) dx

Viivaintegraalin laskeminen (1) ds = (1+ ( dy dx )2 ) dx Mikäli käyrä on anne@u muodossa y = y(x), voidaan tästä laskea dy/dx, ja integraalista tulee tavallinen integraali x:n suhteen. Esim: integroi f(x,y)=xy käyrää y=x 2 /2 pitkin pisteestä (x,y)=(0,0) pisteseen (x,y)=(1,0.5). Ratkaisu: y = x2 2 f(x,y)ds = f(x,y) = xy = x3 2 ; dy dx = x x=1 x=0 x 3 2 1+ ( dy dx )2 dx = x=1 x=0 x 3 2 1+ x 2 dx

Viivaintegraalin laskeminen (1) x=1 x=0 x 3 2 1+ x 2 dx Tämä voidaan laskea muu@ujanvaihdolla u = 1 + x 2 ; tällöin du = 2x dx dx = du/2x, ja saadaan x=1 x 3 1+ x 2 dx = 2 x=0 = 1 4 = 1 4 u=2 x 2 u=1 u=2 u=1 (u 1 u 2 du = 1 4 3 2-1 u=2x 3 u=1 u=2 u=1 2 u 2 )du = 1 4 1 1 u 2 du 2x (u -1) 5 2 u2 1 u 1+ 3 2 2 du u 3 2 1+ 1 2 = (1+ 2) 15

Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Jos käyrää ei voida ilmaista helpos6 muodossa y=y(x), joudutaan usein käy@ämään kolma@a muu@ujaa t siten, e@ä käyrän määri@elee x=g(t), y=h(t), a t b. Esim jos käyrä on suora viiva pisteestä (2,1) pisteeseen (4,2), niin voidaan kirjoi@aa x = 2t, y = t, ja integroida t:n suhteen arvosta t=1 arvoon t=2. ds è dt muunnos näy@ää tältä: y ds = dx 2 + dy 2 = dt 2 ( dx2 dt 2 + dy2 dt 2 ) = ( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt (2,1) (4,2) dx/dt ja dy/dt voidaan laskea, koska x=g(t) ja y=h(t) x

Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken anne@u x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds x y

Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken anne@u x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds f(x,y) x y

Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken anne@u x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds f(x,y) y x Viivaintegraalin arvo on tämä pinta- ala

Tämä kalvo on lisäinformaa6ota: tätä ei kysytä ten6ssä. Viivaintegraalin laskeminen (2) Esim: olkoon käyrä äsken anne@u x=2t, y=t, t:1 2, ja funk6o f(x,y) = xy. Lasketaan viivaintegraali f(x,y)ds Ratkaisu: x = 2t, y = t dx dy = 2, dt dt =1 f(x,y) = xy = 2t t = 2t 2 f(x,y) ds = 2t 2 t=2 t=2 t=1 ( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt = 2t 2 2 2 +1 2 dt = 2 5 t 2 dt t=1 = 2 5 t=2 t=1 2 t 3 1 3 = 2 5(23 3 13 3 ) = 14 5 3

Viivaintegraalin laskeminen (3) Usein (etenkin kemiallisissa sovelluksissa) viivaintegraali annetaan "ds - muodon sijaan muodossa, jossa esiintyy jo valmiiksi dx ja dy: Esim: f(x,y) ds = F(x,y)dx + G(x,y)dy ΔV = $ & % R p RT dt p 2 dp ' ) ( [ ] Tämän muodon graafinen hahmo@aminen on joskus vaikeampaa, mu@a laskeminen usein helpompaa: viivaintegraali saadaan usein helpos6 muunne@ua tavallisten integraalien (x:n tai y:n suhteen) summaksi.

Viivaintegroin6: esimerkki Esim. laske integraali [ ydx + xydy] kun reii on sellainen e@ä y = 1 x ja x : 1 0. Ratkaisu: dy dx = d(1 x) dx = 1 dy = dx [ ydx + xydy] = (1 x)dx + x(1 x)( dx) x=0 x=0 x=1 [ ] = $ %( 1+x x+x 2 )dx& ' = (x 2 1)dx x=1 x=0 x=1 y (0,1) (1,0) x = x=0 x=1 ( x3 3 x)=0 (13 3 1) = 2 3

Esim. laske integraali [ ydx + xydy] kun reii on (1,0) (1,1) (0,1) alku6lanne loppu6lanne Ratkaisu: Käsitellään rei6n osat erikseen. y Osassa 1 pätee: (0,1) x = 1, jolloin dx = 0. y: 0 1 Osassa 2 pätee: y=1, jolloin dy = 0 x: 1 0 2 (1,1) 1 (1,0) x

