Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo, Bomkauma, Etmaatt, Etmaattor, Harhattomuu, Järjetytuuluvut, Kekhajota, Luottamukerro, Luottamutao, Luottamuväl, Makm, Medaa, Mm, Normaalkauma, Odotuarvo, Oto, Otokauma, Ototuuluvut, Parametr, t-kauma, Todeäköyykauma, Vahteluväl, Vahteluväl ptuu, Vara.. Havatoaeto muodotuu euraavta luvuta: 3,,, 6, 5, 5, 3,, 4 Lake havatoarvoje (a) (b) Ratkau: Artmeette kekarvo, vara kekhajota. Mm, makm, vahteluväl, vahteluväl ptuu medaa. Muuttu havattuje arvoje,,, artmeette kekarvo aadaa kaavalla () = = (oto-) vara aadaa kaavalla () = ( ) kekhajota aadaa kaavalla (3) = ( ) Jo havatoarvoje artmeette kekarvo vara joudutaa lakemaa kä ta käyttäe lakta, kaattaa lakutomtute järjetely perutaa he, että havatoarvoje vara vodaa lakea kaavalla (4) = Kaavota () (4) ähdää, että havatoarvoje kekarvo vara vodaa lakea määräämällä havatoarvoje umma elöumma. Tällö lakutomtuket kaattaa järjetää euraava tauluko muotoo: TKK @ Ilkka Mell (005) /8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket!!! Summa Tällä lakutavalla o e etu, että ä vältetää erotute lakeme., =,,, Kaava (4) perutelu: = ( ) = + ( ) = + = + = + = Havatoarvoje mm, makm, vahteluväl medaa (kute muutk järjetytuuluvut) aadaa järjetämällä havatoarvot uuruujärjetykee. Olkoot z, z,, z havatoarvot,,, uuruujärjetykeä pemmätä uurmpaa. Tällö havatoarvoje mm makm ovat m{,,, } = z ma{,,, } = z TKK @ Ilkka Mell (005) /8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Havatoarvoje vahteluväl o (z, z ) vahteluväl ptuu o z z Havatoarvoje medaa Me o uuruujärjetykee aetetuta havatoarvota kekmmäe, jo havatoje lukumäärä o parto ta kahde kekmmäe artmeette kekarvo, jo havatoje lukumäärä o parlle. Medaa kaa havatoarvot kahtee yhtä uuree oaa, jota toea kakk havatoarvot ovat medaaa peempä, toea kakk havatoarvot ovat medaaa uurempa. (a) Määrätää havatoarvoje artmeette kekarvo, vara kekhajota. Ecel-taulukko: 3 9 3 4 4 6 36 5 5 5 6 5 5 7 3 9 8 4 9 4 6 Summa 3 9 Havatoarvoje umma elöumma aadaa tauluko arakeumma: = 3 = 9 Koka havatoje lukumäärä o tää 9, = = 3 = 3.444 9 = = = ( 9 9 8 ) = = = 9 3 9 06.778.778.667 TKK @ Ilkka Mell (005) 3/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (b) Määrätää havatoarvoje mm, makm, vahteluväl, vahteluväl ptuu medaa. Havatoarvot ovat uuruujärjetykeä,,, 3, 3, 4, 5, 5, 6 Ste mm makm ovat m = ma = 6 Vahteluväl o (, 6) e ptuu o 6 = 5 Medaak aadaa Me = 3 koka e o järjetykee aetuta havatoarvota kekmmäe... Olkoo,,, 6 ykkertae atuaoto bomkaumata B(, p), joa = p o tutemato. (a) Oota, että o parametr p harhato etmaattor. (b) Ratkau: (a) Lake parametrlle p etmaatt, jo havatoaeto muodotuu euraavta luvuta Merktää joa 3, 3, 4, 5, 5, 6 pˆ = 6 = 6 Oletetaa, että atuamuuttu oudattaa bomkaumaa parametre p el B( p, ) TKK @ Ilkka Mell (005) 4/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Tällö atuamuuttu odotuarvo o E( ) = p Parametr p etmaattor ˆp o harhato parametrlle p, jo E( pˆ ) = p Määrätää etmaattor pˆ = odotuarvo: E E E ( pˆ ) = = ( ) 6 = E 6 6 = E( ) 6 = 6E ( ) 6 = E( ) = p = p Ste ˆp o parametr p harhato etmaattor. (b) Laketaa e havatoarvoje artmeette kekarvo: 6 6 6 6 6 = = (3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6) = = 4.333 Parametr p etmaatk aadaa te 4.333 pˆ = = = 0.36.3. Oletetaa, että atuamuuttut X Y ovat rppumattoma ormaalkautueta atuamuuttu. Mte kautuvat