Funktiot ja raja-arvo 800119P, 5op Pekka Salmi 15. syyskuuta 2017 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 1 / 122
Yleistä Luennot: ke 810, to 1214 (ensi viikosta lähtien) Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä: ke 1014, pe 1014 M101 (2h/vko riittää), alkaa ensi viikolla (yhteinen JMP:n kanssa) Kurssin arvosteluna parempi seuraavista: A Loppukoe 31.10. klo 14.3017.30 (uusinnat vain tarvittaessa). Koe 024 pistettä. Harjoitustehtävät 07 pistettä. STACK-tehtävät 05 pistettä. Yhteensä max 36 p. B Loppukoe 31.10. klo 14.3017.30 (uusinnat vain tarvittaessa). Harjoitustehtävät, luentopäiväkirja, jne. tulevat Noppaan Kirjallisuutta: Luentomoniste ja kalvot Nopassa Harjulehto, Klén, Koskenoja: Analyysiä reaaliluvuilla (sopii paremmin muille analyysin kursseille mutta hyödyllinen täälläkin) Wikipedia (etenkin englanniksi) Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 2 / 122
Yleisiä ohjeita Kysy luennoilla: muutkin miettivät samoja asioita. Kysy luentojen ulkopuolella. Laskuharjoitustehtävät eivät välttämättä ratkea suoraviivaisesti vaan niitä on tarkoituskin pähkäillä. Kurssin laajuus on 5 op = 133 h. Luentoja on 28 h, harjoituksia 14 h, koe 4 h, jolloin itsenäistä työtä on 87 h. Tarkista, että Weboodissa oleva email-osoite on aktiivisessa käytössä (ja vaihda tarvittaessa). Funktiot ja raja-arvo kurssi korvaa kurssin Jatkuvuus ja raja-arvo (tarvittaessa myös Johdatus reaalifunktioihin). Näitä kahta kurssia ei voi molempia sisällyttää tutkintoonsa. Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 3 / 122
Kurssin osaamistavoitteet osaa tehdä erilaisia arvioita ja soveltaa niitä päättelyissä (esim. kolmioepäyhtälö) osaa käsitellä alkeisfunktioita kuten polynomeja ja trigonometrisia funktioita osaa määritellä sekä lukujonon että funktion raja-arvon sekä soveltaa näitä määritelmiä sekä käytännössä että teoriassa osaa käyttää erilaisia tekniikoita raja-arvojen määrittämiseen tuntee kompleksilukujen perusominaisuudet Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 4 / 122
STACK-tehtävät 1 Mene sivulle oystack.oulu. 2 Valitse kurssi Luonnontieteellinen matematiikka Funktiot ja raja-arvo 3 Paina Oulun yliopisto logoa, jolloin voit kirjautua omalla tunnuksellasi. 4 Kurssiavain on FunRa2017 5 Kertausmateriaali on jaoteltu sisältöjen mukaan ja tehtävät löytyvät linkeistä STACK-harjoitustehtäviä. 6 Pisteytys: 40% = 1 piste, 60% = 2p, 70% = 3p, 80% = 4p, 90% = 5 p. 7 Tehtäviä voi yrittää useita kertoja, kuitenkin enintään neljä. 8 Deadline: 27.10.2017 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 5 / 122
Suunnitelma 1 Reaaliluvut, järjestys 2 Itseisarvo, kolmioepäyhtälö 3 Jonojen raja-arvo 4 Lukusarjat 5 Funktiot, polynomit, rationaalifunktiot 6 Monotonisuus (järjestys) 7 Trigonometriset funktiot 8 Kompleksiluvut 9 Eksponenttifunktio ja logaritmi 10 Funktioiden raja-arvo 11 Suppiloperiaate (puristuslause), asymptootit Kurssin teema: järjestys ja arviointi Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 6 / 122
Lukujoukot N = {0, 1, 2, 3,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Z + = {1, 2, 3,...} { } a Q = b a Z, b N R luonnolliset luvut kokonaisluvut positiiviset kokonaisluvut rationaaliluvut reaaliluvut (lukusuora) 19 5 3 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2 e π Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 7 / 122
Reaalilukujen konstruktio/malli Positiiviset reaaliluvut voidaan ajatella desimaaliesityksinä x = a 0,a 1 a 2 a 3 a 4... missä a 0 N (eli a 0 on luonnollinen luku) ja desimaalit a k {0,1,2,..., 9} (symboli tarkoittaa kuuluu). Tällöin a 0 on luvun x kokonaisosa. Reaaliluvut ovat merkillä (+ tai -) varustettuja desimaaliesityksiä. Esimerkki 0 = 0,000... 1 = 1,000... 123 = 123,000... 1 3 = 0,333... 1234 = 22.03 571428 571428 571428 571428 571428 571428... 56 π = 3,14159265359... Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 8 / 122
