Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin tiettyyn kvanttimekaniikan yhtälöön. Paulin spinorit ovat spinoreista kaikkein yksinkertaisimpia, joten on luonnollista aloittaa spinoreihin tutustuminen näistä. Paulin spinorit liittyvät Schrödingerin yhtälöön. Schrodingerin yhtälö kuvaa kvanttimekaanisten systeemien aikariippuvuuksia. Pauli esitti vuonna 1927 Schrödingerin yhtälön muodossa ψ t = 1 2m [π2 eσ B)]ψ ev ψ. Yhtälön fysikaaliset detaljit sivuutetaan. Mainitaan kuitenkin, että ratkaisuna saadaan aaltofunktio ψ. Aaltofunktiolla ei ole fysikaalista tulkintaa, se on jopa kompleksiarvoinen. Aaltofunktion itseisarvon neliö ψ 2 on todennäköisyys tiheysfunktio jolla voidaan ennustaa elektronin löytymista eri alueista. Vaikka ylläolevan perusteella tuntuisi, että spinorit ovat lähinnä fysiikan matemaattisia mentelmiä, mitä ne pitkälti ovatkin on niille kuitenkin selkeä matemaattinen määrittely kuten seuraava kappale osoittaa. Seuraavassa esityksessä Cl n = Cl n,0, siis kantavektoreiden neliöt ovat positiiviset. 1 Spinorien yleinen määritelmä Pyritään antamaan spinoreille tarkka matemaattinen määrittely. S Cl n on Cliordin algebran Cl n vasen ideaali jos uψ S kaikilla u Cl n ja ψ S Jos vasemmalla ideaalilla ei ole muita vasempia ali)ideaaleja kuin itsensä ja nolla-ideaali {0}, on vasen ideaali minimaalinen. Määritelmä 1.1 Olkoon S Cliordin algebran Cl n minimaalinen vasen ideaali. Minimaalinen vasen ideaali S muodostaa lineaariavaruuden, jota kutsutaan spinoriavaruudeksi ja sen alkioita spinoreiksi.
Esimerkki 1.2 Paulin spinorit muodostavat Cliordin algebraan Cl 3 minimaalisen vasemman ideaalin. Emme lähde johtamaan seuraavassa kappaleessa Paulin spinoreita suoraan määritelmästä, koska tämä olisi se ns. hankala tie, vaan otamme Paulin spinorit siisti pöydälle ja tarkastelemme että todellakin ne toteuttavat Määritelmän 1.1. 2 Paulin spinorit Aaltofunktio on nyt muotoa ψr, t) = ψ1 ψ 2 ), kun ψ 1, ψ 2 C jolloin sitä kutsutaan Paulin sarakespinoriksi. Tätä vastaava Paulin spinori on ) ψ1 0 ψ =, kun ψ ψ 2 0 1, ψ 2 C. Paulin spinorissa on siis vain ensimmäisellä rivillä nollasta poikkeavia alkioita. Koska Paulin spinorit ovat neliömatriiseja, löytyy yhteys Cliordin algebraan matriisiesityksen kautta. Olkoon kompleksisten 2 2 matriisien algebra M at2, C). Lause 2.1 Mat2, C) in isomornen Cliordin algebran Cl 3 kanssa. Todistus: Olkoon ns. Paulin matriisit ) 0 1 σ 1 =, σ 1 0 2 = ) 0 i i 0 ja σ 3 = ) 1 0. 0 1 Olkoon lisäksi I identiteettimatriisi. Paulin matriisit toteuttavat laskusäännöt σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 3 = I σ 1 σ 2 = iσ 3 = σ 2 σ 1 σ 3 σ 1 = iσ 2 = σ 1 σ 3 σ 2 σ 3 = iσ 1 = σ 3 σ 2.