atuamuuttut X + Y X Y? Sovellu: Teekkartyttöje ptuukauma o N(74, 6 ) teekkarpoke ptuukauma o N(79, 7 ). Valtaa atuaet yk teekkartyttö yk teekkarpoka. Mllä todeäköyydellä tyttö o pokaa ptemp? TKK @ Ilkka Mell (005) 5/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ratkau: Olkoo X N( µ X, σ X) Y N( µ, σ ) X Y Tällö (k. tehtävää..) Huomautuka: Y E( X + Y) = µ + µ E( X Y) = µ µ Var( X + Y) = σ + σ Y X X Y Y X Y Var( X Y) = σ + σ X Y () Satuamuuttuje X + Y X Y odotuarvo kokevat tuloket evät vaad atuamuuttuje X Y rppumattomuutta, mutta atuamuuttuje X + Y X Y varae kokevat tuloket vaatvat rppumattomuuoletuke vomaaolo. () Satuamuuttuje X Y umma erotuke odotuarvo varae kokevat tuloket pätevät myö e-ormaallle atuamuuttujlle. Koka atuamuuttut X Y o oletettu rppumattomk ormaalk, myö de umma erotu oudattavat ormaalkaumaa. Ste X + Y + + N( µ X µ Y, σ X σy) X Y + N( µ X µ Y, σ X σy) Sovellu: Olkoo X = Tytö ptuu Y = Po ptuu Läk vomme olettaa, että X Tällö N(74,6 ) N(79,7 ) E( X Y) = 74 79 = 5 X Y = + = Var( ) 6 7 85 X Y N( 5,85) Y. TKK @ Ilkka Mell (005) 6/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Todeäköyy, että atuaet valttu tyttö o ptemp ku atuaet valttu poka o Pr( X > Y) = Pr( X Y > 0) X Y ( 5) 0 ( 5) = Pr > 85 85 = Pr > 0.54 ( Z ) ( Z ) ( ) = Pr 0.54 = Φ 0.54 = 0.7054 = 0.946 Huomautu : Olkoo W atuamuuttu, jolle E( W ) = µ W Var( W ) = σ W Stadardodaa W: Tällö Huomautu : W µ W Z = σ E(Z) = 0 W Var(Z) = Oletetaa, että huomautuke oletute läk atuamuuttu W o ormaalkautuut: W N( µ W, σw) Tällö tadardotu atuamuuttu W µ W Z = σ W oudattaa tadardotua ormaalkaumaa: Z N(0,) TKK @ Ilkka Mell (005) 7/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Huomautu 3: Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto: Φ ( z) = Pr( Z z) joa Z N(0,).4. Netemäe etylee lämpökapateetta (lämpökapateetk aotaa aee kykyä toa lämpöä maaaa) o tehty = 5 mttauta vakopaeea 80 C lämpötlaa. Mttautuloket olvat euraavat (ykkköä cal/g/ C): 0.645 0.654 0.640 0.67 0.66 0.649 0.69 0.63 0.643 0.633 0.646 0.630 0.634 0.63 0.65 0.659 0.638 0.645 0.655 0.64 0.658 0.658 0.658 0.647 0.665 Akaemm tehtyje tutkmuke peruteella σ = 0.0. Oletamme läk, että mttautuloket ovat ormaalkautueta. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Ratkau: (a) Lake etmaatt lämpökapateet odotuarvolle. Lake 90 %: luottamuväl odotuarvolle. Lake 95 %: luottamuväl odotuarvolle. Lake 99 %: luottamuväl odotuarvolle. Vertaa kohda (b), (c) (d) lakettu luottamuvälejä toa. Mte luottamuväl ptuu rppuu luottamuvältä? Muodota 99 %: luottamuväl odotuarvolle, jo tetoa mttaute hajoata e ole käytettävä. Mte luottamuväl muuttuu (d)-kohda luottamuväl verrattua? Koka olemme olettaeet, että mttauket ovat ormaalkautueta, vodaa odotuarvo etmoda harhattomat havatoarvoje artmeettella kekarvolla (k. taulukkoa tehtävä lopua): 6.076 ˆ µ = = = = 0.64304 0.643 5 (b) Koka olemme olettaeet, että hajota σ o tuettu, lämpökapateet odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa (k. huomaututa ) ± z α / σ TKK @ Ilkka Mell (005) 8/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Luottamukerro + z α / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto (k. tarkemm huomaututa ). Tää luottamutaoa o jollo α = 0.90 α = 0.90 = 0. α/ = 0./ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.9 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.645 