Tekninen ongelma Desimaaliesitykset eivät ole aivan yksikäsitteisiä vaan esimerkiksi 0,999... = 1 = 1,000... Desimaaliesitykset a 0,a 1 a 2 a 3... (a m + 1)000..., missä a m {0,1,2,..., 8}, ja a 0,a 1 a 2 a 3... a m 999..., samaistetaan eli nämä ovat samat reaaliluvut. Esimerkiksi 0,13000... = 0,12999... Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 9 / 122
Reaalilukujen laskutoimitukset Reaalilukujen yhteenlasku + ja kertolasku toteuttavat seuraavat säännöt: (K1) x + (y + z) = (x + y) + z (yhteenlaskun liittännäislaki) (K2) x + 0 = 0 + x = x (nolla-alkio) (K3) x + ( x) = ( x) + x = 0 (vastaluvut) (K4) x + y = y + x (yhteenlaskun vaihdannaislaki) (K5) x (y z) = (x y) z (kertolaskun liittännäislaki) (K6) x 1 = 1 x = x (ykkösalkio) (K7) x x 1 = x 1 x = 1 kun x 0, (käänteisluvut) (K8) x y = y x (kertolaskun vaihdannaislaki) (K9) x (y + z) = x y + x z (osittelulaki) Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 10 / 122
Reaalilukujen järjestys Reaalilukujen järjestys toteuttaa seuraavat säännöt: (J1) Jos a b ja b c, niin a c (transitiivisuus) (J2) Jos a b ja b a, niin a = b (antisymmetria) (J3) Kaikilla a ja b joko a b tai b a (totaalisuus) (J4) a b = a + c b + c (J5) 0 a ja 0 b = 0 ab 19 5 3 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2 e π Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 11 / 122
Lukusuoran välit Olkoon a, b R, a < b. [a, b] = {x R a x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} suljettu väli avoin väli puoliavoin väli puoliavoin väli Lukusuoralla näitä merkitään seuraavasti: [a, b] ]a, b[ ]a, b] [a, b[ Myös + ja voivat esiintyä merkinnöissä. Esimerkiksi [a, + [ = {x R a x} ], a] = {x R x a}. Kirjallisuudessa esiintyy myös merkinnät (a, b) = ]a, b[, (a, b] = ]a, b], jne. Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 12 / 122
Itseisarvo Määritelmä Reaaliluvun x R itseisarvo on x = { x jos x 0 x jos x < 0. Reaaliluvun x R etumerkki on +1 x > 0 sgn(x) = 0 x = 0 1 x < 0. Reaaliluvulla x on siis hajotelma x = sgn(x) x missä sgn(x) on luvun suunta ja x on luvun pituus. Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 13 / 122
Itseisarvon geometrinen tulkinta 3 = 3 2 = 2 2 0 3 2 = ( 1) 2, 3 = (+1) 3 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 14 / 122
Yhteenlaskun vektoritulkinta Reaalilukujen yhteenlaskun voi tulkita geometrisesti vektoreiden yhteenlaskuna: 3 +2 = 5 0 3 5 +( 3) = 1 2 1 0 2 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 15 / 122
Tehtävä Pohtikaa pienessä ryhmässä miten tulkitaan geometrisesti (vektoreiden avulla) 1 reaaliluvun x kertominen luvulla 2, 2 reaaliluvun x kertominen luvulla 1. Mitä nämä operaatiot tekevät vektorille x? Voitte miettiä erikseen tapauksia x > 0 ja x < 0 tai vaikka kokeilla eri lukuarvoja (x = 3, x = 2). Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 16 / 122
Itseisarvon ominaisuuksia Lemma Olkoot x, y R. 1 x 0 2 x = 0 x = 0 3 xy = x y. Erityisesti x = x. 4 x 2 = x 2 5 x = max{x, x} Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 17 / 122
Perustelu kohdalle (3) (3) Pilkotaan tapauksiin: (a) x 0 ja y 0, (b) x 0 ja y < 0, (c) x < 0 ja y 0 (d) x < 0 ja y < 0. Tapaus (a) on selvä. Tapauksessa (b) xy 0, joten tässä tapauksessa. Tapaus (c) on samanlainen kuin (b). Tapauksessa (d) xy > 0, joten xy = (xy) = x ( y) = x y xy = xy = ( x) ( y) = x y. Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 18 / 122
Itseisarvon hyödyllinen karakterisaatio Lemma Olkoon a 0. Tällöin 1 x a a x a 2 x < a a < x < a 3 x a x a tai x a 4 x > a x > a tai x < a Erityisesti x x x. Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 19 / 122