Laskulait ovat saman muotoiset kuin Cliordin algebrassa Cl 3, joten voimme samaistaa σ 1 e 1 σ 2 e 2 σ 3 e 3. Nyt saamme vastaavuudet kantaelementtien välelle Mat2, C) Cl 3 I 1 σ 1, σ 2, σ 3 e 1, e 2, e 3 σ 1 σ 2, σ 1 σ 3, σ 2 σ 3 e 12, e 13, e 23 σ 1 σ 2 σ 3 e 123, Siis mielivaltainen Cliordin algebran Cl 3 alkio voidaan antaa tässä matriisiesityksessä seuraavasti. Olkoon u = u 0 + u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 + u 12 e 12 + u 13 e 13 + u 23 e 23 + u 123 e 123 Cl 3 Tällöin ) ) u0 + u u 3 + iu 12 + iu 123 u 1 iu 2 + iu 23 u 13 a b = u 1 + iu 2 + iu 23 + u 13 u 0 u 3 iu 12 + iu 123 c d Listataan vielä kertoimet Merkitään seuraavassa a = u 0 + u 3 + iu 12 + u 123 ) b = u 1 u 13 + iu 23 u 2 ) c = u 1 + u 13 + iu 2 + u 23 ) d = u 2 u 3 + iu 123 u 12 ) Cl 3 f Mat2, C)f = {Af A Mat2, C)}, jossa f = Tällöin ψ Cl 3 f. ) 1 0 Jos kerromme spinoria ψ mielivaltaisella u Cl 3, on tulos samaa tyyppiä ) ) ) a b ψ1 0 φ1 0 = c d ψ 2 0 φ 2 0
eli spinorit muodostavat Cliordin algebran Cl 3 vasemman ideaalin jota merkitään S. Siis tällöin Lause 2.2 S minimaalinen. Todistus: Harjoitustehtävä uψ S jokaisella u Cl 3 ja ψ S Cl 3 Lause 2.3 Vasen ideaali S on lineaariavaruus, kun kantana on ) 1 0 f 0 = 11 + e 2 3) ) f 1 = 1e 2 23 + e 2 ) i 0 ) f 2 = 1e 2 31 e 1 ) 1 0 ) i 0 f 3 = 1e 2 12 + e 123 ) Todistus: Todistus on selvä, koska Paulin spinorit voi samaistaa lineaariavaruuteen C 2. Voimme kirjoittaa spinorin Cliordin algebrassa Cl 3 Lauseen 3 kannassa ) ψ0 + iψ ψ = ψ 0 f 0 + ψ 1 f 1 + ψ 2 f 2 + ψ 3 f 3 3 0 ψ 2 + iψ 1 0 siis ψ = 1 2 ψ 0 ψ 2 e 1 + ψ 1 e 2 + ψ 0 e 3 + ψ 3 e 12 ψ 2 e 13 + ψ 1 e 23 + ψ 3 e 123 ) Lauseen 2.3 lineaariavaruutta S kutsutaan Määritelmän 1.1 mukaan spinoriavaruudeksi. Palautetaan mieliin, miten involuutiot määriteltiin Cliordin algebrassa Cl 3. Jaetaan mielivaltainen alkio u Cl 3 0,1,2 ja 3-vektoriosiin Tällöin involuutiot ovat u = u 0 + u 1 + u 2 + u 3. pääinvoluutio û = u 0 u 1 + u 2 u 3 reversio ũ = u 0 + u 1 u 2 u 3 Cliordin konjugaatti ū = u 0 u 1 u 2 + u 3
Lause 2.4 Cliordin algebran Cl 3 Lauseen 1 todistuksessa esitetyn matriisiesityksen involuutio alkiolle ) a b u c d ovat seuraavat: ) ) ) a c ũ d c b d û d b b a ū c a Jossa operaatio tarkoittaa tavallista kompleksikonjugointia. Todistus: Harjoitustehtävä Jotta voimme määritellä sisätulon spinoriavaruuteen samaistamme strukstuurit ) c 0 C fs = fcl 3 f = { c C} Lause 2.5 Spinoriavaruudessa sisätulo, ) : S S C määritellään kaavalla ψ, φ) = ψφ Todistus: Harjoitustehtävä 3 Spinorioperaattorit Spinori määriteltiin ψ = ) ψ1 0 Cl ψ 2 0 3 f Tällöin spinoria ψ vastaava spinoriaoperaattori on ) ψ1 ψ2 Ψ = ψ 2 ψ1 Spinorioperaattori voidaan laskea Ψ = ψ + ˆψ Kvanttifysiikassa tarvitaan ns. spinivektoria. Tämän vektorin s = s 1 e 1 + s 2 e 2 + s 3 e 3 komponentit saadaan spinorin ψ avulla s 1 = 2 ψe 1 ψ 0 s 2 = 2 ψe 2 ψ 0 s 3 = 2 ψe 3 ψ 0
Tämä vektori voidaan laskea kuitenkin suoraan spinorioperaattorin avulla s = Ψe 3 Ψ Tätä kuvausta Cl 3 R 3 kutsutaan Kustaanheimo-Stiefel muunnokseksi, jota käytetään Keplerin liikkeen tarkastelussa. Heikki Orelma 15. maaliskuuta 2005