Nyt voidaan laskea integraali kahden osan summana: y (0,1) 2 (1,1) [ ydx + xydy] y=1 = ( y 0 +1 y dy)+ ( 1 dx + x 1 0) y=0 y=1 y=0 = ydy + = y=1 1 y=0 2 y2 + x=0 x=1 x=0 x=1 1dx x = 1 2 12 0 + 0 ( 1) = 3 2 x=0 x=1 1 (1,0) ReiIosalla 1: x=1, dx = 0 y: 0 1 ReiIosalla 2: y=1, dy = 0 x: 1 0 x

Viivaintegraali ja eksak2 differen2aali Otetaan viivaintegraali muotoa f(x,y) ds = F(x,y)dx + G(x,y)dy [ ] Jos F(x,y)dx + G(x,y)dy on eksak6 differen6aali, viivaintegraalin arvo ei riipu käyrän muodosta, vaan ainoastaan sen alku- ja loppupisteistä. Kutsutaan alku- ja loppupisteitä vaikka kirjaimilla a ja b, ts a= (x a,y a ), b = (x b,y b ). y b a x

Viivaintegraali ja eksak2 differen2aali Perustelu: jos F(x,y)dx + G(x,y)dy on eksak6, on olemassa funk6o z(x,y) jonka kokonaisdifferen6aali dz = F(x,y)dx + G(x,y)dy jolloin [ F(x,y)dx + G(x,y)dy] = dz = z(b) z(a) Tällöin [ F(x,y)dx + G(x,y)dy] = F(x,y)dx + G(x,y)dy 1 Mille tahansa käyrille 1, 2 joilla on 2 samat alku- ja loppupisteet. b a [ ] 2 y b a 1 x

Eksak2 differen2aali ja sulje<u viivaintegraali Jos käyrällä on sama alku- ja loppupiste, nähdään he6 e@ä eksak6n differen6aalin viivaintegraali tämän käyrän yli (sulje@u integraali) on nolla: a [ F(x,y)dx + G(x,y)dy] = dz = z(a) z(a) 0 Sulje@ua integraalia merkitään usein integraalimerkissä olevalla pallolla: dz a y Epäeksak6n differen6aalin sulje@u viivaintegraali ei väl@ämä@ä ole nolla. a x

Graafinen tulkinta Olkoon z = z(x,y) maaston korkeus paikan x,y funk6ona Esim. y on sijain6 Pohjois Etelä- akselilla ja x sijain6 Itä Länsi- akselilla kuten kartoissa yleensä. z:n kokonaisdifferen6aali: dz = ( z(x,y) x ) y dx + ( z(x,y) ) x dy y Osi@aisderivaatat kertovat maaston jyrkkyyden Itä Länsi ja Pohjois Etelä- suunnissa kussakin maaston pisteessä. Kokonaisdifferen6aalin lauseke siis kertoo, kuinka paljon korkeus z muu@uu, kun kuljetaan pieni matka dx Itä Länsi- suunnassa ja pieni matka dy Pohjois Etelä- suunnassa.

Graafinen tulkinta dz = ( z(x,y) x ) y dx + ( z(x,y) ) x dy y dy dx

Graafinen tulkinta Korkeuden muutos Δz jollakin pidemmällä matkalla pisteestä a pisteeseen b käyrää pitkin saadaan integroimalla dz: Δz = dz = ( z(x,y) ) y dx + ( z(x,y) ) x dy x y = z(a) z(b) Tulos riippuu ainoastaan alku- ja loppupisteistä, eikä valitusta rei6stä (kuten kartastakin voi päätellä). Huom: Δz on siis korkeuden "ne@omuutos" (lähtö- ja päätepisteen korkeuksien erotus), kiipeilijät (yms) laskevat usein "bru@omuutosta" eli kuinka monta metriä päivässä on noustu tämä saa@aa 6etys6 riippua rei6stä mikäli välillä kävellään alaspäin ja si@en taas ylös.

Korkeuden muutos ei riipu rei2stä.

Korkeuden differen2aali on eksak2 Korkeuden muutos Δz ei siis riipu valitusta rei6stä, koska korkeuden differen2aali dz on eksak2. Voidaan helpos6 kuvitella myös monia muita paikasta riippuvia differen6aalimuotoisia lausekkeita muotoa F(x,y)dx + G(x,y)dy, jotka eivät ole eksakteja. Esimerkiksi epäeksak6 differen6aali F(x,y)dx + G(x,y)dy voisi olla todennäköisyys, e@ä pienellä matkalla dx, dy paikasta (x,y) tulee vastaan alppitäh6 (kukka). Epäeksak6en differen6aalien viivaintegraalit (esimerkissä siis löyde@yjen alppitäh6en lukumäärä, kun pa6koidaan joku vuoristoreii ) riippuvat rei6stä, aivan kuten arkijärjelläkin voi päätellä.

Löytääkö Asterix alppitähden?