Luottamutaoa 0.9 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = 0.64304 ±.645 5 = 0.64304 ± 0.0039 = (0.640,0.646) (c) Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.05/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.96 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = 0.64304 ±.960 5 = 0.64304 ± 0.0039 = (0.639,0.647) TKK @ Ilkka Mell (005) 9/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (d) Tää luottamutaoa o α = 0.99 jollo α = 0.99 = 0.0 α/ = 0.0/ = 0.005 Ste luottamutaoa 0.99 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.005 =.576 Luottamutaoa 0.99 vataava luottamuvälk aadaa te σ 0.0 ± zα / = 0.64304 ±.576 5 = 0.64304 ± 0.0055 = (0.638,0.648) (e) Luottamuväl leveee, jo luottamutaoa kavatetaa. (f) Koka olemme tää kohdaa olettaeet, että hajota σ e ole tuettu, e joudutaa etmomaa havaota. Etmaatt aadaa ormaalkauma vara σ harhattomata etmaattorta = ( ) Lämpökapateet odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o yt muotoa (k. huomaututa ) ± t α / Luottamukerro + t α / toteuttaa ehdo joa Pr( t + t α ) = α / / t t( ) TKK @ Ilkka Mell (005) 0/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Lakemme otovara kaavalla (k. taulukkoa tehtävä lopua): Ste = = = 0.34 6.076 5 5 = 0.0004946 = 0.03 Tää luottamutaoa o jollo α = 0.99 α = 0.99 = 0.0 α/ = 0.0/ = 0.005 Ste luottamutaoa 0.99 vataava luottamukerro o (k. t-kauma taulukota) + t 0.005 =.797 Luottamutaoa 0.99 vataava luottamuvälk aadaa te 0.03 ± tα / = 0.64304 ±.797 5 = 0.64304 ± 0.00684 = (0.636,0.650) Saatu luottamuväl o leveämp ku (d)-kohda luottamuväl (k. huomaututa ). Huomautu : Olkoo,,, ykkertae atuaoto kaumata N(µ, σ ). Tällö havaot,,, vodaa tulkta rppumattomk kaumaa N(µ, σ ) oudattavk atuamuuttujk. TKK @ Ilkka Mell (005) /8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Määrtellää havatoje,,, artmeette kekarvo kaavalla = = (oto-) vara kaavalla = ( ) (a)-kohdaa oletetaa, että hajota σ o tuettu. Tällö luottamuväl kotrukto perutu he, että atuamuuttu µ Z = N(0,) σ / (f)-kohdaa oletett, että hajota σ e ole tuettu. Tällö luottamuväl kotrukto perutu he, että atuamuuttu µ t = t( ) / Huomaa, että Studet t-kaumaa t( ) oudattava atuamuuttu t vara o kaklle (äärelllle) vapauatede lukumäärlle uuremp ku tadardotua ormaalkaumaa N(0,) oudattava atuamuuttu Z vara. Tämä merktee tä, että Studet t-kauma o pakuhätäemp ku tadardotu ormaalkauma. Edellä matuta euraa, että t-kaumaa perutuva luottamuväl o aa leveämp ku vataava ormaalkaumaa perutuva luottamuväl, joa hajoak o otettu etmotu kekhajota. Huomautu : Luottamukerro + zα / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto: Φ ( z) = Pr( Z z) Z N(0,) Koka tadardotu ormaalkauma o ymmetre paopteeä µ = 0 uhtee, Φ ( ) = α / z α / Φ+ ( zα ) Φ ( zα ) = α / α/= α / / TKK @ Ilkka Mell (005) /8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ehdot luottamukertomelle + z α /vodaa krjottaa myö muotoo joa Huomautu 3: Pr( Z + z ) = Pr( Z z ) = α / α / α / Pr( z Z + z ) = α α / α / Z N(0,) Oletetaa, että atuamuuttu t oudattaa Studet t-kaumaa vapauate : t t( ) Luottamukerro + tα / toteuttaa ehdo Pr( t + t α ) = α / / Koka t-kauma o ymmetre ptee 0 uhtee, Ste Huomautu 4: Pr( t t α ) = α / / Pr( t t + t ) = α / α / α Muta luottamutao frekvetulkta: Oletetaa, että totamme otataa kotruomme jokaeta otoketa tarkatelu kohteea olevalle etmotavalle parametrlle