Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000 ekr. Antiikin Kreikka ~1 600 Newton ja Leibniz Analyysi perustuu raja-arvon käsitteeseen. Mitä rajaton lähestyminen tarkoittaa? Luvun π rationaaliset likiarvot: π 1 3,1, π 2 3,14, π 3 3,141 59 lähestyvät rajattomasti lukua π, kun oikeiden desimaalien lukumäärä kasvaa rajatta. Nämä ovat hieman epätäsmällisiä ilmauksia, tarkennetaan. Määritelmä, poikkeama: Reaalilukujen a ja b välinen poikkeama on itseisarvo a b. a b = b a a b R Huomautus a b = b a eli itseisarvo vastaa vastinkohtien a ja b etäisyyttä lukusuoralla. Määritelmä, ympäristö: Reaaliluvun a ympäristö, tarkemmin r-ympäristö, on sellainen avoin väli, jonka keskipiste on a ja säde r. = r = r Toisin sanoen, a:n ympäristö on väli a r, a + r. a r a a + r R Luvun 3 0,01-säteinen ympäristö on 3 0,01; 3 + 0,01 eli 2,99 ; 3,01 = R 3 < 0,01. Muistakaa käyttää erottimena puolipistettä jos välin päätepisteinä on desimaalilukuja. 1
Tarkastellaan funktiota 2 + 1, kun 1 f: R R, f = 2, kun = 1. Laskemalla ja taulukoimalla funktion arvoja havaitaan, että funktion y f f 0,9 2,8 1,1 3,2 0,99 2,98 1,01 3,02 0,999 2,998 1,001 3,002 raja-arvo kohdassa = 1 näyttäisi olevan 3. Tätä merkitään f = 3 1 y = f = 2 + 1, kun 1 2, kun = 1 Ja luetaan: es lähestyy 1:stä f on 3. TAI es f on 3, kun lähestyy 1:stä. es=raja (lat) Vaihtoehtoinen ja usein käytetty tapa on kirjoittaa f 3, kun 1 ja luetaan : f lähestyy 3:sta, kun lähestyy 1:stä. Huomaa vielä, että funktion raja-arvo f 1 funktion arvo muuttujan arvolla 1, eli f 1 = 2. = 3 on eri asia kuin f = 3 1 f:n raja arvo kohdassa =1 f 1 = 2 f:n arvo kohdassa =1 Määritelmä, funktion raja-arvo: Olkoon f määritelty kohdan = 0 eräässä ympäristössä tätä kohtaa 0 mahdollisesti lukuunottamatta. Funktiolla f on kohdassa 0 raja-arvo a, jos funktion f arvot saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a aina, kun muuttujan 0 arvot valitaan riittävän läheltä lukua 0. Tällöin merkitään 0 f = a TAI f a, kun 0. 2
y y = f f a V Täsmällisesti: Kun on annettu luvun a mielivaltainen ympäristö V, niin löytyy luvun 0 ympäristö U siten, että U\ 0 f V. Huomautus Funktio f voi olla määritelty tai sitten ei kohdassa 0. Tällä ei ole merkitystä raja-arvo voidaan lähes aina määrittää! 0 U Funktiolla f, f = sin 1 Ei ole raja-arvoa kohdassa = 0. Toispuoleiset raja-arvot määritellään lähestymissuunnan mukaan: f on vasemmanpuoleinen raja-arvo ja 0 f on oikeanpuoleinen raja-arvo. 0 + Pätee tärkeä tulos. Funktiolla f on kohdassa raja-arvo a vain jos toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja ne ovat samoja, siis f = f 0 0 + = a = f. 0 Olkoon f: f = 2 + 1. Kuinka lähellä lukua 1 pitää muuttujan ( 1) olla, jotta f 3 < 0,01? Ratkaisu Kun 1, niin = f f 3 < 0,01 2 + 1 3 < 0,01 3
2 + 1 3 < 0,01 2 2 < 0,01 : 2 1 < 0,005 Eli, muuttujan pitää poiketa vähemmän kuin 0,005 luvusta 1 (itseisarvo etäisyys!) 0,995 ; 1,005 \ 1 = R 0 < 1 < 0,005. Nyt f = 1 Paloittain määritelty funktio. Määritä f, kun 1 + 1, kun 1 f = 1, kun > 1 y 1 + 1 = 2, mutta f = 1 = 1. 1+ 1+ Siis eri raja-arvoa ei ole, f 1 1 f! Huom f 1 = 2 1+ 1 DERIVAATTA, MAA6 Raja-arvon muodostamissääntöjä Raja-arvoja määritettäessä/laskettaessa hyödynnetään seuraavia tuloksia (katso kirja). Olkoon f = a, g = b ja c R vakio. Tällöin pätee 0 0 f ± g = f 0 0 ± 0 g = a ± b f g 0 = 0 f 0 g = a b Lisäksi pätee f 0 g f = 0 g = a b, b 0 0 c = c, c f 0 0 = c 0 f = c a 4
Näillä pärjätään kohtuu pitkälle. Esimerkiksi kaikkien alkeisfunktioiden (eli minkä?... alkeisfunktioita ovat: polynomi- ja murto-, potenssi-, juuri-, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometriset funktiot) raja-arvot saadaan suoraan sijoittamalla rajakohta = 0 funktion määrittelevään lausekkeeseen, kunhan funktio on määritelty jossakin kohdan 0 ympäristössä. 2 33 5 + 7 = 2 33 5 + 7 2 2 TAI = 3 2 3 5 + 7 2 2 = 3 2 3 5 2 + 7 = 24 + 10 + 7 = 7 3 3 5 + 7 3 2 3 5 2 + 7 = 7, kun 2. Ongelmia tulee, kun suora sijoitus johtaa tilanteeseen 0 0 (rationaalifunktiot). Tällöin pitää supistaa/laventaa tai joskus huijata eli lisätään nolla esimerkiksi muodossa 2 a 2 a tai kerrotaan ykkösellä esimerkiksi muodossa antaa 0 0, mutta a) 2 2 4 2 2 2 1 + 4 2 1 + 4., määrittelyehto 2, 0. Suora sijoitus 2 4 2 2 2 = 2 2 2 2 = 2 2 = 2 2 = 1. 5
1 b), määrittelyehto 1. 1 1 Suora sijoitus antaa 0, mutta koska = 0 2, niin 1 1 = 1 1 + 1 = 1 + 1 1, kun 1. 2 c) 2, määrittelyehto 0. Suora sijoitus antaa 0, toisaalta 0 supistaminen 0 2 = 1 0 0 ei paranna tilannetta. Toisin sanoen raja-arvoa ei ole. Kun 0 +, niin 1 ja vastaavasti kun 0, niin 1. Edelleen 0+ 2 =, Näihin palataan nyt lasketaan. 0 2 =. 6