Rothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu

Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0

Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47 sivua, Jyväskylän Yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät 0. Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on esitellä Diofantoksen approksimoinnin tuloksia ja antaa todistus Rothin lauseelle. Diofantoksen approksimoinnissa ollaan kiinnostuneita siitä, kuinka hyvin irrationaalilukuja voidaan arvioida rationaaliluvuilla. Näiden rationaalilukuarvioiden määrän perusteella voidaan antaa riittävä ja välttävä ehto luvun irrationaalisuudesta. Osoittautuu, että ainoastaan irrationaaliluvuilla on ääretön määrä hyviä arvioita. Tämän ehdon riittävyys ja välttävyys todistetaan ja lisäksi esitellään tehokas menetelmä näiden arvioiden laskemiseksi ketjumurtolukujen avulla. Kun on todettu, että näitä hyviä arvioita on olemassa ja niitä voidaan laskea, voidaan kysyä, olisiko niitä mahdollista löytää vielä tehokkaammin. Tätä ongelmaa lähestyy Liouvillen lause, joka antaa rajan algebrallisten lukujen rationaaliarvioiden hyvyydelle ja mahdollistaa transkendenttilukujen konstruoinnin. Lopulta ratkaisun ongelmaan antaa Rothin lause, jonka nojalla vastaus on kielteinen algebrallisten lukujen kohdalla. Tutkielman toisen puoliskon pääpaino on Rothin lauseen todistuksessa. Lisäksi tutkielmassa esitellään muutama Rothin lauseen sovellus ja tutustutaan siihen, kuinka lausetta voitaisiin parantaa. Avainsanat: Lukuteoria, Rothin lause, Diofantoksen approksimointi, Diofantoksen yhtälöt, ketjumurtoluvut i

Kiitokset Kiitokset Lassi Kuritulle tutkielmani ohjaamisesta ja Jere Lehtoselle kommenteista ja korjausehdotuksista. Omistan työni Mimmille, sillä ilman hänen toistuvaa kyselyään graduni valmistumisesta en olisi varmaan koskaan saanut tätä valmiiksi. ii

Sisältö Luku. Reaalilukujen approksimointia Luku. Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet 3 Luku 3. Approksimointia ketjumurtoluvuilla 7 Luku 4. Liouvillen lause 8 Luku 5. Rothin lause. Historiaa. Esitietoja 3 3. Polynomin indeksi 5 4. Polynomin R konstruktio 8 5. Polynomin R käyttäytyminen rationaalipisteissä 33 6. Rothin lemma 36 7. Rothin lauseen todistus 43 8. Rothin lauseen sovelluksia ja parannuksia 45 Lähdeluettelo 47 iii

Johdanto Voidaan sanoa, että irrationaaliluku on luku, jonka desimaalikehitelmä on epäsäännöllinen ja päättymätön. Käytännössä tällaisen luvun desimaalikehitelmää on mahdotonta kirjoittaa. Kun huomataan, että irrationaalilukuja on niiden konstruktiosta johtuen mahdollista arvoida äärettömän tarkasti rationaaliluvuilla, sovelluksissa voidaan tyytyä käyttämään rationaalilukuapproksimaatioita. Ongelmaksi muodostuu, kuinka tällaisia arvioita voidaan löytää tehokkaasti. Käytettäessä alkeellista haarukointia työmäärä kasvaa jyrkästi arvion tarkkuuden kasvaessa. Kun aikaisemmin käytössä ei ollut tietokoneita, oli kehitettävä jokin tehokas menetelmä. Ketjumurtoluvut tarjosivat ratkaisun tähän ongelmaan eikä niiden merkitys ole kadonnut tietotekniikan kehityksen myötä vain arvioinnin tarkkuus on parantunut. Irrationaalilukuja tutkittaessa havaitaan kuitenkin pian, ettei kaikkia lukuja voida arvioida yhtä hyvin. Huomataan, että reaaliluvut voidaan jakaa algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuihin. Näistä jälkimmäisten olemassaolo todistettiin vasta vuonna 844. Tämä aloitti reilun vuosisadan kehityksen, joka huipentui Rothin lauseeseen. Lausetta pidettiin niin merkittävänä, että Roth sai tästä Fieldsin mitalin vuonna 958. Tutkielman rakenne seuraa järjestykseltään kirjan Exploring the number jungle: A journey into Diophantine analysis [] järjestystä. Kahdessa ensimmäisessä luvussa tutkitaan yksinkertaisia arviointimenetelmiä ja kolmannessa luvussa kehitetään tehokas arviointimenetelmä ketjumurtolukujen avulla. Kahdessa viimeisessä luvussa todistetaan Liouvillen ja Rothin lauseet ja käsitellään niiden seurauksia. Klaus Roth, 95 iv

LUKU Reaalilukujen approksimointia Oletetaan lukujärjestelmien N, Z, Q ja R konstruktio tunnetuksi. Sovitaan, että luonnollisiksi luvuiksi kutsutaan vain aidosti positiivisia lukuja, jolloin rationaalilukujen joukko voidaan kirjoittaa: { } p Q = q : p Z, q N. Sanotaan, että rationaaliluku p on supistetussa muodossaan, kun p:llä ja q:lla ei ole q yhteisiä tekijöitä lukuja ± lukuunottamatta. Tällöin voidaan sanoa, että luvun p q taso on q. Etsittäessä hyviä arvioita irrationaaliluvulle ollaan kiinnostuneita juurikin rationaaliapproksimaation tasosta. Lause.. Luvun p q Q supistettu muoto on yksikäsitteinen. Todistus. Todistus perustuu lukujen p ja q alkulukuesityksen yksikäsitteisyyteen ja joukon Q määritelmään. Sopimus.. Kun sekaannuksen vaaraa ei ole, merkitään jatkossa pelkästään p, q kun tarkoitetaan, että p Q ja p on supistetussa muodossaan. q q Aloitetaan arvioiden etsiminen toteamalla seuraava tulos. Lemma.3. Olkoon α R. Tällöin on olemassa r Z siten, että α r. Todistus. Väite seuraa suoraan reaalilukujen ominaisuuksista. Tästä voidaan helposti johtaa seuraava vahvempi tulos. Lause.4. Olkoon α R ja N N. Tällöin on olemassa p q 0 < q N ja α p q N. Q siten, että Todistus. Koska lemma.3 pätee kaikille reaaliluvuille, niin se pätee myös luvulle Nα R. Tällöin on olemassa r Z siten, että Nα r Tämä on yhtäpitävää väitteen kanssa. Voidaan siis valita p q = r N. α r N N

. REAALILUKUJEN APPROKSIMOINTIA Huomautus.5. Huomattavaa lauseessa.4 on, että luvun p taso on korkeintaan q N. Tämä on varsin intuitiivista: Jos jana jaetaan -mittaisiin osiin, on jokainen janan N piste korkeintaan etäisyydellä jostain osajanan päätepisteestä. N Seuraus.6. Olkoon α R\Q. Tällöin on äärettömän monta lukua p Q siten, q että α p q < q. Todistus. Väite seuraa lauseesta.4. Jos näitä lukuja p olisi äärellinen määrä, q olisi olemassa ε siten, että kaikilla p pätisi q α p q > ε, sillä α ei irrationaalisuudestaan johtuen voi olla mikään näistä luvuista p. Kuitenkin q on olemassa N N siten, että < ε ja lauseen.4 nojalla löydetään p siten, että N q α p q N < N < ε, mikä on ristiriita. Huomautus.7. Seuraus.6 vaikuttaa edelleen varsin intuitiiviselta: Jos irrationaalilukua α lähestytään rationaaliluvuilla pn, lukua α ei saavuteta koskaan, siis kaikilla n N pätee pn α, ja tehty virhe voi olla korkeintaan.