Löytääkö Asterix kukan? F(x,y)dx + G(x,y)dy = 100% F(x,y)dx + G(x,y)dy = 0% 1 2 2 1

Fysikaalinen esimerkki Aiemmin tarkastel6in differen6aaleja dv = RT p 2 dp + R p dt ja dw = pdv = RT p dp + RdT Molemmat kuvaavat kaasua, jonka paine@a ja lämpö6laa muutetaan jossakin prosessissa. dv on 6lavuuden muutoksen differen6aali, ja dw kaasun tekemän työn differen6aali. Tilavuuden muutos ΔV tai kaasun tekemä työ ΔW saadaan o@amalla dv:n ja dw:n viivaintegraalit p,t avaruudessa kuljetun "polun" yli. Aiemmin näh6in e@ä dv on eksak6 mu@a dw ei. Mitä tämä tarkoi@aa?

Ideaalikaasu jonka lämpö2laa ja paine<a nostetaan. p 2 b a 1 Polku 1 : ensin lämmitetään, si@en nostetaan paine@a. Polku 2 : ensin nostetaan paine, si@en lämmitetään. Tilavuuden muutos ei riipu polusta! ΔV 1 = dv = ΔV 2 = dv 1 Tehty työ riippuu polusta! ΔW 1 = dw ΔW 2 = dw 1 2 2 T

Sulje<u kierto p a 3 T Kuljetaan nyt polkua 3 pitkin, joka johtaa takaisin alkupisteeseensä. Koska dv on eksak6, voidaan päätellä suoraan, e@ä 6lavuus ei muutu prosessissa. Koska dw ei ole eksak6, kaasun tekemä työ prosessissa ei (väl@ämä@ä) ole nolla.

Fysikaalinen tulkinta p T Se, e@ä 6lavuuden differen6aali dv on eksak6 tarkoi@aa e@ä on olemassa funk6o V(p,T) joka kertoo V:n arvon jokaisessa p,t pisteessä. Se, e@ä työn differen6aali dw on epäeksak6 kertoo e@ä vastaavaa funk6ota W(p,t) ei (väl@ämä@ä) ole olemassa. On mielekästä puhua kaasun 6lavuudesta 6etyssä paineessa ja lämpö6lasta, mu@a ei ole mielekästä sanoa esimerkiksi e@ä "kaasun työ tässä lämpö6lassa on 3 joulea". Työn suhteen voidaan puhua vain muutoksista (ΔW, dw).

Fysiikassa ja kemiassa viivaintegraalilla kuvataan jonkin suureen (esim 6lavuus, työ, varaus...) muutosta, kun kahta (tai useampaa) systeemin muu@ujaa muutetaan jotain polkua pitkin. Jos ko. suureen differen6aali on eksak6, polulla ei ole merkitystä, vaan ainoastaan alku- ja loppupisteillä. Jos ko. suureen differen6aali ei ole eksak6, polulla taas on merkitystä. Termodynamiikassa epäeksak6n differen6aalin d- kirjain merkitään usein poiki@aisella viivalla (esim dw) jo@a muiste@aisiin paremmin e@ä integroin6reii vaiku@aa tulokseen. Esimerkiksi systeemin tekemä työ ei siis väl@ämä@ä ole nolla, vaikka se palaisikin takaisin alkupisteeseensä. Arkielämän sovellus: juoksulenkki Kumpulasta Turkuun ja takaisin kulu@aa kyllä kaloreita, vaikka onkin "sulje@u" reii...

Eksak2uden hyödyntäminen integroitaessa Aiemmin näh6in tapoja, millä viivaintegraaleja voi laskea "hankalas6". Mikäli integroitavana on eksak6 differen6aali, voidaan laskuja usein helpo@aa käy@ämällä hyväksi sitä, e@ä tulos ei riipu rei6stä. è Valitaan siis laskemisen kannalta mahdollisimman helppo reii! Tyypillises6 helpoin reii on sellainen, missä pidetään aina jompikumpi muu@uja kerrallaan vakiona. [ Fdx + Gdy] Fdx + Gdy eksakti y a b x y a ' dy=0 b dx=0 x

Esimerkki Lasketaan integraali [(4x + y)dx + (x + 6y)dy], missä käyrä on kuvassa näkyvä monimutkainen funk6o, joka kulkee pisteestä 0,0 pisteeseen 2,2. Ratkaisu: Tarkistetaan, onko integroitava differen6aali eksak6. [(4x + y)dx + (x + 6y)dy] (4x + y) (x + 6y) ( ) x =1, ( ) y =1 y x on y 0,0 2,2 x

Voidaan siis unohtaa hankalan näköinen käppyrä, ja valita mikä tahansa reii pisteiden 0,0 ja 2,2 välillä. Valitaan kuvassa näkyvä reii. Saadaan siis: [(4x + y)dx + (x + 6y)dy] 1 + 2 (Käyrällä 1 : y = 0,dy = 0. Käyrällä 2 : x = 2,dx = 0) x=2 = (4x + 0) dx + (2 + 6y) dy = x=0 2 2x 2 + 0 0 y=2 y=0 2 (2y + 3y 2 ) = (8 0) + (4 +12 0 0) = 24 y 2,2 2 0,0 1 x