luottamu väl amaa luottamutaoa ( α) käyttäe. Tällö kekmäär ( α) % kotruoduta luottamuväletä pettää etmotava parametr tutemattoma arvo kekmäär e petä. α % TKK @ Ilkka Mell (005) 3/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ecel-taulukko: 0.645 0.46 0.649 0.4 3 0.646 0.47 4 0.659 0.434 5 0.658 0.433 6 0.654 0.48 7 0.69 0.396 8 0.630 0.397 9 0.638 0.407 0 0.658 0.433 0.640 0.40 0.63 0.398 3 0.634 0.40 4 0.645 0.46 5 0.658 0.433 6 0.67 0.393 7 0.643 0.43 8 0.63 0.398 9 0.655 0.49 0 0.647 0.49 0.66 0.39 0.633 0.40 3 0.65 0.44 4 0.64 0.389 5 0.665 0.44 Summa 6.076 0.34 Havatoarvoje umma elöumma o lakettu tauluko arakeumma: = 0.34 = 6.076.5. Oletetaa, että atuamuuttu X = Kertolaku uortuaka tetokoeella ABC oudattaa ormaalkaumaa parametre µ tuetulla varalla σ = 4 µ : X N(µ, 4) Mttaamalla uortuat 6 tetokoeea, aat euraavat uortuat: 4.65 45.5 39.3 44.44 4.63 4.54 4.59 45.68 46.50 4.35 44.37 40.7 43.87 43.79 43.8 40.70 TKK @ Ilkka Mell (005) 4/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket (a) (b) Mkä havatoarvoje artmeette kekarvo kauma? Lake harhato etmaatt odotuarvolle. (c) Lake 95 %: luottamuväl odotuarvolle µ. (d) Ratkau: Muodota 95 %: luottamuväl odotuarvolle, jo tetoa mttaute hajoata e ole käytettävä. Mte luottamuväl muuttuu (c)-kohda luottamuväl verrattua? K. myö tehtävää.4. (a) Jo oletamme, että havaot N(µ, σ ), =,,, ovat rppumattoma, Koka tää jollo σ = N µ, σ = 4 = 6 σ = = 4 6 4 N µ, 4 (b) Havatoarvoje artmeette kekarvo o odotuarvo µ harhato etmaattor. Ste (k. taulukkoa tehtävä lopua): 686.30 ˆ µ = = = = 4.883 6 (c) Koka olemme olettaeet, että hajota σ o tuettu, uortua odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa ± z α / σ TKK @ Ilkka Mell (005) 5/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Luottamukerro + z α / toteuttaa ehdo Φ+ ( z α ) = α / / joa Φ(z) o tadardodu ormaalkauma N(0, ) kertymäfukto. Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.05/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. ormaalkauma taulukota) + z 0.05 =.96 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te σ ± zα / = 4.883±.960 = 4.883± 0.9800 = (4.903,43.863) 6 (d) Koka olemme tää kohdaa olettaeet, että hajota σ e ole tuettu, e joudutaa etmomaa havaota. Etmaatt aadaa ormaalkauma vara σ harhattomata etmaattorta = ( ) Suortua odotuarvo luottamuväl luottamutaolla ( α) o yt muotoa ± t α / Luottamukerro + t α / toteuttaa ehdo joa Pr( t + t α ) = α / / t t( ) TKK @ Ilkka Mell (005) 6/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Lakemme otovara kaavalla (k. taulukkoa tehtävä lopua): Ste = = = 9487.77 686.30 6 6 = 4.95 =.076 Tää luottamutaoa o jollo α = 0.95 α = 0.95 = 0.05 α/ = 0.0/ = 0.05 Ste luottamutaoa 0.95 vataava luottamukerro o (k. t-kauma taulukota) + t 0.05 =.3 Luottamutaoa 0.95 vataava luottamuvälk aadaa te.076 ± tα / = 4.883±.3 6 = 4.883±.039 = (4.779, 43.9870) Tää aatu luottamuväl o leveämp ku (c)-kohda luottamuväl. TKK @ Ilkka Mell (005) 7/8
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Ecel-taulukko: 4.65 89.0 4.63 733.06 3 46.50 6.5 4 43.87 94.58 5 45.5 038.5 6 4.54 75.57 7 4.35 709.8 8 43.79 97.56 9 39.3 546.06 0 4.59 79.73 44.37 968.70 43.8 873.6 3 44.44 974.9 4 45.68 086.66 5 40.7 6.67 6 40.70 656.49 Summa 686.30 9487.77 Havatoarvoje umma elöumma o lakettu tauluko arakeumma: = 686.30 = 9487.77 TKK @ Ilkka Mell (005) 8/8