LUKU Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet Seuraus.6 antaa melko hyvän tuloksen irrationaalilukujen arvioille. Kuitenkin, jos tarkkuutta halutaan parantaa, kasvaa työmäärä suoraan verrannollisesti siihen. Liikuttaessa tietokoneen suorituskyvyn rajoilla ja erityisesti laskettaessa käsin q on huomattava merkitys sillä, paraneeko tarkkuus verrannollisesti lukuun q vai q. Onko mahdollista löytää murtolukuja p siten, että tehty virhe olisikin korkeintaan q? Tähän kysymykseen antaa vastauksen Dirichlet n lause. q Lause. (Dirichlet n lause, 84). Olkoon α reaaliluku ja N N. Tällöin on olemassa rationaaliluku p siten, että 0 < q N ja q α p q q(n + ). Dirichlet n lauseen todistus perustuu niin sanottuun kyyhkyslakkaperiaatteeseen: Lause. (Kyyhkyslakkaperiaate). Olkoon a,..., a n 0 kokonaislukuja siten, että n i= a i = n +. Tällöin a i > jollakin i. Todistus. Jos olisi a i kaikilla i, niin n n a i = n < n +, mikä on ristiriita. i= i= Määritellään Dirichlet n lauseen todistusta ja jatkoa varten käsite kokonaisosa kaikille reaaliluvuille. Määritelmä.3 (Kokonaisosa). Luvun x R kokonaisosaksi x Z sanotaan lukua x = max{k Z : k x}. Huomautus.4. Kokonaisosa on hyvin määritelty, sillä maksimi on aina olemaassa ja se on yksikäsitteinen. Kokonaisosan määritelmästä seuraa heti: x x [0, [. Dirichlet n lauseen todistus. Todistuksessa käytetään samaa ideaa kuin lauseen.4 todistuksessa. Oletetaan, että N. Riittää osoittaa, että jollakin q {,..., N} on p Z siten, että qα p N +. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 805 859 3

. DIRICHLET N JA HURWITZIN LAUSEET 4 Määritellään kaikille q {,..., N} luvut p q = qα ja α q = qα qα = qα p q. Voidaan olettaa, että N + < α q < N N +, sillä muutoin väite seuraa, kun valitaan p = p q tai p = p q + vastaavasti. Oletetaan lisäksi, että pisteet α q ovat eri pisteitä kaikilla q {,..., N}. Jos nimittäin olisi q < q siten, että α q = α q, olisi q q {,..., N} ja pätisi 0 = α q α q = q α q α (q α q α ) = α(q q ) (p q p q ) ja voitaisiin valita p = (p q p q ) Z. Nyt siis välillä [, N ] on N kappaletta eri lukuja α N+ N+ q i, i {,..., N} ja voidaan käyttää kyyhkyslakkaperiaatetta: Olkoon kaikilla j,..., N ja j A j = [ N +, j + N + ] a j = #{α qn A j : n {,..., N}} Koska osajoukot A j peittävät välin [ N ], kun j,..., N, niin pätee N+ N+ N j= a j = N. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla on oltava tällöin a k > jollain k {,..., N }. Koska osavälin A k pituus on ja joillekin q N+ < q pätee α q A k ja α q A k, niin α(q q ) (p q p q ) = α q α q N + ja voidaan valita p = p q p q Z, sillä q q {,..., N}. Huomautus.5. Dirichlet n lause kertoo vain sen, että irrationaalilukuja on mahdollista arvioida tason q murtoluvuilla tarkkuudella, mutta se ei anna tehokasta q menetelmää näiden lukujen löytämiseksi. Luvussa 3 tutustutaan tehokkaseen algoritmiin, jolla näitä lukuja voidaan tuottaa. Seuraus.6. Olkoon α R \ Q. Tällöin on äärettömän monta lukua p q että α p q < q. siten, Todistus. Todistus on analoginen seurauksen.6 todistuksen kanssa. Erona on vain, että arvion sijaan käytetään arviota. N q(n+) Seuraus.6 antaa välttämättömän ehdon luvun α irrationaalisuudelle. Osoitetaan seuraavaksi, että tämä on lisäksi riittävä ehto. Lause.7. Luku on α on irrationaalinen, jos ja vain jos on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p siten, että q α p q < q.

. DIRICHLET N JA HURWITZIN LAUSEET 5 Todistus. Tämä seuraa suoraan seurauksesta.6. Tehdään antiteesi: α = m jollakin m Q. Olkoon p jokin luku siten, että arvio n n q α p q < pätee. Tällöin q p q α q q p q α q q + α p q q + α q α p q q + α p q α + α + (.) q ja kullekin q tämä voi päteä vain äärelliselle määrälle lukuja p Z. Koska oletuksen nojalla arvio pätee äärettömän monelle p, sen on pädettävä äärettömän monelle luvulle p m, joissa kussakin on eri nimittäjä q. Tällöin on olemassa q > n siten, että q p m ja arvio (.) pätee. Olkoon p tällainen luku. Tällöin q m n p q < q mq pn nq < q mq pn n < (.) q Koska q > n, niin <, jolloin arvion (.) nojalla pätee mq pn n < n mq pn < Koska mq ja pn ovat kokonaislukuja, tämä voi päteä vain, jos mq pn = 0, mikä on ristiriita valinnan m p kanssa. Antiteesi on siten väärä ja väite tosi. n q Voidaan kysyä, olisiko Dirichlet n lauseen arviota mahdollista parantaa kertomalla se jollakin vakiolla m. Hurwitz todisti vuonna 89, että arviota voidaan parantaa kertomalla se luvulla m = 5. Lause.8 (Hurwitzin lause, 89). Olkoon α R \ Q. Tällöin on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p siten, että q α p q < 5q Adolf Hurwitz, 859 99

. DIRICHLET N JA HURWITZIN LAUSEET 6 Todistus. Todistus [, s. 6] vaatii muutaman aputuloksen sekä tuntemusta Farey-jonoista, joten sivuutetaan se. Seuraus.9. Luku on α on irrationaalinen, jos ja vain jos on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p siten, että q α p q <. 5q Todistus. Seuraa Hurwitzin lauseesta. Seuraa lauseesta.7. Jos on äärettömän monta rationaalilukua p siten, että q α p q < 5q, niin näillä luvuille pätee α p q < 5q <, jolloin lauseen.7 q nojalla α on irrationaalinen. Hurwitzin lauseen arvio on paras, mikä voidaan tehdä kaikille irrationaliluvuille: Lause.0. Hurwitzin lauseessa esiintyvä vakio m = 5 on pienin luku, jolle väite Jokaiselle α R \ Q on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p siten, q että α p q < m. pätee. q Todistus. Todistus [, s.35] perustuu kultaisen leikkauksen suhdeluvun, ϕ = + 5, approksimointiin. Osoittautuu, että valinta m < 5 johtaa ristiriitaan arvioitaessa tätä lukua.

LUKU 3 Approksimointia ketjumurtoluvuilla Dirichlet n lause kertoo vain sen, että irrationaaliluvulle α on olemassa äärettömän monta rationaalilukuapproksimaatiota p siten, että tehty virhe on korkeintaan q. Seuraavaksi kehitetään koneistoa, jolla näitä approksimaatioita voidaan tuottaa. q Ketjumurtoluvut tarjoavat menetelmän tällaisten lukujen löytämiseksi. Suurin osa tämän luvun tuloksista todistuksineen on Lassi Kuritun luentomonisteesta [7]. Tutkitaan aluksi lukua 459. Tämä luku voidaan kirjoittaa muodossa 8 459 8 = + 95 8. Edelleen huomataan, että 95 voidaan kirjoittaa muodossa 8 95 8 = = 8 95 + 87. 95 Tällöin 459 8 = + 95 8 = + 8 95 Jatkamalla näin saadaan esitys Tämä on luvun 459 8 = + 459 8 = + + + 0 + + 87. 95 + 7 ketjumurtolukuesitys. Merkitään tätä esitystä yksinkertaisesti 459 = [,,, 0,, 7]. 8 Määritelmä 3.. Ketjumurtoluvut määritellään rekursiivisesti: Olkoot x 0, x, x,... reaalilukuja ja oletetaan, että x n > 0 kaikilla n. () Alkuaskel: Määritellään aluksi [x 0 ] = x 0. () Rekursioaskel: Oletetaan, että tunnetaan merkintä [x 0, x,..., x n ], missä x i > 0, kun i ja että [x 0, x,..., x n ] > 0, jos x 0 > 0. Määritellään nyt [x 0, x,..., x n, x n ] = x 0 + 7 [x,..., x n, x n ]..

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 8 Aloitetaan ketjumurtolukujen tutkiminen määrittelemällä aluksi reaalilukujonot (p n ) n=0 ja ( ) n=0 ja osoittamalla niiden yhteys ketjumurtolukuihin. Myöhemmin rajoitutaan tutkimaan vain kokonaislukujonoja, joilla todistetaan ketjumurtolukujen ominaisuuksia. Lemma 3.. Olkoon (x n ) n=0 jono reaalilukuja siten, että x n > 0, kun n. Määritellään jonot (p n ) n=0 ja ( ) n=0 rekursiivisesti: () Asetetaan ensin q 0 = ja q = x sekä p 0 = x 0 ja p = x 0 x +. () Oletetaan, että q 0,..., ja p 0,..., p n tunnetaan, kun n ja asetetaan ja + = x n+ + p n+ = x n+ p n + p n. Tällöin kaikille n N {0} pätee p n = [x 0,..., x n ]. Todistus. Tehdään todistus induktiolla: () n = 0: p 0 = x 0 q 0 = x 0 = [x 0 ]. n = : p = x 0x + = x 0 + = [x 0, x ]. q x x () Oletetaan, että väite pätee, kun n = k. (3) Todistetaan tapaus n = k + : Muodostetaan jono (a i ) i=0 siten, että a i = x i kaikilla i k ja a k = x k + x k+. Muodostetaan edelleen tästä jonot p ja q kuten jonot p ja q muodostettiin. Tällöin p i = p i ja q i = q i kaikilla i k. Nyt oletuksen mukaan pätee p k q k = [a 0,..., a k ] = [x 0,..., x k + x k+ ] = [x 0,..., x k, x k+ ], missä ensimmäinen yhtälö seuraa induktio-oletuksesta ja jälkimmäinen ketjumurtolukujen määritelmästä. Riittää siis osoittaa, että p k Nimittäjälle saadaan q k = p k+ q k+. p k+ = x k+ p k + p k = x k+ (x k p k + p k ) + p k = (x k+ x k + )p k + x k+ p k [( = x k+ x k + ) ] p k + p k x k+ [ ] = x k+ ak p k + p k ja vastaavasti osoittajalle = x k+ p k q k+ = x k+ q k,

joten 3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 9 p k+ = x k+p k q k+ x k+ q k Väite seuraa nyt induktioperiaatteesta. = p k. q k Huomautus 3.3. Jonon määritelmästä seuraa suoraan, että > 0 kaikilla n N {0}. Lemma 3.4. Olkoon (x n ) n=0 jono reaalilukuja. Määritellään jonot (p n ) n=0 ja ( ) n=0 kuten lemmassa 3.. Tällöin kaikille n pätee p n p n = ( ) n. Todistus. Tehdään tämäkin todistus induktiolla: () n = : p n p n = p 0 q p q 0 = x 0 x (x 0 x + ) = () Oletetaan, että väite pätee, kun n = k. (3) Todistetaan tapaus n = k: p k q k p k q k = p k (x k q k + q k ) (x k p k + p k )q k = p k x k q k + p k q k p k x k q k q k p k = (q k p k p k q k ) = ( ) k = ( ) k. Väite seuraa nyt induktioperiaatteesta. Lemma 3.5. Olkoon (x n ) n= jono reaalilukuja. Määritellään jonot (p n ) n=0 ja ( ) n=0 kuten lemmassa 3.. Tällöin kaikille n pätee Todistus. Lemman 3.4 nojalla p n p n = ( ) n x n. p n p n = (x n + )p n (x n p n + p n ) = x n p n + p n x n p n p n = x n ( p n + p n ) = ( ) n x n. Lemma 3.6. Lemman 3. oletuksin kaikille n pätee p 0 < p < p 4 <... < p n < p n+ <... < p 5 < p 3 < p. q 0 q q 4 q n q n+ q 5 q 3 q Todistus. Huomataan ensin, että p 0 q 0 = x 0 < x 0 + x = p q, sillä x > 0. Oletetaan siten, että n. Lemman 3.5 nojalla p n p n = ( )n x n. Nyt parillisille n saadaan p n p n < 0 ja parittomille n saadaan p n p n > 0, sillä huomautuksen 3.3 nojalla > 0 ja x n. Riittää siis osoittaa, että p n < p m aina kun n on parillinen ja m pariton. q m

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 0 Oletetaan aluksi, että n < m. Koska p n p m, riittää osoittaa, että p m < p m. q m q m q m Tämä pätee, sillä lemman 3.4 nojalla q m p m p m q m = ( ) m < 0 (kun m on pariton), joten väite pitää paikkansa. Tapaus n > m todistetaan vastaavasti. Esimerkki 3.7. Kappaleen alussa johdettiin ketjumurtolukuesitys 459 = [,,, 0,, 7]. 8 Tutkimalla tätä huomataan ensin, että 459, 5978098. Laskemalla hieman 8 lisää huomataan p 0 = < 459 q 0 8 p = + q > 459 8 p = + q p 3 q 3 = + + + = + < 459 8 + 0 = +.53809538 > 459 8 p 4 = + q 4 + + = + 3.57393043 < 459 8 p 5 = 459 q 5 8. 0 + Luvun ylä- ja alaraja-arviot näyttäisivät suppenevan melko nopeasti kohti lukua itseään. Lisäksi on helppo todeta, että kunkin arvion pn virhe näyttäisi olevan korkeintaan. Tämä ei ole sattumaa, vaan pätee ketjumurtoluvuille yleisesti, mikä qn todistetaan jatkossa. Rajoitutaan nyt tutkimaan vain kokonaislukujonosta (a n ) n=0 muodostettuja lukujonoja (p n ) n=0 ja ( ) n=0. Tällainen rajoitus on mielekästä tehdä, sillä muutoin luvut pn voisivat olla irrationaalisia, eikä toivottua hyötyä saavutettaisi. Seuraavaksi osoitetaan, että tällöin luvut pn todella ovat rationaalilukuja. Lemma 3.8. Olkoon (a n ) n=0 jono kokonaislukuja siten, että a n > 0, kun n. Määritellään jonot (p n ) n=0 ja ( ) n=0 (kuten lemmassa 3.) rekursiivisesti: () Asetetaan ensin q 0 = ja q = a sekä p 0 = a 0 ja p = a 0 a +.

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA () Oletetaan, että q 0,..., ja p 0,..., p n tunnetaan, kun n ja asetetaan ja + = a n+ + p n+ = a n+ p n + p n. Tällöin kaikille n pätee p n Z ja N sekä n. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa siitä, että Z ja N ovat suljettuja kertolaskun ja summan suhteen. Osoitetaan toinen väite induktiolla: Oletuksen nojalla luvut a n ovat kokonaislukuja, joille pätee a n > 0, kun n, eli a n, kun n. () n = : q = a 0 =. () Oletetaan, että väite pätee kun n = k. (3) Todistetaan tapaus n = k: q k = a k q k + q k Väite seuraa induktioperiaatteesta.. k + k 3 = k + k k + = k. k Lemma 3.9. Lemmassa 3.8 määritelty lukujono ( ) on aidosti kasvava, kun n Todistus. Oletuksen nojalla a n, kun n. Tällöin kaikille k pätee sillä q k, q k > 0. q k = a k q k + q k q k + q k > q k, Lause 3.0. Olkoon (a n ) n=0 jono kokonaislukuja siten, että a n > 0, kun n. Tällöin on olemassa irrationaalinen raja-arvo lim [a 0, a,..., a n ] = a R \ Q. n Lisäksi, jos jonot (p n ) n=0 ja ( ) n=0 määritelty kuten lemmassa 3.8, niin kaikilla n N pätee α p n <. + Todistus. Riittää osoittaa raja-arvon olemassaolo ja lauseen toisen osan arvio. Raja-arvon irrationaalisuus seuraa tällöin lauseesta.7, sillä lemman 3.6 nojalla pn ovat eri lukuja ja lemman 3.9 nojalla ( ) on aidosti kasvava, kun n..

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA ( ) pn Osoitetaan ensin raja-arvon olemassaolo: Koska p q p n tämä jono on kasvava, se suppenee. Olkoon siten β = lim n on alaraja jonolle ( pn+ q n+ on yläraja jonolle. Vastaavasti p 0 ) q n q 0 ja tämä jono on laskeva, joten se suppenee. Olkoon siten p n+ γ = lim n. Osoitetaan, että β = γ. q n+ Lemman 3.6 nojalla p n β γ p n+ q n q n+ kaikilla n N. Riittää siis osoittaa, että q n ja Lemman 3.4 nojalla lim n p n+ q n+ p n q n = 0. p n+ q n+ p n q n = ( )n q n q n+ = q n q n+. Nyt lemman 3.8 nojalla q n q n+ n n > n ja tällöin kaikille n N p n+ p n q n+, n q n mistä väite β = γ seuraa. Olkoon siis β = γ = α = lim n p n, mikä on lemman 3. nojalla yhtäpitävää väitteen α = lim [a 0, a,..., a n ] n kanssa. Lauseen toinen osa seuraa lemmasta 3.4. Olkoon n parillinen, n = k. Tällöin ja kuten edellä p k q k < α < p k+ q k+ p k+ q k+ p k q k = ( )k q k q k+ = +. Vastaavasti parittomalle n, n = k + pätee p k+ q k+ < α < p k+ q k+ ja p k+ p k+ = ( )k+ =. q k+ q k+ q k+ q k+ + Siispä α p n < kaikilla n N. +

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 3 Merkitään jatkossa lauseen 3.0 raja-arvoa α = lim n [a 0, a, a,..., a n ] yksinkertaisesti α = [a 0, a, a,...] ja sanotaan, että tämä on irrationaaliluvun α jatkuva ketjumurtolukuesitys. Kokonaislukua a n sanotaan luvun α n.:ksi ketjutekijäksi ja rationaalilukua pn = [a 0, a, a,..., a n ] α:n n.:ksi konvergentiksi. Sopimus 3.. Oletetaan jatkossa, että α on irrationaalinen, ellei erikseen muuta mainita ja kun sekaannuksen vaaraa ei ole. Puhuttaessa luvun α konvergenteista, olisi mielekästä, jos jokainen pn olisi yksikäsitteinen eli jos irrationaaliluvun ketjumurtolukuesitys [a 0, a,...] olisi yksikäsittäinen. Jos näin on, voidaan puhua luvun α n.:stä konvergentista määrittelemättä erikseen, mistä jonosta (a n ) se on laskettu. Vastauksen yksikäsitteisyyskysymykseen antaa seuraava lause. Lause 3.. Olkoon α irrationaalinen ja kokonaislukujonot (a n ) n=0 ja (b n) n=0 siten, että a n, b n > 0, kun n ja Tällöin a n = b n kaikilla, n N. [a 0, a, a,...] = α = [b 0, b, b,...]. Todistus. Tehdään todistus neljässä osassa: () Huomataan ensin, että [c 0, c, c,..., c n ] = c 0 + [c, c,..., c n ], missä [c, c,..., c n ] > 0, jolloin c 0 [c 0, c, c,..., c n ] c 0 +. Tämä pätee kaikille n N, ja siten myös yleisemmässä tapauksessa, sillä [c 0, c, c,...] = lim n [c 0, c, c,..., c n ]. Toisin sanoen c 0 [c 0, c, c,...] c 0 +. () Huomataan, että [c 0, c, c,...] = c 0 + [0, c, c,...] (3) Osoitetaan, että lauseen oletuksin a 0 = b 0. Nyt kohdan nojalla [a 0, a, a,...] = a 0 + [0, a, a,...] ja vastaavasti [b 0, b, b,...] = b 0 + [0, b, b,...]. Oletuksen nojalla pätee nyt b 0 a 0 = [0, b, b,...] [0, a, a,...]. Tälle saadaan kohdan nojalla arvio [0, b, b,...] [0, a, a,...]. Koska α = b 0 + [0, b, b,...] = a 0 + [0, a, a,...] on irrationaalinen, ovat myös luvut [0, b, b,...] ja [0, a, a,...] irrationaalisia. Tällöin edellisen arvion epäyhtälöiden on oltava aidot ja saadaan arvio < [0, b, b,...] [0, a, a,...] <, josta saadaan < b 0 a 0 <. Koska b 0 a 0 Z, on oltava a 0 = b 0.

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 4 (4) Todistetaan itse väite induktiolla. Alkuaskel otettiin kohdassa 3. Oletetaan siis, että väite pätee, kun n = k. Huomaa, että a 0 on ensimmäinen ketjutekijä. Oletetaan siis väitteen pätevän k:lle ensimmäiselle ketjutekijälle. Todistetaan, että väite pätee kun n = k. Nyt induktio-oletuksen nojalla a 0 = b 0, jolloin ehdosta α = a 0 + [a, a,...] = b 0 + [b, b,...] seuraa [a, a,...] = [b, b,...] =: γ. Nyt edelleen γ on irrationaalinen, jolloin induktiooletuksen nojalla sen ketjumurtolukuesityksen k ensimmäistä ketjutekijää ovat yksikäsitteisiä. Toisin sanoen luvun a 0 lisäksi luvut a,..., a k ovat yksikäsitteisiä, jolloin induktioväite on todistettu. Huomautus 3.3. Oletus luvun α irrationaalisuudesta on oleellinen. Rationaaliluvulle pätee nimittäin p q = [a 0, a, a,..., a n ] = [a 0, a, a,..., a n, ] ja kokonaisluvulle k = [k] = [k, ]. Lause 3. kertoo siis vain, että jos irrationaaliluvulla on ketjumurtolukuesitys, niin se on yksikäsitteinen. Seuraava kysymys onkin, onko jokaisella irrationaaliluvulla tällainen esitys. Tähän kysymykseen vastaamiseksi esitellään algoritmi luvun α ketjumurtolukuesityksen muodostamiseksi. Algoritmi 3.4. Olkoon α R. Sanotaan, että α on algoritmin siemenluku. Määritellään luvut α 0, α, α,... R ja a 0, a, a,... Z rekursiivisesti: () Asetetaan a 0 = α ja α 0 = α. () Oletetaan, että α n ja a n on määritelty ja α n Z. Tällöin määritellään ensin α n = ja tämän avulla a n = α n. Jos α n Z niin α n a n sanotaan, että algoritmi päättyy vaiheessa n, eikä lukuja a k määritellä, kun k n. Lause 3.5. Oletetaan, että jollakin siemenluvulla α algoritmi 3.4 ei pääty missään vaiheessa. Tällöin α = lim n [a 0, a, a,..., a n ] = [a 0, a, a,...]. Todistus. Lauseen 3.0 nojalla on olemassa raja-arvo lim n [a 0, a, a,..., a n ]. Riittää siis osoittaa, että kaikille n N {0} pätee [a 0, a,..., a n ] α [a 0, a,..., a n+ ]. Osoitetaan tämä induktiolla. () Osoitetaan tapaus n = 0. Kokonaisosan määritelmän nojalla ja tästä seuraa a 0 = α α [a 0, a ] = a 0 + a a 0 + α = a 0 + α 0 a 0 = α. () Oletetaan, että väite pätee kun n = k, missä k. Oletetaan siis, että [a 0, a,..., a k ] α

ja 3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 5 [a 0, a,..., a k ] α. (3) Osoitetaan tapaus n = k. Huomataan ensin, että [a 0, a,..., a k ] = a 0 + [a,..., a k ] Soveltamalla induktio-oletusta nyt lukuun [a,..., a k ], joka saadaan algoritmista siemenluvulla α, saadaan (kun huomataan uudelleenindeksoinnin jälkeen, että tämän luvun viimeisen ketjutekijän indeksi on pariton) [a,..., a k ] α, jolloin Siispä [a 0, a,..., a k ] = a 0 + [a,..., a k ] α. [a,..., a k ] a 0 + α = α. Ensimmäinen arvio on siis todistettu. Jälkimmäinen arvio saadaan, kun kirjoitetaan [a 0, a, a..., a k, a k+ ] = a 0 + a + [a...,a k,a k+ ] ja sovelletaan induktio-oletusta lukuun [a..., a k, a k+ ], joka saadaan algoritmista siemenluvulla α. Tällöin saadaan (kuten edellä uudelleenindeksoinnin jälkeen) [a..., a k, a k+ ] α. Käyttämällä tätä tietoa hyväksi [a 0, a, a..., a k, a k+ ] = a 0 + a 0 + a + [a...,a k,a k+ a ] + α = a 0 + = a 0 + a + α a α = a 0 + α a 0 = α. Väite seuraa nyt induktioperiaatteesta. Esimerkki 3.6. () Kehitetään luvun ketjumurtolukuesitys. α 0 = a 0 = + α = = a = α = = α = + a = a = + α 3 = + = α = α = + a 3 = a = a = Huomataan, että algoritmissa alkavat toistua samat luvut, jolloin saadaan = [,,,,...].

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 6 () Vastaavasti luvulle ϕ = + 5 saadaan α 0 = + 5 a 0 = α = + 5 = = ( 5 + ) = + 5 a = a 0 = 5 5 α = + 5 = + 5 a = a = Algoritmissa alkavat toistua heti samat luvut, joten + 5 = [,,,...]. (3) Määritellään vielä aiemmin tutuksi tulleen luvun 459 ketjumurtolukuesitys 8 käyttäen algoritmia 3.4. α 0 = 459 a 8 0 = α = 459 = 8 a = 95 8 α = 8 = 95 a = 87 95 α 3 = 95 = 87 a 3 = 0 8 87 α 4 = 87 0 = 8 a 4 = 7 8 α 5 = 8 = 7 a 5 = 7 7 Koska α 5 Z, algoritmi pättyy vaiheessa 5. Ei liene yllätys, että luvulle saadaan sama ketjumurtolukuesitys kuin kappaleen alussa. Lause 3.7. Luvun α kahdesta peräkkäisestä konvergentista ainakin toiselle pätee α p q < q. Todistus. Koska parittomat konvergentit ovat suurempia kuin α ja parilliset pienempiä kuin α, voidaan kirjoittaa p n+ p n + = p n α + p n+ α +. Jos väite olisi nyt epätosi, niin lemman 3.4 nojalla saadaan = p n+ p n + + + = p n+ p n + Tästä seuraa q n+ + q n + q n+ + + qn + 0 (+ ) 0, + q n +. qn+

3. APPROKSIMOINTIA KETJUMURTOLUVUILLA 7 mikä on ristiriita lukuunottamatta erikoistapausta Tässä tapauksessa joten väite pätee. 0 < p q α = n = 0, q = q 0 =, a =. + a +... < a a + = a +, Esimerkki 3.8. Edellä laskettiin luvulle ketjumurtolukuesitys = [,,,,...]. Tästä esityksestä saadaan seuraavat konvergentit: p 0 p =, = 3 q 0 q, p = 7 q 5, p 3 = 7 q 3, p 4 = 4 q 4 9 Näitä vastaaville virheille R(n) = p n saadaan arviot p 5 = 99 q 5 70, p 6 = 39 q 6 69,... R(0) < 0, 5 =, R() < 0, 0 <, R() < 0, 0 <, R(3) < 0, 003 < 5, R(4) < 0, 0004 <, R(5) < 0, 000073 < 9 70 R(6) <, 4 0 6 < 69,... On siis todettu, että irrationaaliluvuille on mahdollista löytää äärettömän monta approksimaatioita p siten, että tehty virhe on pienempi kuin. Seuraavissa luvuissa q q tutkitaan, voidaanko luvun q eksponenttia kasvattaa suuremmaksi kuin. Tällöin arvion tarkkuus paranisi entistä nopeammin. Ketjumurtoluvuilla on lisäksi joitakin mielenkiintoisia sovelluksia, joita ei tämän tutkielman puitteissa tutkita tarkemmin. Ketjumurtolukuja voidaan käyttää esimerkiksi () Luonnollisten lukujen p ja q suurimman yhteisen tekijän laskemiseen [7], () Markovin lukujen laskemiseen ja yhtälön k + l + m = 3klm, (0 k, l m) ratkaisemiseen [], (3) Pellin yhtälön x dy = ± ratkaisemiseen [] sekä (4) pienillä avainluvuilla RSA-salauksen purkamiseen käyttäen Wienerin hyökkäystä [4, 5]. Andrei Andrejevitš Markov, 856 9 Tämä yhtälö kantaa Pellin nimeä, vaikka kunnia kuuluisi Lordi Brounckerille.

LUKU 4 Liouvillen lause Toisen asteen yhtälön irrationaalisia juuria eli niin sanottuja kvadraattisia lukuja tutkittaessa huomataan, että on olemassa vakio c = c(α) > 0 siten, että α p q > c q kaikilla supistetussa muodossa olevilla rationaaliluvuilla p Q. Tämä on kuitenkin q vain seuraus yleisemmästä tuloksesta, jonka Liouville todisti vuonna 844. Määritelmä 4. (Algebrallinen ja transkendenttinen luku). Sanotaan, että luku α R on algebrallinen, jos se on kokonaislukukertoimisen polynomin f(x) = a n x n + a n x n +... a x + a 0, a n,..., a 0 Z, a n 0 nollakohta. Sanotaan, että luku on transkendenttinen, jos se ei ole algebrallinen. Määritelmä 4. (Minimaalipolynomi ja algebrallisen luvun aste). Sanotaan, että polynomi P (x) = a n x n + a n x n +... a x + a 0, a n,..., a 0 Z, a n 0 on algebrallisen luvun α minimaalipolynomi, jos kertoimilla a i ei ole yhteistä kokonaislukutekijää (lukuja ± lukuunottamatta) ja P on pienintä astetta oleva polynomi, joka toteuttaa yhtälön P (α) = 0. Sanotaan, että algebrallisen luvun aste on sen minimaalipolynomin asteluku. Huomautus 4.3. Jokaisella algebrallisella luvulla on minimaalipolynomi, jonka aste on yksikäsitteinen. Lemma 4.4. Olkoon P (x) kokonaislukukertoiminen polynomi, jonka aste on n ja p ) = 0. Tällöin on olemassa kokonaislukukertoiminen polynomi q q Q(x), jonka aste on n ja jolle pätee ( P (x) = x p ) Q(x). q ( ) Todistus. Väite seuraa polynomin P (x) jaollisuudesta polynomilla x p q ja Gaussin lemman seurauksesta. Katso [3, s. 33] ja [3, s. 6-6]. Lemma 4.5. Olkoon α algebrallinen luku, jonka aste on d ja P sen minimaalipolynomi. Tällöin polynomilla P ei ole rationaalisia juuria. Joseph Liouville, 809 88 8

4. LIOUVILLEN LAUSE 9 Todistus. Tehdään antiteesi: Olemassa p Q siten, että P ( p ) = 0. Tällöin q q lemman 4.4 nojalla on olemassa kokonaislukukertoiminen polynomi Q, jonka aste on d ja jolle pätee ( P (x) = x p ) Q(x). (4.) q Koska P on luvun α minimaalipolynomi, pätee P (α) = (α p )Q(α) = 0. Edelleen q koska α R \ Q ja p Q, niin α p 0, joten Q(α) = 0. Tämä on ristiriita, sillä q q polynomin Q aste on d ja oletuksen mukaan luvun α aste on d. Antiteesi on siis epätosi ja väite pätee. Lause 4.6 (Liouvillen lause, 844). Olkoon α algebrallinen irrationaaliluku, jonka aste on d. Tällöin on olemassa vakio c = c(α) > 0 siten, että α p q > c q d kaikilla rationaaliluvuilla p q Q. Todistus. a) Olkoon P (x) luvun α minimaalipolynomi ja d sen aste. b) Polynomin P Taylorin sarjasta saadaan ( ) p P d ( ) k p = q k! P (k) (α) q α k= d ( k! P (k) α) (α) p q k= < c(α) α p q, kun α p q. Tämä oletus voidaan tehdä, sillä väite pätee kaikille vakioille 0 < c(α) <, jos α p q >. c) Koska P (x) on kokonaislukukertoiminen polynomi, jonka aste on d, niin q d P ( p ) on kokonaisluku. Lisäksi lemman 4.5 nojalla kaikilla p q Q pätee P ( p ) 0. q q Siispä q d P ( p ) q, eli ( ) p P q q. d Yhdistämällä tämä edelliseen arvioon saadaan väite α p q > P ( p q c(α) ) q d α p q > c(α) q. d Huomautus 4.7. Luku c on vakio siinä mielessä, että se riippuu vain luvusta α eikä ollenkaan luvusta p q, jolla arvio tehdään. Vakio c sopii siis kaikille luvuille p q.

4. LIOUVILLEN LAUSE 0 Liouvillen lause ratkaisi yhden 800-luvun suurimmista matemaattisista ongelmista, sillä se mahdollistaa transkendenttilukujen konstruoinnin. Tämä tapahtuu siten, että muodostetaan reaaliluku, jota voidaan arvioida rationaaliluvuilla tarkemmin kuin mitään astetta d olevaa algebrallista lukua, jonka arviointitarkkuudelle Liouvillen lause antaa rajan. Esimerkki 4.8 ( [7], s. 45). Osoitetaan, että luku α := 0 n! = 0.00000000000000000000000... on transkendenttinen. n= Todistus. Huomataan ensin, että sarja suppenee johonkin reaalilukuun majoranttiperiaatten nojalla, sillä 0 n! < 0 n ja tunnetusti gemetrinen sarja n= 0 n suppenee. Merkitään kaikille n N äärellistä summaa n S n = 0 k! = 0 + 00 +... + 0 + (n )! 0. n! k= Tällöin S n Q kaikilla n N ja S n α, kun n. Siis S n = 0 n! (0n! + 0 n! + 0 n! 6 +... + 0 n! (n )! + ), joten S n = pn, missä p n = 0 n! + 0 n! + 0 n! 6 +... + 0 n! (n )! + N ja = 0 n! N. Lisäksi α S n = k=n+ 0 k! = 0 ( + (n+)! 0 + +...). (n+)! (n+)! 0 (n+3)! (n+)! Kun huomataan, että kaikilla k n + pätee k! (n + )! k (n + ), niin voidaan tehdä arvio α S n 0 ( + (n+)! 0 + (n+) (n+)! 0 +...) = (n+3) (n+) 0 (n+)! 0. k Geometrisen summakaavan nojalla k=0 = 0, jolloin voidaan arvioida edelleen 0 k 9 0 α S n 0 (n+)! 9 < 0. (n+)! Suurilla n N pätee = 0 (n+)! (0 n! ) <, jolloin siis (n+) (0 n! ) α S n = α p n. qn Koska rationaaliluvut S n = p n / ovat eri lukuja ja edellinen arvio pätee, on α lauseen.7 nojalla irrationaalinen. Osoitetaan, että α on transkendenttinen. Antiteesi: α on algebrallinen. Olkoon sen aste d. Liouvillen lauseen nojalla on tällöin vakio c > 0 siten, että kaikilla n N α p n > c. q d n k=0

4. LIOUVILLEN LAUSE Edellisten arvioiden nojalla kaikilla n N pätee > 0 (n+)! α p n c > (0 n! ) d c > 0 (n+ d)n!. Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä kaikille c > 0 löytyy n c N siten, että < c 0 (nc+ d)nc!. Antiteesi on siis väärä ja luku α on transkendenttinen.

LUKU 5 Rothin lause. Historiaa Liouvillen lausetta voidaan parantaa. Olkoon α algebrallinen luku, jonka aste on d. Haluamme löytää parhaan mahdollisen eksponentin λ(α) siten, että on olemassa luku c = c(α) > 0 ja kaikilla rationaaliluvuilla p Q pätee q α p q > c q λ(α). Liouvillen lauseen nojalla voidaan ainakin valita λ(α) = d. Arviota luvulle λ(α) on parannettu vuosien varrella useaan otteeseen 844 Liouville: λ(α) = d 909 Thue: λ(α) > d + 9 Siegel: λ(α) > d 947 Dyson: λ(α) > d 955 Roth: λ(α) > Rothin tulos on siitä merkittävä, että se poisti kokonaan riippuvuuden luvun α asteesta d. Tämän työnsä ansiosta hän sai Fieldsin mitalin vuonna 958. Rothin lause voidaan kirjottaa kahdessa keskenään ekvivalentissa muodossa. Lause 5. (Rothin lause, 955). Olkoon α algebrallinen luku, jonka aste on d ja ε > 0. Tällöin on olemassa vakio c(α, ε) > 0 siten, että kaikilla p Q q α p c(α, ε) q > q. +ε Lause 5.. Olkoon α algebrallinen luku, jonka aste on d ja ε > 0. Tällöin on korkeintaan äärellisen monta lukua p Q siten, että q α p q < q. +ε Huomautus 5.3. () Huomataan ensin, että jos luvun α aste on d = (eli kun luku on kvadraattinen), antaa Liouvillen lause vahvemman tuloksen kuin Rothin lause. () Lauseesta 5. huomataan kuitenkin, että arvio λ(α) = + ε, ε > 0 on paras mahdollinen, joka voidaan tehdä kaikille irrationaalisille algebrallisille luvuille, sillä lauseen.7 nojalla kaikille irrationaaliluvuille α on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p Q siten, että q α p q < q.

. ESITIETOJA 3 Toisin sanoen, jos lauseen 5. arvio pätisi jollakin algebrallisella luvulla α, kun λ(α) =, olisi luvun α oltava rationaalinen eli astetta d =.. Esitietoja Rothin lauseen todistus on moniosainen ja sen tekemiseen tarvitaan useampi aputulos. Todistus voidaan jakaa karkeasti kahteen osaan (vertaa Liouvillen lauseen todistukseen): I) Oletetaan, että antiteesi pätee ja muodostetaan m muuttujan polynomi R, joka katoaa vahvasti pisteessä (α, α,..., α) R m. Tämä tarkoittaa sitä, että itse funktion arvon lisäksi myös monet sen osittaisderivaatat ovat 0 tässä pisteessä. Tällöin sen graafi on erittäin tasainen pisteen (α, α,..., α) ympäristössä, eli polynomin P on kadottava melko vahvasti pisteessä ( p q, p q,..., pm q m ). II) Seuraavaksi todistetaan, että jos polynomin R asteet kasvavat eksponentiaalisesti, niin se ei voi kadota liian vahvasti pisteessä ( p q, p q,..., pm q m ). Tätä tulosta kutsutaan Rothin lemmaksi ja se on ristiriidassa edellisen kohdan kanssa. Tässä tehtävä todistus seuraa melko tarkasti Schmidtin todistusta [], joka vuorostaan seuraa Casselsin todistusta [3]. Alkuperäinen todistus löytyy lähteestä [0]. Todistetaan tarvittavat lemmat aluksi, jolloin Rothin lauseen todistus voidaan lopulta kasata niistä kappaleessa 7. Aloitetaan todistamalla, että lauseet 5. ja 5. ovat ekvivalentteja. Lemma 5.4. Lauseet 5. ja 5. ovat ekvivalentteja. Todistus. Olkoon α algebrallinen luku, jonka aste on d ja ε > 0. Oletetaan ensin, että lause 5. on tosi. Olkoot p q,..., pm q m Q ne rationaaliluvut, jotka toteuttavat epäyhtälön α p n < (5.) qn +ε kaikilla n m. Voidaan olettaa, että näitä lukuja pn ei olisi, voitaisiin valita C(α, ε) =. Koska lukuja pn valita k m siten, että kaikilla pn pätee α p k α p n. q k on ainakin yksi. Jos näin on äärellinen määrä, voidaan Merkitään r = α p k. q k Koska α on irrationaalinen, pätee r > 0 ja koska p k q k toteuttaa epäyhtälön (5.), niin pätee r <. Nyt voidaan valita C(α, ε) = r, jolloin kaikilla pn C(α, ε) Tällöin kaikilla p q Q pätee q +ε n = r q +ε n α p q < r α p n. > C(α, ε) q +ε.

. ESITIETOJA 4 Oletetaan seuraavaksi, että Rothin lause on tosi. Tehdään antiteesi: On olemassa äärettömän monta epäyhtälön α p n < (5.) qn +ε toteuttavaa rationaalilukua pn. Voidaan olettaa, että kaikilla n, m N pätee pn pm q m, kun n m. Koska kullakin epäyhtälö (5.) voi toteutua vain äärellisellä määrällä p n, on olemassa jonon osajono, q ϕ(n), jolle q ϕ(n). Merkitään tätä osajonoa (q ϕ(n) ) yksinkertaisesti ( ). Koska ε > 0, voidaan valita luku γ > 0 siten, että 0 < γ < ε. Nyt Rothin lauseen nojalla on olemassa vakio C(α, γ) > 0 siten, että kaikilla p Q pätee q C(α, γ) q +γ < α p q. (5.3) Tämä pätee erityisesti luvuilla pn. Yhdistämällä epäyhtälöt (5.) ja (5.3) saadaan C(α, γ) q +γ n < qn +ε josta saadaan edelleen C(α, γ) < qn ε γ kaikilla n N. Koska ε γ > 0, niin 0, kun. Tämä on ristiriita, sillä qn ε γ C(α, γ) on aidosti positiivinen vakio. Antiteesi on siten väärä ja väite tosi. Määritelmä 5.5 (Algebrallinen kokonaisluku). Sanotaan, että α on algebrallinen kokonaisluku, jos se toteuttaa jonkin kokonaislukukertoimisen yhtälön α n + a n α n + + a α + a 0 = 0. Huomautus 5.6. Nimitys algebrallinen kokonaisluku tulee siitä, että kokonaisluku α toteuttaa yhtälön, joka on muotoa α + a 0 = 0, Jokainen kokonaisluku on siis algebrallinen kokonaisluku. Lause 5.7. Olkoon α algebrallinen kokonaisluku ja n sen aste. Tällöin a n = luvun α minimaalipolynomissa. Todistus. Katso [5, lause 36, s. 65] Lemma 5.8. Rothin lause on tosi, jos se pätee algebrallisille kokonaisluvuille. Todistus. Olkoon α algebrallinen luku ja olkoon f(x) = a n x n + + a 0 sen minimaalipolynomi. Merkitään z = a n α. Tällöin pätee z n + a n z n + a n a n z n +... + an n a 0 = a n n f(α) = 0, siis z on algebrallinen kokonaisluku. Jos α p q <, (5.4) q+ε,

3. POLYNOMIN INDEKSI 5 niin p z a n q < a n q < +ε q, (5.5) + ε kun q on tarpeeksi iso. Jos epäyhtälöllä (5.4) on äärettömän monta ratkaisua, niin myös epäyhtälöllä (5.5) on. Koska ε on mielivaltainen, olisi z ristiriidassa Rothin lauseen kanssa, jos α olisi. Siispä väite pätee algebrallisille luvuille, jos se pätee algebrallisille kokonaisluvuille. Puhuttaessa jatkossa algebrallisesta luvusta α, voidaan olettaa, että α on algebrallinen kokonaisluku, jonka minimaalipolynomi on f ja polynomin f johtava kerroin on. 3. Polynomin indeksi Todistaakseen lauseensa Roth käyttää usean muuttujan polynomeja, jotka ovat muotoa R(x,..., x m ) = C(j,..., j m )x j x jm m, 0 j h missä luvut C(j,..., j m ) ovat kokonaislukukertoimia ja luku muuttujan x h suurin potenssi. Määritelmä 5.9. Sanotaan, että polynomin R korkeus on ja kirjoitetaan R = max C(j,..., j m ) R i,...,i m = i! i m! i im x i x im m kaikilla ei-negatiivisilla konaisluvuilla i h, h m. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi käytetään merkintään R i, kun i = (i,..., i m ) on yhteydestä selvä. Lemma 5.0. i) Jos R on kokonaislukukertoiminen, niin myös R i,...,i m on sitä. ii) Jos muuttujan x h aste polynomissa R on, niin sen aste polynomissa R i on korkeintaan i h. Lisäksi pätee R i 0, jos i h > kaikilla h m. iii) Lopuksi R i r + +r m R. Todistus. i) Huomataan ensin, että Taylorin kaavasta saadaan R i = ( ) ( ) j jm C(j,..., j m )x j i xm jm im, (5.6) i h j h missä binomikertoimet ( j i) ovat kokonaislukuja. ii) Seuraa yhtälöstä (5.6). iii) Koska i ( ) j i 0 i j i m R ( ) j = ( + ) j r, i kun 0 i j r, niin väite seuraa yhtälöstä (5.6).

Lemma 5.. R(x + y,..., x m + y m ) = 3. POLYNOMIN INDEKSI 6 0 i h y i y im m R i (x,..., x m ) (5.7) Todistus. Yhtälö (5.7) seuraa Taylorin lauseesta, sillä R on polynomi. Katso [9, s.7]. Määritelmä 5.. Olkoot α,..., α m reaalilukuja ja r,..., r m positiivisia kokonaislukuja. Sanotaan, että polynomilla R 0 on indeksi I =: ind α,r R pisteessä α = (α,..., α m ) pisteen r = (r,..., r m ) suhteen, jos I on pienin summa m i h, jolle R i (α,..., α m ) ei katoa. Toisin sanoen, { } ind R = min i h : i = (i,..., i m ) s.e i h Z + ja R i (α) 0. α,r h m h= Jos R 0, niin sanotaan, että indeksi I on +. Huomautus 5.3. Indeksin määritelmä on mielekäs, sillä kirjoittamalla R(α,..., α m ) = R(r + (α r ),..., r m + (α m r m )) huomataan, että yhtälön (5.7) nojalla on olemassa i = (i,..., i m ) siten, että R i ei katoa paitsi erikoistapauksessa R 0. Huomataan myös, että erityisesti ind α,r R = 0, jos R(α,..., α m ) 0. Esimerkki 5.4. () Olkoot R(x) = x, α = α = 0 ja r = r =. Tällöin R(α) = 0 ja R (α) = 0, mutta R (α) = R(α) = 0, jolloin i h x h= = =, joten ind α,r R =. () Olkoot R(x, x ) = x x + x, α = (, ) ja r = (, ). Tällöin i) R(α) = 0, ii) R,0 (α) = 0, iii) R 0, (α) = = 0, Kohdasta ii) saadaan summaksi i h h= = + 0 = ja kohdasta iii) i h h= = 0 + =. Muita osittaisderivaattoja ei tarvitse laskea, sillä lukujen i h kasvattaminen vain kasvattaa summaa h= kiinnitettyjä. Siispä ind α,r R =. i h lukujen ollessa Sopimus 5.5. Merkitään yksinkertaisesti ind R, kun tarkoitetaan ind α,r R ja sekaannuksen vaaraa ei ole. Lemma 5.6. i) ind R i ind R m i h h= ii) ind(r + T ) min(ind R, ind T ) iii) ind(r T ) = ind R + ind T Todistus. i) Olkoon T = R i ja oletetaan, että T j (α,..., α m ) 0. Siis R i+j (α,..., α m ) 0. Tällöin i + j r +... + i m + j m r m ind R,

joten eli 3. POLYNOMIN INDEKSI 7 j r +... + j m r m ind R ind R i = ind T ind R m i h h= ii) Oletetaan, että (R + T ) i (α,..., α m ) 0. Tällöin pätee R i (α,..., α m ) 0 tai T i (α,..., α m ) 0. Siispä joko tai joten iii) Huomataan, että m h= m h= (R T ) k (α,..., α m ) = i h ind R i h ind T, m h= i h. ind(r + T ) min(ind R, ind T ). i+j=k C(i, j)r i (α,..., α m )T j (α,..., α m ), (5.8) kun k = (k,..., k m ) ja k h 0 kaikilla h m. Oletetaan, että k on valittu siten, että m k h h= rh = ind(r T ) ja (R T ) k (α,..., α m ) 0. Yhtälön (5.8) nojalla on olemassa i ja j siten, että i + j = k ja R i (α,..., α m ) 0 ja T j (α,..., α m ) 0. Tällöin m h= ind R ja m h= ind T, joten i h ind(r T ) = m h= j h k h = m h= i h + m h= j h ind R + ind T. (5.9) Toisaalta, on olemassa ainakin yksi i = (i,..., i m ) siten, että m i h h= = ind R ja R i (α,..., α m ) 0. Olkoon i siten, että se on näistä vektoreista ensimmäinen leksikografisessa järjestyksessä. Toisin sanoen sen ensimmäisten indeksien arvot ovat mahdollisimman pienet. Olkoon vastaavasti j = (j,..., j m ) leksikografisessa järjestyksessä ensimmäinen j, jolle m j h h= = ind T ja T j (α,..., α m ) 0. Asetetaan k = i + j. Tutkitaan seuraavaksi, mitkä tapaukset vaikuttavat summaan (5.8). Jos olisi ĩ = (ĩ,..., ĩ m ), joka olisi leksikografisessa järjestyksessä aidosti pienempi kuin i ja jolle pätisi sekä Rĩ(α,..., α m ) 0 että m h= ĩ h ind R, niin indeksin määritelmän Leksikografinen järjestys eli niin sanottu sanakirjajärjestys : (a,..., a m ) (b,..., b m ), jos ja vain jos on olemassa indeksi k (m k ) siten, että a i = b i kaikilla i < k ja a k b k.

4. POLYNOMIN R KONSTRUKTIO 8 nojalla olisi oltava m ĩ h h= > m i h h=. Muutoin ĩ olisi ristiriidassa vektorin i valinnan kanssa. Olkoon j siten, että k = ĩ + j. Tällöin m h= j h = m h= j h + i h ĩ h = m h= j h + m h= i h joten T j (α,..., α m ) = 0 ja RĩT j (α,..., α m ) = 0. m h= ĩ h < m h= j h = ind T, (5.0) Vastaavasti, jos olisi ĩ, joka olisi leksikografisessa järjestyksessä aidosti suurempi kuin i ja jolle pätisi Rĩ(α,..., α m ) 0, niin tälle vektorille m ĩ h h= ind R. Olkoon j kuten edellä. Tällöin yhtälöstä (5.0) saadaan Jos m j h h= m h= j h ind T. < ind T, niin T j (α,..., α m ) = 0 ja jos m j h h= = ind T, niin tulee päteä T j (α,..., α m ) = 0, muutoin j olisi ristiriidassa vektorin j valinnan kanssa, sillä j on leksikografisesti pienempi kuin j. Nyt vektoreiden i ja j valinnoista johtuen yhtälö (5.8) saa muodon Siispä (R T ) k (α,..., α m ) = C(i, j)r i (α,..., α m )T j (α,..., α m ) 0. ind(r T ) m h= k h = m h= i h + Väite seuraa nyt epäyhtälöistä (5.9) ja (5.). m h= j h = ind R + ind T. (5.) 4. Polynomin R konstruktio Polynomin R konstruktio seuraavan lauseen todistuksessa vastaa Liouvillen lauseen todistuksen kohtaa a), jossa luvun α minimaalipolynomi otetaan tutkittavaksi. Lauseen todistamiseksi tarvitaan muutama lemma, jotka todistetaan aluksi. Lemma 5.7. Olkoot r,..., r m positiivisia kokonaislukuja ja 0 < ε <. Tällöin kokonaislukupisteitä (i,..., i m ), joille 0 i h, (5.) kun ( h m) ja on korkeintaan kappaletta. ( m i h h= ) m εm, (5.3) (r + ) (r m + ) e ε m/4

4. POLYNOMIN R KONSTRUKTIO 9 Todistus. Olkoon M + niiden kokonaislukupisteiden lukumäärä, joille pätee ehto (5.) ja ( m ) i h m εm h= sekä vastaavasti M niiden kokonaislukupisteiden lukumäärä, joille pätee (5.) ja ( m i h h= Lemman todistamiseksi riittää osoittaa, että ) m εm. M ± (r + ) (r m + ) e ε m/4, (5.4) missä merkinnällä M ± tarkoitetaan, että epäyhtälö (5.4) pätee sekä luvulle M + että luvulle M. Lukujen M + ja M määritelmästä seuraa suoraan, että M ± = c, (5.5) missä summassa c lasketaan yhteen niiden vektorien c = (c,..., c m ), 0 c j r j, lukumäärä, joille summa ( m ) c h m h= on joko yli εm tai vastaavasti alle εm. Olkoon j ja c j kokonaislukuja siten, että j m ja 0 c j r j. Tällöin M ± exp ( ε m/ ) = r c =0 m j= r m c m=0 r j c j =0 exp exp ( ± ε (( m ( ± ε ( cj r j c h h= ) )), m missä merkintöjen yksinkertaistamiseksi käytetään merkintää exp(x) = e x. Huomataan, että kullekin 0 j m pätee )) (5.6) r j c j =0 = (r j + ) (5.7)

4. POLYNOMIN R KONSTRUKTIO 30 Arvioimalla e x + x + x, mikä pätee, kun x, saadaan kullekin 0 j m arvio r j ( exp ± ε ( cj )) r j ( ± ε ( cj ) ( + ε cj ) ) r c j =0 j r c j =0 j 4 r j r j ) ( + ε ± ε r j c j r r j j 4 r j = c j =0 r j c j =0 ) ( + ε ± ε 4 r j c j =0 r j c j =0 c j =0 c j r j(r j + ) = (r j + )( + ε ), (5.8) 4 missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että luvun ± ε r j kerroin on 0, sillä r j c j =0 c j = r j (r j +). Nyt epäyhtälöistä (5.8) ja (5.6) seuraa M ± exp ( ε m/ ) (r + ) (r m + )( + ε 4 )m (r + ) (r m + ) exp ( ε m/4 ), sillä ( + x) m e xm, kun 0 x. Tämä on yhtäpitävää epäyhtälön (5.4) kanssa. Väite on siten todistettu. Lemma 5.8. Olkoon α algebrallinen kokonaisluku ja f(x) = x n + a n x n + + a x + a 0 sen minimaalipolynomi. Tällöin kaikilla luvuilla k 0 on olemassa kokonaisluvut c n (k),..., c 0 (k) siten, että ja kaikilla i n. α k = c n (k)α n + + c (k)α + c 0 (k) c i (k) ( f + ) k Todistus. Tehdään todistus induktiolla luvun k suhteen. Väite pätee selvästi kaikilla luvuilla k n. Oletetaan, että väite pätee jollakin luvulla k. Tällöin α k+ = α k α = ( c n (k)α n + + c 0 (k) ) α = c n (k)α n + c n (k)α n + + c 0 (k)α = c n (k) ( a n α n a α a 0 ) + c n (k)α n + + c 0 (k)α = c n (k)a n α n c n (k)a n α n c n (k)a α c n (k)a 0 + c n (k)α n +... + c 0 (k)α = (c n (k) a n c n (k)) α n + + (c 0 (k) a c n (k)) α a 0 c n (k), mistä merkintöjä vaihtamalla saadaan α k+ = c n (k + )α n + + c (k + )α + c 0 (k + ).

Kullekin i n saadaan arvio 4. POLYNOMIN R KONSTRUKTIO 3 c i (k + ) ( f + ) k + f ( f + ) k = ( f + ) k+. Lemma 5.9 (Siegelin lemma). Olkoot M, N N siten, että N > M. Olkoot lisäksi N L j (z,..., z N ) = a jk z k kokonaislukukertoimisia lineaarikuvauksia, kun j M, siten, että a jk A jollakin luonnollisella luvulla A. Tällöin on olemassa kokonaislukupiste z = (z,..., z N ) 0 siten, että L j (z) = 0 (5.9) ja z j (NA) M N M (5.0) kaikilla j M. Todistus. Koska N > M, on olemassa ei-triviaali rationaalinen ratkaisu z yhtälöille (5.9). Koska z on ratkaisu, on λz myös ratkaisu kaikilla reaaliluvuilla λ. Täten on olemassa joukko kokonaislukupisteitä, jotka kaikki toteuttavat yhtälöt (5.9). Osoitetaan, että jokin näistä pisteistä toteuttaa epäyhtälön (5.0). Tämän todistamiseksi käytetään Dirichlet n lauseen todistuksesta tuttua kyyhkyslakkaperiaatetta. Merkitään Z := (NA) M M N M N M. Tällöin Z + > (NA) N M, jolloin NA < (Z + ) M ja edelleen NAZ + NA(Z + ) < (Z + ) N M. Kaikille kokonaislukupisteille z = (z,..., z N ), jotka toteuttavat ehdon pätee k= 0 z i Z, (5.) L j Z L j(z) L + j Z, missä L j ja L + j ovat kuvauksen L j (z) negatiivisten ja positiivisten kertoimien summa vastaavasti. Nyt L j + L+ j NA, joten kukin kuvapiste Lj (z) sijaitsee janalla, jonka pituus on korkeintaan NAZ. Kun päätepisteet lasketaan mukaan, kukin L j (z) voi saada korkeintaan N AZ + eri arvoa. Tällöin kuvapisteiden muodostama vektori (L (z),..., L M (z)) voi saada korkeintaan (NAZ + ) M < (Z + ) N eri arvoa. Toisaalta, ehdon (5.) toteuttavien kokonaislukupisteiden z lukumäärä on (Z + ) N. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla tällöin on oltava ainakin kaksi ehdon (5.) toteuttavaa kokonaislukupistettä z z siten, että L j (z ) = L j (z ) kaikilla j M. Piste z = z z toteuttaa lemman väitteen.

4. POLYNOMIN R KONSTRUKTIO 3 Lause 5.0 (Indeksilause). Olkoon α algebrallinen kokonaisluku ja d sen aste. Merkitään α = (α, α,..., α). Olkoon lisäksi ε > 0 ja m kokonaisluku siten, että m > 6 log 4d (5.) ε ja r = (r,..., r m ) kokonaislukupiste, jolle, kun h m. Tällöin on olemassa kokonaislukukertoiminen polynomi R(x,..., x m ) 0 siten, että i) muuttujan x h aste polynomissa R on korkeintaan, ii) iii) ja missä B = B(α). ind R m ( ε) α,r R B r +...+r m, Todistus. Polynomi, jota etsitään on muotoa R(x,..., x m ) = r j =0 r m j m=0 C(j,..., j m )x j x jm m, missä luvut C(j,..., j m ) ovat kokonaislukuja siten, että ii) ja iii) pätevät. Näiden määriteltävien kertoimien lukumäärä on Jos aina, kun N = (r + ) (r m + ). (5.3) R i,...,i m (α, α,..., α) = 0, (5.4) ( m i h h= ) m < mε, (5.5) niin kohta ii) pätee. Lemman 5.7 nojalla tällaisten vektoreiden i määrä on korkeintaan (r +) (r m +) e εm/6. Oletuksen (5.) nojalla näiden tapausten määräksi saadaan korkeintaan N 4d = N d. (5.6) Kukin yhtälön 5.4) toteuttavista tapauksista vastaa lineaariyhtälöä, jossa muuttujina ovat kokonaisluvut C(j,..., j m ) ja kertoimina luvun α potenssit kerrottuna jollakin kokonaisluvulla. Koska α on algebrallinen, on se potenssien α d,..., α, kokonaislukukertoiminen lineaarikombinaatio, sillä f(α) = 0. Täten kukin yhtälön (5.4) toteuttavista tapauksista seuraa lineaariyhtälöistä, joiden lukumäärä on d. Kaiken kaikkiaan lukujen C(j,..., j m ) määrittelevien kokonaislukukertoimisten yhtälöiden lukumääräksi saadaan M d N d = N.